เฉลยข้อสอบ 7 วิชาสามัญ ปี 56 :คณิตศาสตร์ (อยู่ตอนท้าย ๆ ของข้อสอบ)

1. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 1
วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56)
วันเสาร์ที 5 มกราคม 2556 เวลา 11.00 - 12.30 น.
ตอนที 1 แบบระบายตัวเลขทีเป็นคําตอบ จํานวน 10 ข้อ ข้อละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน
1. จํานวนเต็มทีสอดคล้องกับอสมการ ሺ௫ାଵሻሺ௫ିଷሻ
௫ሺଶ௫ାଵሻ
≤ 0 มีทังหมดกีจํานวน
2. กําหนดให้ ܲሺ‫ݔ‬ሻ = 2‫ݔ‬ଷ
+ ܽ‫ݔ‬ଶ
+ ܾ‫ݔ‬ + 12 เมือ ܽ และ ܾ เป็นจํานวนจริง
ถ้า 2i เป็นคําตอบของสมการ ܲሺ‫ݔ‬ሻ = 0 แล้ว ܲሺ1ሻ มีค่าเท่ากับเท่าใด
3. กําหนดให้ ܽ และ ܾ เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A และมุม B ของรูปสามเหลียม ABC ตามลําดับ
ถ้า 2ܾ = 3ܽ และ B෡ = 2A෡ แล้ว cos A มีค่าเท่ากับเท่าใด

2. 2 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56)
4. ถ้า ‫ݑ‬ത = 2ଓ̅ + ଔ̅ − 3݇ത และ ‫̅ݒ‬ × ‫ݓ‬ഥ = ଓ̅ + 2ଔ̅ + 4݇ത แล้วค่าของ ሺ‫̅ݒ‬ × ‫ݑ‬തሻ ∙ ‫ݓ‬ഥ เท่ากับเท่าใด
5. ถ้า ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ สอดคล้องกับระบบสมการ
และ ൥
1 −2 3 ܽ
1 −3 0 ܾ
2 −5 5 ܿ
൩ ~ ൥
1 −2 3 9
0 1 3 5
0 0 1 2
൩ แล้ว ܿ มีค่าเท่ากับเท่าใด
6. ሺlog଻ 625ሻሺlogହ 343ሻ มีค่าเท่ากับเท่าใด
‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ + 3‫ݖ‬ = ܽ
‫ݔ‬ − 3‫ݕ‬ = ܾ
2‫ݔ‬ − 5‫ݕ‬ + 5‫ݖ‬ = ܿ

3. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 3
7. ตารางแจกแจงความถีสะสมของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึงเป็นดังนี
ถ้าสุ่มนักเรียนมาหนึงคนจากกลุ่มนี ความน่าจะเป็นทีจะได้นักเรียนทีได้คะแนนสอบในช่วง 50 – 59 คะแนน เท่ากับ
เท่าใด
8. ต้องการสร้างจํานวนทีมี 7 หลัก จากเลขโดด 7 ตัว คือ 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 โดยให้เลข 3 สองตัวอยู่ติดกัน จะสร้างได้
ทังหมดกีจํานวน
9. ถ้า ܽ௡ =
௡య
௡మାଶ
−
௡మ
௡ାଷ
เมือ ݊ = 1, 2, 3, … แล้ว ∞→n
limܽ௡ มีค่าเท่ากับเท่าใด
คะแนนสอบ ความถีสะสม (คน)
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 ขึนไป
10
35
80
145
185
195
200

4. 4 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56)
10. ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ଷ
+ 3‫ݔ‬ଶ
− 9‫ݔ‬ + 1 บนช่วง [−1, 2] มีค่าเท่ากับเท่าใด
ตอนที 2 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก จํานวน 20 ข้อ ข้อละ 4 คะแนน รวม 80 คะแนน
11. ถ้า ܵ = { ‫ݔ‬ | ‫ݔ‬ เป็นจํานวนเต็มทีสอดคล้องกับอสมการ log ‫ݔ‬ሺ‫ݔ‬ − 15ሻ ≤ 2 }
แล้วจํานวนสมาชิกของเซต ܵ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 10 2. 12 3. 14
4. 24 5. 26
12. กําหนดให้ ܽ เป็นจํานวนเต็มบวก ถ้า ห.ร.ม. ของ ܽ และ 2520 เท่ากับ 60 และ ค.ร.น. ของ ܽ และ 420 เท่ากับ
4620 แล้ว ܽ อยู่ในช่วงในข้อใดต่อไปนี
1. [200, 350ሻ 2. [350, 500ሻ 3. [500, 650ሻ
4. [650, 800ሻ 5. [800, 950ሻ

5. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 5
13. กําหนดให้ ܲሺ‫ݔ‬ሻ เป็นหพุนามดีกรี 4 ซึงมีสัมประสิทธิเป็นจํานวนจริงและสัมประสิทธิของ ‫ݔ‬ସ
เท่ากับ 1
ถ้า ‫ݖ‬ଵ และ ‫ݖ‬ଶ เป็นรากที 2 ของ 2i และเป็นคําตอบของสมการ ܲሺ‫ݔ‬ሻ = 0 ด้วย
แล้ว ܲሺ1ሻ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 3 2. 5 3. 7
4. 9 5. 10
14. ในระบบพิกัดฉากทีมี O เป็นจุดกําเนิด วงรีรูปหนึงมีสมการเป็น ሺ௫ିଷሻమ
ଽ
+
ሺ௬ିହሻమ
ଶହ
= 1 ถ้า Fଵ และ Fଶ เป็นจุด
โฟกัสของวงรีรูปนี โดยที OFଵ > OFଶ แล้วระยะทางจากจุด Fଶ ไปยังเส้นตรงทีผ่านจุด Fଵ และ ሺ0, 5ሻ เท่ากับข้อ
ใดต่อไปนี
1. ଵଽ
ହ
หน่วย 2. ଶଵ
ହ
หน่วย 3. ଶଶ
ହ
หน่วย
4. ଶଷ
ହ
หน่วย 5. ଶସ
ହ
หน่วย
15. กําหนดให้ A, B และ C เป็นจุดในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ จงพิจารณาข้อความ 4 ข้อความต่อไปนี
(ก) ABሬሬሬሬሬԦ + BCሬሬሬሬሬԦ + CAሬሬሬሬሬԦ = 0ሬԦ
(ข) หABሬሬሬሬሬԦ ∙ BCሬሬሬሬሬԦห ≤ หABሬሬሬሬሬԦหหBCሬሬሬሬሬԦห
(ค) ABሬሬሬሬሬԦ × BCሬሬሬሬሬԦ = CAሬሬሬሬሬԦ × BAሬሬሬሬሬԦ
(ง) ABሬሬሬሬሬԦ ∙ ൫BCሬሬሬሬሬԦ × CAሬሬሬሬሬԦ൯ = CAሬሬሬሬሬԦ ∙ ൫ABሬሬሬሬሬԦ × BCሬሬሬሬሬԦ൯
จํานวนข้อความทีถูกต้องเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 0 (ไม่มีข้อความใดถูกต้อง) 2. 1 3. 2
4. 3 5. 4

6. 6 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56)
16. กําหนดให้ ߙ, ߚ ∈ [−ߨ, 0] ถ้า sin ߙ + sin ߚ = −
ଶ
ଷ
และ cos ߙ + cos ߚ =
ଶ
√ଷ
แล้ว ߙ + ߚ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. −
గ
଺
2. −
గ
ଷ
3. −
ଶగ
ଷ
4. −
ସగ
ଷ
5. −
ହగ
ଷ
17. ผลบวกของคําตอบทังหมดของสมการ |‫ݔ‬ଶ
+ 5‫ݔ‬ + 5|ሺ௫ିହሻ
= 1 เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. −5 2. −
ହ
ଶ
3. 0
4. ହ
ଶ
5. 5
18. ผลบวกของคําตอบทังหมดของสมการ 4௫
+ 2ସ
= 65ሺ2௫ିଵ
ሻ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. −2 2. −
ଵ
ଶ
3. ଷ
ଶ
4. 2 5. 4

7. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 7
19. กําหนดระบบสมการ
ถ้า ܵ = { ሺܽ, ܾ, ܿሻ | ሺܽ, ܾ, ܿሻ เป็นคําตอบของระบบสมการทีกําหนด โดยที ܽ, ܾ, ܿ เป็นจํานวนเต็ม
ซึงอยู่ในช่วง [−10, 10] } แล้วจํานวนสมาชิกของเซต ܵ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 13 2. 14 3. 15
4. 16 5. 17
20. นักเรียนห้องหนึงมีจํานวน 30 คน สอบวิชาคณิตศาสตร์ได้เกรด A 5 คน ได้เกรด B 15 คน และได้เกรด C 10 คน
ถ้าสุ่มนักเรียน 3 คนจากห้องนีแล้ว ความน่าจะเป็นทีจะได้นักเรียนอย่างน้อย 1 คนทีได้เกรด A เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. ସସ
ଶ଴ଷ
2. ହହ
ଶ଴ଷ
3. ଺଺
ଶ଴ଷ
4. ଻଻
ଶ଴ଷ
5. ଼଼
ଶ଴ଷ
21. อายุการใช้งานของถ่านไฟฉายชนิดหนึงมีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ ߤ นาที และส่วนเบียงเบน
มาตรฐานเท่ากับ ߪ นาที ถ้า ܽ เป็นจํานวนจริงทีทําให้ถ่านไฟฉายทีใช้งานได้นานระหว่าง ߤ − ܽߪ และ ߤ + ܽߪ
นาที มีจํานวน 34% แล้วถ่านไฟฉายทีใช้งานได้นานระหว่าง ߤ − 2ܽߪ และ ߤ + 2ܽߪ นาที มีจํานวนคิดเป็น
เปอร์เซ็นต์เท่ากับข้อใดต่อไปนี
เมือกําหนดตารางแสดงพืนทีใต้เส้นโค้งปกติดังนี
1. 58.5 2. 62 3. 64
4. 68 5. 81
2‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ + 3‫ݖ‬ = 28
2‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ = 12
‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ = 10
ܼ 0.215 0.34 0.44 0.68 0.88 0.99
พืนที 0.085 0.133 0.17 0.25 0.31 0.34

8. 8 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56)
22. ข้อมูลชุดที 1 คือ ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , … , ‫ݔ‬ଽ โดยที ‫ݔ‬௜ = 3 −
௜
ହ
ทุก ݅
ข้อมูลชุดที 2 คือ ‫ݕ‬ଵ , ‫ݕ‬ଶ , ‫ݕ‬ଷ , … , ‫ݕ‬ଽ โดยที ‫ݕ‬௝ = |ܽ − ݆| ทุก ݆
เมือ ܽ เป็นจํานวนจริงทีทําให้
9
1=
∑
i
ሺ‫ݔ‬௜ − ܽሻଶ
มีค่าน้อยทีสุด
ถ้า ܾ เป็นจํานวนจริงทีทําให้
9
1=
∑
j
|‫ݕ‬௜ − ܾ| มีค่าน้อยทีสุด แล้ว ܾ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 1 2. 2 3. 3
4. 4 5. 5
23. กําหนดให้ฟังก์ชัน ݂ሺ‫ݔ‬ሻ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ 2‫ݔ‬ + 5 และความชันของเส้นโค้ง ‫ݕ‬ = ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ทีจุด ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ใดๆ
คือ 3‫ݔ‬ଶ
ถ้ากราฟของฟังก์ชัน ݂ และ ݃ ตัดกันทีจุด ሺ1, 2ሻ แล้ว ቀ
௙
௚
ቁ
ᇱ
ሺ1ሻ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. −5 2. −2 3. 1
4. 2 5. 5
24. กําหนดให้ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ เป็นฟังก์ชันซึงมีอนุพันธ์ทีทุกจุด และ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ൞
|௫ାଵ|
ଵି௫మ ; ‫ݔ‬ < −1
݃ሺ‫ݔ‬ሻ ; −1 ≤ ‫ݔ‬ ≤ 2
√2‫ݔ‬ − 3 ; ‫ݔ‬ > 2
ถ้า ݂ ต่อเนืองทีทุกจุด แล้ว
2
1−
∫ ݃ᇱሺ‫ݔ‬ሻ ݀‫ݔ‬ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. −
ଷ
ଶ
2. −
ଵ
ଶ
3. 0
4. ଵ
ଶ
5. ଷ
ଶ

9. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 9
25. กําหนดให้ ܽ௡ =
௡
ଵାଷାହା⋯ାሺଶ௡ିଵሻ
และ ܾ௡ =
௡
ଶାସା଺ା⋯ାଶ௡
จะได้ว่าอนุกรม
∞
=
∑
1n
ሺܽ௡ − ܾ௡ሻ เป็นอนุกรมดังข้อใดต่อไปนี
1. มีผลบวกเท่ากับ −
ଵ
ଶ
2. มีผลบวกเท่ากับ 0 3. มีผลบวกเท่ากับ 1
4. มีผลบวกเท่ากับ ଵ
ଶ
5. ลู่ออก
26. กําหนดให้ ܵ = {−3, −2, −1, 1, 2, 3} และ ‫ܯ‬ = ൝ ൥
ܽଵ ܽଶ ܽଷ
0 ܽସ ܽହ
0 0 ܽ଺
൩ อ ܽ௜ ∈ ܵ , 1 ≤ ݅ ≤ 6 ൡ
สุ่มหยิบเมทริกซ์จากเซต ‫ܯ‬ มา 1 เมทริกซ์ ความน่าจะเป็นทีจะได้เมทริกซ์ ซึงมีค่าดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์นัน
เท่ากับ 27 หรือ −27 เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. ଶ
଺య 2. ସ
଺య 3. ଺
଺య
4. ଼
଺య 5. ଵ଴
଺య
27. ถ้า ‫ܣ‬ และ ‫ܤ‬ เป็นเซตของจํานวนเชิงซ้อน โดยที
‫ܣ‬ = { ‫ݖ‬ | |‫ݖ‬ − 1| + |‫ݖ‬ − 5| = 6 } และ ‫ܤ‬ = ൛ ‫ݖ‬ ห ห|‫ݖ‬ − 1| − |‫ݖ‬ − 7|ห = 4 ൟ
แล้วจํานวนสมาชิกของ ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 0 2. 1 3. 2
4. 3 5. มากกว่าหรือเท่ากับ 4

10. 10 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56)
28. กําหนดลําดับซึงประกอบด้วยจํานวนเต็มบวกทุกจํานวนทีหารด้วย 5 ไม่ลงตัว เรียงจากน้อยไปหามาก ถ้าผลบวก ݊
พจน์แรกของลําดับนีเท่ากับ 9000 แล้ว ݊ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 100 2. 110 3. 120
4. 130 5. 140
29. กําหนดให้ ‫ܣ‬ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ‫ܤ‬ = ቄ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ቚ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ܽ‫ݔ‬ଶ
+ ܾ‫ݔ‬ + ܿ เมือ ܽ, ܾ, ܿ ∈ ‫ܣ‬ቅ
สุ่มหยิบ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ มาหนึงตัวจากเซต ܵ ความน่าจะเป็นทีจะได้ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ซึง
1
0
∫ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ݀‫ݔ‬ มีค่าเป็นจํานวนเต็ม เท่ากับข้อใด
ต่อไปนี
1. ଵ
ଵଶ
2. ଶ
ଵଶ
3. ଷ
ଵଶ
4. ସ
ଵଶ
5. ହ
ଵଶ
30. กําหนดให้กราฟของ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ݂ เป็นดังรูป
นักเรียนคนหนึงได้สรุปว่า ݂ ต้องเป็นดังข้อความต่อไปนี
(ก) ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = −‫ݔ‬ เมือ 2 < ‫ݔ‬ < 3
(ข) ݂ เป็นฟังก์ชันลด เมือ 0 < ‫ݔ‬ < 2
(ค) ݂ มีจุดตําสุดสัมพัทธ์ทีจุด ‫ݔ‬ = 4
(ง) ݂ มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ทีจุด ‫ݔ‬ = 1
จํานวนข้อความทีนักเรียนคนนีสรุปได้อย่างถูกต้อง เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 0 (ไม่มีข้อความใดถูก) 2. 1 3. 2
4. 3 5. 4
Y
X
1 2 6543
1
−1
‫ݕ‬ = ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ

11. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 11
เฉลย
1. 4 7. 0.2 13. 2 19. 1 25. 3
2. 25 8. 720 14. 5 20. 5 26. 4
3. 0.75 9. 3 15. 4 21. 2 27. 4
4. 8 10. 12 16. 5 22. 3 28. 3
5. 17 11. 1 17. 1 23. 4 29. 2
6. 12 12. 4 18. 5 24. 5 30. 3
แนวคิด
1. 4
มี −1, 1, 2, 3 ทังหมด 4 จํานวน
2. 25
แทน ‫ݔ‬ = 2i ได้ −16i − 4ܽ + 2ܾi + 12 = 0 → ሺ−4ܽ + 12ሻ + ሺ−16 + 2ܾሻi = 0 + 0i
ส่วนจริง = −4ܽ + 12 = 0 และ ส่วนจินตภาพ = −16 + 2ܾ = 0 → ܽ = 3 , ܾ = 8
แทน ‫ݔ‬ = 1 ได้ 2 + 3 + 8 + 12 = 25
3. 0.75
จากกฎของ sin จะได้ ௔
ୱ୧୬ ୅
=
௕
ୱ୧୬୆
→
ୱ୧୬୆
ୱ୧୬୅
=
௕
௔
=
ଷ
ଶ
→
ଶ ୱ୧୬୅ ୡ୭ୱ ୅
ୱ୧୬ ୅
=
ଷ
ଶ
→ cos A =
ଷ
ସ
4. 8
จากสมบัติ จะได้ ሺ‫̅ݒ‬ × ‫ݑ‬തሻ ∙ ‫ݓ‬ഥ = ሺ‫ݓ‬ഥ × ‫̅ݒ‬ሻ ∙ ‫ݑ‬ത = −൫ଓ̅ + 2ଔ̅ + 4݇ത൯ ∙ ൫2ଓ̅ + ଔ̅ − 3݇ത൯
= −ሺ2 + 2 − 12ሻ = 8
5. 17
จากความรู้เรืองการแก้สมการด้วยเมทริกซ์แต่งเติม จะได้ ว่าระบบสมการนีจัดรูปได้เป็น
จะได้ ‫ݖ‬ = 2 → ‫ݕ‬ = −1 → ‫ݔ‬ = 1 → ܿ = 2ሺ1ሻ − 5ሺ−1ሻ + 5ሺ2ሻ = 17
6. 12
= ሺlog଻ 5ସሻሺlogହ 7ଷሻ = ሺ4 log଻ 5ሻሺ3 logହ 7ሻ = 12
7. 0.2
ช่องทีให้มา เป็นความถีสะสม → 50 – 59 มี 185 – 145 = 40 คน
จํานวนนักเรียนทังหมด = ความถีสะสมชองสุดท้าย = 200 คน → ความน่าจะเป็น =
ସ଴
ଶ଴
= 0.2
8. 720
เอา 3 สองตัวมัดติดกันเป็นเลขใหม่ 1 ตัว → กลายเป็นมีเลข 6 ตัว สลับได้ 6!
3 สองตัว สลับในมัดไม่ได้ เพราะซํากัน → จํานวนแบบ = 6! = 720
+ − + − +
0 3−
ଵ
ଶ
−1
‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ + 3‫ݖ‬ = 9
‫ݕ‬ + 3‫ݖ‬ = 5
‫ݖ‬ = 2

12. 12 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56)
9. 3
ܽ௡ =
௡రାଷ௡యି൫௡రାଶ௡మ൯
ሺ௡మାଶሻሺ௡ାଷሻ
=
ଷ௡యିଶ௡మ
ሺ௡మାଶሻሺ௡ାଷሻ
→
∞→n
limܽ௡ =
ଷ
ሺଵሻሺଵሻ
= 3
10. 12
݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ = 3‫ݔ‬ଶ
+ 6‫ݔ‬ − 9 = 0 → 3ሺ‫ݔ‬ − 1ሻሺ‫ݔ‬ + 3ሻ = 0 → ‫ݔ‬ = 1, −3 → แทน 1, −1, 2
݂ሺ1ሻ = 1 + 3 – 9 + 1 = −4 , ݂ሺ−1ሻ = −1 + 3 + 9 + 1 = 12 , ݂ሺ2ሻ = 8 + 12 − 18 + 1 = 3
11. 1
‫ݔ‬ሺ‫ݔ‬ − 15ሻ ≤ 10ଶ
→ ‫ݔ‬ଶ
− 15‫ݔ‬ − 100 ≤ 0 → ሺ‫ݔ‬ − 20ሻሺ‫ݔ‬ + 5ሻ ≤ 0 → ‫ݔ‬ ∈ [−5, 20]
หลัง log > 0 → ‫ݔ‬ሺ‫ݔ‬ − 15ሻ > 0 → ‫ݔ‬ ∈ ሺ−∞,0ሻ ∪ ሺ15, ∞ሻ
อินเตอร์เซกกันเหลือ −5, −4, −3, −2, −1, 16, 17, 18, 19, 20 ทังหมด 10 ตัว
(เครดิต : ขอบคุณ คุณ Piyapan Sujarittham ทีช่วยตรวจสอบคําตอบ)
12. 4
ค.ร.น. 4620 = 2ଶ
∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 , 420 = 2ଶ
∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 → ܽ ต้องมี 2ஸଶ
∙ 3ஸଵ
∙ 5ஸଵ
∙ 7ஸଵ
∙ 11ଵ
ห้ามมีตัวอืน
ห.ร.ม. 60 = 2ଶ
∙ 3 ∙ 5 , 2520 = 2ଷ
∙ 3ଶ
∙ 5 ∙ 7 → ܽ ต้องมี 2ଶ
∙ 3ଵ
∙ 5ஹଵ
มีตัวอืนได้ แต่ต้องไม่มี 7
รวมสองอัน ได้ ܽ = 2ଶ
∙ 3ଵ
∙ 5ଵ
∙ 11ଵ
= 660
13. 2
2i = 2 cis 90° → ‫ݖ‬ଵ, ‫ݖ‬ଶ = √2 cis 45° , √2 cis 225° = 1 + i , −1 − i
คอนจูเกต 1 – i , −1 + i เป็นรากของ ܲሺ‫ݔ‬ሻ = 0 ด้วย
ܲሺ‫ݔ‬ሻ = ܽሺ‫ݔ‬ − 1 − iሻሺ‫ݔ‬ − 1 + iሻሺ‫ݔ‬ + 1 + iሻሺ‫ݔ‬ + 1 − iሻ
สปส ‫ݔ‬ସ
= 1 → ܽ = 1 → ܲሺ1ሻ = ሺ1 − 1 − iሻሺ1 − 1 + iሻሺ1 + 1 + iሻሺ1 + 1 − iሻ
= ሺ−iሻሺiሻሺ2 + iሻሺ2 − iሻ = 5
14. 5
ศกวงรี = ሺ3, 5ሻ รีแนวตัง ܿ = √25 − 9 = 4 → Fሺ3, 5±4ሻ → Fଵሺ3, 9ሻ, Fଶሺ3, 1ሻ
เส้นตรง คือ ௬ିହ
௫ି଴
=
ଽିହ
ଷି଴
→ 3‫ݕ‬ − 4‫ݔ‬ − 15 = 0 → ตอบ |ଷሺଵሻିସሺଷሻିଵହ|
√ଷమାସమ
=
ଶସ
ହ
15. 4
ก จริง เพราะวนกลับมาทีเดิม
ข. หABሬሬሬሬሬԦ ∙ BCሬሬሬሬሬԦห = ቚหABሬሬሬሬሬԦหหBCሬሬሬሬሬԦห cos ߠቚ = หABሬሬሬሬሬԦหหBCሬሬሬሬሬԦห|cos ߠ| ≤ หABሬሬሬሬሬԦหหBCሬሬሬሬሬԦห จริง
ค. ABሬሬሬሬሬԦ × BCሬሬሬሬሬԦ = ABሬሬሬሬሬԦ × ൫BAሬሬሬሬሬԦ + ACሬሬሬሬሬԦ൯ = ൫ABሬሬሬሬሬԦ × BAሬሬሬሬሬԦ + ABሬሬሬሬሬԦ × ACሬሬሬሬሬԦ൯ = ABሬሬሬሬሬԦ × ACሬሬሬሬሬԦ = BAሬሬሬሬሬԦ × CAሬሬሬሬሬԦ = −൫CAሬሬሬሬሬԦ × BAሬሬሬሬሬԦ൯ ผิด
ง. จริง จากสมบัติในเรืองปริมาตรของทรงสีเหลียมหน้าขนาน
16. 5
2 sin
ఈାఉ
ଶ
cos
ఈିఉ
ଶ
= −
ଶ
ଷ
, 2 cos
ఈାఉ
ଶ
cos
ఈିఉ
ଶ
=
ଶ
√ଷ
จับหารกันได้ tan
ఈାఉ
ଶ
= −
ଵ
√ଷ
ఈାఉ
ଶ
∈ [−ߨ, 0] →
ఈାఉ
ଶ
= −
ହగ
଺
→ ߙ + ߚ = −
ହగ
ଷ

13. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 13
17. 1
ฐานเป็น −1 ไม่ได้ เหลือ 2 แบบ คือ ฐาน = 1 กับ ሺเลขชีกําลัง = 0 และ ฐาน ≠ 0ሻ
ฐาน = 1 ได้ ‫ݔ‬ଶ
+ 5‫ݔ‬ + 5 = ±1 → ሺ‫ݔ‬ + 1ሻሺ‫ݔ‬ + 4ሻ = 0 หรือ ሺ‫ݔ‬ + 2ሻሺ‫ݔ‬ + 3ሻ = 0
(เลขชีกําลัง = 0 และ ฐาน ≠ 0) ได้ ‫ݔ‬ = 5 → ตอบ ሺ−1ሻ + ሺ−4ሻ + ሺ−2ሻ + ሺ−3ሻ + ሺ5ሻ = −5
(เครดิต : ขอบคุณ คุณ Piyapan Sujarittham ทีช่วยตรวจสอบคําตอบ)
18. 5
2ଶ௫
−
଺ହ
ଶ
ሺ2௫ሻ + 16 = 0 → 2ሺ2ଶ௫ሻ − 65ሺ2௫ሻ + 32 = 0 → ሺ2ሺ2௫ሻ − 1ሻሺ2௫
− 32ሻ = 0 → ‫ݔ‬ = −1, 5
19. 1
จับสองอันล่างลบกันได้ ‫ݔ‬ = 2 แทนจะได้ ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ = 8 → ได้ ሺ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ሻ = ሺ−2, 10ሻ, ሺ−1, 9ሻ, … , ሺ10, −2ሻ
รวมมี ሺ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ሻ ทังหมด 13 ตัว
20. 5
ܲሺอย่างน้อย 1 คน ได้ Aሻ = 1 – ܲሺไม่มีใครได้ Aሻ = 1 −
൫మఱ
య ൯
൫యబ
య ൯
= 1 −
ଶହ×ଶସ×ଶଷ
ଷ଴×ଶଽ×ଶ଼
= 1 −
ଵଵହ
ଶ଴ଷ
=
଼଼
ଶ଴ଷ
21. 2
จะได้จาก ߤ ถึง ߤ + ܽߪ มีพืนที ଷସ%
ଶ
= 0.17 → ‫ݖ‬ = 0.44
แปลง ߤ + ܽߪ เป็นค่ามาตรฐานได้ ሺఓା௔ఙሻିఓ
ఙ
= ܽ ดังนัน ܽ = 0.44
แปลง ߤ + 2ܽߪ เป็นค่ามาตรฐานได้ ሺఓାଶ௔ఙሻିఓ
ఙ
= 2ܽ = 0.88 → พืนที = 0.31 = 31%
ดังนัน จาก ߤ − 2ܽߪ ถึง ߤ + 2ܽߪ จะมีข้อมูล = 2×31% = 62%
22. 3
∑ሺ‫ݔ‬௜ − ܽሻଶ
จะน้อยสุดเมือ ܽ = ‫̅ݔ‬ → จากสมบัติ ‫̅ݔ‬ จะได้ ‫̅ݔ‬ = 3 −
ప̅
ହ
= 3 −
ଵ
ହ
ቀ
ଵାଶା⋯ାଽ
ଽ
ቁ = 2 = ܽ
แทนค่า ܽ จะได้ข้อมูลชุด 2 คือ 1, 0, 1, 2, 3, … , 7
∑ห‫ݕ‬௝ − ܾห จะน้อยสุดเมือ ܾ = Med → เรียงข้อมูลชุด 2 ได้ 0, 1, 1, 2, 3, 4, … , 7
Med = ตัวที ଽାଵ
ଶ
= ตัวที 5 = 3
23. 4
ได้ ݂ሺ1ሻ = ݃ሺ1ሻ = 2 และ ݂ᇱሺ1ሻ = 2ሺ1ሻ + 5 = 7 และ ݃ᇱሺ1ሻ = 3ሺ1ଶሻ = 3
ቀ
௙
௚
ቁ
ᇱ
ሺ1ሻ =
௚ሺଵሻ௙ᇲሺଵሻି௙ሺଵሻ௚ᇲሺଵሻ
൫௚ሺଵሻ൯
మ =
ଶሺ଻ሻିଶሺଷሻ
ଶమ = 2
24. 5
݂ ต่อเนือง จะได้ ݃ሺ−1ሻ =
−−→ 1
lim
x
|௫ାଵ|
ଵି௫మ =
−−→ 1
lim
x
ିሺ௫ାଵሻ
ଵି௫మ =
−−→ 1
lim
x
ିଵ
ଵି௫
= −
ଵ
ଶ
และจะได้ ݃ሺ2ሻ = ඥ2ሺ2ሻ − 3 = 1 ดังนัน
2
1−
∫ ݃ᇱሺ‫ݔ‬ሻ ݀‫ݔ‬ = ݃ሺ2ሻ − ݃ሺ−1ሻ = 1 − ቀ−
ଵ
ଶ
ቁ =
ଷ
ଶ

14. 14 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56)
25. 3
ܽ௡ =
௡
೙
మ
ሺଵାଶ௡ିଵሻ
=
ଵ
௡
, ܾ௡ =
௡
೙
మ
ሺଶାଶ௡ሻ
=
ଵ
௡ାଵ
,
∞
=
∑
1n
ሺܽ௡ − ܾ௡ሻ =
ଵ
ଵ
−
ଵ
ଶ
+
ଵ
ଶ
−
ଵ
ଷ
+
ଵ
ଷ
−
ଵ
ସ
+ … = 1
26. 4
มี ܽ௜ 6 ตัว เป็นได้ตัวละ 6 แบบ → ݊ሺܵሻ = 6଺
เมทริกซ์สามเหลียมจะมี det = ผลคูณเส้นแทยงมุม → ܽଵܽସܽ଺ = 27, −27 → ܽଵ, ܽସ, ܽ଺ = 3, −3 ตัวละ 2 แบบ
ส่วน ܽଶ, ܽଷ, ܽହ เป็นอะไรใน 6 แบบก็ได้ → ตอบ ଶయ଺య
଺ల =
଼
଺య
27. 4
ให้ ‫ݖ‬ = ‫ݔ‬ + ‫݅ݕ‬ → ‫ܣ‬ คือ ඥሺ‫ݔ‬ − 1ሻଶ + ‫ݕ‬ଶ + ඥሺ‫ݔ‬ − 5ሻଶ + ‫ݕ‬ଶ = 6
→ ผลรวม ระยะจาก ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ไป ሺ1, 0ሻ และ ሺ5, 0ሻ = 6
→ กราฟเป็นวงรีแนวนอน มีโฟกัสที ሺ1, 0ሻ, ሺ5, 0ሻ
ศกሺ3, 0ሻ , ܿ = 2 , ܽ =
଺
ଶ
= 3 , ܾ = √3ଶ − 2ଶ = √5
‫ܤ‬ คือ ቚඥሺ‫ݔ‬ − 1ሻଶ + ‫ݕ‬ଶ − ඥሺ‫ݔ‬ − 7ሻଶ + ‫ݕ‬ଶቚ = 4
→ ผลต่าง ระยะจาก ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ไป ሺ1, 0ሻ กับ ระยะจาก ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ไป ሺ7, 0ሻ = 4
→ กราฟเป็นไฮเพอร์โบลาแนวนอน มีโฟกัสที ሺ1, 0ሻ, ሺ7, 0ሻ
ศกሺ4, 0ሻ , ܿ = 3 , ܽ =
ସ
ଶ
= 2 , ܾ = √3ଶ − 2ଶ = √5
วาดรูป ‫ܣ‬ กับ ‫ܤ‬ จะเห็นว่ามีจุดตัด 3 จุด ดังนัน ݊ሺ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ሻ = 3
(เครดดิต : ขอบคุณ คุณ Watchara Kanchananit ทีช่วยบอกจุดทีผมพิมพ์ผิดในข้อสอบ)
28. 3
ตัวทีหารด้วย 5 ไม่ลงตัว มี 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, …
จับกลุ่ม 4 ตัวได้ ሺ1, 2, 3, 4ሻ, ሺ6, 7, 8, 9ሻ, ሺ11, 12, 13, 14ሻ, … → 10, 30, 50, …
จะหาว่า 10 + 30 + 50 +… กีตัว ถึงจะ ≥ 9000 (เพราะยังไม่แน่ว่าจับกลุ่ม 4 ตัวได้ลงตัว)
จะได้ ௞
ଶ
ሺ2ሺ10ሻ + ሺ݇ − 1ሻ20ሻ ≥ 9000 → ݇ ≥ 30 พอดี → ݊ = 4ሺ30ሻ = 120
29. 2
1
0
∫ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ݀‫ݔ‬ =
௔௫య
ଷ
+
௕௫మ
ଶ
+ ܿ‫ݔ‬ อ
1
0
=
௔
ଷ
+
௕
ଶ
+ ܿ → 3|ܽ และ 2|ܾ
ܽ ได้ 2 แบบ {3, 6} และ ܾ ได้ 3 แบบ {2, 4, 6} และ ܿ เป็นอะไรก็ได้ 6 แบบ →
ଶ×ଷ×଺
଺×଺×଺
=
ଵ
଺
30. 3
ก. ที 2 < ‫ݔ‬ < 3 → ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ = −1 → ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = −‫ݔ‬ + ܿ → ก ผิด
ข. ที 0 < ‫ݔ‬ < 2 → ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ เป็นบวกในช่วง ሺ0, 1ሻ → ݂ሺ‫ݔ‬ሻ เป็นฟังก์ชันเพิมในช่วง ሺ0, 1ሻ → ข ผิด
ค. ที ‫ݔ‬ = 4 → ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ เปลียนจาก ลบ → ศูนย์ → บวก ดังนัน ݂ሺ‫ݔ‬ሻ เปลียนจาก ลด → วกกลับ → เพิม
ดังนัน ‫ݔ‬ = 4 เป็นจุดตําสุดสัมพัทธ์ → ค ถูก
ค. ที ‫ݔ‬ = 1 → ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ เปลียนจาก บวก → ศูนย์ → ลบ ดังนัน ݂ሺ‫ݔ‬ሻ เปลียนจาก เพิม → วกกลับ → ลด

15. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 15
ดังนัน ‫ݔ‬ = 1 เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ → ง ถูก