1. ‫שאלון 608 שאלה 5, בגרות חורף תשע"ג‬
‫א. נוכיח חפיפת משולשים ‪.∆ABG ∼ ∆ACE‬‬
‫=‬
‫נימוק‬ ‫טענה‬
‫נתון זוויות שוות וסימון )ז(.‬ ‫‪(1) ∠BAF = ∠CAE = α‬‬
‫מול זוויות היקפיות שוות במעגל מיתרים שווים.‬ ‫‪(2) CE = BF‬‬
‫נתון.‬ ‫‪(3) BF = BG‬‬
‫קטעים שווים לפי )3( ו־ )2( )צ(.‬ ‫‪(4) BG = CE‬‬
‫מול קשתות שוות זוויות במעגל שוות )ז(.‬ ‫‪(5) ∠ABG = ∠AEC‬‬
‫מש"ל. משולשים חופפים לפי משפט ז.צ.ז וטענות )1(, )4( ו־ )5(.‬ ‫‪(6) ∆AGB = ∆ACE‬‬
‫ב. מחפיפת המשולשים נובע ‪ ,AB = AE‬נחשב את ‪ AB‬לפי משפט הקוסינוסים:‬
‫)‪AB 2 = AG2 + BG2 − 2AG · BG · cos(∠AGB‬‬ ‫)1(‬
‫לפי חפיפת המשולשים אנו יודעים 5 = ‪ AG = AC‬ובנוסף 2 = ‪ BG = CE‬ולכן:‬
‫)‪AB 2 = 52 + 22 − 2 · 5 · 2 · cos(∠AGB‬‬
‫נמצא את ‪ ∠AGB‬ע"י זווית ‪ .∠ACG‬את זווית ‪∠ACG‬לפי משפט הקוסינוסים במשולש‬
‫‪:∆AGC‬‬
‫)‪AG2 = CG2 + AC 2 − 2 · CG · AC · cos(∠ACG‬‬
‫נציב נתונים:‬
‫)‪52 = 52 + 62 − 2 · 5 · 6 · cos(∠ACG‬‬
‫ולכן 031.35 = ‪ ∠ACG‬ולכן 078.621 = 031.35 − 0081 = ‪ .∠AGB‬לאחר הצבת הזווית‬
‫נקבל 4.6 = ‪ AB‬ולכן 4.6 = ‪ AE‬ס"מ.‬
‫1‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬