1. ส่วนที่ 1: จานวน 25 ข้อ ข้อละ 3 คะแนน รวม 75 คะแนน
คาสัง: แบบปรนัย 4 ตัวเลือก แต่ละข้อมีคาตอบทีถูกต้องทีสุดเพียงคาตอบเดียว
่ ่ ่
1
1. ถ้าเขียนเศษส่วน ในรูปทศนิ ยมซา จะได้ทศนิ ยมในตาแหน่ งที่ 37 เป็ นเท่ าไร
้
7
1. 1
2. 5
3. 7
4. 8
เฉลย ตอบตัวเลือก 1
1
เนื่องจาก  0.142857142857142857...
7
ซึงการซ้าของทศนิยมนี้จะซ้าเป็นชุดตัวเลข 142857 ทีละ 6 ตัวไปเรือยๆ
่ ่ ่
และเพราะว่า 37 เมือหารด้วย 6 จะเหลือเศษเป็น 1
่
ดังนันทศนิยมในตาแหน่งที่ 37 จะมีค่าเท่ากับทศนิยมในตาแหน่งที่ 1 ซึงมีค่าเป็ น 1
้ ่ #
1 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

2. 2. จงพิ จารณาข้อความต่อไปนี้ ว่าข้อใดเป็ นจริ ง
1. จานวนจริ งที่เป็ นจานวนตรรกยะมีบางจานวนที่ เป็ นจานวนอตรรกยะ
2. จานวนเต็ม 0 เป็ นจานวนจริ งเพียงจานวนเดียวที่ คณกับจานวนอตรรกยะใดๆ แล้ว
ู
ได้ผลคูณเป็ นจานวนตรรกยะ
3. จานวนจริ งที่เขียนได้ในรูปทศนิ ยมที่ไม่ซากันเป็ นจานวนอตรรกยะ และเขียนเป็ นรูป
้
เศษส่วนที่มีเศษและส่วนเป็ นจานวนเต็มไม่ได้
4. จานวนเต็มเป็ นจานวนจริ งที่ ประกอบด้ วยจานวนเต็มลบและจานวนเต็มบวกเท่านัน ้
เฉลย ตอบตัวเลือก 2 และ 3
ตัวเลือก 1 ผิด เนื่องจากไม่มจานวนตรรกยะใดๆทีเป็นจานวนอตรรกยะ
ี ่
ตัวเลือก 2 ถูกต้อง เนื่องจากเมือ 0 เป็นจานวนจริงเพียงจานวนเดียวทีคณกับจานวน
่ ่ ู
อตรรกยะทุกจานวน แล้วจะได้ผลคูณเป็ น 0 ซึงเป็นจานวนตรรกยะ
่
ตัวเลือก 3 ถูกต้อง เนื่องจากทศนิยมทีไม่ซ้ากันคือจานวนอตรรกยะ จึงไม่สามารถเขียนได้
่
ในรูปของเศษและส่วนทีเป็นจานวนเต็ม
่
ตัวเลือก 4 ผิด เนื่องจากจานวนเต็มเป็นจานวนจริงทีประกอบไปด้วยจานวนเต็มบวก
่
จานวนเต็มลบ และจานวนเต็มศูนย์ #
5
3. นักเรียนห้องหนึ่ ง เป็ นนักเรียนชาย ของนักเรียนทังห้อง
้
9
มีนักเรียนหญิ งที่เป็ นนักกรีฑา อยู่ 0.5 ของนักเรียนหญิ ง
ถ้านักเรียนหญิ งในห้องนี้ เป็ นนักกรีฑา 8 คน จะมีนักเรียนชายในห้องกี่คน
1. 18
2. 20
3. 22
4. 24
เฉลย ตอบตัวเลือก 2
1
เนื่องจากมีนกเรียนหญิงทีเป็นนักกรีฑา 8 คน ซึงคิดเป็น
ั ่ ่ 0.5  ของนักเรียนหญิง
2
ดังนันมีนกเรียนหญิงทังหมด
้ ั ้ 8  2  16 คน
5
แต่นกเรียนชายมี
ั ของนักเรียนทังห้อง จึงมีนกเรียนหญิงอยู่ 1  5  4 ของนักเรียนทังห้อง
้ ั ้
9 9 9
4
นันคือ
่ ของนักเรียนทังห้องคิดเป็น 16 คน
้
9
9
ดังนันมีนกเรียนทังหมด
้ ั ้ 16   36 คน
4
5 5
จะได้ว่า นักเรียนชายทีมอยู่
่ ี ของนักเรียนทังห้องคิดเป็ น
้  36  20 คน #
9 9
2 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

3. 4. ภาสกร สอบวิ ชาต่ างๆ ได้คะแนนดังนี้
วิ ชาคณิ ตศาสตร์ : วิ ชาภาษาอังกฤษ ได้คะแนนเป็ น 5 : 3
วิ ชาภาษาอังกฤษ: วิ ชาวิ ทยาศาสตร์ ได้คะแนนเป็ น 4 : 7
ถ้าแต่ละวิ ชาคะแนนเต็ม 50 คะแนน และเขาสอบวิ ชาคณิ ตศาสตร์ได้ 40 คะแนน
ถามว่าเขา สอบวิ ชาวิ ทยาศาสตร์ได้ร้อยละเท่าไหร่
1. 84
2. 80
3. 60
4. 48
เฉลย ตอบตัวเลือก 1
วิชาคณิตศาสตร์ : วิชาภาษาอังกฤษ ได้คะแนนเป็น 5 : 3 หรือคิดเป็น 40 : 24
วิชาภาษาอังกฤษ : วิชาวิทยาศาสตร์ ได้คะแนนเป็น 4 : 7 หรือคิดเป็น 24 : 42
จะได้ว่า อัตราส่วนของวิชาคณิตศาสตร์ : วิชาวิทยาศาสตร์ คือ 40 : 42
ดังนัน ภาสกรสอบวิชาวิทยาศาสตร์ได้คะแนน 42 จากคะแนนเต็ม 50 คะแนน
้
42
นันคือ ภาสกรสอบวิชาวิทยาศาสตร์ได้รอยละ
่ ้ 100  84 #
50
5. ผลบวกของเศษส่วน 3 จานวนต่อไปนี้
2000 8008 2009
 
2999 5998 3997
มีค่าใกล้เคียงจานวนเต็มในข้อใดต่อไปนี้ มากที่สด
ุ
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
เฉลย ตอบตัวเลือก 3
2007
พิจารณา มีค่าใกล้เคียงกับ 2000  2 (แต่ 2 มีค่าน้อยกว่า 2007 )
2999 3000 3 3 2999
8008
มีค่าใกล้เคียงกับ 8000  4 (แต่ 4 มีค่าน้อยกว่า 8008 )
5998 6000 3 3 5998
2009
มีค่าใกล้เคียงกับ 2000  1 (แต่ 1 มีค่าน้อยกว่า 2009 )
3997 4000 2 2 3997
ดังนัน 2007  8008  2009 มีค่าใกล้เคียงกับ 2  4  1  2.5
้
2999 5998 3997 3 3 2
ซึงค่าทีแท้จริงมีค่ามากกว่า 2.5
่ ่
ดังนันค่า 2007  8008  2009 มีค่าใกล้เคียงกับจานวนเต็ม 3
้ #
2999 5998 3997
3 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

4. 6. ให้ a เป็ นจานวนที่มากที่สุด ที่หาร 170 และ94 แล้วเหลือเศษ 5 และ4 ตามลาดับแล้ว a  5
ไม่เป็ นพหุคณของจานวนใดต่อไปนี้
ู
1. 2
2. 3
3. 4
4. 5
เฉลย ตอบตัวเลือก 2
เนื่องจาก a เป็นจานวนทีมากทีสุด ทีหาร 170 และ 94 แล้วเหลือเศษ 5 และ 4 ตามลาดับ
่ ่ ่
ดังนัน a หาร 170  5  165 และ 94  4  90 ลงตัว
้
แต่ a เป็นจานวนทีมากทีสุด ดังนัน a คือ ห.ร.ม.ของ 165 และ 90
่ ่ ้
5 165 90
3 33 18
11 6
ดังนัน ห.ร.ม. ของ 165 และ 90 มีค่าเป็น 5  3  15 นันคือ
้ ่ a  15
จะได้ว่า a  5  15  5  20 ซึง 3 หาร 20ไม่ลงตัว
่
ฉะนัน a  5  20 จึงไม่เป็ นพหุคณของ 3
้ ู #
4 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

5. 7. กล่องกระดาษรูปสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ที่มีขนาดภายในกว้าง 21 เซนติ เมตร บรรจุลูกบอลลูก
หนึ่ งได้พอดี อยากทราบว่าปริ มาตรของอากาศภายในกล่องที่อยู่ล้อมรอบลูกบอลนันกี่
้
ลูกบาศก์เซนติ เมตร
1. 4,400 ลูกบาศก์เซนติ เมตร
2. 4,410 ลูกบาศก์เซนติ เมตร
3. 4,420 ลูกบาศก์เซนติ เมตร
4. 4,430 ลูกบาศก์เซนติ เมตร
เฉลย ตอบตัวเลือก 2
จากโจทย์วาดภาพได้เป็น
21
21
ดังนันรัศมีของทรงกลมจึงมีค่าเป็น
้ เซนติเมตร
2
จาก ปริมาตรของอากาศทีลอมรอบวงกลม
่้  ปริมาตรของลูกบาศก์ 
4  21 
3
 21    
3
3  2
4 22 21 21 21
 9261   
3 7 8
 9261  4851
 4410 #
5 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

6. 8. ABCD เป็ นรูปสี่เหลี่ยมที่ มีด้าน AB ขนานกับ CD และห่ างกัน 8 หน่ วย จุด P และจุด Q เป็ น
จุดกึ่งกลางด้าน AD และ BC ตามลาดับถ้ารูปสี่เหลี่ยมABCD มีพื้นที่ 40 ตารางหน่ วย แล้ว
จุด P และ Q จะห่างกันกี่หน่ วย
1. 3 หน่ วย
2. 4 หน่ วย
3. 5 หน่ วย
4. 6 หน่ วย
เฉลย ตอบตัวเลือก 3
จากโจทย์วาดภาพได้เป็น
A B
4
P Q
4
D C
เนื่องจาก AB กับ CD ห่างกัน 8 หน่วย แต่ P เป็นจุดกึงกลางด้าน AD
่
ดังนัน AP  PD  4 หน่วย แต่รปสีเหลียมABCD มีพนที่ 40 ตารางหน่วย
้ ู ่ ่ ้ื
และโดยการสร้าง เราได้สร้างรูปสีเหลียมABCD เป็นรูปสีเหลียมผืนผ้า
่ ่ ่ ่
40
ดังนัน
้ DC   5 หน่ วย แต่ P และจุด Q เป็ นจุดกึงกลางด้าน AD และ BC
่
8
จะได้ว่าสีเหลียม PQDC เป็นรูปสีเหลียมผืนผ้า ทาให้ PQ  DC  5 หน่วย
่ ่ ่ ่ #
(* หมายเหตุ กรณีน้เราเลือกสร้างสีเ่ หลียม ABCD ให้เป็นรูปสีเ่ หลียมผืนผ้าหรือสีเ่ หลียมด้านขนาน ซึง
ี ่ ่ ่ ่
สามารถกระทาได้ เพราะยังคงสอดคล้องกับเงือนไขของโจทย์ทุกประการ ส่วนกรณีสเี ่ หลียมคางหมูโจทย์
่ ่
กาหนดเงือนไขไม่เพียงพอ)
่
6 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

7. 9. จงหาพื้นที่ บนหน้ าที่ มองไม่เห็นของรูปทรงเรขาคณิ ตข้างล่างนี้ รวมกันได้ กี่ตารางหน่ วย
1. 582 ตารางหน่ วย
2. 682 ตารางหน่ วย
3. 762 ตารางหน่ วย
4. 772 ตารางหน่ วย
เฉลย ตอบตัวเลือก 2
พืนผิวทีมองไม่เห็นของรูปทรงเรขาคณิตคือบริเวณทีลกศรชี้ ดังภาพ
้ ่ ู่
ลูกศร (1) มีพนทีเป็ น 7 10  70
้ื ่
ลูกศร (2) มีพนทีเป็ น (6 15)  2  (9  8)  252
้ื ่
ลูกศร (3) มีพนทีเป็ น 2110  210
้ื ่
ลูกศร (4) มีพนทีเป็ น 15 10  150
้ื ่
 รวมพืนทีทมองไม่เห็นของรูปทรงเรขาคณิตนี้คอ 70  252  210  150  682
้ ่ ่ี ื ตารางหน่วย
7 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

8. 10. กาหนดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่ ง ถูกแบ่งเป็ นรูปสี่ เหลี่ยมมุมฉาก 4 รูป รูปหนึ่ งเป็ นสี่เหลี่ยม
จัตรส พื้นที่ 36 ตารางหน่ วย อีกสามรูป เป็ นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มีพื้นที่ 60, 90, A ตารางหน่ วย
ุ ั
ดังรูป แล้วจงหาค่าของ A
1. 150
2. 160
3. 180
4. 200
เฉลย ตอบตัวเลือก 1
พิจารณาภาพ
เนื่องจาก สีเหลียม MNOP เป็นสีเหลียมจัตุรสทีมพนที่ 36 ตารางหน่วย
่ ่ ่ ่ ั ่ ี ้ื
ดังนันแต่ละด้านของสีเหลียมนี้จงมีความยาว 6 หน่วย
้ ่ ่ ึ
เนื่องจากด้าน NP มีความยาว 6 หน่วย แต่สเี่ หลียมผืนผ้า NSPT มีพนที่ 90 ตารางหน่วย
่ ้ื
90
ดังนัน PT จึงมีความยาวด้านเป็น
้  15 หน่วย
6
เนื่องจากด้าน OP มีความยาว 6 หน่วย แต่สเี่ หลียมผืนผ้า OPQR มีพนที่ 60 ตารางหน่วย
่ ้ื
60
ดังนัน PR จึงมีความยาวด้านเป็น
้  10 หน่วย
6
จะได้ว่า A = PT  PR
= 15 10  150 #
8 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

9. 10. คุณครูเดิ นทางออกจากบ้านไปทางทิ ศตะวันออกเป็ นระยะทาง 2.4 กิ โลเมตร แล้วเลี้ยวขึ้นไป
ทางทิ ศเหนื ออีก 3.2 กิ โลเมตร ถึงโรงเรียนพอดี จงหาระยะห่างระหว่างบ้านกับโรงเรียน
1. 4.0 กิ โลเมตร
2. 4.5 กิ โลเมตร
3. 5.6 กิ โลเมตร
4. 6.7 กิ โลเมตร
เฉลย ตอบตัวเลือก 1
จากโจทย์ สามารถวาดเส้นทางของคุณครูได้ดงรูป
ั
3.2
โดยทฤษฎีบทปีทาโกรัส จะได้ว่า x 2  (2.4) 2  (3.2) 2
x 2  5.76  10.24
x 2  16
ดังนัน
้ x  4, 4
นันคือ ระยะห่างระหว่างบ้านกับโรงเรียนมีค่าเป็ น 4 กิโลเมตร
่ #
9 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

10. 12. ผลบวกของมุมภายในของรูป x เหลี่ยม เป็ นสองเท่ าของผลบวกของมุมภายในรูปแปด
เหลี่ยม จงหาค่า x
1. 12
2. 13
3. 14
4. 15
เฉลย ตอบตัวเลือก 3
สาหรับรูป n เหลียมใดๆ จะได้สตรของผลบวกของมุมภายใน คือ (n  2) 180 องศา
่ ู
ดังนัน ผลบวกของมุมภายในของรูป x เหลียม  (x  2) 180 องศา
้ ่
และได้ว่า ผลบวกของมุมภายในของรูป 8 เหลียม  (8  2) 180  1080 องศา
่
แต่ ผลบวกของมุมภายในของรูป x เหลียม เป็นสองเท่าของผลบวกของมุมภายใน
่
รูปแปดเหลียม
่
ดังนันเราได้สมการคือ
้
(x  2)180  2 1080
นา 180 หารตลอดทังสองข้างของสมการ;
้ x  2  12
นา 2 บวกตลอดทังสองข้างของสมการ;
้ x  14 #
10 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

11. 13. กาหนดให้ ACE และ BCD เป็ นส่วนของเส้นตรงตัดกันที่ จด C ส่วนของเส้นตรง AB และ
ุ
DE ขนานกัน ถ้าAB = 2 ซม., AC = 1.5 ซม., DC = AB, BC = X ซม. และ EC = Y ซม.,
จงหาค่าของ X+Y
1. 3.0
2. 3.5
3. 4.0
4. 4.5
เฉลย ตอบตัวเลือก 3
จากรูป
จะได้ว่า ˆ ˆ
(1) ACB  DCB (มุมตรงข้าม)
ˆ ˆ
(2) ABC  CDE (มุมแย้ง)
ˆ ˆ
(3) ACB  DCB (มุมแย้ง)
จาก (1), (2), (3) จะได้ว่า  ACB ~  ECD
โดยความคล้ายกันของรูปสามเหลียมสองรูปจะได้ว่า
่
2 4
  Y3
1.5 Y
X DC
และ  จะได้ว่า X  2 ( DC = AB = 2) เพราะฉะนัน
้ X 1
2 4 2 4
ดังนัน X  Y  1  3  4
้ #
11 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

12. 14. จากรูป มีด้าน AB = 6 เซนติ เมตรAC = 10 เซนติ เมตร DE = 3 เซนติ เมตร
ˆ ˆ
ABC  CDE  90 จงหาว่า AD ยาวกี่เซนติ เมตร
1. 8
2. 7
3. 6
4. 5
เฉลย ตอบตัวเลือก 3
จากรูป
พิจารณารูปสามเหลียมมุมฉาก ABC
่
โดยทฤษฎีบทปีทาโกรัส จะได้ BC2  AC2  AB2
BC2  102  62
BC2  64
ดังนัน BC  8, 8
้
โดยการพิจารณา ABC และ EDC จะได้
ˆ ˆ
(1) ACB = ECD (มุมร่วม)
ˆ ˆ
(2) ABC = EDC (มุมทังสองมีขนาดเท่ากับ 90 )
้
ˆ ˆ
(3) BAC = DEC (จาก (1), (2) และมุมภายในของรูปสามเหลียมรวมกันได้ 180 )
่
จาก (1), (2), (3) จะได้ว่า ABC ~ EDC
6 3
โดยความคล้ายกันของรูปสามเหลียมสองรูป จะได้ว่า
่   EC = 5
10 EC
พิจารณารูปสามเหลียมมุมฉาก EDC
่
โดยทฤษฎีบทปีทาโกรัส จะได้ DC2  EC2  ED2
DC2  52  32
DC2  16
ดังนัน
้ DC  4, 4
พิจารณาด้าน AC จะได้ว่า X  AC  DC
 X  10  4  6 #
12 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

13. 15. กาหนดแบบรูปของจานวนดังนี้
1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4,…
จากแบบรูปข้างต้ น ถ้าเขียนต่อไปเรื่อยๆ ถึงพจน์ ที่ 19 จะตรงกับจานวนในข้อใด
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
เฉลย ตอบตัวเลือก 4
จากการสังเกตแบบรูปเราพบว่า
1 คือพจน์ท่ี 1
1, 2 คือพจน์ท่ี 2,3
1, 2,3 คือพจน์ท่ี 4,5, 6
1, 2,3, 4 คือพจน์ท่ี 7,8,9,10
1, 2,3, 4,5 คือพจน์ท่ี 11,12,13,14,15
1, 2,3, 4,5, 6 คือพจน์ท่ี 16,17,18,19, 20, 21
ดังนัน พจน์ท19 จึงมีค่าเท่ากับ 4
้ ่ี #
13 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

14. 16. ถ้าน้าไหลจากท่อด้วยอัตราเร็วคงที่ลงในภาชนะจนท่ วมกรวย ดังรูป
อยากทราบว่ากราฟของระดับน้าจะมีลกษณะดังข้อใด
ั
1. 2.
ระดับน้า ระดับน้า
เวลา เวลา
3.
ระดับน้า 4. ระดับน้า
เวลา เวลา
เฉลย ตอบตัวเลือก 4
เนื่องจากน้าไหลจากท่อด้วยอัตราเร็วคงที่ ดังนันกราฟทีแสดงความสัมพันธ์ระหว่างระดับน้ากับ
้ ่
เวลาจะต้องไม่มจดมุมหักมุม นันคือกราฟในตัวเลือก 1 และ 2 จึงไม่สอดคล้อง และเนื่องจากเมือ
ีุ ่ ่
เวลาเพิมขึน ระดับน้าจะต้องเพิมขึนอย่างช้าลง ทังนี้เพราะเมือสูงขึน กรวยจะแคบลง ทาให้
่ ้ ่ ้ ้ ่ ้
ปริมาณน้าเพิมขึนช้าลง ดังนันรูปกราฟทีเหมาะสมจึงควรเป็นรูปตัวเลือก 4 มากกว่าตัวเลือก 3
่ ้ ้ ่
ซึงมีลกษณะกราฟ คือ เมือเวลาเพิม ระดับน้าก็เพิมขึนอย่างรวดเร็ว
่ ั ่ ่ ่ ้ #
14 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

15. 17. กาหนด ABC เป็ นรูปสามเหลี่ยมบนระนาบ XY มีพิกดของจุดเป็ น
ั
A ( 3, 3 ), B ( 5, 9 ), C ( 10, 5 )
จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC
1. 19 ตารางหน่ วย
2. 21 ตารางหน่ วย
3. 23 ตารางหน่ วย
4. 33 ตารางหน่ วย
เฉลย ตอบตัวเลือก 1
จากโจทย์เราสามารถลงพิกดจุดได้ดงรูป
ั ั
Y
B
9
5 C
3 A
F E D
X
3 5 10
0
เนื่องจาก พืนทีสามเหลียม ABC  พืนทีหาเหลียม ABCDF  พืนทีสเี่ หลียม ACDF
้ ่ ่ ้ ่ ้ ่ ้ ่ ่
โดย พืนทีหาเหลียม ABCDF  พืนทีสเี่ หลียม ABEF  พืนทีสเี่ หลียม EBCD
้ ่ ้ ่ ้ ่ ่ ้ ่ ่
1  1 
   (3  9)  2    (9  5)  5
2  2 
 12  35  47 ตารางหน่ วย
และ พืนทีสเี่ หลียม ACDF  1  (3  5)  7  28 ตารางหน่วย
้ ่ ่
2
ดังนัน
้ พืนทีสามเหลียม ABC  47  28  19 ตารางหน่วย
้ ่ ่ #
15 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

16. 18. ข้อใดต่ อไปนี้ เป็ นจริ ง
1. ถ้า a เป็ นจานวนจริ ง แล้ว a 2  a เสมอ
2. ให้ a, b, c เป็ นจานวนอตรรกยะ ถ้า a  b แล้ว c  a  c  b
3. ให้ x เป็ นจานวนตรรกยะ ถ้า x 2  4 แล้ว x  2
4. ให้ y เป็ นจานวนเต็ม ถ้า y  1 แล้ว y  1
เฉลย ตอบตัวเลือก 4
2
1 1 1
ตัวเลือก 1 ผิด เนื่องจากถ้า a ซึงเป็นจานวนจริง จะได้
่ a   
2
แต่ a2  a
2 2 4
ตัวเลือก 2 ผิด เนื่องจาก ถ้า a  b จะได้ a  b จึงได้ว่า c  a  c  b
ตัวเลือก 3 ผิด เนื่องจาก ให้ x  5 ซึงเป็ นจานวนตรรกยะ ถ้า x 2  (5)2  25  4
่
แต่ x  5  2 นันคือ ไม่จาเป็นว่า x  2
่
ตัวเลือก 4 ถูกต้อง เนื่องจาก ให้ y เป็นจานวนเต็ม ถ้า y  1 แต่ทง y  0 และ 1  0
ั้
แล้วยกกาลังสองทังสองข้างจะได้ y  1
้ #
19. กราฟของสมการในข้อใดต่อไปนี้ ผ่านจุดที่กราฟของสมการ X  Y  2 และ X  Y  8
ตัดกัน
1. 2X  Y  5
2. X  2Y  7
3. 3X  2Y  11
4. 2X  3Y  19
เฉลย ตอบตัวเลือก 4
ให้ X  Y  2 .....(1)
และ X  Y  8 .....(2)
นา (1)  (2); 2X  10  X = 5
นา X  5 แทนลงใน (1) จะได้ Y  2  5  3
ดังนัน จุดตัดกันของกราฟ X  Y  2 และ X  Y  8 คือจุด (5, 3)
้
เนื่องจาก กราฟของสมการทีผ่านจุด (5, 3) คือกราฟทีเมือแทนค่า X = 5 และ
่ ่ ่
Y  3 แล้วสมการเป็ นจริง
หลังจากทาการแทนค่าดังกล่าว
เราพบว่าตัวเลือก 4 เป็นตัวเลือกเดียวทีสอดคล้อง เนื่องจาก 2(5)  3(3)  19
่ #
16 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

17. 20. เด็ก 4 คน กับผู้ใหญ่หญิ ง 1 คน
ทางานได้เท่ากับ เด็ก 3 คน กับผู้ใหญ่ชาย 1 คน ถ้าผู้ใหญ่
ชายคนเดียว ทางานนันเสร็จใน 6 วัน แล้วเด็ก 1 คน ผู้ใหญ่หญิ ง 1 คน และผูใหญ่ชาย 1 คน
้ ้
ช่วยกันทางานนันจะเสร็จภายในกี่วน
้ ั
1. 2 วัน
2. 3 วัน
3. 4 วัน
4. 5 วัน
เฉลย ตอบตัวเลือก 2
ให้ เด็ก 1 คน ทางาน 1 วัน ได้งาน x หน่วย
ผูใหญ่หญิง 1 คน ทางาน 1 วัน ได้งาน y หน่วย
้
และ ผูใหญ่ชาย 1 คน ทางาน 1 วัน ได้งาน z หน่วย
้
ดังนัน เด็ก 4 คน กับผูใหญ่หญิง 1 คน ทางาน 1 วัน ได้งาน 4x  y หน่วย
้ ้
และ เด็ก 3 คน กับผูใหญ่ชาย 1 คน ทางาน 1 วัน ได้งาน 3x  z หน่วย
้
เนื่องจาก เด็ก 4 คน กับผูใหญ่หญิง 1 คน ทางานได้เท่ากับ เด็ก 3 คน กับผูใหญ่ชาย 1 คน
้ ้
จะได้ว่า 4x  y  3x  z
ดังนัน ้ x yz  0
นา 2z บวกตลอดทังสองข้างของสมการ จะได้
้
x  y  z  2z
นันคือ เด็ก 1 คน ผูใหญ่หญิง 1 คน ผูใหญ่ชาย 1 คน จะทางานใน 1 วัน ได้งาน 2z หน่วย
่ ้ ้
แต่ ผูใหญ่ชายคนเดียว ทางานนันเสร็จใน 6 วัน
้ ้
นันคือจานวนงานทีตองทาทังหมดเท่ากับ 6z หน่วย
่ ่ ้ ้
ดังนัน เด็ก 1 คน ผูใหญ่หญิง 1 คน ผูใหญ่ชาย 1 คน ต้องใช้เวลาในการทางานทังหมด 3 วัน
้ ้ ้ ้
17 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

18. 21. จานวนครูในโรงเรียนแห่งหนึ่งมีทงหมด 200 คนจาแนกตามวุฒการศึกษา ในปี 2553
ั้ ิ
เป็ นดังนี้
ครู จำแนกตำมวุฒกำรศึกษำ
ิ
ปริญญำเอก ปริญญำโท ปริญญำตรี
5%
x%
67%
จานวนครูท่ีมีวฒิปริ ญญาตรี มากกว่าจานวนครู ที่ มีวฒิปริ ญญาโทกี่คน
ุ ุ
1. 134 คน
2. 88 คน
3. 84 คน
4. 78 คน
เฉลย ตอบตัวเลือก 4
จากแผนภูมวงกลม จะได้ว่ามีครูทมวุฒปริญญาโทอยู่ 100  5  67  28%
ิ ่ี ี ิ
เนื่องจากมีครูทงหมด 200 คน
ั้
28
ดังนัน มีครูทมวุฒปริญญาโททังหมด
้ ่ี ี ิ ้  200  56 คน
100
67
และ มีครูทมวุฒปริญญาตรีทงหมด
่ี ี ิ ั้  200  134 คน
100
ดังนันจานวนครูทมวุฒปริญญาตรี มากกว่าจานวนครูทมวุฒปริญญาโทอยู่ 134  56  78 คน
้ ่ี ี ิ ่ี ี ิ #
18 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

19. 22. ผลการเรียนวิ ชาภาษาไทยของนักเรียนกลุ่มหนึ่ งมีระดับคะแนน ดังนี้
2 2 3 1 3
3 1 4 3 2
4 3 3 2 2
4 3 1 2 1
จงหาฐานนิ ยมระดับคะแนนของผลการเรียนของนักเรียนกลุ่มนี้
1. 4
2. 3
3. 2
4. 1
เฉลย ตอบตัวเลือก 2
ฐานนิยม คือข้อมูลทีมความถีมากทีสุด
่ ี ่ ่
จากข้อมูลทีโจทย์กาหนด สามารถแจกแจงได้ว่า
่
ระดับคะแนน 1 มีความถี่ 4
ระดับคะแนน 2 มีความถี่ 6
ระดับคะแนน 3 มีความถี่ 7
ระดับคะแนน 4 มีความถี่ 3
ดังนัน ฐานนิยมระดับคะแนนของผลการเรียนของนักเรียนกลุ่มนี้จงมีค่าเป็น 3
้ ึ #
19 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

20. 23. คะแนนสอบวิ ชาภาษาอังกฤษ ของนักเรียนห้ องหนึ่ ง มีการแจกแจงปกติค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต
เท่ากับ 60 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 5 คะแนน แสดงพื้นที่ใต้โค้งปกติ ได้
ดังนี้
ความถี่
คะแนน
45 50 55 60 65 70 75
ถ้ามีนักเรียนเข้าสอบ 44 คน ผูที่ได้คะแนนน้ อยกว่า 65 คะแนน มีกี่คน
้
1. 35 คน
2. 37 คน
3. 38 คน
4. 39 คน
เฉลย ตอบตัวเลือก 2
เนื่องจากเป็นการแจกแจงแบบปกติ เราจะได้ว่าพืนทีใต้โค้งปกติของผูทได้คะแนน
้ ่ ้ ่ี
น้อยกว่า 65 คะแนนคิดเป็น 50  34.1  84.1%
แต่มนกเรียนเข้าสอบทังหมด 44 คน
ี ั ้
84.1
ดังนัน มีผทได้คะแนนน้อยกว่า 65 คะแนนอยู่
้ ู้ ่ ี  44  37.004  37 คน #
100
20 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

21. 24. กาหนดจุด 6 จุด มี 5 จุด ที่อยู่ในแนวเส้ นตรงเดียวกัน ดังรูป
1. 13 รูป
2. 12 รูป
3. 11 รูป
4. 10 รูป
เฉลย ตอบตัวเลือก 4
(1)
(2) (3) (4) (5) (6)
สังเกตว่าในการสร้างรูปสามเหลียมหนึ่งรูป จะต้องใช้จด (1) และจุดสองจุด จากจุด
่ ุ
(2), (3), (4), (5), (6)
(1)
(2) (3) (4) (5) (6)
ในการเลือกจุดสองจุดจากจุดดังกล่าว สังเกตว่าถ้าเราเลือกได้จด (2), (4) หรือ (4), (2)
ุ
ถือว่าเป็นวิธเี ดียวกัน เนื่องจากจะได้รปสามเหลียมออกมาเป็นรูปเดียวกัน
ู ่
เพื่อป้องกันการนับซ้าซ้อน ให้พจารณาดังนี้
ิ
กรณีจดทีเลือกมาหนึ่งจุดจากสองจุด คือ
ุ ่
จุด (2) จะมีจานวนวิธในการเลือกจุดทีเหลืออยู่ 4 วิธ ี (คือจุด (3), (4), (5), (6))
ี ่
กรณีจดทีเลือกมาหนึ่งจุดจากสองจุด คือ
ุ ่
จุด (3) จะมีจานวนวิธในการเลือกจุดทีเหลืออยู่ 3 วิธ ี (คือจุด (4), (5), (6))
ี ่
กรณีจดทีเลือกมาหนึ่งจุดจากสองจุด คือ
ุ ่
จุด (4) จะมีจานวนวิธในการเลือกจุดทีเหลืออยู่ 2 วิธ ี (คือจุด (5), (6))
ี ่
กรณีจดทีเลือกมาหนึ่งจุดจากสองจุด คือ
ุ ่
จุด (5) จะมีจานวนวิธในการเลือกจุดทีเหลืออยู่ 1 วิธ ี (คือจุด (6))
ี ่
ดังนันจะสร้างรูปสามเหลียมได้ทงหมด 4  3  2  1  10 รูป
้ ่ ั้ #
21 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

22. 25. มีบตร 5 ใบ กากับด้วยตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 สุ่มหยิ บมา 2 ใบ ความน่ าจะเป็ นที่ ผลคูณของ
ั
จานวนในบัตรทัง 2 ใบ ถอดรากที่สองเป็ นจานวนเต็ม เป็ นเท่าไร
้
1. 0.1
2. 0.2
3. 0.3
4. 0.4
เฉลย ตอบตัวเลือก 1
จานวนวิธทงหมดในการหยิบบัตรสองใบ
ี ั้  5  4  20 วิธ ี
บัตรใบแรก บัตรใบที่สอง
พบว่ามีเพียงบัตรทีเป็นเลข 1 และ 4 เท่านันทีมผลคูณเมือถอดรากทีสองแล้วเป็นจานวนเต็ม
่ ้ ่ ี ่ ่
ดังนัน จานวนวิธทผลคูณของจานวนในบัตรทัง 2 ใบ ถอดรากทีสองเป็ นจานวนเต็ม  2
้ ี ่ี ้ ่
(คือหยิบได้ ตัวเลข 1, 4 กับหยิบได้ตวเลข 4, 1)
ั
2
ดังนันความน่ าจะเป็ นทีสนใจ จึงมีค่าเป็ น
้ ่  0.1
20
22 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

23. ส่วนที่ 2: จานวน 5 ข้อ ข้อละ 5 คะแนน รวม 25 คะแนน
คาสัง: แบบระบายตัวเลือก ให้เลือกคาตอบทีถูกต้อง 1 คาตอบ จากตัวเลือก 9 ตัวเลือกทีกาหนดให้
่ ่ ่
1. 10 2. 11 3. 12 4. 13
5. 15 6. 16 7. 18 8. 19
9. 20
26. มีนักเรียน 6 คน จับมือทักทายกันจนครบทุกคน จะมีการจับมือทักมายกันทังหมดกี่ครัง
้ ้
เฉลย ตอบตัวเลือก 5
นักเรียนคนที่ 1 ต้องจับทังหมด 5 ครัง (คือจับกับคนที่ 2, 3, 4, 5, 6)
้ ้
นักเรียนคนที่ 2 ต้องจับทังหมด 4 ครัง (คือจับกับคนที่ 3, 4, 5, 6)
้ ้
นักเรียนคนที่ 3 ต้องจับทังหมด 3 ครัง (คือจับกับคนที่ 4, 5, 6)
้ ้
นักเรียนคนที่ 4 ต้องจับทังหมด 2 ครัง (คือจับกับคนที่ 5, 6)
้ ้
นักเรียนคนที่ 5 ต้องจับทังหมด 1 ครัง (คือจับกับคนที่ 6)
้ ้
ดังนันจึงมีการจับมือทังหมด 5  4  3  2 1  15 ครัง
้ ้ ้ #
27. ให้สามเหลี่ยม ABC มีด้านยาวเป็ น จานวนเต็มหน่ วย AB  30 หน่ วย BC  18 หน่ วย แล้ว
AC สันที่สดจะยาวกี่หน่ วย
้ ุ
เฉลย ตอบตัวเลือก 4
เนื่องจากรูปสามเหลียมใดๆ จะต้องมีคุณสมบัตว่า
่ ิ
ผลรวมของความยาวของด้านสองด้านจะต้องมีค่ามากกว่าด้านทีสาม
่
C
และเพื่อให้ AC มีความยาวน้อยทีสุด เราจึงเลือกพิจารณาอสมการ
่
AC  BC  AB
นันคือ
่ AC  AB  BC
แทนค่าจะได้ AC  30 18  12
A B
แต่ดานทังสามของสามเหลียมมีความยาวเป็ นจานวนเต็ม
้ ้ ่
และจานวนเต็มทีน้อยสุดทีมากกว่า 12 คือ 13
่ ่
ดังนัน AC  13 หน่วย
้ #
23 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

24. 28. จานวนนับสามจานวน ถ้านามาบวกทีละคู่ จะได้ผลบวกเป็น 40, 48 และ 52 จานวนทีน้อย
่
ทีสุดเป็นเท่าไร
่
เฉลย ตอบตัวเลือก 7
สมมติจานวนนับสามจานวนทีเรียงจากน้อยไปมากคือ
่ x, y, z ตามลาดับ
จากโจทย์ เราได้ระบบสมการเป็น
x  y  40 ......(1)
x  z  48 ......(2)
y  z  52 ......(3)
นา (1)  (2)  (3) จะได้ 2(x  y  z)  140
นันคือ
่ x  y  z  70
จะได้ x  70  (y  z)
แต่จาก (3) จะได้ x  70  52  18 #
24 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

25. 29. ABC เป็ นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมม B เป็ นมุมฉาก และความยาวด้าน BC  10 3 หน่ วย
ุ
และ cosA  1 จงหาว่า AC ยาวกี่หน่ วย
2
เฉลย ตอบตัวเลือก 9
จากโจทย์วาดรูปได้เป็ น
C
10 3
60
A B
1
เนื่องจาก cos 60  ดังนัน
้ A  60
2
BC
พิจารณารูปสามเหลียม ABC จะได้
่ sin 60 
AC
3 10 3
แทนค่าจะได้ 
2 AC
นันคือ
่ AC  20 หน่วย #
25 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้

26. 30. พิ จารณา ลาดับของรูปสามเหลี่ยมต่ อไปนี้
1 2 3 4
รูปที่ 1 มีรปสามเหลี่ยมทังหมด 1 รูป
ู ้
รูปที่ 2 มีรปสามเหลี่ยมทังหมด 3 รูป
ู ้
รูปที่ 3 มีรปสามเหลี่ยมทังหมด 6 รูป
ู ้
รูปที่ 4 มีรปสามเหลี่ยมทังหมด 10 รูป
ู ้
ถามว่า สามเหลี่ยมรูปที่เท่าไหร่ จะมีรปสามเหลี่ยมทังหมด 55 รูป
ู ้
เฉลย ตอบตัวเลือก 1
1 2
สังเกตว่า รูปที่ 1 มีรปสามเหลียมทังหมด
ู ่ ้ 1 รูป
2
รูปที่ 2 มีรปสามเหลียมทังหมด 3  2  3 รูป
ู ่ ้
2
3 4
รูปที่ 3 มีรปสามเหลียมทังหมด 6 
ู ่ ้ รูป
2
รูปที่ 4 มีรปสามเหลียมทังหมด 10  4  5 รูป
ู ่ ้
2
ดังนัน รูปที่ n มีรปสามเหลียมทังหมด n  (n  1) รูป
้ ู ่ ้
2
สมมติว่า สามเหลียมรูปที่ X มีรปสามเหลียมทังหมด 55 รูป
่ ู ่ ้
X  (X  1)
จะได้สมการคือ  55
2
ทาให้ X  (X  1)  55  2  110  10 11  10  (10  1)
นันคือ
่ X  10 #
26 โครงการเสริมการเรียนรูทางการศึกษาขันพื้นฐาน
้ ้