1. ( เรื่อง วงกลม ) * ชุดที่ 5 ( เรื่อง วงกลม )* โดย ว่าที่ ร . ต . อนันต์ ยอดภิญญาณี วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค 30205 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค 30205

2. ผังความคิด สรุปเนื้อหา การเรียน การสอน คาบที่ผ่านมา ทฤษฎีเกี่ยวกับ วงกลม ( ต่อ ) มุมในส่วนของวงกลม ส่วนเดียวกันย่อมเท่ากัน บทกลับ มุมที่มีขนาดเท่ากัน ตั้งอยู่บนฐานเดียวกัน และอยู่บนข้างเดียวกัน จุดยอดของมุมทั้งสองจะอยู่บน เส้นรอบวงของวงกลม ซึ่งมีฐานเป็นคอร์ด ถ้ารูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมรวมกันได้สองมุมฉาก บทแทรก ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่แนบในวงกลมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นย่อมเท่ากับ มุมภายในที่อยู่ตรงข้าม วงกลม ( ต่อ )

3.  จุดประสงค์การเรียนรู้  1. นักเรียนสามารถพิสูจน์บทกลับของทฤษฎีบทที่ 47 ได้ 2 . นักเรียนสามารถนำความรู้จากผลการพิสูจน์ทฤษฎีบทใน ข้อ 1 ไปใช้แก้ปัญหาได้ 3. นักเรียนสามารถสร้างแบบจำลองทางเรขาคณิตเพื่อใช้ใน การแก้ปัญหาได้

4.  บทนิยาม  บทนิยาม 1. ถ้าวงกลมวงหนึ่งผ่านจุด 4 จุด ( หรือมากกว่า ) ได้ครบทุกจุด เรียกจุดเหล่านั้นว่า “ ร่วมวงกลมเดียวกัน ” ( Concyclic ) บทนิยาม 2. รูปสี่เหลี่ยม ซึ่งมีวงกลมผ่านจุดยอดได้ครบทุกจุด เรียกว่า เป็นรูปสี่เหลี่ยมซึ่งมีวงกลมล้อมรอบได้ ( Cyclic ) หรือเรียกว่าเป็น รูปสี่เหลี่ยมซึ่งแนบในวงกลมได้

5.  ทฤษฎีเกี่ยวกับวงกลม  บทกลับของทฤษฎีบทที่ 47 รูปสี่เหลี่ยมซึ่งมุมตรงข้ามรวมกันเท่ากับสองมุมฉาก เป็น รูปสี่เหลี่ยมซึ่งวงกลมล้อมรอบได้

6. กำหนดให้ จะต้องพิสูจน์ว่า พิสูจน์  บทพิสูจน์บทกลับของทฤษฎีบทที่ 47  ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ซึ่งมี + = จุด A, B, C และ D ร่วมวงกลมเดียวกัน รูปสี่เหลี่ยมซึ่งมุมตรงข้ามรวมกันเท่ากับสองมุมฉาก เป็นรูปสี่เหลี่ยมซึ่งวงกลมล้อมรอบได้

7. 1. เขียนวงกลมผ่านจุด A, B, C 2. ถ้าวงกลมไม่ผ่านจุด D ย่อมตัด หรือส่วนต่อ ของ ที่จุดๆ หนึ่ง สมมติว่าเป็นจุด E ลาก 1. วงกลมย่อมผ่านจุด 3 จุด ซึ่งไม่อยู่ใน เส้นตรงเดียวกัน 2. วงกลมย่อมตัดส่วนของเส้นตรงได้ ไม่ เกิน 2 จุด 3. + = 3. มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบใน วงกลมรวมกันได้ 4. + = 4. โจทย์กำหนดให้ 5. + = + 5. ต่างก็รวมกันได้ 6.  = 6. สมบัติการบวกและผลจากข้อ 5. 7.  จุด E ทับ จุด D 7. มุมที่มีขนาดเท่ากันย่อมทับกันสนิท  บทพิสูจน์บทกลับของทฤษฎีบทที่ 47  8.  D อยู่บนเส้นรอบวง ซึ่งผ่านจุด A, B, C 8. ผลจากข้อ 1., ข้อ 2. และ ข้อ 7. 9.  จุด A, B, C และ D ร่วมวงกลมเดียวกัน 9. ผลจากข้อ 8. ซ . ต . พ . เหตุผล ข้อความพิสูจน์

8. 1. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม ถ้า  และ  จง พิสูจน์ว่า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กำหนดให้ จะต้องพิสูจน์ว่า พิสูจน์  เอกสารฝึกหัดชุดที่ 5  ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมที่มี O เป็น จุดศูนย์กลาง ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยที่  และ  } } }

9. 1.  และ  2. + = 1. โจทย์กำหนดให้ 2. มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบใน วงกลมรวมกันได้ 3. + = 3. ผลบวกของมุมภายในบนข้างเดียวกันของ เส้นตัดเส้นขนานเท่ากับ 4. + = + 4. ต่างก็รวมกันได้ 5.  = 5. สมบัติการบวกและผลจากข้อ 4. 6. + = 6. เหมือนข้อ 3. 7.  = = 7. ผลจากข้อ 5. และข้อ 6.  เอกสารฝึกหัดชุดที่ 5  8.  = = = 8. พิสูจน์ทำนองเดียวกันกับข้อ 1. ถึงข้อ 7. 9.  ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 9. ผลจากข้อ 1., ข้อ 5. และข้อ 8. ซ . ต . พ . เหตุผล ข้อความพิสูจน์

10. 2. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่แนบในวงกลม O , D เป็นจุดกึ่งกลางของ ลาก พบกับ ที่จุด E จงพิสูจน์ว่า A, B, O และ E เป็นจุดบนวงกลมเดียวกัน ( Concyclic ) กำหนดให้ จะต้องพิสูจน์ว่า สร้างเพื่อการพิสูจน์ พิสูจน์  เอกสารฝึกหัดชุดที่ 5  ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่แนบในวงกลมที่มี O เป็นจุดศูนย์กลาง A, B, O และ E เป็นจุดบนวงกลมเดียวกัน ลาก และ D เป็นจุดกึ่งกลางของ ลาก ไปทาง O พบกับ ที่จุด E } } } } }

11. BO = CO DO = DO 1. รัศมีวงกลมเดียวกัน 2. เป็นด้านร่วม BD = CD 3. D เป็นจุดกึ่งกลางของ 1. ด . 2. ด . 3. ด . 4.   BOD   COD 4. มีความสัมพันธ์แบบด้าน - ด้าน - ด้าน  เอกสารฝึกหัดชุดที่ 5  5.  = หรือ = 2 5. ผลจากข้อ 4. 6. = 2 6. มุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเป็นสองเท่าของ มุมที่เส้นรอบวงที่อยู่บนส่วนโค้งเดียวกัน ( มีต่อ ) เหตุผล ข้อความพิสูจน์

12. 7. 2 = 2 8. = หรือ 7. ต่างก็มีขนาดเท่ากับ 8. สมบัติการคูณ 9. + = 9. มุมประชิดบนเส้นตรง 10. + = 10. แทนค่า ด้วย  เอกสารฝึกหัดชุดที่ 5  11.  A, B, O และ E เป็นจุดบนวงกลมเดียวกัน 11. มุมตรงข้ามรวมกันได้ ซ . ต . พ . เหตุผล ข้อความพิสูจน์

13. 3. และ เป็นคอร์ดของวงกลมซึ่งต่อออกไปพบกันภายนอกที่จุด X ถ้า  จงพิสูจน์ว่า BX = DX และ AX = CX กำหนดให้ จะต้องพิสูจน์ว่า พิสูจน์  เอกสารฝึกหัดชุดที่ 5  ให้ และ เป็นคอร์ด 2 คอร์ดของวงกลมที่มี O เป็นจุดศูนย์กลาง ซึ่งต่อออกไปพบกันภายนอกวงกลมที่จุด X 1. BX = DX 2. AX = CX ทำให้  } } }

14. 1.  2. = และ = 1. โจทย์กำหนดให้ 2. มุมสมนัยกันของ  3. = และ = 3. มุมภายนอกของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบใน วงกลมเท่ากับมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม 4. = และ = 4. ผลจากข้อ 2. และข้อ 3. 5.  BX = DX และ AX = CX 5. ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ด้านที่อยู่ตรงข้าม กับมุมที่เท่ากันย่อมยาวเท่ากัน  เอกสารฝึกหัดชุดที่ 5  ซ . ต . พ . เหตุผล ข้อความพิสูจน์

15. 4. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี เป็นฐาน ถ้า เป็นเส้นเชื่อมด้านสองด้าน และขนานกับฐาน จงพิสูจน์ว่า B, C, X และ Y อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมเดียวกัน กำหนดให้ จะต้องพิสูจน์ว่า พิสูจน์  เอกสารฝึกหัดชุดที่ 5  ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี เป็นฐาน จุด B, C, X และ Y อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมเดียวกัน เป็นเส้นเชื่อมด้านสองด้านและขนานกับ } } } }

16. 1. = 2. + = 1. มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 2. มุมภายในบนข้างเดียวกันของเส้นตัดเส้น ที่ขนานกัน 3. + = 3. แทนค่า ด้วย 4.  จุด B, C, X และ Y อยู่บนเส้นรอบ วงของวงกลมเดียวกัน 4. รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมตรงข้ามรวมกันได้ ย่อมมีวงกลมล้อมรอบได้  เอกสารฝึกหัดชุดที่ 5  ซ . ต . พ . เหตุผล ข้อความพิสูจน์

17. มี  5.  ABCD แนบในวงกลม ถ้า  จงพิสูจน์ว่า AC = BD กำหนดให้ จะต้องพิสูจน์ว่า พิสูจน์  เอกสารฝึกหัดชุดที่ 5  ให้  ABCD แนบในวงกลมที่มี O เป็นจุดศูนย์กลาง AC = BD ลาก และ } } }

18. = = 3. ต่างก็มีขนาดเท่ากับ 4. เหมือนข้อ 1. AD = AD 5. เป็นด้านร่วม 3. ม . 4. ม . 5. ด . 6.   BAD   ACD 6. มีความสัมพันธ์แบบมุม - มุม - ด้าน 7.  AC = BD 7. ผลจากข้อ 6. 1. = 1. มุมในส่วนโค้งของวงกลมเดียวกัน 2. = 2. มุมแย้ง (  มี เป็นเส้นตัด ) พิจารณาใน  BAD และ  ACD ซ . ต . พ . เหตุผล ข้อความพิสูจน์

19. 6. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมใดๆ มี AD = CD , AC = AB และ = 2 จง พิสูจน์ว่า จุด A, B, C และ D เป็นจุดอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมเดียวกัน กำหนดให้ จะต้องพิสูจน์ว่า พิสูจน์  เอกสารฝึกหัดชุดที่ 5  ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมใดๆ รูปหนึ่ง จุด A, B, C และ D เป็นจุดอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมเดียวกัน มี AD = CD, AC = AB และ = 2 } } } } }

20. 1. ABC และ DAC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 2. ใน  ABC ; = 1. AB = AC และ DA = DC 2. สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 3. = 2 3. โจทย์กำหนดให้ 4. + + = 4. มุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 5. + 2 + 2 = 5. แทน และ ด้วย 2  เอกสารฝึกหัดชุดที่ 5  6.  = - 4 6. จากข้อ 5. สมบัติการบวก 7. ใน  DAC ; = 7. เหมือนข้อ 2.  ( มีต่อ ) เหตุผล ข้อความพิสูจน์

21. 8. = + 9. + = ( + ) + ( + ) 8. ส่วนย่อยรวมกันเท่ากับส่วนใหญ่ 9. สมบัติการบวก 10. + = ( + - 4 ) + ( + 2 ) 10. ผลจากข้อ 7., ข้อ 6., ข้อ 2. และข้อ 3 11. + = + - 4 + + 2 11. ผลจากข้อ 10. 12.  จุด A, B, C และ D เป็นจุดอยู่บน เส้นรอบวงของวงกลมเดียวกัน 12. รูปสี่เหลี่ยมใดๆ มีมุมตรงข้ามรวมกันได้ เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้  เอกสารฝึกหัดชุดที่ 5  และ = + = ซ . ต . พ . เหตุผล ข้อความพิสูจน์

22. จบ ชุดที่ 5  เอกสารฝึกหัดชุดที่ 5 