در ریاضیات، رابطه بازگشتی (Recurrence Relation)، دنباله ای است که به صورت بازگشتی تعریف می شود. در یک دنباله بازگشتی، یک معادله به نام رابطه بازگشتی ارائه می شود که با آن، جمله n ام دنباله به جملات پیشین مرتبط می شود. مقادیر چند جمله اول دنباله به نام های شرایط مرزی یا مقادیر اولیه، داده می شوند.
سرفصل هایی که در این آموزش به آن پرداخته شده است:
درس یکم: روابط بازگشتی
درس دوم: روش درخت بازگشت (recursion tree)
درس سوم: قضیه اصلی -تغییر متغیر
درس چهارم: رابطه های بازگشتی همگن
...
برای توضیحات بیشتر و تهیه این آموزش لطفا به لینک زیر مراجعه بفرمائید:
http://faradars.org/courses/fvsft120
11. بازگشتی روابط
faradars.org/fvsft120
n n
T(n) T( ) T( ) cn
a b
h
i
i 0
1 1
n ( )
a b
درخت ارتفاع:چپ سمت ارتفاع بین مقدار حداکثر) (راست سمت ارتفاع و) (
یک با برابر هاضریب جمع:
یک از کمتر هاضریب جمع:
n
alogn
blog
T(n) (nlgn)
T(n) (n)
11
فرمول
سرداﺮﻓ
FaraDars.org
12. بازگشتی روابط
faradars.org/fvsft120
بازگشتی رابطه جواب
n 9n
T(n) T( ) T( ) n
10 10
h
i
i 0
h
i
i 0
1 9
T(n) n ( )
10 10
n (1) (nlgn)
12
مثال
n n
T(n) T( ) T( ) cn
a b
h
i
i 0
1 1
n ( )
a b
سرداﺮﻓ
FaraDars.org
13. بازگشتی روابط
faradars.org/fvsft120
ه برگ به ریشه از مسیر ترینطوالنیا:
29 9
n n ( ) n ... 1
10 10
رابطهوقتیبرقراراستکه:
h
9
n 1
10
n
10/9h log
هزینهدرختدرهرسطحدرحدود:n
ارتفاعدرختازمرتبه:
مجموعهزینهها:
lgn
nlgn
13
سرداﺮﻓ
FaraDars.org
15. بازگشتی روابط
faradars.org/fvsft120
n n n
T(n) T( ) T( ) T( ) n
2 4 8
h
i
i 0
1 1 1
n ( )
2 4 8
h
i
i 0
7
n ( )
8
15
مثال
8n O(n)
سرداﺮﻓ
FaraDars.org
16. بازگشتی روابط
faradars.org/fvsft120
بازگشتی رابطه جواب: 2n 3n
T(n) T( ) T( ) n
4 4
n
4/3log
2 i
i 0
10
T(n) n ( )
16
است کمتر یک از سیگما مقدار.
16
مثال
2T(n) (n )
سرداﺮﻓ
FaraDars.org
17. بازگشتی روابط
faradars.org/fvsft120
آورید دست به را بازگشتی رابطه جواب.
2n n
T(n) T( ) T( ) n
4 2
n
2log
2 i
i 0
5
T(n) n ( )
16
است کمتر یک از سیگما مقدار.
17
مثال
2T(n) (n )
سرداﺮﻓ
FaraDars.org
18. بازگشتی روابط
faradars.org/fvsft120
توسط شده تولید بازگشت درخت
درخت یکaکامل تایی
برگ تعداد:
ارتفاع:
ها هزینه کل مجموع:
n
T(n) aT( ) f(n)
b
a
blog
n
n
blog
n
a b
b
log 1
log i
i
i 0
n
(n ) a f( )
b
18
سرداﺮﻓ
FaraDars.org
19. بازگشتی روابط
faradars.org/fvsft120
کنید مشخص را توسط شده تولید بازگشت درخت های هزینه کل مجموع.
n
T(n) 2T( ) n
2
n
2 2
2
log 1
log i
i
i 0
n
(n ) 2 f( )
2
19
مثال
n
2log 1
i 0
n n 1 n nlgn (nlgn)
n
2log 1
i
i
i 0
n
(n) 2
2
سرداﺮﻓ
FaraDars.org
20. بازگشتی روابط
faradars.org/fvsft120
کنید مشخص را مرتبه) ( .
2n
T(n) 3T( ) n
4
T(1) 1
n
3 4
4
log 1
log i
i
i 0
n
(n ) 3 f( )
4
3
4log 2 2n n O(n )
20
مثال
n
3 4
4
log 1
log i 2
i
i 0
n
n 3 ( )
4
n
3 4
4
log 1
log 2 i
i 0
3
n n ( )
16
سرداﺮﻓ
FaraDars.org
21. بازگشتی روابط
faradars.org/fvsft120
مرور
بازگشتی رابطه بازگشتی رابطه جواب
n n
T(n) T( ) T( ) n
2 2
n n
2 2lg lg
i
i 0 1 0
1 1
n ( ) n 1 n(lgn 1)
2 2
n 2n
T(n) T( ) T( ) n
3 3
n n
3/2 3/2lg lg
i
i 0 i 0
1 2
n ( ) n 1
3 3
nlgn
n 9n
T(n) T( ) T( ) n
10 10
n n
10/9 10/9lg lg
i
i 0 1 0
1 9
n ( ) n 1
10 10
nlgn
n 7n
T(n) T( ) T( ) n
5 10
n
10/7lg
i
i 0
1 7
n ( )
5 10
i9
n ( ) 10n
10
21
سرداﺮﻓ
FaraDars.org
23. بازگشتی روابط
faradars.org/fvsft120
n k n n k n k k
nk k n k n ...
2 4 4 2 4 2 4 16
n k
T(n,k) T( ,k) T(n, ) kn
2 4
23
بازگشتی رابطه حل
3 9
nk nk nk ...
4 16
23 3
nk 1 ( ) ... (nk)
4 4
سرداﺮﻓ
FaraDars.org
24. بازگشتی روابط
faradars.org/fvsft120
1 2 1 2
k k
T n,k T n , T n , nk n n n
2 2
T n,1 T 1,k 1
24
مثال
سرداﺮﻓ
FaraDars.org
25. بازگشتی روابط
faradars.org/fvsft120
ها هزینه مجموع:
1 2 3 4 5 6
k k k k k k
nk (n n ) (n n n n ) ...
2 2 4 4 4 4
25
1 2 3 4 5 6
k k
nk (n n ) (n n n n ) ..
2 4
1 2
k k
nk n (n n ) ...
2 4
k k 1 1
nk n n ... nk(1 ...) nk
2 4 2 4
1 2(n n n)
3 4 1 5 6 2(n n n ,n n n )
سرداﺮﻓ
FaraDars.org