Ecuatii neliniare rom

Capitolul 2

Rezolvarea numerică a ecuaţiilor
algebrice şi transcendente

Rezolvarea numerică a ecuaţiilor algebrice şi
transcendente

 Soluţionarea multor probleme tehnice
impune rezolvarea unor ecuaţii
algebrice sau transcendente.

f(x)=0,

f:[xmin, xmax]→R, [xmin, xmax]⊂R.

transcendente

 Dacă f(x) este o funcţie pol i nomial ă ,
ecuaţia f(x)=0 este algebric ă .
 Dacă f(x) are şi termeni

trigonometric i ,
logaritmic i,
exponen ţ ial i ,
ecuaţia f(x)=0 este transcendent ă .

transcendente

 Exemplu
Un rezervor de combustibil, cilindric, de rază r,
cu axa orizontală, este plin cu lichid, doar un
sfert din volumul său. Care este înălţimea, h,
a lichidului din rezervor?

r

h

transcendente

 Segmentul de cerc ABC
trebuie să reprezinte un sfert
din aria cercului, deci
θ
C

1 2 1  1 2
2 r θ − (r sin θ)(r cos θ) = πr
2 2  4
(∠AOD=θ)

transcendente

π
2θ − 2 sin θ cos θ =
2
şi considerând substituţia
x=π/2-2θ, ecuaţia de mai sus devine:

?
x+cosx=0.
x+cosx=0

transcendente

 Dacă ecuaţia ar putea fi rezolvată, s-ar
obţine pentru unghiul θ, valoarea:
θ=(π/2-x)/2
şi
h=r(1-cos θ)

transcendente

 Exemplul 2

În geometria angrenajelor, trebuie
rezolvată ecuaţia:
inv(α)=a , α= ?
inv(α)=tg α- α

transcendente

Definirea rădăcinilor
Fie ecuaţia
f(x)=0, unde
f:[xmin, xmax]→R, [xmin, xmax]⊂R.

 Definiţia rădăcinii exacte
Orice valoare ξ ∈[xmin, xmax], pentru care f(ξ)=0,
este rădăcină exactă sau “zero” al funcţiei
f(x).

transcendente

 Definiţia rădăcinii aproximative
Orice valoare ξ ’, apropiată de rădăcina
exactă ξ , care îndeplineşte una dintre
condiţiile următoare:
a. ξ-ξ’<ε (ε∈R, ε>0) or
b. f(ξ’)<ε
este considerată rădăcină aproximativă
a ecuaţiei f(x)=0.

transcendente

a. ξ-ξ’<ε (ε∈R, ε>0) b.f(ξ’)<ε (ε∈R, ε>0)

transcendente

Etapele rezolvării numerice a ecuaţiilor algebrice şi
transcendente
 Separarea rădăcinilor
 Implementarea metodei numerice

transcendente

Separarea rădăcinilor
Obiectiv - obţinerea unor intervale care să conţină cel mult o
rădăcină a ecuaţiei
Teoremă
Fie o diviziune a intervalului [xmin, xmax]:
xmin=x1<x2<…<xm<xm+1<…<xM=xmax
 Dacă în intervalul [xm, xm+1], f (xm)f(xm+1)<0, în acel interval
există cel puţin o rădăcină;
 Dacă în intervalul menţionat, prima derivată există şi
îşi păstrează semnul,
atunci, în intervalul [xm, xm+1], există o singură rădăcină ξ.

transcendente

transcendente

 Metoda bisecţiei
 Metoda secantei
 Metoda aproximaţiilor succesive
 Metoda Newton-Raphson

Metoda bisecţiei
 Cunoscută şi ca
metoda înjumătăţirii
intervalului
 Strategie:
 Împărţirea în două părţi
egale a intervalului [a,b];

Păstrarea acelei jumătăţi
care conţine rădăcina.

transcendente – Metoda bisecţiei
 Se consideră că
f(a)f(b)<0
 Pasul ZERO
x 0 =(b+a)/2

Dacă f(x0)=0, atunci ξ=x0
Dacă NU [a1, b1], unde
a1 =a şi b1=x0, dacă f(a)f(x0)<0,
sau
a1= x0 şi b1=b, dacă f(a)f(x0)>0.
lungimea b1-a1=(b-a)/2

 pasul UNU
x 1 =(b 1 +a 1 )/2

Dacă f(x1)=0, atunci ξ=x1
Dacă NU [a2, b2], unde
a2 =a1 şi b2=x1, dacă f(a1)f(x1)<0,
sau
a2= x1 şi b2=b1, dacă f(a1)f(x1)>0.
lungimea b2-a2=(b-a)/22
…

…
 PASUL i

x i =(b i -a i )/2

Dacă f(xi)=0, atunci ξ=xi
Dacă NU [ai+1, bi+1], unde
ai+1 =ai şi bi+1=xi, dacă f(ai)f(xi)<0,
sau
ai+1= xi şi bi+1=bi, dacă f(ai)f(xi)>0.
lungimea bi+1-ai+1=(b-a)/2i+1


Procesul iterativ se va opri la îndeplinirea
uneia dintre următoarele condiţii:

 xi-xi-1<ε (ε∈R, ε>0) sau
 f(xi)<ε.

Valoarea x i este considerată rădăcină
aproximativă a ecuaţiei f(x)=0.

De ce x i este considerată rădăcină aproximativă a ecuaţiei
f(x)=0?
Prin înjumătăţirile succesive ale intervalelor, se obţin două
şiruri, a0, a1, a2,..., ai şi b0, b1, b2,..., bi , convergente.
Dacă se trece la limită în relaţia lungimii intervalului [ai, bi]:
bi-ai=(b-a)/2i b−a
lim(b i − a i ) = lim i
=0
i →∞ i →∞ 2

lim b i = lim a i = ξ
i →∞ i →∞


În acelaşi timp, dacă se aplică limita, relaţiei
f(ai)f(bi)<0,

lim [f(ai)f(bi)] ≤0
şi prin înlocuire a valorilor limitelor,
f(ξ)2 ≤ 0 f(ξ)=0
CONCLU ZIE
ξ este chiar rădăcina exactă a ecuaţiei f(x)=0.

transcendente

Metoda secantei
 Procedura prevede
separarea rădăcinii între
două valori a şi b, astfel încât
f(a)f(b)<0.

 O valoare aproximativă a
rădăcinii, x0, se va obţine prin
interpolare liniară:
af (b) − bf (a )
x0 =
f ( b) − f (a )

Secant Method

a i f ( b i ) − b i f (a i )
xi =
f ( b i ) − f (a i )

Secant Method
 Exemplu
Use the secant method to find the value of the
specific volume, v, of methane gas at a
temperature T=300oK and a pressure P=5⋅106
Pa. The gas constant for methane is 518 J/
(kg⋅oK) and the van der Waals constants have
the following values:
a=887 Pa⋅m6/kg2 and b=0,00267 m3/kg.
Start with va=0,5 RT/P and vb=1,5 RT/P.
Use a value ε=0,1.

transcendente

 Legea gazului ideal:
ideal
Pv=RT
 Legea gazului real ţine seama de
forţele de atracţie intermoleculară şi de
spaţiul ocupat de molecule:

(P + a / v )( v − b) = RT
2

Secant Method

(
f ( v) = P + a / v 2
)( v − b) − RT

Metoda secantei

Nr. va vb f(v b ) vi
iteraţie
1 0,0155400 0,0466200 8,22865⋅104 0,0263331
2 0,0466200 0,0263331 -6,81592 ⋅103 0,0278850
3 0,0263331 0,0278850 -5,61669 ⋅102 0,0280243
4 0,0278850 0,0280243 7,18865 ⋅100 0,0280226
5 0,0280243 0,0280226 -7,00575 ⋅10-3

Valoarea aproximativă a rădăcinii
v i = 0,0280226m 3 /kg.

Metoda aproximaţiilor
succesive

•Impune re scrierea ecuaţiei f(x)=0 sub forma
x= ϕ (x)

•Procedura porneşte de la o valoare estimată a rădădcinii x 0 ,
care se va îmbunătăţi pas cu pas, prin iteraţii succesive.

Metoda aproximaţiilor succesive

Algoritmul metodei
1. Stabilirea valorii de start x 0 şi alegerea parametrului
de convergenţă (eroare de aproximare) ε ;

2. Calculul unei valori îmbunătăţite x im b from x im b = ϕ (x 0 ) ;

3. Dacă  x im b -x 0  > ε , se va considera x 0 egal cu x im b şi
reluarea pasului 2; altfel, ximb este rădăcina aproximativă
a ecuaţiei.


Din punct de vedere geometric, aplicarea metodei
aproximaţiilor succesive, presupune rezolvarea
ecuaţiei x=ϕ(x), adică găsirea punctului de
intersecţie dintre graficele funcţiilor:
y=x ( prima bisectoare )
y= ϕ (x)


Conclu zie
Convergenţa metodei este asigurată atunci când
 d ϕ /dx  <1, cel puţin pentru valorile lui x care
<1
intervin în timpul acestui proces iterativ.


Ex e mpl u
O grindă încastrată este încărcată cu o sarcină verticală, uniform
ditribuită pe lungimea acesteia, L. Deformaţia grinzii
corespunzătoare distanţei x faţă de capătul încastrat, este δ, iar la
capătul liber deformaţia este δmax. Dependenţa dintre deformaţia δ
şi distanţa x este modelată prin ecuaţia următoare:
f( α )= α 4 -4 α 3 +6 α 2 - δ / δ max =0 , α =x/L.
Folosind metoda aproximaţiilor succesive, să se determine α care
corespunde raportului δ / δ max =0,75.


x
L

x=αL
f( α )= α 4 -4 α 3 +6 α 2 - δ / δ max =0


Alte exemple

1. x4-2x+9=0 x=(x4 +9)/2

2. tan(x)=0 x=tan(x)+x


Alte exemple
x 3 +4x 2 -10=0
Ecuaţia are o rădăcină unică în
intervalul [1, 2].

g1(x) =x-x3-4x2+10
1
 10  2
g2 ( x ) =  
4+ x


g 1 (x) =x-x 3 -4x 2 +10

g 1 (1) =6
g 1 (2) =-12

g 1 '(x) =1-3x 2 -8x < -1 pt. ∀ x ∈ [1, 2]

Proces iterativ divergent!!!

1
 10  2
g2 ( x ) =  
4+ x

−5 5
g′( x ) = ≤ < 0,15
10 ( 4 + x ) 10 ( 5)
3 3
2 2

Proces iterativ convergent

transcendente

Metoda Newton-Raphson
 Este una dintre cele mai populare metode de rezolvare a ecuaţiilor;

 Pentru îmbunătăţirea preciziei de aproximare a rădăcinii se

folosesc informaţii despre funcţia f(x) şi derivata acesteia f’(x).

transcendente

Metoda Newton-Raphson

f(b)f”(b)>0, x0=b f(a)f”(a)<0, x0=a

transcendente - Metoda Newton-Raphson

 Algorit m
1. Alegerea valorii de start x0
(a sau b, astfel încât f(x0)f”(x0)>0)
2. Evaluarea f(x0)
3. Dacă f(x0) ≤ε, x0 este soluţia estimată; altfel,
se merge la Pasul 4.
4. Evaluare ximb=x0-f(x0)/f’(x0)
5. Se consideră x0 equal to ximb şi întoarcere la
Pasul 2.


 Deşi, determinarea derivatei pentru unele
funcţii ar putea fi complicată,
implementarea metodei este simplă şi
convergenţa rapidă .


 Totuşi, aplicarea metodei poate eşua din
mai multe motive:

a. f’(x 0 ) (numitorul) este zero datorită unei
alegeri nefericite a valorii de start x0;
Acţiune corectivă – reset are a lui x 0 ;


b. Oscilaţie a valorilor ximb poate indica faptul
că ecuaţia nu are rădăcini reale.


c . Oscilaţii pot apărea şi în cazul unei funcţii ca în
figura de mai jos;
Erorile de rotunjire vor rupe acest ciclu.


d . Divergenţa poate apărea şi în cazul ecuaţiilor cu
două rădăcini reale;
alegerea potrivită a valorii de start x 0
garanteazăsuccesul în aplicarea metodei.


Exemplu
x 2 -3sinx +2ln(x+1)=3,5

Fie x 0 =2

f(x 0 )= 2 2 -3sin2 +2ln(2+1)-3,5=-0,0307

f’(x 0 )= 2x-3cosx +2/(x+1)
f’(2)= 2*2-3cos2 +2/(2+1)=5,9151

x 1 =2+0,0307/ 5,9151=2,005

Ecuatii neliniare rom

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (6)

Similar to Ecuatii neliniare rom

Similar to Ecuatii neliniare rom (19)

Ecuatii neliniare rom