1. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ‫בגרות‬ ,4 ‫שאלה‬ 807 ‫שאלון‬
.f (x) = 2 ln(x)·(2−ln(x))
x·(1−ln(x))2 ‫הנגזרת‬ ‫נתונה‬ .‫א‬
.‫חלקים‬ ‫למספר‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫את‬ ‫נחלק‬ (1)
:ln(x) ‫פונקציית‬ ‫עבור‬ ,1 ‫דרישה‬
x > 0
:‫יתאפס‬ ‫שהמכנה‬ ‫אסור‬ :2 ‫דרישה‬
x = 0
:‫יתאפס‬ ‫שהמכנה‬ ‫אסור‬ :3 ‫דרישה‬
1 − ln(x) = 0
ln(x) = 1
x = e
.x > 0, x = e ,‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫את‬ ‫לנו‬ ‫יתן‬ ‫הפתרונות‬ ‫כל‬ ‫חיתוך‬
:x = e ‫מציבים‬ ‫כאשר‬ ‫הנגזרת‬ ‫לפונקציית‬ ‫קורה‬ ‫מה‬ ‫נבדוק‬ (2)
f (x = e) = 2 ln(e)·(2−ln(e))
e·(1−ln(e))2 = 2
0
.x = e ‫כאשר‬ ‫נוספת‬ ‫אנכית‬ ‫אסימפטוטה‬
‫לתחום‬ ‫מחוץ‬ ‫זה‬ ‫ערך‬ ,x = 0 ‫נציב‬ ,y ‫־‬ ‫ה‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫חיתוך‬ .‫הצירים‬ ‫עם‬ ‫חיתוך‬ ‫נמצא‬ (3)
:y = 0 ‫נציב‬ x ‫־‬ ‫ה‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫חיתוך‬ .y ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫חיתוך‬ ‫אין‬ ‫ולכן‬ ‫ההגדרה‬
0 = 2 ln(x)·(2−ln(x))
x·(1−ln(x))2
0 = 2 ln(x) · (2 − ln(x))
:‫הביטוי‬ ‫את‬ ‫לאפס‬ ‫ראשונה‬ ‫דרך‬
2 ln(x) = 0 → x = 1
:‫הביטוי‬ ‫את‬ ‫לאפס‬ ‫שנייה‬ ‫דרך‬
2 − ln(x) = 0 → ln(x) = 2 → x = e2
.(e2
, 0) ‫ו־‬ (1, 0) ‫הם‬ ‫הצירים‬ ‫עם‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬
:‫הא"ש‬ ‫פתרון‬ ‫ע"י‬ ‫שלילית‬ ‫או‬ ‫חיובית‬ ‫הנגזרת‬ ‫פונקצית‬ ‫מתי‬ ‫נבדוק‬ (4)
0 < 2 ln(x)·(2−ln(x))
x·(1−ln(x))2
0 < [2 ln(x) · (2 − ln(x))] · [x · (1 − ln(x))2
]
1

2. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ‫בגרות‬ ,4 ‫שאלה‬ 807 ‫שאלון‬
.x = e2
‫ו־‬ x = e ,x = 1 ,(‫ההגדרה‬ ‫לתחום‬ ‫)מחוץ‬ x = 0 ‫עבור‬ ‫מתאפס‬ ‫הביטוי‬
:‫נקבל‬ ‫הנחש‬ ‫שיטת‬ ‫לפי‬
1 e e20 −
+ +
−
‫עבור‬ ‫שלילית‬ ‫הפונקציה‬ ,e < x < e2
‫ו־‬ 1 < x < e ‫עבור‬ ‫חיובית‬ ‫הנגזרת‬ ‫פונקצית‬
.x > e2
‫ו־‬ 0 < x < 1
:‫הנגזרת‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ .‫ב‬
.‫ג‬
y = −4 ‫הישר‬ ‫הוא‬ ‫שהמשיק‬ ‫מכיוון‬ ‫הקיצון‬ ‫מנקודות‬ ‫באחת‬ ‫משיק‬ ‫בהכרח‬ ‫המשיק‬ (1)
‫)הנגזרת‬ x ‫־‬ ‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותכת‬ ,f (x) ,‫הנגזרת‬ ‫פונקצית‬ ‫כאשר‬ .(‫אפס‬ ‫המשיק‬ ‫של‬ ‫)שיפועו‬
‫בנקודה‬ f(x) ‫לפונקציה‬ ‫משיק‬ y = −4 ‫הישר‬ (‫קיצון‬ ‫יש‬ f(x) ‫לפונקציה‬ ‫ולכן‬ ‫מתאפסת‬
.(e2
, −4) ‫היא‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודת‬ .x = e2
‫שבה‬
‫הקיצון‬ ‫נקודת‬ ‫לאחר‬ ‫יורדת‬ ‫הפונקציה‬ ‫ולכן‬ ‫לירידה‬ ‫מעלייה‬ ‫עוברת‬ ‫הנגזרת‬ x = e2
‫ב‬ (2)
.f(e3
) < −4 ‫ולכן‬
:‫נקבל‬ ‫אינטגרל‬ ‫לפי‬ (3)
0.5 =
´ e3
e2 f (x)dx = f(x)|e3
e2
0.5 = f(e3
) − f(e2
)
:‫ולכן‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ (e2
, −4) ‫שהנקודה‬ ‫ראינו‬
0.5 = f(e3
) − (−4) → f(e3
) = −4.5
2