ข้อสอบโอลิมปิก ม.ต้น(IJSO) ปี พ.ศ. 2551

1. 1
www.krusawed.wordpress.com/
ครูเสวตร 084-1284087
ข้ อสอบวิชาคณิตศาสตร์ เพือคัดเลือกผู้แทนประเทศไทยไปแข่ งขัน
่
The Third International Junior Science Olympiad(5th IJSO)
วันพฤหัสบดีที่ 6 มีนาคม 2551

จงเลือกคาตอบที่สุดเพียงข้ อเดียวเท่ านั้น ข้ อละ 4 คะแนน
1) กาหนดให้ a  2
ก. a  b  c
ข. b  a  c
ค. c  b  a
ง. c  a  b
2) ค่าของ
ก.
ข.
ค.
ง.

1
2

, b3
1
3
, c6

1
6
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
30 1  24 1  28 1  216 1  232 1  264 
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
2129  4
2129  4
2129  2
2129  2
3) ค่าของ (2002)(2005)(2008)(2011)  81  (2005)2 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 2002
ข. 4004
ค. 6006
ง. 8008

2. 2
www.krusawed.wordpress.com/
4) ถ้า
ก.
ข.
ค.
ง.
5) ถ้า
A  1
1 1 1
   ...
32 52 72
และ
B
ครูเสวตร 084-1284087
1 1 1 1
    ...
22 42 62 82
แล้ว
A
B
มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
3
1
3
2
3
3
3
4
a1b2b3  b1a2b3  b1b2a3  0
ก.
2
1
2
1
2
2
 b12  a2  3b2 
2
2
 3b12  a2  b2 
มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
a1  3a2
b1  3b2
ข.
a
แล้ว
a
2
a12  3a2
2
b12  3b2
ค.
3 2
a1b2 a3
3
b1a2 b32
ง.
2 3
a1b2 a3
2
b1a2 b33
ั
6) ถ้า a เป็ นจานวนจริ งบวกที่ทาให้ x   a  4 y  a ตัดแกนพิกดทั้งสอง และทาให้ได้รูปสามเหลี่ยมที่มี
พื้นที่ 1 ตารางหน่วย แล้ว a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 1
ข. 2
ค. 3
ง. 4

3. www.krusawed.wordpress.com/
3
7) ถ้า a และ b เป็ นค่าคงตัวที่ทาให้จุดตัดระหว่างเส้นตรง
แล้วข้อใดต่อไปนี้ผิด
ก. a  0
ข. b  0
ค. 2a  b
ง. a  2b  0
ครูเสวตร 084-1284087
ax  by  1
กับ
8) ถ้า a เป็ นค่าคงตัวที่ทาให้เส้นตรง 3 เส้น คือ y  ax  2 , ax  y  1 และ
เพียงจุดเดียวเท่านั้น แล้ว a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 2
ข. 3
ค.  1
ง.
ay  bx  2
x  ay  1
่
อยูในจตุภาคที่ 1
มีจุดตัดร่ วมกัน
2
1

3
9) ถ้า a เป็ นค่าคงตัวที่ทาให้พาราโบลา
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1
2
ก.

ข.
1
2
ค.
ง.
1
1
y  2ax2  x  a 2
่
มีจุดยอดอยูบนเส้นตรง
yx
แล้ว
a
มีค่า

4. 4
www.krusawed.wordpress.com/
10) ถ้า
ก.
ข.
ค.
ง.
0  x 1
5
2
9
4
17
8
33
16
แล้ว
2x  1  x
ครูเสวตร 084-1284087
มีค่าสูงสุดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
11) รู ปสามเหลี่ยมหน้าจัวรู ปหนึ่งมีดานยาว 25 , 25 และ 30 หน่วย ครึ่ งวงกลมรู ปหนึ่งแนบในรู ปสามเหลี่ยมนี้
้
่
่
โดยเส้นผ่านศูนย์กลางของครึ่ งวงกลมอยูบนฐานของรู ปสามเหลี่ยมหน้าจัว ครึ่ งวงกลมนี้มีรัศมีกี่หน่วย
่
ก. 10
ข. 12
ค. 14
ง. 16
12) รู ปสามเหลี่ยม ABC รู ปหนึ่งมีส่วนสูงที่ลากจากจุด
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
ก.
1 1 1
 
a b c
ข.
ค.
ง.
a bc
a 2  b2  c 2
a  bc
A, B
และ
C
ยาวเท่ากับ a , b และ
c
ตามลาดับ

5. 5
www.krusawed.wordpress.com/
ครูเสวตร 084-1284087
13) รู ปสามเหลี่ยม ABC รู ปหนึ่งมี C เป็ นมุมฉาก ลากเส้นจาก C ไปตั้งฉากกับ
ไปตั้งฉากกับ AC ที่จุด P2 ลากเส้นจาก P2 ไปตั้งฉากกับ AB ที่จุด P3 ถ้า
AB มีความยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 8
ที่จุด P1 ลากเส้นจาก P1
AP3  4 และ AP  6 แล้ว
1
AB
ข. 9
ค. 12
ง. 16
14) รู ปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
กึ่งกลางของ
DP
ABCD
ไปตัด
AD
มีจุด
P
่
อยูบนด้าน
ที่จุด
Q
แล้ว
DQ
QA
AB
ทาให้
AP  3PB
ถ้าลากเส้นตรงจากจุด
C
ผ่านจุด
มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 1
ข. 2
ค. 3
ง. 4
15) วงกลมรัศมี r วงหนึ่ง มี AB เป็ นเส้นผ่านศูนย์กลาง มี
ถ้า AP  L และ AQ  d แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก
ก. d 2  4rL
ข. L2  d 2  4r 2
ค.
ง.
1
1
1
 2 2
2
d
L 4r
1 1 1
 
d L 2r
PA
เป็ นเส้นสัมผัสวงกลม ลาก
PB
ตัดวงกลมที่จุด
Q

6. www.krusawed.wordpress.com/
6
ครูเสวตร 084-1284087
16) วงกลมสองวงมีรัศมี 1 และ 2 หน่วย และมีเส้นสัมผัสร่ วมทั้งหมด 4 เส้น ถ้าส่วนของเส้นตรงที่เป็ นเส้นสัมผัสร่ วม
มีความยาวมากที่สุด และความยาวที่นอยที่สุด ต่างกัน 2 หน่วย แล้ววงกลมทั้งสองมีจุดศูนย์กลางห่างกันเป็ นระยะ
้
กี่หน่วย
ก. 10
ข. 12
ค. 14
ง. 2
่
17) วงกลมวงใหญ่วงหนึ่งมีวงกลมเล็กสามวงที่มีรัศมีเท่ากันบรรจุอยูภายใน ถ้าวงกลมทั้งสี่สมผัสซึ่งกันและกัน แล้ว
ั
อัตราส่วนระหว่างพื้นที่ของวงกลมเล็กหนึ่งวงต่อพื้นที่ของวงกลมใหญ่มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก.
5 4 3

2
3
ข.
8
ค.
ง.
21  12 3
9 3
2
2 3
18) ถ้าทรงกลมและทรงกระบอกตรงมีปริ มาตรเท่ากัน และพื้นที่ผวของทรงกลมเท่ากับพื้นที่ผวข้างของทรงกระบอก
ิ
ิ
แล้วทรงกระบอกจะมีส่วนสูงเป็ นกี่เท่าขิงรัศมีฐาน
ก. 3
ข.
ค.
ง.
7
2
4
9
2

7. 7
www.krusawed.wordpress.com/
ครูเสวตร 084-1284087
19) กรวยกลมใบหนึ่งมีพ้นที่ฐานเท่ากับ A ถ้าตัดส่วนยอดของกรวยออกไป ทาให้รอยตัดขนานกับฐานและพื้นที่รอย
ื
ตัดเป็ นครึ่ งหนึ่งของพื้นที่ฐาน นอกจากนี้ส่วนสูงของกรวยตัดมีความยาวเท่ากับ h แล้วปริ มาตรของกรวยตัดมีค่า
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก.
ข.
ค.
ง.
Ah
6
Ah
6
Ah
6
Ah
6
2  3
3  2 
1  2 2 
1  2 3 
20) พีระมิดฐานสามเหลี่ยมรู ปหนึ่งมีทุกหน้าเป็ นรู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เท่ากันทุกประการ ถ้าพีระมิดนี้มีปริ มาตร
เท่ากับพื้นที่ผวข้างพอดี(โดยไม่คานึงถึงความแตกต่างระหว่างตารางหน่วยกับลูกบาศก์หน่วย) แล้วปริ มาตรของ
ิ
พีระมิดมีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก.
27 3
8
ข.
625 3
8
ค.
6 3
ง.
729 3
8
21) จานวนในข้อใดต่อไปนี้มีค่ามากที่สุด
ก. cos 61o
ข. cos59o
ค. cos 61o
ง. cos59o
22) ถ้าสามเหลี่ยม
ก.
ข.
ค.
ง.
1  cos A
cos B
1  sin A
sin B
cos B
1  sin A
cos A
1  cos B
ABC
รู ปหนึ่ง มี
cos2 A  cos2 B  1
แล้ว
sin A
1  sin B
มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

8. www.krusawed.wordpress.com/
23) ถ้า
ก.
ข.
ค.
ง.
0o    90o
และ
8
sec4   6cot 4   6cos ec4  tan 4 
ครูเสวตร 084-1284087
แล้ว
sec
มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
2
3
2
5
24) พิจารณารู ปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ารู ปหนึ่งที่แนบในวงกลม ให้ a เป็ นอัตราส่วนระหว่างพืนที่รูปหลาย
้
เหลี่ยมต่อพื้นที่วงกลม และ b เป็ นอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบรู ปหลายเหลี่ยมต่อเส้นรอบวงของวงกลม
ถ้า b  2a แล้วรู ปหลายเหลี่ยมนี้มีจานวนเหลี่ยมเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 3
ข. 4
ค. 6
ง. 8
่
่
25) นาย ก ยืนอยูทางทิศใต้ของอาคารแห่งหนึ่ง มองเห็นยอดอาคารเป็ นมุมเงย 30o และนาย ข ยืนอยูทางทิศ
่
ตะวันออกของอาคารแห่งนี้ มองเห็นยอดอาคารเป็ นมุมเงย 60o ถ้าคนทั้งสองยืนอยูห่างกันเป็ นระยะทาง
้ั
100 เมตร แล้วอาคารแห่ งนี้ สูงกี่เมตร (โดยไม่คานึ งถึงความสู งของผูสงเกตทั้งสอง)
ก. 15
ข. 50
ค. 10
ง. 30
30
3
30
3