Thermal project of the core

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ESERCITAZIONE N°2 – PROGETTO TERMICO DEL NOCCIOLO
Dobbiamo dimensionare il nocciolo di un reattore ad acqua pressurizzata. Per cominciare, vogliamo
innanzitutto vedere quali sono le dimensioni critiche del nocciolo: cioè vogliamo vedere qual è il nocciolo
minimo critico (dimensioni minime del nocciolo con le quali si ottiene la criticità), poi il nocciolo reale sarà
‘un multiplo’ di quello trovato (in base alla potenza termica del nocciolo – sapendo che il progetto di un
reattore “comincia” con la scelta della potenza elettrica, essendo lo scopo principale di un impianto
nucleare quello di produrre energia).
Arriveremo alla fine ad una relazione in funzione delle dimensioni caratteristiche della forma scelta per il
nocciolo (sferico, cilindrico o di un parallelepipedo); cioè in funzione ad esempio del raggio, se la forma
scelta è quella sferica. Vediamo quindi ora in base a cosa si sceglie la forma.
Questa viene scelta andando a guardare due fattori che compaiono nella formula del keff. Sappiamo infatti
che il (fattore di moltiplicazione infinito) viene introdotto per spiegare meglio il concetto di criticità,
cioè ci dà una informazione sulla condizione di criticità a seconda che sia maggiore (supercritico), minore
(sottocritico) o uguale (critico) ad uno. Definito in quel modo però (attraverso la formula dei quattro
fattori), il non tiene conto delle fughe, cioè considera il nocciolo di dimensioni appunto infinite, ovvero
un nocciolo di dimensioni così grandi che i neutroni non riescono a raggiungere i confini dello stesso per
fuggire.
Volendo quindi considerare un reattore di dimensioni finite, introduciamo le due probabilità di non fuga (in
campo termico e in campo veloce – nel caso di reattori termici) il cui prodotto (essendo le due probabilità
indipendenti) ci dà la probabilità totale di non fuga dei neutroni. Introducendo quindi questi due fattori
della formula del otteniamo il fattore di moltiplicazione effettivo dei neutroni, cioè il keff.
Si intuisce ora, di come questo sia legato alla scelta della forma del nocciolo. I neutroni infatti tendono a
sfuggire dal nocciolo tanto più, quanto maggiore è il rapporto (S/V) del nocciolo. Quindi se ho una forma
tale per cui il rapporto tra superficie esterna del nocciolo e volume racchiuso è grande, avrò un numero
maggiore di neutroni che fuggono. Si cerca quindi una forma geometrica tale da minimizzare il suddetto
rapporto. La forma migliore sarebbe quella sferica, essendo di complicata realizzazione si ‘ripiega’ su quella
cilindrica. Di tutte le configurazioni cilindriche utilizzabili (ognuna con il proprio rapporto raggio/altezza che
la caratterizza), quella migliore (per la quale risulta essere minimo il rapporto S/V) è quella in cui il
diametro è più o meno uguale all’altezza. Un cilindro con tali caratteristiche è quindi quello che minimizza
le fughe. Vedremo poi che il nocciolo minimo critico avrà più o meno queste caratteristiche.
Stabilita quindi la forma geometrica che il nocciolo dovrà avere, possiamo procedere con il calcolo delle
dimensioni critiche di quest’ultimo.
Introduciamo due grandezze caratteristiche che ci consentono di calcolare le dimensioni critiche. Queste
sono il Buckling geometrico e il Buckling del materiale. Il primo mette in relazione le dimensioni del
nocciolo, in base alla sua forma geometrica, con la distribuzione del flusso neutronico nel nocciolo stesso; e
assume una espressione diversa a seconda della geometria scelta. Per quella cilindrica ad esempio, il
Buckling geometrico assume la seguente espressione:
= + (1)
dove J0 è il primo zero della funzione di Bessel di tipo J, che assume il valore di J0=2,40483 (è una funzione
più schiacciata del coseno; entrambe le forme mettono in luce gli aspetti rispettivamente radiali e assiali
del flusso neutronico e delle variabili ad esso collegate). Le grandezze H0 ed R0 invece, non sono le
dimensioni geometriche vere e proprie del nocciolo, ma le così dette lunghezze estrapolate.

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Immaginando un nocciolo cilindrico siffatto:
identifichiamo con R e H le dimensioni effettive del
nocciolo, cioè quelle che caratterizzano il confine vero e
proprio del nocciolo, mentre con R0 e H0 le dimensioni in
corrispondenza della quali si annulla il flusso neutronico.
Quest’ultimo infatti non è nullo sulla superficie reale del
nocciolo, essendoci di continuo un certo numero di
neutroni che escono dal nocciolo a causa della
dimensioni ‘limitate’ dello stesso, ed un certo numero di
neutroni che vi rientra grazie alla presenza del riflettore.
Naturalmente in questa zona “estrapolata” non si
produce potenza, non essendoci combustibile, ma serve
solo per caratterizzare ‘andamento “completo” del
flusso neutronico. Andamento spaziale che, in un tale
sistema di riferimento (assialsimmetrico), può essere espresso (immaginando un reattore omogeneo)
come: (r, z) = cos
, 1
dove è il flusso che si ha nel centro geometrico del nocciolo, cioè = (0; 0).
La distribuzione spaziale è quindi data dalla sovrapposizione di una forma cosinusoidale (in direzione
assiale), e della funzione di Bessel (in direzione radiale).
Sostituendo alle coordinate generiche ‘r’ e ‘z’ i valori relativi alle lunghezze estrapolate, troviamo che il
flusso neutronico in corrispondenza della regione estrapolata vale:
, 2 = cos
,
= 0
essendo cos( 2⁄ ) = 0; da cui vediamo effettivamente che si annulla in corrispondenza delle ‘ coordinate
estrapolate’. Sarà quindi (r, z) = (R, H) ≠ 0 in corrispondenza del ‘bordo fisico’ del reattore.
Osservando quindi l’espressione che descrive la distribuzione spaziale del flusso neutronico, si capisce
come questa sia legata alla forma geometrica del reattore tramite la (1).
L’altra grandezza caratteristica è il Buckling del materiale o Buckling critico, e per trovare l’espressione
andiamo a prendere la formula dei sei fattori descritta prima: = ℒ ℒ , dove = , per
cui = ℒ ℒ . Le due probabilità di non fuga sono definite rispettivamente come:
ℒ ℒ = ( )
dove Lth rappresenta la lunghezza di diffusione in campo termico, cioè il libero cammino medio dei
neutroni relativamente allo spettro termico; mentre è detta età di Fermi e rappresenta l’analogo di Lth
ma relativamente allo spettro veloce, cioè dal momento in cui i neutroni cominciano lo slowing down.
Sviluppando il prodotto a denominatore:
(1 + )(1 + ) = 1 + + + ≅ 1 + ( + )
avendo trascurato il quarto termine perché di ordine superiore rispetto agli altri. Definendo ora la somma
come: ( + ) = otteniamo una forma più compatta del prodotto su scritto:
ℒ ℒ ≈
1
(1 + )
(2)
1
Di un nocciolo cilindrico non riflesso

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dove è detta area di migrazione, avendo quest’ultima le dimensioni di una lunghezza al quadrato.
Naturalmente dal punto di vista della descrizione del fenomeno, le due probabilità rappresentano
fenomeni differenti, quindi vengono tenute in conto da due diversi parametri; dal punto di vista pratico è
però possibile approssimare il prodotto ottenendo la (2).
Riprendendo ora l’equazione del keff, possiamo scrivere: = ℒ ℒ = ( )
(3)
e sapendo che keff=1 è indice di una condizione di criticità, sostituendo nella (3), si vede che la suddetta
condizione si ha quando: = (1 + ); dove il lo posso calcolare facendo uso della formula dei
quattro fattori mentre l’area di migrazione tramite le lunghezze di diffusione (sono tutti dati ‘nucleari’),
perciò la condizione di criticità la posso “dare” al Buckling.
L’espressione di quest’ultimo diviene quindi: = (4)
che viene appunto chiamato ‘critico’ o ‘del materiale’ dato che dipende esclusivamente dal combustibile e
dai materiali presenti nel nocciolo.
Per determinare le dimensioni critiche del nocciolo posso partire considerando una cella elementare
rappresentativa del nocciolo dal punto di vista delle frazioni volumetriche dei materiali presenti:
Definito il passo come la distanza tra i centri di due barrette di combustibile contigue, e posizionandomi a
metà di questa distanza, posso associare ad una delle due barrette il refrigerante/moderatore di sua
competenza. Rappresentando così la cella elementare e sapendo che la sezione ortogonale all’asse della
barretta comprende (andando dall’esterno verso l’interno) guaina, gap (che può essere trascurato facendo
riferimento alle frazioni volumetriche) e pastiglia di combustibile, posso lavorare sulla suddetta cella
sapendo che (considerate le dimensioni del nocciolo rispetto a quelle della singola barretta) questa si
ripete teoricamente all’infinito.
Attraverso questa schematizzazione posso calcolare . In questo modo, tornando alla (4), posso
valutare il Buckling critico. La dimensione critica del nocciolo la trovo poi andando ad eguagliare il al
valore che deve avere come , imponendo l’uguaglianza tra i due. Si ottiene così un’equazione le cui
incognite sono le dimensioni critiche del reattore. Quelle (dimensioni), rappresentano le dimensioni al di
sotto delle quali non è possibile andare, altrimenti il reattore non è critico. Sono le dimensioni minime che
deve avere il nocciolo per funzionare, quest’ultimo poi si farà più grande in base alla potenza termica che si
vuole ottenere. Dovremo quindi imporre: = ; che nel nostro caso significa scrivere:
+ =
− 1
(5)
Dopo questa breve descrizione del procedimento che seguiremo per dimensionare il nocciolo critico di un
reattore di tipo PWR, possiamo procedere con i calcoli.
Dalla (5) si vede che il secondo membro, come già detto, può essere completamente caratterizzato
attraverso dati nucleari; il primo membro invece è scritto in funzione delle due variabili .

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In teoria quindi si avrebbero infinite coppie di soluzioni, ma in realtà la soluzione è solo una e cioè quella
tale per cui il Buckling geometrico risulta essere quello minimo. Possiamo quindi procedere considerando il
volume estrapolato del cilindro: = ( ) (6)
che andrà sostituito nella (1) al posto di una delle due variabili. Per ottenere il valore minimo del
andremo a derivare (rispetto alla variabile rimasta) l’espressione trovata del Buckling e ad eguagliarla a
zero. Facendo un po' di calcoli si trova poi la relazione che lega le due variabili dimensionali, questa
relazione rappresenta il rapporto tra raggio e altezza (estrapolati) tale che le dimensioni del nocciolo siano
quelle minime. Sostituendo ancora nella (1) otterremo l’espressione del in funzione di una sola delle
due variabili. In questo modo potremo poi procedere con la risoluzione della (5).
Iniziamo quindi con il riscrivere la (6) separando le due variabili, otteniamo: = che sostituito nella
(1) ci dà: = + . si tratta ora di valutare e annullare la derivata prima del , calcolata rispetto
ad : = − 2 e il valore minimo del è quello tale per cui: : = 0
Abbiamo quindi: = 2 e sostituendo la (6) nella precedente equazione otteniamo: = 2 ;
sapendo poi che J0=2,40483, otteniamo: = (1,8475) che rappresenta l’espressione cercata,
ovvero la relazione tale per cui il è minimo.
Il Buckling geometrico minimo è quindi: = ( , )
+
( , )
=
,
.
Sapendo che deve essere = , otteniamo infine: =
,
.
Non ci resta ora che valutare il Buckling critico, che abbiamo definito tramite la (4). Possiamo quindi
procedere partendo dall’area di migrazione: = + ; dove l’età di Fermi può essere posta pari a
= 35 2, mentre dalla teoria della diffusione sappiamo che la lunghezza di diffusione in campo termico
può essere scritta come: = = =
Essendo Σ la sezione d’urto macroscopica del trasporto che tiene conto degli scattering successivi e del
fatto che chi fa scattering è il neutrone. Questa può essere scritta come:
Σ = Σ (1 − ) = ( . .)
è un fattore che tiene conto, attraverso il peso molecolare,
dell’atomo che incontra il neutrone, mentre Σ è la sezione d’urto macroscopica di scattering.
La Σ tiene quindi conto del fatto che si ha uno scattering diverso a seconda dell’atomo incontrato dal
neutrone; in particolare, più è leggero l’atomo che incontra il neutrone, maggiore è il trasferimento di
energia dal neutrone all’atomo, e viceversa (motivo per cui fungono da moderatori materiali - elementi –
con il più basso P.M. possibile; in modo tale che una volta generati - dalla fissione – i neutroni ‘giungono’ in
zona termica percorrendo la più breve distanza possibile, con il minor numero di urti. Ad esempio con
l’idrogeno, un neutrone potrebbe anche perdere tutta la sua energia in un solo urto, naturalmente questo
non viene utilizzato per problemi di natura chimica – reazioni – e per la sua bassa densità, trattandosi di un
gas). Il trasporto è quindi maggiore (cioè i neutroni percorrono distanze più lunghe) quanto minore è
l’energia persa dal neutrone in un urto, cioè quanto più pesante è l’atomo che incontra.
Si vede quindi come l’area di migrazione sia esprimibile tramite dati nucleari; andremo ora ad esprimere
anche il in funzione delle caratteristiche nucleari dei materiali presenti nel nocciolo, per poi effettuare i
calcoli necessari a determinare il Buckling critico.

5
Il è esprimibile tramite la formula dei quattro fattori: = ; dove:
· ′ ′ è il fattore di fissione veloce, definito come: =
Questo fattore tiene conto del contributo del 238U alle fissioni; essendo la sua (in campo veloce), se
pur piccola, comunque diversa da zero. Il fattore risulta essere maggiore di uno, dato che alla popolazione
di neutroni generati dalla fissione termica si aggiungono quelli della fissione veloce. Quindi quando faccio il
rapporto delle popolazioni neutroniche, un contributo che tenderebbe a far crescere la popolazione è
questo effetto di fissione veloce. In questo caso possiamo assumere il fattore pari a = 1,03.
· il secondo è il fattore ‘p’ detto della probabilità di fuga dalle risonanze, e definito come:
p = ; sappiamo infatti che quando l’energia dei neutroni scende al di sotto del
KeV, vi è una probabilità non nulla che questi vengano catturati “dalle risonanze” (cioè picchi di elevata
probabilità di cattura in range molto ristretti di energia) del 238U. Infatti, considerando la figura sottostante:
si vede come questi picchi siano situati tra i 6 e i
200 eV. Dato che la formula dei quattro fattori
esprime la probabilità che vengano prodotti
neutroni, devo inserirci anche un termine che
tenga conto della possibilità che i neutroni
vengano assorbiti “dalle risonanze”, cioè ‘p’.
Questo termine sarà naturalmente minore di uno
dato che non si avrà mai il 100% di possibilità di
fuga dalle risonanze (e cioè p = 1). I valori tipici di
questo fattore sono compresi in un intervallo che
va da p = 0,71 a p = 0,95 (considereremo il valor
medio dei due: p = 0,85); il che vuol dire (facendo
riferimento al primo) che su 100 neutroni disponibili, 29 verranno assorbiti nella zona di risonanza.
· ‘f’ viene definito come fattore di utilizzazione termica; cioè, una volta che i neutroni sono giunti in zona
termica, hanno una probabilità diversa da zero di essere assorbiti da materiali che non siano il
combustibile, come materiali strutturali, moderatore/refrigerante, etc. I neutroni che restano in vita
dovranno comunque essere assorbiti dal combustibile, ricordando che la sezione d’urto di assorbimento è
definita come: Σ = Σ + Σ ⇒ = + ⇒ = +
Questo fattore viene quindi definito come:
f = ; questo fattore sarà naturalmente minore dell’unità e, al contrario dei due
precedenti, può essere valutato in modo ‘semplice’ nel seguente modo:
per quanto riguarda il numeratore, ci serve sapere il numero di neutroni assorbiti, sapendo che il flusso
neutronico può essere scritto come (supponendo di avere particelle uguali con stessa velocità e direzione)
= =

6
e moltiplicando il flusso per la sezione d’urto microscopica di assorbimento del combustibile:
( ) =
à
e infine ( ) = ( Σ ) =
à
cioè il rateo di reazioni di assorbimento, dato che ad ogni reazione di assorbimento corrisponde la ‘perdita’
di un neutrone, il termine: = ( Σ ) rappresenta il numero di neutroni assorbiti per unità di volume
del combustibile e di tempo, per cui moltiplicando per il volume del combustibile (UO2):
= Σ = ( ) +
Un discorso analogo può essere fatto per il denominatore, dove però bisognerà tener conto delle sezioni
d’urto di assorbimento di tutti i materiali, combustibile compreso, presenti nel nocciolo.
Si intuisce quindi come il fattore ‘f’ possa essere calcolato facendo riferimento alle sole caratteristiche
nucleari dei materiali presenti nel nocciolo.
Il neutrone è stato quindi assorbito dal combustibile, ma c’è ancora la possibilità che non dia fissione dato
che la sezione d’urto di cattura, pur essendo piccola, è comunque diversa da zero. Devo poi tener conto del
numero di neutroni prodotti nel caso in cui la fissione abbia luogo.
· il fattore ‘ ’ detto di riproduzione, è quello che tiene conto di queste due possibilità, ed è definito come:
= ; anche ‘ ’ come ‘f’ può essere valutato facendo riferimento alle sole
caratteristiche nucleari dei materiali presenti, del solo combustibile in questo caso. Possiamo quindi
scrivere: =
à
= = =
= = con = che naturalmente per un fissile deve essere il più piccolo possibile.
Possiamo ora procedere con i calcoli, considerando che gli elementi che costituiscono il nocciolo sono:
235U, 238U, 16O, 1H, 14N, 90Zr. Avendo trascurato elementi strutturali diversi dalle guaine. I dati nucleari
caratteristici di questi elementi sono riportati nella seguente tabella:
Elemento P.M. [ ] [ ] [ ] [ ]
235U 235 582 112 14 0,00284 13,96
238U 238 / 2,68 8,871 0,0028 8,846
16O 16 / 10-4 4,232 0,0417 4,055
1H 1 / 0,3326 82,03 0,6667 27,34
14N (*) 14 / 1,91 11,51 0,0476 10,962
Zr-4 (**) 91,5 / 0,22 6,46 0,00728 6,412
(*) l’azoto è presente nella barretta (precisamente nel gap) come impurezza.
(**) per quanto riguarda le caratteristiche chimiche e nucleari dello Zr-4 abbiamo proceduto nel seguente
modo: la sezione d’urto microscopica di assorbimento di quest’ultimo risulta essere leggermente maggiore
di quella dello zirconio puro (0,18 b); questo è dovuto alla presenza di leghe (fino allo 0,02 in più) e da
impurità.

7
p
2
Per quanto riguarda quella di scattering invece, l’abbiamo assunta pari a quella dello zirconio puro. Il peso
molecolare dello Zr-4 invece, può essere facilmente valutato conoscendo i pesi molecolari degli elementi
che lo compongono:
(*) è stato preso il peso atomico dello zirconio naturale; anche qui
valutato in base agli isotopi che lo compongono (Zr90, Zr91, Zr92, Zr94,
Zr96) con le relative frazioni atomiche.
Quindi il peso molecolare dello Zr-4 sarà:
( . . ) = (91,22)(0,9824) + (51,996)(0,001) + (55,847)(0,0021) + (118,69)(0,0145) = 91,5
Si tratta ora di valutare la densità atomica dei vari elementi, cioè il numero di atomi per unità di volume.
Dato che stiamo lavorando sulla cella elementare, dovremo però considerare la frazione volumetrica di
ognuno di essi; considerando anche l’eventuale presenza di una stessa specie atomica in più di un
componente (ad esempio l’ossigeno presente sia nella molecola di UO2 , che in quella di H2O).
1. È il gap radiale, definito come uno solo dei due spessori del gap; quello
diametrale lo si ottiene moltiplicando il gap radiale per un fattore due:
dg,d=0,165mm e quello radiale dg,r=0,0825mm;
2. È il diametro della pastiglia, che chiameremo dp = 0,81915cm;
3.Lo spessore della guaina, cioè la differenza tra raggio esterno (re) e raggio
interno (ri) è pari a: re- ri = 0,0572cm. Per scriverlo in funzione dei diametri
dobbiamo moltiplicarlo per un fattore due (dato che in questo caso lavoriamo
sull’intera estensione radiale della barretta), quindi de- di = 0,1144cm. Che
possiamo riscrivere come: de = di + 0,1144cm. Ora, il diametro interno è dato dalla somma tra il
diametro della pastiglia e il gap diametrale, per cui: di = dp + dg,d = 0,83565cm, quindi dalla formula
precedente: de = 0,95005cm. Abbiamo
precedentemente definito il passo come la distanza fra i centri di due barrette contigue, essendo le
barrette di combustibile ‘in teoria’ tutte uguali dal punto di vista dimensionale (diametro, altezza e
volume di combustibile contenuto – si differenziano per l’arricchimento in fissile) ed essendo posto
tutte alla medesima distanza (fra loro) è facile intuire come il passo corrisponda al lato della cella
elementare, in questo caso il passo è un dato e risulta essere pari a p = 1,26cm.
Quindi l’area totale della cella è: ATOT = p2 = 1,5876cm2 ;
l’acqua occupa la zona compresa tra il bordo della cella e quello esterno della barretta, per cui:
= − ( ) = − = 0,8787 ;
lo zirconio invece occupa la corona circolare di raggio esterno (re) e raggio interno (ri), la cui
area è: = = 0,16004 ;
l’azoto è presente nel gap, quindi anche qui si considera la corona circolare, che ha però l’area
pari a: = = 0,02144 ;
mentre per la pastiglia abbiamo: = 0,527 .
Come già detto le barrette sono uguali dal punto di vista radiale e assiale (delle dimensioni),
quindi le frazioni volumetriche delle diverse sostanze possono essere calcolate come rapporto
tra l’area occupata dalla sostanza considerata e l’area totale. Abbiamo quindi:
Frazione
Atomica
Elemento P.M.
98,24 Zr (*) 91,22
0,1 Cr 51,996
0,21 Fe 55,847
1,45 Sn 118,69

8
= = 0,5534; = = 0,1011;
= = 0,0135; = = 0,3319
Note queste quantità, non ci resta che calcolare le densità atomiche dei vari elementi. Per il
calcolo delle densità si rimanda all’appendice A.1, mentre i valori sono i seguenti:
= 2,636 × 10 ; = 7,489 × 10 ;
= 1,974 × 10 ; = 4,484 × 10 ;
= 3,073 × 10 ; = 3,086 × 10 .
Possiamo quindi ora valutare prima di tutto le sezioni d’urto macroscopiche totali:
· Σ , = + + + + + + = 0,214 ;
· Σ , = + + + + + = 1,064 .
Segue che il coefficiente di diffusione vale: D = · ,
= 0,3132
E l’area di diffusione: =
,
= 1,4616 .
Si tratta ora di valutare il tramite la formula dei quattro fattori; dove avevamo posto = 1,03 e p =
0,85, mentre restano da valutare f e .
f =
,
=
,
=
,
= 0,949
=
Σ
Σ
=
Σ
Σ + Σ
= 1,835.
dove ‘ ′ è il numero di neutroni pronti rilasciati, per il quale abbiamo assunto il valore tipico di = 2,43.
Quindi troviamo che: = = 1,525. Possiamo ora ricavare il Buckling critico, definito come:
=
− 1
= 1,439 × 10
Ed il raggio estrapolato vale quindi:
=
,
= 24,545 e l’altezza = 1,8475 = 45,347 .
Le dimensioni reali del nocciolo minimo critico sono legate a quelle estrapolate attraverso la cosiddetta
lunghezza di estrapolazione, la quale può essere calcolata nel seguente modo: =
,
,
= 0,667
per cui le dimensioni reali del nocciolo sono:
= − = 23,878
= − 2 = 44,0131
ℎ ≅
La forma critica del nocciolo è quindi quella di un cilindro che ha più o meno il diametro pari all’altezza.
Questo però è il nocciolo minimo, cioè il più piccolo nocciolo che si può fare; che nel nostro caso ha quelle
dimensioni, ma la potenza termica che può fornire sarà naturalmente limitata.

9
Comunque per potenze maggiori, il nostro ‘cilindro definitivo’ dovrà rispettare più o meno il rapporto
altezza/diametro del cilindro minimo (multipli di quei valori).
Per concludere, possiamo calcolare la massa critica di combustibile necessaria. L’area trasversale del
nocciolo è = = 1791,2 , mentre l’area totale della cella elementare è , =1,5876 .
Sapendo che ogni cella ‘contiene’ una barretta, il numero di barrette che possono essere disposte in
questo nocciolo è di: =
,
= 1128,248. Considerando il nocciolo come omogeneo e non riflesso,
otteniamo la massa di combustibile contenuta in una barretta: = = =242,85g.
Quindi la massa critica di combustibile (considerando naturalmente un numero intero di barrette di
combustibile) per questo reattore PWR è : = , = 273,995 .
Questo risultato lo andremo poi a confrontare con quello effettivo per trarne alcune conclusioni.
°
Passiamo ora al dimensionamento effettivo del nocciolo; prima di fare ciò, andiamo però a valutare alcuni
parametri caratteristici del combustibile. Il primo di questi è la potenza prodotta nell’unità di volume del
combustibile, parametro che indichiamo con . Questo ci sarà ad esempio utile per valutare, con
considerazioni di tipo geometrico, il flusso termico sulla superficie della guaina della barretta e la densità
lineare di potenza (i.e. i Watt prodotti per ogni cm di lunghezza di combustibile che c’è nel nocciolo).
Questa grandezza ( , media perché legata a grandezze mediate sullo spettro energetico dei neutroni)
sarà legata al rateo di fissioni e all’energia sviluppata da ogni fissione; infatti essa rappresenta la potenza
generata per unità di volume dal combustibile. È necessario quindi conoscere l’energia prodotta dal
combustibile, in questo caso tramite le fissioni, e il rateo di fissioni, cioè il numero di fissioni che avvengono
ogni secondo per unità di volume.
Sappiamo che l’energia generata in una singola fissione è pari a Ef = 200MeV di cui effettivamente sono
192/193 MeV e 7/8 MeV ‘intorno al combustibile’, ma considerando un nocciolo omogeneo possiamo
assumere che tutti i 200 MeV si “trovino all’interno” dell’unità di volume.
Si tratta ora di esprimere il rateo di fissioni. Un ragionamento analogo lo abbiamo fatto precedentemente
per valutare il numero di neutroni assorbiti nel combustibile; in questo caso il prodotto tra il flusso
neutronico medio (numero di neutroni per m2 ogni secondo) e la sezione d’urto microscopica media di
fissione ( mediata sullo spettro energetico dei neutroni) fornisce la probabilità che questi neutroni vadano
a colpire un atomo fissile (provocando quindi fissione). Moltiplicando questo prodotto 〈 〉 per il
numero di atomi fissili per unità di volume otteniamo il numero di fissioni che mediamente avvengono ogni
secondo. Il rateo di fissioni sarà quindi espresso come: = 〈 〉 2 .
La densità volumetrica media di potenza nel combustibile è quindi: = 〈 〉 (6)
dove la grandezza ‘Nf’ è già stata descritta precedentemente, e risulta essere pari a:
=
ℵ
. .
= 7,942 × 10 /
Sapendo che 1eV = 1,604×10-19 J, avremo Ef = 2×108 eV = 3,208×10-11 J; inoltre ricordando che
1 barn = 10-24 cm2 e considerando per l’ U235 una = 582 = 5,82 × 10 .
Essendo il flusso neutronico medio noto, sostituendo tutti i valori troviamo: = 359,879 / .
2 Le brackets stanno ad indicare una media dei due parametri (all’interno) sulla funzione di distribuzione dei neutroni, non
essendo tutti i neutroni della stessa energia, e le sezioni d’urto diverse in base all’energia dei neutroni.

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Prima di andare avanti soffermiamoci sulla (6), questa relazione lega quindi la densità volumetrica media di
potenza al flusso neutronico medio presente. Questo vuol dire che l’andamento spaziale del (q’’’) è analogo
a quello del flusso neutronico.
Per cui la densità volumetrica media di potenza nel combustibile, in tutti i punti del nocciolo, segue il
seguente andamento:
( , ) = cos 2,40483 (7)
Dove il è quello che si ha nel centro geometrico del nocciolo. Attraverso la (7) posso quindi sapere
punto per punto quanta potenza viene prodotta. Il nocciolo viene però caratterizzato da valori medi, ad
esempio il è il valore mediato per l’intero nocciolo del (un valore tale che se moltiplicato per il
volume di combustibile, mi dà la potenza del nocciolo). Su questo ci torneremo più in là.
Calcolato il possiamo ora valutare la potenza specifica del combustibile, questa grandezza ci dice quale
è la potenza prodotta dall’unità di massa del combustibile, dove per combustibile intendiamo l’uranio, e
non il biossido di uranio (cioè viene data per Kg - o tonnellate - di uranio).
Il mi dice la potenza prodotta pe ogni cm3 di combustibile inteso come UO2, noi invece vogliamo la
potenza prodotta per ogni Kg (o ton) di U. Si tratta quindi di passare dai Kg di UO2 ai Kg di U, procederemo
come già fatto precedentemente, rimandando i calcoli all’appendice A.2.
Per ottenere la potenza prodotta da 1 grammo di uranio, dobbiamo dividere il per , (che sono i Kg
di uranio per unità di volume di biossido di uranio), infatti dimensionalmente:
= = e mettendo insieme le due formule:
=
. .
. .
= 38,947 [ ⁄ ].
Questa quindi rappresenta la potenza prodotta per tonnellata di uranio. Sappiamo inoltre che la potenza
termica del nocciolo (cioè i MW prodotti complessivamente dal combustibile presente nel nocciolo) è in
questo caso pari a Pth = 3400 MWth (anche se precisamente, la potenza generata nel combustibile è nel
nostro caso il 97,4% di quella totale del nocciolo), dividendo così la potenza prodotta da tutto il
combustibile presente nel nocciolo, per quella prodotta da 1ton di combustibile, otteniamo le ton di
combustibile presenti nel nostro reattore. La massa di uranio presente nel nocciolo sarà quindi:
=
( , )
= 85,028
Per ottenere le ton. di combustibile (inteso come biossido di uranio), basta prendere l’equazione finale
ricavata nell’appendice A.2 , che riscriviamo per completezza, e sostituire i valori corretti:
, =
. .
. .
, ⟶ , = ,
. .
. .
= 96,46 =
Riprendendo il risultato trovato considerando il nocciolo minimo critico, dove la massa critica di biossido di
uranio risultava essere pari a: , = 273,995 , si vede come il nocciolo effettivo di questo
reattore sia costituito da ben 352 masse critiche, ognuna capace di funzionare in maniera indipendente
rispetto alle altre.
Se è poi fissato il Burn Up del combustibile (energia estraibile mediamente dal combustibile), sapendo che
questi sono MWd per tU, passando attraverso la potenza specifica (MW per tU), posso determinare il tempo
di permanenza del combustibile nel reattore (per quel livello di bruciamento).

11
Infatti: B.U. = Ps td (9)
dove il tempo è espresso in giorni. Il tempo calcolato in questo modo però non è quello ‘reale’, infatti
utilizzando la (9) non tengo conto del fatto che durante il periodo di funzionamento può ad esempio
esserci stato un arresto improvviso; questo comporta che il reattore non abbia effettivamente funzionato
per tutti quei giorni a piena potenza. Per tenere conto di questo, introduco un fattore detto di
utilizzazione, descritto come:
=
ℎ
questo fattore è dato, e risulta essere pari al 95%. Quindi il tempo effettivo di permanenza del
combustibile nel reattore è pari a: =
. .
= 1621 = 54
quindi il periodo di irraggiamento del combustibile nel nocciolo è pari a 4 anni e mezzo. Durante questo
lasso di tempo la resa energetica (B.U.) del combustibile è di 60000MWd/tu. Dato che il nocciolo è diviso in
tre regioni (SCRIVEREQUALCOSA RIGUARDO AL MANAG. DEL COMB.) di uguale estensione con
arricchimenti differenti, si adatta uno schema di ricarica a terzi di nocciolo; quindi il reattore viene fermato
ogni 18 mesi (54/3) per scaricare quel terzo di combustibile che ha raggiunto il limite di bruciamento
previsto.
Altri parametri caratteristici del combustibile sono:
· = = =
( , )
. .
= 19,14 /
· fabbisogno annuo specifico, quindi per M installato. In questo caso bisogna tener conto del
rendimento termico della centrale, supposto pari a = 0,32. Di conseguenza:
= ( , )
= 18,06 Kg/(MWe anno)
Che risulta essere basso essendo molto elevato il Burn Up.
Infine, l’immobilizzazione specifica del combustibile nel reattore è: = = 80,23 /
Passiamo ora al dimensionamento vero e proprio del nocciolo. I dati relativi alla barretta di combustibile li
conosciamo (solitamente li si ottiene per tradizione tecnologica già presente, da chi si occupa della
fabbricazione delle barrette). Note quindi le dimensioni e l’altezza attiva delle barrette (tutte uguali,
almeno in teoria) ed il materiale della guaina, bisogna capire quante barrette sono presenti nel nocciolo.
Bisogna poi scegliere la tipologia dell’elemento di combustibile, quindi il numero di elementi e la loro
disposizione all’interno del nocciolo (essendo già nota la forma di quest’ultimo).
Essendo la barretta già stata dimensionata, possiamo calcolare la quantità di combustibile (UO2) presente
in una barretta. Questo infatti sarà dato dal volume del cilindro avente come altezza la lunghezza attiva
della barretta, e come area quella relativa alla pellet. Abbiamo quindi:
, = = 224,874 = 2,248 × 10
Noto il , cioè la densità volumetrica media di potenza, possiamo calcolarci il volume totale di
combustibile presente nel reattore. Il rappresenta infatti la potenza media prodotta nell’unità di
volume del combustibile, conoscendo il volume di combustibile, il prodotto ( ) fornisce la potenza
termica prodotta dal combustibile.

12
Quest’ultima è nota e risulta essere pari a:
(0,974) = 3311,6
Possiamo quindi ricavare il volume di combustibile (biossido di uranio) presente nel nocciolo:
=
(0,974)
= 9213476,894 ≅ 9,2134
Posso inoltre valutare la potenza media prodotta da una barretta ( ̇); questa infatti la ottengo
moltiplicando il per il volume di combustibile presente in una singola barretta:
̇ = , = 80927,523 ≅ 80,826
Il motivo di questi calcoli deriva dal poter valutare il numero totale di barrette presenti nel nocciolo sia
attraverso un rapporto di volumi, che attraverso un rapporto di potenze (essendoci di mezzo il ).
Il pedice dopo la virgola farà riferimento alla grandezza con la quale stiamo calcolando il numero di
barrette. Quindi Nb,v farà riferimento al rapporto di volumi, mentre Nb,p al rapporto di potenze. Il numero di
barrette è quindi:
, =
,
= 40971,7 , =
(0,974)
̇
= 40971,7
Naturalmente il valore di Nb dovrà essere un numero intero. Queste barrette verranno assemblate in
elementi di combustibile, in questo caso l’elemento di combustibile (che è poi quello tipico per i PWR)
contiene 17×17 possibili postazioni per barrette, cioè 289. Di queste 289 però, non tutte sono occupate da
barrette di combustibile, in quanto si hanno anche:
· barre di controllo (lo spider ha attaccate un certo numero di barrette assorbitrici le quali vanno a
posizionarsi all’interno dell’elemento di combustibile), che in questo caso occupano 24 posizioni all’interno
di ogni elemento;
· strumentazione, vale a dire camere a fissione per fare misure sul flusso neutronico; una per ogni
elemento.
Arrotondando il numero di barrette per difetto e dividendolo poi per il numero totale di postazioni
disponibili in ogni elemento (anche se arrotondassi per eccesso, otterrei comunque lo stesso valore intero
di Nel, cambierebbero solo alcune cifre decimali. Quindi la scelta va fatta su Nel):
=
40971
264
= 155,2
Per avere una disposizione simmetrica degli elementi di combustibile all’interno del nocciolo (i calcoli
vengono affrontati nell’appendice A.3) è necessario considerare Nel = 156.
È possibile ora valutare il numero effettivo di barrette di combustibile presenti:
= (156)(264) = 41184 =
Bisogna ora capire quanto è grande il nocciolo; la disposizione degli elementi di combustibile è nota, ma
non sappiamo quanto è grande il singolo elementi di combustibile (anche se possiamo valutarlo) né quanto
sono distanti i vari elementi tra loro.

13
Partiamo quindi dalle dimensioni del singolo elemento, le quali dipendono dal rapporto passo/diametro
con cui sono disposte le barrette di combustibile:
=
Noto il passo (è un dato di progetto, p = 1,26 cm), posso avere un’idea circa la grandezza del singolo
elemento di combustibile andando prima di tutto a valutare il lato di quest’ultimo. Posso ragionare in
questo modo:
= + ⟶ ( ) = , =
= , + , =
Così facendo però è come se considerassi un elemento di combustibile le cui dimensioni (lato) “iniziano e
terminano” con una barretta di combustibile. Avrei cioè una cosa del genere:
in realtà, assumendo che la distanza tra l’ultima barretta di ogni lato e la griglia sia pari a mezza distanza
tra due barrette: = =
, ( )
≅ 0,15
quindi, essendocene due : = , + 2(0,15 ) = 21,73
Sapendo che la disposizione degli elementi di combustibile nel nocciolo è tale per cui sui diametri principali
abbiamo 16 elementi, possiamo valutare il diametro medio del nocciolo:
, = (16)(0,2173 ) ≅ 3,5 =
Sappiamo inoltre che l’altezza attiva della singola barretta di combustibile risulta essere pari a La=4,267m ,
e ipotizzando che l’altezza del gas plenum sia pari a Lgp= 0,23m , l’altezza totale del nocciolo sarà circa pari
a: Ln= La + Lgp ≅ 4,5 m . Il volume del nocciolo quindi (non del combustibile) è circa pari a:
=
4
= 43,3
Possiamo infine calcolarci la densità di potenza nel nocciolo, conoscendo il volume di quest’ultimo e la
potenza totale del nocciolo: = = 78,5 / .
Andiamo ora a definire alcune grandezze caratteristiche del progetto termico, i cui valori (di queste
grandezze) dovranno soddisfare alcuni limiti imposti dal progetto termico. Abbiamo già incontrato una di
queste grandezze, cioè la densità volumetrica di potenza (potenza sviluppata per unità di volume nel
combustibile). Sappiamo però che l’asportazione del calore non è un fenomeno ‘volumetrico’ ma
superficiale, avviene cioè attraverso una superficie di scambio. Bisognerà quindi passare dalla densità
volumetrica di potenza al flusso termico, quest’ultimo valutato sia in corrispondenza della superficie della
pastiglia, che in corrispondenza di quella esterna della barretta (quindi della guaina).

14
Si tratta di un problema di tipo geometrico; considerando la sezione circolare della barretta, deve essere:
=
= à
Cioè: 2 = infatti localmente, i “Watt” prodotti nel combustibile e quelli uscenti dalla
superficie della pastiglia devono essere uguali; così come saranno uguali la potenza entrante internamente
e quella uscente dalla superficie della barretta, ciò che cambia sono le superfici di scambio e di
conseguenza i flussi termici relativi a queste superfici: 2 = 2
L’ultimo parametro è la densità lineare di potenza (q’), ovvero i Watt prodotti per ogni ‘cm’ di lunghezza di
combustibile che c’è nel nocciolo.
La relazione che lega i tre parametri qui definiti con la densità volumetrica di potenza e con la potenza
prodotta da una barretta (naturalmente questi rappresentano tutti valori medi, cioè mediati per l’intero
nocciolo) è:
̇ = = 2 = 2 =
Conoscendo quindi il ( ̇) e le grandezze geometriche caratteristiche del combustibile, possiamo valutare
questi parametri.
· =
̇
= 359,427 già valutato precedentemente;
· =
̇
= 73,698 / ;
· =
̇
= 63,464 / ;
· =
̇
= 189,659 / .
Il nocciolo può quindi essere caratterizzato tramite queste grandezze medie. Svolgendo l’integrale su tutto
il volume, della (7) ad esempio (considerando che nei reattori ad acqua è possibile trascurare la lunghezza
estrapolata), troviamo per la densità volumetrica media di potenza:
=
,
Dove il è relativo al centro geometrico del nocciolo, mentre il fattore a denominatore è chiamato
fattore di picco nucleare, legato alla forma del flusso neutronico. Questo fattore mette in relazione il fatto
che il flusso neutronico abbia un massimo radiale ed uno assiale, e che questi portino ad un massimo
assoluto al centro (rispetto ai valori medi assiali e radiali del flusso neutronico), e quindi medio globale.
Posso separare il contributo ‘assiale’ e quello ‘radiale’, essendo quello totale il prodotto dei due:
, = , ,
Questa suddivisione ci sarà utile nel momento in cui andremo a caratterizzare il cosiddetto canale caldo.
Quando viene affrontato il progetto termoidraulico infatti, bisogna assicurare che vengano rispettati
determinati limiti di sicurezza. Naturalmente per soddisfare questi limiti si farà riferimento al punto più
critico del nocciolo.

15
Γ
Posso ad esempio immaginare che questo punto coincida con il centro geometrico del nocciolo (anche se
vedremo più in là che non è proprio così), in quel punto avrò quindi le temperatura maggiori. Per evitare
situazioni indesiderate, bisognerà refrigerare il nocciolo in modo tale da rispettare le condizioni di sicurezza
in tutti i punti; se dimostro poi di essere in sicurezza nel punto più critico, lo sarò in tutto il resto del
nocciolo. I valori massimi delle densità di potenza sono calcolabili e valgono:
= , = 934,51 = , = 493,11 /
Il fattore di forma utilizzato risulta però essere diverso da quello teorico, quest’ultimo infatti tiene conto
anche di fattori di forma locali e ingegneristici che qui vengono trascurati.
Essendo, come già detto, il fattore di forma legato alla forma del flusso neutronico, quanto detto implica
che avremo una differente distribuzione del flusso neutronico. Al fine dei calcoli successivi però
(valutazione del profilo assiale delle temperature), considereremo come ancora cosinusoidale la forma del
flusso assiale, e quindi il fattore di forma assiale utilizzato pari a quello teorico; addossando la differenza al
fattore di forma radiale e quindi alla distribuzione radiale del flusso neutronico.
Andremo ora a valutare innanzitutto l’andamento assiale della temperatura del refrigerante. Sappiamo che
il refrigerante si trova alla stessa temperatura nella regione di ingresso nel nocciolo, dato che proviene
dall’over plenum nel quale avviene la miscelazione. Quindi entra nei vari elementi di combustibile e,
assumendo una ripartizione uniforme del refrigerante negli elementi, subirà un salto termico maggiore
laddove è più alta la produzione di potenza (immaginando simmetrico - come in realtà è – il profilo radiale,
è il canale centrale quello in cui produco più potenza), e come già detto sarà lì che andrò a fare le verifiche
dato che è in quella regione che la temperatura del refrigerante crescerà maggiormente. Noto poi
l’andamento assiale della temperatura del refrigerante nel canale considerato (detto canale caldo),
possiamo ricavarci gli andamenti di tutte le altre temperature caratteristiche.
Così facendo però (assumendo la portata uniforme in tutti i canali) rischio che nel canale centrale, cioè
dove produco più potenza, i limiti di sicurezza non siano verificati, e di conseguenza rischio di avere in
quella zona del liquido saturo (nel caso specifico di PWR) o comunque vicino alla saturazione.
Considerare uniforme su tutti i canali la portata è infatti un calcolo abbastanza conservativo, motivo per cui
ci si potrebbe ritrovare, all’uscita del nocciolo, con acqua in condizioni di saturazione. Per ovviare a questo
problema si procede con l’orifiziatura degli elementi di combustibile, in modo tale da distribuire la portata
in maniera differente in base alla posizione degli elementi all’interno del nocciolo. Posso cercare magari di
uniformare assialmente la temperatura in tutti gli elementi di combustibile, e fare quindi in modo che ad
ogni quota la temperatura del refrigerante sia più o meno la stessa in corrispondenza di tutti gli elementi.
Questo posso farlo facendo in modo che la portata segue la stessa legge radiale del flusso neutronico
(funzione di Bessel di prima specie e di ordine zero), che comporta un aumento di portata nelle zone in cui
produco più potenza. Facendo quindi riferimento alla rappresentazione del cosiddetto ‘sottocanale base’, è
possibile valutare la portata che compete a quel canale, e applicare a quest’ultima il fattore di picco
radiale, in modo che l’andamento della portata rispecchi quello del flusso neutronico (e quindi della
produzione di potenza).
Quindi la portata che passa all’interno è quella che compete ad una barretta,
cioè immagino che la portata all’interno dell’elemento di distribuisca
uniformemente. La competenza di un sottocanale è quella di un’intera barretta
dato che prendo 4/4 di ogni barretta, relativamente alle 4 barrette (quindi quattro
volte), dato che sono quattro le barrette che facenti parte del sottocanale. L’area di
passaggio del refrigerante in una maglia quadrata, è data dalla differenza tra
l’area del quadrato di lato pari al passo e l’area della singola barretta:
= − = 0,878

16
La portata totale che attraversa il nocciolo può essere calcolata attraverso l’equazione di conservazione
dell’energia nel caso di sistemi aperti, trascurando i termini cinetici e potenziali:
̇ = = Γ(ℎ − ℎ )
Essendo nota la del nocciolo, si tratta di ricavare l’entalpia del liquido in entrata e in uscita. Sappiamo
che la p = 15,513 MPa e la Tin = 280,67 °C, mentre per quanto riguarda la temperatura di uscita:
Tout = Tin + Δ = 321,11 °C. Dalle tabelle dell’acqua andremo a calcolare i valori corrispondenti di entalpia,
interpolando tra i valori di pressione di p1=15 MPa e p2=16 MPa otteniamo:
ℎ = ℎ(15,513 ; 280,67℃) = 1236,29 × 10 /
ℎ = ℎ(15,513 ; 321,11℃) = 1460,16 × 10 /
E la portata totale risulta quindi essere:
Γ =
(ℎ − ℎ )
= 15187,41 /
Non tutta questa portata passerà all’interno del nocciolo, bisognerà tener conto della cosiddetta portata di
by – pass. Della Γ una parte attraversa effettivamente il nocciolo, mentre quella restante passa
lateralmente senza asportare calore. Naturalmente nell’espressione che conduce alla Γ non tengo
conto della portata di by- pass, il Δℎ considerato infatti è il salto entalpico tra il bocchello di ingresso
dell’acqua nel vessel e il bocchello di uscita, e qui entra in gioco tutta la portata. Quando però vado a fare i
calcoli sul singolo sottocanale, anche ammettendo che la portata sia distribuita uniformemente tra tutti i
sottocanali, la portata relativa al singolo sottocanale non sarà quella totale diviso il numero di sottocanali
presenti, a quella totale infatti ci devo togliere la portata di by – pass.
Attraverso l’elemento di combustibile infatti (e quindi di conseguenza nel singolo sottocanale – sempre
considerando una portata uniformemente distribuita) passerà una portata inferiore, dato che una parte
verrà perduta alla periferia del nocciolo; questa portata si riscalderà quindi un po' di più e avrò un salto
termico maggiore rispetto a quello ‘standard’. Naturalmente la portata che passa attraverso il nocciolo si
andrà poi a rimescolare con quella di by – pass (più fredda) nel plenum superiore, fornendo così la
“corretta” temperatura di uscita. Quanto detto vale anche nel caso (presente) in cui la portata non venga
uniformemente distribuita tra tutti i canali.
Per cui essendo il numero di elementi di combustibile nel nocciolo pari a Nl = 156, ed essendo la
configurazione del singolo elemento 17x17, avremo: 156x17x17 = 45084 sottocanali = Nsc . Dal punto di
vista della produzione di potenza però, l’elemento di combustibile ha meno barrette attive del numero di
posizioni totali. Infatti, nel nostro caso, saranno 264 dal punto di vista della produzione di potenza e 289
dal punto di vista della distribuzione del refrigerante.
Infine, la portata di by – pass vale: Γ = (0,059) 15187,41 = 896,1 ; mentre la portata che
attraversa il nocciolo vale: Γ = Γ − Γ = 14291,31 / , e quella corrispondente al singolo
sottocanale: Γ = = 0,317 / relativamente al caso in cui la portata sia distribuita uniformemente
tra tutti i canali. Applicando a questa il fattore di picco radiale otteniamo la portata massima che circola nel
canale, ovvero quella relativa al canale caldo: Γ , = Γ = 0,317 (1,655) = 0,525 / .
Possiamo anche valutare la portata specifica, ovvero il rapporto tra la portata in massa e l’area di passaggio
(ricavata precedentemente): = ,
= 5976,1 dove chiameremo d’ora in poi Γ ,
semplicemente come Γ .

17
Passiamo ora alla valutazione degli andamenti delle temperature nel canale caldo. Come già discusso
precedentemente, partiremo dalla valutazione dell’andamento della temperatura del refrigerante, per poi
proseguire, radialmente, verso l’interno della barretta. Dato che ci interessa l’andamento della
temperatura lungo l’altezza del nocciolo, andiamo a considerare la densità lineare di potenza il cui
andamento assiale è del tipo: ( ) = cos ; questo nel canale caldo, cioè nel canale dove ho
il (valutato precedentemente) di tutto il nocciolo. Tramite questo, posso fare un bilancio energetico
all’interno del mio sottocanale in modo tale da esprimere la variazione assiale della temperatura del
refrigerante in funzione di parametri noti, alcuni dei quali costanti. L’espressione che otteniamo è la
seguente:
( ) = , +
Γ
sin + 1
Otteniamo quindi, per quanto riguarda la temperatura del refrigerante, un andamento del tipo sinusoidale,
sfasato di /2 rispetto a quello del flusso neutronico e quindi della densità lineare di potenza. Delle
grandezze presenti: ‘H’ rappresenta l’altezza attiva del nocciolo (H = 4,267 m), mentre ‘cp’ il calore specifico
a pressione costante. Il valore di quest’ultimo sarà quello relativo alla temperatura media del refrigerante
nel sottocanale (mediata tra ingresso e uscita del nocciolo), cioè: cp = 5479,96 J/(Kg K). Sapendo poi che
= 492,492 W/cm; , = 280,67 ° otteniamo da quell’espressione, i valori corrispondenti al
centro geometrico del nocciolo (z=0) e all’uscita (z = H/2):
( = 0) = 303,92 ℃
( = /2) = 327,17 ℃
siamo quindi molto al di sotto della (15,513 ) = 344,85 ℃.
Come si può intuire dai risultati trovati, l’andamento della temperatura del refrigerante risulta essere
sempre crescente dato che l’acqua man mano che sale, si riscalda; temperatura però che cresce in maniera
differente lungo z. Infatti inizialmente cresce poco, nella zona centrale cresce maggiormente dato che la
potenza è maggiore, e poi riprende a crescere lentamente man mano che si avvicina all’uscita.
Questo andamento, insieme a quello relativo alla produzione di potenza, influenza e determina gli
andamenti di tutte le altre temperature. Andiamo ora a valutare l’andamento della temperatura relativa
alla superficie esterna della guaina.
Per quanto riguarda lo scambio termico tra refrigerante e superficie esterna della guaina, sappiamo che
questo avviene per convezione; le due temperature sono legate al flusso termico che ho in corrispondenza
della superficie esterna della guaina tramite la seguente relazione : ( ) = ℎ , ( ) − ( )
dove , ( ) ( ) sono valutate lungo ‘z’, e ℎ è il coefficiente di scambio termico per convezione
(forzata). Questa relazione deve naturalmente essere valida ad ogni quota ‘z’. Il ( ) lo posso legare alla
densità lineare di potenza tramite la seguente relazione: ∆ = 2 ∆ relativamente alla superficie
esterna della barretta di combustibile, e ad un qualunque incremento assiale ∆ . L’andamento assiale
(quindi lungo ‘z’) del sarà quindi esattamente quello del diviso una costante (essendo costante). La
nostra incognita è quindi la , ( ), essendo stata valutata precedentemente quella del refrigerante.
Arriviamo infine al coefficiente di scambio termico; sappiamo che questo varia lungo ‘z’ essendo
dipendente dalle proprietà fisiche del fluido, le quali dipendono dalla temperatura del fluido che dipende
dalla coordinata ‘z’. Il coefficiente dipende inoltre dalla velocità del fluido (attraverso il numero di
Reynolds), ma ci troviamo in un sistema a portata imposta (dalle pompe in base alle perdite di carico);
quindi essendo Γ = v e immaginando costante l’area di passaggio (trascurando in questo caso la
presenza delle griglie), man mano che il refrigerante sale, si scalda, e la sua densità diminuisce, quindi dato
che T = f(z) lo sarà anche la densità (funzione di ‘z’).

18
Ma essendo Γ = cost, questo significa che v =f(z), cioè cresce leggermente man mano che si procede verso
le ‘z’ crescenti. Per la valutazione del coefficiente di scambio in regime di moto turbolento, possiamo usare
la Dittus – Boelter – McAdams: = 0,023 , ,
Che tiene conto delle proprietà fisiche del fluido, e del fatto che si sta riscaldando. Questa relazione è
legata al coefficiente di scambio attraverso il numero di Nusselt: =
gli altri due numeri adimensionali (Reynolds e Prandtl) possono invece essere scritti nel seguente modo:
Pr = e = = da cui si vede che è sparita la dipendenza esplicita dalla velocità.
Quindi essendo Γ, costanti, resta solo la dipendenza dalle proprietà fisiche. Posso però valutare
queste proprietà in base alla temperatura media (mediata tra ingresso e uscita del nocciolo) del
refrigerante, e di conseguenza ottenere un coefficiente di scambio medio. Per quanto riguarda le proprietà
fisiche otteniamo: ( ) = 724,69 , ( ) = 0,561 , ( ) = 8,82 × 10 ·
e i numeri adimensionali:
( ) ,
=
,
= 0,942 ( ) ,
=
,
= 52612,1
Infine:
ℎ = (0,023 , , ) = 50016
Dove ‘ sta per diametro equivalente, dato che la forma del sottocanale non è perfettamente sferica.
Questo viene definito come: = dove ‘ ’ viene detto perimetro bagnato (o scaldato in questo
caso) e risulta essere dato da: = . quest’ultimo è in pratica dato dalla somma di quei quattro quarti
di perimetro delle barrette (presenti ai quattro angoli del quadrato), lambite dal refrigerante. Quindi =
4 = quindi: = = 1,176 = 1,176 × 10 .
Infine la temperatura relativa alla superficie esterna della guaina può ora essere calcolata:
, ( ) = ( ) +
( )
= , + sin + 1 +
( )
=
= , +
Γ
sin + 1 +
2 ℎ
cos
Ora, per conoscere l’altezza alla quale la temperatura risulta essere la più alta, andiamo a calcolare la
variazione della temperatura della guaina con la coordinata ‘z’ e la eguagliamo a zero:
, ( ) = cos − sin = 0 ⟹ tan = 2 ⟹
⟹ = 2 = 83,4
Valutato considerando che il centro geometrico del nocciolo si trova in r = 0 e z = 0. È possibile ora valutare
la temperatura in corrispondenza di questa coordinata:
, ( ) = 280,67℃ + 36,65℃ + 26,96℃ = 344,28℃

19
Per quanto riguarda la temperatura interna della guaina sappiamo che attraverso di essa, il calore viene
trasmesso per conduzione, facendo uso del postulato di Fourier possiamo scrivere:
= = − (2 ) ⟹ = −2
E integrando tra superficie interna e superficie esterna della guaina (assumendo q’ indipendente dal raggio
e Kguaina indipendente dalla temperatura):
= − 2
,
,
= 2
,
,
⟹ ln = 2 , − , ⟹
⟹ = 2
, − ,
ln
Dove , , , dipendono dalla coordinata ‘z’. Ricavando la temperatura interna della guaina e
sostituendo le espressioni della , e della otteniamo:
, ( ) = , +
Γ
sin + 1 +
2 ℎ
cos +
ln
2
cos
E analogamente a quanto fatto precedentemente, per trovare il punto in cui la temperatura è la maggiore
e la temperatura corrispondente:
, ( ) =
Γ
cos −
2 ℎ
sin −
ln
2
= 0
Dalla quale, risolvendo per (z’) otteniamo:
⟹ = = = , , /( )
Essendo la conducibilità della guaina funzione della temperatura, bisognerà procedere in modo iterativo,
utilizzando come temperatura la media tra quella relativa alla superficie esterna della guaina e quella
relativa alla superficie interna; occorre quindi ipotizzare un valore iniziale della temperatura della
superficie interna della guaina, valore che prendiamo pari a: , = 400℃ = 673,15 . Il valore di primo
tentativo sarà quindi: =
, ,
= 645,29
Mentre: = = 7,51 + 2,09 × 10 − 1,45 × 10 7,67 × 10
dove [ /( )] [ ].
Sostituendo il valore di primo tentativo otteniamo quindi:
( ) = 17,01 ⟹ = 33,62 ⟹ = 394,395 ℃
E il valore successivo: = 369,3375 ℃ = 642,48 , da cui:
( ) = 16,989 ⟹ = 33,59 ⟹ = 398,78 ℃

20
E otteniamo : = 644,68 , da cui:
( ) = 17,01 ⟹ = 33,621 ⟹ = 398,72 ℃
Che rappresentano i valori definitivi.
Procedendo ancora verso l’interno incontriamo il gap, e quindi la superficie della pellet di combustibile. In
questo caso possiamo scrivere: = 2 ℎ − , dove ℎ rappresenta il coefficiente di
scambio termico del gap. Ora, combinando le tre espressioni trovate (relativamente alle tre temperature
sopra valutate) in modo tale da scrivere un’equazione in funzione di grandezze note, e in cui l’unica
incognita è la temperatura superficiale della pastiglia di combustibile, otteniamo:
( ) =
2 ( ) − ( )
1
ℎ
+
ln
+
ℎ
Prima di passare alla risoluzione dell’equazione precedente, bisogna tener presente che:
· ℎ = + ℑ + , + , + , che rappresenta il coefficiente di scambio
termico del gap, dipende oltre che dalla temperatura superficiale della pellet (incognita), anche dal
coefficiente di conducibilità del gap (dipendente dalla temperatura presente all’interno del gap). I due
termini presenti a secondo membro dell’equazione descrivono i due principali meccanismi di trasferimento
del calore (che si verificano in parallelo) attraverso il gap: cioè conduzione e irraggiamento. Nel secondo
termine, relativo al trasferimento di calore per irraggiamento, compaiono la costante di Stefan Boltzmann
( ) ed il fattore di mutua radiazione (ℑ) che risulta essere funzione anche dell’emissività dei corpi
considerati, i quali non sono corpi neri;
· ℑ ⟶ =
⟶
è il fattore di mutua radiazione tra la superficie 1 (interna della guaina) e la
superficie 2 (del combustibile); questo dipende oltre che dalle due emissività, anche dalle superfici e dal
fattore di vista relativo ad esse. Nell’approssimazione di piani paralleli affacciati, trascurando gli effetti di
bordo abbiamo: ( ⁄ ) = 1 ⟶ = 1 per cui l’equazione diviene: ℑ ⟶ = = 0,714 ,
essendo nel nostro caso = 0,8 e = 0,87.
· = = 15,8 × 10 , [ /( )] [ ] che descrive quindi la variazione
della conducibilità dell’elio presente nel gap, con la temperatura;
· = + + che rappresenta il coefficiente globale di scambio termico tra la superficie
del combustibile ed il refrigerante.
Possiamo ora procedere con la risoluzione, considerando però che si tratterà di fare un calcolo iterativo,
dato che il coefficiente di scambio termico del gap dipende dalla nostra incognita (Ts), ipotizzando quindi
un valore di primo tentativo per la temperatura superficiale del combustibile.
· = 650℃ = 923,15 ; prima di tutto bisogna valutare la conducibilità nel gap, che sarà funzione della
temperatura media (mediata tra superficie del combustibile e superficie interna della guaina) :
=
,
= 797,51 e di conseguenza: = 15,8 × 10 ( ) ,
= 0,0030976 /( ) o anche
= 0,30976 /( ). Quindi il coefficiente di scambio termico: ℎ = 10108,25 /( ) e quello

21
di scambio globale: = 6804,62 /( ). A questo punto è possibile calcolare il punto in cui la
temperatura superficiale del combustibile risulta essere massima; procedendo come già fatto in
precedenza otteniamo: = = 11,2 e infine la temperatura superficiale del
combustibile: ( ) = , + sin + 1 + cos = 586,16℃
· = 859,32 ⟹ = 765,59 ⟹ = 0,2999 ⟹ ℎ = 3711,558 /( ) ⟹
⟹ = 3150 ⟹ = 5,19 ⟹ ( ) = 912,02 ℃ ;
· = 1185,17 ⟹ = 928,52 ⟹ = 0,349 ⟹ ℎ = 4375,42 /( ) ⟹
⟹ = 3877,1 ⟹ = 6,39 ⟹ ( ) = 798,158 ℃ ;
· = 1071,31 ⟹ = 871,589 ⟹ = 0,332 ⟹ ℎ = 4141,677 /( ) ⟹
⟹ = 3455,188 ⟹ = 5,19 ⟹ ( ) = 858,38 ℃ ;
· = 1131,5 ⟹ = 901,7 ⟹ = 0,341 ⟹ ℎ = 4265,59 /( ) ⟹
⟹ = 3540,27 ⟹ = 5,84 ⟹ ( ) = 845,1 ℃ ;
· = 1118,24 ⟹ = 895,05 ⟹ = 0,339 ⟹ ℎ = 4238,44 /( ) ⟹
⟹ = 3521,547 ⟹ = 5,81 ⟹ ( ) = 847,95 ℃ ;
· = 1121,1 ⟹ = 896,5 ⟹ = 0,339 ⟹ ℎ = 4244,3 /( ) ⟹
⟹ = 3525,6 ⟹ = 5,81 ⟹ ( ) = 847,34 ℃ .
Abbiamo quindi trovato il punto in cui risulta essere massima la temperatura superficiale del combustibile:
= 5,81 , e la suddetta temperatura vale: ( ) = 847 ℃ .
Dai calcoli fatti si vede come più ci si avvicina al centro del combustibile, e più il massimo si avvicina alla
simmetria (al centro del nocciolo). L’ultimo andamento da valutare, è quello relativo alla temperatura
centrale del combustibile, temperatura che possiamo valutare tramite l’integrale di conducibilità. Avremo
quindi una relazione che lega la differenza di temperatura tra centro e superficie del combustibile
(dipendente dalla coordinata ‘z’) alla densità lineare di potenza (anch’essa dipendente da ‘z’) e alla
conducibilità del biossido di uranio, funzione della temperatura attraverso la seguente espressione:
= , ,
+ 8,775 × 10 con °
[° ].
L’andamento della temperatura centrale del combustibile è invece ricavato risolvendo l’integrale di
conducibilità:
( )
4
= ( )
( )
( )
Sostituendo quindi l’espressione della conducibilità del biossido di uranio, e risolvendo l’integrale
otteniamo:
( )
4
=
1
0,0238
ln
11,8 + 0,0238 ( )
11,8 + 0,0238 ( )
+
8,775 × 10
4
[ ( ) − ( ) ]

22
Dove:
· ( ) = cos ;
· ( ) = , + sin + 1 + cos
Che sostituite nella precedente ci danno:
cos = ,
ln[11,8 + 0,0238 ( )] + (8,775 × 10 ) ( ) −
−
4
0,0238
ln 11,8 + 0,0238 , +
Γ
sin + 1 +
2
cos −
− (8,775 × 10 ) , +
Γ
sin + 1 +
2
cos
Che va risolta in modo iterativo, ipotizzando un valore iniziale della coordinata assiale. Così facendo
troveremo la temperatura centrale del combustibile corrispondente alla coordinata ipotizzata. Con questo
valore andremo a determinare la temperatura media del combustibile, in modo tale da poterci ricavare la
conducibilità e di conseguenza la coordinata ‘z’. Trovata ‘z’, la andremo a confrontare con il valore
ipotizzato fino a convergenza. Ipotizzando quindi, come valore di primo tentativo: = 2 e procedendo
con le iterazioni otteniamo infine:
( ) = 2385,09 ℃ relativa alla coordinata assiale = 1,0868 .
Quindi la temperatura massima al centro del combustibile è , = 2385,09 ℃ , che risulta comunque
essere minore della temperatura di fusione a fine vita; tenendo conto della diminuzione della conducibilità
man mano che aumenta il bruciamento del combustibile
℃
( / )
abbiamo:
( . . . ) = 2613℃ , maggiore di quella trovata.
Passiamo ora alla valutazione del DNBR. Criterio di progetto rispetto al CHF (PWR):
=
il quale non va calcolato in un punto preciso, ma deve essere mappato lungo l’asse del nocciolo (dato che
non so dove potrei andare in crisi termica). Devo poi assicurarmi che questo DNBR rispetti il minimun
DNBR (MDNBR): ( ) =
( )
( )
e MDNBR = 1,3 ipotizzando una potenza del reattore al 112%.
Quindi in ogni punto il flusso termico effettivo deve essere sempre più basso di almeno il 30% del CHF
(essendo MDNBR ≥ 1,3).
È vero che il flusso termico massimo (che sta a denominatore) sta al centro del nocciolo, ma il CHF non è
costante su tutta l’altezza del nocciolo. Il CHF è infatti maggiore all’ingresso e diminuisce man mano che si
sale, quindi non è detto che raggiungo il minimo valore del DNBR al centro del nocciolo. Quando poi vado a
fare il rapporto (CHFR cioè critical heat flux ratio), questo non è minimo al centro ma più in alto. Ho la
distanza minima tra i due parametri nella parte superiore del nocciolo. Bisognerà prima di tutto valutare il
CHF, trovare il punto dove quel rapporto è minimo, e valutare lì il DNBR verificando poi che questo sia
maggiore del valore minimo richiesto.

23
Andiamo quindi a valutare il DNBR in condizioni nominali. L’andamento del flusso termico all’interno del
nocciolo è descritto dalla seguente equazione: : ( ) = ℎ , ( ) − ( ) e facendo le
opportune sostituzioni e semplificazioni otteniamo:
( ) =
2
cos
che dipende dall’altezza del nocciolo. Per quanto riguarda il CHF invece, questo può essere valutato
tramite la correlazione W2:
= ( + )( + ∆ ) + ( + ) = −0,532
∆ℎ ,
, ,
Anche in questa relazione è presente la dipendenza dalla coordinata ‘z’ , infatti il parametro ‘∆ ’
rappresenta il grado di sottoraffreddamento presente nel sottocanale considerato (cioè sottocanale caldo
nel nostro caso) ed è pari alla differenza tra la temperatura di saturazione del refrigerante e la temperatura
del refrigerante valutata in una certa pozione lungo l’asse del reattore. Per rendere più semplice il calcolo
della derivata, andremo a scrivere il CHF in modo da separare i termini costanti da quelli dipendenti da ‘z’.
possiamo innanzitutto scrivere:
= ( + ) + ( + ) + − ( ) = + − ( )
= ( + ) − , − sin + 1 =
= + − , − − sin =
= + − , + − sin = − sin
Dove
= + − , +
=
Quindi il DNBR diviene:
( ) =
( )
( )
= − sin cos = cos −
La coordinata assiale in corrispondenza della quale il precedente rapporto risulta essere minimo, si trova
andando a valutare la derivata del DNBR(z) rispetto a ‘z’ ed eguagliandola a zero:
[ ( )] =
2
cos −
2
= 0
Ottenendo infine: ∗
=
Dato che i coefficienti ‘Ai’ (con i = 1,..,9) sono noti, è possibile valutare il punto in cui il DNBR(z) risulta
essere minimo. Troviamo che:
∗
= 1,177
Si vede quindi come il DNBR minimo si trovi a “metà strada” tra il centro geometrico del nocciolo e l’uscita
dello stesso.

24
Ora, sapendo quale è la condizione necessaria affinché non si abbia crisi termica nel nocciolo, si tratta di
verificare che il nostro DNBR(z) risulti essere maggiore (o al limite uguale) a 1,3 nel punto di minimo (cioè
nel punto in cui il flusso termico operativo risulta essere più vicino al flusso termico critico); se siamo sicuri
in quel punto, lo saremo in tutto il resto del nocciolo. Andando a valutare il rapporto:
( ∗) =
( ∗)
( ∗)
= 2,634
dove inoltre, i due flussi termici sono stati valutati al 112% della potenza nominale, dato che il minimum
DNBR è stato valutato in corrispondenza di quelle condizioni. Abbiamo quindi ottenuto, per il rapporto, un
valore che è circa il doppio di quello minimo richiesto.
Andremo ora a valutare il DNBR in condizioni di sovra-potenza al 118% e riduzione della portata del
sottocanale del 5%; i valori che si andranno a modificare saranno quindi principalmente la portata del singolo
sottocanale e la densità lineare di potenza, e tutte le altre grandezze derivanti da esse. In questo caso
otteniamo:
( ∗
; 118% ; 95%Γ ) = 2,4165
Da cui si vede che anche in queste condizioni, siamo sicuri dal punto di vista del CHF. Vogliamo ora vede di
quanto dovrebbe ridursi la portata nel sottocanale, al 118% della potenza nominale, per raggiungere la crisi
termica. Affinché si abbia crisi termica al 118% della potenza nominale, deve essere:
( ∗
; 118% ) < 1,3 . Avendo a disposizione tutti i valori eccetto che la portata del sottocanale,
andremo a valutare quest’ultima:
( ∗; % )
( ∗; % )
< 1,3
Sostituendo tutti i valori otteniamo un’equazione di secondo grado la cui incognita è proprio la portata del
sottocanale:
(7758480,418)Γ − (1048605,645)Γ − 19590,12 < 0
Che ci dà, prendendo il solo valore positivo: Γ < 0,152 /
Per quanto riguarda la verifica, sostituendo il valore trovato nell’espressione del DNBR( ∗
; 118% )
troviamo: = 1,29 .
Abbiamo quindi verificato che con una sovra-potenza del 118% si ha crisi termica se la portata, in
corrispondenza del punto in cui il DNBR risulta essere il più basso, scende al di sotto dei 0,152 Kg/s .
Passiamo ora al calcolo della potenza lineare di fusione del combustibile. Per la conducibilità termica del
biossido di uranio al 95,5% della densità teorica possiamo usare la relazione di Westinghouse vista
precedentemente:
=
1
11,8 + 0,0238
+ 8,775 × 10
Inoltre, per il calcolo della densità lineare della potenza che mi provoca fusione, posso usare l’integrale di
conducibilità: = 4 ∫ ( )
Dove Tc = Tfus dato che la fusione inizierebbe nel punto in cui ho la temperatura massimo, e quindi al centro.
Sappiamo inoltre che ( . . . ) = 2613℃ , mentre ( ) = 847 ℃ :

25
= 4
11,8 + 0,0238
+ 4 (8,775 × 10 )
Sapendo che per = + ⟶ ∫ = | | troviamo nel nostro caso:
=
4
0,0238
11,8 + 0,0238(2613)
11,8 + 0,0238(847)
+ 4 (8,775 × 10 )
1
4
[(2613) − (847) ] = 570,341
Da cui si vede che ≫ = 189,659 / ; anche se il confronto non va fatto con il valor medio, ma
con quello massimo presente all’interno del nocciolo, e cioè:
= , = 492,492 ⟹ >
Per cui anche nel punto in cui la potenza lineare del combustibile è la più alta, resta comunque più bassa di
quella che porterebbe il combustibile a fusione.
Il calcolo delle perdite di carico attraverso il nocciolo, viene rimandato alla terza esercitazione. Passiamo ora
alla verifica meccanica della barretta di combustibile.
Sappiamo che lo spessore della guaina non deve essere troppo sottile, altrimenti si rischia l’implosione sotto
l’azione della pressione esterna; non può essere neanche troppo spesso dato che la guaina assorbe un certo
numero di neutroni, e farla troppo spessa limiterebbe l’economia neutronica (questo ci costringerebbe ad
esempio ad aumentare l’arricchimento, sfruttando peggio il combustibile dato che in questo caso l’unico
scopo dell’arricchimento sarebbe quello di compensare l’assorbimento da parte della guaina). Si parte quindi
da una verifica al collasso. La pressione critica al collasso può essere valutata tramite la:
∆ ≅ = ( ) ̅
Approssimabile alla sola pressione critica esterna dato che solitamente la differenza è molto elevata
( , ≪ , ). La relazione trovata fa però riferimento a tubi con pareti sottili, si vede infatti che ‘ ̅’ è
il raggio medio dello spessore. Il parametro ‘s’ rappresenta lo spesso scelto, mentre ‘E’ e ‘ ’ sono
rispettivamente il modulo di Young e il coefficiente di Poisson relativi al materiale della guaina, e dipendenti
principalmente dalla temperatura. Nel nostro caso la =
, ,
= 371,5℃ ma (in assenza di dati
disponibili) prendiamo i valori di ‘E’ e ‘ ’ relativi allo Zircaloy a = 325℃:
= 78556 = 0,33; mentre = 0,572 ; ̅ = = = 0,446 .
Volendo valutare la pressione critica in[MPa]: = ( , )
,
,
= 46,49 = 464,9 , da cui
si vede che la pressione di normale esercizio del reattore considerato, risulta essere molto minore di quella
trovata. Per avere una pressione critica di 155,13 bar, lo spessore dovrebbe essere di s = 0,396 mm . Per
arrivare a 155,13 bar non è stato necessario scendere troppo con lo spessore essendo ~( ) . Quindi,
alla pressione nominale di esercizio, uno spessore di 0,396 mm mi farebbe collassare la barretta. Per la
verifica meccanica si ipotizza una pressione di primo tentativo ammissibile all’interno della barretta, tale da
portarla al limite di snervamento. Per fare questo, è possibile usare la formula di Mariotte, sempre nel limite
di spessori sottili. Posta al limite di snervamento: =
∆ ̅
da cui possiamo ricavare il ∆ .
Considerando ancora una volta le proprietà meccaniche dello Zircaloy relativamente alla = 325℃:
= 310,85 , e di conseguenza: ∆ = 39,86 = 398,6 . Questa potrebbe quindi essere
la pressione massima ammissibile nelle barrette, è cioè quella che mi porta il materiale al limite di

26
snervamento. Per quanto riguarda la pressione esterna massima ammissibile, assumeremo per i calcoli il
valore di 155,13 bar; mentre per quella interna = 400 , in modo tale che anche nel caso in cui il
reattore si dovesse depressurizzare ( ), la barretta non si troverebbe in condizioni pericolose. Sulla base
di questo mi andrò quindi a calcolare tutte le tensioni che si generano all’interno della guaina.
Tensioni che possono essere longitudinali ( ), radiali ( ) e tangenziali ( ) (considereremo come positive
quelle di trazione e negative quelle di compressione). Le verifiche le andremo a fare sia sulla faccia interna
che su quella esterna.
In linea generale le tensioni possono essere suddivise in:
· tensioni primarie di membrana: sono quelle che generano delle deformazioni, e malgrado queste le
tensioni permangono;
· tensioni secondarie: possono generare delle deformazioni, ma proprio il generarsi di queste deformazioni
può provocare un recupero delle tensioni stesse;
· tensioni di picco: dovute a concentrazione degli sforzi a causa di discontinuità locali o gradienti di
temperatura localizzati.
Le sollecitazioni termiche sono una tipica situazione di tensioni secondarie, è possibile quindi recuperarle
con la deformazione. Per valutarle, abbiamo bisogno di valutare il salto termico attraverso la parete della
guaina: ∆ =
( ⁄ )
Questa relazione deriva da un bilancio di flussi termici tra le due superfici (interna ed esterna della guaina).
Sappiamo che la relazione che lega la densità lineare di potenza al flusso termico è la seguente:
= 2 (a) mentre = (2 )ℎ , − dove (2 ) è il perimetro di scambio.
Proseguendo verso l’interno incontriamo lo spessore della guaina, attraverso il quale il calore viene
trasmesso per conduzione. Facendo quindi uso del postulato di Fourier:
= = − (2 ) ⟹ = −2
E integrando tra superficie interna e superficie esterna della guaina (assumendo q’ indipendente dal raggio
e Kguaina indipendente dalla temperatura):
= − 2
,
,
= 2
,
,
⟹ ln = 2 , − ,
E volendolo esprimere in termini di flusso termico:
2 ln = 2 ∆ ⟹ ∆ =
ln( ⁄ )
Che è la relazione scritta precedentemente. Il calcolo va fatto nel punto più critico del nocciolo, ovvero
nella macchia calda, in condizioni di sovra-potenza (al 120% della potenza nominale). Dalla (a), facendo
quindi riferimento alla macchia calda: =
( , )
= 198,02 /
Da cui: ∆ =
( ⁄ )
= 70,95 ℃ dove = 17,01 = 17,01 × 10 ℃
.
Quindi le tensioni secondarie dovute al gradiente di temperatura lungo lo spessore della guaina,
comportano una tensione radiale nulla, mentre tensione longitudinale e tangenziale sono uguali e pari a:

27
=
∆
2(1 − )
( ; ) =
∆
2(1 − )
( ; )
Che fanno riferimento rispettivamente alla parete interna ed a quella esterna. I fattori ( ; ) ( ; )
sono fattori geometrici dipendenti dal raggio interno e da quello esterno, essendo le geometria cilindrica:
( ; ) = 1 − ln ln = −1,0427
( ; ) = 1 − ln ln = 0,9573
prossimi all’unità essendo ( ⁄ ) ≈ 1,13.
Assumendo pari a = 6,46 × 10 ℃ il coefficiente di dilatazione termica dello Zircaloy a 325℃ abbiamo:
= = = −267,48 /
= = = 245,57 /
ℎ = 0,981 :
= −262,39 = −26,239
= 240,9 = 24,09
Si noti che dove la temperatura è maggiore ( , ) le fibre tenderebbero ad allungarsi maggiormente,
mentre dove la temperatura è minore tenderebbero ad allungarsi di meno. Questo implica che dove
vorrebbero allungarsi di più, l’allungamento è impedito dalle fibre successive e quindi all’interno si ha uno
stato di compressione; all’esterno invece, dove tenderebbero ad allungarsi di meno sono invece trascinate
dalle fibre più interne. Abbiamo quindi uno stato di compressione all’interno, ed uno di trazione
all’esterno. Andiamo ora a valutare le sollecitazioni derivanti dalla pressione (i cui valori massimi sono
155,13 bar per la pressione esterna, e 398,6 bar per quella interna), tramite le seguenti relazioni:
· parete interna:
=
( + ) − 2
−
= 175,14 ; = −39,86 ; =
( − )
−
= 83,16
· parete esterna:
=
2 − ( + )
−
= 150,91 ; = −15,513 ; =
( − )
−
= 83,16
Da cui si vede che quelle radiali sono dirette in verso opposto alla pressione, mentre quelle longitudinali
sono uguali per entrambe le pareti. Lo stato di tensione totale si ottiene andando a sommare quello
relativo alle tensioni primarie (dovute alla pressione) e quello relativo alle tensioni secondarie (dovute al
gradiente di temperatura):
· parete interna:
Tensioni Primarie [MPa] Tensioni Secondarie [MPa] Totale [MPa]
175,14 -26,239 148,901
-39,86 0 -39,86
83,16 -26,239 56,921
· parete esterna:
Tensioni Primarie [MPa] Tensioni Secondarie [MPa] Totale [MPa]
150,91 24,09 175
-15,513 0 -15,513
83,16 24,09 107,25

28
Per quanto riguarda la verifica della barretta, faremo uso di due metodi. Il primo consiste nel confrontare
una sollecitazione ideale (ottenuta riconducendo lo stato di sollecitazione triassiale ad uno
monodimensionale) con il limite ammesso per la sollecitazione (rappresentato dal limite di snervamento -
= 310,85 ):
, =
( − ) + ( − ) + ( − )
2
= 163,48 < ; , = 167,26 <
L’altro metodo è quello relativo alla normativa ASME (applicata in campo nucleare) sez. III . In questo caso
si combinano le tensioni primarie e secondarie e la massima differenza algebrica tra le tensioni deve essere
inferiore a tre volte la massima sollecitazione ammessa. , = 550 − 650
La massima differenza algebrica, per le due pareti, è data da:
· parete interna: − = 188,761
·parete esterna: − = 190,513
La massima sollecitazione ammessa è = 310,85 = 207,23 , quindi:
( − ) = 188,76
( − ) = 190,513
< 3(207,23 ) = 621,7
Questo criterio è quindi soddisfatto. La verifica però, va fatta anche considerando le sole tensioni primarie.
In questo caso le norme ASME ci dicono che il valore massimo tra le differenze algebriche delle
sollecitazioni primarie (quelle dovute alla pressione) deve essere minore del minimo valore tra 2
3 e
1
3 . Quindi:
· parete interna: ( − ) = 215 > 207,23
· parete esterna: ( − ) = 166,423 < 207,23
Da cui si vede che per la parete interna, il criterio non è verificato (i valori massimi calcolati sono
comunque minori della tensione di snervamento). (*)
Dato che il calcolo è stato fatto assumendo in principio una pressione interna di 39,86 MPa con reattore
depressurizzato, il fatto che ( − ) > 2
3 ci dice che la pressione interna ipotizzata è troppo
alta. Per trovare il valore della pressione interna che ci consente di rispettare i limiti richiesti, conoscendo
le espressioni di e relativamente alla parete interna e considerando le sole sollecitazioni dovute alla
pressione, dobbiamo risolvere per ‘ ’ la seguente relazione:
( − ) < 2
3 ⟹ =
( + ) − 2
−
− (− ) < 207,23
Dove il raggio esterno e quello interno non variano, e neanche la pressione esterna dato che il criterio
riguardante la parete esterna è soddisfatto. Abbiamo quindi:
< 201,23
−
2
+ 2 = 38,98 ⟹ < 38,98

29
Assumendo quindi per la pressione interna il seguente valore = 32 , troviamo:
Dove l’indice ‘P’ sta per ‘Primary’, ‘th’ per ‘Thermal’ e ‘tot’ per ‘total’. Infine abbiamo:
- con il metodo delle sollecitazioni ideali:
parete interna: , = 103,47
parete esterna: , = 121,55
< = 310,85
- secondo le nome ASME (considerando le sollecitazioni totali):
parete interna: ( − ) = 119,451
parete esterna: ( − ) = 136,703
< 3 2
3 = 621,7
- secondo le nome ASME (considerando le sollecitazioni di pressione):
< 2
3 = 207,23
La pressione massima ammissibile internamente alla barretta può quindi essere presa pari a =320 bar.
(*)Tornando alle relazioni delle tensioni e svolgendo i calcoli assumendo che la = 39,86 mentre
= 0,1 (cioè con il reattore depressurizzato):
Parete Interna Parete Esterna
[ ] 113,69 97,1
[ ] -32 -15,513
[ ] 56,32 56,32
[ ] -26,239 24,09
[ ] 0 0
[ ] -26,239 24,09
[ ] 87,451 121,19
[ ] -32 -15,513
[ ] 30,081 80,41
[ ] 311,25 271,54
[ ] -39,86 -0,1
[ ] 135,82 135,82
[ ] -26,239 24,09
[ ] 0 0
[ ] -26,239 24,09
[ ] 285,011 295,63
[ ] -39,86 -0,1

30
Procedendo quindi con le verifiche:
- con il metodo delle sollecitazioni ideali:
parete interna: , = 281,64
parete esterna: , = 256,39
< = 310,85
- secondo le nome ASME (considerando le sollecitazioni totali):
parete interna: ( − ) = 324,871 (°)
< 3 2
3 = 621,7
- secondo le nome ASME (considerando le sollecitazioni di pressione):
< 2
3 = 207,23
Da cui si vede che, oltre a non verificare l’ultima condizione, le (°) superano il limite di snervamento
quando la = 39,86 e il reattore è depressurizzato.
In conclusione la pressione massima ammissibile all’interno della barretta è di = 320 . questa sarà il
dato di partenza con cui si dimensiona il gas plenum. Sappiamo infatti che a inizio vita, per evitare
l’implosione della barretta, questa viene riempita con un gas inerte (tipicamente elio) ad una ≅ /10
(nel nostro caso = 0,5 ). In modo tale da ridurre la differenza di pressione tra interno ed esterno
ed evitare il collasso (se ponessi a inizio vita = i gas non uscirebbero). I gas di fissione andranno
poi ad aumentare la . A fine vita devo mettermi nella condizione peggiore, avrò quindi il massimo dei
gas di fissione quindi la massima pressione, e il reattore depressurizzato ( = 0,1 = 1 ). Quindi
tutto il carico sulla barretta me lo troverò come pressione interna. La barretta viene quindi
pre-pressurizzata all’inizio per evitare il collasso, devo però fare anche in modo che la pressione interna
finale non superi un certo valore limite ( = 320 nel nostro caso) essendoci = 0,1
all’esterno. Bisogna quindi dimensionare il gas plenum con il massimo dei gas di fissione prodotti, alla fine
troverò il volume minimo affinché la < 320 (dettata dalla resistenza meccanica della barretta). Il
volume minimo può essere ricavato dalla legge dei gas perfetti:
= dove è la pressione massima ammissibile. Per quanto riguarda il volume invece,
possiamo scrivere: = ( ) quindi: = .
Per quanto riguarda i gas di fissione, ammettiamo che vengano tutti accomunati come se fossero Xe e Kr
equivalenti, dei quali è nota la resa di fissione (assunta pari al 28%). Conosciamo inoltre il tasso di rilascio
che alle temperature tipiche è del 40%. Assumiamo inoltre che siano presenti 25ppm di N2 e 75ppm di H2O
(le prime come impurità e le seconde come umidità residua), valutate rispetto al quantitativo in massa di
UO2. La quantità di massa di biossido di uranio presente in una barretta è pari a:
=
4
= 2354,43
[ ] 109,581 159,91

31
Mentre le moli di N2 (P.M.=28) e H2O (P.M.=18) sono:
= (25 × 10 )
2354,43
28
= 2,102 × 10
= (75 × 10 )
2354,43
18
= 9,81 × 10
Deducibili dalle relazioni valutate in una delle appendici.
Il numero di moli di gas di fissione viene invece ricavato dalla: =
ℜ
. Bisogna quindi innanzitutto
calcolare il numero di fissioni avvenute nella barretta durante la sua vita, questo posso trovarlo dal B.U. .
Sapendo che è espresso in MWd/tU devo moltiplicarlo per la massa di uranio (la cui formula è stata già
ricavata relativamente al calcolo della potenza specifica) e dividerlo per l’energia sviluppata da una singola
fissione (espressa in MW prodotti al giorno per fissione: MWd/fissione):
=
. . ( )
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ . . = 60000
=
( . . )
( . . )
= 2075,28 = 2,075 × 10
= 200 = 200 × 10 = 3,2 × 10 = 3,2 × 10 ( )/3600(
ℎ
)/24(
ℎ
) =
= 3,704 × 10 = 3,704 × 10
Quindi otteniamo = 3,36 × 10 , mentre Y = 0,28 è la resa di fissione; ℜ = 0,4 è il rateo di
rilascio e = 6,022 × 10 è il numero di Avogadro (per il passaggio da atomi a moli). Possiamo
quindi calcolarci: = 6,25 × 10 , queste, sommate alle moli di gas presenti
complessivamente a fine vita dovute a impurità e umidità, forniscono il numero totale di moli che si
raccoglieranno nel gas plenum: = + + = 7,44 × 10 .
L’ultimo parametro che manca è la temperatura dei gas presenti. Sappiamo che il gas plenum si trova nella
parte superiore della barretta; i gas usciranno dalla superficie del combustibile (o percorreranno l’asse
centrale), possiamo quindi pensare che questi gas si trovino alla temperatura superficiale del combustibile
relativamente all’ultima pellet. Come temperatura possiamo quindi prendere: = = , relativa
quindi all’ultima pellet, sapendo che:
( ) = , + sin + 1 + cos
Valutata nel punto più critico, quindi in corrispondenza della macchia calda:
Γ = 0,525 ; c = 5479,96 ; = 492,492 ; = 426,7 ; =
2
⟹ cos = 0
Per cui: = = 308,57℃ = 581,72 , valutata in condizioni di sovra-potenza al 120% della potenza
nominale. Possiamo quindi valutare il volume minimo e l’altezza minima del gas plenum:
= = 1,124 × 10 = 11,24 = 20,49
Dove la costante universale dei gas: = 8314,34 ( )
= 8,31434 .

32
Ricordiamo che inizialmente si era assunta un’altezza di 23,3cm; naturalmente quella reale (altezza) dovrà
essere maggiore per tener conto di una molla elicoidale, di una eventuale pastiglia terminale in aluminia e
dei margini di sicurezza. Vediamo ora, per concludere, se abbiamo fatto bene a considerare il vapor
d’acqua come un gas perfetto. Iniziamo col calcolare la pressione del vapore alla = nel Vmin ;
non essendoci solo il vapore all’interno, la pressione sarà una pressione parziale:
= = 4,22 × 10 = 4,22 = 42,2
La massa presente: = ( . . ) = 0,17658 ; mentre il volume specifico effettivo, cioè i
, è pari a: = = 63,65 = 0,06365 .
Ora, sapendo che quel ′ ′, alla = 308,57℃, è quello corrispondente ad una pressione del vapore
surriscaldato di circa 38 bar, avendo trovato una = 42,2 > 38 l’approssimazione fatta risulta
essere conservativa. Con le ipotesi fatte (vapor d’acqua come gas perfetto) troviamo infatti una pressione
maggiore di quella che avremmo trovato se avessimo considerato il gas come vapore surriscaldato; quindi
volendo considerare le condizioni peggiori, considerarlo come gas perfetto ci permette di sovrastimare la
pressione interna massima che si genera e quindi il volume minimo in modo da portarci ancora di più in
condizioni di sicurezza.

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