1. Застосування операційного числення
Лекція 9.
Розв’язування лінійних диференціальних рівнянь
і систем рівнянь з постійними коефіцієнтами
Розв’язування диференціальних рівнянь за
допомогою формули Дюамеля
Розв’язування задач електротехніки
2. 9.1. Розв’язування лінійних
диференціальних рівнянь і систем
рівнянь з постійними коефіцієнтами
Властивості перетворення Лапласа дають можливість розв’язати лінійне
диференціальне рівняння за таким планом. Перетворення Лапласа переводить
лінійне диференціальне рівняння в алгебраїчне рівняння відносно
зображення. З цього рівняння можна знайти зображення шуканого оригіналу,
а далі за зображенням можна відтворити оригінал.
Нехай маємо диференціальне рівняння
( ) ( )
( )tfxaxax n
nn
=+++ −
...1
1 (9.1)
( ) ,0 0xx = ( ) ,...,0 0xx ′=′ ( )
( )
( )1
0
1
0
−
=− n
xx n
(9.2)
3. 9.1. Розв’язування лінійних
диференціальних рівнянь і систем
рівнянь з постійними коефіцієнтами
( ) ( ) ( ) ( )pFpQpXapap n
nn
=++++ −
...1
1
( ) ( ) ( )
n
nn
apap
pQpF
pX
+++
−
= −
...1
1
4. 9.1. Розв’язування лінійних
диференціальних рівнянь і систем
рівнянь з постійними коефіцієнтами
Приклад.Розв’язати задачу Коші:
,t
exx −
=+′ ( ) 10 =x
Операторне рівняння буде мати вигляд: ( ) ( )
1
1
1
+
=+−
p
pXppX
( )( ) 1
1
1
1 +
+
=+
p
ppX ( )
( ) 1
1
1
1
2
+
+
+
=
pp
pX
5. 9.1. Розв’язування лінійних
диференціальних рівнянь і систем
рівнянь з постійними коефіцієнтами
Оскільки
( )
,
1
1
2
+
÷−
p
te t
,
1
1
+
÷−
p
e t
( ) ( ).1+= −
tetx t
Приклад. Розв’язати задачу Коші
,sin2iv
txxx =+′′+ ( ) ( ) ( ) ( ) .00000 =′′′=′′=′= xxxx
( ) ,2
xptx ÷′′ ( ) ( )pXptx 4iv
÷
Оскільки ,
1
1
sin 2
+
÷
p
t
( ) ( ) ( ) .
1
1
2 2
24
+
=++
p
pXpXppXp Звідси
( )( ) 1
1
12 2
24
+
=++
p
pppX ( )
( )32
1
1
+
=
p
pX
.
.
6. 9.1. Розв’язування лінійних
диференціальних рівнянь і систем
рівнянь з постійними коефіцієнтами
( )
( ) ( )
″
−
+
″
+
=
−→→ 33
lim
!2
1
lim
!2
1
ip
e
ip
e
tx
pt
ip
pt
ip
Враховуючи комплексну спряженість доданків, одержимо
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
+
+
+
−
+
+
−⋅−
=
″
+
⋅=
=
=
ip
ptptpt
ip
pt
e
ip
t
e
ip
t
e
ipip
e
tx 2
2
453
3
2
43
ReRe2
2
1
( ) ( ) ( )
.sin
8
1
cos
16
6
sin
32
12
22
6
2
12
Re 2
3
2
45
ttt
t
te
i
t
e
i
t
e
i
ititit
−−=
+−=
Приклад.
Знайти розв’язок системи диференціальних рівнянь
=′+
=+′
−t
t
eyx
eyx
7. 9.1. Розв’язування лінійних
диференціальних рівнянь і систем
рівнянь з постійними коефіцієнтами
при початкових умовах ( ) ,10 =x ( ) .10 =y
Розв’язання. Нехай ( ) ( ),pXtx ÷ ( ) ( ).pYty ÷ Тоді ( ) ( ) ,1−÷′ ppXtx ( ) ( ) .1−÷′ ppYty
Оскільки ,
1
1
−
÷
p
et
,
1
1
+
÷−
p
e t
то одержимо операторну систему
+
=+−
−
=+−
.
1
1
1
,
1
1
1
p
XpY
p
YpX
(для зручності ми не пишемо аргументи функції)
Після перетворень маємо
+
+
=+
−
=+
.
1
2
,
1
p
p
pYX
p
p
YpX
8. 9.1. Розв’язування лінійних
диференціальних рівнянь і систем
рівнянь з постійними коефіцієнтами
Розв’язуючи цю систему методом Гауса або за формулами Крамера,
одержимо
( )22
2
22
1
1
1
1
1 −
+
+
−
−
−
=
p
p
pp
p
X
( )222
1
2
1 −
−
−
=
p
p
p
p
Y
Оскільки, ,
12
−
÷
p
p
cht ,
12
−
÷
p
p
sht
( )
,
1
1
22
2
−
+
÷
p
p
tcht
( )
,
1
2
22
−
÷
p
p
tsht
то розв’язок даної системи має вигляд.
( )
( )
−=
+−=
.tshtchtty
tchtshtchttx
9. 9.2. Розв’язування диференціальних
рівнянь за допомогою формули
Дюамеля
Із означення ( ) ( ) ( )
xaxaxxL n
nn
+++= −
...1
1 випливає, що
( ) ( ) ( )22112211 xLCxLCxCxCL +=+ (9.3)
Тепер рівняння (9.1) коротко запишеться у вигляді
( ) ( )tfxL = (9.4)
( ) ( ) ( ) τττ dtfxtx
t
∫ −′=
0
1
(9.5)
10. 9.2. Розв’язування диференціальних
рівнянь за допомогою формули
Дюамеля
або ( ) ( ) ( ) τττ dtxftx
t
−
′
= ∫ 1
0
(9.6)
( ) ( ) ,
1
1
p
pXpL = де ( ) ,...1
1 n
nn
apappL +++= −
( ) ( )txpX 11 ÷
Звідси ( )
( )
.
1
1 ppX
pL =
( ) ( ) ( ),pFpXpL = де ( ) ( )txpX ÷ ( ) ( ).tfpF ÷
Звідси ( ) ( )
( )
( ) ( ).1 pFppX
pL
pF
pX ==
11. 9.2. Розв’язування диференціальних
рівнянь за допомогою формули
Дюамеля
За формулою Дюамеля (7.22) одержимо
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −′=−′+=
tt
dtfxdtfxtfxtx
0
1
0
11 ,0 ττττττ
оскільки ( ) .001 =x
Формула (9.6) випливає з комутативності згортки.•
Зауваження. Дана теорема дозволяє знаходити розв’язок
диференціального рівняння (9.1) без зображення правої частини цього
рівняння. Знаючи розв’язок для одиничної правої частини, ми за допомогою
інтегрування знаходимо розв’язок для довільної правої частини. Формула
(9.5) відіграє важливу роль при розв’язуванні електротехнічних задач.
Зауваження. Вимога нульових початкових умов є несуттєвою: простою
заміною шуканої функції задачу з ненульовими початковими вимогами
можна звести до задачі з нульовими умовами.
12. 9.2. Розв’язування диференціальних
рівнянь за допомогою формули
Дюамеля
Приклад. Знайти розв’язок рівняння txxx cos2ІV
=+′′+ при початкових умовах
( ) ( ) ( ) ( ) .00000 =′′′=′′=′= xxxx
Розв’язання. Знайдемо розв’язок ( )tx1 рівняння 12ІV
=+′′+ xxx
при цих же початкових умовах.
Нехай ( ) ( ).11 pXtx ÷ Тоді ( ),1
2
1 pXpx ÷′′ ( ).1
4IV
1 pXpx ÷
.
1
2 11
2
1
4
p
XXpXp =++
Звідси
( )221
1
1
+
=
pp
X
За формулою (8.3) маємо
13. 9.2. Розв’язування диференціальних
рівнянь за допомогою формули
Дюамеля
( )
( ) ( )
=
′
+
+
+
=
=
=
ip
pt
p
pt
e
ipp
e
p
tx 2
0
221
1
Re2
1
1 ( )
( )
.sin
2
1
cos1
13
Re21 32
2
ttte
ipp
itpptp
ip
pt
−−=
+
−+−
+
=
Отже, ( ) ,sin
2
1
cos11 ttttx −−= а ( ) ttttx cos
2
1
sin
2
1
1 −=′
( ) ( ) ( ) ( )
−−+=−−= ∫ τττττττ 2cos
2
1
sin
4
1
coscossin
2
1
0
ttdttx
t
( ) ( ) ( ) .cos
8
1
sin
8
1
2cos
4
1
cos
2
2sin
2
1
cos 2
0
2
ttttttttt
t
−=
−+−
−−−− τ
τ
τττ
Приклад. Знайти розв’язок рівняння t
e
xx
+
=−′′
1
1
при початкових умовах ( ) ( ) .000 =′= xx
14. 9.2. Розв’язування диференціальних
рівнянь за допомогою формули
Дюамеля
Розв’язання. Знайти розв’язок ( )tx1 рівняння 1=−′′ xx при умові ( ) ( ) .000 11 =′= xx
Нехай ( ) ( ).11 pXtx ÷ Тоді ( ) ( ).1
2
1 pXppx ÷′′
p
XXp
1
11
2
=−
Звідси
( )1
1
21
−
=
pp
x
Так як ( ) ,
1
11
1
22
pp
p
pp
−
−
=
−
то маємо ( ) ,11 −= chttx ( ) shttx =′1
За формулою (9.5)
( ) ∫∫ =
+
−
=
+
= −
−
−
t
t
t
t
d
e
ee
d
e
shtx
00 12
1
1
1
τττ τ
ττ
τ ( ) .
2
1
ln1
2
1 t
tt e
shttee
+
⋅+−−
16. 9.3. Розв’язування задач
електротехніки
( )teidt
C
Ri
dt
di
L
t
=++ ∫
0
1
(9.8)
Нехай ( ) ( ) ( ) ( )pEtepIti ÷÷ , тоді рівняння кола в операторному виді буде
( ) ( ) ( ) ( )pEpI
Cp
pRIpLpI =++
1
Звідси ( )
( )
Cp
LpR
pE
pI
1
++
=
( )
Cp
LpRpZ
1
++= називається операторним опором контура.
17. 9.3. Розв’язування задач
електротехніки
Тоді останню формулу можна записати у вигляді ( )
( )
( )pZ
pE
pI =
яке називається операторною формулою закону Ома.
Велику роль при розрахунку електричних кіл грає формула Дюамеля.
Нехай ( ) 11 =te
.
Тоді ( )
p
pE
1
1 = і ( ) ( )ti
C
LppR
pI 1
2
1
1
1
÷
++
=
( ) ( ) ( ) ( )∫ −
′
=÷
t
dteitipI
0
1 τττ або ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0 1
0
1 τττ dtietieti
t
−′+= ∫
18. Запитання для самоконтролю
1. Який план розв’язування лінійних диференціальних рівнянь за
допомогою перетворень Лапласа?
2. Як використовується формула Дюамеля для розв’язування
диференціальних рівнянь?
3. Записати операторну формулу закона Ома?
