Cartoline da Zanzibar

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Uno scritto in LaTex con il quesito e la soluzione sulle catene di Markov dalla rubrica di Le Scienze, Rudi Matematici di Settembre.

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Cartoline da Zanzibar

  1. 1. Cartoline da Zanzibar Gianmarco Bramanti1, a) Universit` Rudica a Sede autonoma n... Via... Vittoria.Ragusa.Sicilia.Italia.Europa.Terra.Sistema Solare (Dated: Settembre 2011; Revised Settembre 2011)CONTENTS la posizione delle parentesi ` assegnata, per ragioni che e saranno presto evidenti, secondo il criterio di considerare I. Introduzione 1 la coda della sequenza che ha il massimo grado di sovrap- posizione con la testa di una delle due stringhe obiettivo. II. Soluzione 1 Consideriamo per esempio la coppia T (C) ` evidente che e A. Algebra delle sequenze 1 l’uscita del segno C al secondo lancio chiude il potenziale B. Tabella dei confronti 2 vantaggio del primo giocatore ed apre una possibilit` dia Utili simmetrie 2 vincita per il secondo, ma dal punto di vista di entrambi giocatori il ramo dell’albero binario di radice (C) ` equiv- eIII. Strategie di gioco 2 alente ad una partita appena iniziata con l’uscita di C, cio` i valori precedenti assunti dalla moneta non hanno e conseguenze per il seguito del gioco. Possiamo quindiI. INTRODUZIONE scrivere: Discutiamo un semplice ma intrigante problema diprobabilit` presentato in forma di gioco nella rubrica a (T ) = [(T T ) + (C)]/2 (4)Rudi Matematici del numero di Settembre di Le Scienze. (C) = [(CT ) + (C)]/2 (5)Il problema prevede di analizzare un gioco in cui duecontendenti avendo a disposizione una moneta scelgono Dall’equazione 5, risolvendo rispetto a (C) troviamouna terna di uscite consecutive prima dell’inizio del gioco, (C) = (CT ) il senso di questa uguaglianza ` che nel se- equindi lanciano la moneta pi` volte di seguito finch´ non u e guito dell’espansione binaria del ramo che inizia con (C)si realizza una delle due terne. Lo scopo di ciascun gio- andando a sostituire ricorsivamente tutte le, infinite, oc-catore ` ottenere che la propria sequenza si realizzi. e correnze di (C) non potremo che imbatterci in sequenze (CT) con probabilit` 1. Sostituendo in 4 ecco che risulta: aII. SOLUZIONE (C) = (CT ) (6)A. Algebra delle sequenze (T ) = [(T T ) + (CT )]/2 (7) Cominceremo analizzando la probabilit` che si realizzi a Analogamente passiamo ad elaborare un sistema peruna delle due terne TTT e CTC. Lo faremo impostando le radici restanti:un semplice calcolo algebrico che sottende l’analisi ricor-siva dell’espansione dello spazio degli eventi in forma di (CT ) = [C(T T ) + (CT C)]/2 (8)albero binario. Abbiamo dunque inizialmente pari prob-abilit` di ottenere testa o croce e quindi scriviamo: a (T T ) = [T T (C) + (T T T )]/2 (9) tralasciando le lettere esterne alle parentesi e sos- () = [(T ) + (C)]/2 (1) tituendo il termine (C) con la sua espressione(CT) sec- ondo l’equazione 6 otteniamo: spiegheremo subito il significato delle parentesi. Alsecondo passo abbiamo: (CT ) = [(T T ) + (CT C)]/2 (10) (T T ) = [(CT ) + (T T T )]/2 (11) (T ) = [(T T ) + T (C)]/2 (2) (C) = [(CT ) + C(C)]/2 (3) e risolvendo rispetto a (CT) e (TT) otteniamo: (CT ) = [(T T T ) + 2(CT C)]/3 (12)a) Electronic mail: gianmarco.bramanti@gmail.it (T T ) = [(CT C) + 2(T T T )]/3 (13)
  2. 2. 2 e sostituendo a ritroso otteniamo: Utili simmetrie Prima di procedere ` utile osservare che per qualsiasi e coppia di triplette tutta l’analisi di probabilit` rimane a () = [7(CT C) + 5(T T T )]/12 (14) invariata se si scambiano il ruolo della lettera T con il ruolo della lettere C, pertanto, ad esempio, le triplette Ovvero la probabilit` di ottenere una sequenza CTC a CCC e TCT avranno gli stessi pesi relativi di TTT e` 7/12 e la probabilit` di ottenere una sequenza TTT `e a e CTC. Inoltre ` evidente che se una coppia di triplette ` e e5/12. Quindi le due probabilit` non sono pari. a (TTT,TCT)(TTT,TCC)(TTT,CCT)(TTT,CTT)(TTT,CTC) Il caso particolare studiato non costituisce evidente- (TTC,TCT)(TTC,TCC)(TTC,CTT)(TTC,CTC)mente pregiudizio alla generalizzazione del metodo, in- (TCT,CTT)fatti delle due lettere iniziali al pi` entrambe sono carat- u a I confronti fondamentaliteri iniziali di una nuova sequenza e di tutte le quattrocoppie di lettere iniziali al pi` due compongono l’inizio udi una delle due triplette scelte, ed infine di tutte le ottotriplette esattamente due sono quelle scelte, pertanto ad tale che l’una si ottiene dall’altra per scambio di T conogni passaggio avremo la possibilit` di esprimere la radice a C allora entrambe le coppie avranno il medesimo pesoin termini di al pi` due lettere, le incognite fra queste u statistico. Infine se due triplette differiscono solamentein termini di al pi` due coppie iniziali ed infine le cop- u per l’ultimo simbolo hanno pesi uguali. In questo modopie incognite in termini delle triplette. Naturalmente il in virt` della prima simmetria dagli iniziali 64 − 8 = 56 umetodo ` iterabile al caso di numero qualunque di sim- e confronti ci riduciamo a 16, la seconda osservazione con-boli, ovvero per le n-ple con n qualunque, ed il tempo di sente la risoluzione immediata 4 di questi confronti e 2 an-calcolo cresce linearmente in n. cora sono resi immediati dalla terza osservazione e quindi rimangono 10 confronti da calcolare esplicitamente. Da Come ulteriore esempio consideriamo il caso ovvio: questi confronti, che sono riportati in tabella a e da quelliCCT e CCC l’equazione iniziale `: e immediati gi` detti seguono gli altri 46. a Scriviamo adesso ordinatamente i pesi di queste cop- pie: (2TTT,3TCT) (2TTT,1TCC) (3TTT,7CCT) () = [(C) + T ()]/2 = [(C) + (∗)]/2 (15) (5TTT,7CTC) (2TTC,1TCT) (2TTC,1TCC) (1TTC,7CTT) (5TTC,3CTC) (1TCT,1CTT). da cui () = (C). III. STRATEGIE DI GIOCO Inoltre: Una volta compilata la tabella dei confronti passiamo [(CC) + ()] [(CC) + (C)] (C) = = (16) alle strategie. Notiamo che la scelta di una tripletta di 2 2 simboli uguali si rivela, dal punto di vista statistico, nel migliore dei casi equa, in 5 casi ` svantaggiosa e non ` e e da cui otteniamo (C) = (CC). Ed infine: mai vantaggiosa. La scelte TTC o l’equivalente CCT ` e vantaggiosa in 4 casi, svantaggiosa in un caso ed equa nei restanti 2 ` infatti battuta in tre giocate su quattro e dalla controscelta CTT. La scelta TCT o l’equivalente (CC) = [(CCC) + (CCT )]/2 (17) CTC ` vantaggiosa in 2 casi, equa in altri 2 svantaggiosa e nei restanti 3 casi. Infine la scelta TCC o l’equivalente CTT ` vantaggiosa in 3 casi, equa in 3, svantaggiosa in 1 e e sostituendo a ritroso: caso. In particolare quindi la strategia TTC ` quella che e () = [CCC + CCT ]/2 garantisce, nell’ipotesi di risposta aleatoria la maggiore ovvero le due sequenze sono equiprobabili, come era probabilit` di giocare partite in vantaggio, ma in un caso afacilmente intuibile in questo caso. porta ad uno svantaggio elevato di 1 vincita su 4 giocate, il valore di aspettazione pi` elevato ` garantito (sempre u e nell’ipotesi di risposta casuale) dalla strategia TCC che ha un valore di aspettazione di quasi il 58% contro il quasi 56% della strategia TTC, ha anche il vantaggio di causareB. Tabella dei confronti un minor danno nel caso l’avversario scelga la risposta per lui migliore, tuttavia ` vincente in un numero inferiore di e Vedremo adesso di stabilire quali sono le probabilit` di a casi. Resta infine da notare che nel confronto diretto ` esuccesso di ciascuna tripletta per ciascuna delle coppie di TTC che vince su TCC in 2 casi su 3.tiplette che ` possibile scegliere. e

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