อัตราส่วนตรีโกณมิติ

1. 1
ครูเสวตร
โรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2556
บทที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
คาว่า “ ตรีโกณมิติ ” ตรงกับภาษาอังกฤษว่า “ Trigonometry ” หมายถึง การวัดรูปสามเหลี่ยม ได้มีการนาความรู้
วิชาตรีโกณมิติไปใช้ในการหาระยะทาง พื้นที่ มุม และ ทิศทางที่ยากแก่การวัดโดยตรง เช่น
การหาความสูงของภูเขา การหาความกว้างของแม่น้า
ทบทวนเนื้อหาที่เกี่ยวข้อง
กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก ดังรูป
c
b
a
C
B
A
ตัวอย่างที่ 1 กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังต่อไปนี้
x
1)
5
4
B
CA
12
2)
13
y
B
CA
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ว่า
2 2 2
a b c 
จงหาค่า x
จงหาค่า y

2. 2
ครูเสวตร
โรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2556
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก ดังรูป
c
b
a
C
B
A
ไซน์ของมุม A คือ
มมุมฉากด้านตรงข้าความยาวของ
Aมมุมด้านตรงข้าความยาวของ
เขียนแทนด้วย sinA
โคไซน์ของมุม A คือ
มมุมฉากด้านตรงข้าความยาวของ
Aมุมด้านประชิดความยาวของ
เขียนแทนด้วย cosA
แทนเจนต์ของมุม A คือ
Aมุมด้านประชิดความยาวของ
Aมมุมด้านตรงข้าความยาวของ
เขียนแทนด้วย tanA
นอกจากนี้ยังมีอัตราส่วนตรีโกณมิติที่เป็นส่วนกลับของ sin A , cosA , tan A ดังนี้
- 1
cosecA
sin A
 เมื่อ sinA 0
- 1
secA
cosA
 เมื่อ cosA 0
- 1
cot A
tan A
 เมื่อ tanA 0
หมายเหตุ โดยปกตินิยมเขียน
sin แทน ไซน์ เช่น ไซน์ของมุม o
30 เขียนแทนด้วย o
30sin
cos แทน โคไซน์ เช่น โคไซน์ของมุม o
60 เขียนแทนด้วย o
60cos
tan แทน แทนเจนต์ เช่น แทนเจนต์ของมุม o
45 เขียนแทนด้วย o
45tan
ดังนั้นจะได้ว่า
c
a
Asin  ,
c
b
Acos  และ
b
a
Atan 
AB เป็นด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก ยาว c หน่วย
BC เป็นด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม A ยาว a หน่วย
AC เป็นด้านประชิดมุม A ยาว b หน่วย

3. 3
ครูเสวตร
โรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2556
ตารางแสดงค่าของ inecos,esin และ genttan ของมุม oo
45,30 และ o
60
o
30 o
45 o
60
sin
2
1
2
2
2
3
cos
2
3
2
2
2
1
tan
3
1
1 3
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ Acos,Asin , tanA ,cosecA,secA และ cot A จากรูปต่อไปนี้
x
8
15
B
CA
ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ a จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กาหนดให้ในข้อต่อไปนี้
30o
1)
a
4
B
CA
60o
2)
a
2 3
B
CA

4. 4
ครูเสวตร
โรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2556
ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของแต่ละข้อต่อไปนี้
1. sin45 cos30 cos45 sin30o o o o

2.  3sin30 4sec60 2tan 45o o o

3.
2 o 2 o 2 o 2 o
o o
tan 60 sin 30 cot 60 cos 60
3sin 45 cos45

ตัวอย่างที่ 5 ถ้า 2 5
sec
3
  แล้วค่าของ 2 2 2 2
cos ( )tan ( ) sin ( )tan ( )    คือข้อใดต่อไปนี้
ก.


ข.


ค.


ง.


ตัวอย่างที่ 6 ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีมุม ABC เป็นมุมฉาก และมุม CAB กาง  องศา
ถ้าผลบวกของความยาวด้าน AB กับ AC เท่ากับ  หน่วย แล้ว CB จะยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. )(  หน่วย
ข.  หน่วย
ค.  หน่วย
ง.  หน่วย

5. 5
ครูเสวตร
โรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2556
ตัวอย่างที่ 7 กาหนดให้ 5
sec
3
  แล้ว sin c s
tan c s
o
o ec
 
 


มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก.  .
ข.



ค.


ง. .
ตัวอย่างที่ 8 ค่าของ      2 2 34 1
3tan 30 cos 30 sec 60
3 8
o o o
  คือข้อใดต่อไปนี้
ก. 
ข. 
ค.


ง.


ตัวอย่างที่ 9 ถ้า 4
cos
5
  แล้วค่าของ 2
5tan 4sec  คือข้อใดต่อไปนี้
ก. 4
ข. 8
ค. 10
ง. 20
ตัวอย่างที่ 10 เมื่อดวงอาทิตย์ทามุม o
 กับแนวระนาบแล้ว ตึกสูง 150 เมตร จะทอดเงายาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก.


ข.


ค. 
ง. 

6. 6
ครูเสวตร
โรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2556
ตัวอย่างที่ 11 ถ้ารูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีฐานยาว  และสูง 1 เมตร แล้วมุมยอด จะเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. o

ข. o
60
ค. o
90
ง. o
120
ตัวอย่างที่ 12 กาหนดให้สามเหลี่ยม ABC มีด้าน BC ยาว 18 นิ้ว มุม 30o
B  และมุม 60o
C  แล้วด้าน AC
ยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 10 นิ้ว
ข. 9 นิ้ว
ค. 8 นิ้ว
ง. 7 นิ้ว
ตัวอย่างที่ 13 จากจุด A วัดมุมเงยของยอดเขาได้ 45o
เมื่อเขาเดินเข้าหายอดเขาตามแนวราบ 1,818 เมตร วัดมุมเงยได้
60o
ภูเขานี้เท่าใด