2. Sayılar
Bir çoklu u ifade etmek veya bir çoklu un bir di erin-
den küçük mü büyük mü, eksik mi fazla mõ, kõsa mõ
uzun mu oldu unu anlatabilmek için günlük konu ma
kelimelerinden ba ka kavramlara gereksinim duyarõz.
Bir insanõn bir di erine ya õnõ, boyunu, kaç çocu u ol-
du unu anlatabilmesi için belki parmaklarõ yeter ama sa-
çõnda kaç kõl oldu unu veya ne kadar parasõ oldu unu
anlatabilmesi için parmaktan öte bir eye ihtiyaç duyar.
te bu ihtiyaç duyulan ey ‘’sayõ’’dõr.
Nesnelerin artmasõyla birlikte sayõlar da artar. Her sayõya
bir sembol bulmak mümkün olsa da, ö renilip karõ tõrõl-
madan akõlda tutulmasõ mümkün de ildir. Dolayõsõyla
sõnõrlõ ve mantõklõ sayõda sembol bulunup bunlarõn de i-
ik sõralarda bir araya getirilmesiyle sayõlar olu turulma-
lõdõr. Mantõklõ olan da budur. te sayõlarõ ifade etmek
için bir araya getirilen bu sembollere/i aretlere rakam
denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri günlük hayatta
kullandõ õmõz sayma düzeninin rakamlarõdõr.
Bugüne kadar dünyada ya amõ her millet, farklõ farklõ
sembollerle olsa da, kendilerine göre rakamlar tanõmla-
mõ lardõr. Örne in Romalõlar rakamlarõ ve sayõlarõ I, II,
III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, …, L, LI, …, C, CI,
…, M, MI, … gibi sembollerle göstermi lerdir. Görül-
dü ü üzere her sembol de i ik sõralarda bir araya gelerek
farklõ çokluklarõ anlatmaktadõr. Dolayõsõyla bunlarõn her
biri birer sayõdõr. Unutulmamalõ ki her rakam bir sayõdõr
ama her sayõ bir rakam de ildir.
Nasõl ki be parma õn be i bir de il, sayõlar da öyledir!
Sayõlar, bazõ yönlerinden dolayõ birbirlerinden ayrõlõrlar.
lkokuldan beri bildi iniz, bizim de tekrar gösterece i-
miz üzere bazõlarõ pozitiftir bazõlarõ negatif, bazõlarõ tek-
tir bazõlarõ çift, bazõlarõ 2 basamaklõdõr bazõlarõ 5, bazõlarõ
asaldõr bazõlarõ de il gibi… Sayõlar i te bu ayrõmlara gö-
re sõnõflanõrlar. En ilkel sayõlardan ba layalõm:
Sayma Sayõlarõ. Adõ üstünde sadece nesneleri saymaya
yarayan sayõlardõr. 1, 2, 3, 4, … diye ilerlerler ve bitmez-
ler. Bir ‘’son’’larõ yoktur yani. Sonsuzlardõr. Dikkat
edin, sonsuzlardõr diyoruz, sonsuza gider demiyoruz,
çünkü sonsuz diye bir yer yoktur. Sonsuz, bir yer de il,
nitelemedir (sõfattõr). Teorik olarak do rusu budur ama
bu yanlõ dilimize o kadar yerle mi tir ki sivrilmenin de
alemi yok. Yazõlarõmõzõn ilerleyen bölümlerinde yanlõ -
lõkla yanlõ yaparsam, yanlõ lõkla yanlõ õmõ düzeltme
yanlõ õna dü meyin!
Tüm sayma sayõlarõnõn olu turdu u kümeye Sayma Sa-
yõlarõ Kümesi denir. Bu küme bazõ Türkçe kaynaklarda
S harfi ile gösterilse de siz evrensel olan +
sembolünü
tercih edin, ben de öyle yapaca õm.
Do al Sayõlar. Bir eyleri saymak için o bir eylerin illa
var olmasõ lazõm de il mi? Olmayan bir ey nasõl sayõla-
cak? Peki ya sayõlacak o ey yoksa? O zaman sayma sa-
yõlarõndan hangisini kullanaca õz? Sayma sayõlarõnõn her
biri bir çoklu u simgeledi inden hiçbirini kullanamayõz.
Bu yüzden sayma sayõlarõnda olmayan bir ey bulmalõ-
yõz, olmayan eyleri saymak veya olmadõ õnõ bir ba ka-
sõna rakamla anlatmak için. Gerçi bizden binlerce yõl ön-
ce bulmu lar, sa olsunlar. Tanõ tõrayõm: ‘’0’’. Cümle
içinde de kullanayõm: 10’dan 10 çõktõ mõ 0 kalõr!
Sõfõrõn bulunmasõ, a õrtõcõ bir ekilde, 1’in, 2’nin bu-
lunmasõndan binlerce yõl sonra olmu tur. Matematikte
bir çõ õr açmõ tõr desek sanõrõm yanõlmayõz. Unutmayõnõz
ki, sõfõr ne pozitiftir ne de negatif, ama sõfõr çifttir, tek
de il! Sayma sayõlarõ ile 0’õn birlikte olu turduklarõ bu
kümeye Do al Sayõlar Kümesi deriz.
sembolü ile gösteririz, N’yle de il!
Tam Sayõlar. Ahmet’in 10 lirasõ varsa anlamamõz gere-
ken ey, cebinde veya bir yerde, kendine ait, bir ki iye
ödemesi gerekmeyen 10 lirasõnõn gerçekten oldu udur.
Peki ya Ahmet’in hiç parasõ olmayõp, üstüne üstlük bir
de 10 lira borcu varsa? te bunu ‘’Ahmet’in 10 lirasõ
var’’ yazarak gösterece iz. Tam sayõlar hiç olmasaydõ,
n’olurdu? Bir ey olmazdõ. Fakat onlarõ anlatmak için
epey bir vakit kaybederdik. Bunun için insansoyu 0’dan
küçük sayõlarõ icat etmi . Aslõnda iyi de olmu . Negatif
sayõlarõ anlatmak böylelikle çok kolay olmu .
Yalnõz burada dikkatinizi çekmek istedi im bir ey var:
Yeni bulunan sayõlar, eskilerinden ayrõ bir yere konmu-
yor, eski sayõlara ekleniyor. Böylelikle nur topu gibi yeni
bir sayõ kümesi olu uyor. Do al sayõlarla, önlerine ‘’ ’’
i areti konmu sayma sayõlarõnõn birle imine Tam Sayõ-
lar Kümesi diyece iz. ile gösterece iz.
Tam sayõlarõn ba õnõn da sonunun da olmadõ õnõ unut-
mayaca õz. Pozitif tam sayõlar kümesi +, negatif tam
sayõlar kümesi ise ile gösterilir. Anlayaca õnõz;
= + {0}
= {... , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, …}
1
I

3. Sayõ Kümeleri
Rasyonel Sayõlar. Önce kesir denen eyi tanõmlayalõm,
ardõndan rasyonel sayõlarõn ne olduklarõnõ anlataca õz.
a ve b tam sayõ olmak üzere (b sõfõrdan farklõ)
a
b
eklin-
deki ifadelere kesir denir. Bu kesirler bazen sadele irler,
10
2
5
gibi, bazen sadele emezler,
2
3
gibi. ster sade-
le sinler, ister sadele emesinler, kesirlerle tam sayõlarõn
olu turduklarõ kümeye Rasyonel Sayõlar Kümesi denir.
Bu küme tam sayõlar kümesini kapsar ve ile gösterilir.
Gerçel (Reel) Sayõlar. Bu sefer de önce irrasyonel sayõ-
larõ tanõmlayaca õz. Ardõndan reel sayõlarõn ne olduklarõ-
nõ verece iz.
Tam sayõ olan a ve b’ler için de eri
a
b
eklinde yazõla-
mayan sayõlar vardõr.
2 , 3
3 , 4
5 , , e, sin 15o
, tan 18o
, log2 7 gibi…
Böyle sayõlara rasyonel olmayan reel manasõnda irras-
yonel sayõlar denir ve bu sayõlarõn belirtti i küme ile
gösterilir.
Bu sayõlarõn ondalõk yazõlõmlarõnda virgülden sonraki
kõsmõn hiçbir kuralõnõn olmadõ õ bulunmu tur. Varsa bile
günümüze kadar bulunamamõ tõr demiyoruz, olmadõ õ
bulunmu tur diyoruz. Öklid’in bulmu oldu u bu kanõ-
tõn, günümüze kadar yapõlmõ en güzel 10 kanõttan biri
oldu u konusunda tüm matematikçiler hemfikirdir. Asal
ve aralarõnda asal sayõlarõ anlattõ õmõz bölümde bu kanõtõ
verece iz.
te, rasyonel sayõlarla irrasyonel sayõlarõn birle imine
Reel Sayõlar Kümesi denir. Bu küme ile gösterilir.
Sanal Sayõlar. Bu sayõlar da gerçel olmayõp yani gerçek-
te var olmayõp (sanki di er sayõlar gerçekte var!) mate-
matikçilerin tanõmladõ õ sayõlardõr. Zaten bunun için sa-
nal adõnõ almõ lardõr.
Karesi –1 olan bir sayõ var olsun denmi ve adõ da i diye
konmu . Sonra –i, 2i, 3 + i, 4 – 8i gibi sayõlar tanõmlana-
rak aile büyütülmü . Peki dertlere derman olmu mu?
Hem de çok. Zamanõ gelince yeteri kadar de inece iz.
Peki niye ‘’i’’, ba ka harf mi kalmamõ derseniz, sebebi
‘’sanal’’õn ngilizce’sinin ‘’imaginary’’ olmasõ olabilir.
Onun ba harfinden dolayõ yani!
Sanal sayõlarla reel sayõlar kümesinin birle imine Kar-
ma õk Sayõlar Kümesi denir ve bu küme ile gösterilir.
Karma õk sayõlar kümesi u ana kadar gösterdi imiz ve
bundan sonra gösterece imiz tüm sayõ kümelerini kap-
sar. Belki ilerde ba ka sayõlar da bulunacak veya tanõm-
lanacak, bu sayede ’yi de kapsayan bir babayi it çõka-
cak! Kimbilir?
Ünlü biri söylemi , kimdi hatõrlamõyorum, ama katõlõyo-
rum: ‘’Allah sayma sayõlarõnõ yarattõ, gerisi insanõn i i!’’
Örnek. A a õdaki sayõlardan hangisi
+, , , , ,
kümelerinin dördünün elemanõ olup ikisinin elemanõ de-
ildir?
A) 4 B) 0 C) 1 D)
1
2
E)
Çözüm: +, , , , , kümeleri birbirlerini içine
alarak büyüdü ünden bu kümelerden birinin elemanõ
olan sayõ mutlaka o kümenin sa õndaki kümenin de ele-
manõdõr. O halde sayõmõz dört tanesinin elemanõysa sa -
dan dördüncüsünün elemanõ yani en azõndan bir tam sayõ
olmalõdõr. Fakat sayma sayõsõ ya da do al sayõ olmama-
lõdõr. Demek ki sayõmõz negatif bir tam sayõymõ . Bu da
C õkkõnda 1 olarak verilmi .
Do ru cevap: C.
Örnek. A a õdakilerden hangisi “negatif tam sayõlar”
kümesi olan yerine kullanõlabilir?
A) B) + C) +
D) E)
Çözüm: Tam sayõlar kümesi negatif tam sayõlar, 0 ve
sayma sayõlarõndan olu maktaydõ. 0 ve sayma sayõlarõ
birlikte do al sayõlar kümesini olu turdu undan tam sa-
yõlardan do al sayõlarõ çõkarõnca negatif tam sayõlarõ bu-
luruz. O halde negatif tam sayõlar kümesi olarak
da gösterilebilir.
Do ru cevap: E.
Örnek. A a õdaki kümelerden hangisinin eleman sayõsõ
sonsuz de ildir?
A) B) + C) +
D) E)
Çözüm: irrasyonel sayõlar kümesini olu turdu-
undan bu küme sonsuz elemanlõdõr. + ise pozitif
tam sayõlar dõ õndaki rasyonel sayõlar manasõna gelir ki
onlar da sonsuzdur. demek demek, de-
mek de demek oldu undan bu kümeler de sonsuz ele-
manlõdõr.
Fakat + = {0} olup bu küme 1 elemanlõdõr.
Do ru cevap: C.
2
II

4. Sayõ Kümeleri
CEVAPLI TEST 1
1.
Rasyonel, Tam, Do al, Karma õk ve Reel sayõlar kü-
melerinin bilinen gösterimleri hangi õkta do ru sõra-
da verilmi tir?
A) , , , , B) , , , ,
C) , , , , D) , , , ,
E) , , , ,
2.
Reel sayõlar kümesinde olup da rasyonel sayõlar kü-
mesinde olmayan sayõlar hangileridir?
A) Do al sayõlar B) rrasyonel sayõlar
C) Negatif sayõlar D) Tam sayõlar
E) Asal sayõlar
3.
Pozitif tam sayõlar ile sayma sayõlarõnõn farkõ nedir?
A) {0} B) {1} C) { 1} D) E)
4.
3 sayõsõ , , , , kümelerinin kaç tanesinin
elemanõdõr?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
5.
tam sayõlar kümesini, rasyonel sayõlar kümesini ve
reel sayõlar kümesini göstermektedir.
Buna göre a a õdakilerden hangisi “irrasyonel sayõ-
lar” kümesini gösterir?
A) B) C) D) E)
6.
A a õdaki bilgilerden hangisi do rudur?
A) Sayma sayõlarõ kümesi, do al sayõlar kümesini kap-
sar.
B) Rasyonel sayõlar kümesi, tam sayõlar kümesinin alt-
kümesidir.
C) 3 sayõsõ bir karma õk sayõdõr.
D) 3 sayõsõ irrasyoneldir.
E) Reel sayõlar kümesi, tüm sayõ kümelerini kapsar.
7.
{0, 1, 2 , ( 2) 3
, 3
7 ,
2
3
, % 20,
4
0
, 9 }
sayõlarõnõn kaç tanesi gerçeldir?
A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6
8.
Tam sayõ olmayan rasyonel sayõlarõn kümesi a a õ-
daki kümelerden hangisine e ittir?
A) B) C)
D) E)
9.
+, , , , ,
kümelerinin be inin elemanõ olup birinin elemanõ ol-
mayan sayõ a a õdakilerden hangisidir?
A) 1 B) 2i C) 1 D) E) 0
10.
‘’Herhangi iki elemanõ arasõnda sonsuz sayõda elemanõ
olan kümelere yo un küme denir.’’
Yukardaki tanõma göre a a õdaki kümelerden hangi-
si yo undur?
A) {0, 1, 2} B) C) D) E) +
1. A 2. B 3. E 4. E 5. C 6. C 7. D 8. B 9. E 10. C
3
III

5. Pozitif/Negatif ve Tek/Çift Sayılar
Sõfõrdan büyük sayõlara pozitif sayõlar, sõfõrdan küçük
sayõlara da negatif sayõlar denir.
imdi bu sayõlarõn birkaç özelli ini verelim.
1) a > 0 ve b > 0 ise
a + b > 0
a·b > 0
a : b > 0
2) a < 0 ve b < 0 ise
a + b < 0
a·b > 0
a : b > 0
3) a > 0 ve b < 0 ise
a – b > 0
a·b < 0
a : b < 0
4) a > 0 ve n herhangi bir reel sayõ ise
an
> 0
5) a < 0 ve n çift sayõysa
an
> 0
6) a < 0 ve n tek sayõysa
an
< 0.
Örnek. a < b < 0 < c olmak üzere a a õdakilerden han-
gisi daima negatiftir?
A) a – b + c B) a + b + 2c C) a – b – c
D) 3a – 2b + 3c E) a2
+ b2
– c2
Çözüm: a < b oldu undan a – b negatiftir ama uygun bir
c için A õkkõndaki toplam pozitif olabilir.
a + b de negatiftir ama yeterince büyük seçilen bir c için
B õkkõndaki ifade de pozitif olabilir.
a < b oldu undan a – b negatiftir, bu sayõdan pozitif olan
c çõkarõlõrsa hayli hayli negatif olur, do ru cevap C seçe-
ne idir. Ama biz di er seçeneklerin de neden yanlõ ol-
duklarõnõ anlatalõm.
3a < 2b oldu undan 3a – 2b negatiftir. Bu sayõya yete-
rince büyük seçilen bir c için 3c eklenirse pozitif olabilir.
a2
+ b2
toplamõ her halükarda pozitiftir. Bu sayõdan, kü-
çük ama çok küçük bir c için c2
çõkartõlõrsa sayõ halen
pozitif kalõyor olabilir.
Do ru cevap: C.
Örnek. x5
y3
z4
< 0, xz < 0 ve x3
y5
z7
> 0 e itsizliklerini
sa layan x, y ve z reel sayõlarõnõn i aretleri hangi õkta
do ru sõralamada verilmi tir?
A) –, +, + B) +, –, – C) –, +, –
D) +, +, – E) –, –, +
Çözüm: Aslõnda aynõ olan iki çözüm gösterelim.
Birinci yol. x, y, z sayõlarõnõn hiç biri 0 olamaz. Öyle
olabilselerdi çarpõmlarõ 0 çõkardõ. O halde ya pozitifler,
ya da negatifler.
z4
her halükarda pozitif olaca õndan x5
y3
negatiftir, bu da
x ile y’nin ters i aretli olmasõnõ gerektirir.
Ortadaki e itsizlikten x ile z’nin de ters i aretli olduklarõ-
nõ buluruz. Demektir ki y ile z aynõ i aretli.
O halde x, y ve z’nin i aretleri sõrasõyla +, –, – ya da –, +,
+ olmalõdõr. Üçüncü e itsizli e bakõlõrsa do ru olanõn
+, –, – sõralamasõ oldu u görülür.
kinci yol. Bir reel sayõnõn 3, 5 ve 7’nci kuvvetleri o reel
sayõnõn i aretini etkilemeyece inden kuvvetleri atabili-
riz. z4
de her halükarda pozitif oldu undan onu da atalõm.
xy < 0, xz < 0 ve xyz > 0
e itsizliklerini çözmek yeter. Son iki e itsizlikten y < 0
bulunur. Bunu ilk e itsizlikte kullanõrsak x > 0 bulunur.
Bunu da ikinci e itsizlikte kullanõrsak z < 0 bulunur.
Do ru cevap: B.
Örnek. a·b·c 1
< 0, a2
·b 3
·c 1
> 0 ve a·b2
·c < 0 e itsizlik-
lerini sa layan sõfõrdan farklõ a, b ve c reel sayõlarõnõn
i aretleri hangi õkta do ru sõralamada verilmi tir?
A) –, +, + B) +, –, – C) –, +, –
D) +, +, – E) –, –, +
Çözüm: a2
ve b2
gibi ifadeler, sõrasõyla a·a ve b·b demek
oldu undan, a ve b pozitif de olsalar negatif de olsalar
hep pozitif olacaklarõndan sonuca etki edemezler. Onlarõ
atalõm. Di er yandan tek kuvvetlerin de kuvvetlerinin
i arete etkisi yoktur, onlarõn da kuvvetlerini atalõm.
u durumda
a·b·c < 0, b·c > 0 ve a·c < 0
e itsizliklerini çözmek yeter. lk iki e itsizlikten a < 0
bulunur. Bunu üçüncü e itsizlikte kullanõrsak c > 0 bulu-
nur. Bunu da ikinci e itsizlikte kullanõrsak b > 0 bulunur.
Do ru cevap: A.
4
IV

6. Tek ve Çift Sayõlar
Çift Sayõ. Son rakamõ 0, 2, 4, 6, 8 olan tam sayõlara çift
denir.
Bölünebilmenin ne demek oldu unu bilen biri için de bir
tanõm yazabiliriz: 2’ye bölünebilen tam sayõlara çift de-
nir. 12, 20, 0, –44, –988 gibi…
Dikkat edin, negatif tam sayõlar da çift olabiliyorlar, sõfõ-
rõn çift oldu una de inmi tik zaten. Çift sayõlar, herhan-
gi bir n tam sayõsõ için 2n ile gösterilirler.
Tek Sayõ. Son rakamõ 1, 3, 5, 7, 9 olan tam sayõlara tek
denir.
Bölünebilmeyi bilen adamõ yine unutmayalõm: 2’ye bö-
lündü ünde 1 kalanõnõ veren tam sayõlara tek denir.
17, 3, 5, –1, –103 gibi…
Tek sayõlar, herhangi bir n tam sayõsõ için 2n – 1 veya
2n + 1 ile gösterilirler. Tabi dileyen 2n + 7 de yazabilir,
bu yazõm tekli i çiftli i etkilemez.
imdi tek ve çift sayõlarõn birbirleriyle i lemlere girdik-
lerinde sonucu teklik-çiftlik bakõmõndan incelemeyi ö -
renece iz.
Ç çift sayõyõ, T tek sayõyõ simgelesin.
Ç ± Ç = Ç
Ç ± T = T
T ± Ç = T
T ± T = Ç
Hemen bu e itlikleri kanõtlayalõm. n ve p herhangi iki
tam sayõ olsun. n ve p tam sayõysa n ± p sayõsõnõn da tam
sayõ ve bir tam sayõnõn 2 katõnõn çift olmasõnõ kullanaca-
õz.
Ç ± Ç = 2n ± 2p = 2·(n ± p) = Ç
Ç ± T = 2n ± (2p ± 1) = 2n ± 2p ± 1 = 2·(n ± p) ± 1 = T
T ± Ç = (2n ± 1) ± 2p = 2n ± 2p ± 1 = 2·(n ± p) ± 1 = T
T ± T = (2n ± 1) ± (2p ± 1) = 2·(n ± p) ± 2 = Ç
imdi de tek ve çift sayõlarõn birbirleriyle çarpõldõklarõn-
da sonucun tek mi çift mi olaca õnõ ö renece iz. Önce
kurallarõ verelim, sonra kanõtlayalõm:
Ç · Ç = Ç
Ç · T = Ç
T · Ç = Ç
T · T = T
n ile p ne olursa olsun (tabi tam sayõ olarak), 4np, 2n ve
2p sayõlarõnõn çift olaca õna dayanõyor kanõtõmõz.
Ç · Ç = 2n·2p = 4np = Ç
Ç · T = 2n·(2p ± 1) = 4np ± 2n = Ç ± Ç = Ç
T · Ç = (2n ± 1)·2p = 4np ± 2p = Ç ± Ç = Ç
T · T = (2n ± 1)·(2p ± 1) = 4np ± 2n ± 2p ± 1 = T
Son olarak da tek ve çift sayõlarõn kuvvetlerinin tek mi
çift mi oldu unu ö renece iz. Önce bir hatõrlatma yapa-
lõm: n bir sayma sayõsõ olmak üzere, n tane a’nõn çarpõmõ
an
olarak yazõlõr. a sõfõrdan farklõyken a0
= 1’dir.
Bunlar için de unu yazabiliriz:
n bir sayma sayõsõ olmak üzere
Çn
= Ç
Tn
= T
Yani kuvvet de eri sayma sayõsõyken, çift sayõlarõn tüm
kuvvetleri çift, tek sayõlarõn tüm kuvvetleri tekmi . Bu
e itliklerin kanõtõ oldukça kolaydõr. Ç · Ç = Ç oldu unu
kanõtladõ õmõzdan 2 tane de il n tane çift sayõ da çarpõlsa
sonuç çift olur. Di er yandan T · T = T oldu unu kanõtla-
dõ õmõzdan n tane tek sayõnõn çarpõmõ da tektir.
Buradan öyle bir sonuç çõkar: Tam sayõlardan olu an bir
çarpma i leminde sonuç tek sayõysa çarpõlan tüm tam sa-
yõlar tektir. E er sonuç çift sayõysa çarpõlanlarõn içinde
en az 1 tane çift sayõ vardõr.
Böyle bir genelleme bir miktar tam sayõnõn toplamõnõn
sonucu için yapõlamaz. Çünkü sonuç tek sayõysa topla-
nan sayõlarõn hepsi tek de olabilir, bazõlarõ tek bazõlarõ
çift de. Di er yandan sonuç çiftse toplanan tüm sayõlar
çifttir diyemeyiz, içinde çift sayõda tek de olabilir.
Ek olarak, 1’den n’ye kadar olan sayma sayõlarõnõn çar-
põmõ da n! diye gösterilir. 0! = 1 e itli i unutulmamalõ-
dõr. 1’den büyük n’ler için n! sayõsõ içinde 2’yi içerece-
inden mutlaka çifttir.
Örnek. a bir çift do al sayõ oldu una göre
a2
, 2a
, a3
+ 4a, 3a
+ 1, 4a+1
, a!
sayõlarõndan kaç tanesi daima çifttir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Çözüm: Bu soruda dikkat edilmesi gereken tek nokta
0’õn da bir çift do al sayõ olmasõdõr.
a = 0 oldu unda 2a
= 1 olur yani çift olmaz. Bir de 0! = 1
oldu undan a! ifadesine daima çifttir diyemeyiz. Di er
her sayõ, her çift do al a de eri için çifttir.
Do ru cevap: D.
Örnek. a bir tek do al sayõ oldu una göre
a2
, 2a
, a3
+ 4a, 3a
+ 1, 4a+1
, a!
sayõlarõndan kaç tanesi daima tektir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Çözüm: Tek bir sayõnõn karesi tek oldu undan a2
tektir.
2’nin her tek do al kuvveti çift diye 2a
çifttir. a3
tek, 4a
çift diye a3
+ 4a tektir. 3a
tek diye 3a
+ 1 çifttir. Tabanõ
çift diye 4a+1
çifttir. a = 1 için a! tektir ama di er tek de-
erler için çifttir. Bu durumda daima tek olan 2 tanesidir.
Do ru cevap: B.
5
V

7. Tek ve Çift Sayõlar
Örnek. a, b ve c do al sayõlarõ arasõnda
2
3ca
a b
e itli i geçerliyse bu sayõlar için a a õdakilerden hangisi
her zaman do rudur?
A) a çift ise b de çift olmalõdõr.
B) a çift ise b tek olmalõdõr.
C) a = 0 ise b = 0 olmalõdõr.
D) a tek ise b çift olmalõdõr.
E) a tek ise b de tek olmalõdõr.
Çözüm: Önce e itli i düzenleyelim.
2a = 3c
·(a + b)
a kaç olursa olsun 2a çift ve c kaç olursa olsun 3c
tek
olaca õndan e itlik u hale döner:
Ç = T·(a + b)
Bu durumda a + b toplamõ mutlaka çift olmalõdõr. Bu du-
rum hem a hem de b çiftse ve hem a hem de b tekse ger-
çekle ir ama a + b = 0 olursa soruda verilen kesirli ifade
tanõmsõz olaca õndan a çiftse b her zaman çift olur de-
nemeyebilir.
Do ru cevap: E.
Örnek. n bir sayma sayõsõ olmak üzere
n2
+ 2n
+ n – 4
toplamõ hakkõnda a a õdakilerden hangisi daima do ru-
dur?
A) Pozitiftir B) Negatiftir C) Çifttir
D) Tektir E) Hiçbiri
Çözüm: n’nin tek oldu unu varsayalõm. n2
tek ve 2n
çift
olaca õndan
T + Ç + T – Ç = Ç
olur. n’nin çift oldu unu varsayarsak da
Ç + Ç + Ç – Ç = Ç
olur. Demek ki her halükarda bu toplam çift olur.
‘’Tamam da daima pozitiftir aynõ zamanda’’ diyen varsa
n’ye 1 koysun, olmadõ õnõ görsün.
Do ru cevap: C.
Örnek. x, y ve z tam sayõ olmak üzere
3x – 2y = 4 (5z + 3)
e itli i veriliyor. Buna göre a a õdakilerden hangisi da-
ima do rudur?
A) xy
çifttir. B) xz
+ 1 tektir. C) x 2y tektir.
D) 5x z çifttir. E) xyz çifttir.
Çözüm: 2y ve 4(5z + 3) sayõlarõ çift oldu undan 3x çift
olmalõdõr. Dolayõsõyla x çifttir. y ve z hakkõnda bir bilgi-
miz olmadõ õndan xy
ve xz
sayõlarõna çift diyemeyiz.
Çünkü y veya z = 0 olursa xy
= xz
= 1 olur. C õkkõndaki
ifade zaten yanlõ olup, D õkkõndaki ifade de z’ye ba lõ-
dõr. Geriye E õkkõ kaldõ ki x çift oldu undan xyz çarpõmõ
daima çifttir.
Do ru cevap: E.
Örnek. (5 – x)7
negatif tek tam sayõ ise x için a a õdaki-
lerden hangisi söylenebilir?
A) Negatif çift tam sayõdõr. B) Negatif tek tam sayõdõr.
C) Pozitif çift tam sayõdõr. D) Pozitif tek tam sayõdõr.
E) 5’ten büyük tek sayõdõr.
Çözüm: 5 – x pozitif olsaydõ tüm kuvvetleri de pozitif
olurdu, demek ki 5 – x negatifmi . Di er yandan 5 – x
çift olsaydõ yedinci kuvveti de çift olurdu, demek ki 5 – x
tekmi . kisini birle tirerek unu söyleyebiliriz: 5 – x ne-
gatif tek tam sayõdõr. Bu durumda x > 5 olur. Ayrõca x
tek tam sayõ olsaydõ 5 – x çift tam sayõ olurdu, demek ki
x çift tam sayõymõ .
Do ru cevap: C.
Bazõ sorularda x2
gibi bir sayõnõn çift tam
sayõ oldu undan bahseder. Ö renci de he-
men x2
çift tam sayõysa x de çift tam sayõdõr
der. Halbuki soruda x’in tam sayõ oldu u
hakkõnda bilgi verilmemi tir. Demek iste-
di im 2x için de x2
çift bir tam sayõdõr
ama gördü ünüz gibi x öyle de il! A a õdaki örnekler
buna dair…
Örnek. x2
+ 2x + 1 çift sayõ oldu una göre a a õdakiler-
den hangisi daima tek sayõdõr?
A) x B) x2
+ 3x + 1 C) 2x + 1
D) x2
+ 2x + 4 E) x2
+ 2
Çözüm: Bu soru çok kolay bir soru ama bu soruda yanõ-
lan çok ö renci oluyor. Soruda x’in tam sayõ oldu u söy-
lenmedi inden x, x2
+ 3x + 1, 2x + 1 ve x2
+ 2 sayõlarõ
(bõrakõn tek veya çift olmayõ) tam sayõ olmayabilirler bi-
le. Di er yandan x2
+ 2x + 1 çiftse bu sayõnõn 3 fazlasõ
olan x2
+ 2x + 4 sayõsõ her halükarda tektir.
Do ru cevap: D.
Örnek. x2
ile y3
+ 1 sayõlarõ pozitif tek sayõlar oldu una
göre a a õdakilerden hangisi daima pozitif tek sayõdõr?
A) x – y B) x + y C) 2x + 4y + 1
D) x2
+ 4y + 1 E) x6
+ y9
Çözüm: Sakõn ‘’x2
zaten her halükarda pozitif, o halde
x2
bir tek sayõysa x de tektir.’’ demeyin. Soruda ‘’x2
po-
zitif tek sayõdõr’’ diyor, x için tam sayõ oldu u söylen-
medi inden tek veya çift oldu unu söyleyemeyiz. Anla-
yaca õnõz, x de eri 3 bile olabilir, gerçekten x2
= 3
hem pozitif hem de tek sayõdõr. Aynõ durum y için de ge-
çerli oldu undan x ve y içeren õklar do ru cevap ola-
maz. E õkkõndaki ifade, x2
tek oldu undan x6
da tek olup
y3
çift oldu undan y9
da çift olaca õndan daima tektir.
Do ru cevap: E.
6
VI

8. Tek ve Çift Sayõlar
CEVAPLI TEST 1
1.
a pozitif bir reel sayõ olmak üzere
-a, 2a, a + 1, a – 1, 1 – a,
1
a
, a2
, -a2
, a – a2
ifadelerinden kaç tanesi daima negatif bir sayõdõr?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2.
a negatif bir reel sayõ olmak üzere
-a, 2a, a + 1, a – 1, 1 – a,
1
a
, a2
, -a2
, a – a2
ifadelerinden kaç tanesi daima pozitif bir sayõdõr?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
3.
a ve b reel sayõlarõ a < 0 < b e itsizliklerini sa lamakta-
dõr.
Buna göre a a õdakilerden hangisi negatiftir?
A) b – a B) (a – b)· a C) b2
– a·b
D) (–a)2
b E) -a2
- b2
+ 2ab
4.
a, b, c, d reel sayõlarõ a < 0 < b < c < d e itsizliklerini
sa lamaktadõr.
Buna göre a a õdakilerden hangisi negatiftir?
A) a·(b – d) B) (d – c)·(b – a) C) (a – b)·(a – d)
D) b + c + d – a E) a·b + a
5.
a, b, c reel sayõlarõ a < b < 0 < c e itsizliklerini sa la-
maktadõr.
Buna göre a a õdaki sayõlardan hangisi negatif olabi-
lir?
A) c – 2a B) b·c C) a·b – c D) a E) a·b + c
6.
x < y < z < 0 < t ko ulunu sa layan x, y, z, t reel sayõlarõ
veriliyor.
Buna göre a a õdakilerden hangisi daima pozitiftir?
A)
x y
z t
B) x·y·z + t C)
y z x
t
D) x + y + z + t E)
x z
y t
7.
x3
yz2
< 0
xz3
< 0
x5
y3
z > 0
e itsizliklerini sa layan x, y ve z reel sayõlarõnõn i a-
retleri hangi õkta do ru sõralamada verilmi tir?
A) +, –, – B) –, +, + C) –, +, –
D) +, +, – E) –, –, +
8.
xz3
< 0
x5
y > 0
e itsizliklerini sa layan x, y ve z reel sayõlarõ için a a-
õdakilerden hangisi daima do rudur?
A) y + z < 0 B) y + z > 0 C) x2
– y·z > 0
D) x + y + z > 0 E) y – z < 0
9.
a, b, c tam sayõlarõ a < 0 < b < c e itsizliklerini sa la-
maktadõr.
Buna göre a a õdakilerden hangisi daima pozitif bir
sayõdõr?
A) (a – b)c
B) (c – b)a – c
C) ac – b
D) (b – c)b
E) (a – c)b – a
10.
(3 – x)5
negatif tek tam sayõ ise x için a a õdakilerden hangisi
söylenebilir?
A) Negatif çift tam sayõdõr. B) Pozitif çift tam sayõdõr.
C) Negatif tek tam sayõdõr. D) Pozitif tek tam sayõdõr.
E) 3’ten büyük tek sayõdõr.
1. B 2. B 3. E 4. E 5. C 6. E 7. A 8. C 9. B 10. B
7
VII

9. Tek ve Çift Sayõlar
CEVAPLI TEST 2
1.
n bir tam sayõ olmak üzere a a õdakilerden hangisi
daima tek sayõdõr?
A) (7n)! B) 4n 5 C) 9n
+ 1
D) 3n 2 E) 4n
+ 2n
2.
n bir pozitif tam sayõ oldu una göre a a õdakilerden
hangisi daima bir çift sayõdõr?
A) n! + n + 1 B) 2n
+ 3n
+ 1 C) n6
– n3
– 1
D) (n + 1)! + n! + 1 E) n6
+ n3
+ 1
3.
a ve b birer tam sayõ olup c çift do al sayõdõr. a + c = 2b
oldu una göre
2a
+ a2
, ab + b, ac
+ 17!, c! + 2, 1
2
ac
ifadelerinden kaç tanesi daima çifttir?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
4.
T1 ve T2 birer tek sayõ, Ç1 ve Ç2 de sõfõrdan farklõ birer
çift sayõ olsun. Buna göre
1
2
Ç
Ç
, 1
1
Ç
T
, 1
1
T
Ç
, 1
2
T
T
, 1
2
2Ç
Ç
ifadelerinden kaç tanesi daima çift veya daima tek-
tir?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
5.
n bir do al sayõdõr.
x = 4n + 3
y = x + 1
oldu una göre a a õdakilerden hangisi çift sayõdõr?
A) yx + 1
+ 1 B) x 2y + 5 C) 2y2
1
D) 3x + y E) xy
+ yx
6.
x, y, z sõfõrdan farklõ tam sayõlar olmak üzere
x = 4y + 1
y = x 4
z = x + y
oldu una göre a a õdakilerden hangisi çift sayõdõr?
A) x B) z 2 C) z + 3 D) x + 2 E) y
7.
a tek ve b çift sayõ olmak üzere a a õdakilerden kaç
tanesi daima do rudur?
I. 3a2
+ 4b3
tek sayõdõr.
II. 2a
+ 3b
tek sayõdõr.
III. 2ab
çift sayõdõr.
IV. ba
+ b çift sayõdõr.
V. a2
+ 2ab + b2
tek sayõdõr.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5
8.
a, b, c olmak üzere
3a + 4b = 5 (a c)
oldu una göre a a õdakilerden hangisi daima do ru
bir önermedir?
A) a ve b tek, c çift sayõlardõr. B) a ve b tek sayõlardõr.
C) a tek, b ve c çift sayõlardõr. D) c çift sayõdõr.
E) a ve c tek, b çift sayõlardõr.
9.
a, b ve c tam sayõlardõr.
9
3
2010
a b
c
oldu una göre daima do ru olan seçenek a a õdaki-
lerden hangisidir?
A) c tek sayõdõr. B) c çift sayõdõr.
C) a çift sayõdõr. D) b çift sayõdõr.
E) a ve b tek sayõdõr.
10.
a, b ve c pozitif tam sayõlardõr.
(3a + 5)b + c
çift sayõ
b·c + 4 tek sayõ
oldu una göre a a õdakilerden hangisi daima çift sa-
yõdõr?
A) a2
+ b2
+ c2
B) a·b2
+ c3
C) a b c
D) a2
+ 2bc E) 3abc + 2
1. B 2. B 3. B 4. A 5. B 6. B 7. C 8. D 9. E 10. B
8
VIII

10. Tek ve Çift Sayõlar
CEVAPLI TEST 3
1.
2011
4
zt
x
e itli inde x, z, t birer do al sayõdõr.
Buna göre daima do ru olan seçenek a a õdakilerden
hangisidir?
A) x tek ve z çifttir. B) x çift ve t tektir.
C) z tek ve t çifttir. D) t tek ve z çifttir.
E) z ve t tek sayõdõr.
2.
a, b, c, d birer pozitif tam sayõ olmak üzere
2010 2011
2011
2010
a b
d
c
oldu una göre a a õdakilerden hangisi daima do ru
bir önermedir?
A) c·d çifttir. B) cb
tektir. C) a + b + c çifttir.
D) a + b çifttir. E) a·b + d tektir.
3.
a, b, c, d birer tam sayõ olmak üzere
2 3
2
a b c
d
oldu una göre a a õdakilerden hangisi daima do ru-
dur?
A) a tek ise c çifttir. B) a ve b tektir.
C) a çift ise c çifttir. D) b ve c çifttir.
E) d çifttir.
4.
a, b, c birer pozitif tam sayõ olmak üzere
3
4 52 1
2011
a
b c
oldu una göre a a õdakilerden hangisi daima do ru-
dur?
A) a tek ise b tektir. B) a tek ise c çifttir.
C) b çift ise c tektir. D) c tektir.
E) b çifttir.
5.
x pozitif tam sayõdõr.
(3x5
4x2
+ 2011)3
sayõsõ çift ise a a õdakilerden hangisi daima tek sayõ-
dõr?
A) xx
+ 4x + 1 B) x3
(x2
+ 4) C) 5x + 13
D) x3
+ 2x 7 E) (x2
3)4
6.
n2
bir tek sayõ oldu una göre
3n
, n, n + n2
, 5n, n4
sayõlarõndan kaç tanesi daima tektir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7.
n2
bir çift sayõ oldu una göre
4n
, n, n + n2
, 6n, n4
, (2n2
)!
sayõlarõndan kaç tanesi daima çifttir?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
8.
x2
+ 6x + 9
bir çift sayõ oldu una göre a a õdakilerden hangisi
daima tek sayõdõr?
A) x B) (x + 10)(x – 4) C) 2x + 1
D) x2
+ 7x + 9 E) x2
+ 2
9.
A a õdaki önermelerden kaç tanesi daima do rudur?
I. a tek sayõ ise a3
tek sayõdõr.
II. a tek sayõ ise a2
tek sayõdõr.
III. a2
tek sayõ ise a tek sayõdõr.
IV. a2
çift sayõ ise 2a çift sayõdõr.
V. a2
çift sayõ ise 1 a2
tek sayõdõr.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
10.
A a õdaki önermelerden hangisi veya hangileri dai-
ma do rudur?
I. a çift sayõ ise
( 2)
2
a a
çift sayõdõr.
II. a tek sayõ ise
( 1) ( 2)
3
a a a
tek sayõdõr.
III. a2
çift sayõ ise
( 2)
2
a a
çift sayõdõr.
A) Yalnõz III B) Yalnõz II C) Yalnõz I
D) I ve III E) I, II ve III
1. E 2. D 3. C 4. C 5. B 6. A 7. B 8. B 9. C 10. C
9
IX