Jurnal yang menyediakan penerapan metode Lagrange untuk penentuan maksimum fungsi utility Cobb-Douglass.

1. Annisa’aFauziaCindi Utami
10060214020
Penentuan Maksisum Fungsi Utility Cobb-Douglass dengan
Penerapan Metode Lagrange
Annisa’a Fauzia Cindi Utami
Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Islam Bandung
Jalan Tamansari No. 1, Bandung
Email: annisafauziacindiutami@gmail.com
Abstract
Sebuah perusahaan akan selalu meningkatkan produktifitasnya demi kemajuan
dan perkembangan perusahaan tersebut. Kemampuan sektor industri untuk
memberikan kontribusi secara langsung kepada pertumbuhan ekonomi dan
kesejahteraan tenaga kerja yang bekerja didalamnya tergantung kepada tingkat
pendapatan dan surplus yang dihasilkan oleh industri tersebut.
Banyak metode yang dilakukan untuk mendongkrak produksi sehingga tingkat
produksivitas meningkat sampai maksimum. Karena itu penentuan ongkos
produksi minimum dan maksisum merupakan hal yang penting untuk
diperhatikan. metode yang digunakan adalah metode Lagrange untuk
menentukan maksimum utilitas.
Analisa ini digunakan dengan pendekatan Cobb-dauglas. Model produksi Cobb-
Dauglass untuk pembuatan barang bergantung pada tiga variabel. Model ini
sangat sederhana dan mudah dipahami. Tujuan penulisan ini adalah menerapkan
Metode Pengali Lagrange untuk memaksimumkan fungsi utilitas Cobb-Douglas
dengan kendala persamaan harga.
Hasilnya masalah penentuan maksimum utilitas seseorang terhadap suatu barang
merupakan masalah optimasi suatu fungsi dengan kendala suatu persamaan. Juga
Metode Pengali Lagrange dapat diterapkan dalam menentukan maksimum fungsi
utilitas Cobb-Douglas dengan kendala harga.
Kata kunci: Optimasi, Pengali Lagrange, Fungsi utilitas Cobb-Douglas

2. Annisa’aFauziaCindi Utami
10060214020
1. Pendahuluan
Matematika merupaka “Ibu dari Ilmu Pengetahuan”. Ilmu matematika
banyak diterapkan pada beberapa ilmu pengetahuan yang tidak bisa lepas dari
Matematika. Namun, sering kali beberapa kendala muncul dalam penerapan ilmu
matematika tersebut. Salah satu contoh kendala yang sering ditemui adalah
kendala maksimum dan minimum suatu fungsi. Dari setiap persamaan itu
memiliki banyak persamaan, yang sulit dalam hal tersebut adalah menyelesaikan
kendala dari suatu persamaan.
Salah satu contoh yang dapat disebutkan yaitu bagaimana cara
menentukan ongkos produksi yang minimum tetapi dapat menghasilkan laba yang
maksimum. Kendala hasil produksi yang maksimum namun dengan dana modal
yang minimum dapat diselesaikan dengan metode Lagrange. Metode Lagrange
adalah suatu metode untuk menentukan titik kritis dari masalah optimasi dengan
kendala suatu persamaan.
Dengan penggunaan metode Lagrange kendala tersebut dapat diselesaikan
dengan mudah, sehingga para pengusaha yang akan memulai usahanya namun
hanya memiliki modal yang kecil dan menginginkan laba yang besar dapat
terwujudkan. Banyak pilihan yang akan muncul dalam suatu masalah, dan
seseorang harus menentukkan pilihan yang paling tepat untuk menyeleasikannya.
Oleh karena itu, seseorang harus emenentukan pilihan yang dianggap paling
memenuhi nilai gunanya berdasarkan kendala yang ada.
Teori utilitas ordinal mengasumsikan bahwa setiap orang selalu dapat
mengurutkan prefensinya. Setiap orang memiliki keinginan yang tidak terbatas.
Terkadang banyak keinginan yang belum terpenuhi karena tersendak oleh kendala
biaya. Tetapi seseorang dapat menilai mana sesuatu yang lebih mereka inginkan.
Contohnya ketika seseorang menyukai beberapa barang seperti barang A B dan C,
mereka dapat mengurutkan barang mana yang lebih mereka sukai misalkan
barang B lebih disukai dari barang C dan barang A lebih disukai dari barang A.
Namun mereka tidak dapat mewujudukan semua keinginannya tersebut, maka dari
itu seseorang itu harus memilih dari beberapa jumlah pilihan dengan utilitas yang

3. Annisa’aFauziaCindi Utami
10060214020
tertinggi. Pokok permasalahan utamanya adalah bagaimanakah menentukkan
utilitas maksimum dengan kendala biaya?
Tujuan penulisan ini adalah menerapkan Metode Pengali Lagrange untuk
memaksimumkan fungsi utilitas Cobb-Douglas dengan kendala persamaan harga.
Suatu fungsi utilitas secara matematis dapat menggambarkan suatu utilitas.
Salah satu fungsi utilitas adalah fungsi utilitas Cobb-Douglass. Fungsi utilitas
Cobb-Douglas adalah fungsi utilitas yang merepresentasikan Cobb-Douglas
preferences. Fungsi utilitas Cobb-Douglas merupakan penerapan lain dari fungsi
produksi Cobb-Douglas. Dapat digambarkan permasalahan memaksimumkan
utilitas seseorang terhadap suatu barang dengan kendala harga adalah
memaksimumkan suatu fungsi utilitas dengan kendala persamaan harga.
2. Kajian Pustaka
Pengertian Produktivitas
Pengertian produktivitas dikemukakan dengan menunjukkan rasio output
terhadap input. Input dapat mencakup biaya produksi dan peralatan. Sedangkan
output bisa terdiri dari penjualan, pendapatan, market share, dan kerusakan.
Produktivitas tidak sama dengan produksi, tetapi produksi merupakan komponen
dari usaha produktivitas. Produktivitas adalah suatu konsep yang bersifat
universal yang bertujuan untuk menyediakan lebih banyak barang dan jasa unruk
lebih banyak barang dan jasa bagi manusia, dengan menggunakan sumber-sumber
rill yang semakin sedikit. Maka dapat dikatakan bahwa produktivitas berkaitan
dengan efisiensi penggunaan input dalam memproduksi output.
Pengertian Metode Lagrange
Metode ini adalah cara menentukan titik maksimum dan minimum suatu
fungsi yang diiringi dengan persyaratan atau kendala yang harus dipenuhi.
Metode ini banyak digunakan dalam berbagai masalah terapan di dunia nyata,
terutama di bidang ekonomi. Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin

4. Annisa’aFauziaCindi Utami
10060214020
memaksimumkan keuntungan, tapi dibatasi olehminimnya biaya yang tersedia ,
banyaknya tenaga kerja dan sebagainya.
Metode ini akan membantu kita untuk memperoleh nilai-nilai maksimum
relatif atau minimum relatif dari fungsi F(x,y,z) sedangkan fungsi kendala adalah:
𝚽( 𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟎
Prosedur yang dilakukan adalah menyusun fungsi bantu yang dinyatakan
sebagai berikut:
𝐺( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝜆𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧)
dengan syarat perlu :
𝜕𝐺
𝜕𝑥
= 0 ,
𝜕𝐺
𝜕𝑦
= 0,
𝜕𝐺
𝜕𝑧
= 0
yang merupakan syarat perlu untuk maksimum relatif maupun minimum relatif.
Parameter yang tidak tergantung pada x, y dan z disebut Pengali Lagrange.
Metode Cobb-Dauglass
Model produksi Cobb-Douglass untuk proses pembuatan barang yang bergantung
pada tiga masukan x, y, dan z dengan biaya satuan masing-masing a, b dan c
diberikan oleh:
𝑃 = 𝑘𝑥 𝛼
𝑦 𝛽
𝑧 𝛾
, 𝛼 > 0, 𝛽 > 0, 𝛾 > 0, 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 1
Terhadap kendala biaya 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑
Beberapa alasan yang membuat produksi Cobb-Dougkass sering digunakan
adalah:
 Bentuk fungsi produksi Cobb-douglass bersifat sederhana dan mudah
dalam penerapannya.
 Fungsi produksi Cobb-Douglass mampu menggambarkan keadaan skala
hasil (return to scale) apakah meningkat atau menurun.
 Koefesien-koefesien fungsi Cobb-Douglass secara langsung
menggambarkan elastisitas produksi dari setiap input yang dipergunakan

5. Annisa’aFauziaCindi Utami
10060214020
dan dipertimbangkan untuk dikaji dalam fungsi produksi Cobb-Douglass
itu.
 Koefesien intersep dari fungsi produksi Cobb-Douglass merupakan indeks
efiseiensi produksi yang secara langsung menggambarkan efisiensi
penggunaan input dalam menghasilkan output dari sistem produksi yang
dikaji.
3. Hasil dan Pembahasan
Untuk mengerti fungsi utilitas, yang perlu dipahami pertama kali yaitu
perilaku rasional seseorang dalam menentukan pilihan-pilihan berdasarkan
Individual Preference. Misalkan terdapat dua situasi pilihan sembarang antara A,
B, dan C . maka akan muncul beberapa aksioma dari ketiga pilihan tersebut.
Berikut adalah aksioma yang berkaitan dengan kecenderungan seseorang dalam
menentukan pilihan-pilihan.
Aksioma Pilihan Rasional
a. Completeness. Jika A, B, dan C adalah tiga situasi sembarang, seorang
individu selalu dapat memilih salah satu dari beberapa kemungkinan
berikut :
 𝐴 cenderung lebih dipilih daripada 𝐵.
 𝐵 cenderung lebih dipilih daripada 𝐴.
 𝐴 memiliki kecenderungan yang sama dipilih dengan 𝐵.
b. Transitivity. Jika 𝐴 cenderung lebih dipilih daripada 𝐵, dan 𝐵 cenderung
lebih diplih daripada 𝐶, maka 𝐴 cenderung lebih dipilih daripada 𝐶.
c. Continuity.
Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang merepresentasikan individual preference.
Fungsi utilitas dinotasikan dengan
𝑢(𝑥1, 𝑥2, . . . . , 𝑥 𝑛)

6. Annisa’aFauziaCindi Utami
10060214020
dimana 𝑥1, 𝑥2, . . . . , 𝑥 𝑛 adalah jumlah dari masing-masing barang yang
dikonsumsi dalam suatu periode.
Kurva Indifference adalah kurva yang memperlihatkan suatu himpunan barang
yang memiliki utilitas tidak berbeda. Untuk fungsi utilitas Cobb-Douglas, kurva
Indifference dari dua jumlah barang berbeda 𝑥 dan 𝑦 dapat digambarkan sebagai
berikut :
Gambar tersebut menunjukkan apabila seseorang memilih sejumlah 𝑥1
maka barang akan ditambah sejumlah 𝑦1 barang, dan juga misalkan memilih
sejumlah 𝑥2 barang ditambah sejumlah 𝑦2 barang maka akan memiliki nilai
utilitas yang sama. Jadi, jika seseorang ingin meningkatkan jumlah suatu barang,
maka yang harus dilakukan adalah mengurangi jumlah barang lainnya.
Ditunjukkan kurva indiffference yang letaknya semakin jauh dari titik asal sumbu
menunjukkan tingkat utilitas yang semakin tinggi pula.
Kurva indifference bersifat convex, sempurna. Suatu fungsi dikatakan
convex sempurna apabila untuk setiap pasangan titik 𝑢 dan 𝑣 yang berbeda
dalam domain 𝑓 , dan untuk 0 < 𝜃 < 1, 𝜃𝑓( 𝑢) + (1 − 𝜃) 𝑓( 𝑣) > 𝑓[𝜃𝑢 +
(1 − 𝜃) 𝑣].

7. Annisa’aFauziaCindi Utami
10060214020
Analisa Efisiensi Proses Produksi
Efisiensi merupakan penggunaan input yang sekecil-kecilnya untuk
mendapatkan jumlah produksi sebesar-besarnya tanpa melupakan kualitas dari
produk yang dihasilkan. Efisiensi proses produksi dapat dilihat dari koefisien
intersep fungsi produksi Cobb-Douglas, yaitu:
Indeks efisiensi = ea
Keterangan: e = 2,71828
a = koefesien intersep persamaan regresi
Indeks efisiensi akan didapat dari perhitungan, dengan semakin tinggi
indeks efisiensi produksi berarti proses transformasi input menjadioutput menjadi
semakin efisien. Selain indeks efisiensi, rasio efisiensi juga akan didapat dari
perhitungan. Rasio efisiensi menunjukkan perbandingan kemampuan
menghasilkan output dengan memakai input yang tersedia.
Metode Pengali Lagrange dapat menyelesaikan kendala suatu fungsi
dengan menentukan nilai ekstrim suatu fungsi. Untuk memulai menyelesaikan
kendala tersebut, yang pertama kali perlu dilakukan adalah membentuk suatu
fungsi baru yang disebut sebagai fungsi Lagrange, yang merupakan penjumlahan
fungsi yang nantinya akan dioptimumkan dengan perkalian antara pengali
Lagrange dan fungsi kendalanya.
Berikut ini adalah gambaran suatu kendala anggaran untuk dua barang.

8. Annisa’aFauziaCindi Utami
10060214020
Bentuk umum masalah optimasi fungsi utilitas Cobb-Douglas adalah :
Maksimumkan fungsi utilitas Cobb-Douglas
𝑢(𝑥) = ∏ 𝑥 𝑖
𝛼𝑖𝐿
1 , ∑ 𝛼𝑖
𝐿
𝑖=1 = 1
Dengan kendala :
∑ 𝛼𝑖
𝐿
𝑖=1 = 1
Apabila masing-masing ruas dijadikan fungsi ln, maka
ln 𝑢( 𝑥) = ∑ 𝛼𝑖
𝐿
𝑖=1 𝑙𝑛𝑥 𝑖
Masalah memaksimumkan fungsi utilitas berubah menjadi
max
x
= ∑ 𝛼𝑖
𝐿
𝑖=1 𝑙𝑛𝑥 𝑖
Terhadap kendala
∑ 𝑝𝑖
𝐿
𝑖=1
𝑥 𝑖 = 𝑤
Masalah ini bisa diselesaikan dengan Metode Pengali Lagrange. Langkah pertama
menentukan fungsi Lagrange yaitu :
𝐿( 𝑥, 𝜆) = ∑ 𝛼𝑖
𝐿
𝑖=1 𝑙𝑛𝑥 𝑖 − 𝜆(∑ 𝑝𝑖
𝐿
𝑖=1 𝑥 𝑖 − 𝑤)
Untuk menentukan titik stasioner, menggunakan kondisi turunan pertama yaitu :
𝛻𝐿( 𝑥, 𝜆) = 0
sehingga
𝜕
𝜕𝑥 𝑖
𝐿( 𝑥, 𝜆) =
𝛼𝑖
𝑥 𝑖
− 𝜆𝑝𝑖 = 0
Dan menghasilkan

9. Annisa’aFauziaCindi Utami
10060214020
𝛼𝑖 = 𝜆𝑝𝑖 𝑥 𝑖 , ∀𝑖
Bagi 𝛼𝑖 dengan 𝛼𝑗 sehingga menghasilkan
𝛼𝑖
𝛼 𝑗
=
𝜆𝑝 𝑖 𝑥 𝑖
𝜆𝑝 𝑗 𝑥 𝑗
atau
𝛼𝑖
𝛼 𝑗
=
𝑝 𝑖 𝑥 𝑖
𝑝 𝑗 𝑥 𝑗
, ∀𝑖∀𝑗,
kemudian
𝑝𝑖 𝑥 𝑖 = 𝑝𝑗 𝑥𝑗
𝛼𝑖
𝛼 𝑗
, ∀𝑖∀𝑗,
Ambil sigma terhadap 𝑖 menghasilkan
∑ 𝑝𝑖
𝐿
𝑖=1 𝑥 𝑖 = 𝑝𝑗 𝑥𝑗
(∑ 𝛼𝑖
𝐿
𝑖=1
)
𝛼𝑖
, ∀𝑗
Oleh karena (∑ 𝛼𝑖
𝐿
𝑖=1 ) = 1.
Maka
𝑤 = 𝑝𝑗 𝑥𝑗
1
𝛼 𝑗
∀𝑗 ,
Sehingga diperoleh titik kritis
𝒙𝒋
∗
=
𝒘𝜶 𝒋
𝒑𝒋
, ∀𝒋
Nilai maksimum fungsi utilitas Cobb-Douglas diperoleh dengan menentukan nilai
fungsi tersebut di titik kritis 𝑥𝑗
∗
.
4. Kesimpulan dan Saran
Metode Lagrange dapat digunakan untuk menentukkan maksimum fungsi
utility Cobb-Douglass. Kendala harga dapat diselesaikan dengan Metode Pengali
Lagrange. Jadi, jika ada seseorang yang memiliki keinginan namun terkendala
dengan biaya, maka dapat ini dapat digunakan untuk mencari pilihan yang paling
maksimum diantara beberapa pilihan lainnya.

10. Annisa’aFauziaCindi Utami
10060214020
5. Daftar Pustaka
1) https://www.math.ucdavis.edu/~thomases/W11_16C1_lec_2_4_11.pdf
2) http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/LAGRANGE%20MULTIPLIE
RS2.pdf
3) Kalkulus. Jilid dua. Dale Varberg and Edwin J Purcell
4) http://jalanbaru.blogspot.co.id/2011/01/metode-lagrange.html
5) William R. Dillon & Matthew Goldstein. 1984. Multivariate Analysis .
JohnWiley & Sons.
6) Louis Leithold.1981. Ed. 4th . The Calculus With Analytic Geometry.
Harper Row Publishers.
7) Tom M. Apostol. 1969. Ed. 2 nd . Calculus. John Wiley & Sons.
8) Steven J. Leon. 1998. Ed. 5 th . Linear Algebra With Application.
Prentice Hall
9) Nicholson, Walter. 1995. 6th
. Microeconomic Theory, Basic
Principles and Extensions. Dryden Press.