ساختمان داده ها، یکی از دروس مهم و شیرین دانشگاهی است که به صورت پایه ای برای دروس مختلف از آن استفاده می شود، این درس در کنکور کارشناسی ارشد کامپیوتر و کنکور دکتری هوش مصنوعی و نرم افزار از دروس با ضرایب بالا می باشد. به همین دلیل آموزش ساختمان داده ها توسط یکی از بهترین مدرسین مسلط به مباحث ساختمان داده ها، ارائه شده است. سرفصل هایی که در این آموزش به آن پرداخته شده است: - بخش یکم: مرتبه اجرایی - بخش دوم: زیربرنامه های بازگشتی - بخش سوم: آرایه - بخش چهارم: صف و پشته - بخش پنجم: لیست پیوندی - بخش ششم: درخت - بخش هفتم: گراف - بخش هشتم: مرتب سازی - بخش نهم: درهم سازی برای توضیحات بیشتر و تهیه این آموزش لطفا به لینک زیر مراجعه بفرمائید: http://faradars.org/fvds9402

1. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مدرس‬:
‫شیرافکن‬ ‫فرشید‬
‫دکتری‬ ‫دانشجوی‬‫تهران‬ ‫دانشگاه‬
(‫ارشد‬‫کارشناسی‬ ‫و‬‫کارشناسی‬:‫افزار‬ ‫نرم‬ ‫کامپیوتر‬( )‫دکتری‬:‫انفورماتیک‬ ‫بیو‬)
‫ششم‬ ‫فصل‬(‫اول‬ ‫قسمت‬)
‫درخت‬
1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

2. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫ها‬ ‫داده‬ ‫ساختمان‬ ‫بندی‬ ‫دسته‬
2
1-‫خطی‬:‫آرایه‬-‫صف‬-‫پشته‬-‫لیست‬‫پیوندی‬
2-‫غیر‬‫خطی‬:‫درخت‬-‫گراف‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

3. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫اولیه‬ ‫تعاریف‬
3
‫درخت‬‫مجموعه‬‫محدودی‬‫از‬‫یك‬‫یا‬‫چند‬‫گره‬‫می‬‫باشد‬‫که‬‫دارای‬‫گره‬‫خاصی‬‫به‬‫نام‬‫ریشه‬‫است‬‫و‬‫بقیه‬‫‌ها‬‫ه‬‫گر‬‫به‬‫مجموعه‬‫مجزا‬‫تقس‬‫یم‬
‫‌شوند‬‫ی‬‫م‬‫که‬‫هر‬‫یك‬‫از‬‫‌ها‬‫ه‬‫مجموع‬‫خود‬‫نیز‬‫یك‬‫درخت‬‫می‬‫باشند‬.
‫ریشه‬‫گره‌ای‌که‌دارای‌پدر‌نیست‬‌‌.
‫برگ‬‌‫گره‌بدون‌فرزند‬(‫گره‌با‌درجه‌صف‬‫ر‬)
‫داخلی‬ ‫گره‬‫گره‌غیر‌برگ‌و‌ریشه‬
‫برادر‬‫گره‌هایی‌با‌یك‌پدر‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

4. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫گره‬ ‫ارتفاع‬ ‫و‬ ‫درخت‬ ‫ارتفاع‬
4
‫ارتفاع‬‫گره‬‌‫طول‌بزرگترین‌مسیر‬‌‫از‌آن‌گره‌به‬‫ب‬‌‫رگ‬
‫درخت‬ ‫ارتفاع‬‫ارتفاع‌ریشه‬
‫عمق‬(‫سطح‬)‫گره‬‌‫طول‌مسیری‌از‌ریشه‬‌‫به‬‫آن‌گره‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

5. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫ندارد‬ ‫حلقه‬ ‫درخت‬.
‫شکل‌زیر‌درخت‌نیست‬.
5
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

6. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫دودویی‬ ‫درخت‬
•‫درخت‌دودویی‬‌:‌‫درخت‬‌‫مرتبی‌که‌هر‌عنصر‌آن‬‫حداکثر‬‌‫دارای‌دو‌فرزند‬(‫فرزند‌چپ‌و‌راست‬‌)‫باشد‬.
•‫درخت‌مرتب‬‌:‌‫درختی‬‫که‌ترتیب‌فرزندان‌هر‌گره‌مشخص‌است‬.
6
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

7. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫پر‬ ‫دودویی‬ ‫درخت‬
‫درخت‬‫دودویی‬‫پر‬:‫درختی‬‫که‬‫در‬‫آن‬‫هر‬‫گره‬‫به‬‫غیر‬‫از‬‫‌ها‬‫گ‬‫بر‬‫دارای‬‫دو‬‫فرزند‬‫است‬.
‫مثال‬‌‌:‌‫یك‌درخت‌دودویی‌پر‌با‬31‌‫گره‌و‌ارتفاع‬4:
‫تعداد‬‫‌ها‬‫گ‬‫بر‬:2h‫تعداد‬‫گره‬:n = 2h+1 – 1‫تعداد‬‫‌های‬‫ه‬‫گر‬‫داخلی‬:floor (n/2)
7
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

8. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫کامل‬ ‫دودویی‬ ‫درخت‬
‫هر‬،‫سطح‬‫به‬‫جز‬ً‫ال‬‫احتما‬‫آخرین‬‫سطح‬،‫‌طور‬‫ه‬‫ب‬‫کامل‬‫پر‬،‫‌است‬‫ه‬‫شد‬‫و‬‫همۀ‬‫‌ها‬‫ه‬‫گر‬‫تا‬‫جایی‬‫که‬‫ممکن‬‫است‬‫در‬‫چپ‬‫درخت‬‫قرار‬‫‌گیر‬‫ی‬‫م‬‫ند‬.
8
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

9. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫برگ‬ ‫تعداد‬‫ها‬
‌‫تعداد‌برگها‌در‌یك‌درخت‬k‌‫تایی‬:
‌‫درخت‬2‌‫تایی‬‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌:‌‫درخت‬3‌‫تایی‬:
9
1...)2()1( 210   nnknkn kk
120  nn
3,2 02  nn11,8,1 023  nnn
12 230  nnn ‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

10. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫گذاری‬ ‫شماره‬
‫در‬‫هر‬‫درخت‬‫دودویی‬‫کامل‬‫شماره‬‫گذاری‬،‫شده‬‫برای‬‫هر‬‫گره‬‫با‬‫اندیس‬i‫قواعد‬‫زیر‬‫برقرار‬‫است‬:
1)‫اگر‬i=1،‫باشد‬‫آنگاه‬‫ریشه‬‫است‬.
2)‫اگر‬i< >1،‫باشد‬‫آنگاه‬‫والد‬‫آن‬،‫در‬‫حد‬‫پایین‬i/2‫است‬.
3)‫اگر‬2i<=n،‫باشد‬‫آنگاه‬‫فرزند‬‫چپ‬،‫آن‬‫در‬2i‫است‬.
4)‫اگر‬2i+1<=n،‫باشد‬‫آنگاه‬‫فرزند‬‫راست‬،‫آن‬‫در‬2i+1‫است‬.
10
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

11. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫دودویی‬ ‫درخت‬ ‫سازی‬‫پیاده‬
‌‫یك‌درخت‌را‌می‌توان‌به‌کمك‌آرایه‬‫یا‌لیست‌پیوندی‌نمایش‌داد‬.
‫با‬ ‫سازی‬‫پیاده‬‫آرایه‬
‌‫گره‬i‌‫ام‌با‌توجه‌به‌درخت‌دودویی‌کامل‌شماره‌گذاری‬‌‌،‫شده‬‌‫در‌خانه‬i‫ام‌در‌آرایه‌ذخیره‌می‌شود‬‌‌.
11
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

12. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مثال‬
‌‫پیاده‌سازی‌درخت‌اریب‌با‌آرایه‬:
12
3115731
5040302010
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

13. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫لیست‬ ‫با‬ ‫سازی‬‫پیاده‬‫پیوندی‬
‫هر‬‫گره‬‫در‬‫درخت‬‫دودویی‬‫شامل‬‫سه‬‫قسمت‬"،‫داده‬‫اشاره‬‫گر‬‫به‬‫فرزند‬‫چپ‬‫و‬‫اشاره‬‫گر‬‫به‬‫فرزند‬‫راست‬"‫می‬‫باشد‬.
‫تعریف‬‫یك‬‫گره‬‫درخت‬‫دودویی‬‫در‬‫زبان‬c:
struct node{
int data;
struct node* left;
struct node* right;
};
13
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

14. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مثال‬
14
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

15. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫دودویی‬ ‫درخت‬ ‫پیمایش‬
15
‫پیمایش‬‌،‫درخت‬‫یعنی‬‫حرکت‬‫روی‬‫یالهای‬‫درخت‬‫و‬‫مالقات‬‫همه‬‫گره‬‫های‬‫آن‬‫دقیقا‬‫یکبار‬.
‫روشهای‬‫معمول‬‫پیمایش‬:
1)‫پیشوندی‬(VLR)(‫ریشه‬‫ـ‬‫چپ‬‫ـ‬‫راست‬)(preorder)
2)‫میانوندی‬(LVR)(‫چپ‬‫ـ‬‫ریشه‬‫ـ‬‫راست‬)(inorder)
3)‫پسوندی‬(LRV)(‫چپ‬‫ـ‬‫راست‬‫ـ‬‫ریشه‬)(postorder)
‫در‬‫پیمایش‬‫پیشوندی‬،‫ابتدا‬‫ریشه‬‫مالقات‬‫می‬‫شود‬.‫سپس‬‫زیر‬‫درخت‬‫سمت‬‫چپ‬‫به‬‫روش‬‫پیشوندی‬‫پیمایش‬‫می‬‫شود‬.‫در‬‫نهایت‬‫زیر‬
‫درخت‬‫سمت‬‫راست‬‫به‬‫روش‬‫پیشوندی‬‫پیمایش‬‫می‬‫شود‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

16. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مثال‬
Preorder : J E A H T M Y
Inorder : A E H J M T Y
Postorder : A H E M Y T J
16
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

17. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مثال‬
Preorder : Y T W Z
Inorder : T W Y Z
Postorder : W T Z Y
17
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

18. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مثال‬
Preorder : S R Y T W Z
Inorder : R S T W Y Z
Postorder : R W T Z Y S
18
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

19. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مثال‬
Preorder : P F B H G S R Y T W Z
Inorder : B F G H P R S T W Y Z
Postorder : B G H F R W T Z Y S P
19
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

20. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مثال‬
Preorder : 8 5 3 4 2 6 1 9
Inorder : 3 4 5 8 6 2 1 9
Postorder : 4 3 5 6 9 1 2 8
20
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

21. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مثال‬
21
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

22. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫پیمایش‬ ‫های‬ ‫الگوریتم‬
postorderinorderpreorder
post(p){
if (p==null) return;
post ( p -> left );
post ( p -> right );
cout<<p -> data;
}
in (p){
if (p==null) return;
in ( p -> left );
cout<<p -> data;
in ( p -> right );
}
pre (p){
if (p==null) return;
cout<< p -> data;
pre ( p -> left );
pre ( p -> right );
}
22
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

23. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫و‬ ‫پیشوندی‬ ‫های‬ ‫پیمایش‬ ‫داشتن‬ ‫با‬ ‫دودویی‬ ‫درخت‬ ‫رسم‬‫میانوندی‬
‫رسم‬‫درخت‬‫دودویی‬‫با‬‫داشتن‬‫دو‬‫پیمایش‬‫زیر‬:
Preorder : a b d f c e g
Inorder : d f b a e g c
23
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

24. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫فرزندی‬ ‫تک‬ ‫های‬ ‫گره‬ ‫کردن‬ ‫مشخص‬
‫می‬‫توان‬‫به‬‫کمك‬‫دو‬‫پیمایش‬preorder‫و‬postorder‫یك‬‫درخت‬،‫دودویی‬‫گره‬‫های‬‫تك‬‫فرزندی‬‫را‬‫مشخص‬‫کرد‬.
‫برای‬‫این‬‫کار‬‫در‬‫پیمایش‬Preorder‫از‬‫چپ‬‫به‬‫راست‬‫حرکت‬‫کرده‬‫و‬‫زوج‬‫پشت‬‫سرهمی‬‫که‬‫معکوس‬‫آن‬‫در‬‫پیمایش‬postorder
‫باشد‬‫را‬‫پیدا‬‫می‬‫کنیم‬.‫اولین‬‫گره‬‫در‬‫این‬‫زوج‬،‫ها‬‫گره‬‫های‬‫تك‬‫فرزندی‬‫می‬‫باشند‬.
‫مثال‬:
Preorder : 8 5 3 4 2 6 1 9
Postorder : 4 3 5 6 9 1 2 8
(53) , (34) ‫و‬ (19) .
24
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

25. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫درخت‬ ‫رسم‬‫پسوندی‬ ‫و‬ ‫پیشوندی‬ ‫های‬ ‫پیمایش‬ ‫داشتن‬ ‫با‬ ‫دودویی‬
‫اگر‬‫پیمایش‬‫های‬‫پیشوندی‬‫و‬‫پسوندی‬‫یك‬‫درخت‬‫دودویی‬‫در‬‫دسترس‬،‫باشند‬‫محل‬‫‌های‬‫ه‬‫گر‬‫تك‬‫فرزندی‬‫را‬‫‌توان‬‫ی‬‫نم‬‫مشخص‬‫کرد‬.
‫بنابراین‬‫در‬‫صورت‬‫وجود‬‫گره‬‫های‬‫تك‬،‫فرزندی‬‫چندین‬‫درخت‬‫می‬‫توان‬‫ایجاد‬‫کرد‬‫که‬‫پیمایش‬preorder‫و‬postorder‫آنها‬
‫با‬‫هم‬‫برابر‬‫باشند‬.‫تعداد‬‫این‬‫درخت‬‫ها‬‫برابر‬‫است‬‫با‬:^k2،(k:‫تعداد‬‫گره‬‫های‬‫تك‬‫فرزندی‬)
‫مثال‬:
Preorder : A B C D E F G H I
Postorder : C E D B H I G F A
‫چهار‬‫درخت‬‫ممکن‬:
25
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

26. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫پیمایش‬‫ترتیب‬ ‫به‬ ‫درخت‬‫سطح‬(Level Order)
‫گره‬‫ها‬‫را‬‫به‬‫ترتیب‬‫سطح‬‫از‬‫باال‬‫به‬‫پایین‬‫و‬‫در‬‫هر‬‫سطح‬‫از‬‫چپ‬‫به‬‫راست‬‫مالقات‬‫می‬‫کنیم‬.
‫در‬‫پیمایش‬level oder‫ا‬‫ز‬‫صف‬‫استفاده‬‫می‬‫شود‬.
‫پیمایش‬‫های‬،‫میانوندی‬‫پیشوندی‬‫و‬،‫پسوندی‬‫به‬‫پشته‬‫نیاز‬‫دارند‬.
26
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

27. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫درخت‬‫عبارت‬
‌‫درخت‌عبارت‌از‬‌‫کاربردهای‬‌‫‌های‌ریاضی‌به‌کار‌می‬‫ت‬‫مهم‌درخت‌دودویی‌است‌که‌برای‌عبار‬‫رود‬.
‌‫پیمایش‬inorder‌‌‫‌‌نگارش‬،‫یك‌درخت‌عبارت‬infix‫‌را‌تولید‌می‌کند‬‫ن‬‫آ‬‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌.A-(C/5*2)+(D*5%4)
‌‫پیمایش‬preorder‌‌‫‌‌نگارش‬،‫یك‌درخت‌عبارت‬prefix‫‌را‌تولید‌می‌کند‬‫ن‬‫آ‬.
‌‫پیمایش‬postorder‌‌‫‌‌نگارش‬،‫یك‌درخت‌عبارت‬postfix‫‌را‌تولید‌می‌کند‬‫ن‬‫آ‬.
27
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

28. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫های‬ ‫درخت‬ ‫تعداد‬‫با‬ ‫توان‬ ‫می‬ ‫که‬ ‫دودویی‬n‫ساخت‬ ‫گره‬
‫فرض‬‫‌کنیم‬‫ی‬‫م‬‫هر‬‫یك‬‫از‬‫گره‬‫ها‬‫را‬‫به‬‫روش‬inorder‫از‬1‫تا‬n‫شماره‬‫گذاری‬‫کرده‬‫ایم‬.
‫اگر‬‫گره‬‫شماره‬i‫ریشه‬،‫باشد‬‫در‬‫آن‬‫صورت‬i-1‫گره‬‫در‬‫زیر‬‫درخت‬‫چپ‬‫ریشه‬‫و‬n-i‫گره‬‫در‬‫زیر‬‫درخت‬‫راست‬‫ریشه‬‫قرار‬‫دارند‬.
1 2 3 …………………i-1 i i+1 ……………………. n
28








n
n
n
bn
2
1
1
1,1 10
1
1

 


bb
bbb in
n
i
in
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

29. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مثال‬
‫تعداد‬‫درخت‬‫های‬‫دودویی‬‫متفاوت‬‫که‬‫با‬3‫گره‬‫‌توان‬‫ی‬‫م‬‫ساخت‬‫را‬‫مشخص‬‫نمایید‬.
‫پاسخ‬:
‫یکی‬‫را‬‫ریشه‬‫قرار‬‫داده‬‫و‬‫حالت‬‫های‬‫زیر‬‫را‬‫ایجاد‬‫می‬‫کنیم‬:
‫الف‬-‫هر‬‫دو‬‫گره‬‫در‬‫راست‬‫ریشه‬
‫ب‬-‫یك‬‫گره‬‫در‬‫چپ‬‫ریشه‬‫و‬‫یك‬‫گره‬‫در‬‫راست‬‫ریشه‬
‫ج‬-‫هر‬‫دو‬‫گره‬‫در‬‫چپ‬‫ریشه‬
‫روش‬‫دوم‬:
29
5
4
45
4
!3!3
!3456
4
!3!3
!6
4
3
6











21101102  bbbbb ‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

30. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫درخت‬‫دودویی‬‫شده‬ ‫کشی‬ ‫نخ‬(( A Threaded Binary Tree
‫یك‬‫درخت‬‫دودویی‬‫با‬n‫گره‬‫دارای‬2n‫‌گر‬‫ه‬‫اشار‬‫است‬.
n-1‫‌گر‬‫ه‬‫اشار‬‫استفاده‬‫شده‬‫و‬n+1‫‌گر‬‫ه‬‫اشار‬‫استفاده‬‫نشده‬‫است‬.
‫با‬‫استفاده‬‫از‬‫‌گرهای‬‫ه‬‫اشار‬‫بدون‬‫استفاده‬‫‌توان‬‫ی‬‫م‬‫به‬‫عناصر‬‫قبلی‬‫یا‬‫بعدی‬‫در‬‫یك‬‫پیمایش‬‫اشاره‬‫کرد‬‫که‬‫باعث‬‫باال‬‫رفت‬‫ن‬‫سرعت‬‫پیمایش‬
‫درخت‬‫‌شود‬‫ی‬‫م‬.
‫به‬‫درختی‬‫که‬‫از‬‫‌گرهای‬‫ه‬‫اشار‬‫بدون‬‫استفاده‬‫آن‬‫این‬‫چنین‬‫استفاده‬‫شود‬،‫درخت‬‫نخی‬‫‌گویند‬‫ی‬‫م‬.
H D I B E A F C G
30
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

31. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫نخی‬ ‫درخت‬ ‫در‬ ‫گره‬ ‫ساختار‬
struct node{
struct node *left ;
struct node *right ;
char data ;
short int lflag ;
short int rflag ;
};
‌‫اگر‬lflag=1‌،‫باشد‬left‫‌گر‌عادی‌به‌فرزند‌چپ‌است‬‫ه‬‫‌گر‌نخی‌است‌و‌در‌غیر‌این‌صورت‌اشار‬‫ه‬‫یك‌اشار‬‌‌.
‌‫اگر‬rflag=1‌،‫باشد‬right‫‌گر‌عادی‌به‌فرزند‌راست‌است‬‫ه‬‫‌گر‌نخی‌است‌و‌در‌غیر‌این‌صورت‌اشار‬‫ه‬‫یك‌اشار‬‌‌.
31
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

32. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫درخت‬‫کلی‬(‫عمومی‬)
‫با‬‫فرض‬‫اینکه‬‫یك‬‫گره‬‫دارای‬‫یك‬‫فرزند‬،‫باشد‬‫آنگاه‬‫این‬‫فرزند‬‫در‬‫یك‬‫درخت‬‫دودویی‬‫با‬‫عنوان‬‫بچه‬‫چپ‬‫یا‬‫راست‬‫از‬‫هم‬‫متم‬‫ایز‬
،‫‌شوند‬‫ی‬‫م‬‫اما‬‫در‬‫یك‬‫درخت‬‫کلی‬‫تفاوتی‬‫بین‬‫آنها‬‫وجود‬‫ندارد‬.
‫برای‬‫پیاده‬‫سازی‬‫درخت‬‫های‬،‫کلی‬‫آنها‬‫را‬‫به‬‫صورت‬‫یك‬‫درخت‬‫دودویی‬‫در‬‫می‬‫آوریم‬‫که‬‫به‬‫آن‬"‫درخت‬‫دودویی‬‫معادل‬"‫با‬‫درخت‬
‫اصلی‬‫می‬‫گوییم‬.
32
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

33. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫معادل‬ ‫دودویی‬ ‫درخت‬ ‫به‬ ‫درخت‬ ‫یک‬ ‫تبدیل‬ ‫مراحل‬
1-‫در‬‫هر‬‫سطح‬‫کلیه‬‫‌های‬‫ه‬‫گر‬‫کنار‬‫هم‬(‫فرزندان‬‫یك‬‫پدر‬)‫را‬‫به‬‫یکدیگر‬‫متصل‬‫‌کنیم‬‫ی‬‫م‬.
2-‫کلیه‬‫اتصاالت‬‫‌ها‬‫ه‬‫گر‬‫به‬‫گره‬،‫پدر‬‫بجز‬‫اتصال‬‫سمت‬‫‌ترین‬‫پ‬‫چ‬‫فرزند‬‫را‬‫قطع‬‫‌کنیم‬‫ی‬‫م‬.
‫اولین‬‫فرزند‬‫هر‬‫گره‬‫در‬‫درخت‬،‫اصلی‬‫فرزند‬‫چپ‬‫آن‬‫گره‬‫در‬‫درخت‬‫دودویی‬‫معادل‬‫است‬‫و‬‫برادر‬‫سمت‬‫راست‬‫هر‬‫گره‬‫در‬
‫درخت‬،‫اصلی‬‫فرزند‬‫راست‬،‫آن‬‫در‬‫درخت‬‫معادل‬‫است‬.
33
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

34. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫جنگل‬(Forest)
34
‌‫جنگل‌شامل‬n‫درخت‌مجزا‌است‬‌.(n>=0)
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

35. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫دودویی‬ ‫درخت‬ ‫به‬ ‫جنگل‬ ‫تبدیل‬
35
‫مراحل‬‫تبدیل‬:
1-‫هر‬‫درخت‬‫جنگل‬‫را‬‫به‬‫یك‬‫درخت‬‫دودویی‬‫تبدیل‬‫‌کنیم‬‫ی‬‫م‬.
2-‫درخت‬‫های‬‫دودویی‬‫را‬‫از‬‫طریق‬‫فرزند‬‫راست‬‫‌های‬‫ه‬‫گر‬،‫ریشه‬‫به‬‫هم‬‫متصل‬‌‫ی‬‫م‬‫کنیم‬.
‫در‬‫درخت‬‫دودویی‬‫حاصل‬‫از‬،‫جنگل‬‫تعداد‬‫برگ‬،‫ها‬‫برابر‬‫تعداد‬‫درخت‬‫هایی‬‫است‬‫که‬‫جنگل‬‫را‬‫تشکیل‬‫داده‬‫اند‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

36. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫یافته‬ ‫گسترش‬ ‫دودویی‬ ‫درخت‬(2-Tree)
‫درخت‬‫دودویی‬‫که‬‫در‬‫آن‬‫هر‬‫گره‬0‫یا‬2‫فرزند‬‫دارد‬.
‫گره‬‫هایی‬‫که‬‫فرزند‬‫ندارند‬‫را‬‫خارجی‬‫می‬‫گویند‬.
‫‌هایی‬‫ه‬‫گر‬‫که‬2‫فرزند‬‫دارند‬‫را‬‫داخلی‬‫می‬‫گویند‬.
‫تعداد‬‫‌های‬‫ه‬‫گر‬‫داخلی‬‫را‬‫با‬I‫نشان‬‫می‬‫دهیم‬.
‫تعداد‬‫‌های‬‫ه‬‫گر‬‫خارجی‬‫را‬‫با‬E‫نشان‬‫می‬‫دهیم‬.
‫مجموع‬‫تمام‬‫طول‬‫ها‬‫از‬‫ریشه‬‫تا‬‫هر‬‫گره‬‫داخلی‬‫را‬‫طول‬‫مسیر‬‫داخلی‬LI‫می‬‫نامیم‬.
‫مجموع‬‫تمام‬‫طول‬‫ها‬‫از‬‫ریشه‬‫تا‬‫هر‬‫گره‬‫خارجی‬‫را‬‫طول‬‫مسیر‬‫خارجی‬LE‫می‬‫نامیم‬.
36
5221 EL
I2LL IE 
3
2


E
I
110 IL
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

37. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‌‫پیاده‌سازی‬
‌‫چند‌الگوریتم‬
‌‫به‌زبان‬c
37
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

38. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫ایجاد‬‫نود‬
‌‫ساختار‌گره‌یك‌درخت‌دودویی‬‌‌:
struct node{ int data; struct node* left; struct node* right; };
‫تابع‬newnode‫استفاده‬‫شده‬‫در‬‫تمام‬‫پیاده‬‫سازی‬‫ها‬:
struct node* newnode(int item){
struct node* node = (struct node*) malloc(sizeof(struct node));
node ->data = item;
node ->left = NULL;
node ->right = NULL;
return(node);
}
38
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

39. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫شمارش‌تعداد‌گره‌ها‬
unsigned int count (struct node* root)
{
if (root == NULL)
return (0);
return (1 + count ( root->left ) + count ( root->right ) );
}
39
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

40. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫بودن‬ ‫برگ‬ ‫تشخیص‬
bool isleaf (struct node *n)
{
if (n== NULL)
return false;
if ((n ->left == NULL) && (n ->right == NULL) )
return true;
return false;
}
40
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

41. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫درخت‬ ‫ساختن‬
int main(void) {
struct node* nr = NULL;
struct node* root = newnode (2);
root ->left = newnode (7);
root -> right = newnode (5);
root -> left -> right = newnode (6);
root -> left -> right -> left = newnode (1);
root -> right -> right = newnode (9);
}
41
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

42. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫تشخیص‬‫دودویی‬ ‫درخت‬ ‫بودن‬ ‫کامل‬
bool f(struct Node* root, unsigned int i , unsigned int n)
{
if (root == NULL)
return (true);
if (i >= n)
return (false);
return( f(root->left, 2*i , n) && f (root->right , 2*i + 1 , n) );
}
42
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

43. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫فرزندی‬ ‫تک‬ ‫های‬ ‫گره‬ ‫حذف‬
‫فرزندی‬ ‫تک‬ ‫های‬ ‫گره‬ ‫حذف‬
struct node* remove (struct node* root){
if (root==NULL) return NULL;
root->left = remove (root->left);
root->right = remove (root->right);
if ((root->left==NULL) && (root->right==NULL) ) return root;
if (root->left==NULL)
{ struct node* n = root->right; free(root); return n; }
if (root->right==NULL)
{ struct node* n = root->left; free(root); return n; }
return root;
}
43
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

44. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫پیمایش‬levelorder
void LevelOrder( struct node* root ){
int rear, front;
struct node ** queue = createQueue( &front , &rear );
struct node * t = root;
while(t) {
cout << t ->data ;
if (t ->left ) enQueue( queue, &rear, t -> left );
if (t ->right ) enQueue (queue, &rear, t -> right );
t = deQueue (queue, &front );
}
}
44
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

45. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
struct node** createQueue(int *front , int *rear) {
struct node ** queue = (struct node **) malloc (sizeof(struct node*) * MAX);
*front = *rear = 0;
return queue;
}
void enQueue(struct node **queue, int *rear, struct node *newnode) {
queue[*rear] = newnode;
(*rear)++;
}
struct node * deQueue(struct node **queue, int *front) {
(*front)++;
return queue[*front - 1];
} 45
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

46. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫تمرین‬
‫عملکرد‌تابع‌زیر‌چیست؟‬
int sum ( node *root ){
int s = 0;
if ( root != NULL ) {
if ( isLeaf (root ->left ) ) s = s + root ->left ->data;
else s = s+ sum (root ->left);
s = s + sum (root -> right);
}
return s;
}
46
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

47. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫دودویی‬ ‫جستجوی‬ ‫درخت‬
47
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

48. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫دودویی‬ ‫جستجوی‬ ‫درخت‬(BST)
‫درختی‬‫را‬‫جستجوی‬‫دودویی‬((Binary Search Tree‫می‬‫نامند‬‫که‬:
1-‫عناصر‬‫زیر‬‫درخت‬،‫چپ‬‫کوچك‬‫تر‬‫از‬‫ریشه‬‫باشند‬.
2-‫عناصر‬‫زیر‬‫درخت‬،‫راست‬‫‌تر‬‫گ‬‫بزر‬‫از‬‫ریشه‬‫باشند‬.
3-‫زیر‬‫درختان‬‫چپ‬‫و‬‫راست‬،‫درختان‬‫جستجوی‬‫دودویی‬‫‌باشند‬.
4-‫گره‬‫با‬‫عنصر‬‫تکراری‬‫نداشته‬‫باشد‬.
48
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

49. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫ارتفاع‬BST
‫ارتفاع‬‫درخت‬‫جستجوی‬‫دودویی‬‫به‬‫طور‬‫متوسط‬‫برابر‬lgn‫و‬‫در‬‫بدترین‬‫حالت‬‫برابر‬n‫می‬‫باشد‬.
49
nhn lg
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

50. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫ساخت‬BST
‌‫به‌چند‌حالت‌می‌توان‌با‌وارد‌کردن‌مقادیر‬3,2,1‌‫‌دلخواه‌در‌یك‬‫به‌هر‌ترتیب‬BST‌‫تهی،‌یك‬BST‌‫با‌سه‌گره‌ساخت؟‬
‫پاسخ‬:
‫ترتیب‬‫های‬‫ممکن‬‫برای‬‫ورود‬‫سه‬‫عدد‬:
123 , 132 , 321 , 312 , 231 , 213
‌‫ترتیب‬213‫و‬231‫منجر‌به‌یك‌درخت‌می‌شوند‬‌.‌‫بنابراین‬5‫درخت‌متمایز‌می‌توان‌ایجاد‌کرد‬‌‌.
‌‫البته‬‌‫می‌توان‌با‌قرار‌دادن‌مقدار‬3‌‫در‌رابطه‬‌‫به‬‌‫جواب‬5‫رسید‬‌‌.
50
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

51. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫در‬ ‫عنصر‬ ‫یک‬ ‫جستجوی‬BST
‫مقدار‬‫کلید‬‫عنصر‬‫مورد‬‫نظر‬‫با‬‫ریشه‬‫مقایسه‬‫‌شود‬‫ی‬‫م‬:
1-‫اگر‬‫برابر‬‫باشد‬‫به‬‫نتیجه‬‫‌ایم‬‫ه‬‫رسید‬.
2-‫اگر‬‫کمتر‬‫از‬‫مقدار‬‫ریشه‬،‫باشد‬‫زیر‬‫درخت‬‫چپ‬‫را‬‫به‬‫صورت‬‫بازگشتی‬‫جستجو‬‫می‬‫نماییم‬.
3-‫اگر‬‫بزرگتر‬‫از‬‫مقدار‬‫ریشه‬،‫باشد‬‫زیر‬‫درخت‬‫راست‬‫را‬‫به‬‫صورت‬‫بازگشتی‬‫جستجو‬‫می‬‫نماییم‬.
51
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

52. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مثال‬
‫مثال‬‌:‫‌کنید‬‫تعداد‌مقایسه‌برای‌پیدا‌کردن‌هر‌یك‌از‌کلیدهای‌درخت‌زیر‌را‌تعیین‬.
52
18
24
212
32
36
310
314
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

53. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫دودویی‬ ‫جستجوی‬ ‫الگوریتم‬
search( t , key)
{
if ( t==NULL or key == t -> data )
return t ;
if ( key < t -> data )
return search ( t -> left , key ) ;
else
return search ( t -> right , key ) ;
}
53
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

54. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫دنباله‬‫جستجو‬
‫در‬‫یك‬BST‫یك‬"‫دنباله‬‫جستجوی‬‫کلید‬x"،‫دنباله‬‫ای‬‫از‬‫برچسب‬‫های‬‫گره‬‫های‬‫آن‬‫درخت‬‫است‬‫که‬‫در‬‫یافتن‬‫موفق‬(‫یا‬‫ناموفق‬)x
‫مالقات‬‫می‬‫شوند‬.
‫مثال‬:‫دنباله‬‫جستجو‬45‫برابر‬‫است‬‫با‬:< 60 , 25 , 50 , 30 , 45 >
54
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

55. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫به‬ ‫عنصر‬ ‫یک‬ ‫درج‬BST
‫کلید‬‫مورد‬‫نظر‬‫ابتدا‬‫با‬‫ریشه‬‫مقایسه‬‫شده‬‫و‬‫در‬‫صورت‬‫کوچکتر‬،‫بودن‬‫به‬‫زیر‬‫درخت‬‫چپ‬‫و‬‫در‬‫صورت‬‫بزرگتر‬‫بودن‬‫به‬‫زی‬‫ر‬‫درخت‬‫راست‬
‫اضافه‬‫می‬‫شود‬.
‫مثال‬:‫اضافه‬‫کردن‬45:
‌‫درج‬‌‫در‬BST‌‫با‬n‌‫گره‌و‬‌‫به‌ارتفاع‬h‫در‌زمان‬O(h)‌‫انجام‬‫‌گیرد‬‫ی‬‫م‬.
55
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

56. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫در‬ ‫درج‬ ‫الگوریتم‬BST
‫داده‬ ‫با‬ ‫گره‬ ‫یک‬ ‫درج‬item‫دودویی‬ ‫جستجوی‬ ‫درخت‬ ‫در‬t
insert( t , item ) {
p = search( t , item );
if ( p or !t ) {
n = malloc(sizeof(t));
n -> data = item ; n -> left = NULL; n -> right = NULL;
if ( t )
if (item < p -> data ) p -> left = n; else p -> right = n;
else
t = n;
}
}
56
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

57. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مرتب‬‫سازی‬
‫با‬‫ایجاد‬‫یك‬‫درخت‬‫جستجوی‬‫دودویی‬‫با‬n‫عدد‬‫و‬‫سپس‬‫پیمایش‬inorder،‫درخت‬‫می‬‫توان‬‫یك‬‫لیست‬‫مرتب‬‫شده‬‫از‬‫اعداد‬‫را‬
‫بدست‬‫آورد‬.‫به‬‫این‬‫روش‬‫مرتب‬،‫سازی‬Tree Sort‫می‬‫گویند‬.
inorder : 20 , 25 , 30 , 45 , 50 , 60 , 65 , 70
57
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

58. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫از‬ ‫گره‬ ‫یک‬ ‫حذف‬BST
‫پس‬‫از‬‫یافتن‬‫گره‬‫مورد‬‫نظر‬‫برای‬‫حذف‬،‫یکی‬‫از‬‫سه‬‫حالت‬‫زیر‬‫ممکن‬‫است‬‫رخ‬‫دهد‬:
1-‫اگر‬‫گره‬‫فاقد‬‫فرزند‬،‫باشد‬‫به‬‫سادگی‬‫حذف‬‫شده‬‫و‬‫نیازی‬‫به‬‫تنظیم‬‫درخت‬‫‌باشد‬‫ی‬‫نم‬.
2-‫اگر‬‫گره‬‫فقط‬‫دارای‬‫یك‬‫فرزند‬،‫باشد‬‫فرزند‬‫آن‬‫به‬‫طرف‬‫باال‬‫در‬‫درخت‬‫منتقل‬‫‌شود‬‫ی‬‫م‬.
3-‫اگر‬‫گره‬‫دارای‬‫دو‬‫فرزند‬،‫باشد‬‫گره‬‫بعدی‬‫یا‬‫قبلی‬‫آن‬‫در‬‫پیمایش‬inorder‫جای‬‫آن‬‫را‬‫‌گیرد‬‫ی‬‫م‬.
(‫به‬‫عبارتی‬‫عنصر‬‫حذف‬،‫شده‬‫با‬‫مقدار‬‫‌ترین‬‫گ‬‫بزر‬‫عنصر‬‫زیر‬‫درخت‬‫چپ‬‫یا‬‫کوچکترین‬‫عنصر‬‫زیر‬‫درخت‬‫راست‬‫جایگزین‬‫‌شود‬‫ی‬‫م‬.)
58
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

59. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫مثال‬
•‌‫حذف‌گره‬‌‫با‌داده‬25‌:
59
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

60. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫در‬ ‫ماکزیمم‬ ‫و‬ ‫مینیم‬ ‫عنصر‬ ‫کردن‬ ‫پیدا‬BST
‫عنصری‬‫که‬‫کلید‬‫آن‬‫در‬BST،‫مینیمم‬‫است‬‫را‬‫می‬‫توان‬‫با‬‫دنبال‬‫کردن‬‫اشاره‬‫گرهای‬‫فرزندان‬‫چپ‬‫از‬‫ریشه‬‫تا‬‫رسیدن‬‫به‬NULL‫پیدا‬‫کرد‬.
min( t ) {
while ( t -> left != NULL )
t = t -> left;
return t;
}
‌‫‌گری‌به‌عنصر‬‫ه‬‫روال‌زیر‌اشار‬‌‫ماکزیمم‌در‬‌‫زیر‌درخت‌مشتق‌شده‌از‬t‫‌گرداند‬‫ی‬‫را‌برم‬:
max( t ) {
while ( t -> right != NULL )
t = t -> right;
return t;
}
60
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

61. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫هیپ‬ ‫درخت‬
61
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

62. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫هرم‬(Heap)
‫دو‬‫نوع‬Heap‫دودویی‬‫وجود‬‫دارد‬:
1-Max-Heap:
‫یك‬‫درخت‬‫دودویی‬‫کامل‬‫که‬‫مقدار‬‫کلید‬‫هر‬‫گره‬‫آن‬‫بزرگتر‬‫یا‬‫مساوی‬‫مقدار‬‫کلیدهای‬‫فرزندانش‬‫باشد‬.
‫ریشه‬:‫بزرگترین‬‫کلید‬.
62
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

63. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫هرم‬((Heap
2-Min-Heap:
‫یك‬‫درخت‬‫دودویی‬‫کامل‬‫که‬‫مقدار‬‫کلید‬‫هر‬‫گره‬‫آن‬‫کوچکتر‬‫یا‬‫مساوی‬‫مقدار‬‫کلیدهای‬‫فرزندانش‬‫باشد‬.
‫ریشه‬Minheap:‫کوچکترین‬‫کلید‬.
63
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

64. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫نمایش‬heap‫آرایه‬ ‫با‬
‫برای‬‫هر‬‫عنصر‬v[i]:
‫فرزند‬‫چپ‬:v[2i+1]‫فرزند‬‫راست‬:v[2i+2]‫پدر‬:
64
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

65. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫در‬ ‫درج‬Heap
‫درج‬‫در‬‫سطحی‬‫که‬‫هنوز‬‫به‬‫طور‬‫کامل‬‫پر‬‫نشده‬(‫در‬‫چپ‬‫‌ترین‬‫جای‬‫خالی‬)
‫سپس‬‫عمل‬ReHeap‫صورت‬‫‌پذیرد‬‫ی‬‫م‬،(‫یعنی‬‫گره‬‫در‬‫‌ترین‬‫ن‬‫پایی‬‫سطح‬‫تا‬‫حد‬‫امکان‬‫با‬‫گره‬‫پدرش‬‫جا‬‫به‬‫جا‬‫‌شود‬‫ی‬‫م‬.)
‫مثال‬:‫درج‬5:
65
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

66. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
Heaps 66
19
4222127
23
45
35
42
‫درج‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

67. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
Heaps 67
19
4222142
23
45
35
27
‫درج‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

68. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
Heaps 68
19
4222135
23
45
42
27
‫درج‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

69. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫هیپ‬ ‫درخت‬ ‫ساخت‬
69
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

70. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫از‬ ‫حذف‬Heap
‫ریشه‬‫حذف‬‫شده‬‫و‬‫سمت‬‫‌ترین‬‫ت‬‫راس‬‫عنصر‬‫موجود‬‫در‬‫‌ترین‬‫ن‬‫پایی‬،‫سطح‬‫در‬‫ریشه‬‫قرار‬‫‌گیرد‬‫ی‬‫م‬‫و‬‫درخت‬ً‫ا‬‫مجدد‬‫تنظیم‬‫‌شو‬‫ی‬‫م‬‫د‬.
70
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

71. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
Heaps 71
19
4222127
36
45
35
3
‌‫مثال‬‌:‫حذف‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

72. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
Heaps 72
19
4222127
36
3
35
‌‫مثال‬‌:‫حذف‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

73. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
Heaps 73
19
4222127
3
36
35
‌‫مثال‬‌:‫حذف‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

74. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
Heaps 74
19
432127
22
23
35
‌‫مثال‬‌:‫حذف‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

75. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫اولویت‬ ‫صف‬(Priority Queue)
‫در‬‫صف‬‌‫ت‬‫اولوی‬‫برای‬‫هر‬‫داده‬‫اولویتی‬‫مشخص‬‫‌شود‬‫ی‬‫م‬.
‫عنصری‬‫که‬‫باالترین‬‫اولویت‬‫را‬،‫دارد‬‫حذف‬‫‌گردد‬‫ی‬‫م‬.
‫صف‬‫اولویت‬‫را‬‫‌توان‬‫ی‬‫م‬‫به‬‫اورژانس‬‫یك‬‫بیمارستان‬‫تشبیه‬‫کرد‬‫که‬‫هر‬‫بیمار‬‫با‬‫شدت‬‫بیماری‬‫بیشتر‬‫اولویت‬‫بیشتری‬‫برای‬‫رسیدگی‬‫دارد‬.
‫‌عامل‬‫م‬‫سیست‬‫کامپیوتر‬‫هم‬‫برای‬‫مدیریت‬‫‌ها‬‫ش‬‫پرداز‬‫از‬‫صف‬‫های‬‫اولویت‬‫استفاده‬‫‌کند‬‫ی‬‫م‬.
‫دو‬‫نوع‬‫صف‬‫اولویت‬‫وجود‬‫دارد‬:
1-‫صف‬‫اولویت‬‫ماکزیمم‬(max-priority queue)
2-‫صف‬‫اولویت‬‫مینیمم‬(min-priority queue)
75
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

76. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫اولویت‬ ‫صف‬ ‫سازی‬ ‫پیاده‬
1-‫با‬‫استفاده‬‫از‬‫آرایه‬‫نامرتب‬
‫‌ای‬‫ه‬‫داد‬‫که‬‫وارد‬‫صف‬،‫‌شود‬‫ی‬‫م‬‫مانند‬‫صف‬‫عادی‬‫در‬‫انتهای‬‫آن‬‫قرار‬‫‌گیرد‬‫ی‬‫م‬.
‫درج‬:O(1)‫حذف‬:O(n)
2-‫با‬‫استفاده‬‫از‬‫آرایه‬‫مرتب‬
‫‌ای‬‫ه‬‫داد‬‫که‬‫وارد‬‫صف‬،‫‌شود‬‫ی‬‫م‬‫بر‬‫اساس‬‫اولویت‬‫خود‬‫در‬‫محل‬‫مناسب‬‫قرار‬‫‌گیرد‬‫ی‬‫م‬.
‫درج‬:O(n)‫حذف‬:O(1)
3-‫با‬‫استفاده‬‫از‬‫آرایه‬‫نیمه‬‫مرتب‬heap))
‫درج‬:O(logn)‫حذف‬:O(logn)
‫پس‬‫روش‬‫درخت‬‫هیپ‬‫برای‬‫پیاده‬‫سازی‬‫صف‬‫اولویت‬‫کارآیی‬‫بسیار‬‫بهتری‬‫دارد‬.
76
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

77. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫صف‬‫اولویت‬(‫ادامه‬).
‫یك‬‫صف‬‫اولویت‬‫ماکزیمم‬‫اعمال‬‫زیر‬‫را‬‫پشتیبانی‬‫می‬‫کند‬:
‫یافتن‬‫یك‬‫عنصر‬‫در‬‫صف‬‫اولویت‬‫را‬‫نمی‬‫توان‬‫به‬‫صورت‬‫کارا‬‫انجام‬،‫داد‬‫چون‬‫یك‬‫عنصر‬‫خاص‬‫جای‬‫ثابتی‬‫ندارد‬‫و‬‫باید‬‫تمام‬‫ع‬‫ناصر‬
‫جستجو‬‫شوند‬.
77
MAXIMUM(S)‫بزرگترین‬ ‫با‬ ‫عنصر‬ ‫برگرداندن‬‫اولویت‬O(1)
INSERT(S,x)‫عنصر‬ ‫درج‬xO(lgn)
EXTRACT-MAX(S)‫بزرگترین‬ ‫با‬ ‫عنصر‬ ‫برگرداندن‬ ‫و‬ ‫حذف‬‫او‬‫لویت‬O(lgn)
INCREASE-KEY(S,x,k)‫مقدار‬ ‫افزایش‬‫عنصر‬ ‫اولویت‬x‫جدید‬ ‫مقدار‬ ‫به‬kO(lgn)
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

78. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫حداقل‬ ‫هرم‬-‫حداکثر‬(Min-Max Heap)
78
‫یك‬‫درخت‬‫دودویی‬‫کامل‬‫است‬‫که‬‫اگر‬‫تهی‬‌،‫نباشد‬‫هر‬‫عنصر‬‫آن‬‫دارای‬‫فیلدی‬‫به‬‫نام‬‫کلید‬‫است‬.
‫سطوح‬‫متناوب‬‫این‬،‫درخت‬‫بترتیب‬‫سطوح‬min‫و‬‫سطوح‬max‫هستند‬.‫ریشه‬‫در‬‫سطح‬min‫قرار‬‫دارد‬.
‌‫ه‬‫گر‬min:‫‌ای‬‫ه‬‫گر‬‫در‬‫سطح‬‌،‫حداقل‬‫که‬‫عنصر‬‫واقع‬‫در‬‫آن‬‫دارای‬‫کمترین‬‫کلید‬‫در‬‫میان‬‫همه‬‫عناصر‬‫واقع‬‫در‬‫زیر‬‫درخت‬‫با‬‫ریشه‬‫این‬‫گره‬‫است‬.
‌‫ه‬‫گر‬max:‫‌ای‬‫ه‬‫گر‬‫در‬‫سطح‬‌،‫حداکثر‬‫که‬‫عنصر‬‫واقع‬‫در‬‫آن‬‫دارای‬‫بیشترین‬‫کلید‬‫در‬‫میان‬‫همه‬‫عناصر‬‫واقع‬‫در‬‫زیر‬‫درخت‬‫با‬‫ریشه‬‫این‬‫گره‬‫است‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

79. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫حداقل‬ ‫هرم‬ ‫در‬ ‫درج‬-‫حداکثر‬
‌‫درج‌گره‬80‌‌:
79
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

80. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫حداقل‬ ‫هرم‬ ‫در‬ ‫درج‬-‫حداکثر‬
‌‫درج‌گره‬5‌:
80
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

81. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫حذف‬
•‫حذف‬7:
81
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

82. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
Deap
‫یك‬‫درخت‬‫دودویی‬‫کامل‬‫است‬‫که‬‫یا‬‫تهی‬‫است‬‫و‬‫یا‬‫دارای‬‫خواص‬‫زیر‬‫است‬:
1-‫در‬‫ریشه‬‫عنصری‬‫وجود‬‫ندارد‬.
2-‫زیر‬‫درخت‬‫سمت‬‫چپ‬‫یك‬minheap‫است‬.
3-‫زیر‬‫درخت‬‫سمت‬‫راست‬‫یك‬maxheap‫است‬.
4-‫کلید‬‫گره‬‫زیر‬‫درخت‬،‫چپ‬‫کوچکتر‬‫یا‬‫مساوی‬‫کلید‬
‫گره‬‫متناظر‬‫در‬‫زیر‬‫درخت‬‫راست‬‫می‬‫باشد‬.
•‫ارتفاع‬‌‌:O(lgn)
•‌‫حذف‬‌‫یا‌درج‬‌:O(lgn)
•‌‫یك‬deap‫را‌می‌توان‌در‌یك‌آرایه‌ذخیره‌کرد‬‌.‌‫در‌خانه‌اول‬‌‫چیزی‬‌‫قرار‌نمی‌دهیم‌و‌تعداد‌عناصر‌آرایه‌برابر‬n-1‫می‌باشد‬.
82
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

83. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫در‬ ‫متناظر‬ ‫گره‬deap
‫اگر‬i‫گرهی‬‫در‬minheap،‫باشد‬‫آنگاه‬‫گره‬‫متناظر‬‫با‬‫آن‬‫در‬maxheap،‫است‬.
‌‫البته‌اگر‬j‌‫از‬n‌‫‌‌آنگاه‌گره‌متناظر‌با‌گره‬،‫بیشتر‌شود‬i‌‫‌گره‬،j/2‫خواهد‌بود‬‌‌.
83
  1log2
2 

i
ij
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

84. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‫در‬ ‫درج‬Deap
‌‫درج‌عنصری‌با‌کلید‬4‌‌:
84
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

85. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
Treap
‫از‬‫ترکیب‬‫ویژگی‬‫های‬BST‫و‬HEAP‫ساخته‬‫می‬‫شود‬.
‫هر‬‫گره‬‫دارای‬‫کلید‬‫و‬‫اولویت‬‫است‬.
‫کلیدها‬‫از‬‫ویژگی‬BST‫پیروی‬‫می‬‫کنند‬.
‫اولویت‬‫ها‬‫از‬‫ویژگی‬MinHeap‫پیروی‬‫می‬‫کنند‬.
‫جستجو‬:‫از‬‫مرتبه‬logn
85
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

86. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
‌‫درج‌در‬treap
86
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

87. ‫ها‬ ‫داده‬‫ساختمان‬
faradars.org/fvds9402
87
‫فرادرس‬ ‫در‬ ‫شده‬ ‫مطرح‬ ‫نکات‬ ‫مبنای‬ ‫بر‬ ‫ها‬ ‫اسالید‬ ‫این‬
«‫ها‬ ‫داده‬ ‫ساختمان‬ ‫های‬ ‫فرادرس‬ ‫مجموعه‬»
‫است‬ ‫شده‬ ‫تهیه‬.
‫به‬ ‫آموزش‬ ‫این‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫بیشتر‬ ‫اطالعات‬ ‫کسب‬ ‫برای‬‫مراجعه‬ ‫زیر‬ ‫لینک‬‫نمایید‬.
faradars.org/fvds9402
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org