1. ‫גאומטריה אנליטית‬
‫)שאלה מבגרות קיץ תשע"א ־ שאלון 708(‬
‫1‬
‫נתון משולש ‪ ABC‬ששטחו 2 21.‬
‫קודקודי המשולש ‪ B‬ו־ ‪ C‬מונחים על הישר 1 + ‪.y = x‬‬
‫שיעורי הקודקוד ‪ A‬הם )3 ,21(‪.A‬‬
‫‪ P‬היא נקודת החיתוך של התיכונים במשולש. שיעור ה־ ‪ y‬של ‪ P‬הוא 1 5.‬
‫2‬
‫א. מצא את השיעורים של שני הקודקודים האחרים במשולש ‪.ABC‬‬
‫ב. מעבירים ישר המקביל לצלע ‪ ,BC‬וחותך את הצלעות האחרות )ולא את המשכיהן(‬
‫בנקודות ‪ D‬ו־ ‪.E‬‬
‫√‬
‫האורך של ‪ DE‬הוא 8 .‬
‫מצא את משוואת הישר ‪.DE‬‬
‫1‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬

2. ‫גאומטריה אנליטית‬
‫א. נשרטט את המשולש המתאר את הבעיה, הישר האדום מתאר את התיכון לקטע ‪.BC‬‬
‫1+‪y =x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬ ‫‪P‬‬ ‫)5.5 , ‪(xP‬‬
‫)3,21( ‪A‬‬
‫התיכון חוצה את הקטע אליו הוא מגיע. לפי משפט התיכונים במשולש )נקודת המפגש של‬
‫שלושת התיכונים במשולש מחלקת את התיכון ביחס של 1:2 לטובת הקטע הקרוב לקודקוד(‬
‫נוכל לחשב את הנקודה אליה מגיע התיכון )נסמנה ‪ ,(E‬לפי חלוקת קטע ביחס נתון:‬
‫)5.5 , ‪( xE ·2+12·1 , yE ·2+3·1 ) = (xP‬‬
‫3‬ ‫3‬
‫נמצא את ‪:yE‬‬
‫1·3−3·5.5‬
‫= ‪yE‬‬ ‫2‬ ‫57.6 =‬
‫נקודה ‪ E‬נמצא את הישר הכחול ולכן נוכל למצוא את ערכו של ‪:xE‬‬
‫57.5 = ‪6.75 = xE + 1 → xE‬‬
‫מצאנו את נקודה )57.6 ,57.5(‪.E‬‬
‫כפי שציינו קודם, נקודה )57.6 ,57.5(‪ E‬היא אמצעו של קטע ‪ BC‬ולכן מתקיים:‬
‫‪xB +xC‬‬
‫2‬ ‫57.5 =‬
‫נקבל את הקשר:‬
‫5.11 = ‪xB + xC‬‬ ‫)1(‬
‫ע"מ למצוא קשר נוסף בין הנקודות נעזר בנתון 5.21 = ‪ .S∆ABC‬מרחקה של הנקודה ‪A‬‬
‫מהישר הכחול 1 + ‪ y = x‬הוא המרחק המינימלי ולכן הוא מציין את גובהו של המשולש.‬
‫מרחק נקודה מישר )0 = 1 − ‪:(y − x‬‬
‫2‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬

3. ‫גאומטריה אנליטית‬
‫1−3+21−‬ ‫01‬
‫√ | = ‪hA→yBC‬‬ ‫2‬ ‫2‬
‫=|‬ ‫√‬
‫2‬
‫1+ )1−(‬
‫המרחק מנקודה ‪ B‬לנקודה ‪ C‬הוא:‬
‫= ‪dBC‬‬ ‫2) ‪(xB − xC )2 + (yB − yC‬‬
‫מתקיים:‬
‫1‬ ‫1‬ ‫01‬
‫= ‪S∆ABC‬‬ ‫2‬ ‫= 5.21 → ‪· dBC · hA→yBC‬‬ ‫2‬ ‫· ‪· dBC‬‬ ‫√‬
‫2‬
‫√‬
‫2 5‬
‫= ‪ .dBC‬נקבל את הקשר השני )לאחר העלאה בריבוע(:‬ ‫2‬ ‫ולכן‬
‫5.21 = 2) ‪(xB − xC )2 + (yB − yC‬‬
‫נציב במקום ערכי ‪ y‬את ערכי הפונקציה ונקבל:‬
‫5.21 = 2))1 + ‪(xB − xC )2 + ((xB + 1) − (xC‬‬
‫נקבל את הקשר השני:‬
‫5.21 = 2) ‪(xB − xC )2 + ((xB − xC‬‬ ‫)2(‬
‫נפתור מערכת משוואות עם שני נעלמים:‬
‫5.11 = ‪xB + xC‬‬
‫5.21 = 2) ‪(xB − xC )2 + ((xB − xC‬‬
‫5.21 = 2)) ‪(xB − (11.5 − xB ))2 + ((xB − (11.5 − xB‬‬
‫לאחר פתרון המשוואה נקבל:‬
‫5.4 = 1,‪xB‬‬
‫7 = 2,‪xB‬‬
‫קיבלנו שני פתרונות שמייצגים שתי נקודות, נקודה ‪ B‬ונקודה ‪ .C‬ע"י הצבת הערכים‬
‫במשוואת הישר הכחול נקבל את הנקודות:‬
‫)8 ,7( ,)5.5 ,5.4(‬
‫מכיוון שלא נתונים נתונים לגבי הימצאות הנקודות לא ניתן לקבוע איזה ערך מייצג כל‬
‫נקודה.‬
‫3‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬

4. ‫גאומטריה אנליטית‬
‫ב. נוסיף את הישר ‪ DE‬לסרטוט )אין קשר בין נקודה ‪ E‬של סעיף זה לנקודה ‪E‬מסעיף‬
‫קודם(:‬
‫)5.5,5.4( ‪B‬‬
‫)8,7( ‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫)3,21( ‪A‬‬
‫מכיוון שהישר הירוק )הישר ‪ (DE‬מקביל לצלע ‪ BC‬נוכל להגיד ששיפועו שווה לשיפוע‬
‫הצלע אליה הוא מקביל:‬
‫1 = ‪mBC = mDE‬‬ ‫)3(‬
‫√‬
‫2 5‬
‫= ‪:(dBC‬‬ ‫2‬ ‫ניעזר במשפט תלס )נשתמש ב־‬
‫√‬
‫‪DE‬‬ ‫8‬ ‫4‬
‫‪BC‬‬ ‫=‬ ‫√‬
‫2 ·5‬
‫=‬ ‫5‬
‫2‬
‫מכאן ניתן להסיק שמתקיים היחס:‬
‫‪DA‬‬ ‫4‬
‫‪DC‬‬ ‫=‬ ‫1‬
‫לפי חלוקת קטע ביחס נתון נמצא את נקודה ‪:D‬‬
‫1 · 3 + 4 · 8 1 · 21 + 4 · 7‬
‫(‪D‬‬ ‫,‬ ‫)7 ,8(‪) = D‬‬ ‫)4(‬
‫5‬ ‫5‬
‫מצאנו נקודה ושיפוע )לפי )3( ו־ )4(( ולכן:‬
‫)8 − ‪yDE − 7 = 1 · (x‬‬
‫1 − ‪yDE = x‬‬
‫4‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬