1. JTM Vol. XVII No. 3/2010
171
ESTIMASI TINGGI GELOMBANG MENGGUNAKAN
KECEPATAN ARUS DENGAN PERSAMAAN STOKES ORDE 2
Taufik Suprayogo1, Totok Suprijo1
Sari
Kemampuan teori gelombang Stokes order 2 dalam memprediksi tinggi dan periode gelombang di pantai telah diuji
dalam penelitian ini. Hubungan parameter gelombang, yaitu tinggi gelombang dan kecepatan partikel air di bawah
gelombang progresif telah dijelaskan dengan baik di dalam teori Stokes tersebut diatas, oleh karena itu kami
menggunakan hasil pengukuran kecepatan partikel air untuk memprediksi tinggi dan periode gelombang.Data
kecepatan partikel air diperoleh dari ADCP (Acoustic Doppler Current Profiler) yang telah dipasang di perairan
Pulau Pramuka. Selanjutnya, kami diverifikasi hasil estimasi tinggi gelombang dengan data observasi. Hasil
verifikasi terhadap data observasi menunjukkan bahwa estimasi tinggi gelombang menggunakan komponen vertikal
dari kecepatan partikel air lebih mendekati hasil pengukuran jika dibandingkan dengan estimasi tinggi gelombang
menggunakan komponen horisontal dari kecepatan partikel air. Perbedaan rata-rata tinggi gelombang yang
diestimasi dari komponen kecepatan vertikal terhadap data pengamatan adalah 0,33 m, sedangkan perbedaan rata-rata
estimasi menggunakan komponenkecepatan horizontal adalah 0,45 m.
Kata kunci: stokes, estimasi, spektrum energi
Abstract
Applicability of the Stokes 2nd order wave theory to predict coastal wave have been examined in this study.
Relationship of wave high and water particle velocity under progressive wave is explained in the Stokes theory,
therefore we used measured water particle velocities to estimate wave high and period. Water particle velocities
data was obtained from ADCP (Acoustic Doppler Current Profiler) equipment that had been deployed in the
Pramuka Island waters. Further, we verified estimation result of wave high with observation data. The verification
results show that wave high estimation using vertical component of water particle velocities is closer to observation
than estimation using horizontal component of water particle velocities. Averaged discrepancy of wave high
estimated from vertical velocity component to the observation data is 0.33 m, whereas the averaged discrepancy of
estimation using horizontal velocity component is 0.45 m.
Keywords : stokes, estimation, spectrum energy
1) Program Studi Oseanografi, Fakultas Ilmu dan Teknologi Kebumian, ITB,Jl. Ganesa No. 10 Bandung 40132,
Telp.: +62 22-2500494,Fax.:+62 22-2534139 email: totok@fitb.itb.ac.id
I. PENDAHULUAN
Gelombang laut adalah pergerakan naik dan
turunnya air dengan arah tegak lurus
permukaan air laut yang membentuk
sinusoidal.Gelombang laut biasanya
disebabkan oleh angin (gelombang angin),
daya tarikanbumi-bulan-matahari (gelombang
pasang-surut) dan gelombang yang
disebabkan oleh gempa di dasar laut
(gelombang tsunami). Gelombang yang kita
amati di lapangan mempunyai bentuk sangat
kompleks dan tidak beraturan.Untuk
mempelajarinya maka kita lakukan
pendekatan bahwa satu gelombang yang tak
beraturan merupakan superposisi dari tak
berhingga gelombang yang sinusoidal. Maka
untuk mendekati tinggi gelombang pada
keadaan sebenarnya pada penelitian ini
digunakan teori stokes orde kedua. Estimasi
ini digunakan pada setiap frekuensi
gelombang atau pada setiap gelombang.
Walaupun terdapat galat pada penelitian ini,
namun pendekatan dengan menggunakan
persamaan stokes orde 2 cukup baik.
II. PERSAMAAN PENGATUR
Gaya gravitasi, tekanan, dan inersia
mendominasi pergerakan gelombang kecuali
di lapisan-lapisan batas yang tipis (= 1 cm)
pada perbatasan (interface) udara-air dan
dasar perairan. Teori-teori gelombang yang
ditinjau mengacu pada asumsi dasar bahwa
aliran adalah irrotational, yang
mengimplementasikan bahwa tidak ada stress
geser internal dan efek viscosity (kekentalan).
Secara fundamental rotasi terjadi pada
lapisan-lapisan batas tipis permukaan dan
dasar, sehingga teori-teori gelombang yang
digunakan tidak valid (sah) di lapisan-lapisan
tersebut.
Untuk mempermudah penyelesaian dalam
gelombang digunakan asumsi-asumsi sebagai
berikut:
1. Fluida tidak termampatkan
(incompressible) sehingga divergensi
kecepatan:
∇.푞 = 0
dimana:
푞 = kecepatan fluida
(1)

2. Taufik Suprayogo, Totok Suprijo
172
Asumsi ini dipakai untuk menghindari
gelombang gravitasi internal
mempengaruhi aliran.
2. Fluida tidak kental (inviscid), berarti gaya
yang berkerja terhadap fluida hanyalah
tekanan normal pada permukaan. Gaya
lain yang bekerja hanyalah gaya badan
yang ditimbulkan oleh kecepatan
grafitasi. Dengan asumsi ini hukum II
Newton menjadi:
퐷푞
퐷푡
= −
1
휌
∇푝 − 푔 (2)
dimana:
휌 = 푚푎푠푎 푗푒푛푖푠
푝 = 푡푒푘푎푛푎푛
푔 = 푔푟푎푣푖푡푎푠푖
3. Aliran irotasional sehingga:
X 푞 = 0 (3)
4. Akibat asumsi 1 dan 3 maka untuk suatu
fungsi skalar dapat ditulis:
푞 = ∇∅ (4)
dimana Ф adalah potensial kecapatan, dan
dari persamaan (1) didapatkan:
∇. ∇∅ = ∇2 ∅ = 0 (5)
Persamaan ini dikenal sebagai persamaan
laplace. Karena ∅ memenuhi persamaan (4)
maka ∅ disebut sebagai fungsi harmonik.
Keempat asumsi di atas adalah asumsi pokok
yang akan digunakan untuk menyusun
persamaan pengatur dengan syarat batas.
Persamaan pengatur adalah persamaan laplace
yang dapat ditulis sebagai berikut:
휕2∅
휕2푥
+
휕2∅
휕2푦
+
휕2∅
휕2푧
= 0 (6)
Agar persamaan ini dapat diselesaikan harus
diberikan syarat batas yang sesuai. Ada dua
syarat batas yang diperlukan untuk
menyelesaikan persamaan laplacedi atas yakni
syarat batas kinematik dan syarat batas
dinamik.
2.1 Syarat Batas Kinematik
Syarat batas kinematik adalah syarat batas
suatu permukaan S yang dibentuk oleh
partikel yang sama, dan fluida yang semula
berada di dalam permukaan S tersebut akan
tetap ada di dalam permukaan S. Bila
permukaan S kita nyatakan sebagai 푥 , 푡 =
0 , maka untuk setiap partikel yang bergerak
dalam arah dalam arah x,y,z dan pada t yang
berubah akan tetap pada permukaan tersebut,
atau:
퐷푆
퐷푡
= 0 (7)
Syarat batas kinematik dapat diambil pada
pemukaan bebas dan pada dasar. Permukaan
bebas dapat dinyatakan sebagai:
Z = η (x,y,t) (8)
dan pada permukaan S adalah
S = η (x,y,t) – z = 0 (9)
disini η tidak tergantung pada Z, dan Z tidak
tergantung pada variabel lainnya. Dengan
menggunakan persamaan (7) didapat:
(10)
dimana:
휂 = 푒푙푒푣푎푠푖
푢 = 푘푒푐푒푝푎푡푎푛 푡푒푟푕푎푑푎푝 푠푢푚푏푢 푥
푣 = 푘푒푐푒푝푎푡푎푛 푡푒푟푕푎푑푎푝 푠푢푚푏푢 푦
Cara yang sama akan digunakan untuk syarat
batas pada dasar. Misalnya, batas dasar adalah
tegar.
Z= -h(x,y)(11)
yang berarti dasar tidak berubah terhadap
waktu. Dengan menggunakan (6) akan di
peroleh :
푢
휕h
휕푥
+ 푣
휕h
휕푦
+ 푤 = 0 푝푎푑푎 푧 = −h (12)
Dengan menggunkan potensial kecepatan,(9)
dan (11) menjadi:
휕η
휕∅
휕η
휕∅
휕η
휕∅
+
+
−
= 0 푝푎푑푎 푧 = η
휕푡
휕푥
휕푥
휕푦
휕푦
휕푧
휕∅
휕푥
휕h
휕푥
+
휕∅
휕푦
휕h
휕푦
−
휕∅
휕푧
(13)
= 0 푝푎푑푎 푧 = h
(14)
2.2 Syarat Batas Dinamik
Syarat batas dinamik diambil dari persamaan
euler yang sudah diubah bentuknya jadi
persamaan bernaulli seperti di bawah ini:

3. Estimasi Tinggi Gelombang Menggunakan Kecepatan Arus dengan Persamaan Stokes Orde 2
(21)
(22)
(23)
(24)
173
휕∅
휕푡
+
1
2
푞2 +
푝
휌
+ 푔푧 = 푓(푡)(15)
f(t) adalah fungsi sembarang yang bergantung
terhadap waktu, karena alirannya dipenuhi
garadien tekanan maka f(t) dapat diambil
sama dengan nol atau konstan lainnya. Jarang
sekali dipilih fungsi yang benar-benar
bergantung terhadap waktu.
Syarat batas di atas berbentuk non linier
karena suku-sukunya mengandung turunan ∅
dan η. Untuk menyelesaikan persamaan
laplace yang linier maka syarat batasnya
haruslah dibuat linier untuk itu perlu diadakan
pendekatan matematis yang sesuai.Untuk
menyelesaikan persamaan laplace yang linier
maka syarat batasnya haruslah di buat linier.
Dalam teori gelombang linier syarat batas di
permukaan dilinierkan denagn asumsi
amplitudo gelombang lebih kecil
dibandingkan panjang gelombangnya. Maka
persamaan diatas menjadi:
(16)
yang berpengaruh terhadap h dapat ditulis:
(17)
휕∅
휕푡
+ 푔휂 = 0(18)
dengan mengeliminasi η dari kedua
persamaan di atas, syarat batas berikut hanya
dalam bentuk ∅menghasilkan:
휕∅
휕푧
= −
1
푔
휕2∅
휕 푡 2 (푧 = 0)(19)
sedangkan tekanan dapat diperoleh dengan
melinierkan persamaan (16) menjadi:
푝 = −휌
휕∅
휕푡
− 휌푔푧 = 0(20)
III. TEORI GELOMBANG STOKES
Pada tahun 1847,Stokes mengembangkan
teori gelombang orde 2 untuk gelombang
amplitudo berhingga.Keakuran dari teori ini
berkurang seiring dengan bertambahnya
kecuraman gelombang sampai terjadi
gelombang pecah. Potensial kecepatan orde
2Stokes:
∅ =
ɡ퐻
2휍
푐표푠 푕푘(푑+푧)
푐표푠 푕푘푑
sin 푘푥 − 휍푡 +
3휋푐퐻 ²
16퐿
푐표푠 푕2푘(푑+푧)
푠푖푛 푕4(푘푑 )
푠푖푛2(푘푥 − 휍푡)
dimana suku pertama pertama pada ruas
kanan adalah potensial kecepatan untuk teori
gelombang amplitudo kecil. Magnitude dari
suku orde 2 tergantung pada kecuraman
gelombang dan frekuensinya dua kali dari
suku orde pertama. Kecepatan fasanya sama
dengan kecepatan untuk orde pertama. Profil
permukaan air stokes orde kedua:
ƞ휂 =
퐻
2
cos 푘푥 − 휍푡 +
휋퐻
8
퐻
퐿
푐표푠 푕푘푑
푠푖푛 푕ᵌ푘푑
2 +
푐표푠푕2푘푑 푐표푠2(푘푥 − 휍푡)
Dari persamaan 18 terlihat bahwa frekuensi
orde kedua besarnya dua kali orde pertama
dan akan menambah amplitudo pada puncak
gelombang (sefasa dengan orde pertama),
sedangkan pada lembah akan mengurangi
amplitudo (beda fasa). Dengan demikian
profil vertikalnya tidak simetris.
Ketidaksimetrisan ini akan semakin
bertambah dengan semakin besarnya
kecuraman gelombang H/L. Dengan
menggunakan persamaan hiperbolik di
perairan dalam persamaan 18 akan menjadi:
Partikel kecepatan air pada stokes orde ke 2:
푢
=
퐻푔푘
2휍
cosh 푘 (푑 + 푧)
cosh 푘푑
cos 푘푥 − 휍푡
+
3퐻2휍푘
16
cosh 2푘 푑 + 푧
푠푖푛푕4(푘푑)
푐표푠2(푘푥
− 휍푡)
푤 =
퐻푔푘
2휍
sinh 푘 (푑+푧)
cosh 푘푑
sin 푘푥 − 휍푡 +
3퐻2휍푘
16
sinh 2푘 푑+푧
푠푖푛 푕4(푘푑 )
푠푖푛2(푘푥 − 휍푡)
Rumusan inilah yang nantinya akan
digunakan untuk mengestimasi tinggi
gelombang.
IV. ESTIMASI
4.1 Mengestimasi Tinggi Gelombang
Signifikan Menggunakan Kecepatan
Arus Horizontal
Data kecepatan arus ini diambil menggunakan
ADCP (Acoustic Doppler Current Profiler) dan
pengolahan pada data arus digunakan layer
teratas yang mewakili pergerakan

4. Taufik Suprayogo, Totok Suprijo
gelombang.Untuk estimasi tinggi gelombang
dengan kecepatan horisontal ini, penulis
menngunakan kecepatan arus residu, dengan
asumsi bahwa kecepatan arus residu ini
merupakan kecepatan arus yang diakibatkan
oleh gelombang.
Gambar1. Arus pasang surut, arus lapangan
174
dan arus residu
Pada Gambar 1 kita dapat melihat arus pasut
maksimum sebesar 0,77 m/s dan untuk data
observasinya arus maksimum sebesar 0,78 m/s.
Sedangkan arus residu (arus non pasut) lebih
kecil dibandingkan arus pasutnya, arus residu
ini lah yang akan di anggap sebagai arus yng di
sebabkan oleh gelombang, walaupun
sebenarnya arus residu tersebut sebenarnya
bukan hanya disebabkan oleh gelombang saja
tetapi oleh beberapa faktor.
Gambar2. Tinggi gelombang signifikan
Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa hasil
estimasi tinggi signifikan menggunakan
kecepatan arus horisontal belum cukup baik
karena data arus yang digunakan untuk
mendekati tinggi gelombang signifikan hanya
satu data (untuk 1 jam) untuk satu tinggi
gelombang signifikan, sedangkan gelombang
signifikan sendiri merupakan rata-rata dari 1/3
gelombang tertinggi. Dengan demikian, untuk
mendekati tinggi gelombang signifikan
menggunakan satu data arus hasilnya belum
cukup baik.
Gambar3. Spektrum densitas energi
Gambar3 merupakan spektrum densitas energi
gelombang dengan menggunakan Hs. Dari
Gambar tersebut dapat dilihat bahwa spekturm
densitas energi hasil perhitungan (estimasi)
relatif lebih kecil dibandingkan dengan hasil
lapangan, kecuali pada frekuensi 0,25-0,26 hasil
perhitungan lebih besar.
4.2 Mengestimasi Tinggi Gelombang
Menggunakan Kecepatan Arus Vertikal
Untuk estimasi tinggi gelombang dengan
kecepatan vertikal ini, penulis menngunakan
kecepatan arus vertikal lapangan, dengan asumsi
bahwa kecepatan arus vertikal lapangan ini
merupakan kecepatan arus akibat gelombang.
Berbeda dari estimasi gelombang signifikan
dengan menggunakan kecepatan arus horisontal,
pada estimasi tinggi gelombang signifikan
dengan kecepatan arus vertikal ini mengestimasi
dahulu tinggi setiap gelombang setelah itu baru
menghitung tinggi gelombang
signifikan.Gambar 4 merupakan kecepatan arus
vertikal pada burs 1, dalam penelitian ini
banyaknya burs kecepatan arus vertikal
sebanyak 30 burs dalam waktu 30 jam, setiap
melakukan 1 burs selama 10 menit. Jadi setiap 1
jam dilakukan pengambilan data kecepatan arus
vertikal dan tinggi gelombang (data tekanan)
selama 10 menit dalam selang waktu perdetik.
Gambar 4. Kecepatan arus vertikal

5. Estimasi Tinggi Gelombang Menggunakan Kecepatan Arus dengan Persamaan Stokes Orde 2
175
Dari Gambar 5 dan 6 dapat dilihat bahwa hasil
perhitungan (estimasi) tinggi gelombang lebih
besar dibandingkan hasil lapangannya.
Pada Gambar7 terlihat bahwa Hs perhitungan
relativ lebih besar dibandingkan Hs lapangan,
hal ini sama dengan hasil perbandingan tinggi
gelombangnya di mana perhitungan (estimasi)
lebih besar dibandingkan dengan lapangannya.
Estimasi dengan menggunakan kecepatan arus
vertikal lebih baik dibandingkan dengan
kecepatan arus horisontal yang dapat dilihat
pada hasil Hs nya.
Pada Gambar 8 dan 9 dapat dilihat bahwa
spektrum densitas energi hasil perhitungan lebih
besar dari pada hasil lapangan hal ini sama
dengan hasil perhitungan (estimasi) tinggi
gelombangnya. Spektrum densitas energi
dengan menggunakan tinggi gelombang lebih
mendekati spektrum densitas energi
lapangannya dibandingkan spektrum densitas
energi yang menggunakan Hs karena pada
spektrum densitas energi dengan menggunakan
tinggi gelombang mewakili semua tinggi
gelombang sedangkan spektrum densitas energi
yang menggunakan Hs tidak mewakili semua
gelombang dilapangan.Nilai estimasi tinggi
gelombang pada frekuensi tinggi lebih baik
dibandingkan dengan estimasi tinggi gelombang
pada frekuensi rendah, hal ini dapat terlihat pada
Gambar 9.
V. VERIFIKASI
5.1 Verifikasi Tinggi Gelombang Signifikan
Menggunakan Kecepatan Arus
Horisontal
Dari Gambar 10 dapat dilihat bahwa Hs
hitungan dengan menggunakan kecepatan arus
horisontal belum cukup baik untuk mendekati
nilai Hs lapangan, dimana data lapangan
cenderung lebih besar dari pada data
perhitungan.Kesalahan ini terjadi karena galat
(error) pada perhitungan bilangan
gelombang,serta kesalahan pada sudut
gelombang dan data arus yang dipakai dalam
menghitung Hs merupakan arus perjam.Galat
RMS pada perhitungan ini sebesar 0,45 m dan
variansnya sebesar 0,16 m.
Gambar 5. Tinggi gelombang lapangan
Gambar 6. Tinggi gelombang hitungan

6. Taufik Suprayogo, Totok Suprijo
176
Gambar 7. Tinggi gelombang signifikan
Gambar 8. Spektrum densitas energi berdasarkan tinggi gelombang signifikan
Gambar 9. Spektrum densitas energi berdasarkan tinggi gelombang

7. Estimasi Tinggi Gelombang Menggunakan Kecepatan Arus dengan Persamaan Stokes Orde 2
177
Gambar 10. Verifikasi data Hs lapangan
dengan data Hs perhitungan dengan
menggunakan kecepatan arus horizontal
5.2 Mengestimasi Tinggi Gelombang
Menggunakan Kecapatan Arus Vertikal.
Terlihat dari grafik tinggi gelombang pada
Gambar 11bahwa tinggi gelombang hitungan
cenderung lebih besar dari pada tinggi
gelombang lapangan dengan nilai galat RMS
sebesar 0,47m dan variansnya sebesar 0,22m,
dengan nilai galat tersebut maka dapat
dinyatakan bahwa perhitungan tinggi
gelombang dengan menggunakan arus vertikal
cukup baik.
Gambar 11. Verifikasi data tinggi gelombang
lapangan dengan tinggi gelombang hasil
perhitungan dengan menggunakan kecepatan
arus vertikal
Dari Gambar12dapat dilihat bahwa nilai
estimasi Hs dengan menggunakan perhitungan
kecepatan arus vertikal lebih baik dibandingkan
dengan nilai estimasi Hs dengan menggunakan
arus horisontal, dengan nilai galat lebih kecil
dibandingkan estimasi dengan perhitungan
kecepatan arus horisontal.Nilai galat RMS 0,33
m dan variansnya sebesar 0,04m.
Gambar 12. Verifikasi data Hs lapangan dengan
data Hs perhitungan dengan menggunakan
kecepatan arus vertikal
Hasil estimasi dengan menggunakan kecepatan
arus vertikal lebih baik karena data yang
digunakan untuk mengestimasi Hs adalah data
kecepatan arus vertikal perdetik yang diambil
selama selang waktu perdetik selama 512 detik,
sehingga hasilnya lebih baik dari pada estimasi
dengan menggunakan kecepatan arus horisontal
yang menggunakan data perjam. Galat yang
terjadi pada estimasi ini disebabkan karena
perhitungan bilangan gelombang, serta
kesalahan pada sudut gelombang dimana arah
gelombang datang diasumsikan tegak lurus.
VI. KESIMPULAN
Dari penelitian ini dapat disimpulkan sebagai
berikut:
1. Estimasi tinggi gelombang signifikan dengan
menggunakan kecepatan arus horisontal
memiliki galat RMS sebesar 0,45 m
sedangkan dengan menggunakan kecepata
arus vertikal memiliki galat RMS seberar
0,33 m.
2. Estimasi tinggi gelombang signifikan dengan
menggunakan kecepatan vertikal lebih baik
dari perhitungan dengan menggunakan
kecepatan horisontal berdasarkan nilai galat
RMSnya.
3. Dalam estimasi tinggi gelombang dengan
persamaan Stokes memiliki galat pada
perhitungan nilai bilangan gelombang
sebesar 0,05% dan pada penentuan sudut
gelombang yang diasumsikan bahwa arah
datang gelombang tegak lurus.
4. Pada perhitungan spektrum energi dengan
menggunakan H lebih baik dibandingkan
dengan menggunakan Hs.

8. Taufik Suprayogo, Totok Suprijo
5. Estimasi tinggi gelombang pada frekuensi
tinggi lebih baik dari pada pada frekuensi
rendah hal ini terlihat pada nilai spektrum
densitas energinya.
DAFTAR PUSTAKA
1. Coastal Engineering Manual, 2002. Part
2, Institut Teknologi Bandung (ITB).
2. Dean and Dalrymple, 1984.Water Wave
Mechanics for Engineers and Scientists.
Prentice-Hall, New Jersey.
178
3. Halerow and Patners, 1969. Coastal
Hydraulics, London.
4. Holthuijsen, 2007. Waves In Oceanic And
Coastal Waters, New York.
5. www.antaranews.com
6. www.kennisbank-waterbouw.nl
7. www.uni-leipzig.com
8. www.wavebrakefl.com