bài 5.1.docx Sinh học di truyền đại cương năm nhất của học sinh y đa khoa
Một số lớp bài toán tối ưu không lồi, Thuật toán và ứng dụng.pdf
1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
PHẠM THỊ HOÀI
MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI:
THUẬT TOÁN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2020
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
PHẠM THỊ HOÀI
MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI:
THUẬT TOÁN VÀ ỨNG DỤNG
Ngành: Toán học
Mã số: 9460101
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. NGUYỄN CẢNH NAM
2. GS. TSKH. LÊ THỊ HOÀI AN
Hà Nội - 2020
3. LỜI CAM ĐOAN
Bản luận án này được hoàn thành tại Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại
học Bách khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Cảnh Nam và
GS. TSKH. Lê Thị Hoài An.
Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa
từng được tác giả khác công bố. Các đồng tác giả đã đồng ý với việc đưa các kết quả
công bố chung vào luận án.
Hà Nội, ngày tháng năm 2020
Thay mặt tập thể hướng dẫn
TS. Nguyễn Cảnh Nam
Nghiên cứu sinh
Phạm Thị Hoài
i
4. LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của TS. Nguyễn
Cảnh Nam và GS. TSKH. Lê Thị Hoài An. Tác giả xin được bày tỏ lòng kính trọng
và biết ơn sâu sắc tới Thầy, Cô. Thầy Cô đã luôn ân cần hướng dẫn, chỉ bảo cho tác
giả kiến thức về chuyên môn, từng bước định hướng nghiên cứu và truyền cho tác giả
niềm đam mê nghiên cứu khoa học, ý thức tự học, tự tìm tòi bằng tấm gương của mình
trong công việc cũng như trong cuộc sống. Những lời động viên, khích lệ của Thầy
Cô là nguồn động lực to lớn để tác giả có thể vượt qua những khó khăn và trở ngại
trên con đường học tập và nghiên cứu, tự tin bước tiếp trên con đường mình đã chọn.
Trong quá trình học tập nói chung và thực hiện luận án này nói riêng, tác giả cũng
nhận được sự quan tâm, giúp đỡ, chỉ dẫn tận tình cùng những lời khuyên quý báu của
GS. Hoàng Tụy, GS. TSKH. Lê Dũng Mưu, PGS. TS. Nguyễn Thị Bạch Kim, GS.
TSKH. Nguyễn Đông Yên, TS. Tạ Anh Sơn, TS. Trần Ngọc Thăng, TS. Trần Đức
Quỳnh, TS. Lê Quang Thủy, TS. Nguyễn Thị Bích Thủy, TS. Nguyễn Quang Thuận.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy Cô.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Tổ chức Cán bộ, Phòng Đào
tạo - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong
suốt quá trình làm việc, học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo cùng toàn thể cán bộ
Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, đã giúp đỡ, tạo
điều kiện để tác giả vừa có thể hoàn thành công tác và vừa có thời gian học tập, hoàn
thành chương trình nghiên cứu sinh.
Trong quá trình thực hiện luận án tác giả cũng nhận được sự hỗ trợ của Quỹ Phát
triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) về kinh phí tham gia báo cáo
tại hội thảo khoa học quốc tế và sự giúp đỡ tài trợ từ dự án của GS. TSKH. Lê Thị
Hoài An trong thời gian học tập tại phòng nghiên cứu về khoa học máy tính và ứng
dụng, Đại học Lorraine, Cộng Hòa Pháp. Ngoài ra tác giả cũng nhận được kinh phí
tài trợ mua vật tư, dụng cụ, tài liệu từ chương trình học bổng 911 trong nước. Tác giả
trân trọng cảm ơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Đỗ Đức Thuận, TS. Nguyễn Phương
Thùy, TS. Nguyễn Hải Sơn, TS. Trịnh Ngọc Hải cùng các Thầy Cô và anh chị em
đồng nghiệp trong Xêmina Lý thuyết tối ưu và ứng dụng và Xêmina Bài toán cân
bằng, bài toán điểm bất động và các vấn đề liên quan, Viện Toán ứng dụng và Tin
học - Đại học Bách khoa Hà Nội, đã dành cho tác giả những cơ hội học tập trao đổi
chuyên môn cùng những ý kiến đóng góp quý báu giúp cho tác giả hiểu sâu sắc hơn
ii
5. vấn đề nghiên cứu của mình.
Cuối cùng tác giả xin dành lời cảm ơn đặc biệt gửi tới những người thân yêu trong
gia đình cùng bạn bè của tác giả - những người đã, đang và sẽ là hậu phương vững
chắc, cho tác giả nguồn cổ vũ và động viên tinh thần lớn lao để tác giả có thể hoàn
thành công việc, học tập, nghiên cứu nói chung và việc viết luận án này nói riêng.
iii
6. MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT vi
DANH MỤC BẢNG vi
DANH MỤC HÌNH VẼ viii
MỞ ĐẦU 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6
1.1 Tối ưu DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Thuật toán DCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Tối ưu đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Thuật toán giải bài toán tối ưu đơn điệu . . . . . . . . . . . . 18
Chương 2. THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG
LỒI TRONG VIỄN THÔNG 25
2.1 Thuật toán giải bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây
OFDMA/TDD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Mô tả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 Bài toán tối ưu DC đa diện tương đương với bài toán (RAP) . 29
2.1.3 Thuật toán toàn cục giải bài toán phân bổ tài nguyên cho
mạng không dây OFDMA/TDD (RAP) . . . . . . . . . . . . 32
2.1.4 Kết quả tính toán thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Thuật toán giải bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến
vô tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Mô tả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tương đương với bài toán (SCEP) 38
2.2.3 Thuật toán toàn cục nhánh-giảm-cận (BRB) giải bài toán (SCEP) 42
2.2.4 Kết quả tính toán thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Chương 3. THUẬT TOÁN TRÊN KHÔNG GIAN ẢNH GIẢI BÀI TOÁN
TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU RỜI RẠC 57
3.1 Bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
iv
7. 3.2 Thuật toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục
tiêu rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.1 Biểu diễn miền tìm kiếm của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời
rạc (MODO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.2 Thuật toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu
đa mục tiêu rời rạc (MODO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.3 Kết quả tính toán thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Thuật toán giải bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu của bài toán tối ưu đa
mục tiêu rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.1 Mô tả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.2 Thuật toán toàn cục giải bài toán . . . . . . . . . . . . . 79
( )
P
3.3.3 Kết quả tính toán thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
KẾT LUẬN CHUNG 89
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 91
TÀI LIỆU THAM KHẢO 92
v
8. DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
0 véc-tơ không với số chiều phù hợp
x ∈ Rn
x x
= ( 1, .. . ,x n )T
, xi ∈ R, i , . . . , n
= 1
x, y ∈ R n , x y x
≤ i ≤ y i , i , . . . , n
= 1
x, y ∈ R n
, x y i , . . . , n x
6≤ ∃ ∈ {1 } : i > yi ,
x, y ∈ R n
, x < y x i < y i , i , . . . , n
= 1
Rn
+ { ∈
x R n
| ≥ }
x 0
u x y, x, y
= ∨ ∈ R n
ui = max{x i , yi }, i , . . . , n
= 1
v x y, x, y
= ∧ ∈ R n
vi = min{x i, yi}, i , . . . , n
= 1
ei véc-tơ đơn vị thứ trong
i R n , tức là, ei
i = 1, e i
j = 0 =
, j
∀ 6 i
[ ]
a, b , a, b ∈ Rn { ∈
x R n
| ≤ ≤ }
a x b
( ]
a, b , a, b ∈ Rn
{ ∈
x R n
| ≤ }
a < x b
[ )
a, b , a, b ∈ Rn
{ ∈
x R n
| ≤ }
a x < b
#S S
số phần tử của tập
cl bao đóng của tập
G G
V P P
( ) tập đỉnh của tập
vi
9. BB Branch and Bound
Thuật toán nhánh cận
BRB Branch-Reduce-Bound
Thuật toán nhánh-giảm-cận
DC Difference of two Convex functions
Hiệu hai hàm lồi
DCA DC Algorithm
Thuật toán hiệu hai hàm lồi
DMO Discrete Monotonic Optimization
Tối ưu đơn điệu rời rạc
FDMA Frequency Division Multiple Access
Đa truy nhập phân chia theo tần số
MO Monotonic Optimization
Tối ưu đơn điệu
OFDMA Orthogonal Frequency Division Multiple Access
Đa truy nhập phân chia theo tần số trực giao
SCEP Sensor Cover Energy Problem
Bài toán năng lượng phủ cảm biến
TDD Time Division Duplexing
Song công phân chia theo thời gian
TDMA Time Division Multiple Access
Đa truy nhập phân chia theo thời gian
t.ư. tương ứng
v.đ.k. với điều kiện
vii
10. DANH MỤC BẢNG
2.1 Kết quả giải bài toán (RAP) bằng Thuật toán 2.2 và Thuật toán 2.3 . . 36
2.2 Kết quả áp dụng các Thuật toán 2.4, 2.5, 2.6 cho bài toán (SCEP) . . . 50
2.3 Kết quả áp dụng Thuật toán 2.5 cho bài toán (SCEP) . . . . . . . . . 51
3.1 Dữ liệu của Ví dụ 3.1 [69] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1- RA . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1- RE . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1- NEWVERTEX . . . . . . . . . 75
3.5 Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1 với các thủ tục cập nhật miền
tìm kiếm và các cách quản lí khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6 Kết quả tính toán thử nghiệm Thuật toán 3.2 . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7 Kết quả so sánh Thuật toán 3.3 và Thuật toán 3.4 . . . . . . . . . . . 87
viii
12. 2.24 n=500, m=100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.25 n=500, m=1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.26 n=750, m=150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.27 n=750, m=1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.28 n=1000, m=500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1 Minh họa Ví dụ 3.1 [69] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Khởi tạo, và
N = ∅ S N y
( ) = [ I , b) . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Bước 1, N y
= { 1} và S N y
( ) = [ I
, u1
) [
∪ yI
, u2) . . . . . . . 61
3.4 Bước 2, N y
= { 1
, y2} và S N y
( ) = [ I
, u2) [
∪ yI
, u12) . . . . 62
3.5 Bước 3, N y
= { 1
, y2
, y3} và S N y
( ) = [ I
, u12
) [
∪ yI
, u21) . . . . . . 62
3.6 Bước 4, N y
= { 1
, y2
, y3} và S N y
( ) = [ I
, u21) . . . . . . . . . . . . 62
3.7 Minh họa Ví dụ 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.8 Minh họa Ví dụ 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.9 Số phần tử của tập V Y
(
) nhỏ hơn rất nhiều so với số phần tử của tập
Y, Y
N hay conv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
V ( Y )
3.10 Minh họa Ví dụ 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
x
13. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tối ưu không lồi tối ưu toàn cục
và là những vấn đề quan trọng của lí thuyết tối
ưu với rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Công trình của GS. Hoàng Tụy năm 1964 [1]
về việc tìm nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán cực tiểu một hàm lõm với ràng buộc
tuyến tính là xuất phát điểm cho hàng loạt những nghiên cứu về tối ưu không lồi và tối
ưu toàn cục của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước sau này. Trải qua hơn nửa
thế kỷ, những công trình nghiên cứu về vấn đề này vô cùng đa dạng, phong phú cả về
lí thuyết, phương pháp, thuật toán và ứng dụng. Tuy nhiên, do nhu cầu ứng dụng, sự
hấp dẫn về mặt toán học cũng như tính phức tạp của bài toán tối ưu không lồi nên cho
đến nay, việc nghiên cứu giải quyết hiệu quả các bài toán này vẫn mang tính thời sự
và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước (xem Tụy
[2] và danh mục các tài liệu tham khảo kèm theo).
Khó khăn lớn nhất của bài toán tối ưu không lồi tổng quát chính là sự có mặt của
tính không lồi. Điểm khác biệt cơ bản so với bài toán tối ưu lồi là không có một đặc
trưng cụ thể nào cho nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán tối ưu không lồi. Đối với bài
toán tối ưu không lồi liên tục thì nghiệm tối ưu địa phương chưa chắc đã là nghiệm
tối ưu toàn cục của bài toán. Do đó việc tìm nghiệm tối ưu toàn cục cho một bài toán
tối ưu không lồi, đặc biệt trong trường hợp số chiều lớn là vô cùng khó khăn. Một số
phương pháp chung nổi tiếng giải toàn cục bài toán tối ưu không lồi phải kể đến là:
phương pháp nhánh cận, phương pháp nhánh cắt, phương pháp siêu phẳng cắt. Theo
một tiếp cận khác, ta có thể giải bài toán tối ưu không lồi bằng cách sử dụng những
phương pháp tìm nghiệm tối ưu địa phương. Một trong những thuật toán địa phương
hiệu quả được áp dụng cho rất nhiều lớp bài toán tối ưu không lồi, kể cả những bài
toán cỡ lớn, là thuật toán DCA (Difference of two Convex functions Algorithm) (xem
An và Tảo [3] và danh mục các tài liệu tham khảo kèm theo).
Theo GS. Hoàng Tụy [2], nhiều bài toán tối ưu không lồi có thể được xem xét
dưới hai cấu trúc: cấu trúc DC (difference of two convex functions) hoặc cấu trúc DM
(difference of two monotonic functions). Tùy vào đặc điểm của từng bài toán mà ta
chọn cách nhìn nhận phù hợp để có được lời giải hiệu quả. Đặc biệt đối với những mô
hình bài toán cụ thể trong thực tế, việc vận dụng và kết hợp các phương pháp và thuật
toán một cách linh hoạt rất quan trọng vì nó sẽ giúp việc giải quyết vấn đề trở nên
dễ dàng hơn. Chẳng hạn, thông thường, việc giải toàn cục các bài toán tối ưu rời rạc
1
14. (thuộc lớp bài toán tối ưu không lồi) gặp khó khăn khi sử dụng các thuật toán truyền
thống như: nhánh cận, nhánh cắt, siêu phẳng cắt. .. nhưng sau khi chuyển về một bài
toán tối ưu liên tục, kết hợp với một số kĩ thuật trong tối ưu thì việc giải quyết trở nên
dễ dàng hơn (xem [3, 4]...). Vậy, ngược lại, liệu có thể đưa một bài toán tối ưu không
lồi liên tục về một bài toán tối ưu rời rạc với một lời giải dễ dàng và hiệu quả hơn
không? Trong luận án này, chúng tôi sẽ nghiên cứu thuật toán giải hai bài toán tối ưu
không lồi trong viễn thông, trong đó có vận dụng cả hai cách tiếp cận này.
Như đã biết, các phương pháp giải bài toán tối ưu không lồi được ứng dụng rộng
rãi để giải quyết rất nhiều bài toán tối ưu một hàm mục tiêu duy nhất theo những điều
kiện nhất định. Với những bài toán cần tối ưu đồng thời nhiều mục tiêu khác nhau thì
ta cần các công cụ của Quy hoạch đa mục tiêu (hay Tối ưu đa mục tiêu Tối ưu véc
hoặc
tơ). Mục đích của bài toán tối ưu đa mục tiêu là tìm cực đại hoặc cực tiểu của đồng
thời hàm mục tiêu
m ≥ 2 f 1, . . . , f m trên một tập khác rỗng X ⊂ R n . Do không gian
giá trị Rm không có thứ tự đầy đủ nên trong tối ưu đa mục tiêu, khái niệm nghiệm
hữu hiệu nghiệm Pareto
(hay ) được sử dụng thay cho khái niệm nghiệm tối ưu thông
thường. Việc xác định một phần hoặc toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu XE của bài toán
tối ưu đa mục tiêu là một nhiệm vụ khó khăn, đòi hỏi thời gian và khối lượng tính toán
rất lớn vì ngay trong trường hợp bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính, tức bài
toán tối ưu đồng thời hàm mục tiêu tuyến tính trên một tập lồi đa diện khác rỗng
m
thì tập nghiệm hữu hiệu XE , nói chung, đã là tập không lồi với cấu trúc rất phức tạp.
Do đó, khối lượng tính toán để xác định toàn bộ XE tăng rất nhanh khi số chiều của
không gian quyết định Rn , số hàm mục tiêu và số ràng buộc biểu diễn tập tăng
m X
(xem Benson [5]).
Tuy nhiên, thông thường, rất nhiều bài toán tối ưu đa mục tiêu nảy sinh trong thực
tế thường có số hàm mục tiêu nhỏ hơn rất nhiều thứ nguyên của không gian quyết
m n
định Rn nên đã có khá nhiều thuật toán được đề xuất để giải bài toán tối ưu đa mục
tiêu theo hướng tiếp cận trên không gian ảnh. Cụ thể, thay vì xác định một phần hoặc
toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu XE , các thuật toán này sẽ cho phép xác định một phần
hoặc toàn bộ tập giá trị hữu hiệu YN = (
f X E ) ( ) = (
, f
trong đó x f 1( )
x , . . . , f m ( ))
x T
.
Vì nên cấu trúc của
m n
Y N đơn giản hơn nhiều so với cấu trúc của XE và tiếp
cận trên không gian ảnh, cho phép giảm đáng kể thời gian tính toán.
Bài toán tối ưu đa mục tiêu liên tục đã được nghiên cứu từ lâu theo cách tiếp cận
trên không gian quyết định cũng như không gian ảnh với rất nhiều thuật toán được
đề xuất (xem [6, 7, 8, 9, 10] và danh mục tham khảo kèm theo). Tuy nhiên, trong
khoảng hơn một thập kỉ trở lại đây, bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc được nghiên
cứu bằng nhiều phương pháp khác nhau như: -ràng buộc, vô hướng hóa Tchebycheff,
ε
vô hướng hóa tổng có trọng và các phương pháp biến thể khác (xem [11, 12, 13, 14,
15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25]). Trong đó, đáng chú ý phải kể đến một số
công trình như: Przybylski [25], Klamroth và cộng sự [24], Dächert và Klamroth [13],
2
15. Dächert và cộng sự [23] với các thuật toán hiệu quả được đề xuất. Những công trình
này ([13, 23, 24, 25]) sử dụng (generic method, viết tắt là GM) để tìm
lược đồ chung
toàn bộ tập điểm giá trị hữu hiệu như sau: các điểm giá trị hữu hiệu được tìm ra sau
mỗi bước lặp bằng cách sử dụng phép vô hướng hóa; sau bước giải bài toán vô hướng
hóa, một phần không gian của tập ảnh sẽ được loại bỏ để tiếp tục tìm kiếm những
điểm giá trị hữu hiệu còn lại. Miền ở trong không gian ảnh được sử dụng trong việc
tìm kiếm điểm giá trị hữu hiệu được cập nhật sau mỗi bước lặp và được gọi chung là
miền tìm kiếm (the search region). Việc nghiên cứu cấu trúc và cách cập nhật miền
tìm kiếm đóng vai trò quan trọng và ảnh hưởng đến tính hiệu quả của phương pháp
này (xem [13, 23, 24, 25]).
Một bài toán tối ưu không lồi liên quan chặt chẽ với bài toán tối ưu đa mục tiêu là
Bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu (hay Bài toán tối ưu trên tập Pareto). Đó là bài toán
tối ưu một hàm số trên tập nghiệm hữu hiệu XE của bài toán tối ưu đa mục tiêu. Việc
giải bài toán này giúp ta chọn được một nghiệm hữu hiệu tốt nhất theo một mục tiêu
nào đó mà không nhất thiết phải xác định toàn bộ XE . Điều này có ý nghĩa đặc biệt
trong việc lựa chọn các phương án để đưa ra quyết định thích hợp. Bài toán tối ưu trên
tập Pareto được nghiên cứu lần đầu trong công trình của Philip [26] cho trường hợp
tuyến tính. Hướng nghiên cứu này sau đó thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả
trong và ngoài nước (xem [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37] và danh mục các
tài liệu tham khảo kèm theo). Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay
chưa có nghiên cứu nào cho trường hợp bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu với hàm mục
tiêu tựa lõm, đơn điệu tăng và bài toán tối ưu đa mục tiêu tương ứng có tập chấp nhận
được là tập hữu hạn điểm. Thông thường, bài toán tối ưu đa mục tiêu dạng này là mô
hình toán học của các bài toán thực tế mà số liệu được cho bằng phương pháp thống
kê.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận án này, chúng tôi tiến hành các nghiên cứu sau:
• Mô hình hóa bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD
dưới dạng một bài toán tối ưu rời rạc và đưa bài toán này về một bài toán tối ưu
DC, đề xuất thuật toán toàn cục (nhánh cận kết hợp DCA) để giải.
• Nghiên cứu bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến
(SCEP) được đề xuất bởi Astorino và Miglionico [39]. Đây là một bài toán tối
ưu (liên tục) không lồi khó với ràng buộc không lồi. Astorino và Miglionico
[39] đã đề xuất một thuật toán dựa trên tiếp cận địa phương để giải. Chúng tôi
đưa bài toán (SCEP) về dạng một bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc và xây dựng
thuật toán toàn cục dựa trên lược đồ nhánh-giảm-cận để giải. Ngoài ra, chúng
tôi cũng đề xuất thêm một thuật toán địa phương hiệu quả cho bài toán (SCEP).
3
16. • Xuất phát từ ý nghĩa quan trọng của miền tìm kiếm đối với bài toán tối ưu đa
mục tiêu rời rạc chúng tôi sử dụng khái niệm đa khối (polyblock) nửa mở cho
việc biểu diễn miền tìm kiếm. Từ đó có được cái nhìn trực quan về miền tìm
kiếm của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc. Bên cạnh việc đề xuất một thủ tục
mới cập nhật miền tìm kiếm cho lược đồ chung GM để tìm toàn bộ tập điểm giá
trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc, chúng tôi cũng nghiên cứu
sự ảnh hưởng việc quản lí những bài toán con (chính là những bài toán có được
nhờ phép vô hướng hóa) được lưu trong suốt quá trình tìm kiếm đến tính hiệu
quả của lược đồ GM. Theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay vấn đề này vẫn
chưa được nghiên cứu.
• Chúng tôi xét một lớp các bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu với hàm mục tiêu
(của bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu) là đơn điệu tăng tựa lõm, tập ràng buộc
là tập hữu hiệu XE của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc có miền ràng buộc X
bao gồm hữu hạn các điểm cho trước. Chúng tôi đề xuất thuật toán toàn cục giải
bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu này.
3. Đối tượng nghiên cứu
• Bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD.
• Bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến.
• Bài toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc.
• Bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu của một bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc.
4. Phạm vi nghiên cứu
• Nghiên cứu xây dựng mô hình.
• Nghiên cứu đề xuất thuật toán giải những bài toán quan tâm.
• Tính toán thử nghiệm những thuật toán mới và so sánh với những thuật toán
khác.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Kết quả thu được của đề tài góp một phần nhỏ làm phong phú thêm cho lí thuyết
tối ưu nói chung và tối ưu không lồi nói riêng. Tính hiệu quả của các thuật toán đề
xuất đều được chúng tôi minh họa thông qua việc lập trình chạy thử nghiệm so sánh
với các thuật toán khác cho rất nhiều các ví dụ sinh ngẫu nhiên và các ví dụ có sẵn với
nhiều cỡ bài toán khác nhau. Những thuật toán mới đề xuất này có thể được áp dụng
vào việc giải quyết những vấn đề tương tự trong thực tiễn một cách hiệu quả.
4
17. 6. Cấu trúc và kết quả của luận án
Nội dung chính của luận án được chia thành ba chương như sau:
Chương 1: “Kiến thức chuẩn bị” trình bày một số khái niệm, kết quả và thuật toán
quan trọng của tối ưu DC, tối ưu đơn điệu. Các kết quả ở đây có thể xem là sự chuẩn
bị về mặt lý thuyết để giải ba bài toán tối ưu không lồi trong Chương 2 và Chương 3.
Chương 2: “ ”.
Một số thuật toán giải hai bài toán tối ưu không lồi trong viễn thông
Chương này dành để trình bày những kết quả liên quan đến việc nghiên cứu hai bài
toán tối ưu không lồi trong viễn thông là: bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không
dây OFDMA/TDD và bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến.
Chương 3: “Thuật toán giải một số bài toán trong tối ưu đa mục tiêu rời rạc”.
Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu liên quan tới bài toán tìm toàn bộ tập
giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc và bài toán tối ưu trên tập hữu
hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc.
Các kết quả của luận án đã được công bố trong ba bài báo được nhận đăng ở các
tạp chí Computer Operations Research, Optimization Letters, Pacific Journal of
&
Optimization, một bài đăng trong kỉ yếu hội nghị quốc tế về kĩ thuật công nghiệp và
quản lí hệ thống Lần thứ 7, 11-13/10/2017 tại Đại học khoa học ứng dụng Saarland,
Saarbrucken, Đức, và một bài báo đang gửi đăng tại tạp chí 4OR A Quarterly Journal
of Operations Research. Các kết quả này đã được tác giả báo cáo tại:
• Xêmina Lý thuyết tối ưu và ứng dụng, Bộ môn Toán ứng dụng, Viện Toán ứng
dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, ngày 19/11/2015, 17/12/2015,
24/03/2016,
• Xêmina Bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động và các vấn đề liên quan, Viện
Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, ngày 17/05/2016,
• Hội nghị Toàn quốc Lần thứ 4 về Ứng dụng toán học, tổ chức tại Đại học kinh
tế quốc dân, Hà Nội, ngày 23-25/12/2015,
• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học Lần thứ 14, Ba Vì, ngày 21-23/04/2016,
• Hội nghị quốc tế về kĩ thuật công nghiệp và quản lí hệ thống Lần thứ 7, 11-
13/10/2017, tại Đại học khoa học ứng dụng Saarland, Saarbrucken, Đức, (7th
International Conference on Industrial Engineering and Systems Management,
Saarland University of Applied Sciences, Saarbrucken, Germany, date 11-13/10/2017),
• Xêmina Khoa học dữ liệu và tối ưu các hệ thống phức tạp, phòng nghiên cứu
Opt-Data, Khoa quốc tế, Đại học quốc gia Hà Nội, ngày 04/12/2018.
• Xêmina Bộ môn Toán ứng dụng, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách
Khoa Hà Nội, ngày 18/02/2019.
5
18. Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này được dành để nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản liên quan
đến tối ưu DC (Mục 1.1) và tối ưu đơn điệu (Mục 1.2). Nội dung chính của chương
này được tham khảo trong [2, 3, 40, 41, 42, 43, 44].
1.1 Tối ưu DC
Mục này sẽ nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản liên quan đến bài toán tối
ưu DC và thuật toán DCA.
1.1.1 Một số khái niệm cơ bản
Nếu hàm số xác định trên một tập
f C ⊂ R n thì ta luôn có thể mở rộng nó thành
một hàm xác định trên toàn không gian Rn bằng cách đặt với mọi
f x
( ) = +∞ x /
∈ C.
Vì vậy không giảm tính tổng quát trong những phần tiếp theo của Mục 1.1 chúng ta sẽ
xét hàm f : R n → ∪ {−∞ ∞}
R , + (tức là một hàm xác định trên toàn không gian)
và quy ước rằng + (+ ) = +
∞ − ∞ ∞.
Kí hiệu:
domf x
= { ∈ R n
| ∞}
f x <
( ) + (miền hữu hiệu của hàmf ,
)
epif x, t
= (
{ ) ∈ R n
× | ≤ }
R f x
( ) t (trên đồ thị của hàmf .
)
Hàm được gọi là
f
(i) chính thường nếu dom và với mọi
f 6 ∅
= f x >
( ) −∞ x ∈ R n
;
(ii) nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi
nửa liên tục dưới x0
∈ Rn, tức là
lim inf
x x
→ 0
f x f x
( ) ≥ ( 0
) với mọi x0
∈ Rn
;
(iii) nếu với mọi
lồi x1
, x2
∈ Rn, λ ,
∈ [0 1] ta có
f λx
( 1
+ (1 )
− λ x 2
) (
≤ λf x 1
) + (1 ) (
− λ f x 2
).
6
19. Ngoài ra được gọi là nếu là hàm lồi; nếu vừa lồi vừa lõm;
f lõm −f aphin f f
được gọi là lồi chính thường nếu vừa lồi vừa chính thường. Rõ ràng, từ định
f
nghĩa ta có lồi nếu và chỉ nếu trên đồ thị của nó là một tập lồi. Xem minh họa
f
ở Hình 1.1.
epif
y=f(x)
x
y
Hình 1.1: Minh họa trên đồ thị của hàm lồi y f x
= ( )
Kí hiệu Γ0(Rn ) là tập tất cả các hàm nửa liên tục dưới, lồi chính thường trên R n
;
h i k k
., . và . tương ứng là tích vô hướng và chuẩn Euclide trong R n
.
Ví dụ 1.1. (i) Hàm chỉ của một tập lồi khác rỗng
C
χ C ( ) =
x (
0 nếu x C
∈
+∞ nếu trái lại
là một hàm lồi chính thường.
(ii) Hàm chuẩn của một véc-tơ || ||
x p = (
P
i |xi |p
)1/p ( 1)
p ≥ là hàm lồi chính
thường. Nói riêng chuẩn Euclide || || h i
x = x, x 1 2
/
cũng là một hàm lồi chính
thường.
(iii) Hàm toàn phương trong đó là ma trận thực
f x / x, Qx x, a α,
( ) = 1 2 h i h
+ i + Q
đối xứng cấp n n a
× ; ∈ R n và Nếu là ma trận nửa xác định dương
α .
∈ R Q
thì là hàm lồi.
f x
( )
(iv) Hàm
θ x
( ) = max{
ai
, x
− α i , i , . . . , m χ
= 1 } + C ( )
x ,
với ai ∈ Rn
, α i ∈ R R
, i , . . . , m C
= 1 ; là tập lồi đa diện khác rỗng trong n , là
hàm lồi và được gọi là hàm lồi đa diện.
Hàm f ∗ xác định bởi
f ∗
( ) = sup ( )
y {h i −
x, y f x | ∈
x R n
}, với y ∈ R n
7
20. được gọi là của
hàm liên hợp f.
Hàm bao lồi đóng của hàm , kí hiệu là là một hàm có trên đồ thị là bao lồi
f cof,
đóng của trên đồ thị của Hàm được gọi là nếu hàm bao lồi đóng của nó
f. lồi đóng
là chính nó. Như vậy nếu f ∈ Γ 0(Rn) thì là hàm lồi đóng và từ [41, Hệ quả 10.1,
f
trang 154] ta suy ra mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1. Nếu f ∈ Γ 0(Rn) thì f ∗
∈ Γ0(Rn ) và f ∗∗
= f.
Ví dụ 1.2. (i) Hàm lồi toàn phương f x
( ) = 1
2 xT
Qx q
+ T x, với là ma trận đối
Q
xứng xác định dương cấp và
n n
× q ∈ R n, có
f ∗
( ) = sup ( )
y {h i −
x, y f x | ∈
x R n
}
= sup{h i −
x, y
1
2
xT
Qx q
− T
x x
| ∈ R n
}
= sup{−
1
2
xT
Qx y q
+ ( − ) T
x x
| ∈ R n
}
=
1
2
( )
y q
− T
Q−1
( )
y q
− .
Như vậy, hàm liên hợp của một dạng toàn phương đối xứng xác định dương cũng
là một dạng toàn phương, đối xứng xác định dương. Trong trường hợp đặc biệt
ta có hàm liên hợp của hàm
1
2
|| ||
x 2 là chính nó (xem [41, trang 152]).
(ii) Hàm liên hợp của hàm chỉ
χ∗
C ( ) = sup
y {h i −
x, y χ C ( )
x | ∈
x R n
}
= sup{h i | ∈ }
x, y x C .
Cho véc-tơ
ε > ,
0 p ∈ R n được gọi là một ε-dưới gradient của hàm chính thường
f x
tại 0 (x0 ∈ dom ) nếu
f
p, x x
− 0
≤ −
f x
( ) f x
( 0) + ε với mọi x ∈ R n
.
Tập tất cả các -dưới gradient được gọi là của tại
ε ε-dưới vi phân f x 0. Kí hiệu là
∂εf x
( 0
).
Véc-tơ p ∈ Rn được gọi là dưới gradient của hàm chính thường tại
f x 0 (x0
∈
dom ) nếu
f
p, x x
− 0
≤ −
f x
( ) f x
( 0
) với mọi x ∈ R n
.
Tập tất cả các dưới gradient được gọi là của tại
dưới vi phân f x 0. ∂f x
Kí hiệu là ( 0
).
Như vậy ta có ∂f x
( 0) = ∩ ε>0 ∂εf x
( 0
).
Định lí sau cho ta biết sự tồn tại của -dưới vi phân và dưới vi phân của một hàm
ε
chính thường.
8
21. Định lí 1.1. ([44, Định lí 2.9, trang 19] và [44, Định lí 2.10, trang 20])
(i) Với bất kì, mỗi hàm lồi chính thường trên
ε > 0 f R n đều có -dưới vi phân
ε
khác rỗng tại mỗi điểm x0 ∈ domf.
(ii) Mọi hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới trên
f R n , f
tức ∈ Γ 0(Rn ), có dưới
vi phân không rỗng tại mỗi điểm x0 ∈ int(dom )
f .
Kí hiệu
dom =
∂f { ∈
x R n
| 6 ∅}
∂f x
( ) = .
Như vậy, theo Định lí 1.1 nếu f ∈ Γ 0(Rn ) dom
thì int(dom )
f ⊂ ∂f.
Ví dụ 1.3. (i) Nếu hàm khả vi tại
f x 0 thì ∂f x
( 0
) = (
{∇f x 0
)}.
(ii) Dưới vi phân của hàm chỉ χC ( )
· của một tập lồi là
C
∂χ C( ) = 0 =
x { | h − i ≤
p p, z x ∀ ∈ }
z C N C ( )
x ,
trong đó NC( )
x là của tại
nón pháp tuyến C x 0.
(iii) Dưới vi phân của hàm là
f x x
( ) = || ||
∂f x
( ) = (
{ ∈
p Rn
| || || ≤ }
p 1 khi = 0
x
{ ∈
p Rn
| || || h i || ||} 6
p = 1, p, x = x khi x = 0.
Chi tiết chứng minh có thể tham khảo [44, trang 22].
(iv) Xét hàm φ y
( ) = sup x C
∈ h i
x, y , với là tập lồi trong
C R n. p ∂φ y
Khi đó ∈ ( 0
)
khi và chỉ khi
φ y φ y
( ) − ( 0
) ≥
p, y y
− 0
∀ ∈
y Rn
⇔ sup
x C
∈
h i − h i ≥
x, y p, y sup
x C
∈
x, y0
−
p, y0
∀ ∈
y Rn
⇔
p, y0
= sup
x C
∈
x, y0
.
Trường hợp đặc biệt, dưới vi phân của hàm χ ∗
C( ) = sup
y x C
∈ h i
x, y , y
tại 0 chính
là nghiệm tối ưu của bài toán tối ưu lồi sau
max
x C
∈
x, y0
.
9
22. Bài toán tối ưu DC và đối ngẫu DC
Bài toán tối ưu DC (hay còn gọi là bài toán tối ưu hiệu hai hàm lồi) là một trong
những lớp bài toán quan trọng của tối ưu không lồi được nghiên cứu mạnh trong hơn
nửa thập kỉ gần đây với rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Theo [3, 44], hầu hết các bài
toán tối ưu không lồi có thể đưa về một bài toán tối ưu DC. Bài toán tối ưu DC tổng
quát có dạng
α g
= inf{ 1( )
x − h 1 ( )
x | ∈
x C, u 1( )
x − u 2( ) 0
x ≤ },
trong đó g1, h1, u1, u2 là các hàm lồi trên tập lồi C ⊂ Rn . Tuy nhiên, theo [3], bằng
cách sử dụng định lí về hàm phạt chính xác và hàm chỉ χC , bài toán này có thể viết
lại được dưới dạng
α f x g x h x x
= inf{ ( ) = ( ) − ( ) | ∈ R n }, (P)
với là các hàm lồi trên
g, h Rn . g, h
Khi thỏa mãn thêm điều kiện nửa liên tục dưới
trên R n (tức g,h ∈ Γ 0(Rn)) ta sẽ thu được mối liên hệ giữa bài toán (P) và bài toán
đối ngẫu của nó cùng kết quả về điều kiện tối ưu. Những nội dung này sẽ được trình
bày dưới đây, trích từ các tài liệu [3, 45] và danh mục tài liệu tham khảo kèm theo.
Hàm trong bài toán (P) được gọi là còn được gọi là các
f hàm DC g,h thành phần
DC bài toán tối ưu DC
của Bài toán (P) được gọi là một
f. . Nếu hoặc là hàm lồi
g h
đa diện thì bài toán (P) được gọi là . Nếu và có giá trị
bài toán tối ưu DC đa diện g h
hữu hạn trên Rn thì ta nói là trên
f hàm DC hữu hạn R n
.
Theo định nghĩa của hàm liên hợp và Mệnh đề 1.1 ta có
α g x h x x
= inf{ ( ) − ( ) | ∈ R n
}
= inf ( )
{g x − h ∗∗
( )
x | ∈
x R n
}
= inf ( ) sup
{g x −
y∈Rn
{h i −
x, y h ∗
( )
y } | ∈
x R n
}
= inf ( )
{β y | ∈
y R n
}
với
β y g x x, y h
( ) = inf{ ( ) (
− h i − ∗
( ))
y | ∈
x R n
}
= (
h∗
( )
y − g ∗( ) dom
y nếu y ∈ h ∗
+∞ trường hợp còn lại.
Như vậy bài toán (P) tương đương với bài toán
α h
= inf{ ∗
( )
y − g ∗
( ) dom
y | ∈
y h ∗
}.
10
23. Chú ý rằng với quy ước ta có thể viết lại bài toán trên như sau
+ (+ ) = +
∞ − ∞ ∞
α h
= inf{ ∗
( )
y − g ∗
( )
y | ∈
y R n}. (D)
Như vậy bài toán (P) và bài toán (D) là cặp bài toán đối ngẫu đối xứng, tức là bài toán
(D) là đối ngẫu của bài toán (P) và bài toán (P) là đối ngẫu của bài toán (D). Để tránh
trường hợp tầm thường khi giá trị của có thể bằng ta luôn giả thiết
α −∞
dom dom dom
g ⊂ h và h ∗
⊂ domg∗
trong những phần tiếp theo.
Điểm x∗ được gọi là của trên
cực tiểu địa phương g h
− R n nếu g x
( ∗
) (
−h x ∗) hữu
hạn (tức x∗ ∈ ∩
domg domh U x
) và tồn tại một lân cận của ∗ thỏa mãn
g x
( ∗
) (
− h x ∗) ( ) ( )
≤ g x − h x , x U.
∀ ∈ (1.1)
Với quy ước bất đẳng thức (1.1) tương đương với
+ (+ ) = +
∞ − ∞ ∞,
g x
( ∗
) (
− h x ∗
) ( ) ( ) dom
≤ g x − h x , x U
∀ ∈ ∩ g.
Điểm x∗ được gọi là của nếu
điểm tới hạn g h
− ∂g x
( ∗
) (
∩ ∂h x∗
) =
6 ∅.
Định lí sau cho ta điều kiện cần và đủ của nghiệm tối ưu của bài toán (P) và (D)
và mô tả mối quan hệ giữa hai tập nghiệm của cặp bài toán đối ngẫu này.
Định lí 1.2. (Xem [40, Định lí 1 ]) Kí hiệu và tương ứng là tập nghiệm của bài
P D
toán (P) và (D). Khi đó
(i) nếu và chỉ nếu
x ∈ P ∂ εh x ∂
( ) ⊂ εg x
( ) với mọi ε > 0;
(ii) nếu và chỉ nếu
y ∈ D ∂εg∗
( )
y ⊂ ∂εh∗( )
y với mọi ε > 0;
(iii)
S
{ | ∈ P} ⊂ D ⊂
∂h x
( ) x domh ∗
;
(iv)
S
{∂g∗
( ) dom
y | ∈ D} ⊂ P ⊂
y g.
Theo khẳng định (iii) và (iv) của Định lí 1.2, việc giải bài toán gốc (P) tương
đương với việc giải bài toán đối ngẫu (D). Như vậy trong nhiều trường hợp, khi bài
toán gốc "khó giải", ta có thể giải bài toán đối ngẫu. Khẳng định (i) và (ii) của Định lí
1.2 cho phép kiểm tra một điểm cho trước có phải là nghiệm tối ưu toàn cục của bài
toán gốc (P) hay bài toán đối ngẫu (D) hay không. Tuy nhiên những điều kiện này rất
khó để kiểm tra trong thực tế. Khi đó chúng ta có thể sử dụng kết quả dưới đây liên
quan đến tính tối ưu địa phương.
11
24. Định lí 1.3. (Xem [46, Định lí 1] hoặc [40, Định lí 2]) Kí hiệu:
P` = {x ∗
∈ |
X ∂h x
( ∗
) (
⊂ ∂g x ∗
)},
D` = {x ∗
∈ |
X ∂g ∗
(x∗
) ⊂ ∂h ∗
(x∗
)}.
(i) Nếu x∗ là cực tiểu địa phương của thì
g h
− x ∗
∈ P` , ∂h x
tức là ( ∗
) (
⊂ ∂g x∗
).
Ngược lại nếu thỏa mãn thêm điều kiện là hàm lồi đa diện thì từ
h ∂h x
( ∗
) ⊂
∂g x
( ∗) kéo theo x∗ là cực tiểu địa phương của g h.
−
(ii) Cho x∗ là điểm tới hạn của và
g h
− y ∗
∈ ∂g x
( ∗
) (
∩ ∂h x ∗). U
Gọi là lân cận
của x ∗ sao cho U g ∂h.
∩ dom ⊂ dom
Nếu với mỗi tồn tại sao cho
x U g
∈ ∩ dom y ∂h x
∈ ( )
h∗
( )
y − g ∗
( )
y ≥ h ∗
(y∗
) − g ∗
(y∗
)
thì x∗ là cực tiểu địa phương của tức
g h,
−
g x h x g x
( ) − ( ) ≥ ( ∗
) (
− g x ∗
) dom
, x U
∀ ∈ ∩ g.
1.1.2 Thuật toán DCA
Hầu hết các bài toán tối ưu DC là không lồi và việc tìm nghiệm tối ưu toàn cục
của nó đòi hỏi chi phí lớn về thời gian. Vì vậy trong nhiều trường hợp người ta sử
dụng các phương pháp tối ưu địa phương để giải sao cho đảm bảo tính hiệu quả cũng
như chất lượng của nghiệm thu được, đặc biệt khi làm việc với các bài toán cỡ lớn
(large-scale). DCA là một trong những thuật toán như vậy. Thuật toán DCA được đề
xuất lần đầu bởi GS. Phạm Đình Tảo năm 1986, sau đó được nghiên cứu phát triển,
mở rộng trong rất nhiều các công trình hợp tác của GS. Lê Thị Hoài An và GS. Phạm
Đình Tảo từ năm 1994. Cho đến nay DCA trở thành một công cụ hữu ích giải quyết
được nhiều mô hình bài toán trong thực tế và ứng dụng, kể cả những bài toán cỡ lớn
(xem [3] và danh mục tài liệu tham khảo kèm theo).
Ý tưởng chính của DCA là xây dựng hai dãy {xk } và {yk} sao cho giá trị tương
ứng của hàm mục tiêu của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu giảm dần. Hơn nữa hai
điểm tụ của hai dãy tương ứng là điểm tới hạn của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu.
Nói cách khác, trong DCA hai dãy {xk} và {yk} được xây dựng sao cho
(i) Hai dãy { −
(g h x
)( k)} và {(h ∗
− g ∗
)(yk)} là hai dãy giảm.
(ii) Mỗi điểm tụ x∗ ( tương ứng (t.ư.1
), y∗) của dãy {xk } {
(t.ư., yk }) là điểm tới hạn
của (t.ư.,
g h
− h ∗
− g ∗).
1
Từ đây chữ "tương ứng" sẽ được viết tắt là "t.ư.".
12
25. Cụ thể, với điểm xuất phát x0 ∈ {
domg, các điểm x k} {
và yk } được xác định lần lượt
bởi
yk
∈ ∂h x
( k
); xk+1
∈ ∂g∗
(yk
)( 0)
k ≥ .
Theo định nghĩa của hàm liên hợp và dưới vi phân, yk
, xk+1 ( 0)
k ≥ , lần lượt là
nghiệm của hai bài toán tối ưu lồi sau đây
yk
∈ {
argmin h ∗
( ) [
y − g ∗
(yk−1
) +
xk
, y y
− k−1
] : y ∈ Rn} (D k)
xk+1
∈ { −
argmin g x
( ) [ (
h x k
) +
x x
− k
, yk
] : x ∈ Rn }. P
( k)
Bài toán (P k) thực chất là một bài toán tối ưu lồi thu được từ bài toán (P) bằng
cách thay bởi hàm xấp xỉ aphin tại
h y k
∈ ∂h x
( k ) (
. Tương tự, bài toán lồi D k) thu
được từ bài toán (D) bằng cách thay g∗ bởi hàm xấp xỉ aphin tại xk
∈ ∂g∗
(yk−1 ). Tuy
nhiên khi áp dụng DCA ta thường chọn là hàm lồi sao cho có thể tính qua
h ∂h x
( )
công thức tường minh. Khi đó việc áp dụng DCA được quy về việc giải một dãy các
bài toán tối ưu lồi. Sau đây là lược đồ tóm tắt của DCA giải bài toán (P) (xem [47]).
Khởi tạo: Chọn điểm khởi tạo x0 ∈ dom 0 := 0 :=
g, >
số thực đủ nhỏ, k , er
1.
Bước 1: Tính yk
∈ ∂h x
( k
)
Bước 2: Tính xk+1
∈ ∂g∗
(yk) = ( )
argmin{g x − hx, y k
i | ∈
x R n
}
Bước 3: Cập nhật er := min
||x k+1
− x k
||
max{kx kk }
, 1
,
|f x
( k+1
) (
− f x k
)|
max (
{|f x k) 1
|, } .
Bước 4: Nếu thì dừng thuật toán, kết luận
er < xk+1 là nghiệm thu được bởi
DCA. Ngược lại gán và quay lại .
k k
:= + 1 Bước 1
Các kết quả về sự hội tụ và tính chất của thuật toán DCA, có thể xem chi tiết trong
[40, Mục 3.1].
1.2 Tối ưu đơn điệu
Trong mục này, các khái niệm và kết quả cơ bản trong tối ưu đơn điệu và tối ưu
đơn điệu rời rạc được nhắc lại cùng thuật toán nhánh-giảm-cận cho bài toán tối ưu đơn
điệu rời rạc. Nội dung chính của mục được tham khảo trong tài liệu [2, 42, 43, 44].
1.2.1 Một số khái niệm cơ bản
Cho x, y, a, b ∈ R n. x y x < y x
Khi đó, ≤ (t.ư., ) nếu i ≤ y i (t.ư., xi < y i) với mọi
i , ..., n. a b a, b
= 1 Nếu ≤ thì hộp [ ] được xác định bởi
[ ] =
a, b { ∈
x R n
| ≤ ≤ }
a x b ,
13
26. hộp nửa mở dưới ( ]
a, b được xác định bởi
( ] =
a, b { ∈
x R n
| ≤ }
a < x b
và hộp nửa mở trên [ )
a, b được xác định bởi
[ ) =
a, b { ∈
x R n
| ≤ }
a x < b .
Phép tuyển x y u
∨ = với u i = max{x i , yi} ∧
, i , ..., n v x
= 1 và phép hội = y với
vi = min{x i , yi}, i , ..., n.
= 1 Với mỗi i , ..., n, e
= 1 i là véc-tơ đơn vị thứ của
i Rn
.
Hàm f : R n
+ → ≤
R được gọi là nếu
tăng f x
( ) f x
( 0) với 0 ≤ ≤
x x 0
; tăng chặt
nếu f x < f x
( ) ( 0) với 0 ≤ x < x 0. f f
Hàm được gọi là hàm nếu
giảm − là hàm tăng.
Một hàm được gọi là nếu nó là hàm tăng hoặc hàm giảm.
đơn điệu
Ví dụ 1.4. Hàm sản xuất và lợi ích trong kinh tế
m
X
j=1
cj
n
Y
i=1
x
a ij
i
với cj ≥ 0, a ij ≥ 0
là hàm tăng. Trường hợp đặc biệt hàm Cobb-Douglas f x
( ) =
Q
i xai
i , ai ≥ 0, cũng là
hàm tăng.
Chú ý 1.1. Nếu f1( )
x , f 2 ( )
x là các hàm tăng thì
(i) λ1 f1( ) +
x λ 2f2( )
x với λ 1, λ 2 ∈ R+ là hàm tăng.
(ii) Hàm max{f 1 ( )
x , f 2( )
x } và min{f 1( )
x , f 2 ( )
x } cũng là hàm tăng.
Tập được gọi là nếu thì Tập được
G a, b
⊂ [ ] chuẩn x G
∈ [ ]
a, x ⊂ G. H a, b
⊂ [ ]
gọi là đối chuẩn nếu thì Như vậy nếu là hàm tăng trên
x H
∈ [ ]
x, b ⊂ H. g x ,h x
( ) ( )
[ ] = [ ] ( ) 0
a, b thì G { ∈
x a, b |g x ≤ } là tập chuẩn và là tập
H x a, b h x
= { ∈ [ ]| ( ) 0
≥ }
đối chuẩn.
Ví dụ 1.5. Tập ∅ { }
, 0 , Rn
+ đều là những tập chuẩn và ta gọi nó là những tập chuẩn tầm
thường trong Rn
+ . G G x
Nếu là tập chuẩn thì ∪ { ∈ R n
+ | x i = 0} với i , . . . , n
∈ {1 }
là tập chuẩn.
Mệnh đề sau nêu lên mối quan hệ giữa tập chuẩn, đối chuẩn và hàm đơn điệu tăng.
Mệnh đề 1.2. (Xem [2, Mệnh đề 11.2, trang 392]
(i) Giả sử là hàm tăng trên
g x
( ) R n
+ và Khi đó tập
α .
∈ R G x
= { ∈ R n
+ | ≤
g x
( )
α} là chuẩn và đóng nếu là hàm nửa liên tục dưới. Ngược lại, với mọi tập
g x
( )
chuẩn, đóng G ⊂ R n
+ có phần trong khác rỗng luôn tồn tại một hàm tăng, nửa
liên tục dưới g : Rn
+ → ∈
R và α R sao cho G x
= { ∈ R n
+ | ≤ }
g x
( ) α .
14
27. (ii) Giả sử là hàm tăng trên
h x
( ) R n
+ và Khi đó tập
α .
∈ R H x
= { ∈ R n
+ |
h x α
( ) ≥ } là đối chuẩn và đóng nếu là hàm nửa liên tục trên. Ngược lại,
h x
( )
với mọi tập đối chuẩn, đóng H ⊂ R n
+ sao cho R n H có phần trong khác rỗng
luôn tồn tại một hàm tăng, nửa liên tục trên h : R n
+ → ∈
R và α R sao cho
H x
= { ∈ R n
+ | ≥ }
g x
( ) α .
Điểm y ∈ Rn được gọi là điểm biên trên điểm biên dưới
(t.ư., ) của tập chuẩn
G a, b
⊂ [ ] (t.ư., đối chuẩn ) nếu (t.ư., ) và không tồn tại
H a, b
⊂ [ ] y G
∈ cl y H
∈ cl
điểm (t.ư., ) sao cho với (t.ư., ). Tập tất
x G
∈ x H
∈ x a λ y a
= + ( − ) λ > 1 λ < 1
cả các điểm biên trên (t.ư., dưới) của (t.ư., ) được gọi là
G H biên trên biên dưới
(t.ư., )
và kí hiệu là ∂+ G ∂
(t.ư., − H). Xem minh họa ở Hình 1.2.
a
b
G
H
biêntrêncủaG
∂ G
+
biêndướicủa
∂ H
-
Hình 1.2: Minh họa tập chuẩn, đối chuẩn và biên trên, biên dưới tương ứng của chúng
Mệnh đề 1.3. (Xem [2, Mệnh đề 11.3, trang 393])
(i) Giả sử là tập chuẩn compact với phần trong khác rỗng. Khi đó với
G a, b
⊂ [ ]
mọi điểm đường thẳng đi qua và giao với
z a, b a ,
∈ [ ] { } a z ∂ + G tại một điểm
duy nhất πG( )
z xác định bởi công thức
πG( ) = + ( ) = max 0 + ( )
z a λ z a
− , λ { |
α α > , a α z a
− ∈ }
G . (1.2)
(ii) Giả sử là tập đóng, đối chuẩn với
H a, b
⊂ [ ] b ∈ intH. Khi đó với mỗi điểm
z a, b H z
∈ [ ] đường thẳng đi qua và cắt
b ∂ − H ρ
tại một điểm duy nhất H ( )
z
xác định bởi công thức
ρH( ) = ( ) = max 0 ( )
z b λ
− z b
− , λ { |
β β > , b β
− z b
− ∈ }
G . (1.3)
Bao chuẩn bao đối chuẩn
(t.ư., ) của tập được xác định là tập chuẩn (t.ư.,
A a, b
⊂ [ ]
đối chuẩn) nhỏ nhất chứa A.
15
28. Giả sử (t.ư., ) là bao chuẩn (t.ư., đối chuẩn) của tập hữu hạn Khi
P Q T a, b .
⊂ [ ]
đó (t.ư., ) được gọi là một (t.ư., ) với . Từ Mệnh đề
P Q đa khối đối đa khối tập đỉnh T
1 trong [42] ta có đa khối P = ∪ z T
∈ [ ] =
a, z (t.ư., đối đa khối Q ∪ z T
∈ [ ]
z, b ). Đỉnh
z T P Q
∈ của đa khối (t.ư., đối đa khối ) được gọi là đỉnh chính nếu không tồn tại
một đỉnh z0 6= z, z
sao cho 0 ≥ z z
(t.ư., 0 ≤ z T
). Đỉnh là đỉnh thuộc
không chính
và không phải đỉnh chính. Đương nhiên một đa khối (t.ư., đối đa khối) được xác định
hoàn toàn bởi tập đỉnh chính của nó; hay nói cách khác đa khối (t.ư., đối đa khối)
chính là bao chuẩn (t.ư., bao đối chuẩn) của tập đỉnh chính của nó. Xem minh họa ở
Hình 1.3, 1.4.
Trường hợp P 0
=
S
z T
∈
[ )
a, z (t.ư., Q 0
=
S
z T
∈
( ]
z, b ) thì ta gọi P0 (t.ư., Q0
) là đa khối
nửa mở (t.ư., đối đa khối nửa mở) với tập đỉnh Và tương tự, ta có các khái niệm
T.
đỉnh chính đỉnh không chính
và của đa khối nửa mở (t.ư., đối đa khối nửa mở); một
đa khối nửa mở (t.ư., đối đa khối nửa mở) cũng hoàn toàn được xác định nếu biết tập
các đỉnh chính của nó.
Hình 1.3: Đa khối với tập đỉnh
{u1
,u2
,u3
,u4
}, trong đó {u 1
,u2
,u4
}
là tập đỉnh chính, u 3
là đỉnh không chính
Hình 1.4: Đối đa khối với tập đỉnh chính
{z1
,z2
,z3
}
Mệnh đề 1.4. (Xem [2, Mệnh đề 11.6, trang 395])
(i) Giao của một số hữu hạn các đa khối cũng là một đa khối.
(ii) Giao của một số hữu hạn các đối đa khối cũng là một đối đa khối.
Chứng minh. Giả sử P1 = ∪ y T
∈ 1 [ ]
a, y , P2 = ∪ z T
∈ 2
[ ] =
a, z . P
Khi đó ta có P 1 ∩P2 =
∪y T
∈ 1,z T
∈ 2
[ ]
a, y z
∧ . Như vậy là đa khối với tập đỉnh
P { ∧ ∈
y z, y T 1 , z T
∈ 2}. Tương
tự, nếu T1, T2 là các tập đỉnh của các đối đa khối Q1, Q2 thì Q1 ∩ Q2 là một đối đa
khối với tập đỉnh { ∨ ∈
y z, y T1, z T
∈ 2}.
Mệnh đề 1.5. (Xem [42, Mệnh đề 3])
(i) Cực đại của hàm tăng trên một đa khối đạt được trên một đỉnh chính của
f x
( )
đa khối đó.
16
29. (ii) Cực tiểu của hàm tăng trên một đối đa khối đạt được trên một đỉnh chính
f x
( )
của đối đa khối.
Mệnh đề sau tương tự như [42, Bổ đề 4].
Mệnh đề 1.6. (i) Giả sử Khi đó tập là một đa khối với các
a x b.
≤ ≤ [ ] ( ]
a, b x, b
đỉnh
ui
= + (
b x i − bi )ei
, i , . . . , n,
= 1 (1.4)
tức [ ] ( ] =
a, b x, b ∪ n
i=1 [a, ui
].
(ii) Nếu khi đó tập là một đối đa khối với các đỉnh
a x b
≤ ≤ [ ] [ )
a, b a, x
vi
= + (
a x i − a i )ei
, i , . . . , n,
= 1 (1.5)
tức [ ] [ ) =
a, b a, x ∪ n
i=1 [vi
, b .
]
Chú ý 1.2. Các kết quả trong Mệnh đề 1.4 và 1.6 cũng đúng cho trường hợp đa khối
nửa mở và đối đa khối nửa mở.
Mệnh đề 1.7. Cho là một hàm tăng trên Khi đó
f x
( ) [ ]
a, b .
(i) Mỗi đỉnh chính của đa khối trong đều là nghiệm tối ưu địa phương của
P [ ]
a, b
bài toán max ( )
{f x | ∈ }
x P .
(ii) Mỗi đỉnh chính của đối đa khối trong đều là nghiệm tối ưu địa phương
Q [ ]
a, b
của bài toán min ( )
{f x | ∈ }
x Q .
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh (i). Gọi là một đỉnh chính bất kì của . Do tập
z P
các đỉnh chính của là hữu hạn nên tồn tại một quả cầu tâm bán kính
P B z, ε
( ) z, ε
không chứa bất kì đỉnh chính nào khác. Chú ý rằng, đạt cực đại trên tại
f x
( ) [ ]
a, z z
nên với mọi . Do đó là cực đại địa
f y f z
( ) ≤ ( ) y B z, ε a, z B z, ε P
∈ ( ) [
∩ ] = ( ) ∩ z
phương của trên .
f x
( ) P
Cho là các hàm tăng trên
f, g,h [ ]
a, b ⊂ R n
+ . Bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc,
kí hiệu là (MO), được phát biểu như sau
max ( ) ( ) 0 ( ) [ ]
{f x | g x ≤ ≤ h x , x ∈ a, b }. (MO)
Giả sử S ⊂ Rs
+ , với là một tập rời rạc. Khi đó bài toán
s n,
≤
max ( ) ( ) 0 ( ) [ ] (
{f x | g x ≤ ≤ h x , x ∈ a, b , x 1, . . . , x s ) ∈ }
S (DMO)
được gọi là bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc chính tắc.
17
30. Chú ý 1.3. (i) Bài toán cực tiểu đơn điệu
min ( ) ( ) 0 ( ) [ ]
{f x | g x ≤ ≤ h x , x ∈ a, b }, (1.6)
trong đó là các hàm tăng trên
f, g, h [ ]
a, b ⊂ R n
+ , có thể đưa về bài toán tối ưu
đơn điệu chính tắc (MO) như sau. Đặt x a b y,
= + −
˜
f y f a b y ,
( ) = − ( + − ) g̃ y g a b y ,
( ) = − ( + − ) h̃ y h a b y .
( ) = − ( + − )
Khi đó bài toán (1.6) tương đương với bài toán
max{ ˜
f y
( ) | h̃ y
( ) 0 ˜
≤ ≤g y ,y a, b ,
( ) ∈ [ ]}
có dạng giống như bài toán (MO).
(ii) Bài toán tối ưu đơn điệu tổng quát
max ( ) ( ) 0 ( ) [ ]
{f x | g x ≤ ≤ h x , x ∈ a, b },
trong đó f x f
( ) = +
( )
x − f − ( )
x và f +
, f − , g, h : R n
+ → R là các hàm tăng
cũng đưa được về dạng chính tắc (MO). Chi tiết, xem [2, trang 397].
(iii) Các ý (i) và (ii) cũng đúng cho bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc.
Giả sử là các hàm nửa liên tục trên và là hàm nửa liên tục dưới.
f x , g x
( ) ( ) h x
( )
Khi đó tập là tập chuẩn, compact còn
G x a, b g x
= { ∈ [ ] | ( ) 0
≤ } H x a, b
= { ∈ [ ] |
h x
( ) 0
≥ } là tập đối chuẩn compact và bài toán (MO) tương đương với bài toán sau
max ( )
{f x | ∈ ∩ }
x G H . (MO’)
Đặt S∗
= [ ] (
{ ∈
x a, b | x 1, . . . , x s ) ∈ }
S . Khi đó bài toán (DMO) trở thành
max ( )
{f x | ∈ ∩ ∩
x G H S ∗
}.
1.2.2 Thuật toán giải bài toán tối ưu đơn điệu
Thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối giải bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc
Theo [43, Mệnh đề 7], sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc
(MO’) được mô tả trong kết quả sau
Mệnh đề 1.8. Nếu tập thì bài toán (MO’) có ít nhất một nghiệm thuộc
G H
∩ 6 ∅
=
∂+
G H.
∩
18
31. Tương tự như mối quan hệ giữa tập lồi compact và đa diện lồi, mối quan hệ giữa
tập chuẩn compact và đa khối được mô tả bởi Mệnh đề 1.9 và Hệ quả 1.1 sau đây.
Mệnh đề 1.9. (Xem [2, Mệnh đề 11.12, trang 398]) Cho tập là tập chuẩn,
G a, b
⊂ [ ]
compact và z a, b G, y π
∈ [ ] = G( ) =
z . P
Khi đó đa khối ∪ n
i=1 [a, ui], với các đỉnh
ui
= + (
b y i − bi )ei
, i , . . . , n
= 1
tách chặt và tức là
z G, P G, z P G.
⊃ ∈
Hình 1.5: Minh họa Mệnh đề 1.9
Hình 1.5 minh họa hình học của Mệnh đề 1.9 trong R2
.
Hệ quả 1.1. (Xem [2, Hệ quả 11.1, trang 398]) Mọi tập chuẩn compact là giao của
một họ các đa khối. Nói cách khác, mỗi tập chuẩn compact đều có thể được xấp xỉ bởi
một đa khối với độ sai khác tùy ý.
Từ những kết quả trên ta thấy rằng bài toán (MO’) có thể được giải bằng cách xấp
xỉ ngoài miền chấp nhận được bởi dãy các đa khối lồng nhau {Pk}k∈N thỏa mãn
[ ] =
a, b P 0 ⊃ P 1 ⊃ · · · ⊃ ∩
G H, (1.7)
và
max ( )
{f x | ∈
x P k } & { | ∈ ∩ }
max f x
( ) x G H khi P k & ∩
G H.
Nội dung của thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối được mô tả chi tiết trong [43, 42]. Một
trong những vấn đề mấu chốt của thuật toán đó là cách xây dựng dãy {Pk }k∈N . Quy
trình này được mô tả như sau. Đặt P0 = [ ]
a, b ⊃ G. k
Giả sử tại bước lặp ta đã có
Pk ⊃ G với tập đỉnh Tk. T
Đặt 0
k = T k ∩ H. T
Nếu 0
k = ∅ thì bài toán không có nghiệm
chấp nhận được và ta dừng thuật toán. Ngược lại, lấy zk
∈ { | ∈
argmax f x
( ) x T 0
k}.
19
32. Vì là hàm tăng nên
f x
( ) f z
( k) ( )
là giá trị cực đại của f x trên P k ∩ ⊃ ∩
H G H. Nếu
zk ∈ G z
thì dừng thuật toán vì k ∈ ∩
G H chính là nghiệm tối ưu của bài toán. Trường
hợp còn lại, zk /
∈ G x
thì ta tính k
= π G(zk) và đặt Pk+1 = ([ ] (
a, b x k
, b P
]) ∩ k . Theo
Mệnh đề 1.6, [ ] (
a, b x k , b P
] là một đa khối. Do đó k+1 cũng là một đa khối và thỏa
mãn G P
⊂ k+1 ⊂ P k {z k}. Tiếp tục lặp lại quá trình trên ta sẽ thiết lập được dãy đa
khối {Pk}k∈N thỏa mãn (1.7).
Cách làm trên khá giống với phương pháp xấp xỉ ngoài cho bài toán cực đại một
hàm lồi trên một tập lồi. Vì vậy nó còn được gọi là Thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối
(xem [42, 43]). Dãy điểm {xk }k∈N được sinh ra trong quá trình xây dựng dãy đa khối
{Pk}k∈N ({P k}k∈N thỏa mãn (1.7)) sẽ hội tụ đến nghiệm của bài toán (MO’), tuy
nhiên sự hội tụ là khá chậm. Để tăng tốc thuật toán, các tác giả của bài báo [42] đề
xuất phép cắt giảm hộp để thu gọn miền chấp nhận được và tính cận tốt hơn.
Ý tưởng của phép cắt giảm
Giả sử là một giá trị chấp nhận được tốt nhất hiện tại. Ta cần kiểm
γ f G H
∈ ( ∩ )
tra xem liệu hộp có khả năng chứa ít nhất một nghiệm tối ưu của bài
[ ] [ ]
p, q ⊂ a, b
toán (MO’) hay không, tức là tập
{ ∈ | ≤ ≤ ≥ }
x [ ]
p, q g x
( ) 0 h x , f x
( ) ( ) γ (1.8)
có khác rỗng hay không. Nếu có thì tìm hộp nhỏ hơn [p0
, q0] [ ]
⊂ p, q sao cho tập
{ ∈
x [p0
, q0
] ( ) 0 ( ) ( )
| g x ≤ ≤ h x , f x ≥ }
γ
vẫn khác rỗng. Hộp [p0
, q0] [ ]
được gọi là của hộp
γ−cắt giảm p, q và được kí hiệu là
redγ [ ]
p, q .
Chú ý rằng nếu thì với mọi thỏa mãn (1.8) đường thẳng nối
g q
( ) 0
≥ x p, q
∈ [ ] x
và giao với mặt tại điểm
q g .
( ) = 0 x 0 ∈ [ ]
p, q thỏa mãn
g x
( 0
) = 0 (
≤ h x 0
) (
, f x 0
) ( )
≥ f x ≥ γ.
Do đó hộp [p0
, q0] [ ] ( ) = 0 ( ) ( )
sẽ chứa tất cả các điểm x ∈ p, q thỏa mãn g x ≤ h x , f x ≥
γ, tức là thỏa mãn
g x h
( ) 0
≤ ≤ γ ( ) = min ( ) ( ) ( )
x {g x , h x , f x − }
γ . (1.9)
Mệnh đề sau cho ta cách xác định [p0
, q0
] = red γ [ ]
p, q .
Mệnh đề 1.10. (Xem [2, Bổ đề 11.1, trang 400])
(i) Nếu hoặc
g p >
( ) 0 h γ ( ) 0 [ ]
q < thì không tồn tại x ∈ p, q thỏa mãn (1.9).
20
33. (ii) Nếu thì hộp
g p
( ) 0
≤ [p, q0] với q0
= +
p
P
n
i=1 αi(qi − p i )ei
,
αi = sup 0 1 ( + (
{ |
α ≤ ≤
α , g p α q i − p i)ei ) 0 = 1
≤ }, i , . . . , n, (1.10)
vẫn chứa tất cả những nghiệm chấp nhận được trong hộp thỏa (1.9).
[ ]
p, q
(iii) Nếu g p h
( ) 0
≤ ≤ γ ( )
q thì hộp [p0
, q0
] với p0
= q 0
−
P
n
i=1 βi(q0
i − p i)ei, với
βi = sup 0 1
{ |
β ≤ ≤
β , h γ (q0
− β q
( 0
i − pi )ei ) 0 = 1
≥ }, i , . . . , n, (1.11)
vẫn chứa tất cả những nghiệm chấp nhận được trong hộp thỏa (1.9).
[ ]
p, q
Đối với bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc (DMO), phép cắt giảm có thể được điều
γ−
chỉnh phù hợp với tập Để có thể cắt hộp gọn hơn trường hợp bài toán tối ưu
S. [ ]
p, q
liên tục (MO), ta cần khái niệm S-hiệu chỉnh dưới đây.
Xét hộp Phép
[ ] [ ] [ ]
p, q ⊂ a, b , x ∈ p, q . S-hiệu chỉnh dưới của là điểm
x
b c
x S∗ =x̃, vớix̃ i = (
max{yi| ∈
y S ∗
∪ { }
p , yi ≤ x i}, i , . . . , s,
= 1
xi, i s , . . . , n,
= + 1
(1.12)
và phép S-hiệu chỉnh trên của là điểm
x
d e
x S∗ =x̂, vớix̂ i = (
min{yi| ∈
y S ∗
∪ { }
q , yi ≥ x i }, i , . . . , s,
= 1
xi , i s , . . . , n.
= + 1
(1.13)
Dựa trên [42, Mệnh đề 13], đối với bài toán (DMO), hộp sau khi được cắt
[ ]
p, q γ−
giảm và hiệu chỉnh trở thành
S− red S∗
γ [ ] = [
p, q dp0
eS ∗ , q
b 0
cS∗ ] (tất nhiên, trong trường
hợp redγ [ ] = ( ) 0
p, q 6 ∅, g
nghĩa là p ≤ ≤ hγ( )
q ). Do đó thuật toán xấp xỉ ngoài đa
khối cho bài toán (MO) có thể được mở rộng cho bài toán (DMO) cùng với phép toán
γ S
−cắt giảm và −hiệu chỉnh. Chi tiết thuật toán cùng sự hội tụ của thuật toán (xem
[42, Thuật toán 1 và Định lí 15]).
Bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát và thuật toán nhánh-giảm-cận
Xét bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát
max ( ) ( ) ( ) 0 [ ]
{f x | g x − h x ≤ , x ∈ a, b ∩ S ∗}, (DDM)
trong đó f x f
( ) = +
( )
x − f − ( )
x và f +
, f −
, g, h : Rn
+ → R là các hàm tăng, S∗
=
{ ∈ |
x [ ]
a, b (x 1, . . . , x s ) ∈ }
S với là một tập rời rạc trong
S R s
+ . Để áp dụng được
Thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối cho bài toán (DDM) trước hết ta cần đưa nó về dạng
chính tắc như bài toán (DMO). Việc này sẽ làm tăng số chiều của biến quyết định,
không những vậy, sau mỗi bước lặp số đỉnh của đa khối tăng lên rất nhanh chóng. Lí
21
34. do là thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối có thể xem như thuật toán nhánh cận với phép
chia (mỗi nút được chia thành nút con, là số chiều của biến quyết định). Vì vậy
n n n
các tác giả của bài báo [42] đã đề xuất một thuật toán có thể giải trực tiếp cho bài toán
tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát. Đó là thuật toán nhánh-giảm-cận. Ba kĩ thuật quan
trọng trong thuật toán này là phép chia nhánh, phép cắt giảm và phép tính cận. Các kĩ
thuật này được mô tả chi tiết như dưới đây.
CHIA NHÁNH: Một trong những cách chia hộp phổ biến thường được sử dụng
trong các lược đồ nhánh cận là phép chia đôi. Giả sử xác định
M p, q ,
= [ ]
iM ∈ { }
1, ..., n thỏa q iM −p iM = max i ,...,n
∈{1 } (qi−p i ); đặt r iM = (q i M +p iM ) 2
/
và chia thành hai hộp con
M
M +
= { ∈ |
x M x iM ≥ r i M },
M −
= { ∈ |
x M x iM ≤ r i M }.
CẮT GIẢM: Giống như phép cắt giảm cho thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối, đối
với bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc thủ tục cắt giảm có hai giai đoạn: cắt
γ−
giảm và hiệu chỉnh. Tức là nếu là giá trị chấp nhận được tốt nhất hiện tại
S− γ
thì tính [p0
, q0
] = redγ [ ]
p, q và sau đó redS
∗
γ [ ] = [
p, q dp0eS ∗ , q
b 0
cS∗ ]. Việc tính
p0
, q0 cho bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc đã được cụ thể hóa trong Mệnh đề
1.10, đối với bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát (DDM) ta có thể tính trực
tiếp p0
, q0 thông qua mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.11. (Xem [42, Bổ đề 16]) Giả sử bài toán (DDM) có ít nhất một
nghiệm chấp nhận được thỏa Khi đó
x p, q
∈ [ ] f x γ.
( ) ≥
h q g p , f
( ) − ( ) 0
≥ +
( )
q − f − ( )
p ≥ γ. (1.14)
Hơn nữa tất cả những điểm như vậy phải nằm trong hộp
x [p0
, q0] với
p0
= q −
n
X
i=1
αi(qi − p i )ei
, q0
= p 0
+
n
X
i=1
βi (qi − p0
i )ei, (1.15)
trong đó
αi = sup 0 1 ( (
{ |
α ≤ ≤
α ,h q α
− q i − p i )ei
) ( ) 0
− g p ≥ ,
f +
( (
q α
− q i − pi )ei
) − ≤
γ f −
( )
p }, (1.16)
βi = sup 0 1 (
{ |
β ≤ ≤
β ,g p 0
+ (
β qi − p0
i )ei
) ( ) 0
− h q ≤ ,
f −
(p0
+ (
β q i − p 0
i )ei
) ≤ f +
( )
q − }
γ (1.17)
22
35. với mọi i , . . . , n.
= 1
TÍNH CẬN: Với hộp cho trước, tại mỗi bước lặp cần tính cận trên
M p, q
= [ ]
ω M
( ) thỏa
ω M γ M f x g x h x , x M S
( ) ≥ ( ) = max{ ( ) | ( ) − ( ) 0
≤ ∈ ∩ ∗
}.
Theo [42] để đảm bảo được tính hội tụ của thuật toán, với mọi dãy hộp {Mkν }ν∈N
thắt dần2
về điểm x∗, điều kiện sau cần được thỏa mãn
lim
ν→ ∞
+
ω M
( kν ) = (
f x ∗ ). (1.18)
Đối với bài toán (DDM), một cách lấy cận trên đơn giản nhất và đảm bảo tính
hội tụ của thuật toán là ω M f
( ) = +
( )
q − f − ( )
p . Tuy nhiên cách này chưa chắc
đã hiệu quả. Tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể ta có cách tính cận phù hợp sao
cho thuật toán chạy nhanh nhất có thể.
Sau đây là chi tiết thuật toán nhánh-giảm-cận cho bài toán (DDM) (xem [42, Thuật
toán 2]).
Thuật toán nhánh-giảm-cận (BRB) cho bài toán (DDM)
Khởi tạo: Đặt P 1 := {M 1}, M1 = [ ]
a, b , R 1 = ∅. CBV
Gọi là giá trị hàm mục
tiêu tốt nhất hiện tại. Gán k .
:= 1
Bước 1. Với mỗi hộp [ ]
p, q ∈ Pk, h q g p < p, q
nếu ( ) − ( ) 0 [
thì loại hộp ] ra khỏi
tập P k, p, q
ngược lại gán [ ] := redS∗
γ [ ]
p, q .
Bước 2. Nếu Pk 6 ∅
= , với mỗi hộp M ∈ Pk tính cận trên thỏa mãn (1.18).
ω M
( )
Ngược lại, chuyển sang .
Bước 3
Bước 3. Cập nhật mới và đặt
CBV Rk+1 = { ∈ R
B k ∪ Pk | ≥ }
ω B
( ) CBV ,
Bước 4. Nếu Rk+1 = =
∅ thì dừng thuật toán: nếu CBV −∞ thì bài toán không
có nghiệm chấp nhận được nào, ngược lại x̄ là nghiệm tối ưu của bài toán với
f(x̄ CBV.
) =
Bước 5. Nếu Rk+1 6 ∅
= lấy M
k ∈ { | ∈ R
argmax ω M
( ) M k+1 }. M
Chia k thành
hai hộp Mk1 , Mk2
theo quy tắc đã trình bày ở trên. Đặt P k+1 = {M k1 , Mk2
}. Gán
k k
:= + 1 và quay lại Bước 1.
Định lí sau đảm bảo sự hội tụ của thuật toán BRB.
2Dãy hộp {Mkν }ν∈N được gọi là thắt dần về điểm x∗ nếu Mk1 ⊃ M k2 ⊃ · · · ⊃ {x∗ } và
lim
ν→ ∞
+
d M
( kν
) = 0 (
, d
trong đó M kν
) là cạnh dài nhất của hộp Mkν , ν .
∈ N
23
36. Định lí 1.4. (Xem [42, Định lí 17]) Thuật toán nhánh-giảm-cận (BRB) cho bài toán
(DDM) dừng sau hữu hạn bước lặp và cho kết quả là: nghiệm tối ưu; hoặc tính không
chấp nhận được của bài toán; hoặc (trong trường hợp ) thuật toán sinh ra một
s < n
dãy vô hạn các nghiệm chấp nhận được hội tụ đến nghiệm tối ưu của bài toán.
Kết luận
Chương này đã trình bày một số kết quả cơ bản liên quan đến hai bài toán tiêu biểu
của tối ưu không lồi là tối ưu DC và tối ưu đơn điệu. Cụ thể là:
• Với bài toán tối ưu DC, các khái niệm cơ bản quan trọng trong tối ưu nói chung
và tối ưu DC nói riêng như: hàm lồi chính thường, hàm liên hợp và dưới vi phân
đã được nhắc lại cùng một số kết quả liên quan đến điều kiện tối ưu của bài toán
DC và thuật toán DCA.
• Với tối ưu đơn điệu, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản như: tập chuẩn,
đối chuẩn, đa khối, đối đa khối, đa khối nửa mở, đối đa khối nửa mở,... và một
số kết quả liên quan. Một số dạng khác nhau của bài toán tối ưu đơn điệu cùng
thuật toán xấp xỉ ngoài đa khối cho bài toán tối ưu đơn điệu chính tắc và thuật
toán nhánh-giảm-cận cho bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát cũng được
nhắc lại.
24
37. Chương 2
THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI
TRONG VIỄN THÔNG
Trải qua hơn một thế kỉ, ngành viễn thông đã mang lại cho con người rất nhiều lợi
ích và ngày càng khẳng định được vai trò quan trọng của nó trong bối cảnh của cuộc
cách mạng công nghệ 4.0. Có thể nói, sự phát triển của viễn thông có đóng góp đáng
kể của toán học nói chung và lí thuyết tối ưu nói riêng. Trên thực tế, các bài toán tối
ưu trong xây dựng và điều khiển mạng viễn thông thuộc vào lớp các bài toán tối ưu
không lồi. Nhiều bài toán đã được giải quyết một cách trọn vẹn, tuy nhiên vẫn còn rất
nhiều bài toán mở. Một thuật toán toàn cục hiệu quả hoặc một phương pháp tối ưu địa
phương tốt luôn là đích đến của các nhà mạng. Trong chương này chúng tôi trình bày
hai bài toán như vậy và đề xuất thuật toán toàn cục để giải chúng.
Trong Mục 2.1, chúng tôi xây dựng mô hình toán học cho bài toán phân bổ tài
nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD và đề xuất thuật toán toàn cục nhánh cận
kết hợp DCA giải bài toán này.
Mục 2.2 xét bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến. Xuất
phát từ mô hình bài toán tối ưu không lồi xây dựng bởi Astorino và Miglionico [39],
chúng tôi đưa bài toán này về dạng một bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc và đề xuất
thuật toán toàn cục nhánh-giảm-cận cải tiến và một thuật toán tìm nghiệm tối ưu địa
phương cho bài toán.
Kết quả tính toán thử nghiệm cho thấy được sự hiệu quả của các thuật toán đề xuất.
Nội dung chính của Mục 2.1 và Mục 2.2 là kết quả tương ứng trong các bài báo
[1] và [3] trong Danh mục các công trình đã công bố của luận án.
2.1 Thuật toán giải bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không
dây OFDMA/TDD
Kĩ thuật truyền phát OFDMA/TDD (Orthogonal Frequency Division Multiple
Access/ Time Division Duplexing) ngày nay được ưa chuộng và ứng dụng rộng rãi
trong công nghệ mạng không dây băng thông rộng thế hệ thứ tư như: mạng Wimax
(Worldwide Interoperability for Microwave Access) hay LTE (Long Term Evolution).
OFDMA là tổ hợp của TDMA và FDMA (trong đó dữ liệu có thể được truyền đồng
25
38. thời trong một miền thời gian và miền tần). Với người khai thác mạng viễn thông,
việc tận dụng các kênh truyền dữ liệu một cách hiệu quả rất quan trọng vì nguồn tài
nguyên vô tuyến là hữu hạn, hơn nữa lại ảnh hưởng tới lợi nhuận thu được. Người sử
dụng thì quan tâm tới chất lượng dịch vụ (Quality of Service hoặc QoS) sao cho việc
liên lạc không bị ngắt hoặc gián đoạn trong bất kì thời điểm nào. Bài toán đặt ra cho
các nhà cung cấp mạng là làm sao cải tiến, tối đa hóa được thông lượng đường truyền
nhằm nâng cao chất lượng dịch vụ trong khi vẫn đảm bảo lợi nhuận thu được (xem
[48, 49]). Để đạt được điều này nhà cung cấp mạng có thể khai thác một chức năng
của lớp MAC (Media Access Control) của hệ thống mạng OFDMA đó là chức năng
phân bổ tài nguyên vô tuyến. Theo đó, tài nguyên vô tuyến được phân bổ cho người
dùng sao cho tối đa được thông lượng đường truyền. Một số công trình liên quan đến
vấn đề này được nghiên cứu gần đây (xem [50, 51, 52, 53]...). Trong các công trình
này, bài toán tối ưu tài nguyên mới chỉ được xem xét dưới góc độ của người kĩ sư vô
tuyến, thực hiện triển khai theo kinh nghiệm cá nhân. Một số tiếp cận theo hướng
heuristic1
đã được đề xuất, tuy nhiên chất lượng của nghiệm thu được rất khó để đánh
giá. Trong luận án này, chúng tôi bước đầu xây dựng mô hình toán học cho bài toán
được quan tâm - bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD.
Tiếp đó chúng tôi đề xuất một cách tiếp cận toàn cục dựa trên tối ưu DC với kĩ thuật
hàm phạt được nhúng trong một sơ đồ nhánh cận để giải bài toán trên. Các kết quả
thử nghiệm số cho thấy tính hiệu quả của thuật toán đề xuất.
2.1.1 Mô tả bài toán
Giả sử trên một mạng không dây OFDMA/TDD có người dùng, chia sẻ kênh
K M
con (sub-channel) và khe thời gian (time slot). Khi người dùng nào đó cần sử dụng
N
dịch vụ, anh ta cần được cấp phát một lượng tài nguyên phù hợp. Nếu trong cùng thời
điểm hoặc tại cùng một khe thời gian có nhiều hơn một người dùng thì có thể xảy ra
những xung đột. Xem minh họa ở Hình 2.1.
Kí hiệu bijk , i M, j N, k K
1 ≤ ≤ 1 ≤ ≤ 1 ≤ ≤ là lượng dữ liệu mà người
dùng cần gửi đi nếu anh ta được cung cấp kênh con tại khe thời gian Bài toán
k i j.
đặt ra là tìm cách phân bổ tài nguyên vô tuyến cho khung OFDMA/TDD này sao cho
băng thông được sử dụng một cách hiệu quả nhất (xem [54]). Tức là tổng lượng dữ
liệu được truyền đi lớn nhất.
Việc truyền dữ liệu phải thỏa mãn hai điều kiện:
• Tại một thời điểm (đặc trưng bởi một khe thời gian) và một kênh con nào đó sẽ
có tối đa một người dùng (điều này để tránh xung đột giữa các người dùng).
• Tài nguyên (dữ liệu) cấp cho các người dùng sẽ có dạng hình chữ nhật (theo tiêu
chuẩn IEEE802.16e của mạng WiMAX).
1
Từ này có thể được dịch ra tiếng Việt là "trực cảm".
26
39. Hình 2.1: Khung OFDMA/TDD mô tả xung đột giữa hai người dùng
Bằng cách xây dựng các biến nhị phân
xijk ∈ { }
0 1
, với (2.1)
1 1 1
≤ ≤
i M, ≤ ≤
j N, ≤ ≤
k K
với quy ước
xijk = (
1 nếu người dùng được cấp kênh con tại khe thời gian
k i j
0 trường hợp còn lại,
ta tính được tổng lượng dữ liệu được truyền đi bởi công thức
f x
( ) :=
K
X
k=1
N
X
i=1
M
X
j=1
bijk xijk . (2.2)
Hiệu quả băng thông được đánh giá thông qua tổng lượng dữ liệu được truyền đi.
Lượng này càng lớn, hiệu quả băng thông càng cao.
Điều kiện để đảm bảo chỉ có tối đa một người dùng tại một kênh con và một khe
thời gian được mô tả bởi ràng buộc bất đẳng thức
K
X
k=1
xijk ≤ ∀ ∀
1 i , M,
= 1 j , N.
= 1 (2.3)
Như đã trình bày ở trên, tiêu chuẩn IEEE802.16e yêu cầu tài nguyên được cấp cho
27
40. người dùng k∗
, k∗ ∈ { }
1, . . . , K , x
phải có dạng hình chữ nhật. Nghĩa là nếu i1j 1 k∗ =
xi2 j 2k∗ = 1, i 1, i2 ∈ { }
1, . . . , M ;j 1, j2 ∈ { }
1, . . . , N ;(i 1, j1) = (
6 i2, j2) (hai ô dữ liệu
(i1, j 1) (
và i2, j 2) được cấp cho người dùng k∗) thì toàn bộ các ô dữ liệu trong hình
chữ nhật nhận (i1, j 1) và (i 2, j2) làm đỉnh cũng sẽ được cấp cho người dùng k∗, hay
nói cách khác
xijk ∗ = 1 min
, ∀ {i 1, i2} ≤ ≤ {
i max i 1, i2} {
, min j 1, j2 } ≤ ≤ {
j max j 1, j2}.
Xem minh họa ở Hình 2.2.
(i j)
1,, 1
.
.(i j)
2,, 2
.
.
.
(i j)
1,, 1
(i j)
1,, 1
(i j)
2,, 2
(i j)
2,, 2
(i j)
2,, 2
(i j)
1,, 1
*
* *
*
*
*
*
*
Hình 2.2: Tài nguyên cấp phát cho một người dùng là khung hình chữ nhật nhận (i1,j 1) và
(i2 ,j2 ) là đỉnh nếu anh ta được cấp hai nút này
Chú ý rằng, nếu ta có biến nhị phân bao gồm và
T + 2 y, z x 1 , x2, . . . x T thỏa mãn
T y z
( + − ≤
1)
T
X
i=1
xi ⇔ − −
T y z
( + 1)
T
X
i=1
xi ≤ 0
thì: sẽ kéo theo
y z
= = 1 x i = 1 với mọi Áp dụng kĩ thuật này, ta
i , . . . , T .
∈ {1 }
thiết lập được ràng buộc tổng quát sau:
(|i 1 − i 2| |
+ 1)( j 1 − j 2| + 1)(x i1 j 1k + x i2 j 2k − −
1)
X
i I
∈ i 1 i2
X
j J
∈ j 1 j 2
xijk ≤ 0, (2.4)
trong đó,
Ii1i 2 = min
{ |
i {i 1, i2} ≤ ≤ {
i max i 1, i2}} ,
28
41. Jj 1j 2 = min
{ |
j {j 1, j 2} ≤ ≤ {
j max j 1, j2}} .
Như vậy, bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng OFDMA/TDD được phát biểu
như sau:
max ( ) :=
f x
K
X
k=1
N
X
i=1
M
X
j=1
bijk xijk , (RAP)
v.đ.k.
K
X
k=1
xijk ≤ ∀ ∈ { } ∈ { }
1 i 1, . . . , M , j 1, . . . , N , (2.5)
(|i1 − i 2| |
+ 1)( j 1 − j 2| + 1)(x i 1j 1 k + x i2j 2k − −
1)
X
i I
∈ i1 i 2
X
j J
∈ j 1j 2
xijk ≤ 0,
∀i1, i2 ∈ { }
1, . . . , M ; j 1, j 2 ∈ { }
1, . . . , N ; (i 1, j 1) = (
6 i2, j2) và k , . . . , K ,
∈ {1 }
(2.6)
xijk ∈ { } ∈ { } ∈ { } ∈ { }
0 1
, , i 1, . . . , M ,j 1, . . . , N ,k 1, . . . , K .
Ta thấy rằng (RAP) thuộc lớp bài toán quy hoạch tuyến tính với biến 0-1. Trước
khi trình bày thuật toán giải bài toán này chúng ta lưu ý rằng số biến nhị phân và số
ràng buộc của bài toán sẽ tăng rất nhanh nếu số lượng người dùng, số lượng kênh con
và số lượng khe thời gian tăng thêm một chút. Cụ thể, số lượng biến nhị phân của bài
toán là
M N K,
· ·
và số lượng ràng buộc là
M N K
· + ·
MN MN
( − 1)
2
.
2.1.2 Bài toán tối ưu DC đa diện tương đương với bài toán (RAP)
Chúng tôi áp dụng thuật toán DCA để giải bài toán (RAP). Trước hết, ta cần biểu
diễn (RAP) dưới dạng một bài toán tối ưu DC tương đương.
Kí hiệu và
n K M N
= · ·
S x
= { ∈ R n
| ∈
x [0 1]
, n
, x . , . .
thỏa mãn ràng buộc (2 5) (2 6)}
Rõ ràng là một đa diện khác rỗng trong không gian
S R n. Tập đỉnh của được kí
S
hiệu là Khi đó bài toán (RAP) có thể viết gọn lại như sau
V S .
( )
α = min
cT
x x S, x ,
| ∈ ∈ {0 1} n
. (2.7)
29
42. Xét hàm p x
( ) =
n
X
i=1
pi (xi ) =
n
X
i=1
min{x i, x
1 − i}. Dễ thấy là hàm lõm và hữu hạn
p
trên , với mọi , hơn nữa
S p x
( ) 0
≥ x S
∈
x S ,
∈ ∩ {0 1}n
= ( ) 0
{ ∈ |
x S p x ≤ }.
Do đó bài toán (2.7) tương đương với bài toán
α = min
cT
x x S, p x
| ∈ ( ) 0
≤
. (2.8)
Định lí về hàm phạt sau đây cho phép đưa bài toán (2.8) về dạng một bài toán tối
ưu DC.
Định lí 2.1. (Xem [45, Định lí 2]) Giả sử là một đa diện lồi bị chặn khác rỗng,
S f
là một hàm lõm hữu hạn trên và là một hàm lõm không âm trên . Khi đó tồn tại
S p S
một số τ0 ≥ 0 sao cho với mọi τ > τ 0 hai bài toán dưới đây có cùng tập nghiệm tối
ưu và cùng giá trị tối ưu:
(Pτ ) ( ) = inf ( ) + ( )
α τ {f x τp x | ∈ }
x S
( ) = inf ( ) ( ) 0
P α {f x | ∈
x S, p x ≤ } .
Cụ thể là, nếu tập đỉnh của chứa trong thì
V S
( ) { ∈ ≤ }
x S, p x
( ) 0 , τ 0 = 0, ngược
lại
τ0 = min
n
f x α
( ) − (0)
T
| ∈ ≤
x S, p x
( ) 0
o
,
trong đó .
T p x x V S , p x > >
:= min{ ( ) | ∈ ( ) ( ) 0} 0
Theo kết quả của Định lí 2.1, với số đủ lớn (
τ τ > τ 0), bài toán (2.7) được viết lại
dưới dạng tương đương sau
min {cTx τp x x S .
+ ( ) | ∈ } (2.9)
Bài toán (2.9) thực chất là một bài toán tối ưu DC dạng tổng quát
min ( ) ( )
{g x − h x | ∈
x R n
}, (2.10)
với các thành phần DC
g x χ
( ) = S ( ) ( ) =
x và h x −c T
x τ
−
n
X
i=1
min{x i, x
1 − i }. (2.11)
Do tính tương đương, thay vì giải bài toán (2.7) ta giải bài toán (2.10). Dễ thấy h x
( )
là hàm lồi đa diện nên bài toán (2.10) là bài toán tối ưu DC đa diện.
Như đã giới thiệu ở Mục 1.1.2, thuật toán DCA giải bài toán (2.10) sinh hai dãy
30
43. {xk} và {yk}, cụ thể
yk
∈ ∂h x
( k
), x k+1
∈ ∂g∗
(yk
),
trong đó, dưới vi phân ∂h x
( k ) có thể được tính tường minh còn việc tính dưới vi phân
∂g∗
(yk) sẽ đưa về việc giải một bài toán quy hoạch tuyến tính.
Thật vậy, ta có
∂h x
( k
) = (
∂ −c T
xk
) + ( )(
τ∂ −p x k
), (2.12)
trong đó
∂ c
(− T
xk) = −c (2.13)
và do
−p x
( k
) =
n
X
i=1
max{−x k
i , xk
i − }
1
nên
∂h x
( k
) = +
−c d với d i = (
−τ x
nếu k
i ≤ 0 5
.
τ ngược lại
i , . . . , n.
= 1 (2.14)
Theo Ví dụ 1.2 (ii) và Ví dụ 1.3 (iv), việc tính xk+1
∈ ∂g∗
(yk) tương đương với việc
giải bài toán quy hoạch tuyến tính
min
−hx, yk
i | ∈
x S
. (2.15)
Sau đây là thuật toán DCA áp dụng cho bài toán (2.10).
Thuật toán 2.1: Thuật toán DCA áp dụng cho bài toán (2.10).
Khởi tạo: Lấy đủ nhỏ và điểm xuất phát
> 0 x0. k er .
Gán := 0 ; := 1
Bước 1: Tính yk
∈ ∂h x
( k) theo công thức (2.14).
Bước 2: Tính xk+1 bằng cách giải bài toán quy hoạch tuyến tính (2.15).
Bước 3: Cập nhật er := min
||x k+1
− x k
||
max{kx kk }
, 1
,
|f x
( k+1
) (
− f x k
)|
max (
{|f x k) 1
|, } .
Bước 4: Nếu thì dừng thuật toán, kết luận
er < xk+1 là nghiệm thu được bởi
DCA. Ngược lại gán và quay lại .
k k
:= + 1 Bước 1
Chú ý 2.1. Thuật toán DCA áp dụng cho bài toán (2.10) đưa về việc giải một dãy các
bài toán quy hoạch tuyến tính. Do đó có thể giải bài toán này một cách hiệu quả.
Bài toán (2.10) là một bài toán tối ưu DC đa diện nên theo [40, Mục 4.2], thuật toán
DCA áp dụng cho nó sẽ dừng sau hữu hạn bước lặp, ngoài ra nghiệm thu được còn
thỏa mãn một số tính chất đặc biệt như kết quả của định lí dưới đây (xem [40, 46, 55]).
31
44. Định lí 2.2. (i) Thuật toán DCA áp dụng cho bài toán (2.10) sinh ra một dãy
{xk } nằm trong sao cho dãy
V S
( ) {cT
xk
+ (
τp x k )} giảm.
(ii) Tồn tại số thực không âm τ1 sao cho với mọi τ > τ1 dãy {p x
( k)} giảm. Đặc
biệt, nếu tại bước lặp ,
r x r là nghiệm chấp nhận được của bài toán (2.7) thì
xk , k r,
≥ cũng là nghiệm chấp nhận được của bài toán (2.7).
(iii) Dãy {xk } hội tụ đến x∗ ∈ V S x
( ) sau hữu hạn bước lặp. Điểm ∗ là điểm tới
hạn của bài toán (2.10) (tức là, ∂g x
( ∗
) (
∩ ∂h x ∗) =
6 ∅). Hơn nữa, nếu x
∗
i 6=
1
2
, i , . . . , n x
= 1 , thì ∗ là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (2.10).
2.1.3 Thuật toán toàn cục giải bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng
không dây OFDMA/TDD (RAP)
Ở mục trước chúng tôi đã mô hình hóa bài toán (RAP) (chính là bài toán (2.7))
dưới dạng một bài toán tối ưu DC đa diện tương đương (bài toán (2.10)) theo nghĩa
chúng có cùng tập nghiệm tối ưu toàn cục. Chúng tôi đã sử dụng DCA (Thuật toán
2.1) giải bài toán tối ưu DC đa diện này. Song, như đã biết, DCA là một tiếp cận địa
phương, do đó nghiệm thu được từ Thuật toán 2.1 không chắc đã là nghiệm tối ưu
toàn cục của bài toán (2.10), tức chưa chắc đã là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán
(2.7).
Do tính chất nhị phân của bài toán, thuật toán nhánh cận là phù hợp để tìm nghiệm
toàn cục của bài toán (2.7). Chi tiết về lược đồ nhánh cận có thể xem trong [56, 57].
Dưới đây là chi tiết thuật toán nhánh cận cổ điển áp dụng cho bài toán (2.7).
Thuật toán 2.2: Thuật toán nhánh cận giải bài toán (2.7).
Khởi tạo: Đặt R0 = [0 1]
, n . x
Kí hiệu R 0 là nghiệm của bài toán nới lỏng tuyến
tính của (2.7)
min
cT
x x S, x R
: ∈ ∈ 0
.
Nếu xR0
∈ { }
0 1
, n thì dừng thuật toán và kết luận xR0
∈ ∩ { }
S 0 1
, n là nghiệm
tối ưu toàn cục của bài toán (2.7) với giá trị tối ưu là cT
xR0
. Ngược lại đặt cận
trên γ0 := + :=
∞ R
, {R 0}, k β
:= 0; là số dương đủ nhỏ và 0 := (
β R 0) =
cT
xR0
là một cận dưới đầu tiên tương ứng với hộp R0.
Bước 1: Gọi Rk là hộp chữ nhật thỏa mãn βk = (
β R k) = min ( ) :
{β R R ∈ R}
và xRk là nghiệm của bài toán nới lỏng tuyến tính tương ứng. Lúc này xRk /
∈
{ }
0 1
, n nên sẽ tồn tại j∗ thỏa xRk
j ∗ ∈ (0 1)
, . Khi đó, chọn chỉ số j ∗ thỏa mãn
max
j
min{xR
j , x
1 − R
j }
= min{x R
j ∗ , x
1 − R
j ∗ } (2.16)
32
45. và chia Rk thành hai hộp con Rk0
và Rk1
qua trục j ∗ xác định bởi
Rki = { ∈
x R k : xj ∗ = = 0 1
i , i
} , .
Bước 2: Gọi βki , xRki ( = 0 1)
i , tương ứng là giá trị tối ưu và nghiệm tối ưu của
bài toán tuyến tính nới lỏng của (2.7) hạn chế trên tập Rki :
min
cT
x x S, x R
: ∈ ∈ ki
.
Nếu xRk i ∈ { }
0 1
, n thì xR ki ∈ ∩ { }
S 0 1
, n là một nghiệm chấp nhận được
của bài toán (2.7). Ta cập nhật giá trị cận trên tốt nhất tại thời điểm hiện tại
γ0 := min{c T
xRk i , γ0} và nghiệm chấp nhận được x k tương ứng cT
xk
= γ 0.
Ngược lại xRki /
∈ { }
0 1
, n, R
ta cập nhật R R ∪ {
:= ki
} và lưu lại giá trị cận
dưới βki := (
β R ki ) = c T
xRki tương ứng của hộp Rki .
Bước 3: Cập nhật
R R{{
:= R t : (
β R t) ≥ γ 0 − , Rt ∈ R} ∪ R k}.
Bước 4: Nếu (tức là,
R ∅
= γ 0 − β k ≤ x
) thì dừng thuật toán. Kết luận k
là với giá trị tối ưu đạt được là
−nghiệm tối ưu c
T
xk
= γ 0. Ngược lại, gán
k k
:= + 1 và quay trở lại .
Bước 1
Như đã biết theo tính chất của quá trình chia nhánh và lấy cận, Thuật toán 2.2 sẽ
dừng sau hữu hạn bước lặp và cho nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (2.7). Tuy nhiên
theo Định lí 2.2, ta có thể sử dụng Thuật toán 2.1 để tìm cận trên trong Thuật toán
2.2 với hi vọng sẽ nhanh chóng tìm ra được nghiệm chấp nhận được của bài toán (2.7)
ngay trong những bước lặp đầu tiên và do đó tăng tốc được thuật toán nhánh cận cổ
điển. Tính hiệu quả của việc kết hợp DCA vào lược đồ nhánh cận đã được khẳng định
trong những công trình trước đây cho một số lớp bài toán khác nhau (xem [58, 59] và
danh mục tài liệu tham khảo kèm theo). Chúng tôi sử dụng kĩ thuật này giải toàn cục
cho bài toán (2.7). Dưới đây là nội dung chi tiết của thuật toán.
Thuật toán 2.3: Thuật toán nhánh cận kết hợp DCA giải bài toán (2.7).
Khởi tạo: Đặt R0 = [0 1]
, n . x
Kí hiệu R0
là nghiệm của bài toán tuyến tính nới
lỏng của (2.7)
min
cT
x x S, x R
: ∈ ∈ 0
.
Nếu xR0
∈ { }
0 1
, n thì dừng thuật toán và kết luận xR0
∈ ∩ { }
S 0 1
, n là nghiệm
tối ưu toàn cục của bài toán (2.7) với giá trị tối ưu là cT
xR0
.
33
46. Ngược lại, đặt R {
:= R 0}, k β
:= 0; là số dương đủ nhỏ và 0 := (
β R 0) =
cT
xR0
là một cận dưới đầu tiên tương ứng với hộp R0. Dùng DCA giải bài toán
(2.10) với điểm xuất phát xR0
, x
thu được nghiệm R0
τ . UB
Đặt τ := c T
xR0
τ +
τp x
( R0
τ ). x
Nếu R0
τ ∈ { }
0 1
, n thì γ0 := UB τ , γ
ngược lại 0 := +∞.
Bước 1: Gọi Rk là hộp chữ nhật thỏa mãn βk = (
β R k) = min ( ) :
{β R R ∈ R}
và xRk là nghiệm của bài toán tuyến tính nới lỏng tương ứng. Lúc này xRk
/
∈
{ }
0 1
, n nên sẽ tồn tại j∗ thỏa xRk
j ∗ ∈ (0 1)
, . Chọn chỉ số j ∗ thỏa mãn
max
j
min{xR
j , x
1 − R
j }
= min{x R
j ∗ , x
1 − R
j ∗ } (2.17)
và chia Rk thành hai hộp con Rk0 và Rk1 qua trục j ∗ xác định bởi
Rki = { ∈
x R k : xj ∗ = = 0 1
i , i
} , .
Bước 2: Gọi βki , xRki ( = 0 1)
i , tương ứng là giá trị tối ưu và nghiệm tối ưu của
bài toán tuyến tính nới lỏng của bài toán (2.7) hạn chế trên tập Rki :
min
cT
x x S, x R
: ∈ ∈ ki
.
(i) Nếu xRk i ∈ { }
0 1
, n thì xRki ∈ ∩ { }
S 0 1
, n là một nghiệm chấp nhận
được của bài toán (2.7), cập nhật giá trị cận trên tốt nhất tại thời điểm
hiện tại γ0 := min{c T
xR ki , γ0} và nghiệm chấp nhận được xk tương ứng
cT
xk
= γ 0.
(ii) Ngược lại xR ki /
∈ { }
0 1
, n , R
cập nhật R R ∪ {
:= ki
} và lưu lại giá trị cận
dưới β R
( ki ) = β ki
tương ứng của hộp Rki .
(iii) Nếu
cT
xRk i + (
τp x Rki ) min
< {γ 0, UBτ }
thì ta khởi động lại DCA cho bài toán (2.10) với điểm xuất phát xRk i để thu
được nghiệm x
Rki
τ . UB
Đặt τ := c T
x
Rk i
τ + (
τp x
Rk i
τ ). x
Nếu
Rk i
τ ∈ { }
0 1
, n
thì cập nhật cận trên γ0 := min{c T
x
Rk i
τ , γ 0} và nghiệm chấp nhận được xk
tương ứng γ0 = c T
xk
.
Bước 3: Cập nhật
R R{{
:= R t : (
β R t) ≥ γ 0 − , Rt ∈ R} ∪ R k}.
Bước 4: Nếu (tức là,
R ∅
= γ 0 − β k ≤ x
), thì dừng thuật toán. Kết luận k
là nghiệm tối ưu với giá trị tối ưu đạt được là
− cT
xk
= γ 0. Ngược lại, gán
k k
:= + 1 và quay trở lại .
Bước 1
34
47. Theo tính chất của lược đồ nhánh cận, định lí sau đảm bảo tính đúng đắn của Thuật
toán 2.2 và Thuật toán 2.3, chi tiết chứng minh có thể xem trong [44, Định lí 7.6].
Định lí 2.3. Thuật toán 2.2 và Thuật toán 2.3 dừng sau hữu hạn bước lặp và cho kết
quả là - nghiệm tối ưu của bài toán (2.7).
Chú ý 2.2. Như đã biết sự hiệu quả của thuật toán DCA phụ thuộc vào phân tích DC
và cách chọn điểm xuất phát. Đối với Thuật toán 2.1 nếu ta có chiến lược chọn điểm
khởi tạo tốt thì nghiệm thu được sẽ nhanh tiến vào miền chấp nhận được của bài toán
(2.7). Cách làm sau tương tự như cách làm trong tài liệu [58, 59]. Xuất phát từ x0 ta
dùng DCA để giải bài toán tối ưu lõm dưới đây để thu được điểm khởi tạo cho Thuật
toán 2.1:
min (
n
X
i=1
min{x i, x
1 − i} | ∈
x S ) . (2.18)
Chú ý rằng, bài toán (2.18) là một bài toán tối ưu DC đa diện đã biết giá trị tối ưu
(bằng 0) và đặc biệt, tập nghiệm tối ưu toàn cục của nó là S ,
∩ {0 1}n, cũng chính là
tập chấp nhận được của bài toán (2.7).
2.1.4 Kết quả tính toán thử nghiệm
Các thuật toán được lập trình bằng C++, thử nghiệm trên máy tính cá nhân cấu
hình Intel Core i3, CPU 2.2GHz, 4G RAM. Các bài toán quy hoạch tuyến tính sử
dụng trong thuật toán DCA và trong quá trình tính cận dưới được giải bằng CLP
solver, một solver mở trong thư viện COIN-OR (www.coin-or.org).
Để đánh giá sự hiệu quả của thuật toán, chúng tôi sinh 10 bộ dữ liệu ngẫu nhiêu
cho bài toán (RAP) (bài toán (2.7)), số lượng biến tăng dần bằng cách thay đổi số
lượng người dùng, khe thời gian và số lượng kênh con. Trong thử nghiệm này chúng
tôi so sánh Thuật toán 2.3 (nhánh cận kết hợp DCA) với lược đồ nhánh cận cổ điển
(Thuật toán 2.2). Lấy τ = 10 6
, .
= 5 10−2 và giới hạn 105 bước lặp được dùng cho
mỗi lần chạy thuật toán, nếu sau 105 bước lặp thuật toán chưa dừng ta coi như thuật
toán đó "thất bại" trong việc tìm nghiệm tối ưu cho trường hợp cụ thể đó. Kết quả
−
tính toán thử nghiệm Thuật toán 2.2 và Thuật toán 2.3 được tóm tắt trong Bảng 2.1,
trong đó ta sử dụng các kí hiệu sau:
#Var: Số lượng biến UB: Cận trên
#Constr: Số lượng ràng buộc LB: Cận dưới
#Iter: Số bước lặp NoF: lần chạy DCA cho nghiệm
chấp nhận được của (RAP).
Từ Bảng 2.1, ta rút ra một số nhận xét sau:
• Thuật toán DCA tìm ra nghiệm chấp nhận được của bài toán (RAP) nhanh, chỉ
trong lần chạy DCA đầu tiên hoặc thứ hai. Trong nhiều trường hợp, nghiệm thu
35
