1. LIMITS
Ide dasar kalkulus adalah konsep limit. Latihan di Bagian I dirancang untuk
meningkatkan pemahaman dan keterampilan Anda dalam bekerja dengan konsep
ini.Simbolisme yang terlibat adalah kontraksi / singkatan yang berguna dan pengenalan
"Bentuk" dari ini sangat penting dalam menghasilkan hasil yang dibutuhkan dengan
sukses. Sebelum anda memulai, jika Anda memerlukan peninjauan ulang fungsi, lihat
Lampiran A: Fungsi dasar dan Grafik mereka.
2. konsep limit
Definisi dan intuisi limit
Sebuah fungsi f (x ) Dikatakan memiliki limit A sebagai x Pendekatanas c ditulis
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐴 Memberikan kesalahan antara f (x ) dan A, ditulis |𝑓(𝑥) − 𝐴|, dapat dibuat
kurang dari bilangan positif preassigned E setiap kali x mendekati, tapi tidak sama dengan,
c. Heu-ristically, "Batas f pada titik c adalah A jika nilai f mendekati A ketika x mendekati
c." kita akan mengeksplorasi definisi ini secara intuitif melalui contoh berikut.
Hitung nilai dari 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 5 untuk nilai x berikut yang mendekati, namun tidak
sama dengan 2 nilainya ; Dan kemudian melakukan pengamatan tentang hasilnya.
a) 𝑥 = 2.07 𝑓(𝑥) = 9.2849
b) 𝑥 = 1.98 𝑓(𝑥) = 8.9204
c) 𝑥 = 2.0006 𝑓(𝑥) = 9.00240036
Pengamatan: Tampaknya ketika x mendekati nilai 2, maka f(x) mendekati nilai 9.
Hitung nilai dari 𝑓(𝑥) =
4
𝑥
untuk nilai x berikut yang mendekati, namun nilainya
tidak sama dengan 0. Dan kemudian melakukan pengamatan intuitif tentang
hasilnya.
a) 𝑥 = .01 𝑓(𝑥) = 400
b) 𝑥 = −.001 𝑓(𝑥) = −4000
c) 𝑥 = .001 𝑓(𝑥) = 4000
Pengamatan: Tampaknya ketika x mendekati nilai 0, f (x) tidak
mendekati nilai tetap.
Dengan menggunakan notasi batas, Anda dapat mewakili pernyataan
pengamatan Anda untuk contoh di atas, masing-masing, seperti:
lim
𝑥→2
𝑥2
+ 5 = 9 dan lim
𝑥→0
4
𝑥
tidak ada.
3. 2.1 Hitung nilai f (x) bila x memiliki nilai ditunjukkan pada (a) dan (b). Untuk (c),
buatlah pengamatan berdasarkan hasil Anda dalam (a) dan (b).
1. 𝑓(𝑥) =
𝑥+2
𝑥−5
a. 𝑥 = 3.001
b. 𝑥 = 2.99
c. Pengamatan?______________________________________________
2. 𝑓(𝑥) =
𝑥−5
4𝑥
a. 𝑥 = 1.002
b. 𝑥 = .993
c. Pengamatan?______________________________________________
3. 𝑓(𝑥) =
3𝑥2
𝑥
a. 𝑥 = .001
b. 𝑥 = −.001
c. Pengamatan?______________________________________________
Sifat limit
Teorema dasar yang dirancang untuk memudahkan kerja dengan batasan ada, dan
teorema ini adalah gagasan "tulang telanjang" yang harus Anda kuasai untuk berhasil
mengatasi konsep batas. Singkatnya, teorema yang paling berguna adalah sebagai
berikut:
Jika lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) dan lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥) keduanya ada, maka
1. Limit penjumlahan (atau perbedaan) adalah jumlah (atau perbedaan) dari batas-
batasnya
lim
𝑥→𝑐
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) + lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
2. Limit kali adalah perkalian dari batas-batasnya
lim
𝑥→𝑐
[𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥). lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
3. Limit hasil bagi adalah hasil bagi batas-batas yang ditentukan bahwa batas penyebut
bukan 0.
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
4. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 0, maka lim
𝑥→𝑐
√𝑓(𝑥)
𝑛
= √lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)𝑛
untuk 𝑛 > 0
5. lim
𝑥→𝑐
𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎 lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) dimana 𝑎 adalah konstanta
6. lim
𝑥→𝑐
[𝑓(𝑥)] 𝑛
= [lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)] 𝑛
untuk setiap bilangan positif 𝑛
4. 7. lim
𝑥→𝑐
𝑥 = 𝑐
8. lim
𝑥→𝑐
1
𝑥
=
1
𝑐
untuk 𝑐 ≠ 0
Anda harus waspada terhadap kesalahan penulisan atau pemikiran itu lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐);
Artinya, itu kamu tentukan batasnya dengan cara mengganti 𝑥 = 𝑐 ke dalam ekspresi yang
mendefinisikan 𝑓(𝑥) Dan kemudian mengevaluasi. Ingatlah bahwa dalam konsep limit, x
tidak dapat mengasumsikan nilai c. Penjelasan lengkap membutuhkan konsep kontinuitas,
yang dibahas pada Bab 3.
Masalah Evaluasi limit berikut
a. lim
𝑥→2
3𝑥−5
5𝑥+2
b. lim
𝑥→4
3𝑥 + √16𝑥
c. lim
𝑥→4
𝑥2−16
𝑥−4
Solusi a. lim
𝑥→2
3𝑥−5
5𝑥+2
=
lim
𝑥→2
3𝑥−5
lim
𝑥→2
5𝑥+2
=
1
12
b. lim
𝑥→4
3𝑥 + √16𝑥 = lim
𝑥→4
3𝑥 + lim
𝑥→4
√16𝑥 = 12 + √64 = 20
c. lim
𝑥→4
𝑥2−16
𝑥−4
= lim
𝑥→4
(𝑥−4)(𝑥+4)
𝑥−4
= lim
𝑥→4
(𝑥 + 4) = 8
Perhatikan bahwa dalam contoh ini, Anda tidak dapat menggunakan teorema Quotient karena
batas dari penyebut adalah nol; itu adalah lim
𝑥→4
(𝑥 − 4) = 0. Namun, seperti yang ditunjukkan,
Anda bisa melakukan pendekatan aljabar untuk menentukan batasnya. Pertama, Anda faktor
pembilangnya. Selanjutnya, gunakan fakta bahwa untuk semua 𝑥 ≠ 4,
(𝑥−4)(𝑥+4)
(𝑥−4)
= 𝑥 + 4,
Anda bisa menyederhanakan fraksi dan kemudian mengevaluasi batasnya. Ini adalah sebuah
pendekatan berguna yang bisa diterapkan pada sejumlah batasan masalah.
d. lim
𝑥→1
√6𝑥 − 12 tidak ada karena 6𝑥 − 12 < 0 ketika 𝑥 mendekati 1.
2.2 Temukan batasan berikut atau tunjukkan tidak adanya.
1. lim
𝑥→3
𝑥2−4
𝑥+1
2. lim
𝑥→2
𝑥2−9
𝑥−2
3. lim
𝑥→1
√𝑥3 + 7
4. lim
𝑥→𝜋
(5𝑥2
+ 9)
5. lim
𝑥→0
5−3𝑥
𝑥+11
6. lim
𝑥→0
9+3𝑥2
𝑥3+11
7. lim
𝑥→1
𝑥2−2𝑥+1
𝑥2−1
8. lim
𝑥→4
6−3𝑥
𝑥2−16
9. lim
𝑥→−2
√4𝑥3 + 11
10. lim
𝑥→−6
8−3𝑥
𝑥−6
5. Limits khusus
Limit Penyebut Nol
Beberapa batasan yang paling berguna adalah batasan di mana denominator adalah 0, genap
meskipun teorema batas sebelumnya tidak diterapkan secara langsung dalam kasus ini.
Jenis batas ini bisa ada hanya jika ada semacam pembatalan yang akan datang dari pembilang
kuncinya adalah mencari faktor umum pembilang dan penyebut yang akan dibatalkan.
Masalah Evaluasi limit berikut ini
a. lim
𝑥→4
𝑥3−8
𝑥−2
b. lim
ℎ→0
(5𝑥2+10ℎ+5ℎ2+2)−(5𝑥2+2)
ℎ
c. lim
ℎ→0
√𝑥+ℎ−√𝑥
ℎ
Solusi
a. lim
𝑥→4
𝑥3−8
𝑥−2
= lim
𝑥→4
(𝑥−2)(𝑥2+2𝑥+4)
𝑥−2
= lim
𝑥→4
(𝑥2
+ 2𝑥 + 4) = 28
b. lim
ℎ→0
(5𝑥2+10ℎ+5ℎ2+2)−(5𝑥2+2)
ℎ
= lim
ℎ→0
(10𝑥ℎ+5ℎ2)
ℎ
= lim
ℎ→0
(10𝑥 + 5ℎ) = 10𝑥
c. lim
ℎ→0
√𝑥+ℎ−√𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
(√𝑥+ℎ−√ 𝑥)(√𝑥+ℎ+√ 𝑥)
ℎ(√𝑥+ℎ+√𝑥)
= lim
ℎ→0
(𝑥+ℎ)−𝑥
ℎ(√𝑥+ℎ+√𝑥)
= lim
ℎ→0
ℎ
ℎ(√𝑥+ℎ+√𝑥)
= lim
ℎ→0
1
(√𝑥+ℎ+√𝑥)
=
1
2√ 𝑥
Masalah if 𝑓(𝑥) = 6𝑥2
+ 7 kemudian temukan lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
Solusi lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
(6(𝑥+ℎ)2+7)−(6𝑥2+7)
ℎ
= lim
ℎ→0
6𝑥2+12𝑥ℎ+6ℎ2−6𝑥2−7
ℎ
