LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE. Scommettiamo che vi piace?
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Una introduzione alla distribuzione binomiale.
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- 1. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE Scommettiamo che vi piace? prof.ssa Veronica Cavicchi Liceo Scientifico di stato “A. Calini” 27 Marzo 2020 prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 1 / 33
- 2. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Piano della presentazione 1 Introduzione 2 Il nostro percorso 3 La distribuzione binomiale 4 Conclusioni 5 Bibliografia prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 2 / 33
- 3. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Ripasso dei concetti. . . Prima di iniziare il percorso riprendiamo teoria e concetti già visti attraverso il portale BetOnMath) del Politecnico di Milano prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 3 / 33
- 4. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Avvicinarsi alla Matematica . . . . . . con le nuove tecnologie! Tecnologia e didattica La tecnologia risulta efficace solo se supportata da una didattica innovativa, che ponga al centro dell’apprendimento l’alunno, che personalizzi, che faccia rete con l’esterno e nell’interno della classe e che permetta di ri – costruire (secondo l’ispirazione di Bruner e Dewey) e di re – inventare (come direbbe Freudenthal) il proprio modo/percorso di apprendere, trasformando ciò che viene insegnato in competenza personale e situata. Orientamento alla persona Ripensare la didattica da trasmissiva a costruttiva, da Mastery Learning a Cooperativa, da teorica/astratta a laboratoriale/situata e la classe da insieme di individui a gruppo, su cui si può anche lavorare in modalità Flipped Classroom, permette di sfruttare al massimo le nuove tecnologie, supportando i bisogni di ogni alunno, potenziando le eccellenze, creando un clima diverso ed un contesto sociale inclusivo, aperto anche al territorio, cambiando i paradigmi dell’educazione. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 4 / 33
- 5. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Avvicinarsi alla Matematica . . . . . . con le nuove tecnologie! Tecnologia e didattica La tecnologia risulta efficace solo se supportata da una didattica innovativa, che ponga al centro dell’apprendimento l’alunno, che personalizzi, che faccia rete con l’esterno e nell’interno della classe e che permetta di ri – costruire (secondo l’ispirazione di Bruner e Dewey) e di re – inventare (come direbbe Freudenthal) il proprio modo/percorso di apprendere, trasformando ciò che viene insegnato in competenza personale e situata. Orientamento alla persona Ripensare la didattica da trasmissiva a costruttiva, da Mastery Learning a Cooperativa, da teorica/astratta a laboratoriale/situata e la classe da insieme di individui a gruppo, su cui si può anche lavorare in modalità Flipped Classroom, permette di sfruttare al massimo le nuove tecnologie, supportando i bisogni di ogni alunno, potenziando le eccellenze, creando un clima diverso ed un contesto sociale inclusivo, aperto anche al territorio, cambiando i paradigmi dell’educazione. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 4 / 33
- 6. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Sguardo d’insieme Modelli da non confondere con la distribuzione binomiale Processo di Bernoulli illimitato: distribuzione geometrica. Processo di Bernoulli illimitato con conteggio di insuccessi prima del successo: distribuzione binomiale negativa. Processo Bernoulliano senza reimmissione: legge ipergeometrica. Approfondimento per il potenziamento degli alunni La distribuzione di Poisson, come limite di leggi binomiali. Principali scelte metodologiche Problem Solving. Lezione partecipata. Didattica metacognitiva. Valorizzazione nelle differenze negli stili di apprendimento. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 5 / 33
- 7. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Sguardo d’insieme Modelli da non confondere con la distribuzione binomiale Processo di Bernoulli illimitato: distribuzione geometrica. Processo di Bernoulli illimitato con conteggio di insuccessi prima del successo: distribuzione binomiale negativa. Processo Bernoulliano senza reimmissione: legge ipergeometrica. Approfondimento per il potenziamento degli alunni La distribuzione di Poisson, come limite di leggi binomiali. Principali scelte metodologiche Problem Solving. Lezione partecipata. Didattica metacognitiva. Valorizzazione nelle differenze negli stili di apprendimento. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 5 / 33
- 8. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Sguardo d’insieme Modelli da non confondere con la distribuzione binomiale Processo di Bernoulli illimitato: distribuzione geometrica. Processo di Bernoulli illimitato con conteggio di insuccessi prima del successo: distribuzione binomiale negativa. Processo Bernoulliano senza reimmissione: legge ipergeometrica. Approfondimento per il potenziamento degli alunni La distribuzione di Poisson, come limite di leggi binomiali. Principali scelte metodologiche Problem Solving. Lezione partecipata. Didattica metacognitiva. Valorizzazione nelle differenze negli stili di apprendimento. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 5 / 33
- 9. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Obiettivi didattici Prerequisiti Algebra degli insiemi. Disposizioni, permutazioni, combinazioni (con e senza ripetizioni) di n oggetti di classe k. Probabilità (secondo la concezione classica) di eventi semplici. Probabilità di eventi semplici secondo la concezione statistica, soggettiva o assiomatica. Probabilità della somma logica e del prodotto logico di eventi, la probabilità condizionata, la probabilità nei problemi di prove ripetute. Conoscenze Distribuzione di probabilità e funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta. Media, varianza, deviazione standard. Variabili casuali che hanno distribuzione uniforme discreta: binomiale. Abilità Operare con le distribuzioni di probabilità di uso frequente di variabili casuali discrete. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 6 / 33
- 10. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Obiettivi didattici Prerequisiti Algebra degli insiemi. Disposizioni, permutazioni, combinazioni (con e senza ripetizioni) di n oggetti di classe k. Probabilità (secondo la concezione classica) di eventi semplici. Probabilità di eventi semplici secondo la concezione statistica, soggettiva o assiomatica. Probabilità della somma logica e del prodotto logico di eventi, la probabilità condizionata, la probabilità nei problemi di prove ripetute. Conoscenze Distribuzione di probabilità e funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta. Media, varianza, deviazione standard. Variabili casuali che hanno distribuzione uniforme discreta: binomiale. Abilità Operare con le distribuzioni di probabilità di uso frequente di variabili casuali discrete. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 6 / 33
- 11. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Obiettivi didattici Prerequisiti Algebra degli insiemi. Disposizioni, permutazioni, combinazioni (con e senza ripetizioni) di n oggetti di classe k. Probabilità (secondo la concezione classica) di eventi semplici. Probabilità di eventi semplici secondo la concezione statistica, soggettiva o assiomatica. Probabilità della somma logica e del prodotto logico di eventi, la probabilità condizionata, la probabilità nei problemi di prove ripetute. Conoscenze Distribuzione di probabilità e funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta. Media, varianza, deviazione standard. Variabili casuali che hanno distribuzione uniforme discreta: binomiale. Abilità Operare con le distribuzioni di probabilità di uso frequente di variabili casuali discrete. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 6 / 33
- 12. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Traguardi di competenza Competenze Utilizzare il linguaggio e i metodi propri della matematica per organizzare e valutare adeguatamente informazioni qualitative e quantitative. Utilizzare e valutare criticamente informazioni statistiche di diversa origine con particolare riferimento agli esperimenti e ai sondaggi. Individuare e riassumere momenti significativi nella storia del pensiero matematico. Argomento della lezione. Distribuzioni di probabilità. Processo bernoulliano. La distribuzione binomiale. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 7 / 33
- 13. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Collocazione interdisciplinare Contestualizzazione La lezione può collocarsi all’interno di un’unità di apprendimento di tipo interdisciplinare, dal titolo “Cosa accade intorno a noi?”, che coinvolga le discipline di Lingua e letteratura italiana, Lingua inglese, Matematica. L’unità di apprendimento, mira a sviluppare competenze nella comunicazione della propria lingua, competenze matematiche, tecnologiche (nell’utilizzo di reti e strumenti informatici e nell’approfondimento) e life skill (nell’analisi del territorio (individuazione e analisi di dati relativi all’epidemia in corso nelle varie zone, a cambiamenti di vita e al diffondersi di abitudini). I prodotti da realizzare sono una presentazione multimediale dell’indagine effettuata, una relazione individuale ed un glossario. Successivamente verranno formati dei gruppi che si coordineranno poi nella realizzazione di un poster da presentare alla cittadinanza con i risultati emersi. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 8 / 33
- 14. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Metodologie utilizzata Progettazione della lezione Utilizzo delle tecnologie Si utilizzerà Geogebra, Desmos, Excel o Numbers ed il portale dell’University of Alabama in Huntsville, verranno utilizzati sia in attività di scoperta guidata, sia in attività di verifica e controllo dei risultati ottenuti. Saranno inoltre installati software (Mindmaple e CmapTool) per creare mappe concettuali. Riflessione metacognitiva Tutti i momenti della lezione saranno accompagnati da domande per stimolare la riflessione metacognitiva attraverso Mentimeter, QuestBase e Google Moduli. Gli alunni saranno aiutati a riflettere sui loro stili e sulle loro strategie di apprendimento. Sarà dato rilievo all’autovalutazione dell’alunno rispetto ai compiti che gli vengono assegnati. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 9 / 33
- 15. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Metodologie utilizzata Progettazione della lezione Utilizzo delle tecnologie Si utilizzerà Geogebra, Desmos, Excel o Numbers ed il portale dell’University of Alabama in Huntsville, verranno utilizzati sia in attività di scoperta guidata, sia in attività di verifica e controllo dei risultati ottenuti. Saranno inoltre installati software (Mindmaple e CmapTool) per creare mappe concettuali. Riflessione metacognitiva Tutti i momenti della lezione saranno accompagnati da domande per stimolare la riflessione metacognitiva attraverso Mentimeter, QuestBase e Google Moduli. Gli alunni saranno aiutati a riflettere sui loro stili e sulle loro strategie di apprendimento. Sarà dato rilievo all’autovalutazione dell’alunno rispetto ai compiti che gli vengono assegnati. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 9 / 33
- 16. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Ultime osservazioni preliminari Domanda di applicazioni A cosa serve? Ci possono essere applicazioni di vario tipo (genetica/ereditarietà, test clinici, collaudo di pezzi, sondaggi d’opinione) e ci sono molti punti di contatto con le altre materie scientifiche. In ogni caso, se la probabilità insegna a capire cose della realtà che ci circonda è essa stessa che serve. Ed è la mentalità stessa probabilistica che è utile insegnare, per arricchire la cultura scientifica. Questa mentalità probabilistica può confermare o meno il buon senso comune, in ogni caso risponde a delle domande fondamentali:Questo evento o questo esito . . . è più o meno probabile di quell’altro? è molto probabile o poco probabile? è più probabile che avvenga o che non avvenga? è davvero così improbabile come sembra? Questi eventi sono indipendenti o no? Questa valutazione ulteriore cambia la mia valutazione di questo evento oppure no? Qual è il valore atteso di questa variabile aleatoria? Sto usando la distribuzione giusta? L’attitudine a porsi queste domande e la percezione della loro importanza sono una manifestazione concreta della mentalità probabilistica che può nascere. (Riprendendo i pensieri del prof. Marco Bramanti) prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 10 / 33
- 17. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Prima fase di scoperta Gli alunni vengono divisi in gruppi, si chiede loro di trovarsi in videoconferenza e di creare un esperimento come segue. Presentazione della prima situazione problema Prendete un’urna (secchio di plastica) contenente 12 palline di cui 4 bianche e 8 nere (si possono fare con dei foglio di carta di materiale diverso, tipo carta bianca e carta di giornale: la carta di giornale rappresenta il nero). Si chiede agli studenti di calcolare la probabilità che estraendo 5 palline (cioè facendo cinque prove) 4 siano bianche e 1 sia nera. Ad ogni estrazione la pallina estratta deve venire rimessa nell’urna, in modo che le successive estrazioni siano fatte sempre nelle stesse condizioni. Presentazione della seconda situazione problema Costruite un dado. Gli si chiede quale sia la probabilità su 6 lanci di ottenere 1 esattamente quattro volte. Agli alunni viene assegnato per compito di confrontarsi con i compagni e cercare sul proprio libro e in rete (LessThan3Math), un modello per i problemi. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 11 / 33
- 18. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Seconda fase di lezione partecipata Formalizzazione del modello Il modello di Bernoulli Un problema di grande importanza pratica è quello delle prove ripetute, tutte nelle stesse condizioni. Si tratta di un problema che porta alla costruzione della variabile casuale con distribuzione binomiale. Definizione (La prova di Bernoulli) Si dice esperimento bernoulliano un esperimento aleatorio che può avere solo due esiti possibili, che chiamiamo convenzionalmente “successo” o “insuccesso”, con probabilità rispettivamente p e (1-p). p è un numero reale qualsiasi compreso tra 0 e 1, e si dice parametro della prova di Bernoulli. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 12 / 33
- 19. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Seconda fase di lezione partecipata Formalizzazione del modello Esempi del modello di Bernoulli Il lancio di una moneta è un esperimento bernoulliano, considerando, per esempio “successo” l’uscita di “testa” e “insuccesso” l’uscita di “croce”. In questo caso, il valore ragionevole di p è 0.5, se riteniamo che la moneta sia equilibrata. Si tratta di una valutazione a priori. Se è noto che, mediamente, il 3% dei pezzi prodotti da una certa linea produttiva sono difettosi, il collaudo di un pezzo a caso tra quelli prodotti si può vedere come un esperimento bernoulliano, dove chiamiamo “successo” l’esito di avere un pezzo difettoso e dove p = 0.03. In questo caso p non è conosciuto a priori, ma di deduce a posteriori come frequenza con cui in passato si è verificato un fenomeno. Si tratta di una stima a posteriori. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 13 / 33
- 20. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Seconda fase di lezione partecipata Formalizzazione del modello Definizione (Il processo di Bernoulli) Si dice processo di Bernoulli una sequenza di esperimenti di Bernoulli di uguale parametro p, tra loro indipendenti. Per sequenza di prove si intende la ripetizione di un numero finito n di prove oppure l’iterazione indefinita di prove (infinità numerabile). In quest’ultimo caso si parla di processo di Bernoulli illimitato e non verrà trattato al quarto anno. Un processo di Bernoulli modellizza una situazione in cui un esperimento bernoulliano viene ripetuto più volte con le stesse modalità. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 14 / 33
- 21. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Seconda fase di lezione partecipata Formalizzazione del modello Teorema (Probabilità che un evento ripetibile si presenti k volte su n prove) Consideriamo un evento E ripetibile e supponiamo di fare con esso n prove, tutte nelle stesse condizioni, per cui la probabilità che l’evento si presenti sia uguale in ogni prova. p è la probabilità che in una prova si presenti E q = (1-p) è la probabilità che in una prova si presenti E, cioè non si verifichi E La probabilità che sulle n prove eseguite l’evento E si verifichi k volte, con k ≤ n, è: pn;k = n k · pk · qn−k prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 15 / 33
- 22. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Seconda fase di lezione partecipata Formalizzazione del modello Dimostrazione Se l’evento E si presenta k volte su n prove, l’evento contrario E si presenta n-k volte. la probabilità che E si presenti k volte, per il teorema della probabilità composta, è: p · p · p · · · · · p k volte = pk ; la probabilità che l’evento contrario E si presenti n-k volte, per il teorema della probabilità composta, è: q · q · q · · · · · q n−k volte = qn−k ; “E si presenta k volte” se si verifica l’evento intersezione (Ek volte) ∧ (E(n−k) volte). La probabilità che l’evento E si verifichi k volte è: pr(Ek volte) · pr(E(n−k) volte)) = pk · qn−k . pk · qn−k fornisce la probabilità dell’evento considerato secondo una sola modalità. L’evento considerato può presentarsi in tanti modi diversi quante sono le combinazioni di n oggetti distinti di classe k, cioè in n k modi diversi. A ciascuna di queste modalità diverse corrisponde la probabilità pk · qn−k e le modalità sono tra loro a due a due incompatibili, segue, in base al teorema delle probabilità totali relative ad eventi incompatibili, che la probabilità che sulle n prove l’evento E si verifichi k volte è, indipendentemente dall’ordine, pari a; pn;k = p k · q n−k + p k · q n−k + · · · + p k · q n−k n k volte = n k · p k · q n−k prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 16 / 33
- 23. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Seconda fase di lezione partecipata Formalizzazione del modello Correzione della prima situazione problema In un’urna sono contenute 12 palline di cui 4 bianche e 8 nere. Si vuole conoscere la probabilità che estraendo 5 palline (5 prove), 4 siano bianche e 1 sia nera. Ad ogni estrazione la pallina estratta viene rimessa nell’urna. E: si estrae una pallina bianche; E: si estrae una pallina nera. n = 5 k = 4 p = 1 3 q = 2 3 La probabilità che estraendo 5 palline, 4 siano bianche è: p5;4 = 5 4 · 1 3 4 · 2 3 5−4 = 5 · 2 35 = 0.04115 La probabilità che la pallina bianca sia estratta per 4 volte è: p(b ∧ b ∧ b ∧ b) = 1 3 · = 1 3 · = 1 3 · = 1 3 = 1 81 La probabilità di estrarre 1 pallina nera è: p(n) = 2 3 prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 17 / 33
- 24. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Seconda fase di lezione partecipata Formalizzazione del modello Correzione della prima situazione problema Su cinque estrazioni la pallina bianca può essere estratta 4 volte secondo lo schema 5 4 = 5 modalità diverse: b b b b n b b b n b b b n b b b n b b b n b b b b Ciascuna modalità si presenta con probabilità uguale a 1 81 · 2 3 La probabilità richiesta è la somma delle probabilità relative alle singole modalità incompatibili tra loro, cioè: p5;4 = 5 4 · 1 81 · 2 3 = 5 · 2 35 prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 18 / 33
- 25. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Terza fase di lezione partecipata e prassi laboratoriale Formalizzazione del modello Teorema (Legame tra distribuzione binomiale e processo bernoulliano) Se X ∼ B(n; p), allora X è la somma di n variabili aleatorie indipendenti, ognuna di legge bernoulliana B(p). X può assumere i valori compresi tra 0 e n: pX(k) = n k · pk · qn−k con k che varia da 0 k n. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 19 / 33
- 26. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Terza fase di lezione partecipata e prassi laboratoriale Formalizzazione del modello Simulazioni online della distribuzione binomiale Vengono invitati gli studenti a sperimentare la variazione della distribuzione binomiale attraverso i grafici delle densità discrete B(n,p) e delle relative simulazioni sul sito we dell’University of Alabama in Huntsville ( browser Firefox o Chrome), in modo da sperimentare l’apprendimento anche in modalità CLIL. Lancio ripetuto di una moneta, non truccata e truccata Distribuzione binomiale al variare del tempo Macchina di Galton prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 20 / 33
- 27. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Lancio ripetuto di una moneta, non truccata http://www.math.uah.edu/stat/apps/BinomialCoinExperiment.html prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 21 / 33
- 28. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Lancio ripetuto di una moneta, truccata http://www.math.uah.edu/stat/apps/BinomialCoinExperiment.html prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 22 / 33
- 29. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Distribuzione binomiale equiprobabile nel tempo. http://www.math.uah.edu/stat/apps/BinomialTimelineExperiment.html prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 23 / 33
- 30. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Distribuzione binomiale nel tempo. http://www.math.uah.edu/stat/apps/BinomialTimelineExperiment.html prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 24 / 33
- 31. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Macchina di Galton http://www.math.uah.edu/stat/apps/GaltonBoardExperiment.html prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 25 / 33
- 32. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Quarta fase: prassi laboratoriale Formalizzazione del modello Esercizio a gruppi sulla distribuzione binomiale Un test consiste di 10 domande a risposta multipla: ci sono 4 risposte possibili per ogni domanda, di cui una sola esatta. Per preparare il test occorre rispondere esattamente ad almeno 8 domande. Che probabilità c’è di superare il test rispondendo a caso alle domande? Risolvere il problema, attraverso il modello della distribuzione binomiale e calcolando la probabilità attraverso il foglio di calcolo Excel o il calcolatore di probabilità di Geogebra. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 26 / 33
- 33. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Quarta fase: prassi laboratoriale Formalizzazione del modello Risoluzione dell’esercizio proposto Ognuna delle dieci domande è un esperimento di Bernoulli con probabilità di successo p = 1 4 = 0.25 (perché ci son o 4 risposte possibili e una sola è esatta). Il test è, quindi, un processo di Bernoulli di 10 prove, di parametro 0.25, e il numero di risposte esatte è una variabile aleatoria X ∼ B(10;0.25). La probabilità di superare il test è uguale a: P(X 8) = 10 k = 8 10 k pk (1 − p)10−k = (1 − p)k · 10 k = 8 10 k p 1 − p k Poichè p = 1 4 , risulta; P(X 8) = 3 4 10 · 10 k = 8 10 k 1 3 k Utilizzando il foglio di calcolo Excel o Geogebra risulta p 0.022. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 27 / 33
- 34. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Il problema proposto. . . Uso di Excel prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 28 / 33
- 35. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Il problema proposto. . . Uso di Geogebra prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 29 / 33
- 36. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Quinta fase (un’ora): verifica con l’uso dei device Verifica Risolvi gli esercizi seguenti: 1 In un’urna ci sono 10 biglie nere e 30 bianche. Se facciamo 6000 estrazioni rimettendo ogni volta la pallina nell’urna, quante volte approssimativamente ci aspettiamo che esca una biglia nera? 1500 4500 2000 18000 1000 2 In un sacchetto ci sono 20 gettoni: 12 di forma quadrata (4 bianchi e 8 neri) e 8 di forma circolare (6 bianchi e 2 neri). Qual è la probabilità di estrarre a caso un gettone bianco oppure uno circolare? 3 5 3 Una compagnia aerea dispone di due tipi di aerei, uno da 20 e un altro da 10 posti. Poiché si sa che i passeggeri che prenotano, poi non si presentano con una probabilità del 10%, vengono sempre accettate 22 prenotazioni sui voli da 20 posti e 11 su quelli da 10. In quale dei due tipi di aereo è maggiore il rischio di lasciare a terra almeno un passeggero che ha regolarmente prenotato, per un volo in cui si è accettato il massimo delle prenotazioni prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 30 / 33
- 37. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Ulteriori osservazioni. . . Si può parlare anche del valore medio, della varianza e dello scarto quadratico medio di una binomiale, dicendo loro, senza dimostrazione che: M(S) = n · p var(S) = n · p · q σ(S) = √ n · p · q In ogni caso occorre procedere attraverso un approccio cooperativo e lasciare del tempo per un confronto tra gruppi ed un’autovalutazione delle difficoltà del percorso, del proprio impegno e della propria consapevolezza di acquisizione dei contenuti. Cercate i riferimenti storici legati a Bernoulli e Laplace che hanno fondato il calcolo delle probabilità, elaborate, poi una relazione individuale ed una presentazione con Prezi, Spark, Animoto, Sway, Powerpoint, Keynote o PowToon. Cercate esempi da giornali, da altre discipline, di situazioni modellizzabili attraverso la legge binomiale e verificare insieme se tali fenomeni soddisfino effettivamente la distribuzione richiesta. Le attività cooperative vanno scritte in modalità condivisa in Google Drive. prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 31 / 33
- 38. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Discipline sociali . . . nel cammino verso la libertà e la coerenza “Ciò che noi vogliamo è creare un uomo libero per la società del domani. Ciò che, quindi, noi non vogliamo assolutamente, ciò che odiamo con tutte le nostre forze, è formare nella scuola lo schiavo della macchina, lo schiavo dei commercianti, lo schiavo dei programmatori, lo schiavo della formalizzazione di ogni genere, persino della formalizzazione matematica” (Papy) prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 32 / 33
- 39. La distribu- zione binomiale prof.ssa Veronica Cavicchi Introduzione Il nostro percorso La distribu- zione binomiale Conclusioni Bibliografia Riferimenti bibliografici TROVATO M., Matematica generale ed applicata, IGEA, VOL 3, Editore Ghisetti e Corvi, Milano BERGAMINI M., TRIFONE A., BAROZZI G., Matematica.Blu, VOL 4, Editore Zanichelli, Bologna Biblioteca di XlaTangente, Probabilità e Caso. La scienza dell’Alea, editore Kangourou, Milano. BRAMANTI M., Calcolo della probabilità. Teoria ed Esercizi, editore Esculapio, Milano. R.S.D.D.M.. GRUPPO di RICERCA e SPERIMENTAZIONE in DIDATTICA e DIVULGAZIONE della MATEMATICA. N.R.D.. NUCLEO di RICERCA DIDATTICA . www.dm.unibo.it/rsddm/it/nrd/nrd.htm ROSSI C., La matematica dell’incertezza. Didattica della probabilità e della statistica, ed. Zanichelli, Bologna BENUZZI F, La legge del perdente. La matematica come vaccino contro l’azzardopatia, ed. Dedalo, Bari prof.ssa Veronica Cavicchi (Calini) La distribuzione binomiale 27 Marzo 2020 33 / 33