Χρήστος Τσίτος 03 02- 2018 αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr

1. 3ΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Επιμέλεια: Τσίτος Χρήστος
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 4
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:
ΤΑΞΗ - ΤΜΗΜΑ:
ΕΞΕΤΑΖ. ΥΛΗ: Σχολικό βιβλίο (Β ΜΕΡΟΣ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 03/02/2018
ΒΑΘΜΟΣ ΑΝΑ
ΥΠΟΕΡΩΤΗΜΑ
ΒΑΘΜΟΣ
ΑΝΑ ΘΕΜΑ
ΘΕΜΑ Α Α1 Α2 Α3 Α4
ΘΕΜΑ Β Β1 Β2 Β3 Β4
ΘΕΜΑ Γ Γ1 Γ2 Γ3 Γ4
ΘΕΜΑ Δ Δ1 Δ2 Δ3 Δ4
ΒΑΘΜΟΣ
ΣΧΟΛΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ
06.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 5

2. Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου 03-02-2018
Επιμέλεια: Τσίτος Χρήστος
ΤΕΛΟΣ 1ης από 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σένα διάστημα (α, β), με
εξαίρεση ίσως ένα σημείο του xo, στο οποίο είναι συνεχής. Να
αποδείξετε ότι αν fx)0 στο (α, xo) και fx)0 στο (xo, β), τότε το f(xo)
είναι τοπικό μέγιστο της f.
Μονάδες 7
Α2. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού
Θ.Μ.Τ(Μονάδες 2) και δοθεί η γεωμετρική του ερμηνεία(Μονάδες 2).
Μονάδες 4
Α3. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
«Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σένα διάστημα Δ και δυο φορές
παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν η f είναι κυρτή στο Δ, τότε
υποχρεωτικά ισχύει f(x)0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. »
α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο
τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν
είναι ψευδής. (Μονάδα 1)
β. Αν η πρόταση είναι αληθής να την αποδείξετε, ενώ αν είναι
ψευδής (Ψ) να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα. (Μονάδες 3)
Μονάδες 4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο
τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση,
τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση
είναι λανθασμένη.
Μονάδες 10
α) Τα κρίσιμα σημεία είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f.
β) H συνάρτηση f(x)σφx είναι παραγωγίσιμη στο ΑR{x/ημx0} και ισχύει
f (x) 2
1
ημ x
.
γ) Aν δυο μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση yf(x), όταν η συνάρτηση f
είναι παραγωγίσιμη στο xo, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως
προς το x στο σημείο xo την παράγωγο f (xo).
δ)
Aν
0x x
lim f(x)

 τότε η ευθεία xxo δεν είναι αναγκαστικά κατακόρυφη
ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.
ε) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο xo του πεδίου ορισμού της τότε
δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη σε αυτό.
06.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 5

3. Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου 03-02-2018
Επιμέλεια: Τσίτος Χρήστος
ΤΕΛΟΣ 2ης από 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Β
Στο παραπάνω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση Cf ,της συνάρτησης f.
Β1. Nα προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού(Μονάδες 3) και το σύνολο
τιμών(Μονάδες 3) της f.
Μονάδες 6
Β2. Στις παρακάτω προτάσεις να κυκλώσετε την σωστή απάντηση.
(i) To
x 2
lim f(x)

ισούται με:
(α) 1 (β) 0 (γ) 2 (δ) δεν υπάρχει
Μονάδες 2
(ii) To
x 5
lim f (x)

 ισούται με:
(α) 3 (β) δεν υπάρχει (γ) 5 (δ) 0
Μονάδες 2
(iii) Το
h 0
f( 2 h) f( 2)
lim
h
   
ισούται με:
(α) 2 (β) δεν υπάρχει (γ) 3 (δ) 0
Μονάδες 2
(iv) Αν g(x)=f(x1) τότε η παράγωγος της g στο xo1 , g ισούται
με:
(α) 2 (β) δεν μπορεί να προσδιοριστεί (γ) 1 (δ) 0
Μονάδες 2
06.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 5

4. Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου 03-02-2018
Επιμέλεια: Τσίτος Χρήστος
ΤΕΛΟΣ 3ης από 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
B3. Αν υπάρχει αR, ώστε να ισχύει: ef(x)
≥αf(x)1 για κάθε x(0, 2) και
f( 2 )0, να δείξετε ότι α1.
Μονάδες 6
B4. Να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων των εξισώσεων:
i) f(x)1 ii) f(x)3
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
To μπαλκόνι ενός σπιτιού σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου με
διαστάσεις x και y, με x,y0, έχει εμβαδόν 10 m2.
Γ1. Να εκφράσετε την περίμετρο P του ορθογωνίου ως συνάρτηση του x.
Μονάδες 5
Γ2. Aν η συνάρτηση της περιμέτρου είναι : Ρ(x)2x
20
x
, x0, βρείτε για
ποια διάσταση x το μπαλκόνι έχει την μικρότερη περίμετρο(Μονάδες 5)
και να δείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της περιμέτρου συνεχώς
αυξάνεται(Μονάδες 2).
Μονάδες 7
Γ3. Να υπολογίσετε, αν υπάρχει, το όριο:
x 0
lim Ρ'(x)

.
Μονάδες 4
Γ4. Nα αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις Ρ και Ρ’ έχουν κοινή κατακόρυφη
ασύμπτωτη και να τις εξετάσετε ως προς τις πλάγιες ασύμπτωτες.
Μονάδες 9
ΘΕΜΑ Δ
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  ισχύει:
•
f(x)
f'(x) f(x)
x
  , για κάθε x 0
• f(1)e και f(0)0.
Δ1. Να αποδείξετε ότι f(x)xex
, xR.
Μονάδες 7
06.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 5

5. Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου 03-02-2018
Επιμέλεια: Τσίτος Χρήστος
ΤΕΛΟΣ 4ης από 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
Δ2. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της f (Μονάδες 2) και να δείξετε
ότι έχει μοναδικό σημείο καμπής.(Μονάδες 4)
Μονάδες 6
Δ3. Να λυθεί η εξίσωση: f(x)f(x2018
)f(x3
)f(x2019
), για κάθε x0.
Μονάδες 5
Δ4. Να υπολογιστούν, αν υπάρχουν,
i)
x 0
lim f(lnx)

Μονάδες 3
ii)
x
lim f(x 1) f(x)

  Μονάδες 4
ΚΑΛΗ ΤΥΧΗ !
06.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 5