Lenguaje algebraico y pensamiento funcional

1. Presentado por : MARIA ELSA RODIGUEZ
Código: 551108_34
Tutor: WILSON FERNANDO MORENO
ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
Escuela de Ciencias de la Educación – ECEDU
Licenciatura en Matemáticas
Septiembre-2021

2. Expresiones algebraicas
 Combinaciones de números , letras y signos.
 Estructura:
−6𝑥3
𝑦
Hay dos tipos de expresiones los monomios y
polinomios.
coeficiente
grado
literal
signo

3. Adición o sumas de expresiones algebraicas
 Sus signos son − +
Para desarrolla un ejercicio primero se buscan los
términos semejantes y se suman o resta los coeficientes.
 Ejemplo:
3𝑥 + 5𝑦 + 1 + 2𝑥 − 3𝑦 + 8
Se empieza sacando términos semejantes
3𝑥 + 2𝑥 = 5𝑥
5𝑦 − 3𝑦 = 2𝑦
1 + 8 = 9
Total de la suma algebraica es :
3𝑥 + 5𝑦 + 1 + 2𝑥 − 3𝑦 + 8 = 3𝑥 + 2𝑦 + 9

4. Multiplicación algebraica
 Tiene como objetivo de hallar el producto del
multiplicado y multiplicador y se representa en estos
signos: x . ()().
 Ejemplo:
 (2𝑥2)(3𝑥)
 2 ∗ 3 = 6 se multiplican los coeficientes
 𝑥2
. x = 𝑥2+1
= 𝑥3
se suman los grados
Resultado es :
2𝑥2
3𝑥 = 6𝑥3

5. Reglas de signos de multiplicación
y división
+.+= +
+.−= −
−.+= −
−.−= +

6. División algebraica
 Es un algoritmo que permite dividir un polinomio
entre otro polinomio que no sea nulo.
 Partes de la división:
28 ÷ 7 = 4
dividendo
divisor
resultado

7.  Ejemplo:
24𝑎7
÷ 6𝑎2
=
 Regla de signos:
+.+= +
 Dividimos coeficientes:
24 ÷ 6 = 4
 Se restan las bases o grados:
𝑎7
÷ 𝑎2
= 𝑎7−2
= 𝑎5
Resultado de la división es:
24𝑎7
÷ 6𝑎2
= 4𝑎5

8. División sintética
 La división sintética es una alternativa de realizar una
división. También se puede usar para dividir un
polinomio por un factor posible, x−k . Sin embargo no
puede ser usada para dividir polinomios más grandes,
como los cuadráticos, en otro polinomio.
 Se utiliza para polinomios de grado mayor a 2 y que no
tienen la forma cuadrática. Este teorema dice que todo
polinomio P(x) tiene como factor el término (x - c) sí y
sólo sí
 P(c) = 0. El método utiliza la misma técnica de la
división sintética, de ahí su otro nombre. El
procedimiento es el siguiente:

9.  Se busca un número entre los divisores del término
constante (tomando en cuenta tanto los negativos como los
positivos), por ejemplo si la constante es 4, los candidatos
serían 4, -2,-1,1,2, 4.
 Al hacer la división sintética será factor el que de cómo
residuo cero.
 La división se debe hacer tantas veces como sea necesario
de acuerdo al grado del polinomio, y siempre cambiando
los candidatos de acuerdo a la nueva constante.
 Si el polinomio es de grado tres deberá tener tres factores,
si el polinomio es de grado 5, cinco factores y así
sucesivamente.
 Dado que para polinomios de grado dos hay métodos más
sencillos, se puede llevar el residuo a tres términos y luego
usar inspección o calculadora

10.  Ejemplo:

11. Productos notables
los productos notables son
multiplicaciones especiales entre
expresiones algebraicas, que se
destacan de las demás multiplicaciones
y hacen que un producto sea notable y
se cumplen ciertas reglas que hay que
tener en cuenta.

12. Factorización
Consiste en presentar un polinomio en
factores y es el paso contrario a los
productos notables es una
descomposición en factores de una
expresión algebraica en forma de
producto

13. Productos y formulas de factorización
 𝑎 + 𝑏 2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
 𝑎 − 𝑏 2
= 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
 𝑎 + 𝑏 3
= 𝑎3
+ 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎𝑏2
+𝑏3
 𝑎 − 𝑏 3
= 𝑎3
− 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎𝑏2
−𝑏3
 𝑎2
− 𝑏2
= 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏
 𝑎3 − 𝑏3 = 𝑎 − 𝑏 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2
 𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2

14.  Cuadrado de la suma de dos cantidades
𝑎 + 𝑏 2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al
cuadrado del primer termino mas el doble de un
producto de ambos términos mas el cuadrado del
segundo termino.
EJ:

15.  Cuadrado de la diferencia de dos cantidades:
𝑎 − 𝑏 2
= 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual
al cuadrado del primer termino menos el doble
producto de ambos términos mas el cuadrado del
segundo termino.
Ejemplo: 2𝑥 − 3𝑥 2
= 4𝑥2
− 2(2𝑥) − 3 + 9
= 4𝑥2 − 12𝑥 + 9

16. Factor común
Consiste en encontrar los factores comunes en cada uno de
los sumandos de la expresión que quiere factorizar.
Ejemplo:
Se busca el mayor divisor de los coeficientes para que se
pueda conseguir la factorización buscando que al multiplicar
el resultad tiene que dar la operación que dieron para
factorizar .
=

17. Método por agrupación
 Consiste en agrupar los términos o expresiones que
tengan algo en común de manera que se pueda usar el
método de factor común en cada grupo, para de nuevo
aplicar el método de factor común.
 Ejemplo:
 En este caso solo la parte numérica tiene factor común

18.  Diferencia de cuadrados
𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏
Se extrae la raíz cuadrada a cada uno de los términos de
la diferencia de cuadrados (𝑎2
−𝑏2
)
𝑜 𝑠𝑒𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜 𝑎 − 𝑏
Ejemplo:
=

19. Trinomio de la forma 𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
 Se buscan dos binomios cuyo primer término sea la raíz
cuadrada del término 𝒙𝟐 es decir que x, y cuyos segundos
términos cumplan la doble condición de que la suma sea
igual al coeficiente b del término en x y el producto sea
igual al término independiente.
 Ejemplo: 6x2 – 5x – 4 = 6x2 + [(-8) + (+3)]x – 4
= 6x2 – 8x + 3x – 4
= (6x2 – 8x) + (3x - 4)
= 2x(3x - 4) + 1(3x - 4)
= (3x - 4)(2x + 1)
El producto obtenido lo
descomponemos en
factores, de tal manera que
la suma de los factores sea
igual al coeficiente del
término de primer grado.
(-8)(+3) = -24
Así: (-8) + (+3) = -5

20. Trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐
+𝒃𝒙 + 𝒄
Los trinomios de esta forma
presentan las siguientes
características:
 El coeficiente del primer
término es diferente de 1.
 La variable del segundo término
es la misma que la del primer
término pero con exponente a la
mitad.
 El tercer término es
independiente de la letra que
aparece en el primer y segundo
términos del trinomio.
 Ejemplo:

21. Expresiones fraccionarias:
simplificación.
Una expresión fraccionaria es el cociente de dos
polinomios. En la mayoría de los casos se estudiarán
expresiones en las cuales tanto el numerador como el
denominador son polinomios de una sola variable. Para
simplificar se factorizan tanto el numerador como el
denominador en sus factores primos, para después
suponiendo que los factores del denominador no sean
cero, cancelar los factores comunes.

22.  Ejemplo 1
 Ejemplo 2:

23. Elementos de una función
 Dominio: Son los elementos del conjunto de partida; es decir, los
elementos de x, que corresponden a la variable independiente. En el
ejemplo modelo la variable independiente son el número de artículos
vendidos. Anteriormente se hizo aclaración que los elementos del
dominio se ubican en el eje x del plano cartesiano.
 Imagen: Son los elementos del conjunto de llegada; es decir, los
elementos de y, que corresponden a la variable dependiente. En el
ejemplo modelo es la ganancia G. También por convención los
elementos de la imagen se ubican en el eje y del plano cartesiano.
 Regla o Condición: Se considera a la forma en que se relacionan los
elementos de x e y. Cada función tiene una regla que relaciona las dos
variables. Solo se debe tener presente que a cada elemento de x le
corresponde solo uno de y.

24. Determinación del Dominio e Imagen de
una Función
A Partir de la Gráfica:
 Con la observación detallada
de la gráfica, se puede
identificar el dominio y la
imagen de una función,
veamos dos ejemplos
modelos

25. A Partir del Modelo Matemático
 En general el Dominio de una
función serán los valores que
pueda tomar la variable x sin
que se presenten
ambigüedades en el
momento de hacer la
operación matemática. La
imagen se determina
despejando x del modelo
matemático y se observa qué
valores puede tomar la
variable y.
 Ejemplo:

26. Bibliografía
 Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.:
Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 136 – 235. Recuperado
de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583
 Rondón, J. (2005) Matemática Básica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a
Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7425
 Ramírez, V. A. P., & Cárdenas, A. J. C. (2001). Matemática universitaria: conceptos y
aplicaciones generales. Vol. 1. San José, CR: Editorial Cyrano. Páginas 59 - 82. Recuperado
de https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/85383?page=66