2. Konu Çarpanlar ve Katlar

1. Yanda 12 kurşun kalem dörderli 3 gruba
ayrılmıştır.
Siz, 12 kurşun kalemle gruplardaki kurşun
kalem sayısı eşit olacak şekilde kaç farklı grup
oluşturabilirsiniz?
ÇARPANLAR VE KATLAR
12:1=12
12:2=6
12:3=4
12:4=3
12:6=2
12:12=1
O halde, 1,2,3,4,6 ve 12 sayılarının her biri 12 sayısının tam bölenleridir.
Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölen sayma sayılarına, o sayının……………….
denir.
Örneğin;
1, 3, 5 ve 15 sayıları 15 i kalansız olarak böler. Dolayısıyla 15 in bölenleri 1, 3,
5 ve 15 tir.

2. 21 sayısının çarpanlarını bulalım.
21 = 21 x 1
21 = 7 x 3
21 sayısının çarpanları 1, 3, 7 ve 21 dir.
1, 3, 7 ve 21 sayıları 21 sayısının aynı
zamanda bölenleridir.
Bir sayıyı tam bölen sayılara o
sayının…………………. denir. Bir sayının
……………….. aynı zamanda o sayının
…………………….
Herhangi bir doğal sayının bölenleri aynı zamanda o
sayının çarpanlarıdır. Her doğal sayı, kendi çarpanlarına
tam bölünür.
ÖRNEK ÖRNEK
42 sayısının çarpanlarını bulalım:
42 = 42 x 1
42 = 21 x 2
42 = 14 x 3
42 = 7 x 6
Bu durumda 42 sayısının çarpanları (bölenleri)
1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 ve 42 dir.

3. 18 sayısının çarpanlarını bulalım.
Kaç tanesinin çift kaç tanesinin
tek olduğunu belirleyelim.
1x18
2x9
3x6
ÖRNEK
18 sayısının çarpanları: 18, 9, 6, 3, 2 ve 1′dir.
3 tane tek 3 tane çift
vardır.
Bir doğal sayıyı çarpanlarına
ayırdığımızda sayının bölenleri
arasında bir çift sayı varsa bu doğal
sayıya ………………….denir.
Bu doğal sayının bölenleri arasında
hiç çift sayı yoksa bu doğal sayıya
………………denir.

5. ETKİNLİK
Aşağıda verilen sayıların çarpanları oklarla
eşleştirilmiştir.
Boş bırakılan yerleri örnekteki gibi
tamamlayınız.

6. Verilen sayı birbirine en
uzak iki sayının çarpımı
şeklinde yazılır.
(1 ve kendisi dışında)
1 ve kendisi dışında
sayılar bulunmayana
kadar işleme devam
edilir.
Her satırdaki sayılar
sayının çarpımlarını
veriri.
ÇÇARÇARPAN AĞACI YÖNTEMİ

7. ÖRNEK
42 sayısının çarpanlarını çarpan ağacı yardımıyla bulalım.
42 sayısının
çarpanları:
42, 21, 14, 7, 6, 3, 2
ve 1′dir.
42 sayısının bölenleri
de çarpanları ile
aynıdır.
18 sayısının çarpanlarını çarpan ağacı
yöntemiyle bulalım.
18 sayısının
çarpanları:
18, 9, 6, 3, 2, 1′dir.
18 sayısının
bölenleri de
çarpanları ile
aynıdır.

9. ETKİNLİK
Aşağıda verilen çarpan araçlarını tamamlayınız.

10. ÖRNEK
72 sayısının çarpanlarını çarpan ağacı
yönteminden yararlanarak bulalım ve tek
sayı olan çarpanlarının sayısına a , çift
sayı olan çarpanlarının sayısına b dersek,
a+b işleminin sonucunu bulalım.

11. ÖRNEK
14 ile 35 sayılarının ortak
çarpanlarını bulalım.
ÖRNEK
ÖRNEK
8 sayısının 45 ten küçük doğal sayı
katlarını yazalım.
9 sayısının 50 den küçük doğal sayı
katlarının toplamına A , 25 sayısının
çarpanlarının toplamına B dersek, A-B
işleminin sonucu nedir?

13. ÇÇARBÖLÜNEBİLME
KURALLARI
2 ile Bölünebilme Kuralı
Bir doğal sayının 2 ile bölümünden kalan
….ve ……dir.
Bir doğal sayının 2 ile bölümünden kalanı bulmak
için ………… basamağındaki rakama bakılır.
Birler basamağındaki sayı
…,…,….,….,…. ise yani çift sayı
ise bu sayı 2 ile tam bölünür.

14. ÖRNEK
347a dört basamaklı sayısı 2 ile
tam bölünebilmektedir. Buna
göre a ‘nın
alabileceği değerlerin toplamını
bulalım.
ÖRNEK
8435 dört basamaklı
sayısının 2 ile bölümünden
kalanını bulalım.
ÖRNEK
573b dört basamaklı sayısının
2 ile bölümünden kalan 1
dir.Buna göre b’nin alabileceği
değerler toplamını bulalım
ÖRNEK
2 ile kalansız bölünebilen rakamları
farklı en büyük 3 basamaklı sayıyı
bulalım.

15. 3 ile Bölünebilme Kuralı
Bir doğal sayının 3 ile bölümünden kalan
.….,……ve ……dir.
Rakamları toplamının 3 ile bölümünden
kalanı, sayının 3 ile bölümünden kalanı ile
aynıdır.
Rakamların sayı
değerlerinin…………, 3 ve 3 ün
katı ise sayılar 3 ile kalansız
bölünür.

17. ÖRNEK
54a7 sayısı 3 ile tam
bölünmektedir. Buna göre a’nın
alabileceği değerler toplamını
bulalım.
ÖRNEK
a2585 beş basamaklı doğal sayısı 3 ile
kalansız bölünebildiğine göre a’nın
alabileceği değerleri bulalım.
ÖRNEK
44444..444 yirmi basamaklı
sayının 3 ile bölünüp
bölünemediğini bulalım.
ÖRNEK
4a8b sayısı 3 ile kalansız
bölünebildiğine göre
a+b’nin alabileceği en büyük
değeri bulalım.

18. 4 ile Bölünebilme Kuralı
Bir doğal sayının 4 ile bölümünden kalan
…..,….,……ve ……dir.
Bir sayının 4 ile bölümünden kalanı,
son iki basamağındaki rakamların
oluşturduğu sayının 4 ile
bölümünden kalanı ile aynıdır.
Sayının son iki
basamağındaki sayı,
…….veya …………………….ise,
o sayı 4 ile kalansız bölünür.

19. ÖRNEK
12a üç basamaklı sayısı 4 ile tam
bölünebildiğine göre a’nın alabileceği
değerleri bulalım.
ÖRNEK
3487b beş basamaklı sayısı 4 ile
bölünebildiğine göre a’nın
alabileceği en büyük değeri
bulalım.
ÖRNEK
3456789 doğal sayısının 4 ile
bölümünden kalanı bölme işlemi
yapmadan bulalım.

21. 5 ile Bölünebilme Kuralı
Bir doğal sayının 5 ile bölümünden kalan
…., …..,….,……ve ……dir.
Bir sayının 5 ile bölümünden kalanı,
birler basamağındaki rakamın 5 ile
bölümünden kalanı ile aynıdır.
Bir doğal sayının birler
basamağındaki rakam
……..veya………ise bu sayı
5'e kalansız bölünür.

22. ÖRNEK
12a sayısı 5 ile kalansız bölünüyorsa, a’nın
alabileceği değerler çarpımını bulalım.
ÖRNEK
8367 sayısının 5 ile bölümünden
kalanı bölme işlemi yapmadan
bulalım.
ÖRNEK
37843x56422 işleminin 5 ile bölümünden
kalanı bulalım.
ÖRNEK
185a sayısının 5 ile bölümünden
kalan 2 dir.Buna göre a’ nın
alabileceği değerleri bulalım.

23. 6 ile Bölünebilme Kuralı
Bir doğal sayının 6 ile bölümünden
kalan
…..,.…., …..,…..,……ve ……dir.
Hem 2 hem de 3 e bölünebilen sayılar,6
ile kalansız bölünebilirler.
Bir sayı hem 2 hem de 3 ile kalansız
bölünebiliyorsa bu sayı 6 ile kalansız
bölünebilir. Yani rakamları toplamı 3'ün
katı olan çift sayılar 6'ya tam
bölünebilir.

25. ÖRNEK ÖRNEK
ÖRNEK
214 ve 2004 sayılarının 6 ile kalansız bölünüp
bölünemediğini bölme işlemi yapmadan
bulalım.
24ab dört basamaklı doğal sayısının
6 ile bölünebilmesi için a+b
toplamının alabileceği en büyük
değeri bulalım.
49c54 sayısı 6 ile tam
bölünebildiğine göre a’nın
alabileceği değerleri bulalım.

26. 9 ile Bölünebilme Kuralı
9 ile ölünebilen her sayı 3 ile de bölünebilir ancak 3
ile bölünebilen her sayı 9 ile bölünemez.
Bir doğal sayının rakamlarının toplamı
……..ve ……………….ise bu sayılar 9 ile
kalansız bölünür.

27. ÖRNEK ÖRNEK
ÖRNEK
44444….444 sekiz basamaklı sayının 9 ile
bölünüp bölünemediğini bulalım.
23456799 sayısını 9 ile bölünüp
bölünemediğini bulalım.
43b7 sayısının 9 ile bölünebilmesi için b
yerine gelebilecek rakamların toplamını
bulalım.

29. 10 ile Bölünebilme Kuralı
Bir sayının ……….basamağındaki sayı,o sayının 10
ile bölümünden kalanı verir.
10 ile tam bölünen her sayı 5 ile de kalansız
olarak bölünür.
Bir doğal sayının birler
basamağındaki rakam ……..ise
bu sayı 10’a kalansız bölünür.

30. ÖRNEK
ÖRNEK
115a sayısının 10 ile bölümünden kalan 8
ise,a’nın değerini bulalım.
1543x8769 işleminin 10 ile bölümünden kalanı işlem
yapmadan bulalım.

31. ETKİNLİK
2 ile 3 ile 4 ile 5 ile 6 ile 9 ile 10 ile
4580
1000
3000
1458
1960
48752
12505
Aşağıdaki tabloyu bölünebilme kurallarına göre sayıların tam
bölünüp bölünemediğini belirleyelim.

33. ETKİNLİK
6 ile kalansız bölünebilen rakamları fraklı üç
basamaklı en küçük doğal sayıyı bulalım.

34. ETKİNLİK
78ba sayısı 10 ile tam bölünüyor. Buna göre bu
sayısının 9 ile bölünebilmesi için b nin değerini
bulalım.

35. ETKİNLİK
52a3 sayısı 4 ile tam bölünebilmesi için a yerine
yazılabilecek en küçük ve en büyük rakamın
toplamını bulalım.

37. ETKİNLİK
Hem 4 ile hem de 5 ile kalansız
bölünen iki basamaklı kaç farklı doğal
sayı olduğunu bulalım.

38. ETKİNLİK
126a sayısının hem 5 ile hem de 9 ile tam
bölünebilmesi için a’nın alabileceği kaç değer
olduğunu bulalım.

39. ETKİNLİK
743ab sayısı 2 ve 5 ile kalansız bölünebildiğine
göre a+b nin alabileceği en büyük değeri
bulalım.

41. ETKİNLİK
8a64b sayısı 9 ve 5 ile kalansız
bölünen tek sayıdır. Buna göre
a+b’nin değerini bulalım.

42. ETKİNLİK
428a sayısı 5 ile, 8425b sayısı 4 ile
tam bölünebildiğine göre a+b’nin
en büyük değerini bulalım.

43. ETKİNLİK
43a1b sayısı 3 ve 10 ile
kalansız bölünebiliyor.
Buna göre a+b’nin en
büyük ve en küçük
değerlerini bulalım.

45. ETKİNLİK
9a4b sayısı,2 ,5 ve 9 ile kalansız
bölünebildiğine göre a+b
toplamını bulalım.

46. ÇÇARASAL SAYILAR
3 ‘ün çarpanları :
8’in çarpanları :
12’nin çarpanları :
13’ün çarpanları :
19’un çarpanları :
Bu sayıların özellikleri neler olabilir?
Sadece iki farklı çarpanı(böleni) olan
sayılara ………….denir. Bu sayıların
çarpanlarından biri……………diğeri…..dir.
Başka bir deyişle; …….. ve …………..başka
hiçbir sayıya bölünemeyen sayılara asal
sayı denir.

47. 1 asal sayı mıdır?
Hayır,
çünkü………………………………………………………………………………………………
…………………………
2 nin katları olan sayılar …………sayılardır.
2’nin dışındaki bütün çift sayıların………………fazla çarpanı olduğu
için asa sayı…………………
En küçük asal sayı………
2 dışındaki tüm sayılar…………….
2' den başka çift asal sayı yoktur.
0 ve 1 doğal sayıları asal sayı…………..

49. ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
Bir doğal sayıyı asal çarpanları şeklinde yazmaya……….... …………………….
……………… denir.
Sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için 2 farklı yöntem kullanılır:
1)ÇARPAN AĞACI YÖNTEMİ: Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırırken
çarpanlar yuvarlak içine alır.
2) ÇARPAN ALGORİTMASI : Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırırken en küçük
asal sayıdan bölünmeye başlanır ve en altta 1 kalana kadar bölmeye
devam edilir.

50. ÖRNEK
72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım ve asal çarpanların
çarpımı şeklinde ifade edelim.
1.YÖNTEM : ÇARPAN
AĞACI
2.YÖNTEM : ÇARPAN
ALGORİTMASI
SONUÇ OLARAK ; 72 =2.2.2.3.3 üslü biçimde ifade
edersek ; 72= 23
. 32

51. ÖRNEK
45 sayısını asal çarpanlarına
ayıralım ve asal çarpanların
çarpımı şeklinde ifade edelim.
ÖRNEK
28=2 𝑎
. 7 𝑏
𝑖𝑠𝑒 𝑎 + 𝑏 𝑘𝑎ç𝑡𝚤𝑟?
ÖRNEK
540 =5 𝑎
.3 𝑏
. 2 𝑐
ise a+b-c
işleminin sonucunu
bulalım.

53. ETKİNLİK
Aşağıda verilen sayıları
örnekteki gibi asal
çarpanlarına ayırınız.

54. ETKİNLİK Aşağıda verilen sayıları örnekteki gibi çarpan ağacını
kullanarak asal çarpanlarına ayırınız.

55. ARALARINDA ASAL SAYILAR
1 den başka ortak sayma sayısı
böleni(çarpanı) olmayan sayılar
…………………………
ÖRNEK
3 ve 12 , 7 ve 5 , 8 ve 35 sayı çiftlerinin
aralarında asal olup olmadıklarını
bulalım.
Asal olmayan sayılar aralarında
asal olabilirler.

57. ETKİNLİK
12 ile 15
36 ile 45
8 ile 25
7 ile 9
45 ile 30
55 ile 99
36 ile 81
24 ile 33
7 ile 29
2 ile 45
73 ile 35
1 ile 100
Aşağıda verilen sayıların aralarında asal olanlarına + aralarında asal
olmayanlarına – koyalım.

58. EBOB
İki ya da daha fazla doğal sayının
ortak bölenlerinin
……………………………..elemanına bu
sayıların en büyük ortak böleni
denir.
EKOK
İki ya da daha fazla doğal sayının
ortak katlarının
…………………..elemanına bu sayıların
en küçük ortak katı denir.

59. EBOB :
48 ile 30 sayılarının en büyük ortak
bölenlerini bulalım.
ÖRNEK
1.yol:
48’in çarpanları(bölenleri) : 2,3,4,6,8,12,16,24,48
30’un çarpanları(bölenleri) : 2,3,5,6,15,30
Ortak olan bölenleri: 2,3,6 en büyük ortak
bölen(EBOB) : 6
2.yol:
48 30 2
24 15 2
12 15 2
48,30) 𝑒𝑏𝑜𝑏 = 6
6 15 2
3 15 3
1 5 5
1
2.3
=6

61. 36 ile 45 sayılarının ebob’u kaçtır?
96 ile 102 sayılarının ebob’u kaçtır?
8 ile 19 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
Aralarında asal olan sayıların EBOB ‘u ………dir.

62. EKOK :
ÖRNEK
18 ile 30 sayılarının en küçük
ortak katını bulalım
18 30 2
9 15 3
3 5 3
1 5 5
1 (18,30) 𝑒𝑘𝑜𝑘= 2.3.3.5
= 90
ÖRNEK
24 ile 96 sayılarının EKOK
VE EBOB bulalım.
Birbirinin katları olan iki sayının EBOB ‘u
…………………….,
EKOK ‘u ……………..……….eşittir.

63. ÖRNEK
4 ile 9 sayılarının EBOB ve
EKOK ‘unu bulalım.
Aralarında asal olan sayıların
EBOB’ları ……..,EKOK’ları sayıların
……………………..
EBOB(A,B) =………
EKOK(A,B) =………
ÖRNEK
EBOB ‘u 5 , EKOK’u 75 olan iki sayıdan
biri 15 ise diğerinin kaç olduğunu
bulalım.
A ve B iki doğal sayı olsun;
A.B=EKOK(A,B) . EBOB
(A,B)

65. ETKİNLİK
8 12 15 24 36 48
Sayıların EKOK ‘larını
bulalım.

66. ETKİNLİK Sayıların EBOB ‘larını bulalım.
63 81 108 120 80 150
ETKİNLİK
İki sayının ebob ‘u 12,ekok’u 15dir.sayılardan
biri 30 ise diğerini bulalım.

67. ETKİNLİK
İki sayının ebob ‘u 12,ekok’u 15dir.sayılardan
biri 30 ise diğerini bulalım.

69. ETKİNLİK
A D 2
C D 2
E D 2
F D 3
G H 5
1 1
EBOB
(A,D)=……….
A B 2
C D 3
C E 3
C F 3
C H 5
G J 7
1 1
EBOB
(A,B)=……….
Yukarıda verilen
sayıların
EKOK’larının
bulunuşu liste
yöntemiyle
verilmiştir.
A=…………….
B=…………….

70. ETKİNLİK
A D 2
C D 2
E D 2
F D 3
G H 5
1 1
Yukarıda verilen
sayıların
EKOK’larının
bulunuşu liste
yöntemiyle
verilmiştir.
A=…………….
B=…………….
A B 2
C D 3
C E 3
C F 3
C H 5
1 1
Yukarıda verilen
sayıların
EKOK’larının
bulunuşu liste
yöntemiyle
verilmiştir.
A=…………….
B=…………….

71. ETKİNLİK
Ebob’u 6 olan iki sayıdan biri 18 ise diğer
sayının en az kaç olduğunu bulalım.
ETKİNLİK
ETKİNLİK
ETKİNLİK
EKOK’u 18 olan iki sayıdan biri 9 ise diğer
sayının en fazla kaç olduğunu bulalım.
3,4,5 sayılarının Ebob ve Ekok
‘larını bulalım.
Aralarında asal iki sayının
çarpımı 40 ise bu sayıların
ebob’u ile ekok’unun toplamını
bulalım.

73. ÇARPANLAR VE KATLAR KAZANIM DEĞERLENDİRME TESTİ
1- Bir A sayısı 5 , 12 ve 15 ile bölündüğünde
4 kalanını vermektedir. A en az kaç olabilir?
A) 60
B) 64
C) 120
D) 124

74. ÇARPANLAR VE KATLAR KAZANIM
DEĞERLENDİRME TESTİ
2-Bir okuldaki erkeklerin sayısı , kız öğrencilerin
sayısının 5 katıdır. Bu okulun mevcudu
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 7820
B) 2355
C) 4746
D) 7982

75. ÇARPANLAR VE KATLAR KAZANIM DEĞERLENDİRME TESTİ
3- 273x468 çarpımının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
B) 3
C) 4
D) 6

77. ÇARPANLAR VE KATLAR KAZANIM DEĞERLENDİRME TESTİ
4-

78. 5-

79. 6-

81. 7-

82. 8-

83. 9-

85. 10-

86. 11-

87. 12-

89. 13-

90. 14-

91. 15-
Can, yandaki
çarpan ağacını
tamamlayarak 84
sayısının asal
çarpanlarını ve asal
çarpanlara ayrılmış
şeklini bulmuştur.
Buna göre,
aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?

93. Başlangıç noktaları aynı olan iki……………..
birleşimine açı denir.
İki ışının ortak olan başlangıç
noktasına……………………………… denir.
Işınlara ise açının………………. veya açının……………denir.
AÇILAR

94. Yandaki açı “……………………….” , “……………………..” veya
“……………………” şeklinde isimlendirilir.
AÇILAR
ABC açısının ölçüsü………………ile gösterilir.
Açıyı oluşturan iki ışın arasındaki açıklığa………………denir.
Açı ölçü birimlerinden birisi derecedir. Örneğin 30 derecelik bir
açı 30º şeklinde gösterilir.

95.  Açının kenarları arasında kalan bölge açının
……………………………..
 Açı ile açının iç bölgesinin dışında kalan bölge açının
……………………………..
 Açı üzerindeki noktalar açının iç veya dış
bölgesine………………………..
Bir açı düzlemi üç bölgeye ayırır:
a. Açının kendisi [CA ve [CB ışınları
b. İç bölge (taralı alan)
c. Dış bölge

97.  D, E ve F noktaları açının…………………..,
 H ve G noktaları açının ……………………..
 A, B ve C noktaları ise açının ne…………………… ne
de……………………….. Bu noktalar
açının………………………...
ÖRNEK

98. ÖRNEK
Yukarıda verilen şekille ilgili
bazı öğrencilerin yorumları
aşağıdaki gibidir.
Buna göre, yapılan öğrenci
yorumları ile ilgili ne söyleyebiliriz?

99. ETKİNLİK

101. ÖRNEK
Yukarıda verilen açıları şekilde gösterelim.

102. ETKİNLİK
Yanda verilen
şekilde istenen
açıları bulalım.
s( 𝐴𝐸𝐵)=………
s( 𝐵𝐸𝐹)=………
s( 𝐹𝐸𝐶)=………
s( 𝐷𝐸𝐶)=………
s( 𝐵𝐸𝐶)=………
s( 𝐴𝐸𝐷)=………

103. AÇI ÇEŞİTLERİ
1-Dar Açı:
Ölçüsü……. ile…….. arasında
olan açıya dar açı denir.

105. AÇI ÇEŞİTLERİ
2-Dik Açı:
Ölçüsü………. olan açıya dik açı denir.

106. AÇI ÇEŞİTLERİ
3-Geniş Açı:
Ölçüsü……… ile……..arasında
olan açıya geniş açı denir.

107. AÇI ÇEŞİTLERİ
4-Doğru Açı:
Ölçüsü………olan açıya
doğru açı denir.

109. AÇI ÇEŞİTLERİ
5-Tam Açı:
Ölçüsü……… olan açıya tam
açı denir.

110. Eş Açı: Ölçüleri birbirine eşit olan açılara eş açılar
denir.
Örneğin s(AÔB)=40º ve
s(AÔC)=40º olsun. Bu iki açı birbirine
eştir. Bu durum sembolle AÔB A ÔC
şeklinde gösterilir.
AÇIORTAY
@

111. Başlangıç noktası açının köşesi olan,
açının iç bölgesinde bulunan ve açıyı iki
eş açıya ayıran ışına bu
açının………………………denir.
AÇIORTAY
Yandaki örnekte DT ışını LDE açısının açıortayıdır.

113. ETKİNLİK Aşağıda noktalı kağıtta ve kareli kağıtta çizilmiş olan açıların
açıortaylarını çizelim.

114. ETKİNLİK
 ……..ışını,…………..açısının açıortayıdır.
 ………ışını,…………..açısının açıortayıdır.
 ……..ışını,…………..açısının açıortayıdır.
 ………ışını,…………..açısının açıortayıdır.
 ……..ışını,…………..açısının açıortayıdır.
Aşağıda verilen açıortayları
bulalım.

115. KOMŞU AÇILAR
Birer kenarı ortak olan açılar komşu
açılar denir.
Aşağıdaki örnekte ABC açısı ile CBD
açısının BC kenarı ortak olduğu için
bu iki açı komşudur.
Komşu açıların iç bölgelerinin ortak
noktası yoktur.
ÖRNEK
Yanda verilen şekildeki komşu açıları
yazalım.

117. TÜMÜ , BÜTÜNÜ , TERSİ
1-TÜMLER AÇI :
Ölçüleri toplamı……….. olan iki açıya tümler açı denir.
s(AÔB)=400 ve s(DÊC)=500'dir.
s(AÔB) + s(DÊC) = 400 + 500 = 900 olduğu için AÔB ile DÊC tümlerdir.
Örneğin: 700 ile 200, 890 ile 10, 750 ile 150 tümler açılardır.

118. TÜMÜ , BÜTÜNÜ , TERSİ
55°
1° 89°
60°
18° 
65°
ÖRNEK Aşağıda verilen açıların tümleyenlerini
bulalım.

119. TÜMÜ , BÜTÜNÜ , TERSİ
1-TÜMLER AÇI :
Ölçüleri toplamı……….. olan iki açıya tümler açı denir.
s(AÔB)=400 ve s(DÊC)=500'dir.
s(AÔB) + s(DÊC) = 400 + 500 = 900 olduğu için AÔB ile DÊC tümlerdir.
Örneğin: 700 ile 200, 890 ile 10, 750 ile 150 tümler açılardır.

121. Ölçüleri toplamı………. olan ve …………. olan iki açıya komşu tümler açı denir.
s(MÔP)=700 ve s(PÔN)=200'dir.
s(MÔP) + s(PÔN) = 700 + 200 = 900
olduğu için ve bu açılar komşu olduğu
için MÔP ile PÔN komşu tümlerdir.
1-
a) KOMŞU TÜMLER AÇI

122. ETKİNLİK
Aşağıda verilen açıların komşu
tümler açılarını hesaplayınız.

123. 2-BÜTÜNLER AÇI :
Ölçüleri toplamı…………. olan iki açıya bütünler açı denir.
s(AÔB)=300 ve s(DÊC)=1500'dir.
s(AÔB) + s(DÊC) = 300 + 1500 = 1800 olduğu için AÔB ile DÊC bütünlerdir.
Örneğin; 1700 ile 100, 990 ile 810, 450 ile 1350 bütünler açılardır.

125. 80°
171° 90°
120°
8° 
165°
ÖRNEK Aşağıda verilen açıların bütünleyenlerini bulalım.

126. ETKİNLİK Aşağıda verilen açıların komşu
bütünler açılarını hesaplayınız.

127. ETKİNLİK
Tümler iki açıdan biri
diğerinden 10 derece
büyük olduğuna göre,
küçük açının
ölçüsünün kaç derece
olduğunu bulalım.
•Çözüm:
Ölçüsü tümleyeninin 4
katı olan açıyı bulalım.
•Çözüm:

129. Tümler iki açının birbirine oranı
2
7
ise,
küçük açının ölçüsünün kaç derece
olduğunu bulalım.
• Çözüm:
Bütünler iki açıdan biri diğerinin 3
katından 20 derece fazladır. Buna göre
büyük açının kaç derece olduğunu
bulalım.
• Çözüm:
ETKİNLİK

130. Bütünler iki açının ölçülerinin oranı
4:5 dir. Buna göre küçük açının
tümleyeninin kaç derece olduğunu
bulalım.
• Çözüm:
Bütünler iki açının farkı 30 derece
ise büyük açının kaç derece
olduğunu bulalım.
• Çözüm:
ETKİNLİK

131. 3-TERS AÇI :
Yandaki şekilde kesişen d1 ve d2 doğruları
arasında oluşan açılar verilmiştir.
Bunlardan…………….. bakan açılar ters açılardır
ve bu açıların ölçüleri……………..
……. ve…….nolu açılar ters açılardır.
……..ve……nolu açılar ters açılardır.
Ters açıların ölçüleri……………...
ÖRNEK
Yanda verilen şekilde s( 𝐴𝐸𝐷 )=68°
ise diğer verilmeyen açıların ölçülerini
bulalım.

133. ÖRNEK
Yukarıdaki şekle göre aşağıdaki açıların
ölçülerini hesaplayınız.
Yukarıda verilen şekilde
s( 𝐴𝑂𝐵)=80° ve
s( 𝐶𝑂𝐷)= ise
kaçtır?
ÖRNEK

134. Yukarıda verilen şekilde A,B,C
doğrusal ve s( 𝐴𝐵𝐷)=105° ise CBD
açısının ölçüsü kaç derecedir?
Yukarıda verilen şekilde AC
𝐵𝐸 ve s( 𝐷𝐵𝐶 )=52° İSE EBD
açısının ölçüsü kaç derecedir?
ÖRNEK
ÖRNEK

135. Yukarıda verilen şekilde 𝐵𝐹 ,EBC
açısının açıortayıdır.( 𝐸𝐵𝐶)=90°
ve s( 𝐸𝐵𝐷)=25° ise FBC açısının
ölçüsünü bulalım.
Yukarıda verilen şekilde A,G,F
noktaları doğrusaldır.𝐺𝐵 AGC açısının
açıortayı ve 𝐺𝐸 DGF açısının
açıortayıdır.DGC açısının ölçüsü 53
derece olduğuna göre EGB açısı kaç
derecedir?
ÖRNEK ÖRNEK

137. Yukarıda verilen şekilde s( 𝐵𝐴𝐶)
=62° ve s( 𝐷𝐴𝐶)=46° ise BAC ve
DAC açılarının açıortayları
arasında kalan açının kaç derece
olduğunu bulalım.
Yukarıda verilen şekilde
s( 𝐵𝐷𝐶) =106°dir.ADC açısının
ölçüsü BDA açısının ölçüsünün 2
katı ise BDA açısının ölçüsünü
bulalım.
ÖRNE
K
ÖRNE
K

138. Yukarıda şekilde EB AC
.s( 𝐸𝐵𝐷)=s( 𝐴𝐵𝐹) ve
s( 𝐷𝐵𝐶) =52° ise FBC açısının ölçüsünü
bulalım.
A,O,D noktaları
doğrusaldır. 𝑠(𝐷𝑂𝐸) = kaç
derecedir?
ÖRNEK ÖRNEK

139. BİR NOKTADAN BİR DOĞRUYA
DİKME ÇİZME
Doğrunun üzerine koyduğumuz açı ölçerin
tam ortasındaki işaretli kısmı K noktasının
üzerine koyalım. Açı ölçerin 90°’yi gösteren
yerinden bir A noktası alalım.
Cetvel yardımıyla A noktasını K noktasına
birleştirdiğimizde
d1 doğrusuna bir dikme inşa etmiş
oluruz.

141. BİR NOKTADAN BİR DOĞRUYA
DİKME ÇİZME
Bunu d1 𝐾𝐴şeklinde gösteririz.
A noktasının d1 doğrusuna olan uzaklığı, bu
nokta ile bu noktadan d1 doğrusuna inilen
dikmenin ayağı arasındaki uzaklığa eşittir.
Dışındaki bir noktayı d1 doğrusunun
noktalarına birleştiren doğru parçalarından en kısa
olanı bu noktadan doğruya inilen dikmedir.
Doğrunun dışındaki bir noktanın o
doğruya olan en kısa uzaklığı, verilen noktadan
doğruya çizilen dikmenin uzunluğuna eşittir.
Yandaki d1 doğrusuna K noktasından
bir dikme inşa edelim.

142. ÖRNEK ÖRNEK
Kareli kâğıttaki t
doğrusunun üzerinde
bulunan K noktasından t
doğrusuna bir dikme
nasıl inşa edilmelidir?
Kareli kâğıda çizilen d
doğrusuna, K noktasından
bir dikme hangi noktaya
çizilmiştir?

143. BİR DOĞRU PARÇASINA ORTA
DİKME ÇİZME
AB doğru parçasının orta dikmesini inşa edelim.
Şekildeki doğru parçasının orta
dikmesini bulabilmek için verilen doğru
parçasının tam ortasını cetvel ile ölçüp
işaretleyelim. Gönye yardımı ile bu noktaya
bir dikme inşa edelim.
Orta dikmenin üzerinden alınan
noktaların doğru parçasının
uçlarına olan
uzaklıkları birbirine eşittir.
[CA] = [CB]
[DA] = [DB]

145. ÖRNEK
Kareli kağıttaki KL
doğru parçasının
orta dikmesini
çizelim.

146. AÇILAR KAZANIM DEĞERLENDİRME SORULARI

155. Aşağıdakilerin hangisinde AB doğru parçasının orta dikmesi doğru gösterilmiştir?

157. Yukarıdaki Z noktasının t doğrusuna olan en kısa uzaklığı
aşağıdaki doğru parçalarından hangisinin uzunluğuna eşittir?

158. Yukarıda verilen eşleştirmelerden hangi renkle
yapılan eşleştirme yanlış yapılmıştır?
A) Sarı B) Kırmızı C) Pembe D) Mor

159. Yukarıdaki planda verilenlere göre hangi açılar tümlerdir?
A) a ve c B) a ve b C) d ve c D) b ve d