Calculus www.clipvidva.com

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com

แคลคูลส
ั
ในบทเรื่องแคลคูลัสนี้ เป็นบทที่สาคัญมากๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ ที่สามารถนาไปใช้ต่อได้ ในวิชา
คณิตศาสตร์ขั้นสูง และในเนื้อหาบทนี้ค่อนข้างไม่ยากมากเมื่อเทียบกับอื่นๆ วิชาฟิสิกส์ในระดับมหาลัยวิทยาลัย,
ดังนั้นขอให้น้องๆตั้งใจ ที่จะทาความเข้าใจกับเนื้อหาบทนี้ด้วยเพราะจะเป็นประโยชน์อันดีในการทาคะแนน
สอบในวิชา Pat1

0
1.1) หาลิมิตในรูปของ
0

1. ลิมิตและความต่อเนื่อง 1.2) หาลิมิตค่าสัมบูรณ์

1.3) หาลิมิตเป็นกรณี
2. อัตราการเปลี่ยนแปลง
1.4) ความต่อเนื่อง
แคลคูลัส
3.1) อนุพันธ์อันดับสูง
3. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
3.2) การประยุกต์

4.1) ไม่จากัดเขต

4.2) จากัดเขต
4. การอินทิเกรต
4.3) พื้นที่ปิดล้อม
ด้วยเส้นโค้ง

1


1. ลิมต และความต่อเนือง
ิ ่
ทฤษฎีบทของลิมิต
กล่าวไว้ว่า ถ้า lim f(x) L และ limg(x) M แล้ว
x a x a

1. limc c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ
x a

2. lim x a
x a

3. lim x n an เมื่อ n N
x a

4. limcf(x) c L เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ
x a

5. lim(f(x) g(x)) lim f(x) limg(x) L M
x a x a x a

6. lim(f(x) g(x)) lim f(x) limg(x) L M
x a x a x a

f(x) lim f(x) L
7. lim x a
เมื่อ limg(x)  0
x a g(x) limg(x) M x a
x a

8. lim f(x) lim f(x) L
x a x a

9. lim n f(x) n lim f(x) n
L และ n L R
x a x a

ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim(x 2  x 5  9) (ถ้าลิมิตมีค่า)
x 1

ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim(2 x  4 2x 1 ) (ถ้าลิมิตมีค่า)
x 2

2


x3  x2
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim (ถ้าลิมิตมีค่า)
x 1 x  1

0
1.1 การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูปของ
0
f(x)
เมื่อโจทย์กาหนดให้หา lim ในขั้นแรกเลย สิ่งที่เราต้องทาคือ แทน x = a เข้าไปในฟังก์ชันแต่
x a g(x)

f(a) 0
ถ้าแทนค่าเข้าไปแล้วได้ว่า = เราจะมีวิธีแก้ปัญหาอยู่ วิธีคือ 2
g(a) 0
1.ต้องแยกตัวประกอบ เมื่อเจอพหุนามกาลัง 3 หรือมากกว่า 2,3
2.คูณคอนจูเกต เมื่อเจอรากที่ 3 หรือรากที่ 2

x2  x  2
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim )ถ้าลิมิตมีค่า(
x 1 x 1

3


2x  1  3
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim (ถ้ าลิมิตมีคา)
่
x 1 x 2  2x  3

3
x 6 2
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim (ถ้ าลิมิตมีคา)
่
x 2 x 2

x 2x  9 
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim   2  (ถ้าลิมิตมีค่า)
x 3  x  3 x x 6 

x3  x2  x
Pat1 มี.ค.54 จงหาค่าของ lim
x 0 x2

4


1.2 การหาลิมิตของฟังก์ชันที่มีค่าสัมบูรณ์

วิธีแก้ปัญหาเมื่อเจอฟังก์ชันที่มีค่าสัมบูรณ์คือ ต้องถอดค่าสัมบูรณ์ออกให้ได้ และอีกสิ่งที่เราต้องทาคือ
การหาลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวา แล้วดูว่าลิมิต 2 ข้างมันเท่ากันหรือไม่ ถ้าเท่ากัน แสดงว่า ลิมิตมีค่า แต่
ถ้าลิมิต 2 ข้างไม่เท่ากัน แสดงว่า ไม่มีลิมิต
ข้อควรรู้

x2  x  2
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim )ถ้าลิมิตมีค่า(
x 2 x 2

5


1.3 การหาลิมิตของฟังก์ชันที่แบ่งเป็นกรณี
ถ้าฟังก์ชันที่โจทย์กาหนดมาให้ มีการแบ่งเป็นหลายๆกรณี โดยที่ฟังก์ชันถูกแบ่งที่ตาแหน่ง x=a และ
โจทย์ก็สั่งให้เราหาค่าของ lim f(x) เราจะต้องแยกหาลิมิต 2 ทางนั่นคือ เราจะต้องหา lim f(x) และ
x a x a
lim f(x) แล้วดูว่าค่า 2 ค่านี้ เป็นอย่างไร
x a
1.ถ้า lim f(x) = lim f(x) = L เราจะได้ว่า lim f(x) = L และเราจะเรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่า
x a x a x a

ฟังก์ชัน f มีลิมิตที่ x=a
2. lim f(x) ≠ lim f(x) เราจะได้ว่า lim f(x) ไม่มีค่า และเรา ) หรือจะบอกว่าหาค่าไม่ได้ ก็ได้(

จะเรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่าฟังก์ชัน f ไม่มีลิมิตที่ x=a

1

{
;x 1
3x 1
ตัวอย่าง กาหนดให้ f(x)  จงหาค่าของ lim f(x)
2  5 x x 1
;x 1
x 1

{
3x 2 1;x 1
ตัวอย่าง กาหนดให้ f(x)  x 2 2x 3
จงหา lim f(x)
;x 1 x 1
x 1

6


1.4 หาความต่อเนื่อง
บทนิยาม f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x=a ก็ต่อเมื่อ
1.f(a) หาค่าได้
2. lim f(x) หาค่าได้ นั่นคือ( lim f(x) = lim f(x) )
3. f(a)= lim f(x)
x a

ตัวอย่าง ฟังก์ชันต่อไปนี้ มีความต่อเนื่องที่ x = 2 หรือไม่
x3  8
ก. f(x) 
x 2

x 2 4

{
;x 2
x 2
ข. f(x) 
4;x 2

7

x 3

{
;x 3
2x 10  x 13
PAT1 มี.ค. 54 กาหนดให้ f(x)  โดยที่ a เป็นจานวนจริง ถ้า f เป็นฟังก์ชัน
a;x 3
ต่อเนื่องที่จุด x=3 แล้ว a เท่ากับเท่าใด

2. อัตราการเปลียนแปลง
่
ในฟังก์ชัน y=f(x) ใดๆเราพิจารณาหา “อัตราการเปลี่ยนแปลงค่าฟังก์ชัน” ได้ดังนี้
ที่จุด x=x1 จะได้ y=f(x1)
ที่จุด x=x2=x1+h จะได้ y=f(x1+h)
ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x1 ถึง x1+h ก็คือ
y f(x1  h)  f(x1 ) f(x1  h)  f(x1 )
 
x (x1  h)  (x1 ) h
หรือ “อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของ y เทียบกับ x (ในช่วง x ถึง x+h ใดๆ)” คือ
f(x  h)  f(x) y
หรือ
h x
และเมื่อเราบีบช่วง h ให้แคบลงจนใกล้ 0 ก็จะได้อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุด x ที่กาหนด ฉะนั้น
“อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y (ที่จุดใดๆ)”คือ
f(x  h)  f(x) y
lim หรือ lim
h0 h h0 x

(ไม่สามารถแทนค่า h=0 ลงไปตรงๆได้ เพราะจะเป็น 0 0 จึงต้องใช้ลิมิตช่วยในการคานวณ)

8


ตัวอย่าง y  f(x)  2x 2  3x  4 ให้หาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x
ก.โดยเฉลี่ยในช่วง x=1 ถึง 4

ข.ที่จุดซึ่ง x=2

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y=f(x) ที่จุด x ใดๆ เรียกอีกอย่างได้ว่า อนุพันธ์ สัญลักษณ์ที่ใช้แทน
dy d
อนุพันธ์ของ f(x) ได้แก่ , f(x) , f '(x) หรือ y '
dx dx
dy
ส่วนสัญลักษณ์ที่ใช้เจาะจงตาแหน่ง เช่น อนุพันธ์ที่จุดซึ่ง x=3 จะใช้ f '(3) หรือ
dx x 3
f(x  h)  f(x) dy
ฉะนั้น อนุพันธ์ f(x) ก็คือ lim = นั่นเอง และ ยังเรียกว่าเป็นค่า ความชัน ของ
h0 h dx
กราฟ y=f(x) ณ จุดนั้นๆด้วย

ตัวอย่าง ถ้า y  x  2x 2 เป็นสมการเส้นโค้ง ให้หา
ก.ความชันของเส้นโค้งนี่ที่จุด (2,-6)

9


ข.หาสมการความชันของเส้นโค้งนี้ ณ จุด x ใดๆ ( ตอบติดในรูป x )

3. อนุพนธ์ของฟั งก์ชน
ั ั
นิยาม ถ้า y=f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีโดนเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจานวนจริง และ
f(x  h)  f(x) d
lim หาค่าได้ เรียกค่าลิมิตที่ได้นี้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x แทนด้วย f '(x), f(x) และ
h0 h dx
dy
dx
สูตรของอนุพันธ์
ให้ f, g เป็นฟังก์ชันของ x และ c เป็นค่าคงที่ใดๆ
dy
1. ถ้า y=c โดยที่ c เป็นค่าคงที่ใดๆ จะได้ว่า  0
dx
dy
2. ถ้า y=x แล้ว  1
dx
dy
3. ถ้า y  c  f(x) โดยที่ c เป็นค่าคงที่ใดๆจะได้ว่า  c  f '(x)
dx
dy
4. ถ้า y  f(x)  g(x) แล้ว  f '(x)  g'(x)
dx
dy
5. ถ้า y  x n โดยที่เป็นจานวนจริงใดๆ จะได้ว่า  nx n1
dx
dy
6. ถ้า y=f(x)g(x) แล้ว  f(x)g'(x)  g(x)f '(x)
dx
f(x) dy g(x)f '(x)  f(x)g'(x)
7. ถ้า y  โดยที่ g(x)  0 แล้วจะได้ว่า 
g(x) dx g(x) 2
dy
8. ถ้า y=(fog)(x)=f(g(x)) แล้วจะได้ว่า  f '(g(x))  g'(x)
dx

10


dy
ตัวอย่าง y  x 3  x 2  1 จงหา
dx

x3 dy
ตัวอย่าง ถ้า y  (x  1)(  9) จงหา
2

3 dx

x 2  3x  1
ตัวอย่าง ถ้า f(x)  3 จงหา f '(x) และ หา f '(1)
x 2

5
dy
ตัวอย่าง ถ้า y  (x  2x) 3 จงหา
2
dx

(x 2  1)(x 3  5x)
ตัวอย่าง ถ้า f(x)  จงหา f '(x)
(x  1)

11

1
dy
ตัวอย่าง ถ้า y  (x  3x  2 x ) 9  (x 4  5) 3 จงหา
2.5 3
dx

PAT1 ก.ค.52 ถ้า f,g และ h สอดคล้องกับ f(1)=g(1)=h(1)=1 และ f '(1)  g'(1)  h'(1)  2 แล้วค่าของ
(fg  h)'(1) เท่ากับเท่าไหร่

3.1 อนุพันธ์อันดับสูง
dy
สมมติ f(x)  y  x 3  2x 2  x  5 ดังนั้นจะหาอนุพันธ์ได้เป็น f '(x)   3x 2  4x  1
dx
และหากเราหาอนุพันธ์ของ f '(x) ต่อไปอีก จะเรียกว่าเป็นอนุพันธ์ อันดับสูง
d2 y
เช่น อนุพันธ์อันดับสอง คือ f ''(x) = 2 =6x-4
dx
d3 y
อนุพันธ์อันดับสาม คือ f '''(x) = 3 =6
dx
(4) d4 y
อนุพันธ์อันดับสี่ คือ f (x) = 4 =0
dx
dn y
การเขียนสัญลักษณ์ อนุพันธ์อันดับที่ n จะเป็น n หรือ f (n) (x) แต่อันดับที่หนึ่ง สอง และสาม
dx
นิยมใช้เครื่องหมายขีด เป็น f '(x) , f ''(x) , f '''(x)

12

3
ตัวอย่าง ถ้า f(x)  (2x  1) ให้หาค่า f ''(4)และf (4) )1(
2

Pat1 มี.ค.54 กาหนดให้ g(x) = x 2  2x  5 และ f(x) = x 3  x ค่าของ (f 'og')(1)  (g'of ')(0) เท่ากับ
เท่าใด

PAT1 ต.ค.53 กาหนดให้ f(x)  x 2  5x  6 ค่าของ f(f '(f ''(2553))) เท่ากับเท่าใด

3.2 ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลดและค่าสุดขีด
ความหมายของฟังก์ชันเพิ่มคือ เมื่อ x เพิ่มขึ้นแล้ว f(x) ก็จะเพิ่มขึ้นด้วยหรือกล่าวว่า ความชันเป็น
บวก ส่วนฟังก์ชันลดนั้น เมื่อ x เพิ่มขึ้น f(x) กลับลดลง หรือกล่าวว่า ความชันเป็นลบนั่นเอง ดังนั้นเมื่อ
พิจารณาถึงอนุพันธ์ f '(x) ซึ่งเป็นค่าความชันของกราฟ จะได้กฎว่า
ช่วงที่ f '(x) > 0 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และ ช่วงที่ f '(x) < 0 เป็นฟังก์ชันลด
และเนื่องจากตาแหน่งที่ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด หรือจากลดไปเพิ่มจะต้องมีการวกกลับของ
กราฟ ซึ่งทาให้เกิดจุดยอด (จุดสุดขีด) ขึ้นสามารถหาโดย f '(x) = 0
เราเรียกค่า x ณ ตาแหน่งที่ f '(x) = 0 ว่า ค่าวิกฤต

13


จุดสุดขีดมี 2 แบบคือจุดสูงสุดและจุดต่าสุด ถ้าความชันเปลี่ยนจากลดไปเพิ่ม จะเกิดจุดต่าสุด และถ้า
ความชันเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด ก็จะเกิดจุดสูงสุด

หมายเหตุ
1. f '(x) =0 ไม่ได้เป็นจุดสูงสุดหรือต่าสุดเสมอไป อาจเป็นเพียงจุดเปลี่ยนเว้าเท่านั้น ซึ่งเราสามารถ
พิจารณาโดยละเอียดได้จาก อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน หรือ f ''(x) ณ จุดนั้นๆ
หาก f ''(x) > 0 แสดงว่าความชันกาลังมีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ (เปลี่ยนจากลบเป็นศูนย์และเป็นบวก) จึง
เกิดจุดต่าสุดและหาก f ''(x) < 0 แสดงว่าความชันกาลังน้อยลงเรื่อยๆ (เปลี่ยนจากบวกเป็นศูนย์และเป็นลบ)
จึงเกิดจุดสูงสุด
แต่หาก ณ จุดนั้น f ''(x) =0 อาจะเป็นจุดเปลี่ยนความเว้าหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่าสุดก็ได้
2.เราใช้ความรู้เรื่องค่าสูงสุดของฟังก์ชัน ในการคานวณโจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์ จริง เช่น มีฟังก์ชัน
กาไร P(x) แล้วหาค่า x ที่ทาให้ได้กาไรมากที่สุด ดังจะได้ศึกษาจากตัวอย่างถัดไป
พิจารณากราฟต่อไปนี้ เพื่อทาความเข้าใจเรื่อง สัมพัทธ์ และ สัมบูรณ์

ฟังก์ชันหนึ่งๆ หากมีการวกกลับของกราฟ ณ จุดใด ก็จะเรียกจุดนั้นว่าจุดสุดขีดสัมพัทธ์ (แปลว่าเทียบ
กับจุดข้างเคียง จึงมีได้หลายจุด) และหากจุดใดมีค่าฟังก์ชันมากที่สุดหรือน้อยที่สุดของกราฟแล้ว จะเรียกจุด
นั้นว่าจุดสุดขีดสัมบูรณ์ด้วย (สูงสุดกับต่าสุด มีได้อย่างละ 1 จุด)
จุดสูงสุดสัมพัทธ์ ได้แก่ จุดA, C, E
จุดสูงสุดสัมบูรณ์ คือ จุด C เท่านั้น
จุดต่าสุดสัมพัทธ์ ได้แก่ จุดB, D
จุดต่าสุดสัมบูรณ์ ไม่มี


14


ตัวอย่าง f(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามกาลังสาม ซึ่งหารด้วย x+1 แล้วเหลือเศษ 6 สัมผัสกับเส้นตรง
12x+y+7=0 ณ จุดตัดแกน y และค่าวิกฤตค่าหนึ่งเป็น 1
ก.ให้หาฟังก์ชัน f(x) นี้

ข.ฟังก์ชันนี้มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์และต่าสุดสัมพัทธ์เป็นเท่าใด

ค.ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันลดในช่วงใดได้บ้าง

PAT1ต.ค.52 กาหนดให้ y  f(x) เป็นฟังก์ชันซึ่งมีค่าสูงสุดที่ x=1 ถ้า f ''(x)  4 ทุก x และ
f(-1)+f(3)=0 แล้ว f มีค่าสูงสุดเท่าใด

15


ตัวอย่าง ต้องการสร้างถังรูปทรงกระบอกเพื่อเก็บน้ามัน ปริมาตร 16π ลูกบาศก์เมตร โดยสิ้นเปลือง
วัสดุก่อสร้าง (รวมฝาบนและล่าง) ให้น้อยที่สุด ถังใบนี้จะต้องมีรัศมีหน้าตัดเท่าใด

PAT1ก.ค.53 โรงงานผลิตตุ๊กตาแห่งหนึ่ง มีต้นทุนในการผลิตตุ๊กตา x ตัว โรงงานจะต้องเสียค่าใช้จ่าย
x 3  450x 2  60,200x  10,000 บาท ถ้าขายตุ๊กตาราคาตัวละ 200 บาท โรงงานจะต้องผลิตตุ๊กตากี่ตัว
จึงจะได้กาไรมากที่สุด

4. การอินทิเกรต

4.1 การอินทิกรัลไม่จากัดเขต
การกระทาที่ตรงข้ามกับกระบวนการหาอนุพันธ์ เราเรียกว่า การอินทิเกรต (Integration)
d
นั่นคือ ถ้า F(x)  f(x) แล้ว (การหาอนุพันธ์)
dx
จะได้ว่า  f(x)dx  F(x) (การอินทิเกรต)
สัญลักษณ์  เรียกว่าเครื่องหมายอินทิกรัล และเรียก f(x) ว่าตัวถูกอินทิเกรต(Integrand)
ทุกสิ่งที่หาอนุพันธ์ได้ตรงตามค่าที่ต้องการ จะเรียกได้ว่า ปฏิยานุพันธ์ (Antiderivative) เช่น
d
F1 (x)  x 2 , F2 (x)  x 2  1 ต่างก็เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x)=2x เนื่องจากล้วนทาให้ F(x)  f(x)
dx

16


เห็นได้ว่า รูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์ของ f(x) = 2x คือ x2+c เมื่อ c เป็นค่าคงที่ใดๆ ซึ่งเราจะเรียก
“รูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์” นี้ว่า อินทิกรัลไม่จากัดเขต (Indefinite Integral) ของ f(x) และเขียนสัญลักษณ์
เป็น  f(x)dx

สูตรการหาอินทิกรัล
x n1
.1 x dx 
n
 c ,n  1
n 1
2. cf  x  dx  c f  x dx , c R
3.   u  v  dx  udx  vdx

ตัวอย่าง ให้หาค่าอินทิกรัลต่อไปนี้
ก.  (x 3  2x 2  3)dx

ข.  (4t 3  3t 2  2t  1)dt

ค.  6(x  2)(x  1)dx

17


2  x
ตัวอย่าง ถ้า F'(x) = และ F(-1)=1 จะได้ฟังก์ชัน F(x) เป็นอย่างไร
x3

dy
ตัวอย่าง ถ้า  5x 4  3x 2  4x และ –y(1) = y(-1) แล้ว ให้หาค่าของ y(0)
dx

ตัวอย่าง ถ้าเส้นโค้ง y=f(x) ผ่านจุด (0,1) และ (4,c) เมื่อ c เป็นจานวนจริงและความชันเส้นโค้งนี้ที่จุด
(x,y) ใดๆ มีค่าเท่ากับ x  1 แล้ว c มีค่าเท่าใด

ตัวอย่าง กาหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่ง f(2)  1,f '(1)  3,และf '')x(  3 ทุกๆค่า x แล้ว f(0) มี
ค่าเท่าใด

18



ตัวอย่าง ในเวลา t วินาที รถไฟวิ่งด้วยความเร่ง a ฟุตต่อวินาที2 โดย a  12t 2  6t  10 หากเมื่อ
เวลาเริ่มต้นพบว่าระยะทางเป็น 10 ฟุต และความเร็วเป็นศูนย์ ให้หาระยะทางเมื่อเวลาผ่านไป 5 วินาที

ตัวอย่าง ถ้ากาลังคนของบริษัทแห่งหนึ่งที่มีในปัจจุบันทาให้ได้ผลผลิต 3,000 ชิ้นต่อวัน และเมื่อมีคน
เพิ่ม x คน จะมีอัตราการเปลี่ยนแปลงผลผลิต 80-6 x ชิ้นต่อวัน ถามว่าเมื่อเพิ่มคน 25 คน บริษัทแห่งนี้จะ
ได้ผลผลิตกี่ชิ้นต่อวัน

4.2 การอินทิกรัลจากัดเขต
ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a,b] ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์บนช่วง [a,b] โดยที่
F'(x)  f(x) แล้ว
b
 f(x)dx  F(b)  F(a)
a
b
b
เรียก  f(x)dx ว่า อินทิกรัลจากัดเขตของฟังก์ชัน f บน [a,b] ใช้สัญลักษณ์ F(x) a แทน F(b)-F(a)
a

19


ตัวอย่าง จงหาค่าอินทิกรัลต่อไปนี้
3
ก.  (x 3  2)dx
1

0
ข.  (t 2  t)(t  1)dt
3

a 2
ตัวอย่าง ถ้ากาหนดฟังก์ชัน f(x)  x  4x ให้หาค่า a ที่ทาให้  f(x)dx =
2

a 3

1
2
PAT1 ก.ค.52 ถ้า f '(x)  3x  x  5 และ f(0)=1 แล้ว  f(x)dx มีค่าเท่ากับเท่าใด
1

20

1
2
PAT1 ต.ค.52 ถ้า f '(x)  x  1 และ  f(x)dx  0 แล้ว f(1) มีค่าเท่ากับเท่าใด
0

4.3 พื้นที่ใต้โค้ง
กาหนดให้ฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องบน [a,b] พื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ f(x) จาก x=a ถึง x=b
หมายถึง พื้นที่ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วยกราฟของ f แกน X เส้นตรง x=a และเส้นตรง x=b

ทฤษฎีบท กาหนดให้ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องบน [a,b] และ A เป็นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ f จาก
x=a ถึง x=b จะหาได้จากสูตรต่อไปนี้
b
1.ถ้า f(x)  0 สาหรับทุก x ในช่วง [a,b] และ A   f(x)dx
a
b
2.ถ้า f(x)  0 สาหรับทุก x ในช่วง [a,b] และ A    f(x)dx
a

ตัวอย่าง พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง y=3-x กับแกน x ในช่วง x=0 ถึง 4

21


ANet 50 พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y  x 3  2x 2  2x กับแกน x ในช่วง x=0 ถึง 4

ตัวอย่าง ให้หาพื้นที่ที่ล้อมด้วยโค้ง f(x)  x 2  1 กับแกน x ในช่วงที่กาหนดให้ต่อไปนี้
ก.ในช่วง x=1 ถึง 2

ข.ในช่วง x=-1 ถึง 1

ค.ในช่วง x=-2 ถึง 0

22


ตัวอย่าง พื้นที่ปิดล้อมด้วยโค้ง y  x 2  3x  2 จาก x=0 ถึง 2 เฉพาะส่วนที่อยู่เหนือแกน x
เท่ากับเท่าใด

ตัวอย่าง ให้ f(x)  x 2  c โดย c เป็นค่าคงตัว ซึ่ง c  4 ถ้าพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y=f(x)
จาก x=-2 ถึง x=1 เท่ากับ 24 ตารางหน่วย แล้ว c มีค่าเท่าใด

ตัวอย่าง กาหนดฟังก์ชัน y=f(x) มีกราฟเป็นเส้นตรงตัดแกน x ที่จุด (-1,0) และผ่านจุด (3,6) แล้ว ค่า
3
ของ  f(x)dx เท่ากับเท่าใด
1

23


3
ตัวอย่าง เมื่อ f(x) เป็นกราฟเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,5) และ (2,2) ให้หาค่า  f(x)dx
2

ANET 49 กาหนดให้ กราฟของ y=f(x) มีความชันที่จุด (x,y) ใดๆ เป็น 2x+2 และ f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์
เท่ากับ -3 พื้นที่ปิดของอาณาบริเวณที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ y=f(x) แกน X เส้นตรง x=-1 และเส้นตรง x=0
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

24


เอกสารอ้างอิง
คณิต มงคลพิทักษ์สุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สานักพิมพ์ Science Center, 2554.
ชัยรัตน์ เจษฎารัตติกร, “เอกสารประกอบคาสอนโครงการ Band Summer Camp 2010”
สมัย เหล่าวานิชย์, รศ., “ตะลุยคลังข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ สาระการเรียนรู้พื้นฐานและ
เพิ่มเติม”, สานักพิมพ์ไฮเอ็ด พับบลิชชิ่ง.
http://kruaun.wordpress.com/testbank/pat1/
http://th.wikipedia.org/wiki/แคลคูลัส

25

Calculus www.clipvidva.com

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Calculus www.clipvidva.com

Similar to Calculus www.clipvidva.com (12)

More from Anyamanee Kantawong

More from Anyamanee Kantawong (20)

Calculus www.clipvidva.com