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1. Euclide riscritto da un illuminista
F.Fabrizi - F.Iacovelli -P.Pennestr`
ı
Liceo Scientifico Isacco Newton - Roma
Le lezioni multimediali di GeoGebra Italia

2. Euclide e la sua Geometria con riga e compasso
Sebbene non li nomini mai, la riga ed il compasso sono gli unici
strumenti ammessi da Euclide nelle sue costruzioni. Osserviamo che
` `
la riga non e graduata poich´ il concetto di unit` di misura e estraneo
e a
`
alla geometria euclidea. La riga e impiegata per tracciare rette per due
punti ed il compasso per tracciare cerchi o archi di cerchio di cui
siano noti il centro ed il raggio. Le costruzioni euclidee richiedono di:
Intersecare due rette;
Intersecare una circonferenza ed una retta;
Intersecare due circonferenze.
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3. Ognuna di queste operazioni corrisponde ad impostare un sistema di
`
equazioni la cui soluzione e fornita dalle coordinate dei punti del
piano individuati attraverso le intersezioni. Per questo motivo la
geometria Euclide riesce ad affrontare problemi risolvibili
algebricamente con equazioni aventi grado una potenza di due.
Ad esempio, il problema della trisezione di un angolo qualsiasi non
pu` essere risolto tramite la geometria euclidea poich´ implica la
o e
soluzione di equazioni che non appartengono alla categoria
menzionata. Nella Seconda e Terza proposizione del I Libro dei suoi
Elementi, Euclide illustra come impiegare la riga ed il compasso per
costruire un segmento uguale a un segmento assegnato e avente un
estremo in un punto dato.
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4. Osserviamo innanzitutto che nell’affrontare il suddetto problema il
compasso non deve rimanere aperto. Cio` , ogni volta che il compasso
e
traccia un arco deve essere richiuso.
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5. Per meglio comprendere questo
`
aspetto e opportuno discutere un
esempio.
Immaginiamo di dover riportare
sulla retta passante per C e D un
segmento di estremi AB.
I passi della costruzione sono i
seguenti:
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6. Si congiunge A con C e si
costruisce su tale segmento
un triangolo equilatero ACE
di lato AC;
Si tracci l’arco di centro A e
raggio AB, fino ad incontrare
in F il prolungamento di AE;
Si tracci l’arco di centro E e
raggio EF, fino ad incontrare
in G il prolungamento di EC;
Si tracci l’arco di centro C e
raggio CG fino ad incontrare
in H la retta passante per C e
D.
Appare evidente che
CH CG AB.
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7. La novit` illuminista del libro di Lorenzo Mascheroni: la
a
Geometria col Compasso
Mascheroni si domand` se fosse possibile, tornando indietro nel
o
progresso matematico, sviluppare qualche campo ancora inesplorato.
Si accorse che, negli Elementi, Euclide per dimostrare le sue tesi si
avvaleva sempre di due strumenti fondamentali: il compasso e la riga.
Egli si propose di servirsi del solo compasso per ottenere i punti
necessari alla costruzione geometrica; la scelta non fu casuale, il
compasso infatti era uno degli strumenti pi` precisi dell’epoca e meno
u
soggetto ad errori rispetto alla riga. In un primo tempo decise di
accantonare l’idea di una geometria del compasso perch´ temeva di
e
complicare ulteriormente le dimostrazioni ed inoltre non ne vedeva
alcuna utilit` . Tuttavia Mascheroni si rendeva conto che
a
l’impostazione delle costruzioni geometriche con il solo uso del
compasso costituiva: . . . Un ramo finora inesplorato dai matematici,
che soluzioni di simili genere sarebbero state per la loro costruzi-
one pi` elementare di ogni altra....
u
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8. Il progetto fu ripreso quando, leggendo alla voce Quart de Cercle
mural sulla Encyclop´ die M´ thodique, apprese degli sforzi compiuti
e e
dai celebri astronomi inglesi Graham e Bird per dividere esattamente
il quarto di cerchio dei propri grandi strumenti astronomici e in
particolare del frequente uso da essi fatto del compasso in tutte le
principali operazioni geometriche. Riportiamo ora la frase, tratta dal
libro la Geometria del Compasso, in cui Mascheroni dichiara le
ragioni che lo hanno spinto alla stesura dell’opera:
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9. Le costruzioni col solo compasso per trovare i punti della geometria
elementare sarebbero state complicate a pi` doppj sopra le gi`
u a
conosciute nelle quali interviene la riga. Avrebbe dunque la teoria
mancato di eleganza e la pratica di precisione. Sicch` io era al
e
procinto di abbandonare l’impresa. Mentre io era cos` irresoluto,
ı
m’accadde di rileggere la maniera colla quale Graham, e Bird
dividevano in Inghilterra i loro grandi quadranti astronomici.
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10. L’uso del solo compasso: necessit` ed opportunit`
a a
tecnologica
`
Il compasso era uno degli strumenti piu precisi dell’epoca
`
Lo strumento era molto piu facile da realizzare rispetto alla riga
Non occorrevano unit` di misura
a
Secondo Mascheroni era un campo inesplorato della matematica.
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11. L’uso del compasso in Euclide e in Mascheroni
`
Un elemento comune ad entrambe le geometrie e l’assenza del
concetto di misura delle grandezze. Ambedue gli Autori trattano le
grandezze in se operando su di esse direttamente e considerando il
rapporto come inerente ad ogni possibile coppia di grandezze. Non
viene mai privilegiata una grandezza particolare come campione di
riferimento o unit` . Mascheroni infatti nelle sue costruzioni fa
a
riferimento a circonferenze di raggio unitario, senza mai specificarne
l’effettiva lunghezza.
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12. Chi era Lorenzo Mascheroni
Lorenzo Mascheroni nasce a Castagneta in provincia di Bergamo il 13
maggio del 1750 da Paolo e Maria Cerimelli, una ricca famiglia di
proprietari terrieri. Fin da piccolo dimostr` eccezionali doti nello
o
studio e il 28 maggio del 1774 fu ordinato sacerdote. Dal 1778
insegn` Fisica e Matematica nel Seminario di Bergamo e nel 1780
o
occup` la cattedra di filosofia del Collegio Mariano. Nel 1786 si
o
trasferisce a Pavia dove gli viene assegnata la cattedra di Matematica
Generale e poi quella di Matematica applicata. Sar` per ben due volte
a
rettore dell’universit` di Pavia e dal 1888 al 1891 principe
a
dell’Accademia degli Affiliati. Mascheroni oltre ad avere una carriera
scientifica e letteraria, ne ebbe anche una politica. Infatti nel 1797 fu
eletto deputato della repubblica Cisalpina che lo port` a partecipare a
o
Parigi nel 1798 alla commissione incaricata di stabilire
definitivamente la lunghezza del metro. Mascheroni morir` due anni
a
dopo a Parigi all’et` di cinquanta anni dopo una breve malattia.
a
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13. Quale uso della Geometria col Compasso oggi: esempi
didattici
Al giorno d’oggi l’impiego nella pratica industriale dei concetti e
`
delle costruzioni descritte nella Geometria del compasso e pressoch´e
nullo. Tuttavia, la Geometria del Compasso, opera scritta con
chiarezza e rigore matematico, ha una forte valenza didattica ed
esercita un grande fascino sul lettore.
Una geometria di costruzioni va giudicata pi` per l’ingegnosit` delle
u a
sue procedure e meno per la sua utilit` .
a
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14. Suddividere la circonferenza in parti uguali
`
Il suddividere la circonferenza in parti uguali e il primo problema che
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Mascheroni si e posto. Un intero capitolo dell’opera e dedicato alla
divisione della circonferenza e contiene vari procedimenti, con
relativa dimostrazione, che si distinguono per il numero delle parti.
Non poche difficolt` si presentano quando il numero delle parti e
a `
dispari.
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15. L’uso del software di geometria dinamica nelle costruzioni
di Mascheroni
In GeoGebra le figure possono essere impostate in maniera
parametrica imponendo vincoli quali, ad esempio, la perpendicolarit` ,
a
il parallelismo e uguaglianza tra lunghezze di segmenti.
Tale caratteristica consente allo studente di rilevare, esplorare ed
intuire relazioni tra gli enti Geometrici che compongono la figura.
Questa possibilit` stimola le capacit` creative dello studente
a a
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