ĐIỀU KHIỂN CÂN BẰNG CON LẮC NGƯỢC SỬ DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR VÀ BỘ LỌC KALMAN 83a9c756

1. Đ I H C ĐÀ N NG
TR NGăĐ IăH CăBÁCHăKHOA
CAOăXUỂNăC NG
ĐI UăKHI NăCỂNăB NGăCONăL C NG C
S D NG B ăĐI UăKHI N LQR VĨ B ăL CăKALMAN
LU NăVĔNăTH CăSƾăK ăTHU T
ĐƠăNẵngăậ Nĕmă2018

2. Đ I H C ĐÀ N NG
TR NGăĐ IăH CăBÁCHăKHOA
CAOăXUỂNăC NG
ĐI UăKHI NăCỂNăB NGăCONăL CăNG Că
S D NG B ăĐI U KHI NăLQRăVĨăB ăL CăKALMAN
ChuyênăngƠnh:ăK ăthu tăđi uăkhi năvƠăt ăđ ngăhóa
Mưăs :ă8520216
LU NăVĔNăTH CăSƾăK ăTHU T
Ng iăh ngăd năkhoaăh c:
TS.ăTR NăĐỊNHăKHỌIăQU C
ĐƠăNẵngăậ Nĕmă2018

3. L IăCAMăĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Ngoài các thông tin được sử dụng và trích dẫn trong các tài liệu tham
khảo, các kết quả nghiên cứu khác nêu trong luận văn này là trung thực và
chưa từng ai công bố trong bất kỳ công trình nào.
Tác giả luận văn
CaoăXuơnăC ng

4. ĐI UăKHI NăCỂNăB NGăCONăL CăNG CăS D NG B ăĐI UăKHI NăLQRă
VĨăB ăL CăKALMAN
H c viên: Cao Xuân C ng Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa
Mư số: 8520216 Khóa: K33 Tr ng Đ i h c Bách khoa - ĐHĐN
Tómăt tăậ Luận văn trình bày việc thiết kế bộ điều khiển cân bằng con lắc ng ợc sử dụng bộ
điều khiển lqr kết hợp với bộ l c Kalman. Kết quả thực nghiệm của ph ơng pháp đề xuất đ ợc so
sánh với bộ điều khiển h i tiếp tr ng thái LQR để đánh giá chất l ợng điều khiển. Hệ thống con lắc
ng ợc đ ợc xây dựng, mô phỏng và đánh giá kết quả bằng phần mềm Matlab - Simulink. Dựa vào
kết quả mô phỏng thu đ ợc từ phần mềm Matlab – Simulink tiến hành xây dựng l u đ , lập trình
và điều khiển trên mô hình thực nghiệm đ ợc giám sát thông qua phần mềm Labview kết hợp cùng
với board m ch vi xử lý Arduino. Kết quả thực nghiệm trên mô hình cho thấy, đáp ứng của hệ
thống với bộ điều khiển đề xuất cho kết quả tốt hơn ph ơng pháp điều khiển LQR. Với bộ điều
khiển lqr kết hợp với bộ l c kalman, con lắc có khả năng đ ợc điểu khiển cân bằng t i một v trí
xác đ nh trong điều kiện có nhiễu đo l ng trong khi đó hệ con lắc b dao động quanh điểm đặt với
giải thuật điều khiển LQR.
T ăkhóaă- Con lắc ng ợc, bộ điều khiển LQR, bộ l c Kalman, phản h i v trí, bo m ch
arduino
BALANCE CONTROL OF AN INVERTED PENDULUM USING LQR AND
KALMAN FILTER
Abstract - This thesis presents the design of balance control for an inverted pendulum system
using the Linear-Quadratic Regulator method (LQR) control law conbine with Kalman filter.
Experimental results of the proposed method was compared with LQR method to assess the quality
of control. Inverted pendulum system is designed, simulated and supervised by Matlab – Simulink
software. Based on simulation results obtained from Matlab – Simulink conducts programmatic,
programming and control on experimental model by Labview software conbined with the Arduino
single-board microcontrollers. Experiments of stabilizing the inverted pendulum show that the
proposed controller produces better response than the LQR controller. The inverted pendulum can
be stabilized at the predetermined position in the condition of noise measurement using the LQR
controller combined with Kalman filter while The inverted pendulum fluctuates around the set point
using the LQR controlalgorithm.
Key words - Inverted pendulum, LQR, Kalman filter, position feedback, arduino card

5. M CăL C
Trang phụ bìa Trang
L i cam đoan
Mục lục
Danh mục các từ viết tắt
Danh mục các hình
Danh mục các bảng
Danh mục các kí hiệu
PH NăM ăĐ U...................................................................................................................
I. Đặt vấn đề .................................................................................................................1
II. Đ nh h ớng của đề tài ................................................................................................2
III. Nhiệm vụ của luận văn..............................................................................................2
IV. Kết quả mong muốn đ t đ ợc...................................................................................2
PH NăN IăDUNG...............................................................................................................
CH NGă1: GI IăTHI UăBĨIăTOÁNăCONăL CăNG C ........................................
1.1. Lý thuyết về con lắc ng ợc......................................................................................3
1.2. Mô hình toán h c cho hệ con lắc ng ợc ..................................................................4
1.2.1. Mô hình toán h c của con lắc ng ợc .............................................................4
1.2.2. Mô hình toán h c của động cơ DC..................................................................6
1.2.3. Mô hình toán h c t ng hợp cho hệ con lắc ng ợc ..........................................8
1.3. Mô phỏng con lắc ng ợc trên matlab.......................................................................8
CH NG 2: PH NGăPHÁPăĐI UăKHI N.................................................................
2.1. Ph ơng pháp điều khiển PID .................................................................................12
2.2. Ph ơng pháp điều khiển LQR................................................................................13
2.2.1. Điều khiển tối u .........................................................................................13
2.2.2. Thiết kế bộ điều khiển LQR ........................................................................14
2.2.2.1. Điều khiển LQR liên tục.................................................................14
2.2.2.2. Thiết kế bộ điều khiển LQR liên tục...............................................16
2.3. Thiết kế bộ điều khiển số .......................................................................................17
2.3.1. Xây dựng mô hình gián đo n cho hệ con lắc ng ợc ...................................17

6. 2.3.2. Thiết kế bộ điều khiển LQR gián đo n........................................................19
2.4. Bộ l c Kalman........................................................................................................21
2.4.1. Bộ l c Kalman r i r c..................................................................................22
2.4.2. Bộ l c Kalman liên tục ................................................................................23
2.5. Điều khiển swing-up ..............................................................................................24
CH NGă3: THI TăK ăB ăĐI UăKHI NăCỂNăB NGăCONăL CăNG C ..........
3.1. Thiết kế bộ điều khiển LQR...................................................................................26
3.1.1. Hệ ph ơng trình tr ng thái của con lắc ng ợc.............................................26
3.1.2. Bộ điều khiển LQR......................................................................................27
3.2. Thiết kế bộ điều khiển LQR kết hợp bộ l c Kalman ............................................33
3.3. Mô phỏng và đánh giá kết quả ..............................................................................38
CH NGă4: XỂYăD NGăB ăĐI UăKHI N CONăL CăNG CăVĨăK TăQU ă
TH CăNGHI M .................................................................................................................
4.1. Mô hình con lắc ng ợc...........................................................................................48
4.1.1. Giới thiệu về bo m ch điều khiển Arduino UNO R3....................................50
4.1.2. Động cơ truyền động.....................................................................................51
4.1.3. Hệ thống cảm biến và bộ l c sử dụng cho cảm biến.....................................52
4.1.3.1. Cảm biến Encoder ............................................................................52
4.1.3.2. Ph ơng pháp l c tín hiệu từ cảm biến dùng bộ l c Kalman gián
đo n (Discrete Kalman)............................................................................................54
4.1.4. Thiết kế bộ điều khiển LQR gián đo n.........................................................58
4.1.5. Điều khiển swing-up .....................................................................................60
4.1.6. Sơ đ kết nối thiết b .....................................................................................60
4.1.7. Thuật toán điều khiển con lắc ng ợc dùng Arduino UNO R3......................61
4.2. Giám sát mô hình con lắc ng ợc bằng phần mềm LabVIEW................................64
4.3. Kết quả thực nghiệm ..............................................................................................66
4.3.1. Con lắc ho t động không sự tác động bên ngoài...........................................66
4.3.2 Con lắc ho t động có sự tác động bên ngoài..................................................67
PH NăK TăLU Nầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ...69
TĨIăLI U THAMăKH Oầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ70
PH ăL Cầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ...71
QUY TăĐ NHăGIAOăĐ TĨIăLU NăVĔNă(b n sao) ầầầầầầầầầầầầ.82

7. DANHăM CăCÁCăT ăVI TăT T
1. PID : PROPOTIONAL INTEGRAL DERIVATIVE
2. LQR : LINEAR QUADRATIC REGULATOR
3. ZOH : ZERO ORDER HOLD

8. DANHăM CăCÁCăHỊNH
STT Tênăhình Trang
1 Hìnhă1.1: Mô hình con lắc ng ợc 3
2 Hìnhă1.2: Hình ảnh con lắc ng ợc thực tế 4
3 Hìnhă1.3: Các lực tác động vào hệ con lắc 4
4 Hìnhă1.4: Sơ đ m ch điện t ơng đ ơng động cơ điện một chiều 6
5 Hìnhă1.5ă: Mô hình mô phỏng của con lắc ng ợc 9
6 Hìnhă1.6ă: Cấu trúc bên trong của khối Mô hình mô phỏng con lắc ng ợc 9
7 Hìnhă1.7ă: Sơ đ mô tả góc lệch của con lắc ng ợc 10
8 Hìnhă1.8ă: Sơ đ mô tả v trí xe 10
9
Hìnhă1.9ă:ăĐáp ứng góc θ của hệ con lắc ng ợc khi không có bộ điều
khiển
11
10 Hình 2.1 : Cấu trúc bộ điều khiển PID 12
11 Hìnhă2.2: Ph ơng pháp điều khiển LQR 15
12 Hìnhă2.3: Mô hình gián đo n hệ thống con lắc ng ợc với khâu ZOH 17
13 Hìnhă2.4: Mô hình gián đo n t ơng đ ơng của hệ con lắc ng ợc 18
14 Hìnhă2.5: Mô hình gián đo n t ơng đ ơng của hệ thống 20
15 Hìnhă2.6 : Sơ đ khối bộ l c Kalman 21
16 Hìnhă2.7: Sơ đ khối bộ l c Kalman r i r c 23
17 Hìnhă2.8: Sơ đ khối bộ l c Kalman liên tục 24
18 Hìnhă3.1ă: Thuật toán điều khiển LQR 30
19 Hìnhă3.2ă: Đáp ứng góc θ của hệ thống khi Q(1,1)=1 và Q(3,3)=1 31
20 Hìnhă3.3ă: Đáp ứng v trí x của hệ thống khi Q(1,1)=1 và Q(3,3)=1 31
21 Hìnhă3.4ă: Đáp ứng góc θ của hệ thống khi Q(1,1)=500 và Q(3,3)=1 32
22 Hìnhă3.5ă: Đáp ứng v trí x của hệ thống khi Q(1,1)=500 và Q(3,3)=1 33
23 Hìnhă3.6 : Đáp ứng góc θ của hệ thống khi Q(1,1)=3000 và Q(3,3)=3000 34
24
Hìnhă3.7ă:
Đáp ứng v trí x của hệ thống khi Q(1,1)=3000 và Q(3,3)=3000
34
25 Hìnhă3.8ă: Bộ điều khiển LQR kết hợp bộ l c Kalman 35

9. 26 Hìnhă3.9ă: Đáp ứng góc θ của hệ thống khi Q(1,1)=100 và Q(3,3)=1 36
27 Hìnhă3.10ă: Đáp ứng v trí x của hệ thống khi Q(1,1)=100 và Q(3,3)=1 37
28 Hìnhă3.11ă: Đáp ứng góc θ của hệ thống khi Q(1,1)=10 và Q(3,3)=1000 38
29 Hìnhă3.12ă: Đáp ứng v trí x của hệ thống khi Q(1,1)=10 và Q(3,3)=1000 38
30
Hình 3.13 :
Đáp ứng góc θ của hệ thống khi Q(1,1)=1000 và Q(3,3)=1000000
39
31
Hìnhă3.14ă:
Đáp ứng v trí x của hệ thống khi Q(1,1)=1000 và Q(3,3)=1000000
40
32 Hìnhă3.15ă: Bộ điều khiển LQR và LQG 41
33
Hìnhă3.16ă:
Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR
(với nhiễu � = 0.001, nhiễu xc = 0.01)
41
34
Hìnhă3.17ă:
Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR + Kalman
(với nhiễu � = 0.001, nhiễu xc = 0.01)
42
35
Hìnhă3.18ă:
Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR
(với nhiễu � = 0.001, nhiễu xc = 0.1)
42
36
Hìnhă3.19ă:
Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR + Kalman
(với nhiễu � = 0.001, nhiễu xc = 0.01)
43
37
Hìnhă3.20ă:
Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR
(với nhiễu � = 0.001, nhiễu xc = 0.1)
43
38
Hìnhă3.21ă:
Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR + Kalman
(với nhiễu � = 0.001, nhiễu xc = 0.1)
44
39
Hìnhă3.22ă:
Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR
(với nhiễu � = 0.001, nhiễu xc = 0.1)
44
40 Hìnhă3.23ă: 45

10. Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR + Kalman
(với nhiễu � = 0.001, nhiễu xc = 0.1)
41
Hìnhă3.24ă:
Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR
(với nhiễu � = 0.01, nhiễu xc = 0.01)
45
42
Hìnhă3.25ă:
Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR + Kalman
(với nhiễu � = 0.01, nhiễu xc = 0.01)
46
43
Hìnhă3.26ă:
Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR
(với nhiễu � = 0.01, nhiễu xc = 0.01)
46
44
Hìnhă3.27ă:
Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR + Kalman
(với nhiễu � = 0.01, nhiễu xc = 0.01)
47
45
Hìnhă3.28ă:
Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR
(với nhiễu � = 0.1, nhiễu xc = 0.0)
47
46
Hìnhă3.29ă:
Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR + Kalman
(với nhiễu � = 0.1, nhiễu xc = 0.0)
48
48
Hìnhă3.30ă:
Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR
(với nhiễu � = 0.1, nhiễu xc = 0.0)
48
48
Hìnhă3.31ă:
Đáp ứng của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển LQR + Kalman
(với nhiễu � = 0.1, nhiễu xc = 0.0)
49
49 Hìnhă4.1: Mô hình thực nghiệm con lắc ng ợc 48
50 Hìnhă4.2:ăCác thiết b cần thiết trong mô hình 49
51 Hìnhă4.3: Bo m ch Arduino UNO R3 50
52 Hìnhă4.4:ăĐộng cơ DC servo NISCA - NF5475E 52
53 Hìnhă4.5: Sơ đ nguyên lý m ch cầu H 52

11. 54 Hìnhă4.6: Cấu t o đĩa quay encoder 53
55 Hìnhă4.7: Encoder OMRON E6B2-CWZ6C 53
56 Hìnhă4.8: Cấu t o Encoder OMRON E6B2-CWZ6C 54
57 Hìnhă4.9: Mô hình điều khiển LQG của hệ con lắc 55
58 Hìnhă4.10: Nhiều đo l ng đ c từ cảm biến 58
59 Hìnhă4.11: Tín hiệu đ c từ cảm biến sau khi đ ợc lo i bỏ nhiễu 58
60 Hình 4.12: Mô hình gián đo n t ơng đ ơng của hệ con lắc 59
61 Hìnhă4.13: Sơ đ kết nối hệ thống 60
62 Hìnhă4.14: Sơ đ đi dây hệ thống điều khiển con lắc ng ợc 61
63 Hinh 4.15: L u đ điều khiển con lắc ng ợc 62
64 Hìnhă4.16: L u đ quá trình thu thập và tính toán các thông số từ encoder 63
65 Hìnhă4.17: Khối truyền và nhận dữ liệu từ phần cứng mô hình 65
66 Hìnhă4.18: Giao diện giám sát ho t động của con lắc bằng LabVIEW 65
67 Hìnhă4.19: Ch ơng trình giám sát ho t động của con lắc bằng LabVIEW 66
68 Hìnhă4.20: Quá trình kh i động của con lắc 66
69 Hìnhă4.21: Con lắc cân bằng 67
70
Hìnhă4.22: Con lắc b tác động bên ngoài với lực tác động nhỏ làm d ch
chuyển con lắc
67
71
Hìnhă4.23: Con lắc b tác động bên ngoài với lực tác động lớn làm xoay
con lắc
68

12. DANHăM CăCÁCăB NG
STT Tênăb ng Trang
1 B ngă1.1ă: Thông số và đơn v của mô hình con lắc ng ợc 5
2 B ngă1.2: Giá tr các thông số của hệ con lắc ng ợc. 10
3 B ngă3.1. Thông số của hệ thống con lắc ng ợc đ ợc thiết kế 28
4 B ngă4.1. Thông số của hệ thống con lắc ng ợc đ ợc thiết kế 49
5 B ng 4.2. Thông số kỹ thuật của Arduino UNO R3 50
6 B ngă4.3. Các thông số kỹ thuật của động cơ 51
7 B ngă4.4. Các thông số kỹ thuật của encoder 53

13. DANHăM CăCÁCăKệăHI U
STT Kíăhi u ụănghƿa Đ năv
1 M Khối l ợng xe gòng kg
2 m Khối l ợng con lắc kg
3 l Khoảng cách từ tâm con lắc đến điểm gốc m
4 J Mômen quán tính của con lắc kg/m2
5 θ Góc lệch giữa con lắc và ph ơng th ng đứng rad
6 F Lực tác động vào hệ N
7 b Hệ số ma sát giữa xe và ray Ns/m
8 g Gia tốc tr ng tr ng m/s2
9 Pg Lực tác động theo ph ơng th ng đứng N
10 N Lực tác động theo ph ơng ngang N
11 xc V trí xe. m
12 V Điện áp cấp vào cho động cơ. V
13 Rm Điện tr phần ứng. Ω
14 Lm Độ tự cảm của cuộn dây phần ứng. H
15 Im Dòng điện ch y trong dây quấn phần ứng. A
16 Km Hệ số kết cấu máy. -
17 Ф Từ thông t ng trong máy điện một chiều. Wb

14. 1
PH NăM ăĐ U
I. Đặtăv năđ ă
Ngày nay, với sự phát triển m nh mẽ của khoa h c kỹ thuật trong thiết kế và
điều khiển hệ thống, việc tự động hóa quá trình sản xuất đang ngày đ ợc đẩy m nh
trong các hệ thống công nghiệp trên toàn thế giới. Nhiều sản phẩm công nghệ mới
đ ợc t o ra để đáp ứng nhu cầu ngày càng cao của th tr ng. Một xu thế mới của
th i đ i là t o ra các hệ thống điều khiển thông minh có khả năng t duy nh nưo bộ
của con ng i, có khả năng giải quyết các bài toán khó, có khả năng xử lý nhiều
lo i tín hiệu mập m , thiếu chính xác. Hay nói cách khác là có khả năng h c hỏi, tự
chỉnh đ nh l i sao cho phù hợp với sự thay đ i không l ng đ ợc của đối t ợng
điều khiển [5]. Với yêu cầu đó, hàng lo t các ph ơng pháp điều khiển hiện đ i có
độ tin cậy và chính xác cao nh PID[4], LQR[4], Fuzzy[6], Neural Network[6]…
đư ra đ i nhằm đáp ứng yêu cầu trên .
Các ph ơng pháp đ ợc đề xuất trên đều đ ợc kiểm chứng thông qua mô
hình con lắc ng ợc và đư thu đ ợc một số thành công đáng kể. Có thể kể đến nh :
 Việc thiết kế hai bộ điều khiển PID riêng biệt đư cho khả năng điều
khiển đ ợc cân bằng con lắc ng ợc, nh ng con lắc vẫn còn dao động
dẫn đến v trí của xe không n đ nh.
 Với giải thuật điều khiển tối u LQR, hệ con lắc ng ợc b dao động
rất m nh, v trí xe gần nh không thể điều khiển quanh điểm đặt.
 Ngoài các giải thuật kinh điển kể trên, một số nghiên cứu đư áp dụng
các giải thuật điều khiển thông minh vào việc điều khiển th i gian
thực hệ con lắc ng ợc. Các thông số đáp ứng của hệ thống với giải
thuật này tốt hơn so với các giải thuật điều khiển kinh điển khi con lắc
không còn b dao động và v trí xe đ ợc giữ n đ nh, khắc phục đ ợc
vấn đề đòi hỏi sự chính xác của các thông số trong mô hình toán gặp
phải trong việc xây dựng các bộ điều khiển với giải thuật PID hay
LQR.

15. 2
Tuy nhiên, các bộ điều khiển trên đơn thuần là các bộ điều khiển tĩnh nên việc tinh
chỉnh đáp ứng của hệ thống sẽ gặp nhiều khó khăn.
Với những lý do trên, tôi đư ch n đề tài: “ĐI UăKHI NăCỂNăB NGăCONă
L CăNG CăS D NG B ăĐI UăKHI NăLQRăVĨăB ăL CăKALMAN”.
II. Đ nhăh ngăcủaăđ ătƠi
Đề tài tập trung nghiên cứu các vấn đề chính sau :
o Xây dựng mô hình toán h c con lắc ng ợc.
o Điều khiển cân bằng hệ thống bằng bộ điều khiển LQR kết hợp bộ l c
Kalman.
o Mô phỏng hệ thống bằng phần mềm Matlab - Simulink, đánh giá kết
quả.
o Mô phỏng và giám sát hệ thống bằng LabView.
III. Nhi măv ăcủaălu năvĕn
Đề tài tập trung nghiên cứu mô hình toán h c cho hệ con lắc ng ợc , tiến
hành khảo sát, thiết kế hệ thống điều khiển và xây dựng các mô hình mô phỏng của
giải thuật điều khiển cho hệ con lắc ng ợc. Đánh giá các kết quả thu đ ợc trên mô
hình mô phỏng về đặc tuyến làm việc, th i gian đáp ứng xác lập, sự n đ nh của hệ
thống r i ứng dụng ph ơng pháp vào ch y thực tế trên mô hình con lắc. So sánh kết
quả mô phỏng và kết quả thực tế, phân tích đ ợc những mặt u điểm và khuyết
điểm, từ đó rút ra ph ơng pháp điều khiển hợp lý cho hệ con lắc ng ợc.
IV. K tăqu ămongămu năđ tăđ c
 Xây dựng đ ợc mô hình mô phỏng hệ con lắc ng ợc bằng phần mềm
MATLAB để nghiên cứu đặc tính về đặc tính làm việc, th i gian xác lập của
giải thuật.
 Xây dựng đ ợc mô hình giám sát hệ thống bằng LabView.
 Điều khiển cân bằng cho hệ con lắc ng ợc.
 So sánh đánh giá u khuyết điển của các giải thuật đư sử dụng trong luận văn
từ đó cải thiện thêm ph ơng pháp điều khiển mô hình con lắc ng ợc.

16. 3
CH NGă1:ăGI IăTHI UăBĨIăTOÁNăCONăL CăNG C
1.1. Lýăthuy tăv ăconăl căng c
Hệ thống con lắc ng ợc là một đối t ợng nghiên cứu rất ph biến từ những
năm 1950 [6]. Nó vốn là một hệ thống không n đ nh th ng đ ợc sử dụng để kiểm
tra sự thực thi và hiệu quả của các thuật toán điều khiển.
Cấu trúc động h c của mô hình con lắc ng ợc hai bậc tụ do bao g m một
con lắc là một thanh đ ng chất có chiều dài l có một đầu tự do có thể chuyển động
theo trục ngang x , đầu còn l i của con lắc đ ợc gắn cố đ nh vào trục quay cố đ nh
trên xe. Xe đ ợc truyền động b i một động cơ điện có h i tiếp, thông qua hệ thống
Puly và dây đai để có thể di chuyển d c trục trên đ ng ray ph ng trong ph m vi
chuyển động giới h n. Việc di chuyển của hệ thống con lắc phụ thuộc vào hệ thống
điều khiển thông minh, có nhiệm vụ giúp xe di chuyển và giữ cho hệ thống đ ợc
cân bằng.
Hìnhă1.1: Mô hình con lắc ng ợc
Có nhiều lý thuyết và ph ơng pháp thiết kế cân bằng hệ thống con lắc ng ợc
trong các công bố của các thập niên qua nh : PID, Điều khiển tr ợt, LQR, Fuzzy,
Neural Network…Với đề tài này, ph ơng pháp điều khiển đ ợc lựa ch n là ph ơng
pháp điều khiển LQR. Đây là ph ơng pháp điều khiển t ơng đối đơn giản song l i
mang l i tính đáp ứng nhanh và n đ nh cho hệ thống.

17. 4
1.2.ăMôăhìnhătoánăh căchoăh ăconăl căng c.ă
1.2.1.ăMôăhìnhătoánăh căcủaăconăl căng că[10].
Mô hình con lắc ng ợc sử dụng trong đề tài có d ng nh hình 1.2
Hìnhă1.2: Hình ảnh con lắc ng ợc thực tế
Mô hình toán h c của hệ thống đ ợc xây dựng dựa trên cơ s các đ nh luật
vật lý cơ h c của Newton. Mô hình toán h c cần thiết, để tính toán thông số bộ điều
khiển và mô phỏng hệ thống.
Giả sử con lắc ng ợc đ ng chất và có tr ng tâm t i tâm của thanh, giải
phóng liên kết, phân tích lực tác động ta đ ợc các lực tác động vào hệ nh hình 1.3.
Hìnhă1.3: Các lực tác động vào hệ con lắc
Trong đó, các thông số trong mô hình đ ợc cho trong bảng 1.1
Pg
Pg

18. 5
B ngă1.1ă: Thông số và đơn v của mô hình con lắc ng ợc
Kíăhi u ụănghƿa Đ năv
M Khối l ợng xe gòng kg
m Khối l ợng con lắc kg
l Khoảng cách từ tâm con lắc đến điểm gốc m
J Mômen quán tính của con lắc kg/m2
θ Góc lệch giữa con lắc và ph ơng th ng đứng rad
F Lực tác động vào hệ N
b Hệ số ma sát Ns/m
g Gia tốc tr ng tr ng m/s2
Ta tiến hành t ng hợp các lực tác động vào xe goòng theo ph ơng ngang ta
đ ợc các ph ơng trình về chuyển động:
F
N
x
b
x
M c
c 





(1.1)
trong đó: b là hệ số ma sát giữa xe và ray, N là lực tác động theo ph ơng ngang, F
là lực tác động vào hệ và xc là v trí xe.
T ng hợp các lực theo ph ơng ngang ta đ ợc :
N
Sin
ml
Cos
ml
x
m c 










 2
(1.2)
Thay ph ơng trình (1.2) vào ph ơng trình (1.1) ta đ ợc :
  F
Sin
ml
Cos
ml
x
b
x
m
M c
c 













 2
(1.3)
T ng hợp các lực vuông góc với con lắc, ta đ ợc :




 cos
sin
cos
sin







 c
g x
m
ml
mg
N
P (1.4)
T ng hợp môment t i tâm thanh lắc ta có:




 

 J
Nl
l
Pg cos
sin (1.5)
với J là mômen quán tính của con lắc
Thế ph ơng trình (1.5) vào (1.4) ta có:
  

 cos
sin
2







 c
x
ml
mgl
ml
J (1.6)

19. 6
Từ hai ph ơng trình (1.3) và (1.6) ta có hệ ph ơng trình mô tả đặc tính động
h c phi tuyến của hệ thống con lắc ng ợc:
 
 































cos
sin
.
.
.
2
2
c
c
c
x
ml
l
g
m
ml
J
F
Sin
ml
Cos
ml
x
b
x
m
M
(1.7)
Biến đ i hai ph ơng trình (1.3) và (1.6) ta có:
m
M
Sin
ml
Cos
ml
x
b
F
x c
c










 


 2
(1.8)
2
sin
cos
ml
J
mgl
x
ml c







 

 (1.9)
Thay các ph ơng trình (1.9) và (1.10) vào hệ (1.7) ta có :
   
    
 
    



















































2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
sin
cos
cos
sin
cos
sin
ml
J
m
M
ml
mgl
m
M
ml
x
b
F
ml
ml
ml
J
m
M
mgl
mgl
ml
x
b
F
ml
J
x
c
c
c











(1.10)
1.2.2.ăMôăhìnhătoánăh căcủaăđ ngăc ăDC.ă[9]
Xét động cơ điện một chiều có sơ đ nh sau:
Hìnhă1.4: Sơ đ m ch điện t ơng đ ơng động cơ điện một chiều
Áp dụng đ nh luật Kirchhoffs 2 cho sơ đ hình 1.3 ta đ ợc :









 
m
m
m
m
m
m
m
m
m K
I
L
I
R
E
I
L
I
R
V .
. (1.11)
Trong đó :
 V : điện áp cấp vào cho động cơ.

20. 7
 Rm : Điện tr phần ứng.
 Lm : độ tự cảm của cuộn dây phần ứng.
 Im : Dòng điện ch y trong dây quấn phần ứng.
 Km : Hệ số kết cấu máy.
a
N
p
Km

2
.

 Ф : Từ thông t ng trong máy điện một chiều.
Đặt Km.Ф = K ta có moment của động cơ:
m
m
m
m KI
I
K
T 


K
T
I m
m 

Giả sử ảnh h ng của thành phần cảm kháng trong cuộn dây là không đáng
kể, khi động cơ một chiều có công suất bé. Ta có, ph ơng trình (1.11) đ ợc viết l i
thành:


 
K
K
T
R
V m
m (1.12)
m
m
m
m
R
K
V
K
T





2
(1.13)
Ph ơng trình cân bằng moment trên trục động cơ :
d
m T
T  (1.14)
Fr
R
K
KV
m





2
(1.15)
Fr
R
r
x
K
KV
m




2
(1.16)
2
2
. r
R
x
K
V
r
R
K
F
m
c
m



 (1.17)
Đặt :

21. 8









2
2
.
r
R
K
r
R
K
m
m


Ta có ph ơng trình (1.17) đ ợc viết l i :
c
x
V
F


 
 (1.18)
1.2.3ăMôăhìnhătoánăh cătổngăh păchoăh ăconăl căng c.
Từ các ph ơng trình (1.3), (1.6) và (1.18) ta có hệ :
 
 































cos
sin
2
2
c
c
c
c
x
ml
mgl
ml
J
x
V
Sin
ml
Cos
ml
x
b
x
m
M
(1.19)
Hay t ơng đ ơng :
   
 


































cos
sin
.
.
.
.
2
2
c
c
c
x
ml
l
g
m
ml
J
V
Sin
ml
Cos
ml
x
b
x
m
M
(1.20)
Tuyến tính hóa hệ con lắc ng ợc quanh điểm cân bằng, ta có:












0
θ
θ
1
Cosθ
0
sinθ
(1.21)
Suy ra hệ ph ơng trình tuyến tính của hệ con lắc ng ợc tuyến tính là:
   
 























c
c
c
x
ml
mgl
ml
J
V
ml
x
b
x
m
M





2
(1.22)
1.3ăMôăph ngăconăl căng cătrênăMatlab
Từ các ph ơng trình (1.10) ta xây dựng đ ợc mô hình con lắc ng ợc trong
Matlab Simulink nh sau :

22. 9
Hìnhă1.5 : Mô hình mô phỏng của con lắc ng ợc
Trong đó khối mô hình mô phỏng con lắc ng ợc đ ợc xây dựng thỏa công
thức (1.10) và đ ợc xây dựng trong Matlab nh hình 1.6.
Hìnhă1.6ă: Cấu trúc bên trong của khối Mô hình mô phỏng con lắc ng ợc
Các khối tính F, tính góc lệch, tính v trí xe là các ph ơng trình toán đư đ ợc
xây dựng trong các phần trên. Cụ thể nh sau:
 Khối tính góc lệch θ :

23. 10
Hình 1.7 : Sơ đ mô tả góc lệch của con lắc ng ợc
T ơng tự nh vậy, sơ đ thể hiện v trí xe goong đ ợc xây dựng từ công thức
(1.9) và đ ợc thể hiện trong Matlab nh hình 1.8.
Hìnhă1.8ă: Sơ đ mô tả v trí xe
Sau khi xây dựng hệ con lắc ng ợc, ta tiến hành mô phỏng trên Matlab
Simulik, với các giá tr của hệ nh bảng 1.2 :
B ngă1.2: Giá tr các thông số của hệ con lắc ng ợc.
Kíăhi u ụănghƿa Giáătr Đ năv
M Khối l ợng xe gòng 0,15 kg
m Khối l ợng con lắc 0,22 kg
l Khoảng cách từ tâm con lắc đến điểm gốc 0,33/2 m
J Mômen quán tính của con lắc 0,002 kg/m2
b Hệ số ma sát 0,1 Ns/m
g Gia tốc tr ng tr ng 9,81 m/s2

24. 11
Khi không có bộ điều khiển, với các thông số ban đầu:





rad
u
2
,
0
0

Với hệ con lắc đ ợc thả tự do, ta thấy đáp ứng của hệ qua Matlab Simulink
đ ợc thể hiện nh hình 1.9.
Hìnhă1.9 : Đáp ứng góc θ của hệ con lắc ng ợc khi không có bộ điều khiển
Nh vây, với tín hiệu điều khiển u=0, quan sát góc θ, ta thấy:
 Con lắc rơi xuống v trí phía d ới, dao động tự do tắc dần.
 Kết quả mô phỏng cho thấy đặc tính mô hình đúng với thực tế quy
luật vật lý của hệ thống thật.
 Hệ thống không n đ nh nếu không có bộ điều khiển.

25. 12
CH NGă2:ăPH NGăPHÁPăĐI UăKHI N
2.1.ăPh ngăphápăđi uăkhi năPID.
Bộ điều khiển PID ( Propotional Integral Derivative) là một bộ điều khiển
h i tiếp vòng kín đ ợc sử dụng rộng rưi trong các hệ thống điều khiển công nghiệp,
có u điểm là độ chính xác cao, đáp ứng nhanh và n đ nh.
Bộ điều khiển PID là sự kết hợp của 3 khâu điều khiển riêng biệt :
o Điều chỉnh tỉ lệ (P _ Propotional): t o ra tín hiệu điều chỉnh tỷ lệ với
sai lệch đầu vào. Khâu này nhằm giúp tăng sự n đ nh cho quá trình
điều khiển.
o Điều chỉnh tích phân (I _ Integral): xác đ nh tác động của t ng các sai
số và t o ra tín hiệu điều chỉnh sao cho độ lệch giảm tới 0.Từ đó cho
phép lo i bỏ nhiễu trong quá trình điều khiển.
o Điều chỉnh vi phân (D _ Derivative): xác đ nh tác động của tốc độ
biến đ i sai số, t o ra tín hiệu điều chỉnh sao cho tỉ lệ với tốc độ thay
đ i sai lệch đầu vào. Từ đó thay đ i tốc độ đáp ứng của hệ thống điều
khiển.
Nếu g i Kp, KI, KD lần l ợt là độ lợi tỉ lệ, độ lợi tích phân, độ lợi vi phân. Ta
có cấu trúc của một bộ điều khiển PID sẽ nh hình 2.1.
Hìnhă2.1. Cấu trúc bộ điều khiển PID

26. 13
Bộ điều khiển PID chỉ có thể điều khiển đ ng th i một thông số của hệ
thống, để điều khiển đ ợc góc con lắc và v trí của xe t i cùng một th i điểm thì
chúng ta cần hai bộ điều khiển PID. Trong đó một thông số đ ợc xem nh là thông
số chính và đ ợc dung để điều khiển trực tiếp momen của động cơ trong khi đó
thông số còn l i đ ợc sử dụng nh điểm tham chiếu của thông số chính. Từ đó, ta
có một là góc của con lắc, hai là v trí xe của con lắc đ ợc dùng làm thông số chính
của con lắc. Hai tín hiệu đầu vào đ ợc đ a vào bộ điều khiển PID và đầu ra là tín
hiệu lực tác động vào xe.
u điểm của bộ điều khiển PID là dễ dàng thiết kế không phụ thuộc nhiều
vào mô hình toán của đối t ợng. Bộ điều khiển sẽ thực hiện giảm tối đa sai số bằng
cách điều chỉnh giá tr điều khiển đầu vào. Trong tr ng hợp không có kiến thức cơ
bản về quá trình thì bộ điều khiển PID là tốt nhất.
H n chế các bộ điều khiển PID có thể dùng nhiều cho bài toán điều khiển và
th ng đ t đ ợc kết quả nh ý mà không dùng bất kỳ cải tiến hay điều chỉnh nào và
th ng không cho ta điều khiển tối u. Khó khăn cơ bản của bộ điều khiển PID là
phản h i với hệ số không đ i.
2.2ăPh ngăphápăđi uăkhi năLQR.
2.2.1ăĐi uăkhi năt iă u
Điều khiển tối u là ph ơng pháp điều khiển hệ thống sao cho đ t đ ợc một
chỉ tiêu chất l ợng cho tr ớc là tốt nhất. Đây là một ph ơng pháp điều khiển hiện
dang đ ợc sử dụng rộng rưi trong nhiều lĩnh vực : không gian, điều khiển quá trình,
Robot, kỹ thuật sinh h c… Ph ơng pháp này có thể phân lo i nh sau:
 Điều khiển tối u tĩnh: Đây là ph ơng thức điều khiển mà chỉ tiêu
chất l ợng không phụ thuộc vào th i gian.
 Điều khiển tối u động : Đây là ph ơng thức điều khiển mà chỉ tiêu
chất l ợng phụ thuộc vào th i gian, đ ợc đặc tr ng b i các bài toán :
o Điều khiển toàn ph ơng tuyển tính LQR
o Điều khiển tối u chỉ tiêu H2
o ….

27. 14
2.2.2 B ăđi uăkhi năLQR
Ph ơng pháp điều khiển LQR là một ph ơng pháp điều khiển m nh để điều
khiển hệ thống tuyến tính đ ợc mô tả bằng ph ơng trình tr ng thái. Kỹ thuật LQR
t o ra bộ điều khiển vòng kín n đ nh với năng l ợng cung cấp cho hệ thống là nhỏ
nhất.
Xét đối t ợng tuyến tính hóa đ ợc mô tả b i ph ơng trình tr ng thái:
     
t
Bu
t
Ax
t
x 


Thông th ng nếu hệ n đ nh thì khi không b kích thích hệ luôn có xu
h ớng tiến về điểm tr ng thái cân bằng, tức là điểm mà khi không có tác động từ
bên ngoài ( u = 0) hệ sẽ nằm luôn t i đó ( 0

dt
dx
). Nh vậy rõ ràng điểm tr ng thái
cân bằng phải là nghiệm của ph ơng trình tr ng thái : 0

A
x .
Và nếu có giả thiết A là ma trận không suy biến thì hệ tuyến tính
Bu
Ax
dt
dx

 luôn chỉ có một điểm cân bằng.
Ph ơng pháp điều khiển LQR đ ợc dùng cho mô hình của hệ đư tuyến tính
hóa t i v trí cân bằng. Bộ điều khiển phản h i tr ng thái đ ợc xác đ nh thông qua
việc giải ph ơng trình Ricatti để có đ ợc ma trận phản h i tr ng thái K, nhằm kéo
hệ từ điểm b nhiễu tác động x0 về l i v trí cân bằng sao cho quá trình này tiêu tốn
năng l ợng là thấp nhất.
2.2.2.1 Đi uăkhi năLQRăliênăt că[1]
Xét đối t ợng tuyến tính hóa đ ợc mô tả b i ph ơng trình tr ng thái:
     
t
Bu
t
Ax
t
x 


(2.1)
Trong đó :
        
 T
n t
x
t
x
t
x
t
x ,...,
, 2
1
 : Vecto tr ng thái
        
 T
m t
u
t
u
t
u
t
u ,...,
, 2
1
 : Vecto tin hiệu điều khiển

28. 15
Hìnhă2.2: Ph ơng pháp điều khiển LQR
Ph ơng pháp điều khiển LQR là một trong các ph ơng pháp điều khiển tối
u thông dụng, ph ơng pháp nhằm đi tìm tín hiệu điều khiển u(t) để điều chỉnh hệ
thống từ tr ng thái ban đầu x(0) = x0 bất kỳ về tr ng thái cuối x(tf) = 0 sao cho tối
thiểu hàm chỉ tiêu chất l ợng d ng toàn ph ơng :
             
 dt
t
Ru
t
u
t
Qx
t
x
t
Mx
t
x
u
J
f
t
t
T
T
f
f
T
 


0
.
.
2
1
.
2
1
(2.2)
Trong đó :
 Q và M là các ma trận tr ng số bán xác đ nh d ơng.
 R là ma trận tr ng số xác đ nh d ơng.
Từ các dữ liệu trên ta thành lập đ ợc ph ơng trình Hamilton có d ng :
       
       
 
t
Bu
t
Ax
t
t
Ru
t
u
t
Qx
t
x
H T
T
T



 
2
1
(2.3)
Điều kiện cần để có l i giả tối u :
 Ph ơng trình tr ng thái :
     
t
Bu
t
Ax
t
x 


(2.4)
 Ph ơng trình đ ng tr ng thái :
     
t
A
t
Qx
x
H
t 
 







(2.5)
 Điều kiện dừng :
    0





t
B
t
Ru
u
H T
 (2.6)
Rút u(t) từ (2.6) ta có :
   
t
B
R
t
u T

1

 (2.7)

29. 16
Thay (2.7) vào (2.4) ta có :
     
t
B
R
t
Ax
t
x T

1


 (2.8)
Kết hợp (2.8) và (2.5) ta đ ợc hệ ph ơng trình vi phân :
 
 
 
 






















 


t
t
x
A
Q
B
BR
A
t
t
x
T


1
(2.9)
Giải ph ơng trình vi phân (2.9) ta tìm đ ợc x(t) và λ(t). Thay λ(t) vào (2.7)
ta tìm tín hiệu điều khiển tối u :
     
t
x
t
K
t
u .

 (2.10)
Trong đó :
    
t
P
B
R
t
K T
1


  
t
P là nghiệm bán xác đ nh d ơng của ph ơng trình vi phân Ricatti
P
B
PBR
Q
P
A
PA
P T
T 1






 (2.11)
  M
t
P f 
2.2.2.2 Thi tăk ăb ăđi uăkhi năLQRăliênăt c. [9]
Dựa vào lý thuyết về kỹ thuật điều khiển LQR đ ợc trình bày phần trên, ta
tiến hành thiết kế bộ điều khiển LQR điều khiển cân bằng cho hệ con lắc ng ợc. Để
đơn giản hóa cũng nh tăng độ chính xác cho việc thiết kế ta sử dụng phần mềm
Matlab h trợ tính toán.
Các b ớc thiết kế có thể đ ợc trình bày nh sau:
a. Kiểm nghiệm khả năng thiết kế.
b. Ch n ma trận Q và ma trận R để tối u hóa hàm chỉ tiêu chất l ợng.
             
 dt
t
Ru
t
u
t
Qx
t
x
t
Mx
t
x
u
J
f
t
t
T
T
f
f
T
 


0
2
1
2
1
(2.12)
 Q và M là các ma trận tr ng số bán xác đ nh d ơng.
 R là ma trận tr ng số xác đ nh d ơng.
Với hệ con lắc ng ợc, có một đầu vào nên:
    2
Ru
uRu
t
Ru
t
uT

 (2.13)
Ch n R = 1, để J → Jmin thì    
t
Qx
t
xT
. phải tiến đến giá tr nhỏ nhất.

30. 17
Do ma trận Q đối xứng và không xác đ nh âm, nên ta có thể tìm đ ợc
một ma trận C, sao cho: C
C
Q T
 để    
t
Qx
t
xT
→ 0.
c. Tính ma trận h i tiếp tr ng thái K.
d. Mô phỏng và kiêm tra kết quả, đ ng th i thay đ i thông số ma trận Q
và R để hệ thống đ t đ ợc tr ng thái điều khiển tối u nhất.
Chú ý :
o Tùy theo độ lớn t ơng đối của Q và R mà hệ thống có đáp ứng
quá độ và năng l ợng tiêu tốn khác nhau.
o Muốn tr ng thái nào đáp ứng nhanh, ta tang tr ng số của tr ng
thái đó trong ma trận Q t ơng ứng.
o Muốn giảm năng l ợng ta tăng R.
2.3ăThi tăk ăb ăđi uăkhi năs
Chúng ta đư thiết kế đ ợc bộ điều khiển theo ph ơng pháp t a độ cực và
LQR cho đáp ứng điều khiển tốt. Tuy nhiên để có thể lập trình trên vi điều khiển
Arduino Uno thì chúng ta cần thiết kế bộ điều khiển số mô hình gián đo n.
2.3.1ăXơyăd ngămôăhìnhăgiánăđo năchoăh ăconăl căng că[6]
Mô hình gián đo n của hệ con lắc ng ợc đ ợc trình bày nh hình 2.3, trong
đó khâu trích mẫu và khâu giữ chậm thành phần bậc 0 là khâu ZOH.
Hìnhă2.3: Mô hình gián đo n hệ thống con lắc ng ợc với khâu ZOH
Ma trận A, B, C là các ma trận tr ng thái đ nh nghĩa hệ thống. Các ma trận
này đ ợc xây dựng dựa trên các thông số kết cấu của hệ thống. T là chu kỳ lấy mẫu.
Trong đó các b ớc gián đo n hóa đ ợc tính toán nh sau:
 Tính toán ma trận quá độ :

31. 18
Ma trận quá độ trong miền Lapales:
  1



 A
sI
s
Ma trận quá độ trong miền th i gian:
Фt = £-1
Фs
 R i r c hóa ph ơng trình tr ng thái:
 
   
   








)
(
)
(
1
kT
u
D
kT
x
C
kT
y
kT
u
B
kT
x
A
T
k
x
d
d
d
d
Trong đó:
















D
D
C
C
Bd
B
A
d
d
T
d
T
d
0


Hìnhă2.4: Mô hình gián đo n hóa t ơng đ ơng của hệ con lắc ng ợc
Hàm truyền của khâu ZOH đ ợc xây dựng từ hệ ph ơng trình tuyến tính của
hệ thống nh sau:
 
 





















c
in
c
c
x
ml
mgl
ml
I
V
ml
x
b
x
m
M




2
)
(
(2.14)
Biến đ i Laplace hai ph ơng trình trên ta có:
 
 












2
2
2
2
2
.
)
(
s
mlX
mgl
s
ml
I
U
s
ml
s
X
b
s
X
m
M
s
s
s
s
s
s
s





(2.15)
Từ hệ ph ơng trình trên ta có:

32. 19
 
 















s
s
s
s
X
mgl
s
ml
I
mls
mls
mgl
s
ml
I
X
2
2
2
2
2
2


(2.16)
Thay vào (2.15) vào (2.16) ta có :
 
  
s
s mls
mls
mgl
s
ml
I
s
b
s
m
M
U 

 












 2
2
2
2
2
.
).
( (2.17)
Hay :
 
   2
2
2
2
2
).
( mls
mls
mgl
s
ml
I
s
b
s
m
M
Us
s











(2.18)
Vậy :
  s
q
mgl
b
s
q
mgl
m
M
s
q
ml
I
b
s
s
q
ml
Us
s
)
(
)
(
)
( 2
3
2
4
2












 (2.19)
T ơng tự ta có
 
  s
q
mgl
b
s
q
mgl
m
M
s
q
ml
I
b
s
q
mgl
s
q
ml
I
U
X
s
s
)
(
)
(
)
(
.
2
3
2
4
2
2













 (2.20)
Với :
    2
2
ml
ml
I
m
M
q 



 Và ma trận quá độ   1


 A
sI
s

2.3.2ăThi tăk ăb ăđi uăkhi năLQRăgiánăđo nă[1]
Mô hình gián đo n t ơng đ ơng của hệ thống:

33. 20
Hìnhă2.5: Mô hình gián đo n t ơng đ ơng của hệ thống
Xét đối t ợng tuyến tính r i r c đ ợc mô tả b i ph ơng trình tr ng thái:
     
k
u
B
k
x
A
k
x d
d 



1 (2.21)
Trong đó :
        
 T
n k
x
k
x
k
x
k
x ,...,
, 2
1
 : Vecto tr ng thái
        
 T
m k
u
k
u
k
u
k
u ,...,
, 2
1
 : Vecto tin hiệu điều khiển
Ta đi tìm tín hiệu điều khiển u(k) để điều chỉnh hệ thống từ tr ng thái ban
đầu x(0) = x0 bất kỳ về tr ng thái cuối x(N) = 0 sao cho tối thiểu hàm chỉ tiêu chất
l ợng d ng toàn ph ơng :
             
 






1
0
2
1
2
1
N
k
T
T
T
k
Ru
k
u
k
Qx
k
x
N
Mx
N
x
u
J (2.22)
Trong đó :
 Q và M là các ma trận tr ng số bán xác đ nh d ơng.
 R là ma trận tr ng số xác đ nh d ơng.
Tín hiệu điều khiển tối u :
     
k
x
k
K
k
u 
 (2.23)
Trong đó :
    
    d
T
d
d
T
d A
k
P
B
R
B
k
P
B
k
K 1
1
1





  
t
P là nghiệm bán xác đ nh d ơng của ph ơng trình vi phân Ricatti

34. 21
       
   
  Q
A
k
P
B
R
B
k
P
B
B
k
P
k
P
A
k
P d
T
d
d
T
d
d
T
d 








1
1
1
1
1
  M
N
P 
 Nghiệm ph ơng trình Ricatti r i r c sẽ lần l ợt thay k=(N-1) → 0 vào
ph ơng trình Ricatti để tìm P(k).
2.4ăB ăl căKalmană[5]
Nh đư phân tích mục trên, ta thấy để có thể điều khiển đ ợc hệ thống cân
bằng thì việc đầu tiên quan tr ng phải làm là xác đ nh đ ợc chính xác góc nghiêng
của con lắc. Trong đề tài, ta sử dụng Encoder để đo góc. Tuy nhiên khi sử dụng
Encoder, nh ợc điểm là mỗi lần có những rung động nào đó mà ta không quản lý
đ ợc, encoder sẽ b sai một xung. Đối với ứng dụng điều khiển con lắc ng ợc cân
bằng khi động cơ ho t động sẽ b rung rất nhiều nên giá tr góc nghiêng ớc l ợng
g m nhiều những giá tr không mong muốn. Để khắc phục vấn đề đó, ta sử dụng bộ
l c Kalman.
Lý thuyết l c Kalman đ ợc đề xuất từ năm 1960 b i R.E.Kalman mô tả một
giải thuật truy h i để giải quyết bài toán l c thông tin r i r c tuyến tính (discrete
data linear filtering). Một cách khái quát, bộ l c Kalman là tập hợp các ph ơng
trình truy h i cho phép ta ớc l ợng tr ng thái của môt quá trình theo tiêu chuẩn
bình ph ơng nhỏ nhất. Bộ l c Kalman rất hiệu quả trong việc ớc l ợng các tr ng
thái trong quá khứ, hiện t i và t ơng lai ngay cả khi mô hình của hệ thống không
đ ợc biết chính xác. Sơ đ của bộ l c Kalman có thể đ ợc trình bày nh hình 2.6
Hìnhă2.6 : Sơ đ khối bộ l c Kalman

35. 22
Đối với bộ l c Kalman, thuật ngữ “l c” không đ ợc hiểu giống nh các bộ
l c thông th ng. Bộ l c Kalman là một giải thuật tính toán dựa vào tất cả các
thông tin nhận đ ợc đầu vào để đ a ra thông tin đầu ra đáng tin cậy nhất. Bộ l c
Kalman có khả năng lo i bỏ các nhiễu trắng mà nó nhận đ ợc đầu vào dựa vào
các thống kê tr ớc đó và hiệu chỉnh l i bằng các giá tr đo hiện t i. Nh có cơ chế
cập nhật sai lệch bias t i mỗi th i điểm tính toán nên giá tr góc nghiêng ớc l ợng
đ ợc n đ nh và chính xác.
2.4.1ăB ăl căKalmanăr iăr c.[5]
Xét hệ tuyến tính r i r c:
       
     












k
v
k
x
C
k
y
k
w
k
u
B
k
x
A
k
x
d
d
d
.
1 (2.32)
Trong đó :
 w(k) là nhiễu hệ thống t i th i điểm k.
 v(k) là giá tr nhiễu đo l ng t i th i điểm k.
Giả sử nhiễu hệ thống và nhiễu đo l ng là nhiễu Gauss, không t ơng quan, có
trung bình bằng 0 và ph ơng sai là:
 
 





N
T
N
T
R
vv
E
Q
ww
E
Bộ l c Kalman r i r c:
     
     
 
   














k
x
C
k
y
k
y
k
y
L
k
u
B
k
x
A
k
x
d
d
d
ˆ
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
1
ˆ (2.33)
Trong đó L là độ lợi của bộ l c Kalman :
     
  1


 N
T
d
d
T
d
d R
C
k
P
C
C
k
P
A
k
L (2.34)
Với P là nghiệm của ph ơng trình Ricatti :
        T
d
d
N
T
d
d
N
T
d
d A
k
P
C
R
C
k
P
A
Q
A
k
P
A
k
P 1
1 



 (2.35)
Sơ đ khối của bộ l c Kalman r i r c đ ợc mô tả nh hình 2.9

36. 23
Hìnhă2.7: Sơ đ khối bộ l c Kalman r i r c[5]
2.4.2ăB ăl căKalmanăliênăt c.[5]
Xét hệ tuyến tính liên tục:
       
     











t
v
t
Cx
t
y
t
w
t
Bu
t
Ax
t
x (2.26)
Trong đó :
 w(t) là nhiễu hệ thống (th ng là nhiễu Gaussian).
 v(t) là giá tr nhiễu đo l ng.
Giả sử nhiễu hệ thống và nhiễu đo l ng là nhiễu Gauss, không t ơng quan, có
trung bình bằng 0 và ph ơng sai là:
 
 





N
T
N
T
R
vv
E
Q
ww
E
(2.27)
Bộ l c Kalman liên tục:
     
     
 
   











t
x
C
t
y
t
y
t
y
L
t
Bu
t
x
A
t
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ (2.29)
Trong đó L là độ lợi của bộ l c Kalman :
1

 N
T
R
PC
L (2.30)
Với P là nghiệm của ph ơng trình Ricatti :
0
1



 
N
N
T
T
Q
CP
R
PC
PA
AP (2.31)
Sơ đ khối của bộ l c Kalman liên tục đ ợc mô tả nh hình 2.8

37. 24
Hìnhă2.8: Sơ đ khối bộ l c Kalman liên tục[5]
2.5ăĐi uăkhi năSwingăậ Up.[6]
Tr ng tâm của việc điều khiển con lắc ng ợc là giử con lắc n đ nh v trí
cân bằng. Tuy nhiên ban đầu con lắc v trí bên d ới, ta cần một bộ điều khiển
xoay con lắc lên v trí th ng đứng. Quá trình trên đ ợc g i là quá trình swing-up.
Khi con lắc lên gần tới v trí th ng đứng, ch ơng trình điều khiển LQR đ ợc kích
ho t giử cân bằng cho con lắc v trí th ng đứng.
Có nhiều ph ơng pháp điều khiển quá trình swing-up đ ợc đ a ra: Điều
khiển theo kinh nghiệm( Heuristic control), Điều khiển dựa trên năng l ơng(
Energy control), Điều khiển năng l ợng tối thiểu. Với yêu cầu th i gian điều khiển
ngắn nhất cũng nh sự chắc chắc trong quá trình swing-up nên chúng ta chon
ph ơng pháp điều khiển dựa trên năng l ơng ( Energy control)[6].
Ph ơng pháp điều khiển dựa trên năng l ợng đ ợc đ a ra từ rất sớm, năm
1996, bới hai nhà khoa h c K. J. Åström và K. Furuta.
Ph ơng trình năng l ợng của con lắc:
 
 
1
θ
Cos
mgl
θ
J
2
1
E 2




(2.39)
v trí cân bằng d ới, cân bằng tĩnh :







0
θ
Π
θ
năng l ợng mgl
2
En

 (2.40)
v trí cân bằng trên, cân bằng động :







0
θ
0
θ
năng l ợng 0
En  (2.41)

38. 25
Vậy năng l ợng cần cho quá trình Swing – Up là:
m.g.l
2
Er  (2.42)
Đ o hàm năng l ợng con lắc theo th i gian, ta có:
   
θ
Cos
θ
x
ml
θ
Sin
θ
mgl
θ
θ
J
2
1
dt
dE 









 (2.43)
Để có thể tăng năng l ợng con lắc thì :
  0
θ
Cos
θ
x
ml
0
dt
dE







(2.44)
Vì m,l là hằng số nên :
  0
θ
Cos
θ
x
ml 



(2.45)
  0
θ
Cos
θ
x 






 x và  

 Cos

trái dấu
Nh vậy luật điều khiển thỏa ph ơng trình:
   

 Cos
E
E
k
x r




 (2.46)
Giả sử gia tốc x tỉ lệ với lực và điện áp điều khiển, để năng l ợng gia tăng
nhanh hơn, luật điều khiển có thể đ ợc chuyển thành :
   









 Cos
sign
E
E
k
V r (2.47)
Trong đó hàm  




 

 Cos
sign có giá tr nh sau :
   
   




























0
θ
Cos
θ
khi
1
θ
Cos
θ
sign
0
θ
Cos
θ
khi
1
θ
Cos
θ
sign

39. 26
CH NGă3:ăTHI TăK ăB ăĐI UăKHI NăCỂNăB NGăCONă
L CăNG C
Cấu trúc động h c của mô hình con lắc ng ợc đ ợc sử dụng bao g m một
con lắc là một thanh đ ng chất có chiều dài l có một đầu tự do có thể chuyển động
theo trục ngang x , đầu còn l i của con lắc đ ợc gắn cố đ nh vào trục quay cố đ nh
trên xe. Xe đ ợc truyền động b i một động cơ điện có h i tiếp, thông qua hệ thống
Puly và dây đai để có thể di chuyển d c trục trên đ ng ray ph ng trong ph m vi
chuyển động giới h n. Cảm biến góc nghiêng gắn đ ng trục Puly của cơ cấu chuyển
động nhằm xác đ nh góc quay của con lắc. Từ đó, tín hiệu sẽ đ ợc đ a về hệ thống
điều khiển thông minh nhằm đảm bảo con lắc di chuyển và đ ợc giữ cân bằng.
B ngă3.1. Thông số của hệ thống con lắc ng ợc đ ợc thiết kế
Môăt Thôngăs ămôăhình
Khối l ợng con lắc (kg) 0,22
Chiều dài con lắc (m) 0,33
Khối l ợng xe tr ợt (kg) 0,15
Chiều dài đ ng ray Xray (m) 0,5
Chiều cao mô hình h (m) 0,25
Khôi l ợng mô hình (kg) 4
3.1.ăThi tăk ăb ăđi uăkhi năLQR
3.1.1ăH ăph ngătrìnhătr ngătháiăcủaăconăl căng c.
Mô hình tr ng thái của hệ con lắc ng ợc có d ng :
)
(
)
(
)
( t
Bu
t
Ax
t
x 


(3.1)
Từ hệ ph ơng trình (1.22) ta có :
 
 
   
   





























2
2
.
.
.
.
.
.
l
m
J
l
g
m
x
l
m
J
l
m
V
m
M
x
m
M
b
m
M
l
m
x
c
c
c
(3.2)

40. 27
Từ ph ơng trình (1.11), (1.18) và (2.22) ta có:
    
   

























V
q
l
m
x
q
b
l
m
q
m
M
l
g
m
V
q
l
m
J
x
q
l
m
J
b
q
l
m
g
x c
c
.
.
.
.
.
.
.
.
. 2
2
2
2







(3.3)
Đặt các biến
















c
c
x
x
x
x
x
x
V
u
4
3
2
1


Ta có :
   
    
u
q
l
m
J
q
l
m
x
x
x
x
q
l
m
J
b
q
l
g
m
q
l
m
b
q
l
g
m
m
M
x .
.
0
.
.
0
.
.
0
0
.
.
1
0
0
0
.
.
0
0
.
.
0
0
1
0
2
4
3
2
1
2
2
2



























































Trong đó :
    2
2
.
. l
m
l
m
J
m
M
q 



3.1.2ăB ăđi uăkhi năLQR
Dựa vào lý thuyết về kỹ thuật điều khiển LQR đ ợc trình bày phần trên, ta
tiến hành thiết kế bộ điều khiển LQR điều khiển cân bằng cho hệ con lắc ng ợc. Sử
dụng phần mềm Matlab để tính toán và mô phỏng đáp ứng của hệ thống. Mô hình
điều khiển con lắc ng ợc bằng thuật toán LQR đ ợc xây dựng nh hình 3.1

41. 28
Hìnhă3.1ă: Thuật toán điều khiển LQR
Các b ớc thiết kế có thể đ ợc trình bày nh sau:
e. Kiểm nghiệm khả năng thiết kế.
f. Ch n ma trận Q và ma trận R để tối u hóa hàm chỉ tiêu chất l ợng.
             
 dt
t
Ru
t
u
t
Qx
t
x
t
Mx
t
x
u
J
f
t
t
T
T
f
f
T
 


0
.
.
2
1
.
2
1
(3.4)
 Q và M là các ma trận tr ng số bán xác đ nh d ơng.
 R là ma trận tr ng số xác đ nh d ơng.
g. Tính ma trận h i tiếp tr ng thái K thông qua Matlab bằng lệnh:
K=dlqr(A,B,Q,R); (3.5)
h. Mô phỏng và kiêm tra kết quả, đ ng th i thay đ i thông số ma trận Q
và R để hệ thống đ t đ ợc tr ng thái điều khiển tối u nhất.
Cụ thể ta ch n các ma trận tr ng số nh sau :
 Tr ng hợp ta ch n













0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
Q và R = 1 ta có đáp ứng của hệ thống:

42. 29
Hìnhă3.2ă: Đáp ứng góc θ của hệ thống khi Q(1,1)=1 và Q(3,3)=1
Hìnhă3.3 : Đáp ứng v trí xc của hệ thống khi Q(1,1)=1 và Q(3,3)=1

43. 30
Khi ch n Q(1,1) =1 và Q(3,3) =1 hệ thống còn không đ nh tín hiệu v trí xe
vẫn còn đang dao động, theo lý thuyết sẽ n đ nh vô cùng.
 Tr ng hợp ta ch n













0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
500
Q và R = 1 ta có:
Hìnhă3.4 : Đáp ứng góc θ của hệ thống khi Q(1,1)=500 và Q(3,3)=1

44. 31
Hìnhă3.5 : Đáp ứng v trí xc của hệ thống khi Q(1,1)=500 và Q(3,3)=1
Khi ch n Q(1,1) =500 và Q(3,3) =1 tín hiệu góc lệch n đ nh nhanh, tuy
nhiên tín hiệu điều khiển v trí xe vẫn ch a đ t tr ng thái n đ nh.
 Tr ng hợp ta ch n













0
0
0
0
0
3000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3000
Q và R = 1 ta có đáp ứng của hệ
thống:

45. 32
Hìnhă3.6 : Đáp ứng góc θ của hệ thống khi Q(1,1)=3000 và Q(3,3)=3000
Hìnhă3.7 : Đáp ứng v trí xc của hệ thống khi Q(1,1)=3000 và Q(3,3)=3000

46. 33
Ta nhận thấy việc ch n ma trận Q ảnh h ng nhiều đến đáp ứng của hệ
thống. Khi ch n Q(1,1)=3000,Q(3,3)=3000 hệ thống n đ nh nhanh, hệ thống đáp
ứng yêu cầu điều khiển trong khoảng th i gian 2s.
3.2.ăThi tăk ăb ăđi uăkhi năLQRăk tăh păb ăl căKalmană
Tr ng tâm của phần này, ta thiết kế bộ điều khiển LQR kết hợp thêm bộ l c
Kalman để l c nhiễu và ớc l ợng tr ng thái tiếp theo cho hệ con lắc ng ợc. Sơ đ
của bộ điều khiển có thể đ ợc trình bày nh hình 3.8 :
Hìnhă3.8 : Bộ điều khiển LQR kết hợp bộ l c Kalman
Trong mô hình, giả sử hai tr ng thái góc lệch θ và v trí xe c
x đ ợc phản h i
và có tín hiệu nhiễu trong tín hiệu phản h i đó. Các tr ng thái còn l i nh vận tốc
con lắc

 , vận tốc xe c
x

xem nh không đo l ng đ ợc. Bộ điều khiển LQG sẽ có
nhiệm vụ l c nhiễu tín hiệu và ớc l ợng tr ng thái tiếp theo của tín hiệu nhằm đáp
ứng nhu cầu điều khiển.
Thông số đ ợc lựa ch n cho bộ điều khiển nh sau:
 Bộ điều khiển LQR :













0
0
0
0
0
1000000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1000
Q
1

R

47. 34
 Giá tr nhiễu của hệ thống :
000001
,
0

N
Q : nhiễu của hệ thống







01
,
0
0
0
001
,
0
N
R : ph ơng sai của nhiễu đo l ng
 Tính hệ số K của bộ LQR và L của bộ l c Kalman dùng Matlab
 K=lqr(A,B,Q,R)
 L=lqe(A,G,C, N
Q , N
R )
Kết quả đáp ứng của bộ điều khiển nh sau:
 Tr ng hợp ta ch n













0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
100
Q và R = 1 ta có:
Hìnhă3.9 : Đáp ứng góc θ của hệ thống khi Q(1,1)=100 và Q(3,3)=1
Tải bản FULL (95 trang): bit.ly/2Ywib4t
Dự phòng: fb.com/KhoTaiLieuAZ

48. 35
Hìnhă3.10 : Đáp ứng v trí xc của hệ thống khi Q(1,1)=100 và Q(3,3)=1
Hệ thống dao động, tín hiệu v trí xe và góc con lắc hầu nh không điều khiển đ ợc.
 Tr ng hợp ta ch n













0
0
0
0
0
1000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
Q và R = 1 ta có:

49. 36
Hìnhă3.11 : Đáp ứng góc θ của hệ thống khi Q(1,1)=10 và Q(3,3)=1000
Hìnhă3.12 : Đáp ứng v trí xc của hệ thống khi Q(1,1)=10 và Q(3,3)=1000
Tải bản FULL (95 trang): bit.ly/2Ywib4t
Dự phòng: fb.com/KhoTaiLieuAZ

50. 37
Tín hiệu v trí xe và góc con n đ nh trong khoảng th i gian đầu (trong khoảng 4s),
sau đó tín hiệu v t lố và không còn điều khiển đ ợc.
 Tr ng hợp ta ch n













0
0
0
0
0
1000000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1000
Q và R = 1 ta có:
Hìnhă3.13 : Đáp ứng góc θ của hệ thống khi Q(1,1)=1000 và Q(3,3)=1000000
83a9c756