Dokumen ini membahas fungsi pembangkit yang digunakan untuk merepresentasikan barisan dan memecahkan masalah kombinatorik dengan menggunakan deret pangkat. Contoh-contoh diberikan untuk menjelaskan cara menghitung koefisien dalam ekspansi fungsi dan aplikasi dalam masalah counting. Selain itu, terdapat pembuktian identitas kombinatorik menggunakan fungsi pembangkit.

1. Fungsi PembangkitFungsi Pembangkit
((Generating FunctionsGenerating Functions))

2. Fungsi pembangkitFungsi pembangkit
Fungsi pembangkit digunakan untuk
merepresentasikan barisan secara efisien
dengan mengkodekan unsur barisan
sebagai koefisien dalam deret pangkat
suatu variabel x .
Fungsi pembangkit dapat digunakan untuk:
 memecahkan berbagai masalah
counting,
 memecahkan relasi recurrence, dan
 membuktikan identitas kombinatorik.

3. Definisi dan contohDefinisi dan contoh
Definisi.
Fungsi pembangkit (generating function) untuk barisan
bilangan real: a0, a1, …, ak, … adalah deret pangkat tak
hingga:
.......)(
0
10 ∑
∞
=
=++++=
k
k
k
k
k xaxaxaaxG
Contoh 1.
a. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 5
adalah
∑
∞
=
+
0
)3(
k
k
xk
k
k
k
x∑
∞
=0
3
∑
∞
=0
5
k
k
x
b. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = k+3
adalah
c. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 3k
adalah

4. Contoh 2Contoh 2
Tentukan fungsi pembangkit dari barisan
1, 1, 1, 1, 1, 1
Solusi.
Fungsi pembangkit dari barisan 1,1,1,1,1,1
adalah:
1 + x + x2
+ x3
+ x4
+ x5
1
16
−
−
=
x
x

5. ContohContoh
Contoh 3.
Fungsi pembangkit dari barisan
1, 1, 1, 1, …
adalah
1 + x + x2
+ x3
+ …
Contoh 4.
Fungsi pembangkit dari barisan
1, a, a2
, a3
, …
adalah
1 + ax + a2
x2
+ a3
x3
+ …
1||jika,
1
1
<
−
= x
x
1||jika,
1
1
<
−
= ax
ax

6. Teorema 1Teorema 1
Contoh 5.
Misal f(x) = 1/(1-x)2
.
Tentukan koefisien a0, a1, … dalam ekspansi f(x) = ∑ akxk
.
Solusi.
.)1(1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
00 0
2 ∑∑ ∑
∞
=
∞
= =
+=







=
−
⋅
−
=
− k
k
k
k
k
j
xkx
xxx
Jadi, ak = k+1.
( ) .)()(
dan)()()(
Maka,.)(dan)(Misal
0 0
0
00
∑ ∑
∑
∑∑
∞
= = −
∞
=
∞
=
∞
=
=
+=+
==
k
kk
j jkj
k
k kk
k
k k
k
k k
xbaxgxf
xbaxgxf
xbxgxaxf

7. Koefisien Binomial DiperluasKoefisien Binomial Diperluas
Misalkan u bilangan real dan k bilangan bulat tak
negatif.
Maka koefisien binomial diperluas didefinisikan
sebagai:




=
>
+−−
=





.0jika,1
,0jika,
!
)1)...(1(
k
k
k
kuuu
k
u
Contoh 6.
Tentukan nilai dari:
a.






5
2/1
.4
!3
)4)(3)(2(
3
2
−=
−−−
=




−





−
3
2
.
!5
)42/1)(32/1)(22/1)(12/1)(2/1(
5
2/1 −−−−
=




b.

8. Teorema Binomial DiperluasTeorema Binomial Diperluas
Teorema 2.
Misal x bilangan real dengan |x| < 1 dan
u bilangan real.
Maka,
.)1(
0
∑
∞
=






=+
k
ku
x
k
u
x
Catatan.
Jika u bilangan bulat positif maka
Teorema Binomial Diperluas menjadi
Teorema Binomial.

9. Contoh 7Contoh 7
Tentukan fungsi pembangkit untuk
(1+x)-n
dan (1-x)-n
,
dengan n bilangan bulat positif.
Solusi.
k
k
kn
k
kn
xkknCx
x
k
n
x
),1()1()1(Maka,
.)1(2,TeoremaMenurut
0
0
−+−=+





−
=+
∑
∑
∞
=
−
∞
=
−
∑
∞
=
−
−+=−
−
0
),1()1(
:xdgnxmenggantiDengan
k
kn
xkknCx

10. Soal 1Soal 1
Tentukan koefisien x10
dalam deret pangkat
fungsi-fungsi berikut ini:
a. 1/(1+x)2
b. 1/(1-2x)
c. x4
/(1-3x)3

11. Masalah Counting dan Fungsi PembangkitMasalah Counting dan Fungsi Pembangkit
Contoh 8.
Tentukan banyaknya solusi dari n1 + n2 + n3 = 17, bila n1, n2
dan n3 bilangan bulat taknegatif dengan 2 ≤ n1 ≤ 5, 3 ≤ n2 ≤ 6
dan 4 ≤ n3 ≤ 7.
Solusi.
Banyaknya solusi dinyatakan oleh koefisien x17
dalam
ekspansi:
(x2
+x3
+x4
+x5
) (x3
+x4
+x5
+x6
) (x4
+x5
+x6
+x7
).
Setiap bentuk x17
dalam perkalian ini didapat dengan
mengalikan
xn1
pada faktor pertama dengan
xn2
pd faktor kedua dan
xn3
pada faktor ketiga
yang memenuhi: n1 + n2 + n3 = 17.
Bila dihitung, didapat koefisien x17
adalah 3.
Jadi, ada tepat 3 solusi.

12. Contoh 9Contoh 9
Ada berapa cara untuk membagikan 8 kue yang identik
kepada 3 anak jika setiap anak menerima sedikitnya 2 kue
dan tidak lebih dari 4 kue?
Solusi.
Misalkan cn: banyaknya cara membagikan n kue.
Karena setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak
lebih dari 4 kue, maka untuk setiap anak ada suatu faktor
yang berbentuk:
(x2
+ x3
+ x4
)
dalam fungsi pembangkit barisan {cn}.
Karena ada 3 anak maka fungsi pembangkitnya adalah:
(x2
+ x3
+ x4
)3
.
Cara untuk membagikan 8 kue adalah koefisien dari x8
,
yakni 6. Jadi, ada 6 cara untuk membagikan 8 kue kepada
3 anak tadi.

13. Gunakan fungsi pembangkit untuk
menentukan banyaknya cara
mendistribusikan 25 donat identik
kepada 4 polisi sehingga setiap polisi
mendapatkan sedikitnya 3 dan tidak
lebih dari 7 donat.
Soal 2Soal 2

14. Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya
cara memilih pecahan mata uang bernilai Rp. 100, Rp. 500
dan Rp. 1000 jika kita ingin membayar suatu barang yang
bernilai Rp. r, apabila:
a. urutan pemilihan diperhatikan atau
b. tidak diperhatikan.
Contoh.
Untuk membayar Rp. 600, ada 2 cara bila urutan tidak
diperhatikan, yaitu
(Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100)
atau (Rp. 100, Rp. 500)
dan ada 3 cara bila urutan diperhatikan, yaitu
(Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100),
(Rp. 100, Rp. 500), atau
Contoh 10Contoh 10

15. b. Jika urutan pemilihan tidak diperhatikan.
Karena masing-masing pecahan dapat dipergunakan
berkali-kali, maka
• faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 100
adalah
1 + x + x2
+ x3
+ …,
• faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 500
adalah
1 + x5
+ x10
+ …,
• faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 1000
adalah
1 + x10
+ x20
+ …
Jadi, banyaknya cara pemilihan pecahan mata uang untuk
membayar seharga Rp. r adalah koefisien dari xr/100
dalam
fungsi pembangkit
(1 + x + x2
+ x3
+ …) (1 + x5
+ x10
+ …) ( 1 + x10
+ x20
+ …)
Contoh 10…Contoh 10…

16. a. Jika urutan pemilihan diperhatikan.
Banyaknya cara untuk menggunakan tepat n
pecahan untuk membayar seharga Rp. r adalah
koefisien xr/100
dalam
(x + x5
+ x10
)n
Karena kita dapat menggunakan berapa pun
jumlah pecahan, maka banyaknya cara pemilihan
pecahan mata uang untuk membayar seharga Rp. r
adalah koefisien dari xr/100
dalam
1 + (x + x5
+ x10
)+ (x + x5
+ x10
)2
+ …
Contoh 10…Contoh 10…
5252
1
1
)(1
1
xxxxxx −−−
=
++−
=

17. Gunakan fungsi pembangkit untuk
menentukan banyaknya cara untuk menukar
uang $100 dengan menggunakan pecahan:
a) $10, $20 dan $50
b) $5, $10, $20 dan $50
c) $5, $10, $20 dan $50; bila setiap pecahan
digunakan sedikitnya sekali.
d) $5, $10 dan $20; bila setiap pecahan
digunakan sedikitnya sekali tapi tidak lebih
dari 4 kali.
Soal 3Soal 3

18. Contoh 11Contoh 11
Gunakan fungsi pembangkit untuk menghitung banyaknya
cara memilih r obyek dari n jenis benda berbeda jika kita
harus memilih sedikitnya satu obyek dari setiap jenisnya.
Solusi.
Misalkan ar: banyaknya cara memilih r obyek dari n jenis
benda bila dari setiap jenis terpilih sedikitnya satu
objek.
Karena kita perlu memilih sedikitnya satu obyek dari setiap
jenis, maka setiap jenis menyumbangkan faktor
(x + x2
+ x3
+ …)
pada fungsi pembangkit.
Akibatnya, fungsi pembangkit G(x) dari barisan {ar} adalah
G(x) = (x+x2
+ x3
+ …)n
= xn
(1+x+x2
+ x3
+ …)n
= xn
/ (1-x)n
.

19. Dengan menggunakan Teorema Binomial Diperluas:
∑
∑∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
−
−−=
−−=−+=
−−+−=−




−
=
−=
−
=
nr
r
nt
t
r
rn
rr
r
rn
r
rn
nn
n
n
xnrrC
xnttCxrrnC
xrrnCxx
r
n
x
xx
x
x
xG
.),1(
),1(),1(
)1)(,1()1()(
)1.(
)1(
)(
0
0
0
Jadi, ada C(r-1,r-n) cara memilih.
Contoh 11…Contoh 11…

20. Fungsi Pembangkit dan Solusi RelasiFungsi Pembangkit dan Solusi Relasi
RecurrenceRecurrence
Contoh 12.
Cari solusi relasi recurrence ak = 3ak-1 untuk k = 1, 2, 3, …
dengan kondisi awal a0 = 2.
Solusi.
Misal G(x): fungsi pembangkit untuk barisan {ak},
Maka,
.32Jadi,
.32)(maka
1
2
Karena,
.
31
2
)(Jadi,
.2)3(
3)(3)(
.)(
00
110
1 10
1 1
1
0
k
k
k
k
k
k
kk
k
kk k
k
k k
k
k k
k
k k
k
k k
a
xxGxa
ax
x
xG
xaaa
xaxaxxGxG
xaxaxxG
⋅=
==
−
−
=
=−+=
−=−
==
∑∑
∑
∑∑
∑∑
∞
=
∞
=
−
∞
=
∞
= −
∞
=
∞
= −
+∞
=
k
k k xaxG ∑
∞
=
= 0
)(

21. Fungsi Pembangkit dan PembuktianFungsi Pembangkit dan Pembuktian
IdentitasIdentitas
Contoh 13.
Gunakan fungsi pembangkit untuk membuktikan:
bulat.nbila),,2(),(0
2
nnCknC
n
k
=∑ =
Solusi.
C(2n,n) adalah koefisien xn
dlm ekspansi (1+x)2n
.
Akan tetapi, (1+x)2n
= [(1+x)n
]2
.
= [C(n,0)+C(n,1)x+ … + C(n,n)xn
]2
.
Koefisien dari xn
dlm ekspansi ini:
C(n,0)C(n,n) + C(n,1)C(n,n-1) + … + C(n,n)C(n,0).
Ini sama dgn ∑ C(n,k)2
, krn C(n,n-k) = C(n,k).
Karena C(2n,n) dan ∑ C(n,k)2
menyatakan koefisien xn
dlm
(1+x)2n
maka haruslah
.),2(),(0
2
nnCknC
n
k
=∑ =