Bisectie

2. Metoda bisectiei, numita uneori si metoda
dihotomiei sau a injumatatirii intervalelor, este cea
mai simpla dintre metodele de rezolvare a ecuatiilor
algebrice si transcendente. Se considera ca, printr-un
procedeu oarecare, s-a reusit localizarea radacinii
exacte δ a ecuatiei f(x)=0 in intervalul [a,β]. In
ipoteza in care functia f(x) este continua, iar
radacina δ este singurul zerou al lui f(x) in [a, β], la
extremitatile intervalului functia ia valori de semne
contrare: f(α) * f(β)<0.

3. Determinarea aproximatiei δ' a radacinii exacte δ cu o precizie ε folosind
metoda bisectiei foloseste urmatoarea schema (figura de mai sus): intervalul
[α, β] se injumatateste prin punctul m=(α+ β)/2 si se calculeaza
produsul f(m) * f(β). Daca f(m) * f(β) este pozitiv, radacina δ se gaseste intre α
si m.In acest caz, se retine valoarea lui m ca extremitatea dreapta a intervalului
(β < m) si se reia procedeul. Daca f(m) * f(β) este negativ, radacina se gaseste
intre m si β .

4. De aceasta data, se modifica extremitatea stanga a intervalului (α< m) si se reia
procedeul. Aceasta schema se aplica in mod repetat pana cand lungimea
intervalului [α, β] - modificat de la o iteratie la alta - scade sub valoarea limita
2*ε, adica α-β < 2*ε. Daca, in acest moment, se considera ca radacina
aproximativa δ'=(α+β)/2, acesta nu se indeparteaza de solutia exacta δ cu mai
mult de ε. Desigur, intr-un caz banal, este posibil ca, in cursul injumatatirii
intervalelor succesive [α, β], punctul m sa coincida cu radacina exacta δ.
Aceasta situatie se recunoaste prin anularea produsului f(m) * f(β), caz in care
schema de calcul se intrerupe, dispunand in acest caz chiar de radacina
exacta δ'=m=δ.

5. Algoritmul - Ecuatii neliniare - Metoda bisectiei
1) Definirea functiei f(x), a intervalului de lucru [α,β], a preciziei ε si a
numarului maxim de iteratii Nmax.
2) Procesul iterativ:
1. Initializarea procesului iterativ: It < 0;
2. Daca s-a atins precizia doritta (β-α < 2*ε) sau numarul maxim de
iteratii Nmax se incheie bucla iterativa si se trece la pasul 3.
3. Se trece la o noua iteratie: It < It+1;
4. Injumatatirea intervalului curent: m < (α+β)/2 ;
5. Stabilirea noului interval de lucru:
a) Daca f(m) * f(β)<0, radacina se gaseste in [m , β]; se actualizeaza limita
stanga: α < m si se trece la pasul 2.4;
b) Daca f(m) * f(β)>0, radacina se gaseste in [α , m]; se actualizeaza limita
dreapta: β < m si se trece la pasul 2.4;
c) Daca f(m) * f(β)=0, radacina este m; se actualizeaza ambele limite: α
<m,β < m si se trece la pasul 2.4;
6. Se revine la pasul 2.2;
3)Calculul radacinii aproximative: x < (α+β)/2.

6. Algoritmul - Ecuatii neliniare - Metoda bisectiei
1) Definirea functiei f(x), a intervalului de lucru [α,β], a preciziei ε si a
numarului maxim de iteratii Nmax.
2) Procesul iterativ:
1. Initializarea procesului iterativ: It < 0;
2. Daca s-a atins precizia doritta (β-α < 2*ε) sau numarul maxim de
iteratii Nmax se incheie bucla iterativa si se trece la pasul 3.
3. Se trece la o noua iteratie: It < It+1;
4. Injumatatirea intervalului curent: m < (α+β)/2 ;
5. Stabilirea noului interval de lucru:
a) Daca f(m) * f(β)<0, radacina se gaseste in [m , β]; se actualizeaza limita
stanga: α < m si se trece la pasul 2.4;
b) Daca f(m) * f(β)>0, radacina se gaseste in [α , m]; se actualizeaza limita
dreapta: β < m si se trece la pasul 2.4;
c) Daca f(m) * f(β)=0, radacina este m; se actualizeaza ambele limite: α
<m,β < m si se trece la pasul 2.4;
6. Se revine la pasul 2.2;
3)Calculul radacinii aproximative: x < (α+β)/2.