SlideShare a Scribd company logo
1 of 10
Перпендикулярність прямої і
площини
Учні II курсу ЕПМ класу
Боровський Данило и Панов Борис
Зміст
1. Кут між прямою та площиною.
2. Перпендикуляр до площини.
3. Теорема про три перпендикуляри.
4. Властивості перпендикуляра прямої та площини
Властивості перпендикулярних
прямої та площини
1. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і
тієї ж площини, то ці прямі паралельні.
2. Якщо площина перпендикулярна до однієї
з двох паралельних прямих, то вона
перпендикулярна до іншої.
3. Якщо пряма перпендикулярна до однієї
із двох паралельних площин, то вона
перпендикулярна й до іншої.
4. Якщо дві різні площини
перпендикулярні до однієї і тієї самої
прямої, то ці площини паралельні.
Визначення
• АВ – перпендикуляр до площини α,
• АС – похила до площини α,
• ВС – проекція похилої АС на площину α,
• В – основа перпендикуляра,
• С – основа похилої.
Перпендикуляром, проведеним із даної точки на дану площину,
називається відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та лежить
на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який
лежить у площині, називається основою перпендикуляра.
Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-
який відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та не є
перпендикуляром до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у
площині, називається основою похилої.
Проекцією похилої на площину , називається відрізок, який з’єднує
основи перпендикуляра та похилої, проведених з однієї і тієї ж точки.
КУТ МІЖ ПРЯМОЮ ТА ПЛОЩИНОЮ
Кутом між прямою і площиною називають кут між прямою
та її ортоганальною проекцією на цю площину.
1) Якщо пряма паралельна площині або належить їй, то
вважають, що кут між такою прямою і площиною дорівнює
0°.
2) Якщо пряма перпендикулярна площині, то кут між ними
дорівнює 90°.
ПЕРПЕНДИКУЛЯР ДО ПЛОЩИНИ
Пряма, яка перетинає площину,
називається перпендикулярною до цієї
площини, якщо вона перпендикулярна до
будь-якої прямої, яка лежить у цій
площині.
Пряма а перпендикулярна до площини α.
ТЕОРЕМА ПРО ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ
Якщо пряма, яка лежить у площині,
перпендикулярна до проекції похилої на цю
площину, то вона перпендикулярна і до самої
похилої. І навпаки: якщо пряма, яка лежить у
площині, перпендикулярна до похилої, то
вона перпендикулярна і до самої проекції на
цю площину.
Якщо пряма, яка перетинає
площину,перпендикулярна до двох прямих
цієї площини, що проходять через точку
перетину, то вона перпендикулярна до
площини.
Якщо одна з двох паралельних прямих
перпендикулярна до площини, то і друга
пряма перпендикулярна до цієї площини

More Related Content

What's hot

Взаємне розміщення прямих у просторі. паралельність прямої і площини
Взаємне розміщення прямих у просторі. паралельність прямої і площиниВзаємне розміщення прямих у просторі. паралельність прямої і площини
Взаємне розміщення прямих у просторі. паралельність прямої і площиниAnton Mahlay
 
Паралельність прямих і площин у просторі
Паралельність прямих і площин у просторіПаралельність прямих і площин у просторі
Паралельність прямих і площин у просторіAnton Mahlay
 
перпендикулярність прямої і площини
перпендикулярність прямої і площиниперпендикулярність прямої і площини
перпендикулярність прямої і площиниpanovboris
 
перпендикулярність прямої і площини
перпендикулярність прямої і площиниперпендикулярність прямої і площини
перпендикулярність прямої і площиниpanovboris
 
вектори і координати у просторі
вектори і координати у просторівектори і координати у просторі
вектори і координати у просторіЮра Марчук
 
ознака паралельності прямої і площини
ознака паралельності прямої і площиниознака паралельності прямої і площини
ознака паралельності прямої і площиниanyaanya1
 
систематизація і узагальнення фактів і методів планіметрії
систематизація і узагальнення фактів і методів планіметріїсистематизація і узагальнення фактів і методів планіметрії
систематизація і узагальнення фактів і методів планіметріїЮра Марчук
 
цикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площин
цикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площинцикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площин
цикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площинНаташа Иванякова
 
розміщення прямих і площин в просторі 10 клас
розміщення прямих і площин в просторі 10 класрозміщення прямих і площин в просторі 10 клас
розміщення прямих і площин в просторі 10 класОлеся Браташ
 
аксіоми стереометрії
аксіоми стереометріїаксіоми стереометрії
аксіоми стереометрії80961319338
 
Приклади розв'язування задач по темі "Початкові відомості зі стереометрії"
Приклади розв'язування задач по темі "Початкові відомості зі стереометрії"Приклади розв'язування задач по темі "Початкові відомості зі стереометрії"
Приклади розв'язування задач по темі "Початкові відомості зі стереометрії"Сергей Чабан
 
паралелограм
паралелогрампаралелограм
паралелограмbalazki1975
 

What's hot (20)

Взаємне розміщення прямих у просторі. паралельність прямої і площини
Взаємне розміщення прямих у просторі. паралельність прямої і площиниВзаємне розміщення прямих у просторі. паралельність прямої і площини
Взаємне розміщення прямих у просторі. паралельність прямої і площини
 
Паралельність прямих і площин у просторі
Паралельність прямих і площин у просторіПаралельність прямих і площин у просторі
Паралельність прямих і площин у просторі
 
Прямі в просторі
Прямі в просторіПрямі в просторі
Прямі в просторі
 
перпендикулярність прямої і площини
перпендикулярність прямої і площиниперпендикулярність прямої і площини
перпендикулярність прямої і площини
 
перпендикулярність прямої і площини
перпендикулярність прямої і площиниперпендикулярність прямої і площини
перпендикулярність прямої і площини
 
вектори і координати у просторі
вектори і координати у просторівектори і координати у просторі
вектори і координати у просторі
 
Тема 3
Тема 3Тема 3
Тема 3
 
ознака паралельності прямої і площини
ознака паралельності прямої і площиниознака паралельності прямої і площини
ознака паралельності прямої і площини
 
Тема 2
Тема 2Тема 2
Тема 2
 
Reutieu
ReutieuReutieu
Reutieu
 
систематизація і узагальнення фактів і методів планіметрії
систематизація і узагальнення фактів і методів планіметріїсистематизація і узагальнення фактів і методів планіметрії
систематизація і узагальнення фактів і методів планіметрії
 
цикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площин
цикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площинцикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площин
цикл уроків з теми перпендикулярність прямих і площин
 
Паралельні та мимобіжні прямі
Паралельні та мимобіжні пряміПаралельні та мимобіжні прямі
Паралельні та мимобіжні прямі
 
основні поняття та аксіоми
основні поняття та аксіомиосновні поняття та аксіоми
основні поняття та аксіоми
 
Паралельне проектування
Паралельне проектуванняПаралельне проектування
Паралельне проектування
 
Наслідки аксіом стереометрії
Наслідки аксіом стереометріїНаслідки аксіом стереометрії
Наслідки аксіом стереометрії
 
розміщення прямих і площин в просторі 10 клас
розміщення прямих і площин в просторі 10 класрозміщення прямих і площин в просторі 10 клас
розміщення прямих і площин в просторі 10 клас
 
аксіоми стереометрії
аксіоми стереометріїаксіоми стереометрії
аксіоми стереометрії
 
Приклади розв'язування задач по темі "Початкові відомості зі стереометрії"
Приклади розв'язування задач по темі "Початкові відомості зі стереометрії"Приклади розв'язування задач по темі "Початкові відомості зі стереометрії"
Приклади розв'язування задач по темі "Початкові відомості зі стереометрії"
 
паралелограм
паралелогрампаралелограм
паралелограм
 

Similar to перпендикулярність прямої і площини

андрущенко
андрущенкоандрущенко
андрущенкоjkmuffgrhdcv
 
ознака паралельності прямої і площини
ознака паралельності прямої і площиниознака паралельності прямої і площини
ознака паралельності прямої і площиниanyaanya1
 
питання для повт стереом
питання для повт стереомпитання для повт стереом
питання для повт стереомjasperwtf
 
Властивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутника
Властивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутникаВластивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутника
Властивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутникаЛюдмила Кирилюк
 
основні властивості точок, прямих і площин выражені у аксіомах.
основні властивості точок, прямих і площин выражені у аксіомах.основні властивості точок, прямих і площин выражені у аксіомах.
основні властивості точок, прямих і площин выражені у аксіомах.yahnoluida
 
кути
кутикути
кутиlubov
 
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні пряміурок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні пряміАндрій Киричук
 
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2Андрій Киричук
 
Чотирикутники та їх властивості
Чотирикутники та їх властивостіЧотирикутники та їх властивості
Чотирикутники та їх властивостіFormula.co.ua
 
презентац¦я до уроку 1
презентац¦я до уроку 1презентац¦я до уроку 1
презентац¦я до уроку 1burev2
 
комбінації многогранників і тіл обертання.Pptx геометрия
комбінації многогранників і тіл обертання.Pptx геометриякомбінації многогранників і тіл обертання.Pptx геометрия
комбінації многогранників і тіл обертання.Pptx геометрияBogaychuk
 
презентац¦я до уроку 3
презентац¦я до уроку 3презентац¦я до уроку 3
презентац¦я до уроку 3burev2
 
чотирикутники
чотирикутникичотирикутники
чотирикутникиelrosol
 
Чотирикутники. Мирошниченко Олена Миколаївна
Чотирикутники. Мирошниченко Олена МиколаївнаЧотирикутники. Мирошниченко Олена Миколаївна
Чотирикутники. Мирошниченко Олена МиколаївнаFormula.co.ua
 
планіметрія 8 клас
планіметрія 8 класпланіметрія 8 клас
планіметрія 8 класNatali Chaban
 

Similar to перпендикулярність прямої і площини (20)

андрущенко
андрущенкоандрущенко
андрущенко
 
ознака паралельності прямої і площини
ознака паралельності прямої і площиниознака паралельності прямої і площини
ознака паралельності прямої і площини
 
питання для повт стереом
питання для повт стереомпитання для повт стереом
питання для повт стереом
 
Властивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутника
Властивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутникаВластивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутника
Властивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутника
 
основні властивості точок, прямих і площин выражені у аксіомах.
основні властивості точок, прямих і площин выражені у аксіомах.основні властивості точок, прямих і площин выражені у аксіомах.
основні властивості точок, прямих і площин выражені у аксіомах.
 
відомості стереометрії
відомості стереометріївідомості стереометрії
відомості стереометрії
 
кути
кутикути
кути
 
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні пряміурок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі
 
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2
 
Чотирикутники та їх властивості
Чотирикутники та їх властивостіЧотирикутники та їх властивості
Чотирикутники та їх властивості
 
урок 3 чотирикутники
урок 3 чотирикутникиурок 3 чотирикутники
урок 3 чотирикутники
 
399,23.ppt
399,23.ppt399,23.ppt
399,23.ppt
 
презентац¦я до уроку 1
презентац¦я до уроку 1презентац¦я до уроку 1
презентац¦я до уроку 1
 
комбінації многогранників і тіл обертання.Pptx геометрия
комбінації многогранників і тіл обертання.Pptx геометриякомбінації многогранників і тіл обертання.Pptx геометрия
комбінації многогранників і тіл обертання.Pptx геометрия
 
презентац¦я до уроку 3
презентац¦я до уроку 3презентац¦я до уроку 3
презентац¦я до уроку 3
 
чотирикутники
чотирикутникичотирикутники
чотирикутники
 
Чотирикутники. Мирошниченко Олена Миколаївна
Чотирикутники. Мирошниченко Олена МиколаївнаЧотирикутники. Мирошниченко Олена Миколаївна
Чотирикутники. Мирошниченко Олена Миколаївна
 
планіметрія 8 клас
планіметрія 8 класпланіметрія 8 клас
планіметрія 8 клас
 
246 1 333_chotyrykutnyky_naumova
246 1 333_chotyrykutnyky_naumova246 1 333_chotyrykutnyky_naumova
246 1 333_chotyrykutnyky_naumova
 
1shotir
1shotir1shotir
1shotir
 

перпендикулярність прямої і площини

  • 1. Перпендикулярність прямої і площини Учні II курсу ЕПМ класу Боровський Данило и Панов Борис
  • 2. Зміст 1. Кут між прямою та площиною. 2. Перпендикуляр до площини. 3. Теорема про три перпендикуляри. 4. Властивості перпендикуляра прямої та площини
  • 3. Властивості перпендикулярних прямої та площини 1. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж площини, то ці прямі паралельні. 2. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої.
  • 4. 3. Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралельних площин, то вона перпендикулярна й до іншої. 4. Якщо дві різні площини перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то ці площини паралельні.
  • 5. Визначення • АВ – перпендикуляр до площини α, • АС – похила до площини α, • ВС – проекція похилої АС на площину α, • В – основа перпендикуляра, • С – основа похилої.
  • 6. Перпендикуляром, проведеним із даної точки на дану площину, називається відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою перпендикуляра. Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь- який відрізок, який з’єднує дану точку з точкою площини та не є перпендикуляром до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою похилої. Проекцією похилої на площину , називається відрізок, який з’єднує основи перпендикуляра та похилої, проведених з однієї і тієї ж точки.
  • 7. КУТ МІЖ ПРЯМОЮ ТА ПЛОЩИНОЮ Кутом між прямою і площиною називають кут між прямою та її ортоганальною проекцією на цю площину. 1) Якщо пряма паралельна площині або належить їй, то вважають, що кут між такою прямою і площиною дорівнює 0°. 2) Якщо пряма перпендикулярна площині, то кут між ними дорівнює 90°.
  • 8. ПЕРПЕНДИКУЛЯР ДО ПЛОЩИНИ Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка лежить у цій площині. Пряма а перпендикулярна до площини α.
  • 9. ТЕОРЕМА ПРО ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ Якщо пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до проекції похилої на цю площину, то вона перпендикулярна і до самої похилої. І навпаки: якщо пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до самої проекції на цю площину.
  • 10. Якщо пряма, яка перетинає площину,перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна до площини. Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то і друга пряма перпендикулярна до цієї площини