ĐIều khiển phi tuyến hệ thống Ball Plate

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP. HCM
---------------------------
PHẠM NGỌC SƠN
ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN HỆ THỐNG
BALL PLATE
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành : KỸ THUẬT CƠ ĐIỆN TỬ
Mã số ngành: 60 52 01 14
TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 05 năm 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP. HCM
---------------------------
PHẠM NGỌC SƠN
ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN HỆ THỐNG
BALL PLATE
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành : KỸ THUẬT CƠ ĐIỆN TỬ
Mã số ngành: 60 52 01 14
HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VIỄN QUỐC
TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 05 năm 2014

CÔNG TRÌNH ĐƢỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP. HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS. NGUYỄN VIỄN QUỐC
(ghi rõ họ tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Luận văn Thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Công nghệ TP. HCM
ngày 10 tháng 05 năm 2014
Thành phần Hội đồng đánh giá Luận văn Thạc sĩ gồm:
TT Họ và tên Chức danh Hội đồng
1 TS. Nguyễn Thanh Phương Chủ tịch
2 TS. Võ Hoàng Duy Phản biện 1
3 PGS. TS. Nguyễn Tấn Tiến Phản biện 2
4 TS. Nguyễn Hùng Ủy viên
5 TS. Võ Đình Tùng Ủy viên, Thư ký
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá Luận sau khi Luận văn đã được sửa
chữa (nếu có).
Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV

TRƢỜNG ĐH CÔNG NGHỆ TP. HCM
PHÒNG QLKH - ĐTSĐH
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
TP. HCM, ngày tháng 6 năm 2013
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: PHẠM NGỌC SƠN Giới tính: NAM
Ngày, tháng, năm sinh: 10.08.1968 Nơi sinh: TIỀN GIANG
Chuyên ngành: KỸ THUẬT CƠ ĐIỆN TỬ MSHV: 1241840015
I- TÊN ĐỀ TÀI:
ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN HỆ THỐNG BALL PLATE
II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
II.1. NHIỆM VỤ CỦA LUẬN VĂN.
 Xây dựng mô hình toán cho hệ thống bóng - đĩa.
 Xây dựng luật điều khiển giúp hệ thống ổn định tại điểm cân bằng và
chuyển động theo quỹ đạo xác định trước.
 Đánh giá kết quả mô phỏng, từ đó rút ra nhận xét về thuật toán và xác định
thuật toán tối ưu cho mô hình.
II.2 NỘI DUNG LUẬN VĂN.
Chƣơng 1: Giới thiệu tổng quan
Chương này nhằm giới thiệu về mục tiêu nghiên cứu đề tài, xác định giải thuật
điều khiển, xác định bộ điều khiển và xây dựng mô hình thực.
Chƣơng 2: Xây dựng phương trình trạng thái cho hệ thống bóng trên đĩa.
Chương này nhằm xây dựng phương trình trạng thái cho hệ thống trên cơ sở động
lực học và phương trình Euler_Lagrange.
Chƣơng 3: Thiết kế và xây dựng thuật toán điều khiển cho hệ thống bóng
trên đĩa.

Chương này giới thiệu cơ sơ lý thuyết và các bước xây dựng giải thuật điều khiển
LQR, Backstepping cho hệ thống bóng trên đĩa. Từ thông số của mô hình thành lập
phương trình điều khiển cho hệ thống. Bên cạnh đó, chương này xây dựng được sơ
đồ mô phỏng cho hệ thống, trình bày kết quả mô phỏng của hệ thống với bộ điều
khiển LQR và Backstepping từ đó so sánh kết quả và chọn bộ điều khiển tối ưu cho
hệ thống.
Chƣơng 4: Kết luận và hướng phát triển đề tài.
Phân tích, đánh giá các kết quả đã thực hiện, khẳng định tính ưu việt của
phương pháp được lựa chọn cho mô hình này. Rút ra những vấn đề chưa thực hiện
được trong luận văn và đề xuất hướng phát triển của đề tài.
III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 12/06/2013
IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 29/03/2014
V- CÁN BỘ HƢỚNG DẪN:
1. TS. NGUYỄN VIỄN QUỐC
CÁN BỘ HƢỚNG DẪN KHOA QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH
(Họ tên và chữ ký) (Họ tên và chữ ký)

i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,
kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất
kỳ công trình nào khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Học viên thực hiện luận văn
Phạm Ngọc Sơn

ii
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành quyển luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
nhất đối TS. Nguyễn Viễn Quốc đã hết lòng, tận tâm hướng dẫn và cung cấp cho tôi
những tài liệu vô cùng quý giá trong quá trình thực hiện luận văn.
Xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thanh Phương và tập thể các Thầy, Cô
giáo đã giảng dạy, truyền đạt tri thức giúp tôi học tập và nghiên cứu trong quá trình
học cao học tại trường Đại Học Công Nghệ TP.HCM.
Xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng quản lý khoa học - Đào tạo
sau đại học và khoa Cơ – Điện – Điện tử Trường Đại Học Công Nghệ TP.HCM đã
giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và làm luận văn cao
học tại trường.
Xin chân thành cảm ơn các anh, chị, em đồng nghiệp; các anh, chị học viên
cao học ngành “ Kỹ thuật Cơ điện tử” khóa 2012 đã đóng góp ý kiến cho tôi trong
quá trình thực hiện luận văn này.
Sau cùng tôi xin dành lời biết ơn sâu sắc cho gia đình mình, đã hết lòng ủng
hộ về vật chất lẫn tinh thần trong suốt thời gian học cũng như khi thực hiện luận
văn này.
Tp.Hồ Chí Minh, tháng 05.2014
Người thực hiện
Phạm Ngọc Sơn

iii
TÓM TẮT
Ngày nay việc điều khiển một đối tượng phi tuyến trong lĩnh vực điều khiển tự
động sẽ được giải quyết dễ dàng hơn nhiều nhờ các thuật toán điều khiển như điều
khiển PID, điều khiển mờ, điều khiển trượt, điều khiển Backstepping…
Đề tài “ điều khiển hệ thống bóng trên đĩa” mà học viên thực hiện ở luận văn này
là thiết kế bộ điều khiển LQR (Linear Quadratic Regulator) & bộ điều khiển
backstepping (Backstepping Control) cho hệ thống dựa theo tiêu chuẩn ổn định
Lyapunov và mô phỏng trên simulink để kiểm tra kết quả. Với ý tưởng như vậy
học viên đã làm được những việc sau đây:
 Xây dựng mô hình toán của hệ thống bóng trên đĩa.
 Xây dựng luật điều khiển LQR, Backstepping ứng dụng vào mô hình giúp
hệ thống ổn định tại điểm cân bằng và chuyển động theo quỹ đạo xác
định trước.
 Đánh giá kết quả thông qua mô phỏng, từ đó rút ra nhận xét về thuật toán
và xác định thuật toán tối ưu cho mô hình.
Kết quả mô phỏng cho hệ thống bóng trên đĩa sử dụng bộ điều khiển
Backstepping cho thấy hệ thống ổn định tại tín hiệu đặt và tín hiệu ra bám sát tín
hiệu đặt. Như vậy bộ điều khiển Backtepping đáp ứng rất tốt đối với hệ thống phi
tuyến này. Bộ điều khiển Backtepping này cho thấy tối ưu hơn bộ điều khiển tuyến
tính hóa LQR.

iv
ABSTRACT
Nowadays, an nonlinear object control in the automatic control field will be
solved easier because it uses simple control algorithms such as PID, fuzzy, sliding,
Backstepping.
In this thesis “the ball on disk control system” is present. The Linear Quadratic
control and Backstepping control are used to control the system. The stability of the
system is guarauled by the Lyapunov.The effectiveness of the system is shown by
the simulation. With that ideas, the author made contents follow:
 To build mathematical model of ball on dish system.
 To build laws LQR control and backstepping control. After that, it will
be applied on the model to system stabilize at balance point and move in a
predetermined trajectory.
 To evaluate results by simulating. from that, to comment on the algorithms
and to determine optimal algorithms for the model.
The results simulation of Controlling ball on dish system by Backstepping
controller shows that: this system is stable at predetermined signal and out signal
follows closely that predetermined signal. So the Backtepping Controller is very
stable for this nonlinear system. This Backtepping Controller is more optimal than
LQR linear controller.

v
MỤC LỤC
trang
Lời cam đoan………………………………………………………………..........i
Lời cảm ơn……………………………………………………………….............ii
Tóm tắt luận văn…………………………………………………………….........iii
Abstract…………………………………………………………………..............iv
Mục lục..................................................................................................................v
Danh mục các bảng biểu .......................................................................................viii
CHƢƠNG 1 : GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
1.1. Giới thiệu đề tài ...............................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................2
1.3. Tổng quan giải thuật ........................................................................................2
1.4. Xác định mục tiêu............................................................................................2
1.5. Quy hoạch quỹ đạo...........................................................................................2
1.6. Các vấn đề liên quan đến đề tài........................................................................3
1.7. Các bài báo liên quan đến đề tài ......................................................................3
1.8. Nhiệm vụ của luận văn.....................................................................................4
1.9. Nội dung luận văn ............................................................................................4
CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI CHO HỆ
THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA.
2.1. Giới thiệu..........................................................................................................6

vi
2.2. Mô hình toán học cho hệ thống bóng trên đĩa .................................................6
CHƢƠNG 3: THIẾT KẾ VÀ THỰC HIỆN THUẬT TOÁN ĐIỀU KHIỂN
BÓNG TRÊN ĐĨA.
3.1 Giới thiệu...........................................................................................................21
3.2 Thiết kế bộ điều khiển LQR cho hệ thống bóng trên đĩa..................................21
3.2.1. Cơ sở lý thuyết.........................................................................................21
3.2.2. Thiết kế bộ điều khiển LQR cho hệ thống bóng trên đĩa ........................23
3.2.3. Kết quả mô phỏng LQR cho hệ thống bóng trên đĩa...............................27
3.3 Thiết kế bộ điều khiển BACKSTEPPING cho hệ thống bóng trên đĩa............37
3.3.1. Cơ sở lý thuyết .......................................................................................37
3.3.2. Thiết kế bộ điều khiển BACKSEPPING cho hệ thống bóng trên đĩa ...45
3.3.3. Kết quả mô phỏng BACKSTEPPING cho hệ thống bóng trên đĩa .......57
CHƢƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TIỂN ĐỀ TÀI.
4.1. Kết quả đạt được……………………………………………………………...65
4.2. Những hạn chế………………………………………………………………..65
4.3. Hướng phát triển…………………………………………………………......65

vii
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
trang
Bảng 2-1: Các ký tự trong phương trình trạng thái của hệ thống bóng trên đĩa…..8
Bảng 3-1: Tham số LQR của hệ thống bóng trên đĩa………………………….....24
Bảng 3-2: Tham số Backstepping của hệ thống bóng trên đĩa…………………...43
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1-1: Tổng quan về giải thuật của hệ thống bóng trên đĩa................................02
Hình 2-1: Sơ đồ động học của hệ thống bóng trên đĩa .............................................08
Hình 2-2: Quay hệ thống bóng trên đĩa theo trục
'
x̂ ................................................09
'
ŷ ................................................10
Hình 2-4: Hệ thống bóng và thanh...........................................................................15
Hình 2-5: Liên kết các khớp nối với đĩa ..................................................................16
Hình 2-6: Sơ đồ hợp giảm tốc động cơ....................................................................17
Hình 3-1: Sơ đồ tối ưu hóa hệ thống điều khiển......................................................21
Hình 3-2: Sơ đồ khối mô phỏng tuyến tính hóa dùng bộ điều khiển LQR..............27
Hình 3-3: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng LQR với
   
, , , 0.07,0.09,0,0
x y
x y    
của phương trình tuyến tính hóa .............................28
Hình 3-4: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR...........................29
Hình 3-5: Sơ đồ khối mô phỏng phương trình trạng thái dùng bộ điều khiển
LQR..........................................................................................................................30
Hình 3-6: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng LQR............................31
Hình 3-7: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR............................32
   
, , , 0.07sin4 ,0.09,0,0
x y
x y t
  
 của phương trình trạng thái. ...........................33
Hình 3-9: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR............................34

viii
   
, , , 0.07,0.09sin4 ,0,0
x y
x y t
  
 
của phương trình trạng thái ..........................35
Hình 3-11: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR..........................36
Hình 3-12: Sơ đồ thuật toán điều khiển Backstepping ............................................38
Hình 3-13: Sơ đồ khối mô phỏng hệ thống bóng trên đĩa dùng bộ điều khiển
Backstepping............................................................................................................57
Hình 3-14: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng Backstepping với
   
, , , 0.07,0.09,0,0
x y
x y    
của phương trình trạng thái.....................................58
Hình 3-15: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng Backstepping............59
   
, , , 0.07sin ,0.01sin ,0,0
x y
x y t t
  
của phương trình trạng thái ..........................60
Hình 3-17: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng Backstepping............61

1
CHƢƠNG 1 :
GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
1.1. GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI:
Ngày nay, do công nghệ tiên tiến và các ngành công nghiệp rất phát triển trên thế
giới nên các thiết bị cơ khí hiện diện tương đối trong các ngành công nghiệp và yêu
cầu độ chính xác cao hơn, hoạt động tốt hơn, bền hơn. Các máy có độ chính xác cao
truyền thống thì được kết hợp với các thành phần cơ khí để đạt được chất lượng
hoạt động tương đối chính xác. Tuy nhiên, độ chính xác không thể được cải thiện
chỉ bằng sự kết hợp giữa các thiết bị cơ khí và máy móc bởi vì kích thước cơ khí thì
được giới hạn và không thể đạt được trên thực tế. Vì lý do này, nhiều vấn đề thực tế
phải đối mặt trong máy móc như ma sát, độ rung, tiếng ồn, nhiệt độ,... Để khắc phục
những vấn đề được đề cập ở trên, hệ thống có thể cải thiện bằng cách tăng độ chính
xác cơ khí, thêm chất bôi trơn để giảm ma sát và đưa vào lực điều khiển phù hợp để
giảm độ rung. Nhưng làm thế nào để giải quyết hoàn toàn là quan trọng nhất hơn
chỉ để cải thiện nó, mặc dù hệ thống đang hoạt động tiếp xúc trực tiếp với các thành
phần cơ khí. Vì vậy cách hiệu quả nhất để cải thiện vấn đề hệ thống cơ khí này có
thể áp dụng bộ điều khiển số với các thuật toán tối ưu. Các thuật toán này có thể là
PID, LQR, Backstepping, Sliding Mode,…
Để kiểm tra những thuật toán này ta có thể xây dựng mô hình để mô phỏng và
kiểm tra thực tế trên mô hình thực. Xuất phát từ ý tưởng hệ thống cân bằng bóng
trên thanh (cân bằng bóng trên 1 trục ngang), hệ thống cân bằng bóng trên đĩa được
phát triển nhằm cân bằng bóng trên một mặt phẳng cố định. Hệ cân bằng bóng trên
đĩa được xem như một công cụ nghiên cứu trong các ứng dụng khoa học và trong
học tập. Vì vậy mô hình cần phải được hình thành và từ đó nghiên cứu ứng dụng
luật điều khiển cho phù hợp mô hình.

2
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Hệ thống cân bằng bóng trên đĩa có khả năng điều khiển vị trí của bóng trên đĩa
cho cả vị trí cố định và những đường thẳng khép kín được xác định trên đĩa (chẳng
hạn quỹ đạo như một vòng tròn hoặc một hình con số tám sẽ là quỹ đạo chuyển
động của bóng trên đĩa).
Dự kiến vị trí ban đầu của đĩa là nằm ngang được gắn cố định với 2 trục để điều
khiển vị trí của quả bóng. Mỗi trục cố định hoạt động thông qua motor điện. Mỗi
motor được điều khiển bởi bộ điều khiển thông qua Driver DC, với phản hồi vị trí
của động cơ thông qua bộ mã hóa Encoder. Cuối cùng vị trí của bóng trên đĩa được
nhận biết thông qua màn hình cảm ứng điện trở.
Đây là hệ thống phi tuyến, mô hình điều khiển có sai số, ma sát và nhiễu từ bên
ngoài tác động vào, đồng thời có nhiễu từ cảm biến nên cần phải có luật điều khiển
phù hợp và từ đó chất lượng điều khiển của hệ thống chấp nhận được.
1.3. TỔNG QUAN GIẢI THUẬT:
Đề tài hệ thống cân bằng bóng trên đĩa với tác động từ bên ngoài và độ chính xác
cơ khí thì sai số của mô hình vẫn có thể chấp nhận được.
Hình 1-1: Tổng quan về giải thuật của hệ thống bóng trên đĩa.
1.4. XÁC ĐỊNH MỤC TIÊU:
Mục tiêu của đề tài là thiết kế hệ thống cân bằng bóng trên đĩa, để làm được điều
này cần phải giải quyết các vấn đề sau :
 Mô hình hóa được hệ thống với sai số càng nhỏ.
 Chọn luật điều khiển phù hợp với mô hình để có kết quả tốt nhất.
Touchsreen
Encoder
Bộ xử lý số
Nhúng giải thuật điều
khiển
Động cơ DC
servo

3
 Đưa các luật điều khiển vào mô hình mô phỏng trước khi ứng dụng vào mô
hình thực.
1.5. QUY HOẠCH QUỸ ĐẠO :
Trên cơ sở xác định mục tiêu, học viên thiết kế mô hình áp dụng luật điều khiển
giúp hệ thống bóng trên đĩa ổn định tại điểm cân bằng. Khi hệ thống đã ổn định tốt,
hệ thống sẽ được phát triển ổn định theo quỹ đạo được xác định trước.
1.6. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI:
- Cảm biến nhận biết vị trí bóng ví dụ: touchsreen, webcam, camera tốc độ cao.
- Cấu trúc mô hình với hai góc Pan và Tilt.
- Nghiên cứu các luật điều khiển : LQG, Backstepping, điều khiển trượt, điều
khiển mờ,…
1.7. CÁC BÀI BÁO LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI:
- Mechatronic Design Of A Ball On Plate Balancing System của tác giả Shorya
Awtar, Kevin C. Craig [6]: Bài viết đã trình bày khái niệm về hệ thống cân bằng
bóng trên đĩa, thiết kế phần cứng, bộ cảm biến và lựa chọn thiết bị truyền động, hệ
thống mô hình hóa, xác định tham số, thiết kế điều khiển và kiểm tra thực nghiệm.
- Trajectory planning and tracking of ball and plate system using hierarchical
fuzzy control scheme của tác giả Xingzhe Fan, Naiyao Zhang, Shujie Teng [7]:
Bài viết đã trình bày phương trình trạng thái của hệ thống, phương pháp điều khiển
Fuzzy qua 3 cấp độ khác nhau.
- Modelling And Pid Control Design Of Nonlinear Educational Model Ball &
Plate của tác giả A. Jadlovská, Š. Jajčišin, R. Lonščák [8]: Bài viết này tập trung
vào mô hình hóa và điều khiển của hệ thống động lực phi tuyến bóng và đĩa bằng
ngôn ngữ Matlab. Bộ điều khiển PID/PSD được sử dụng trong bộ điều khiển vòng
kín này.

4
- Tracking And Balance Control Of Ball And Plate System của tác giả Cheng
Chang Ker*, Chin E. Lin, and Rong Tyai Wang [9]:bài viết này trình bày hệ
thống cân bằng bóng trên đĩa sử dụng xylanh truyền động cho 2 bậc tự do của motor
điều khiển. Tác giả đã sử dụng phương pháp BackStepping cho bộ điều khiển.
- Mechatronic Design And Position Control Of A Novel Ball And Plate System
của tác giả Miad Moarref, Mohsen Saadat, and Gholamreza Vossoughi [10]:
Bài viết này giới thiệu hệ thống cân bằng bóng trên đĩa sử dụng webcam để biết vị
trí của bóng, mô tả động lực học, bộ điều khiển mờ và điều khiển trượt được sử
dụng trong mô hình.
- Ball on Plate Balancing System của tác giả Greg Andrews, Chris Colasuonno
and Aaron Herrmann [11]: Bài viết đã trình bày mô hình hóa động lực học,
phương trình trạng thái, mô hình hóa, mô phỏng hệ thống cân bằng bóng trên đĩa.
Tác giả đã mô phỏng hệ thống với bộ điều khiển LQG.
- Tracking and Balance Control of Ball and Plate Systems via Backstepping
Design của tác giả Liao Xianqing [12]: Bài viết đã trình bày mô hình hóa động lực
học của hệ thống bóng trên đĩa và phương pháp điều khiển BackStepping cho hệ
thống.
- Visual Servoing TrackingControl of a Ball and Plate System của tác giả Ming-
Tzu Ho, Yusie Rizal and Li-Ming Chu[13]:Bài viết đã trình bày mô hình hóa
động học của hệ thống bóng trên đĩa.
1.8. NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:
- Xây dựng mô hình toán của hệ thống bóng trên đĩa.
- Xây dựng luật điều khiển LQR, Backstepping ứng dụng vào mô hình giúp hệ
thống ổn định tại điểm cân bằng và chuyển động theo quỹ đạo xác định trước.
- Đánh giá kết quả thông qua mô phỏng, từ đó rút ra nhận xét về thuật toán và xác
định thuật toán tối ưu cho mô hình.

5
1.9. NỘI DUNG LUẬN VĂN:
Với nhiệm vụ luận văn ở trên, bố cục của luận văn gồm 4 chương.
Chƣơng 1: Giới thiệu tổng quan
Chương này nhằm giới thiệu về mục tiêu nghiên cứu đề tài, xác định giải thuật
điều khiển, xác định bộ điều khiển và xây dựng mô hình thực.
Chƣơng 2: Xây dựng phương trình trạng thái cho hệ thống bóng trên đĩa.
Chương này nhằm xây dựng phương trình trạng thái cho hệ thống trên cơ sở
động lực học và phương trình Euler_Lagrange.
Chƣơng 3: Thiết kế và xây dựng thuật toán điều khiển cho hệ thống bóng
trên đĩa.
Chương này giới thiệu cơ sơ lý thuyết và các bước xây dựng giải thuật điều
khiển LQR, Backstepping cho hệ thống bóng trên đĩa. Từ thông số của mô hình
thành lập phương trình điều khiển cho hệ thống. Bên cạnh đó, chương này xây dựng
được sơ đồ mô phỏng cho hệ thống, trình bày kết quả mô phỏng của hệ thống với
bộ điều khiển LQR và Backstepping từ đó so sánh kết quả và chọn bộ điều khiển tối
ưu cho hệ thống.
Chƣơng 4: Kết luận và hướng phát triển đề tài.
Phân tích, đánh giá các kết quả đã thực hiện, khẳng định tính ưu việt của phương
pháp được lựa chọn cho mô hình này. Rút ra những vấn đề chưa thực hiện được
trong luận văn và đề xuất hướng phát triển của đề tài.

6
CHƢƠNG 2:
XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
CHO HỆ THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA.
2.1. GIỚI THIỆU:
Giải thuật điều khiển cho hệ thống đòi hỏi học viên phải xây dựng phương trình
trạng thái cho hệ thống. Xuất phát từ yêu cầu đó và trên ý tưởng xây dựng phương
trình trạng thái cho hệ thống Ball and Beam, học viên xây dựng phương trình động
lực học cho hệ thống bóng trên đĩa dựa trên phương pháp động lực học và phương
trình Euler_Lagrange.
2.2. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CHO HỆ THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA:
Bảng 2-1: Các ký tự trong phương trình trạng thái của hệ thống bóng trên đĩa.
Ký tự Đơn vị Mô tả
g 2
/ sec
m Gia tốc trọng trường
R m Bán kính của bóng
r m Khoảng cách tương đối của bóng đến gốc tọa độ a
x m Tọa độ của bóng trên trục X
y m Tọa độ của bóng trên trục Y
x
 rad Góc nghiêng của đĩa theo trục X
y
 rad Góc nghiêng của đĩa theo trục Y
m kg Khối lượng của bóng
p
m kg Khối lượng của đĩa
b
J 2
.
kg m Moment quán tính của bóng

7
x
J 2
.
kg m Moment quán tính của đĩa theo trục X
y
J 2
.
kg m Moment quán tính của đĩa theo trục Y
x
 N.m Moment xoắn của đĩa theo trục X
y
 N.m Moment xoắn của đĩa theo trục Y
'
x
 N.m Moment xoắn của động cơ theo trục X
'
y
 N.m Moment xoắn của động cơ theo trục Y
x
plate m Chiều dài của tấm cảm ứng theo trục X
y
plate m Chiều dài của tấm cảm ứng theo trục Y
 rad Góc nghiêng của đĩa
Kg Tỷ số truyền của động cơ
Vx V Điện áp đầu vào cấp cho động cơ trên trục X
Vy V Điện áp đầu vào cấp cho động cơ trên trục Y
bx
K V/(rad/sec) Hằng số sức điện động trên trục X
by
K V/(rad/sec) Hằng số sức điện động trên trục Y
ax
R  Điện trở động cơ trên trục X
ay
R  Điện trở động cơ trên trục Y
x /sec
m Vận tốc của bóng theo trục X
y /sec
m Vận tốc của bóng theo trục Y
x
 rad Góc của đĩa theo trục X
y
 rad Góc của đĩa theo trục Y
x
 rad/sec vận tốc góc của đĩa theo trục X

8
y
 rad/sec vận tốc góc của đĩa theo trục Y
Khi mô hình hóa hệ thống, ta chắc chắn là chuyển động của bóng trên đĩa là
chuyển động lăn bỏ qua chuyển động trượt. Khi đó, ta có thể đơn giản việc mô hình
hóa hệ thống.
Sơ đồ động học của hệ thống bóng trên đĩa:
Hình 2-1: Sơ đồ động học của hệ thống bóng trên đĩa
Ta sử dụng phương pháp Euler – Lagrange để mô hình hóa hệ thống.
Phương trình Euler – Lagrange như sau
L L
Q
t q
q
 
  
   
 
 

 
(2-1)
Trong đó: L = K – V (2-2)
L: hàm Lagrange.
K: Động năng.
V: Thế năng.
Q: Lực tổng quát.
q: Tọa độ tổng quát.
Điểm gốc

9
, 0 0
T T
x y x y
q x y Q
   
   
 
   
Trong hình bên dưới, Ta giữ trục '
x̂ cố định, xoay trục ' '
ˆ
ˆ ,
z y quanh trục '
x̂ 1 góc
x
 , ta thu được tọa độ trục ' ' '
ˆ ˆ ˆ
ax y z theo tọa độ trục '
ˆ ˆˆ
ax yz là ma trận chuyển đổi theo
công thức (2-3)
'
x̂
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
. . . 1 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
. . . 0 cos sin
0 sin cos
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
. . .
x x x
x x
x x y x z x
R x y y y z y
x z y z z z
 
 

 
    
   
  
 
   
   

    
 
 
(2-3)
Tiếp theo, Ta giữ trục '
ŷ cố định, xoay trục ' '
ˆ ˆ
,
x z quanh trục '
ŷ 1 góc y
 , ta thu
được tọa độ trục ' ' '
ˆ ˆ ˆ
ax y z theo tọa độ trục '
ˆˆ ˆ
axy z là ma trận chuyển đổi theo công thức
(2-4)

10
Hình 2-3: Quay hệ thống bóng trên đĩa theo trục '
ŷ
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
. . . cos 0 sin
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
. . . 0 1 0
sin 0 cos
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
. . .
y y
y
y y
x x y x z x
R x y y y z y
x z y z z z
 
 

 
    

   
  
 
   
   
    
 
 
(2-4)
Khi quay một lượt 2 trục '
x̂ , '
ŷ theo 2 góc x
 , y
 , ta có ma trận chuyển đổi như
sau:
cos 0 sin 1 0 0
0 1 0 0 cos sin
sin 0 cos 0 sin cos
y y
x x
y y x x
x x
y y
z z
 
 
   

 

     
 
     

  
     
  
     

     
 
cos sin sin cos sin
0 cos sin
sin sin cos cos cos
y x y x y
x x
y x y x y
x x
y y
z z
    
 
    

 

   
 
   

   
   
  
   

   
 
(2-5)
cos 0 sin
sin sin cos sin cos
cos sin sin cos cos
y y
x y x x y
x y x x y
x x
y y
z z
 
    
    
  
   
 
   

  
 
   
 

   

   
 
Theo phương trình (5), tọa độ của bóng trên đĩa là  , ma trận chuyển đổi là 
ta có:
.
x
y
z


 
 
  
 

 
 
(2-6)

11
Trong đó:
cos 0 sin
, sin sin cos sin cos
cos sin sin cos cos
y y
x y x x y
x y x x y
x
y
R
 
     
    
 
 
 
 
   
 
 
 
  
   
Khi bóng lăn trên đĩa, ta có phương trình sau:
     
ˆ ˆ ˆ
t x t x y t y Rz
    (2-7)
Trong hệ tọa độ quay:
1
0 sin
sin 0 cos
cos 0
x y y
x y x y
y x y
  
   
  

 

 
     
 
 

 
(2-8)
Ta có  là ma trận trực giao và
1

    cho ma trận đối xứng lệch, sự liên
hệ giữa ma trận  và vận tốc gốc: (kèm theo phục lục A)
0
0
0
c b
c a
b a
 
 
 

 
 
  
 
 

 
(2-9)
Do đó vận tốc góc quay của bóng:
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
cos sin
p a b c
p y x y y x
x y z
x y z
   
     
  
   
(2-10)
Xét tốc độ quay và tịnh tiến của bóng:
ˆ ˆ p
xx yy w
 
   
     
ˆ ˆ ˆ
sin cos sin cos
y x y x y y y y x
R x x x y R x y x y z
        
 
         
 
(2-11)
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
b p
x y z
    
    (2-12)

12
Trong đó 2
1,
 , 3
 , 1 2
,
w w và 3
w là vận tốc góc của bóng trên đĩa, động năng của hệ
thống là:
Động năng chuyển động tịnh tiến của bóng trên đĩa 2
1
2
m

Động năng chuyển động quay của bóng
2
1
2
b b
J w

Động năng quay của hệ thống  
2 2
1
2
x x y y
J J
 
 
Tổng động năng:
 
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
b b x x y y
K m J J J
   
    (2-13)
Khi xét chuyển động là tịnh tiến không có lăn trượt, ta có:
1 2 3
, , 0
y x
w w w
R R
    (2-14)
Thay phương trình (2-11), (2-12), (2-14) vào (2-13), ta được:
     
2 2 2
1
sin cos sin cos
2
y x y x y x y y y x
K m R x x y R x x y
         
 
        
 
 
 
2 2
2 2
1 1
cos
2 2
b y x y x x y y
y x
J J J
R R
    
 
   
      
 
   
   
 
 
(2-15)
Từ phương trình (2-5), chiều cao của bóng so với điểm gốc:
cos 0 sin
sin sin cos sin cos
cos sin sin cos cos
y y
x y x x y
x y x x y
x x
y y
z R
 
    
    
  
   
 
   
  
 
   
 

   

   
 
     
cos sin sin cos cos
x y x x y
z x y R
    

     (2-16)
Ta có thế năng V:
cos sin sin cos cos
x y x x y
V mg x y R
    
 
   
  (2-17)

13
Thế phương trình (15), (17) vào phương trình Euler-Lagrange (2), ta được:
     
2 2 2
1
sin cos sin cos
2
y x y x y x y y y x
L m R x x y R x x y
         
 
        
 
 
  
2 2
2 2
1 1
cos cos sin
2 2
b y x y x x y y x y
y x
J J J mg x
R R
      
 
   
        
 
   
   
 
 
sin cos cos
x x y
y R
   
   (2-18)
Thay phương trình (2-18) vào phương trình Euler- Lagrange sau:
0
0
x
x x
y
y y
L L
t x x
L L
t y y
L L
t
L L
t

 

 
  
 
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
 
 
  
 
 
2 2 2 2
cos sin sin sin cos sin cos
x y x y x y x y x x y x x
L
m x g x y R y
x
            

     

 
2
sin sin sin cos
y y y x x y x y x x
L
m y g R x x
y
         

    

 
sin sin cos sin cos
y x y y x
x
L
mg x y R
    


   

 2 2 2 2
cos sin cos sin cos cos
y x x y x x y x x y x
y
L
m R x Ry yx
          


    

2 2 2 2
sin sin sin cos sin
y x y x y x y x y x x
Ry xy Rx Rx xy
          
    
 
sin cos cos cos sin
b
y x y x y x
J
y mg x R
R
     
   
 
2
sin sin cos
b b
x y x y x y x x
J J
L
m x mR m y y y
t x R
R
       
     
      
   
     
   
2
cos cos sin sin cos
b b
y x y x x y x y x y x x
J J
L
m y mR m x x x
y R
R
           
    
       
   
    

14
   
2
cos cos sin 2 cos sin
b
x b x y x x x y x x x
x
J
L
J J y y R
t R
        

 
     
 
 2 2 2 2 2 2
2 cos 2 cos sin sin
y y y x y x x x y x
m yy y R R x
         
    
2 2 2
2 sin 2 cos sin sin cos sin
y x y x x x x x x x x
xx x Ry Ry yx
          
    
2
cos sin 2 cos sin 2 cos sin sin
x x y x x y x x x x
Ry xy Rx Rx xy
         
    

2 2
2 cos 2 sin 2 cos cos
y x x y x x x x x x
Rx Rx xy xy
         
   
   2
2 sin sin
b
x b x x x y x y x
y
J
L
J J mR x m xx x Ry Ry
t R
      

   
       
 
   

2
cos os os os sin
y x x y x y x y x y x x x
Ry yx c xy c xy c xy R
            
     
(2-19)
Phương trình động học có thể thu được:
 2
2
sin sin cos sin
b b
x y x y x x x x
J J
m x mR m y y x g
R
R
       
   
      
   
   

2 2
sin cos sin 0
â
y x y x x x
x y R
     
   
 
2
2
cos cos (2 sin sin
2 cos sin sin ) 0
b b
y x y x x y x y x
y x x y y y x x
J J
m y mR m x x
R
R
x y g R
        
       
   
     
   
   
    
2
2 2 2 2 2 2
2 2
( cos ) ( cos sin 2 cos sin ) (2
cos 2 cos sin sin 2 sin sin
2 cos sin sin cos cos
b
x b y x y y y x y y y x
x x y x y y y x y x y y
x y y y y y y y y
J
J J y y R m yy
R
y R R x xx yx
x Ry Ry Ry
         
           
        
     
     
   
2 2
2
sin cos
2 cos sin 2 cos sin 2 cos 2 sin
2 cos sin ) ( sin sin cos sin cos )
y y y
x y y x y y x y y x y y
y y y y x y x x y x
xy xy
Rx Rx Rx Rx
xy xy mg x y R
  
           
         
 
   
     
2
2 2 2 2 2
2
( ) ( ) sin (2 2 sin sin
2 cos cos cos sin cos sin sin
cos ) ( cos cos cos sin )
        
            
      
       
     
    
b b
y b y x y y y x y x y
x y x y y x y y x y y x y
x y x y x y
J J
J J mR x y m xx x Ry Ry
R R
xy xy R R x Rx
Rx mg x R  
2 20

y

15
Ở đây, toàn bộ hệ thống bóng trên đĩa là 1 mô hình phi tuyến phức tạp nên việc
thiết kế hệ thống hết sức khó khăn. Bình thường, đối với hoạt động của hệ thống
bóng trên đĩa ta chỉ quan tâm đến sự di chuyển xung quanh 2 trục x, y nên khi tách
sự di chuyển ở từng trục x, y thì mô hình gồm 2 hệ thống bóng và thanh.
Xét hệ thống bóng và thanh cho trục Y ta có mô hình toán như sau:
Hình 2-4: Hệ thống bóng và thanh.
Ta có phương trình trạng thái của hệ thống bóng và thanh
2
2
sin 0
b b
y y y
J J
m y my mg
R
R
  
 
    
 
 
 
2
2 cos
b
y b y y y y
J
J J my myy y mgy
R
   
      (2-21)
Trong hệ thống bóng và thanh do góc quay nhỏ nên thông số b
J
R
nhỏ hơn nhiều
so với các thông số khác. Vì vậy bỏ qua thông số này và phương trình (2-21) được
rút gọn lại:
2
2
sin 0
b
y y
J
m y my mg
R
 
 
   
 
 
 
2
2 cos
y b y y y y
J J my myy mgy
   
     (2-22)
Như đã trình bày ở trên hệ thống bóng trên đĩa gồm 2 hệ thống bóng và thanh
cho 2 trục x,y nên phương trình trạng thái cho hệ thống bóng trên đĩa khi kết hợp
phương trình (2-22) và (2-20) như sau:

16
 
2
2
2
sin 0
2 cos sin
b
x x
x b x x x x x
J
m x mx mg
R
J J mx mxx mgx mgR
 
    
 
   
 
 
     
(2-23)
 
2
2
2
sin 0
2 cos sin
b
y y
y b y y y y y
J
m y my mg
R
J J my myy mgy mgR
 
    
 
   
 
 
     
(2-24)
Hình 2-5: Liên kết các khớp nối với đĩa.
Các phương trình năng động học trong trục x và trục y giống hệt nhau.
Ngoài ra, các bộ chấp hành cơ chế điều khiển nghiêng của tấm trong trục x và trục y
giống hệt nhau. Trong phần sau đây, chỉ có bóng, hệ thống thanh và cơ chế truyền
động trong trục x sẽ được thảo luận. Độ nghiêng của tấm là một mối liên kết các
thanh như thể hiện trong hình 2-5, trong đó τx
’
là mô-men xoắn được tạo ra bởi động
cơ, và là mô-men xoắn τx tác dụng lên tấm. Dựa trên phân tích lực, ta có :
(2-25)
Góc x và góc  đủ nhỏ để l.sinx = d.sin. Từ đó có thể suy ra :

17
Vì l = d nên:
Từ phương trình (2-25) có thể viết lại là:
2 2
cos , cos
x x x y y y
     
 
  (2-26)
Quan hệ giữa moment xoắn động cơ với góc  của bảng và điện áp cấp cho
động cơ (chứng minh sau)
Hình 2-6: Sơ đồ hợp giảm tốc động cơ.
2 2
g b g b
a
a a
K K K K
V
R R
 
  (2-27)
Thay phương trình (2-26), (2-27) vào phương trình (2-23), (2-24) ta được:
2
2
( ) sin 0
b
x x
J
m x mx mg
R
 
   
2
2
( ) sin 0
b
y y
J
m y my mg
R
 
   
2 2
2 2
( ) 2 cos sin ( )cos
g bx g bx
x b x x x x x x x
ax ax
K K K K
J J mx mxx mgx mgR V
R R
     
      
2 2
2 2
( ) 2 cos sin ( )cos
g by g by
y b y y y y y y y
ay ay
K K K K
J J my myy mgy mgR V
R R
     
      
(2-28)
Thể hiện dạng ma trận:
     
,
M q q V q q q G q Q
   (2-29)

18
Trong đó:
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 cos 0
0 0 cos
 


 
 
 
  
 

 
 
 

  
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
 


 
 
 

 
 
T
x y
b
b
x b
x b
x
y
g bx
x x
ax
g by
y y
ay
q x y
J
m
R
J
m
M
R
J J my
J J mx
mx
my
K K
mx mxx
V
R
K K
mx myy
R
sin
sin
( cos sin )
( cos sin )


 
 

 
 

 

 

 

 
 
x
y
x x
y y
mg
mg
G
mg x R
mg y R
2
2
2
2
0
0
( cos )
( cos )


 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
g bx
x x
ax
g by
y y
ay
K K
V
Q
R
K K
V
R
Đặt biến trạng thái:
1 2 3 4
1 2 3 4
 
 
   
   
x x
y y
x x x x x x
y y y y y y
(2-30)
Phương trình không gian trạng thái của hệ thống cho trục X:

19
1 2
2
2 1 4 3
2 2
3 4
2 2
2
4 4 3 1 2 4 1 3 3
2
1
sin
1
( )cos 2 cos sin
b b
g bx g bx
x
ax ax
x b
x x
m mg
x x x x
J J
m m
R R
x x
K K K K
x V x x mx x x mgx x mgR x
R R
J J mx

 
 

 
    
 
   
 
(2-31)
Phương trình không gian trạng thái của hệ thống cho trục Y:
1 2
2
2 1 4 3
2 2
3 4
2 2
2
4 4 3 1 2 4 1 3 3
2
1
sin
1
( )cos 2 cos sin
b b
g by g by
y
ay ay
y b
y y
m mg
y y y y
J J
m m
R R
y y
K K K K
y V y y my y y mgy y mgR y
R R
J J my

 
 

 
    
 
   
 
(2-32)
Đặt:
1 2
1
1
( )
x b
C x
J J mx

 
1 2
1
1
( )
y b
D y
J J my

 
2
b
m
E
J
m
R


Phương trình (2-31), (2-32) rút gọn lại như sau:
1 2
2
2 1 4 3 '
1
3 4
4
0
( sin ) 0
0
0 1
x x
x E x x g x
u
x x
x
     
     

     
 
     
     
   
  (2-33)
Với

20
2 2
' 2
1 1 4 3 1 2 4 1 3 3
( ) ( )cos 2 cos sin
g bx g bx
x
ax ax
K K K K
u C x V x x mx x x mgx x mgR x
R R
 
    
 
 
 
1 2
2
2 1 4 3 '
2
3 4
4
0
( sin ) 0
0
0 1
y y
y E y y g y
u
y y
y
     
     

     
 
     
     
   
  (2-34)
Với
2 2
' 2
2 1 4 3 1 2 4 1 3 3
g by g by
x
ay ay
K K K K
u D y V y y my y y mgy y mgR y
R R
 
    
 
 
 
Để thuận lợi cho việc tính điện áp cấp cho động cơ ta đặt
1
2
x
y
u V
u V


Ta có:
 
 
 
2
1 1 1 4 3 1 2 4 1 3 3
2
1 3
1
cos cos sin
cos
x
x
u u C x G x x Hx x x Ix x J x
C x F x
  
    
 
(2-35)
 
 
 
2
2 2 1 4 3 1 2 4 1 3 3
2
1 3
1
cos cos sin
cos
y
y
u u D y G y y Hy y y Iy y J y
D y F y
  
    
 
(2-36)
Trong đó:
2 2 2 2
, , , , 2 , ,
g bx g bx g by g by
x x y y
ax ax ay ay
K K K K K K K K
F G F G H m I mg J mgR
R R R R
      

21
CHƢƠNG 3:
THIẾT KẾ VÀ THỰC HIỆN THUẬT TOÁN
ĐIỀU KHIỂN BÓNG TRÊN ĐĨA.
3.1 GIỚI THIỆU:
Hệ thống bóng trên đĩa là một hệ thống phi tuyến khó kiểm soát. Khi quả bóng
lăn tự do theo hai chiều, do các yếu tố phi tuyến và các yếu tố không chắc chắn của
mô hình, chuyển động của quả bóng dễ dàng bị vọt lố làm cho mô hình không ổn
định và không kiểm soát được mục tiêu mong muốn. Do đó, việc sử dụng 1 bộ điều
khiển truyền thống, chẳng hạn như bộ điều khiển PID, làm cho hệ thống khó kiểm
soát. Khi đó, ta sử dụng bộ điều khiển LQR (Linear Quadratic Regulator) để kiểm
soát được cân bằng của hệ thống, ngoài ra việc sử dụng bộ điều khiển cuốn chiếu
(Backstepping Control) giúp cho hệ thống cân bằng, ổn định và đạt được quỹ đạo
mong muốn.
3.2 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR CHO HỆ THỐNG BÓNG
TRÊN ĐĨA:
3.2.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT LQR:
Bộ điều khiển phản hồi không gian trạng thái (state space feedback control) được
thực hiện theo 2 cách: Thứ nhất là sử dụng phương pháp đặt cực. Thứ hai là sử dụng
phương pháp điều khiển tuyến tính hóa LQR. Phương pháp đặt cực chủ yếu thông
qua việc sử dụng các biến trạng thái phản hồi sau khi hệ thống ổn định để điểu khiển
cực vòng kín cho các vị trí mong muốn. Phương pháp tuyến tính hóa LQR kiểm soát
được giá trị phản hồi tối ưu K để hệ thống cân bằng ổn định và kiểm soát năng
lượng tối thiểu. Chẳng hạn phương trình trạng thái của hệ thống (State Equation)
như (3-1):
     
x t Ax t Bu t
  (3-1)
Hệ thống điều khiển tối ưu được thể hiện ở hình (3-1), khi thời gian 0
t  , hệ
thống điều khiển mong muốn (System Control Input) u(t), khi thời gian t , tín

22
hiệu x(t) tiến về 0, ta cần tối ưu hóa thiết kế điều khiển để đạt được mục tiêu điều
khiển.
Hình 3-1: Sơ đồ tối ưu hóa hệ thống điều khiển.
Định nghĩa hàm chỉ tiêu chất lượng:
       
0
T T
J x t Qx t u t Ru t dt

 
 
 
 (3-2)
Từ phương trình (3-2) ta có Q và R là ma trận trọng số của x(t) và u(t).
0
T
Q Q
  , ma trận bán xác định dương.
0
T
R R
  , ma trận xác định dương.
Tìm ma trận Q và R sao cho hàm chỉ tiêu chất lượng J nhỏ nhất, từ đó đạt được
mục tiêu điều khiển ổn định, và được gọi là điều khiển LQR. Ta có tín hiệu điều
khiển như sau:
   
u t Kx t
  (3-3)
Trong đó 1 T
K R B P

 , với p là nghiệm của phương trình Riccati từ phương trình
(3_4)
1
0
T T
A P AP PBR B P Q

    (3-4)
Chọn Q, R để tìm ra ma trận K kiểm soát tín hiệu điều khiển u(t) cho hệ thống
hoạt động hiệu quả. Từ đó ta thiết kế bộ điều khiển cân bằng LQR cho hệ thống
bóng trên đĩa từ phương trình không gian trạng thái.

23
3.2.2. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR CHO HỆ THỐNG
BÓNG TRÊN ĐĨA:
Định nghĩa biến cho hệ thống bóng trên đĩa như phương trình (3-5):
 
1 2 3 4 5 6 7 8
T
T
x x y y
x x x x x x x x x x x y y    
 
    (3-5)
Từ phương trình (2-27) ta có:
1 2
x x

2
1 6 5
2
2 2
sin
b b
mx x mg x
x
J J
m m
R R
 
 
3 4
x x

2
3 8 7
4
2 2
sin
b b
mx x mg x
x
J J
m m
R R
 
 
5 6
x x

   
2
2 2 2
6 5 5 6 1 2 6 1 5 5
2
1
1
cos cos 2 cos sin
bx bx
g x g
ax ax
x b
K K
x K x V K x x mx x x mgx x mgR x
R R
J J mx
 
    
 
   
7 8
x x

   
2
2 2 2
8 7 7 8 3 4 8 3 7 7
2
3
1
cos cos 2 cos sin
by by
g y g
ay ay
y b
K K
x K x V K x x mx x x mgx x mgR x
R R
J J mx
 
    
 
   
 
(3-6)
Phương pháp thiết kế bộ điều khiển LQR chỉ áp dụng cho các hệ thống tuyến
tính, để thiết kế bộ điều khiển LQR cho hệ thống cân bằng bóng trên đĩa ta cần
tuyến tính hóa hệ thống phi tuyến này. Hệ thống bóng trên đĩa chỉ cân bằng ở vị trí
trung tâm nên các góc x
 , y
 gần như bằng 0. Như vậy, ta có thể xem các giá trị sau
là gần đúng: sin x x
 
 , sin y y
 
 , cos 1
x
  , cos 1
y
  ,   0
x x
   ,   0
y y
   ,
0
x  , 0
y  , 0
x  , và 0
y  . Ta có phương trình sau.

24
 
1 2
2 1 5
3 4
4 1 7
5 6
6 2 3 4 6 5 1 6 5
7 8
8 7 8 9 8 5 3 6 7
x
y
x x
x Px
x x
x Px
x x
x P PV P x P x P x
x x
x P PV P x P x P x

 

 

   

 
   
 
(3-7)
Với:
1
2
b
mg
P
J
m
R


, 2
1
x b
P
J J


, 3
bx
g
ax
K
P K
R
 ,
2
2
4
bx
g
ax
K
P K
R
 , 5
P mg
 , 6
P mgR
 , 7
1
y b
P
J J


8
by
g
ay
K
P K
R
 ,
2
2
9
by
g
ay
K
P K
R

Ta có moment quán tính của quả bóng: 2
2
5
b
J mR
 , moment quán tính của đĩa
theo trục x:  
2
1
12
x p x
J m plate
 , moment quán tính của đĩa theo trục y:
 
2
1
12
y p y
J m plate
 , bảng (3-1) thể hiện các tham số của hệ thống tuyến tính bóng
trên đĩa.
Bảng 3-1: Bảng Tham số LQR của hệ thống bóng trên đĩa

25
Tham số Giá trị Đơn vị Tham số Giá trị
m 0.13 Kg 1
P 7
p
m 1.52 Kg 2
P 70.006
x
plate 0.335 m 3
P 0.0321
y
plate 0.265 m 4
P 0.009
R 0.0368 m 5
P 1.274
b
J 5
7.042 10
 2
.
kg m 6
P 0.0469
x
J 0.0142 2
.
kg m 7
P 111.5376
y
J 0.0089 2
.
kg m 8
P 0.0327
G 9.81 2
/sec
m 9
P 0.0092
g
K 4.5
bx
K 0.062 V/(rad/sec)
ax
R 8.6939 
by
K 0.0628 V/(rad/sec)
ay
R 8.6379 
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 7 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 7 0
0 0 0 0 0 1 0 0
89.1808 0 0 0 3.2819 0.6268 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 142.0989 0 0 0 5.2292 1.0312
x x
 
 

 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

26
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
2.2464 0
0 0
0 3.6491
x
y
V
V
 
 
 
 
 
 
 
  
   
 
 
 
 
 
 
(3-8)
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
y x
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
(3-9)
Chọn giá trị Q và R thích hợp:
25000 0 0 0 0 0 0 0
0 320 0 0 0 0 0 0
0 0 28000 0 0 0 0 0
0 0 0 220 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
Q
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
  (3-11)
0.0004 0
0 0.0004
R
 
  
 
(3-12)
Sau đó thực hiện thiết kế bộ điều khiển LQR trên Matlab, và nhận được phản hồi
tốt nhất với ma trận K:
3 3 3
3 3 3
7.9455 10 1.9011 10 0 0 1.2474 10 59.8093 0 0
0 0 8.4056 10 1.8434 10 0 0 1.1929 10 55.8769
K
 
    
  
    
 
(3-13)

27
3.2.3. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG LQR CHO HỆ THỐNG BÓNG
TRÊN ĐĨA:
Từ phương trình không gian trạng thái (công thức 3-6), ta có sơ đồ khối mô
phỏng bộ điều khiển LQR cho hệ thống bóng trên đĩa ở hình 3-2 và hình 3-3.
Sơ đồ mô phỏng tuyến tính hóa của hệ thống dùng bộ điều khiển LQR:
Hình 3-2: Sơ đồ khối mô phỏng tuyến tính hóa dùng bộ điều khiển LQR.
Chọn giá trị ban đầu cho mô phỏng    
, , , 0.07,0.09,0,0
x y
x y     ta có kết quả
mô phỏng:
 Vị trí và vận tốc của bóng trên trục X :

28
   
, , , 0.07,0.09,0,0
x y
x y     của phương trình tuyến tính hóa.
 Vị trí và vận tốc của bóng trên trục Y:

29
Hình 3-4: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR với
   
, , , 0.07,0.09,0,0
x y
x y     của phương trình tuyến tính hóa.
Sơ đồ mô phỏng phương trình không gian trạng thái của hệ thống dùng bộ điều
khiển LQR:

30
Hình 3-5: Sơ đồ khối mô phỏng phương trình trạng thái dùng bộ điều khiển LQR

31
, , , 0.07,0.09,0,0
x y
x y     ta có kết quả
mô phỏng:
   
, , , 0.07,0.09,0,0
x y
x y     của phương trình trạng thái.

32
   
, , , 0.07,0.09,0,0
x y

33
Chọn ngõ vào tín hiệu đặt là sóng sin : 0.07sin4
x t

 cho vị trí bóng trên trục X
ta được kết quả mô phỏng:
   
, , , 0.07sin4 ,0.09,0,0
x y
x y t
  
 của phương trình trạng thái.

34
   
, , , 0.07sin4 ,0.09,0,0
x y
x y t
  
 của phương trình trạng thái.

35
Chọn ngõ vào tín hiệu đặt là sóng sin : 0.07sin 4
y t

 cho vị trí bóng trên trục Y
ta được kết quả mô phỏng:
   
, , , 0.07,0.09sin4 ,0,0
x y
x y t
  
  của phương trình trạng thái.

36
   
, , , 0.07,0.09sin4 ,0,0
x y
x y t
  
  của phương trình trạng thái.

37
Qua kết quả mô phỏng hệ thống bóng trên đĩa sử dụng bộ điều khiển LQR cho
thấy hệ thống vẫn ổn định tại tín hiệu đặt nhưng tín hiệu ra không bám sát tín
hiệu đặt. Hệ thống ổn định là có thể chấp nhận được. Như vậy bộ điều khiển
LQR chỉ đáp ứng tương đối cho hệ thống phi tuyến bóng trên đĩa, cần áp dụng
thuật toán tốt hơn bộ điều khiển tuyến tính hóa LQR này.
3.3 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN BACKSTEPPING CHO HỆ
THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA:
Bộ điều khiển thích nghi BackStepping về cơ bản là thiết kế thêm một tích hợp
trên mỗi biến trạng thái. Ý tưởng thiết kế liên quan đến các trạng thái tiếp theo như
điều khiển ảo, và điều khiển ảo có thể giúp ổn định trạng thái hiện tại, vì thế trạng
thái sau sẽ kiểm soát trạng thái trước đó, và cứ tiếp tục như vậy. Bộ điều khiển trạng
thái cuối cùng sẽ kiểm soát toàn bộ hệ thống. Dựa trên khái niệm này, hệ thống sẽ
trở thành một cơ cấu phản hồi mới, và được gọi là một hệ thống phản hồi nghiêm
ngặt thông số (parametric-strict-feedback). Trong tình trạng như vậy, hệ thống sẽ áp
dụng một thủ tục đệ quy để áp dụng hàm Lyapunov liên tục khác nhau để chứng
minh sự ổn định hệ thống và giải quyết điều khiển. Vì vậy, khi một hệ thống phi
tuyến được chuyển thành dạng phản hồi thông số nghiêm ngặt (parametric-strict-
feedback), luật điều khiển thích nghi Backstepping có thể được áp dụng cho việc
thiết kế bộ điều khiển.
3.3.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT:
Xét hệ thống phi tuyến theo thời gian:
 
1 2 1 1
x x x

 
(3-14a)
 
2 3 2 1 2
,

 
x x x x (3-14b)
.........
 
1 1 1 2 1
, ,....,
n n n n
x x x x x

  
  (3-14c)
   
1 2 1
, ,...., ,
n n n n
x x u x x x x
  
 
(3-14d)

38
Với xi là biến trạng thái,  
1 2
, ,....,
T
n
x x x x
 là vector trạng thái với   0
x
  , x
 là
một hệ số của hàm điều khiển,  
1 2
, ,...., , 1,2,3,...,
i i
x x x R i n
   . Phần này sẽ thảo
luận về quy trình thiết kế bộ điều khiển Backstepping theo thời gian với hệ thống
phi tuyến. Việc thiết kế bộ điều khiển Backstepping dựa trên lý thuyết ổn định
Lyapunov, một khi bộ điều khiển thu được, sự ổn định của hệ thống có thể chấp
nhận là tốt. Quá trình thiết kế được chia thành nhiều bước, và mỗi bước có 1 qui
chuẩn riêng và bộ điều khiển của hệ thống sẽ thu được ở bước cuối cùng.
Hình 3-12: Sơ đồ thuật toán điều khiển Backstepping.
Hệ thống được mô tả bởi phương trình (3-14), với 1
x là ngõ ra hệ thống và d
y là
tín hiệu đặt, các bước tiến hành thiết kế như sau:
 Bƣớc 1:
Giả sử, 1
 là hàm ổn định, và hàm này có thể ổn định hệ thống con của phương
trình (3-14a) dưới điều kiện 2 1
x 
 . Nhưng 2
x là ngõ vào điều khiển ảo và 2 1
x 
 .
Một hàm báo sai số 1
e cần được xác định để phù hợp với yêu cầu này:
1 1 d
e x y
  (3-15a)
2 2 1
e x 
  (3-15b)
Trong phương trình (3-15a), nếu 1
e tiến về 0 thì d
y có thể được bám bởi 1
x . Bằng
cách đạo hàm 1
e theo thời gian:
1 1 2 1 2 1 1
d d d
e x y x y e y
  
        
Để chứng minh sự ồn định của phương trình trên, chọn hàm Lyapunov 1
V :

39
2
1 1
1
2
V e
 , và lấy đạo hàm theo thời gian:
 
1 1 1 1 2 1 1 d
V e e e e y
 
     (3-16)
Giả sử hàm ổn định 1
 :
1 1 1 1 d
c e y
 
    , với 1 0
c  .
Và thay thế vào phương trình (3-16), ta có:
2
1 1 1 1 2
V c e e e
   (3-17a)
1 1 1 2
e c e e
   (3-17b)
Vì 2
x là ngõ vào điều khiển ảo, và một hệ số bổ sung 1 2
e e xuất hiện trong phương
trình (3-17a), vì thế cho 1
V không xác định và hệ thống con không ổn định. Hệ số
1 2
e e phải được loại bỏ để chắc rằng 1
V là xác định âm.
 Bƣớc 2:
Giả sử rằng, hệ thống con của 2
x có thể ổn định dưới điều kiện 3 2
x 
 , với hàm
ổn định 2
 được tìm thấy. Nhưng thật ra, 3
x là ngõ vào điều khiển ảo, và 3 2
x 

Vì thế, một hàm báo sai số 3
e được định nghĩa như sau:
3 3 2
e x 
  (3-18)
Trong phương trình này, nếu 3
e tiến về không thì hệ thống con của 2
x ổn định.
Bằng cách đạo hàm 2
e theo thời gian:
2 2 1
e x 
 
1 1 1
3 2 1
1
1 1 1 1
3 2 2 1
1 1
1 1 1 1
3 2 2 2 1
1 1
d d
d d
d d
d d
d d
d d
x x y y
x y y
x x y y
x x y y
e x y y
x x y y
  

   
 
   
  
  
    
  
   
     
   
   
      
   
(3-19)
Để ổn định hệ thống con của 2
x bằng cách chọn hàm Lyapunov 2
V :

40
2
2 2 1
1
2
V e V
  , sau đó đạo hàm 2
V theo thời gian ta có:
2 2 2 1
V e e V
 
2 1 1 1 1
1 1 2 3 2 3 2 2 2 1
1 1
d d
d d
c e e e e e x y y
x x y y
   
  
 
   
         
 
   
 
(3-20)
Ta định nghĩa hàm ổn định 2
 :
1 1 1 1
2 2 2 1 2 2 1
1 1
d d
d d
c e e x y y
x x y y
   
  
   
       
   
, với 2 0
c  .
Cuối cùng phương trình (3-19) và (3-20) được viết lại như sau:
2 2 2 1 3
e c e e e
    (3-21)
2 2
2 1 1 2 2 2 3
V c e c e e e
    (3-22)
Từ phương trình (3-22), 2
V không xác định, bước tiếp theo là loại bỏ hệ số 2 3
e e .
 Bƣớc 3:
Giả sử rằng, hàm ổn định 3
 được tìm thấy với hệ thống con của 3
x là ổn định
dưới điều kiện 4 3
x 
 . Thật ra, 4
x là ngõ vào điều khiển ảo, và 4 3
x 
 . Vì thế, một
hàm báo sai số 4
e được định nghĩa như sau:
4 4 3
e x 
  (3-23)
Trong phương trình này, nếu 4
e tiến về không thì hệ thống con của 3
x ổn định.
Bằng cách đạo hàm 3
e theo thời gian:
3 3 2
e x 
 
2 2 2 2 2
4 3 1 2
1 2
d d d
d d d
x x x y y y
x x y y y
    

    
      
    
2 2 2 2 2 2 2
4 3 2 1 3 2
1 1 2 2
d d d
d d d
x x x y y y
x x x x y y y
      
  
      
        
      
2 2 2 2 2 2 2
4 3 3 2 1 3 2
1 1 2 2
d d d
d d d
e x x y y y
x x x x y y y
      
   
      
         
      
(3-24)

41
Để chứng minh sự ổn định của hệ thống con 1 2
,
e e và 3
e , chọn hàm Lyapunov 3
V :
2
3 3 2
1
2
V e V
  (3-25)
Sau đó lấy đạo hàm phương trình (3-25) và lấy phương trình (3-22) và (3-24)
thay thế vào phương trình (3-27) ta được:

2 2 2
3 3 3 2 1 1 2 2 3 4 3 2 3 3 2
1
2 2 2 2 2 2
1 3 2
1 2 2

 
     
 

         


     
      
      
d d d
d d d
V e e V c e c e e e e e x
x
x y y y
x x x y y y
(3-26)
Chọn hàm ổn định 3
 :
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 3 2 1 3 2
1 2 2 2
d d d
d d d
c e e x x y y y
x x x x y y y
      
   
      
          
      
(3-27)
Với 3 0
c  , từ phương trình (3-24) và (3-26) ta có thể sắp xếp lại như sau:
2 2 2
3 1 1 2 2 3 3 3 4
V c e c e c e e e
     (3-28)
3 3 3 3 4
e c e e e
    (3-29)
Bởi vì 4
x là ngõ vào điều khiển ảo nên phương trình (4-28) chứa hệ số bổ sung
3 4
e e . Vì thế, 3
V không xác định, hệ thống đòi hỏi bước tiếp theo để loại bỏ hệ số
3 4
e e của phương trình (4-28).
 Bƣớc 4:
Hệ thống con của 4 5 4
x x 
  được ổn định nếu hàm ổn định 4
 được tìm thấy.
Do 5
x là ngõ vào điều khiển ảo và hàm 5 4
x 
 . Vì thế, một hàm báo sai số được
định nghĩa:
5 5 4
e x 
  (3-30)
Trong phương trình (3-30), nếu 5
e tiến về 0 thì hệ thống con của 4 5 4
x x 
 
được ổn định. Phương trình (3-23) được viết như sau:
4 4 3

 
e x

42
 
 
4
3 3 3 3 3 3 3
5 4 1 2 3
1 2 3
3 3 3 3 3 3
5 4 2 1 3 2 4 3
1 2 2 2 3 3
4
3 3 3 3
      

     
   
   
      
        
      
     
       
     
   
   
   
d d d d
d d d d
d d d d
d d d d
x x x x y y y y
x x x y y y y
x x x x
x x x x x x
y y y y
y y y y
(3-31)
Để chứng minh hệ thống con của 4 5 4
x x 
  ổn định ta chọn hàm Lyapunov 4
V
như sau:
2
4 4 3
1
2
V e V
  (3-32)
Sau đó lấy đạo hàm theo thời gian của phương trình trên, và lấy phương trình
(3-28) và (3-29) thế vào phương trình (3-32) ta có:

 
 
2 2 2
4 4 4 3 1 1 2 2 3 3 4 5 4 3 4 4
3 4
3 3 3
1 1
1 1
 
  

 
 
         

 
 
  
   
 
   
   
   
  k
k k d
k
k k
k k d
V e e V c e c e c e e e e e
x y
x x y
(3-33)
Đặt hàm ổn định 4
 :
 
 
3 4
3 3 3
4 3 4 4 4 1 1
1 1
k
k k d
k
k k
k k d
e c e x y
x x y
  
  
 
 
 
 
  
        
   
  
   
  (3-34)
Với 4 0
c  , phương trình (3-31) và (3-33) được viết lại như sau:
2 2 2 2
4 1 1 2 2 3 3 4 4 4 5
V c e c e c e c e e e
      (3-35)
4 3 4 4 5
e e c e e
    (3-36)
Bởi vì hệ số bổ sung 4 5
e e xuất hiện trong phương trình (3-35), vì thế 4
V không
xác định. Để chắc rằng 4
V xác định âm, hệ thống cần bước tiếp theo để loại bỏ hệ số
4 5
e e . Quá trình thiết kế được thực hiện tiếp theo bước i.
 Bƣớc i:(i<n)

43
Giả sử rằng hàm ổn định i
 có thể tìm thấy trong hệ thống, hệ thống con
1
i i i
x x 

  ổn định dưới điều kiện 1
i i
x 
  , nhưng 1
i i
x 
  . Vì vậy hàm báo sai số
được định nghĩa như sau:
1 1
i i i
e x 
 
  (3-37)
Giả sử 1
i
e  tiến về 0 và hệ thống con 1
i i i
x x 

  ổn định. Dựa vào điều kiện ta
có phương trình động được viết như sau:
1
 
 
i i i
e x
 
 
1
1 1 1
1 1 1
1 1
  
  

  
  
 
 
 
  
       
   
  
   
 
i i
k
i i i
i i i k k d
k
k k
k k d
e x y
x x y
Bằng cách thay thế phương trình (3-37) vào phương trình trên, ta được:
 
 
1
1 1 1
1 1 1
1 1
i i
k
i i i
i i i i k k d
k
k k
k k d
e e x y
x x y
  
  

  
  
 
 
 
  
       
   
  
   
  (3-38)
Để chắc rằng hệ thống ổn định ta chọn hàm Lyapunov
2
1
1
2
i i i
V e V
 
và đạo hàm theo thời gian ta có:
1

 
i i i i
V e e V
 
 
1 1
2 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
  
  
 
  
   
  
 
 
 
  
        
 
 
   
  
 
   
 
  
i i i
k
i i i
k k i i i i i i k k d
k
k k k
k k d
c e e e e e x y
x x y
Chọn hàm ổn định i
 :
 
 
1
1 1 1
1 1 1
1 1
i i
k
i i i
i i i i i k k d
k
k k
k k d
e c e x y
x x y
  
  

  
  
 
 
 
  
        
   
  
   
  , với 0
i
c  .
Hàm i
V có thể viết lại như sau:
1
2
1
1
i
i k k i i
k
V c e e e



  
 (3-39)
Từ phương trình (3-39), i
V không xác định, bước tiếp theo để cần loại bỏ hệ số
1
i i
e e  trong phương trình (3-39). Quá trình cứ tiếp tục cho đến khi xuất hiện bộ điều
khiển với hệ thông con n
x có thể ổn định. Khi điều kiện của n
x ổn định thì hệ thống

44
con 1
n
x  cũng ổn định. Giống như vậy, quá trình lặp đi lặp lại cho đến khi toàn bộ hệ
thống ổn định.
 Bƣớc n:
Đây là bước cuối cùng, xem xét lại biến sai số: 1
n n n
e x  
  và lấy đạo hàm theo
thời gian:
1
 
 
n n n
e x
   
 
1
1 1 1
1 1
1 1
  
  

  
 
 
 
 
  
      
   
  
   
 
n n
k
n n n
n k k d
k
k k
k k d
x u x y
x x y
(3-40)
Để chứng minh tính ổn định của phương trình (3-40), ta chọn hàm Lyapunov
2
1
1
2
n n n
V e V 
  , sau đó lấy đạo hàm theo thời gian ta có:
1

 
n n n n
V e e V
   
 
1 1
2 1 1 1
1 1 1
1 1 1
  
  
 
  
  
  
 
 
 
  
       
 
 
   
  
 
   
 
  
n n n
k
n n n
k k n n n k k d
k
k k k
k k d
c e e e x u x y
x x y
Vì vậy ta chọn bộ điều khiển:
   
 
1
1 1 1
1 1 1
1 1
1 n n
k
n n n
n n n n k k d
k
k k
k k d
u c e e x y
x x x y
  
 


  
  
 
 
 
 
  
 
        
 
   
  
 
 
 
 
  ,
với 0
n
c  Hàm n
1
2
1
0
n
n k k
k
V c e


  
 , n
V xác định âm.
Bây giờ ta có thể kết luận rằng, khi n
V xác định âm, hệ thống phi tuyến biến
đổi theo thời gian thì ổn định.
3.3.2. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN BACKSEPPING CHO HỆ
THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA:
Để giảm sự phức tạp của hệ thống đề xuất, vận tốc và gia tốc của đĩa được giới
hạn trong các thuật toán điều khiển. Từ các bài kiểm tra sơ bộ, ảnh hưởng của lực
nối xem như không đáng kể và có thể được bỏ qua, hệ thống đề xuất dường như là
hai hệ thống ball and Beam độc lập, và có thể được phân tách thành hai hệ thống
độc lập cho các trục X và trục Y như sau:

45
Hệ thống bóng trên đĩa cho trục X:
1 2
2
2 1 4 3 '
1
3 4
4
0
( sin ) 0
0
0 1
x x
x E x x g x
u
x x
x
     
     

     
 
     
     
   
  (3-41a)
với
2 2
' 2
1 1 4 3 1 2 4 1 3 3
g bx g bx
x
ax ax
K K K K
u C x V x x mx x x mgx x mgR x
R R
 
    
 
 
 
(3-41b)
Hệ thống bóng trên đĩa cho trục Y:
1 2
2
2 1 4 3 '
2
3 4
4
0
( sin ) 0
0
0 1
y y
y E y y g y
u
y y
y
     
     

     
 
     
     
   
  (3-41c)
với
2 2
' 2
2 1 4 3 1 2 4 1 3 3
g by g by
x
ay ay
K K K K
u D y V y y my y y mgy y mgR y
R R
 
    
 
 
 
(3-41d)
Hai hệ thống độc lập có đặc điểm giống nhau. Quá trình thiết kế bộ điều khiển
cho trục X tương tự như cho trục Y. Hệ thống bóng trên đĩa là một hệ thông phi
tuyến. Việc thiết kế bộ điều khiển không chỉ ở ổn định vòng kín mà còn theo dõi
hiệu suất. Theo thuyết ổn định Lyapunov là một bộ điều khiển thấp, bộ điều khiển
này được thực hiện qua 4 bước với quy trình điều khiển cụ thể. Bước cuối cùng sẽ
xác định được sự ổn định của hệ thống với thiết kế bộ điều khiển. Hệ thống bóng
trên đĩa không đáp ứng các ràng buộc của một hệ thống phản hồi thông số nghiêm
ngặt. Sau đây là các bước tiến hành thiết kế bộ điều khiển bóng trên đĩa trên trục X.

46
 Bƣớc 1: Định nghĩa biến sai số 1 1 dx
e x y
  và 2 2 1
e x 
  , với 1
 làm hàm
ổn định đầu tiên được xác định, dx
y là quỹ đạo đặt của hệ thống, đạo hàm theo thời
gian 1
e ta có:
 
1 1 2 2 1
dx dx dx
e x y x y e y

       .
Chọn hàm Lyapunov 2
1 1
1
2
V e
 , đạo hàm theo thời gian ta có:
 
1 1 1 1 2 1 dx
V e e e e y

    (3-42)
Đặt 1 1 1 dx
c e y
    , và 1 0
c  , ta có:
1 1 1 2
e c e e
   (3-43)
2
1 1 1 1 2
V c e e e
   , 1
V không xác định.
 Bƣớc 2: Theo kết quả tính toán của bước 1, cho 2 0
e  thì 1
V sẽ xác định âm.
vì vậy hàm Lyapunov được chọn :  
2 2
2 1 2
1
2
V e e
  bao gồm biến sai số 2
e , sau đó
đạo hàm theo thời gian 2
e ta có:
2
2 2 1 1 4 3 1
sin
e x Ex x Eg x
 
    
2 2
1 4 3 1 1 1 2
sin dx
Ex x Eg x c e c e y
     (3-44)
Bằng cách chọn hàm ổn định thứ 2, cho 3 2
sin x 
 , hệ thống con
2
2 1 4 3
sin
x Ex x Eg x
  có thể ổn định. Giả sử 3
sin x là 1 ngõ vào điều khiển ảo, biến
sai số được định nghĩa: 3 3 2
sin
e x 
  . Bằng cách thay thế 3
e vào phương trình
(3-44), 2
e trở thành:
 
2 2
2 1 4 3 2 1 1 1 2 dx
e Ex x Eg e c e c e y

     
Để chứng minh rằng hệ thống ổn định, đạo hàm theo thời gian 2
V :
2 1 1 2 2
V e e e e
 
 
2 2 2
1 1 2 3 1 4 2 2 1 2 1 2 1 1 dx
c e Ege e Ex x e e e Eg c e c e y

        
Đặt 2
1 2 1 2 1 1 2 2
dx
e Eg c e c e y c e

      , và 2 0
c  , sau đó hàm ổn định có thể thu
được:

47
 
2
2 2 2 1 2 1 1 1
1
dx
c e c e c e e y
Eg
      .
Như vậy 2
e và 2
2
2 1 4 3 2 2 1
e Ex x Ege c e e
   
2 2 2
2 1 1 2 2 2 3 1 4 2
V c e c e Ege e Ex x e
     , 2
V không xác định.
 Bƣớc 3: Quá trình lặp lại như bước trước đó, hàm Lyapunov 3
V được sửa đổi
để bao gồm biến sai số 3
e . Đạo hàm theo thời gian :
3 3 3 2
cos 
 
e x x
   
  
    
2
4 3 1 2 2 1 1
4 3 1 2 3 2 2 1
2 2
1 2 1 1 1 2 1 4
1
cos 1
1
cos
1
1
 
     
 
     



     

dx
dx
x x c c e c e y
Eg
x x c c Ege c e e
Eg
c e c e y c c x x
g
(3-45)
Chọn hàm ổn định thứ 3 lần nữa 4 3 3
cos
x x 
 , hệ thống con 3 4
x x
 có thể ổn
định. Giả sử 4 3
cos
x x là ngõ vào điều khiển ảo, biến sai số 4
e có thể định nghĩa:
4 4 3 3
cos
e x x 
  . Thay thế 4
e vào phương trình (3-45) và sắp xếp 3
e lại:
  
3 4 3 1 2 3 2 2 1
1
e e c c Ege c e e
Eg

      


    
2 2
1 2 1 1 1 2 1 4
1
1 dx
c e c e y c c x x
g

     

Để chứng minh rằng hệ thống ổn định, ta định nghĩa hàm Lyapunov lần nữa:
 
2 2 2
3 1 2 3
1
2
V e e e
   , và lấy đạo hàm theo thời gian:
3 1 1 2 2 3 3
  
V e e e e e e
     
 
2 2 2
1 1 2 2 3 4 3 2 3 1 2 3 2 2 1 1 2 1 1
2 2
1 4 2 1 2 1 4 3
1
1
1

 
 
               
 
 
 
  
dx
c e c e e e e Ege c c Ege c e e c e c e y
Eg
Ex x e c c x x e
g
Giả sử:
     
2
2 3 1 2 3 2 2 1 1 2 1 1 3 3
1
1 dx
Ege c c Ege c e e c e c e y c e
Eg
  
            
  ,

48
và 3 0
c  , ta có hàm ổn định 3
 :
     
2
3 3 3 2 1 2 3 2 2 1 1 2 1 1
1
1 dx
c e Ege c c Ege c e e c e c e y
Eg
  
           
 
Sau đó sắp xếp 3
e và 3
V , ta có:
  2
3 3 3 4 2 1 2 1 4
1
e c e e Ege c c x x
g
     
 
2 2 2 2 2
3 1 1 2 2 3 3 3 4 1 4 2 1 2 1 4 3
1
V c e c e c e e e Ex x e c c x x e
g
       
Kết quả 3
V là không xác định rõ ràng.
 Bƣớc 4: Bước cuối cùng định nghĩa hàm Lyapunov 4
V bao gồm biến sai số
4
e , sau đó lấy đạo hàm theo thời gian 4
V và 4
e :
2
4 4 3 4 3 3 3 1 3 4 3
cos sin cos sin
e x x x x x u x x x
 
    
  
    
3 3 2 1 2 3 2 2 1
4
2
1 2 1 1
1
1 dx
c e Ege c c Ege c e e
Eg
c e c e y
      



    
Để loại bỏ thành phần vi phân, phương trình trên sắp xếp lại thành:
   
2 2
4 1 3 4 3 1 2 3 3 3 4 2 1 2 1 4
1
cos sin
e u x x x c c c c e e Ege c c x x
g
 

         
 
 
   
2 2 2
1 1 2 2 1 4 3 2 2 1 3 3 2
1
1
 
         
 
 
Eg c c c c Ex x Ege c e e c e Ege
Eg
       
4
3
1 2 3 2 2 1 1 2 1 1 1 2
1 1 1
2
          

 dx
c c Ege c e e c c c c e e y
Eg Eg Eg
(3-46)
Để chứng minh hệ thống ổn định, chọn hàm Lyapunov như sau:
 
2 2 2 2
4 1 2 3 4
1
2
V e e e e
   
Theo phương (3-43)-(3-46), đạo hàm theo thời gian 4
V ta được.

49
 

 
   
   
2 2 2 2
4 1 1 2 2 3 3 4 1 3 4 3 1 2 3 4
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 1 3 3
2 2 3 3
1 2 3 2 1 2 1 2 2 1 1 2
4
2 2 4 2
1 1 2 2 1 1 1 4 2
cos sin
2
1
2 2 2
1 1
1 3 2 dx
V c e c e c e e u x x x c c c e
E g c c c c c c c c c e
Eg c c c c c c c c c c c e
Eg
Eg c c c c c e y Ex x e
Eg Eg

        
 
       
 
 
        
 
 

 
       

 
  
    
2 2 2
1 2 1 4 3 1 2 1 3 2 3 1 4 4
1 1
1
c c x x e E g c c c c c c x x e
g g
 
     
 
 
Để thuận tiện tính toán, một vài thông số phải được xác định trước như:
 

 
   
   
2
1 3 4 3 1 2 3 4
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 1 3 3
2 2 3 3
1 2 3 2 1 2 1 2 2 1 1 2
4
2 2 4
1 1 2 2 1 1
cos sin
2
1
2 2 2
1 1
1 3 2 dx
u x x x c c c e
Eg
Eg c c c c c e y
Eg Eg
 
    
 
       
 
 
        
 
 

 
       
 
   (3-47)
   
2
1 1 2 2 1 2 1 3 2 3
1 1
, 1
B c c B E g c c c c c c
g g
 
        
 
 
, và 2
1 4
x x
  . Do đó 4
V
được viết lại như sau:
2 2 2
4 1 1 2 2 3 3 4 2 1 3 2 4
V c e c e c e e E e B e B e
   
       
2 2 2 2 2
3 3
2 2
1 1 2 3 4 2 2 3 1 3 2 4
2 2 2 2
c c
c c
c e e e e e E e e B e B e
   
         
2
2
2 2
2 2 2
3 3
2 2
1 1 2 3 4 2 3 1
2 2 3
1 1
2 2 2 2 2
c c
c c E
c e e e e e E e B
c c c

  
 
 
         
 
 
   
2 2 2
2 2 2
4 4 2
1 4 2 4
3 4 4
1 1
2 2 2 2
c c B
B e B e
c c c

 
 
    
 
 
2
2 2
2 2 2
3 3
2 2 4
1 1 2 3 2 3 1 4 2
2 3 4
1 1 1
2 2 2 2 2
c c
c c c
c e e e e E e B e B
c c c
  
 
   
         
 
   
   
 
2 2
2
2
4 1 2
4 4
2 3 4
1
2 2
c B B
E
e e
c c c
 
 
 
    
 
 
   
Vì vậy, 4

50
2 2
2
2 2 2 2
3
2 4 1 2
4 1 1 2 3 4 4
2 3 4
1
2 2 2 2
c
c c B B
E
V c e e e e e
c c c
 
 
 
        
 
 
   
Bây giờ, để chắc chắn 4 0
V  , nếu 4
V thỏa 2 điều kiện sau:
i. 4
4 4 4 4
, 0
2
c
e c e c
     (3-48)
ii.
2 2
2
2 2
1 2
1 2 3 4
2 3 4
1
, , ,
2
m
B B
E
c e e e e
c c c

 
  
 
 
, với 3
2
1 4
min , , ,
2 2
m
c
c
c c c
 
  
 
(3-49)
Vì
2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
, , ,
e e e e e e e e
    nên 2
e xác định.
Giải phương trình (3-48) và (3-49) ta có:
4 4
3
2
c e
  
 
   
   
2
1 4 3 1 2 3 4 4
3
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 1 3 3
2 2 3 3
1 2 3 2 1 2 1 2 2 1 1 2
4
2 2 4
1 1 2 2 1 1
1 3
sin
cos 2
2
1
2 2 2
1 1
1 3 2 dx
u x x c c c c e
x
Eg
Eg c c c c c e y
Eg Eg
  
     
  
 

 
       
 
 
        
 
 

 
       
 
  
Từ phương trình (2-34) ta có phương trình điều khiển điện áp động cơ.
 
 
 
2
1 1 1 4 3 1 2 4 1 3 3
2
1 3
1
cos cos sin
cos
x
x
C x F x
  
    
 
(3-50)
Trong đó   2
1 3
cos 0
x
C x F x  .
Như vậy thiết kế bộ điều khiển Backstepping cho hệ thống bóng trên đĩa trên trục
X thu được như sau:
1 1 dx
e x y
  , (3-51a)
2 2 1 1 dx
e x c e y
   , (3-51b)
 
2
3 3 2 2 1 2 1 1 1
1
sin dx
e x c e c e c e e y
Eg
      , (3-51c)

51
     
2
4 4 3 3 3 2 1 2 3 2 2 1 1 2 1 1
1
cos 1 dx
e x x c e Ege c c Ege c e e c e c e y
Eg
 
           
 ,
 
   
   
2
1 4 3 1 2 3 4 4
3
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 1 3 3
2 2 3 3
1 2 3 2 1 2 1 2 2 1 1 2
4
2 2 4
1 1 2 2 1 1
1 3
sin
cos 2
2
1
2 2 2
1 1
1 3 2 dx
u x x c c c c e
x
Eg
Eg c c c c c e y
Eg Eg
  
     
  
 

 
       
 
 
        
 
 

 
       
 
  
(3-51e)
 
 
 
2
1 1 1 4 3 1 2 4 1 3 3
2
1 3
1
cos cos sin
cos
x
x
C x F x
  
    
  .
(3-51f)
Tương tự như vậy thiết kế bộ điều khiển Backstepping cho hệ thống bóng trên đĩa
trên trục Y thu được như sau:
5 1 dy
e y y
  , (3-52a)
6 2 5 5 dy
e y c e y
   , (3-52b)
 
2
7 3 6 6 5 6 5 5 5
1
sin dy
e y c e c e c e e y
Eg
      , (3-52c)
     
2
8 4 3 7 7 6 5 6 7 6 6 5 5 6 5 5
1
cos 1 dy
e y y c e Ege c c Ege c e e c e c e y
Eg
 
           
 
(3-52d)
 
   
   
2
2 4 3 5 6 7 8 8
3
2 2 2 2 2
5 6 7 5 6 6 7 5 7 7
2 2 3 3
5 6 7 6 5 6 5 6 6 5 5 6
4
2 2 4
5 5 6 6 5 5
1 3
sin
cos 2
2
1
2 2 2
1 1
1 3 2 dy
u y y c c c c e
y
Eg
Eg c c c c c e y
Eg Eg
  
     
  
 

 
       
 
 
        
 
 

 
       
 
  
(3-52e)

52
 
 
 
2
2 2 1 4 3 1 2 4 1 3 3
2
1 3
1
cos cos sin
cos
y
y
u u D y G y y Hy y y Iy y J y
D y F y
  
    
 
(3-52f)
Trong các phương trình trên, e1e4 là các biến sai số, c1c4 là các thông số điều
khiển và dx
y là quỹ đạo đặt trên trục X; Các biến khác, e5  e8 là các biến sai số,
c5c8 là các thông số điều khiển và dy
y là quỹ đạo đặt trên trục Y. Các thông số
c1c4 và c5c8 phải thõa mãn hàm Lyapunov cho hệ thống ổn định.
Kết luận:
Ta có tín hiệu điều khiển động cơ thay đổi góc nghiên theo các trục X,Y được tính
bằng công thức (3-51), (3-52) trong đó c1÷ c8 được chọn sao cho thỏa các công thức:
4
4 4 4 4
, 0
2
c
e c e c
    
2 2
2
2 2
1 2
1 2 3 4
2 3 4
1
, , ,
2
m
B B
E
c e e e e
c c c

 
  
 
 
, với 3
2
1 4
min , , ,
2 2
m
c
c
c c c
 
  
 
8
8 8 8 8
, 0
2
    
c
e c e c
2 2
2
2 2
1 2
5 6 7 8
6 7 8
1
, , ,
2

 
  
 
 
m
B B
E
c e e e e
c c c
, với 6 7
5 8
min , , ,
2 2
 
  
 
m
c c
c c c
Với c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7,c8 > 0

53
Bảng 3-2: Tham số Backstepping của hệ thống bóng trên đĩa
Tham số Giá trị Đơn vị Tham số Giá trị
m 0.13 Kg x
F 0.0321
p
m 1.52 Kg x
G 0.009
x
plate 0.335 m y
F 0.0327
y
plate 0.265 m y
G 0.0092
R 0.0368 m H 0.26
b
J 5
7.042 10
 2
.
kg m I 1.274
x
J 0.0142 2
.
kg m J 0.0469
y
J 0.0089 2
.
kg m E 0.7143
G 9.81 2
/sec
m  
1
C x
2
1
1
0.0143 0.13x

g
K 4.5  
1
D y
2
1
1
0.009 0.13y

bx
K 0.062 V/(rad/sec) Eg 7
ax
R 8.6939  1
Eg
0.1429
by
K 0.0628 V/(rad/sec)
ay
R 8.6379 

54
Các phương trình của hệ thống bóng trên đĩa trên trục X:
1 2
2
2 1 4 3
3 4
2
4 4 3 1 2 4 1 3 3
2
1
0.7413 7sin
1
(0.0321 0.009 )cos 0.26 1.274 cos 0.0469sin
0.0143 0.13
x
x x
x x x x
x x
x V x x x x x x x x
x

 

 
    
 

1 1 dx
e x y
  ,
2 2 1 1 dx
e x c e y
   ,
 
2
3 3 2 2 1 2 1 1 1
sin 0.1429 dx
e x c e c e c e e y
     
     
2
4 4 3 3 3 2 1 2 3 2 2 1 1 2 1 1
cos 7 0.1429 7 1 dx
e x x c e e c c e c e e c e c e y
 
           
 
 
   
   

2
1 4 3 1 2 3 4 4
3
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 1 3 3
2 2 3 3
1 2 3 2 1 2 1 2 2 1 1 2
4
2 2 4
1 1 2 2 1 1
1 3
sin
cos 2
51
7 2 0.1429 2 2
7 0.1429 1 3 2 0.1429 dx
u x x c c c c e
x
c c c c c c c c c e
c c c c c c c c c c c e
c c c c c e y
  
     
  
 

 
      
 
 
        
 
 
      
 
 
 
2 2
1 1 1 4 3 1 2 4 1 3 3
2
3
1
0.0143 0.13 0.009 cos 0.26 1.247 cos 0.0469sin
0.0321cos
u x u x x x x x x x x
x

     
Các phương trình của hệ thống bóng trên đĩa trên trục Y:
1 2
2
2 1 4 3
3 4
2
4 4 3 1 2 4 1 3 3
2
1
0.7413 7sin
1
(0.0327 0.0092 )cos 0.26 1.274 cos 0.0469sin
0.009 0.13
y
y y
y y y y
y y
y V y y y y y y y y
y

 

 
    
 

5 1 dy
e y y
  ,
6 2 5 5 dy
e y c e y
   ,
 
2
7 3 6 6 5 6 5 5 5
sin 0.1429 dy
e y c e c e c e e y
      ,
     
2
8 4 3 7 7 6 5 6 7 6 6 5 5 6 5 5
cos 7 0.1429 7 1 dy
e y y c e e c c e c e e c e c e y
 
           
 ,
2
2 4 3 5 6 7 8 8
3
1 3
sin
cos 2
  
     
  
 

u y y c c c c e
y
 
2 2 2
5 6 7 5 6 6 7 5 7 7
51
 
      
 
c c c c c c c c c e
   
2 2 3 3
5 6 7 6 5 6 5 6 6 5 5 6
7 2 0.1429 2 2
 
        
 
c c c c c c c c c c c e
   

4
2 2 4
5 5 6 6 5 5
7 0.1429 1 3 2 0.1429
 
      
  dy
c c c c c e y

55
 
 
2 2
2 1 2 4 3 1 2 4 1 3 3
2
3
1
0.009 0.13 0.0092 cos 0.26 1.274 cos 0.0469sin
0.0327cos
u y u y y y y y y y y
y

     

56
3.3.3. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG BACKSEPPING CHO HỆ THỐNG
BÓNG TRÊN ĐĨA:
Từ phương trình không gian trạng thái (công thức 3-51a:3-52f). Ta có sơ đồ khối
mô phỏng bộ điều khiển Backstepping cho hệ thống bóng trên đĩa ở hình 3-13.
Hình 3-13: Sơ đồ khối mô phỏng hệ thống bóng trên đĩa dùng bộ điều khiển
Backstepping.
, , , 0.07,0.09,0,0
x y
x y     với
 
1 2 3 4 5 6 7 8
, , , , , , ,
c c c c c c c c = (10, 20.5, 35, 7, 10, 20.5, 35, 7) ta có kết quả mô phỏng:

57
   
, , , 0.07,0.09,0,0
x y

58
Hình 3-15: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng Backstepping với
   
, , , 0.07,0.09,0,0
x y

59
Chọn giá trị ban đầu cho mô phỏng  
0.07sin
x t
 ,  
0.01sin
y t
 với
 
1 2 3 4 5 6 7 8
, , , , , , ,
c c c c c c c c = (19, 22.5, 50, 13, 19, 22.5, 50, 13) ta có kết quả mô
phỏng:
   
, , , 0.07sin ,0.01sin ,0,0
x y
x y t t
   của phương trình trạng thái.

60
Hình 3-17: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng Backstepping với
   
, , , 0.07sin ,0.01sin ,0,0
x y
x y t t
   của phương trình trạng thái.
 Qua kết quả mô phỏng hệ thống bóng trên đĩa sử dụng bộ điều khiển
Backstepping cho thấy hệ thống ổn định tại tín hiệu đặt và tín hiệu ra bám sát tín
hiệu đặt. Như vậy bộ điều khiển Backtepping đáp ứng rất tốt đối với hệ thống phi
tuyến này. Bộ điều khiển Backtepping cho thấy tối ưu hơn bộ điều khiển tuyến tính
hóa LQR.

61
SO SÁNH KẾT QUẢ MÔ PHỎNG
 Chọn vị trí ban đầu cho mô phỏng    
, , , 0.07,0.09,0,0
x y
x y     của
phƣơng trình trạng thái cho LQR. Và với
   
, , , 0.07,0.09,0,0
x y
x y     ,
 
1 2 3 4 5 6 7 8
, , , , , , , (10,20.5,35,7,10,20.5,35,7)

c c c c c c c c cho backstepping
 Vị trí của bóng trên trục X :
Kết quả trên trục X: cả 2 kết quả của 2 phương pháp có đáp ứng bám tín hiệu đặt
như nhau nhưng tín hiệu vị trí của LQR bám không sát, sai số là hằng số.
 Vị trí của bóng trên trục Y:

62
Kết quả trên trục Y: cả 2 kết quả của 2 phương pháp có đáp ứng bám tín hiệu
đặt như nhau, và bám sau 0.8 giây, ổn định sau 0.85 giây nhưng tín hiệu vị trí của
LQR không bám sát, sai số là hằng số.
 Chọn ngõ vào tín hiệu đặt là sóng sin :
   
, , , 0.07sin4 ,0.09,0,0
x y
x y t
  
 cho vị trí bóng trên trục X của LQR:Và
với  
0.07sin
x t
 ,  
0.01sin
y t
 ,
 
1 2 3 4 5 6 7 8
, , , , , , , (19,22.5,50,13,19,22.5,50,13)

c c c c c c c c cho backstepping
 Vị trí của bóng trên trục X :
 Kết quả:
- LQR: đáp ứng không bám sát tín hiệu đặt, sai số là hằng số
- Backstepping: đáp ứng bám rất sát tín hiệu đặt.
 Vị trí của bóng trên trục Y :

63
 Kết quả:
- LQR: đáp ứng không bám sát tín hiệu đặt, sai số là hằng số.
- Backstepping: đáp ứng bám rất sát tín hiệu đặt.
 KẾT LUẬN CHUNG:
 Cơ sở lý luận:
- Bộ điều khiển LQR: về nguyên tắc dùng rất tốt cho đối tượng tuyến
tính nên khi áp dụng cho đối tượng phi tuyến bóng đĩa chắc chắn sẽ có nhiều
sai số.
- Bộ điều khiển Backstepping: đây là bộ điều khiển phi tuyến nên khi
dùng cho hệ thống phi tuyến bóng đĩa – dùng đúng đối tượng sẽ khả thi hơn.
 Qua so sánh kết quả mô phỏng ta thấy:
BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR:
Tín hiệu đáp ứng bám tín hiệu đặt nhưng không sát, sai số luôn là hằng số.
BỘ ĐIỀU KHIỂN BACKSTEPPING:
Tín hiệu đáp ứng bám sát tín hiệu đặt cho cả 2 bộ thông số là hằng số và
hàm sin.
Kết quả này cho thấy bộ điều khiển backstepping ổn định tại tín hiệu đặt và
tín hiệu đáp ứng bám sát tín hiệu đặt.
 Như vậy: bộ điều khiển backstepping đã được chọn sẽ điều khiển cho hệ
thống bóng đĩa tốt hơn bộ điều khiển LQR.

64
CHƢƠNG 4:
KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI.
4.1 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƢỢC.
 Mô hình hóa được hệ thống bóng trên đĩa.
 Xây dựng phương trình động học hệ thống bóng trên đĩa.
 Thiết kế bộ điều khiển phù hợp cho hệ thống bóng trên đĩa.
 Kiểm chứng kết quả thông qua mô phỏng trên matlab.
 So sánh kết quả thực nghiệm với kết quả mô phỏng cho hệ thống bóng trên
đĩa.
4.2 NHỮNG HẠN CHẾ.
 Hệ thống bóng đĩa thực nghiệm có độ chính xác chưa cao.
4.3 HƢỚNG PHÁT TRIỂN.
 Tìm thuật toán điều khiển tối ưu hơn cho hệ thống nhằm tăng độ chính xác
của bộ điều khiển của hệ thống.

65
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Dương Hoài Nghĩa, “Điều khiển hệ thống đa biến”, nhà xuất bản Đại học Quốc
Gia TP. Hồ Chí Minh, 2007.
[2] “Lý thuyết điều khiển tự động”, Nguyễn Thị Phương Hà, Huỳnh Thái Hoàng,
Nhà xuất bản đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2005.
[3] “Lý thuyết điều khiển hiện đại”, Nguyễn Thị Phương Hà, Nhà xuất bản đại học
Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2009.
[4] “Lý thuyết điều khiển nâng cao”, Nguyễn Doãn Phước, Nhà xuất bản khoa học
và kỹ thuật, 2007.
[5] 3M Touch Systems. SC3 Touch Screen Controller: User’s Guide, 2nd edition,
2003.
[6] “Mechatronic Design of a Ball on Plate Balancing System” by Shorya Awtar,
Kevin C. Craig. Department of Mechanical Engineering, Aeronautical Engineering
and Mechanics Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, NY12180, USA
[7] “Trajectory Planning and Tracking of Ball and Plate System Using Hierarchical
Fuzzy Control Scheme” by X. Fan, N. Zhang and S. Teng, Fuzzy Sets and Systems,
Vol. 144, No. 2, pp. 297-312, 2004.
[8] “Modelling and PID Control Design of Nonlinear Educational Model Ball &
Plate” by A. Jadlovská, Š. Jajčišin, R. Lonščák. PROCEEDINGS 17th International
Conference on Process Control 2009 Hotel Baník, Štrbské Pleso, Slovakia, June 9 –
12, 2009.ISBN 978-80-227-3081-5; http://www.kirp.chtf.stuba.sk/pc09
[9] “Tracking and Balance Control Of Ball and Plate System” by Cheng Chang
Ker*, Chin E. Lin, and Rong Tyai Wang. Journal of the Chinese Institute of
Engineers, Vol. 30, No. 3, pp. 459-470 (2007)
[10] “Mechatronic Design and Position Control of a Novel Ball and Plate System”
by Miad Moarref, Mohsen Saadat, and Gholamreza Vossoughi, Member, IEEE. 16th

ĐIều khiển phi tuyến hệ thống Ball Plate

ĐIều khiển phi tuyến hệ thống Ball Plate

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to ĐIều khiển phi tuyến hệ thống Ball Plate

Similar to ĐIều khiển phi tuyến hệ thống Ball Plate (20)

More from Man_Ebook

More from Man_Ebook (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

ĐIều khiển phi tuyến hệ thống Ball Plate