Bài tập lý thuyết điều khiển1

1. Ch ngươ 1
Bài 1-1
Cho sơ đồ kh iố c aủ hệ th ngố như hình 1. Sơ đồ kh iố c aủ hệ th ngố đ cượ
chuy nể đ iổ như hình 2 và hình 3
Hình 1
Hình 2
Hình 3
L iờ gi i:ả
Th cự hi nệ c ngộ t iạ đi mể x c aủ hình 1, tai đây ta có:
Hay
Từ sơ đồ kh iố và ph ngươ trình trên ta có:
V iớ sơ đồ hệ th ngố ở hình 2 và 3 chúng ta ph iả tìm m iố quan hệ gi aữ y và u
Hình 2 ta c ngộ t iạ đi mể x:
K tế h pợ 2 ph ngươ trình ta có:
So sánh v iớ (*) ta có:
Trong hình 3:

2. Đ ngồ nh tấ v iớ ph ngươ trình (*):
V y:ậ
Bài 1-2:
Cho hệ th ngố đi uề khi nể vòng kín như hình 1. Tìm Geq(s) và Heq(s) c aủ hệ
th ngố cho b iở hình 2.
Hình 1
Hình 2
L iờ gi i:ả
Từ sơ đồ kh iố ở hình 1 ta có đ cượ khâu ph nả h iồ c aủ hệ th ng:ố
Và
Thay vào khâu ph nả h i:ồ
V iớ y = x1, ta có đ cượ hàm truy nề c aủ khâu ph nả h i:ồ
Từ sơ đồ kh iố hình 1 ta có:
Bài 1-5:
Cho hệ th ngố đ cượ trình bày hình d i.ướ Hãy tìm m iố quan hệ gi aữ u và y (
) là 1 hàm theo H1, H2, G1, G2 và G3.

3. L iờ gi i:ả
Từ sơ đồ kh iố trên ta có đ cượ ph ngươ trình:
Từ ph ngươ trình (3) và (4) thay vào x2:
L yấ ph ngươ trình (5) thế vào ph ngươ trình (2):
Thế ph ngươ trình (6) vào ph ngươ trình (1):
Như v y:ậ
Bài 1- 6:
Cho sơ đồ kh iố c aủ hệ th ngố như sau:
Hãy tìm hàm truy nề c aủ hệ th ngố và t iố gi nả sơ đồ kh iố .
L iờ gi i:ả
Hệ th ngố có 2 khâu ph nả h i.ồ Ta s pắ x pế l iạ sao cho chỉ còn 1 khâu ph nả h i.ồ
Chuy nể đi mể A c aủ khâu ph nả h iồ phía d iướ t iớ đi mể A’ thì ph iả bi nế đ iổ H2
thành

4. Chuy nể đi mể B ở phía trên t iớ đi mể B’ thì H1 đ cượ bi nế đ iổ thành:
Sơ đồ kh iố đ cượ chuy nể đ iổ t ngươ đ ngươ thành:
2 khâu ph nả h iồ đ cượ chuy nể thành 1 khâu , v iớ :
Từ sơ đồ kh iố v aừ có, ta có đ cượ hàm truy nề đ cượ đ nơ gi nả hóa như sau:
Bài 1-7: Thu g nọ sơ đồ c aủ hệ th ngố đi uề khi nể vòng kín nhi uề vòng hình
d iướ thành sơ đồ đ nơ gi n:ả
Gi i:ả
Để có thể thu g nọ sơ đồ trên c nầ ph iả dùng nh ngữ quy t cắ sau:
+ thành
+ thành

5. + thành
Sử d ngụ quy t cắ 2 sẽ chuy nể đ cượ kh iố H2 ra sau kh iố G4. Sử d ngụ quy t cắ 3
sẽ khử đ cượ vòng G3.G4. G1. Đ aư ra đ cượ sơ đồ t ngươ đ ngươ như hình d i.ướ
Khử vòng
2
4
H
G
sẽ đ c:ượ
Cu iố cùng, thu g nọ l iạ theo nguyên t cắ 1 khử vòng H3 đ cượ sơ đồ thu g nọ như
hình d i:ướ
Bài 1- 8: Mô hình m chạ khu chế đ iạ đ cượ đ aư ra như hình d i:ướ
- Cho 4
10A >
- Tính hệ số khu chế đ iạ
0
in
V
e

6. - Dòng vào đ cượ xem như không đáng kể do trở kháng đ uầ vào c aủ bộ
khu chế đ iạ là r tấ l nớ
Gi iả
Do dòng đi nệ vào cuẩ bộ khu chế đ iạ là b ngằ 0 nên dòng đi nệ đi qua R1 và R2 là
b ngằ nhau nên bi uể th cư toán t iạ nút n là:
Vì hệ số khu hế đ iạ là A nên ta có
G pộ hai phép tính vào ta có:
Hay:
Có thể vi tế l iạ bi uể th cứ cu iố cùng như sau:
T iạ đó
Do 4
10A > nên ta có
Nên ta có sơ đồ dòng tín hi uệ cua bộ khu hế đ iạ là:

7. Bài 1- 10: M chạ đi nệ bao g mồ đi nệ trở và tụ đi nệ đ cượ chỉ ra trong hình .
Sơ đồ kh iố đ cượ chỉ ra trong hình 2. Yêu c uầ tìm t tấ cả các hàm truy nề từ
G1 cho đ nế G6. thu g nọ sơ đồ hình 2 về sơ đồ hình 3:
Gi i:ả
Áp d ngụ các đ nhị lu tậ gi iả m chạ đi nệ ta đ cượ ma tr nậ như hình d i:ướ
Và
Từ hình 2 ta có:

8. Và: vì
Nhân và so sánh các thành ph nầ c aủ ma tr nậ ta có:
Tính các hệ số c aủ bi uể th cứ trên:
Có thêm :
Thay đ iổ các vòng trên sơ đồ hình 2 ta tìm đ cượ

9. Bài 1-14: Cho sơ đồ đi uề khi nể đ ngộ cơ DC như hình d i.ướ
Tìm hàm truy n.ề Cho các thông số sau:
Gi i:ả
Các ph ngươ trình toán h cọ mô tả hệ th ng:ố
Th cự hi nệ bi nế đ iổ laplace ta có:

10. V yậ hàm truy nề là:
Đ t:ặ
V iớ bi uể th cứ (*) t ngươ đ ngươ v i:ớ
T iạ đó ta có:
Có cơ năng ph iả b ngằ đi nệ năng nên ta có:
Có :
Tính các hệ s :ố

11. V yậ hàm truy nề tìm đ cượ là:
Bài 1-15: Cho hệ th ngố nhi uề vòng l pậ và sơ đồ vòng tín hi uệ c aủ nó như hình 1
và hình 2.
Tìm hàm truy nề vòng kín c aủ hệ th ngố sử d ngụ công th cứ Mason.
Bài làm:
Độ l iợ c aủ các vòng ti n:(ế tín hi uệ th ngẳ từ đ uầ vào đ nế đ uầ ra)
P1=G1G2G3
Độ l iợ c aủ các vòng kín( hệ th ngố có 3 vòng kín)
L1=G1G2H1
L2= - G2G3H2
L3= - G1G2G3
Trong hệ th ngố này t tấ cả các vòng kín cùng n mằ trên m tộ nhánh nên đònh
thöùc cuûa sô ñoà doøng tín hieäu:
∆ = 1 − (L1 + L2 + L3 )
Đ nhị th cứ con: (đ cượ tính b ngằ ∆κ trừ đi các vòng không dính v iớ Pk)

12. ∆1= 1
V yậ hàm truy nề c aủ hệ th ngố là:
Bài 1-20: Cho sơ đồ vòng tín hi uệ c aủ hệ th ngố như hình v ,ẽ tìm hàm truy nế
Bài làm:
Độ l iợ c aủ các vòng ti n:(ế tín hi uệ th ngẳ từ đ uầ vào đ nế đ uầ ra)
Độ l iợ c aủ các vòng kín( hệ th ngố có 3 vòng kín)
Trong hệ th ngố này có 2 vòng kín không dính nhau là L1 và L2 nên đònh thöùc
cuûa sô ñoà doøng tín hieäu:
∆ = 1 − (L1 + L2 + L3 ) + L1 L2
∆ =
Đ nhị th cứ con: (đ cượ tính b ngằ ∆κ trừ đi các vòng không dính v iớ Pk)
∆1= 1
V yậ hàm truy nề c aủ hệ th ngố là:

13. Bài 1-24: Sử d ngụ công th cứ mason để tìm hàm truy nề vòng kín cho hệ th ngố có
sơ đồ vòng tín hi uệ như hình v :ẽ
Bài làm:
- Ñoä lôïi cuûa caùc ñöôøng tieán:
P1 = G1G2G3G4G5 ;
P2 = G1G6G4G5 ;
P3 = G1G2G7
- Ñoä lôïi cuûa caùc voøng kín:
L1 = − G4H1 ;
L2 = − G2G7H2 ;
L3 = − G6G4G5H2 ;
L4 = − G2G3G4G5H2
Trong hệ th ngố này có 2 vòng kín không dính nhau là L1 và L2 nên đònh thöùc
cuûa sô ñoà doøng tín hieäu:
∆ = 1 − (L1 + L2 + L3+ L4 ) + L1 L2
Đ nhị th cứ con: (đ cượ tính b ngằ ∆κ trừ đi các vòng không dính v iớ Pk)
∆1 = 1 ; ∆2 = 1; ∆3 = 1 − L1
V yậ hàm truy nề c aủ hệ th ngố là:

14. Bài 1-26: Cho sơ đồ kh iố và sơ đồ vòng tín hi uệ c aủ hệ th ngố như hình v .ẽ
Dùng công th cứ mason tìm hàm truy nề vòng kín :
Bài làm:
Hệ th ngố có b nố vòng kín:
Hệ th ngố có 2 vòng kín không dính nhau: (vòng L1 và L2)
Đ nhị th cứ c aủ hệ th ngố là:
Hệ th ngố có 2 m chạ th ng:ẳ
Từ sơ đồ graph ta có các đ nhị th cứ con:

15. V yậ hàm truy nề c aủ hệ th ngố là:
Bài 1-31
Viêt́ ph ngươ trinh̀ trang̣ thaí cho hệ thônǵ lòxo giam̉ châń đ cượ cho như hinh̀ ve.̃
Tiń hiêụ vaò f(t) làl cự tać dung̣ ở đâù lòxo
Giai:̉
Đăṭ y1(t) vày2(t) làhai đâù vị trícuả lòxo.
Ta phân tich́ hệ thônǵ như sau:
Ph ngươ trinh̀ l cự tać dung̣ cuả hệ thông:́
Thếph ngươ trinh̀ 1 vaò 2 ta đ c:ượ
Đăt:̣

16. Ta đ cượ ph ngươ trinh̀ cuả hệ thônǵ như sau:
Bài 1-34
Viêt́ ph ngươ trinh̀ trang̣ thaí cho macḥ điêṇ sau:
Aṕ dung̣ cać đinḥ luâṭ Kirchoff 1,2 ta co:́
Trong đó
T ̀ư đóta viêt́ đ cượ dang̣ ph ngươ trinh̀ chinh́ tăć sau:

17. Ch ngươ 3:
Bài 3-1:
Tìm bi nế đ iổ Laplace c aủ các hàm sau:
L iờ gi i:ả
Dùng tích phân t ngừ ph nầ ta có:
V iớ :
V y:ậ

18. Bài 3- 2: Tìm bi nế đ iổ Laplace c aủ hàm :
L iờ gi i:ả
Dung đ nhị nghĩa về phép bi nế đ iổ Laplace ta có:
Công th cứ Euler’s:
Ta có đ c:ượ
V y:ậ
Bài 3-3: Dùng d ngạ chuy nể đ iổ Laplace sau :
và các đ nhị lý vi phân. Hãy tìm chuy nể đ iổ Laplace c aủ hàm sau:
L iờ gi i:ả
Đ nhị lý về phép l yấ vi phân:
N uế f(t) trong mi nề th iờ gian thì:
Theo đó
Ta sử d ngụ đ nhị lý trên và ph ngươ trình:
Ta có đ c:ượ

19. Bài 3-4:
Tìm bi nế đ iổ Laplace c aủ các hàm sau:
v iớ a là 1 h ngằ s .ố
v iớ a, A là các h ngằ s .ố
L iờ gi i:ả
a) Theo đ nhị nghĩa về phép bi nế đ iổ Laplace ta có:
b) Dùng k tế quả câu a) ta có:
Bài 3-20:
Cho bi nế đ iổ Laplace c aủ hàm f(t) như sau:
Tìm f(t)
Gi i:ả
Hàm F(s) đ cượ vi tế l iạ như sau:
Đ tặ
Có:

20. Các hệ số K1, K2, K3 đ cượ tính như sau:
Hàm G(s) đ cượ vi tế l iạ như sau:
Bi nế đ iổ laplace ng cượ c aủ hàm G(s) là:
Áp d ngụ thêm đ nhị lý:
V yậ ta có:
V yậ f(t) c nầ tìm là:

21. Bài 3-21:
Tìm Laplace ng cượ c aủ hàm F(s) cho ở d iướ v iớ wn là h ngằ số
Gi i:ả
Ta có
Và
Sau đó có
Hàm F(s) đ cượ vi tế l i:ạ
Thu g nọ l iạ ta có:
Trong tr ngườ h pợ này:
Bi nế đ iổ laplace có
Có:
Và

22. Ta sử d ngụ
Vì v yậ f(t) tìm đ cượ là:
Bài 3-23:
Cho hàm Laplace X(s)
Tìm x(t)
Gi iả
Phân tích X(s) thành các h ngạ tử
Có thể vi tế l iạ X(s) thành d ngạ sau:
Ta có
Có:

23. X(s) đ cượ vi tế l iạ như sau:
Có:
Bài 3-24: Tìm laplace ng cượ c aủ hàm X(s) qua ph ngươ pháp bi nế đ iổ tích phân
Gi i:ả
X(s) đ cượ vi tế l iạ là:
Áp d ngụ ph ngươ pháp tích phân ta có:
T iạ đó có:
Vì v yậ có:

24. Và
Có hàm x(t) là:
BÀI 3-25: bi nế đ iổ laplace c aủ x(t) là X(s) có ph ngươ trình sau :
Tìm x(t).
Bài làm:
Ta phân tích ph ngươ trình X(s) thành t ngổ c aủ nh ngữ hàm đ nơ gi n.ả
Chúng ta chú ý r ngằ :
V yậ :
Chúng ta tính các h ngằ số b ngằ cách cân b ngằ các hệ số :

25. V yậ laplace ng cượ ta đ cượ x(t) :
Vì áp d ngụ công th cứ :
Bài 3-26: Tìm laplace ng cượ c aủ hàm:
Bài làm:
Ta vi tế l iạ hàm F(s) như sau:
Áp d ngụ đ nhị lí trễ và laplace ng cượ c aủ hàm sin và cost a đ c:ượ
Đ nhị lí tr :ễ
V yậ ta có:
Bài 3-27: Tìm laplace ng cượ c aủ hàm:

26. Bài làm:
Ta vi tế l iạ hàm F(s):
Ta ti nế hành quy đ ngồ và sau đó đ ngồ nh tấ các hệ số v iớ ph ngươ trình chu nẩ đã
cho => ta tìm đ cượ các hệ s :ố a1= -0.5; a2=0; a3= 0.5.
V yậ ta đ c:ượ

 f(t)=
Bài 3-28
Biêń đôỉ Laplace ng cượ cuả ham̀ sau:
Giai:̉
Chia tử sốcho mẫu sốta được:
Tôí gian̉ phân th ćư ta đ c:ượ
Lâý anh̉ Laplace ng cượ ta co:́
Bài 3-29
Biêń đôỉ Laplace ng cượ cuả ham̀ sau:
Giai:̉

27. Ta phân tich́ F(s) thanh̀ cać phân sốthanh̀ phân:̀
Ta tim̀ cać hệ sốa1, a2, a3 như sau:
T ̀ư đóta tim̀ đ c:ượ
Bài 3-34
Tim̀ biêń đôỉ ng cượ cuả X(s) đ cượ cho b iở ph ngươ trinh:̀
V íơ cać điêù kiêṇ đâù
Giai:̉
Biêń đôỉ Laplace cuả ph ngươ trinh̀ vi phân
Aṕ dung̣ cać điêù kiêṇ cho tr ćươ ta cóđ cượ
hoăc̣

28. Biêń đôỉ Laplace ng cượ ta cóđ c:ượ
Ch ngươ 5
Bài 5-1
Cho hệ thônǵ cósơ đồkhôí như hinh̀ vẽsau. Haỹ xać đinḥ ham̀ truyêǹ cuả hệ
thônǵ
Giai:̉
Ham̀ truyêǹ cuả hệ thônǵ códang̣
trong đo:́
va:̀
Do đóta co:́
Bài 5-2
Cho hệ thônǵ cósơ đồkhôí như sau. Haỹ xać đinhhaṃ̀ truyêǹ cuả hệ thônǵ

29. Giai:̉
Taị cać điêm̉ 1,2,3 ta cócać giátrị
Th cự hiêṇ pheṕ nhân vàgiaỉ ph ngươ trinh̀ ta tim̀ đ cượ ham̀ truyêǹ cuả hệ thônǵ
Bài 5-3
Ch nǵư minh răng̀ ham̀ truyêǹ cuả hai hệ thônǵ sau lànhư nhau
Giai:̉
Ở sơ đồkhôí th ́ư nhât́ ta cóquan hệ gi ãư u vày
T ̀ư đóta rut́ ra đ cượ ham̀ truyêǹ

30. Ở sơ đồkhôí th ́ư hai ta có
T ̀ư đóta rut́ ra đ cượ ham̀ truyêǹ cuả hệ thônǵ
Bài 5-4: cho hệ th ngố như hình vẽ có 2 tín hi uệ vào, m tộ tín hi uệ chu nẩ và m tộ
tín hi uệ nhi u.ễ chỉ ra r ngằ ph ngươ trình đ cặ tính c aủ hệ th ngố sẽ không thay
đ iổ khi thay thế tín hi uệ vào chu nẩ b ngằ tín hi uệ vào là nhi u.ễ
Bài làm:
Hàm truy nề c aủ hệ th ngố khi bỏ qua tín hi uệ nhi uễ có d ngạ sau:
Hàm truy nề c aủ hệ th ngố khi bỏ qua tín hi uệ chu nẩ có d ngạ sau:
Ta th yấ ph ngươ trình đ cặ tính c aủ hệ th ngố khi bỏ tín hi uệ nhi uễ tác đ ngộ vào
hệ th ngố ho cặ là bỏ tín hi uệ chu nẩ tác đ ngộ vào hệ th ngố là gi ngố nhau:
Bài 5-5: tìm hàm truy nề c aủ hệ th ngố c aủ sơ đồ kh iố sau đây:
Bài làm:
Ta có:
Ө0= G Өe *
Өe= Өi – Өb **
Өb= H Ө0 ***
Thay (***) vào (**) ta đ c:ượ
Өe= Өi - H Ө0 ****
Thay (****) vào (*) :
Ө0= G (Өi - H Ө0)

31.  Hàm truy nề c aủ hệ th ngố là:
Bài 5-6: tìm hàm truy nề vòng kín c aủ hệ th ngố cho b iở hình vẽ sau:
Bài làm:
Từ sơ đồ ta có:
K tế h pợ các ph ngươ trình trên ta đ c:ượ
 Hàm truy nề vòng kín c aủ hệ là:
Bài 5-7:
Tìm hàm truy nề c aủ các hệ th ngố từ sơ đồ kh iố cho b iở hình 1 t iớ hình 4

32. Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
L iờ gi i:ả
Hình 1: Đ tặ X1,X2, X3 như sau :
Từ sơ đồ kh iố trên ta có:
K tế h pợ t tấ cả 4 ph ngươ trình trên ta có:
T ngươ tự như cách làm trên ta tính cho các hình còn l i:ạ

33. Hình 2:
Hình 3:
Hình 4:
Bài 5-8: Từ sơ đồ kh iố hãy tìm hàm truy nề
L iờ gi i:ả
Đ tặ ngõ ra c aủ G2(s) là X(s) ta có:
T iạ đi mể (1) :
T iạ đi mể (2):
Và đ iố v iớ X(s):
T iạ đi mể (4):
Đ iố v iớ ngõ ra C(s) ta có đ c:ượ
Như v y:ậ
Bài 5-12:
Xác đ nhị hàm truy nề c aủ hệ th ngố lò xo cho bên d i.ướ Độ d chị chuy nể x là
ngõ vào và độ d chị chuy nể y là ngõ ra c aủ hệ th ng.ố

34. L iờ gi i:ả
Giả sử hệ d chị chuy nể về phía trái, lo xo sinh ra l cự đàn h iồ có ph ngươ trình:
Kh iố damper sẽ t oạ ra l cự :
Sử d ngụ đ nhị lu tậ Newton cho t ngổ các l cự tác đ ngộ vào kh iố M , ta có:
Hay
Chuy nể đ iổ ph ngươ trình và giả sử đi uề ki nệ ban đ uầ b ngằ 0, ta có:
Hàm truy nề là:
Bài 5-13:
Tìm hàm truy nề c aủ hệ th ngố đ cượ chỉ ra như hình d i:ướ
Gi iả
Từ sơ đồ ta đ aư ra phép toán:

35. Bi nế đ iổ phép tính thứ nh tấ và phép tính thứ 2 ta có:
Tìm đ cượ ma tr nậ véctơ
Hàm truy nề c aủ hệ là:
Bài 5-16:
Tìm hàm truy nề c aủ m chạ đi nệ hình d iướ

36. Áp d ngụ đ nhị lu tậ Kirchhoff cho m chạ đi nệ trên
Cho đi nệ áp đ uầ ra:
K tế h pợ hai phép tính ta có
Bi nế đ iổ laplace cho bi uể th cứ trên:
Hàm truy nề và sơ đồ c aủ hệ th ngố
Bài 5-17:
Tìm hàm truy nề c aủ đ ngộ cơ servo hai pha như hình d i.ướ Đi nệ áp l nớ nh tấ c aủ
hai pha là 115 V.
Mô men quán tính là:
Hệ số ma sát tr tượ là:

37. Gi iả
Hàm truy nề c aủ hệ th ngố có thể tìm đ cượ từ nh ngữ phép tính sau:
Kc, Kn là nh ngữ h ngằ số
T: Mômen xo nắ
θ : Góc c aủ tr cụ đ ngộ cơ
Ec: Đi nệ áp đi uề khi nể
J: Mômen quán tính
G pộ hai công th cứ l iạ ta có:
Chuy nể đ iổ sang laplace v iớ đi uề khi nệ ban đ uầ là 0
Hàm truy nề là:
V iớ

38. Có:
V yậ ta có hàm tuy nề là:
Ch ngươ 6
Bài 6-2
Cho hệ thônǵ cơ khínhư hinh̀ vẽd íươ đây, trang̣ thaí ban đâù làtrang̣ thaí nghi.̉
L cự tać dung̣ vaò hệ thônǵ làham̀ xung đ nơ vi.̣ Haỹ tim̀ ph ngươ trinh̀ chuyên̉
đông̣ cuả vât.̣
Giai:̉
Aṕ dung̣ đinḥ luâṭ II Newton ta cóđ cượ
Biêń đôỉ Laplace ta có
Ban đâù hệ thônǵ ở trang̣ thaí nghỉ do đóta có
Ta tinh́ đ cượ X(s)

39. Tiêń hanh̀ lâý anh̉ Laplace ng cượ ta có
Trong đó
làbiên độ dao đông.̣
Bài 6-3
Cho hệ thônǵ cósơ đồkhôí như hinh̀ sau. Xać đinḥ cać thông sốK, k để độ voṭ lố
tôí đa là50% vàth ìơ gian tăng tr ngưở là5s
Giai:̉
Độ voṭ lốtôí đa Mp xać đinḥ b iở công th c:́ư
Theo đềbaì ta cóMp= 50%
hoăc̣

40. Th ìơ gian tăng tr ngưở 5s
Tâǹ sốtăng tự nhiên:
T ̀ư sơ đồkhôí ta có
V ́ơ hệ thônǵ binh̀ th ng̀ươ
v íơ cać hệ số
T ̀ư đóta cóđ cượ
Bài 6-4: cho hệ th ngố bên d iướ có các thông số như sau: ξ=0.4 và ωn= 5 rad/s.
Hệ th ngố ch uị tác đ ngộ b iở tín hi uệ b cướ đ nơ v .ị Tìm th iờ gian tăng tr ngưở tr ,
th iờ gian quá ch nhỉ tp , độ v tọ lố Mp và th iờ gian quá độ ts .

41. Bài làm:
V iớ ξ=0.4 và ωn= 5 rad/s. Ta tìm đ cượ :
Th iờ gian tăng tr ng:ưở
Mà

Th iờ gian quá ch nh:ỉ
Độ v tọ l :ố
Th iờ gian quá đ :ộ
V iớ sai số 2%:
V iớ sai số 5%:

42. Bài 6-7: Cho hàm truy nề c aủ hệ th ng.ố tìm đáp ngứ b cướ ngõ ra c aủ hệ th ngố khi
tín hi uệ vào là b cướ đ nơ v .ị
Bài làm:
Khi R(s)=1/s. Ta sẽ đ cượ Y(s) như sau:
Ta khai tri nể Y(s) thành t ngổ c aủ các hàm đ nơ gi nả :
Sau đó tìm các hệ số A, B, C, D :
V yậ Y(s) đ cượ vi tế l iạ như sau:

43. Laplace ng cượ Y(s) thì ta tìm đ cượ y(t) :
Bài 6-9:
Cho hệ th ngố đ cượ miêu tả b iở ph ngươ trình:
Sử d ngụ :
a) Trong mi nề th iờ gian
b) Trong mi nề t n.ầ
Hãy tìm đáp ngứ ở tr ngạ thái nghỉ v iớ tín hi uệ đ uầ vào là b cướ đ nơ vị
L iờ gi i:ả
Hàm truy nề c nầ tìm có d ng:ạ
V y:ậ
a) Đáp ngứ xung c aủ hệ th ngố là hàm ngư cợ c aủ G(s):
b) Trong mi nề t nầ số
Theo đó:

44. V iớ
Ta có:
Đ ngồ nh tấ hệ th cứ ta có:
V yậ
L yấ Laplace ng cượ ta đ c:ượ
Bài 6-10:
Hệ th ngố có hàm truy nề vòng kín là:
Hãy tìm đáp ngứ xung c aủ hệ th ngố này.
L iờ gi i:ả
Ta có hàm xung r(s) = 1 và:

45. V i:ớ
Ta có thể vi tế l iạ đ cượ y(s) như sau:
Các hệ số đ cượ xác đ nhị như sau:
Ta có đ c:ượ
Chuy nể đ iổ ng cượ hàm truy nề có d ng:ạ
Trong đó :
V y:ậ

46. Bài 6-12:
Cho hàm truy nề c aủ hệ th ngố
Cho tìm đáp ngứ th iờ gian c aủ hệ th ng.ố Tìm đáp ngứ th iờ gian c aủ hệ
th ngố
Gi iả
V iớ đi uề ki nệ ban đ uầ là 0. Có bi nế đ iổ Laplace là:
V iớ
Và
• là d ngạ chu n.ẩ Sử d ngụ bi nể đ iổ t ngươ đ ngươ ta có:
Ta có:

47. Bài 6-13: Cho hệ th ngố đi uề khi nể như hình d i:ướ
Cho K và P sao cho độ v tọ lố l nớ nh tấ khi đ uầ vào là đáp ngứ đ nơ vị là 0.4.
Th iờ gian đ nhỉ là 1s. Tìm th iờ gian lên
Gi iả
Có độ v tọ lố là:
Do Mp=0.4 nên
Th iờ gian đ nhỉ là:
Có:

48. Từ sơ đồ hình vẽ ta có:
Có:
Th cự hi nệ sự đ ngồ nh tấ
Th iờ gian lên là:
T iạ đó:
Nên:
Ch ngươ 7

49. Bài 7-1: cho khâu tích phân như hình 1, vẽ bi uể đồ nyquist cho hệ th ngố khi
K>0.
Bài làm:
Từ sơ đồ ta tính đ cượ hàm truy nề vòng hở như sau:
Vẽ bi uể đồ đáp ngứ c aủ đ iố t ngượ v iớ hàm truy nề vòng hở F(s) . Hình 2 mô tả
đáp ngứ c aủ hệ th ngố khi đ tặ S=jω.
Cho k>0 đáp ngứ là đóng về phía bên ph i,ả đi uề đó có thể chỉ ra r ngằ khi s=R
=>∞ khi F(R)>0. Đi mể -1 không bị bao b iở đáp ng,ứ vì v yậ hệ th ngố là nổ đ nhị
theo nyquist.
F(s) có 1 zero trên đ iố t ngượ nên đi mể u nố cong c aủ đồ thị t iạ đi mể S=∞ khi
qua góc t aọ đ .ộ
Bài 3: chỉ ra sự nổ đ nhị c aủ hệ th ngố khi thay đ iổ K2 v iớ hàm truy nề vòng hở
như sau:
Cho bi uể đồ myquist như hình vẽ khi T4> T1 , T2 , T3 .

50. Bài làm :
Di mể -1+j0 không bị bao b iở đáp ngứ vì v yậ hệ th ngố nổ đ nh.ị Tuy nhiên khi ta
tăng giá trị k2 đủ l nớ thì đáp ngứ có thể bao đi mể -1+j0 và hệ th ngố sẽ trở thành
giao đ ng.ộ
Bài 4 : cho hệ th ngố có hàm truy nề vòng hở như sau :
Vẽ bi uể đồ nyquist và xét tính nổ đ nhị c aủ hệ th ng.ố
Bài làm :
- Ph nầ t iạ Góc t aọ độ c aủ đ iố t ngượ :
Chúng ta xét vòng bao bán nguy tệ t ngượ tr ngư quanh đi mể c cự b iở
s=εejΦ
.
Khi Φ bi nế đ iổ từ -900
t iạ ω=0-
đ nế +900
t iạ ω=0+
. Ta có :
V yậ góc c aủ đ ngườ bao c aủ đáp ngứ sẽ thay đ iổ từ -900
t iạ ω=0-
đ nế +900
t iạ
ω=0+
, nó đi qua đi mể 00
t iạ ω=0.
- Ph nầ từ ω=0+
đ nế ω=+∞
Khi s=jω thì GH(s)|s=jω= GH(jω) ta có:
Độ l nớ ti nế về 0 t iạ góc -1800
.
- Ph nầ từ ω=+∞ đ nế ω=-∞

51. Khi Φ thay đ iổ từ Φ =+900
t iạ ω=+∞ đ nế Φ =-900
t iạ ω=-∞. Đ ngườ bao di
chuy nể từ -1800
t iạ ω= +∞ đ nế góc 1800
t iạ ω= -∞ v iớ độ l nớ không đ i.ổ
Bài 7-7 : cho hàm truy nề vòng hở c aủ hệ th ng.ố Vẽ bi uể đồ quỹ tích nghi mệ
c aủ hệ th ng.ố
Bài làm :
Từ hàm truy nề vòng hở ta tính đ cượ ba đi mể c cự c aủ hệ th ng,ố D=-20, và 2
đi mể D=0. Hệ th ngố có 1 đi mể zero D=-12. Vì v yậ quỹ tích nghi mệ c aủ hệ
th ngố sẽ có 2 nhánh xu tấ phát từ 0 khi K0=0 và ti nế đ nế ∞ khi K0=∞ , m tộ
nhánh xu tấ phát từ -20 khi K0=0 và ti nế đ nế -12 khi K0=∞ .
Góc c aủ các đ ngườ ti mệ c nậ và đi mể xu tấ phát c aủ các đ ngườ ti mệ c nậ là :
V yậ quỹ tích nghi mệ có d ngạ ;

52. Bài 7-8
Cho hệ thônǵ cóham̀ truyêǹ như sau:
V íơ K làhăng̀ số
Haỹ xać đinḥ môí quan hệ gi ãư giátrị cuả K vàđăc̣ tinh́ cuả hệ thônǵ
Giai:̉
Ph ngươ trinh̀ đăc̣ tinh́ cuả hệ thônǵ la:̀
Giaỉ ph ngươ trinh̀ trên ta tim̀ đ cượ nghiêm:̣

53. Vìph ngươ trinh̀ đăc̣ tinh́ cóhai nghiêṃ th cự nên biêủ đồquĩtich́ nghiêṃ cóhai
nhanh.́ Khi K=0, D1=0 vàD2=0 làhai điêm̉ xuât́ phat́ cuả đ ng̀ươ quĩtich́ nghiêm.̣
Hai nghiêṃ D1 vàD2 không thể lànghiêṃ ph ćư v íơ bât́ kìgiátrị naò cuả K vì16 +
K2
> 0. Cać nghiêṃ naỳ luôn làsốth cự âm vì
Khi K → ∞
1) D1 → -2, do đóquĩtich́ nghiêṃ cuả D1 làđoaṇ t ̀ư 0 đêń -2 trên truc̣ th c.ự
2) D2 → -∞, do đóquĩtich́ nghiêṃ cuả D2 làđoaṇ t ̀ư -4 đêń -∞ trên truc̣ th c.ự
T ̀ư biêủ đồquĩtich́ nghiêṃ ta nhâṇ thâý tât́ cả cać nghiêṃ đêù năm̀ bên traí măṭ
phăng̉ ph ćư do đóhệ thônǵ làôn̉ đinḥ v íơ moị giátrị cuả K.
Bài 7-10
Vẽbiêủ đồquĩtich́ nghiêṃ cuả ham̀
Giai:̉
1) Hệ không cóđiêm̉ zero. Cać điêm̉ c cự làs = 0 , s = -4 , s = -16. Cać nhanh́
cuả quĩtich́ băt́ đâù t ̀ư cać c cự cuả vong̀ hở vàkêt́ thuć taị cać điêm̀ zero.
2) Quĩtich́ nghiêṃ năm̀ trên truc̣ th cự gi ãư điêm̉ s = 0 vàs = -4 , s = -16 vàs =
-∞. Quĩtich́ nghiêṃ năm̀ trên truc̣ th cự khi có môṭ sốlẻ cać điêm̉ c cự và
zero bên phaỉ điêm̉ đo.́
3) Goć tiêṃ câṇ là
V íơ k = 0 thìα = 600
k = 1 thìα = 1800
k = 2 thìα = 3000
4) Giao điêm̉ cuả đ ng̀ươ tiêṃ câṇ vàtruc̣ th cự la:̀
5) Điêm̉ tach́ nhâp̣ đ cượ xać đinḥ băng̀ cach:́
hoăc̣
Giátrị xâṕ xỉ cuả Sb là

54. Goć tach́ nhâp̣ t ̀ư truc̣ th cự là±900
6) Giátrị l ńơ nhât́ cuả K để hệ thônǵ ôn̉ đinḥ cóthể xać đinḥ đ cượ băng̀ cach́
thay s = jω, t ̀ư đo:́
Đăṭ KGH(jω) = -1 ta co:́
Giaỉ ra ta tim̀ đ cượ K
Để K làsốth cự thìω2
– 64 phaỉ băng̀ ‘0’
Do đóω = ±8
Thay vaò ta tim̀ đ cượ K = 20
Biêủ đồquĩtich́ nghiêṃ cuả hệ thônǵ như hinh̀ vẽsau
Bài 7-12
Cho hệ thônǵ sau

55. Vẽbiêủ đồquĩtich́ nghiêṃ
Giai:̉
Nghiêṃ cuả ph ngươ trinh̀ đăc̣ tinh́ là
Để 9 – 4K > 0 tât́ cả cać nghiêṃ đêù làsốth cự âm, ta có
v íơ
V íơ K > 2 4
1
, nghiêṃ làcăp̣ sốph ćư v íơ phâǹ th cự băng̀ -1 2
1
vàphâǹ aỏ
băng̀
Phâǹ aỏ sẽtiêń đêń vô cung̀ khi K → ∞
V íơ moị giátrinḥ cuả K thìhệ thônǵ ôn̉ đinḥ vìtât́ cả cać nghiêṃ đêù năm̀ bên
traí măṭ phăng̉ ph ćư
Biêủ đồquĩtich́ nghiêm:̣

56. Bài 7-14
Cho ham̀ truyêǹ hệ thônǵ vong̀ hở như sau
Vẽbiêủ đồquĩtich́ nghiêṃ
Giai:̉
1) Ham̀ truyêǹ cuả hệ thônǵ là
2) Cać điêm̉ c cự là0 , -1-j , -1+j
Do đóquĩtich́ nghiêṃ sẽcóba nhanh,́ băt́ đâù t ̀ư nh ng̃ư điêm̉ cóK’=0
3) Môĩ nhanh́ quĩtich́ sẽkêt́ thuć taị ∞, b iở vìkhông cóđiêm̉ zero. Goć tiêṃ
câṇ cuả cać nhanh́ khi K’ → ∞ sẽlà
Tiêṃ câṇ sẽcăt́ truc̣ th cự taị điêm̉
4) Không cócać điêm̉ tach́ nhâp.̣ Môṭ nhanh́ quĩtich́ sẽbăt́ đâù t ̀ư 0 khi K’ = 0
vàtiêń theo truc̣ th cự âm về-∞ khi K’ → +∞
5) Thay jb vaò D ta sẽtim̀ đ cượ điêm̉ căt́ cuả quĩtich́ nghiêṃ v íơ truc̣ aỏ

57. Giaỉ ra ta tim̀ đ cượ
Như vâỵ quĩtich́ căt́ truc̣ aỏ taị
6) Goć xuât́ phat́ t ̀ư điêm̉ c cự -1+j
T ̀ư điêm̉ c cự -1-j
Biêủ đồquĩtich́ nghiêṃ
Bài 7-15:
Cho hàm truy nề vòng hở c aủ hệ th ngố là:
Xác đ nhị giá trị c aủ K0’ sao cho hệ th ngố nổ đ nhị và vẽ quỹ tích nghi mệ
c aủ hệ th ng?ố
L iờ gi i:ả
Ph ngươ trình đ cặ tính c aủ hệ th ngố có 3 nghi m,ệ vì v yậ quỹ tích nghi mệ có 3
nhánh. Quỹ tích b tắ đ uầ ở đi mể 0, -1, -8 và k tế thúc ở đi mể vô cùng, Góc ti mệ
c nậ là:

58. Đ ngườ ti mệ c nậ c tắ tr cụ th cự t iạ đi m:ể
1 đi mể tách n mằ gi aữ 0 và 1. Quỹ tích v nẫ liên t cụ trên tr cụ th cự gi aữ 0 và -1,
và gi aữ đi mể -8 và -
Ph ng trình đ c tính c a h th ng là:ươ ặ ủ ệ ố
Hay
Để tìm đi mể tách , chúng ta l yấ đ oạ hàm:
Gi iả ph ngươ trình
Ta đ cượ
D=-0.5 và D=-5.5.
Như v y,ậ D=-0.5 t ngươ ngứ v iớ đi mể tách. V yậ K0’ là:
Thay jb=D vào ph ngươ trình đ cặ tính:
Ta có
Gi iả ta có:
Ta nh nậ th yấ quỹ tích nghi mệ c tắ tr cụ oả t iạ , ngứ v iớ K0’ = 72. Hàm
truy nề vòng kín không có đi mể c cự và đi mể zero. T ngổ các nghi mệ c aủ ph ngươ
trình đ cặ tính là -9. V iớ K0’ =72 thì 2 nghi mệ là -2.83 và 2.83. Như v yậ cả 3
nghi mệ ph iả là -9. Chúng ta th yấ r ngằ K0’ =72 xác đ nhị t iạ -9 trên nhánh b tắ
đ uầ từ -8 t iớ -
V iớ K0’ < 72 thì hệ th ngố nổ đ nhị
V iớ K0’ = 72 thì hệ th ngố ở biên gi iớ nổ đ nhị
V iớ K0’ > 72 thì hệ th ngố không nổ đ nh.ị

59. Bài 7-28:
Sơ đồ kh iố c aủ hệ th ngố trình bày ở hình 1, K>o.
Vẽ quỹ tích nghi mệ c aủ hệ th ng,ố Chú ý: v iớ K l nớ và bé thì hệ th ngố có
nhi uễ răng c a,ư v iớ K trung bình thì hệ đáp ngứ tr n.ơ
L iờ gi i:ả
Vẽ quỹ tích nghi mệ chúng ta ph iả th cự hi nệ các b cướ sau:
1) Hi nể thị trên m tặ ph ngẳ ph cứ các đi mể c cự và đi mể không vòng hở. T nồ
t iạ quỹ t chị nghi mệ trên ph nầ ân tr cụ th cự gi aữ -3 và -2 và gi aữ -1 và 0.
2) Không có đư ngờ ti mệ c nậ trong mi nề ph cứ từ đi mể c cự và zero c aủ vòng
hở.
3) Từ phương trình đ cặ tính c aủ hệ th ngố :
Chúng ta xác đ nhị đ cượ đi mể tách và đi mể nh p.ậ
Gi iả ph ngươ trình ta có:
V iớ giá trị c aủ K là:
V iớ giá trị c aủ K là:

60. K= 14
Các giá trị c aủ K trong 2 tr ngườ h pợ để xác đ nhị đ cượ đi mể tách và đi mể
nh p.ậ Đi mể s=-2.366 n mằ gi aữ 2 đi mể không, do v yậ nó là đi mể nh p,ậ còn
s= -0.634 là đi mể tách.
4) Ở hình 2 thể hi nệ quỹ tích nghi mệ c aủ hệ th ng.ố Chúng ta có thể tìm đ yầ
đủ các đi mể thõa mãn đi uề ki nệ góc.
5) Ta có thể xác đ nhị đ ngườ kính quỹ tích nghi mệ t ngươ ngứ v iớ giá trị K
b ngằ cách dùng đi uề ki nệ về độ l n.ớ V iớ 1 giá trị K đ cượ đ aư ra thì các
c cự vòng kín đ uề thõa mãn đi uề ki nệ về góc và độ l n,ớ có thể tìm từ quỹ
đ oạ nghi mệ s .ố
Hệ th ngố là nổ đ nhị v iớ 1 vài giá trị d ngươ c aủ K
V iớ 0<K<0.0718 và K>14 hệ th ngố bị nhi uễ răng c a,ư hệ tr nơ láng v iớ
.
Bài 7-31:
Cho hàm truy nề hệ th ng:ố

61. Vẽ đ ngườ cong đáp ngứ t nầ số c aủ hệ th ngố
L iờ gi i:ả
Chúng ta sẽ b tắ đ uầ v iớ đồ thị biên độ và góc pha c aủ
và k tế h pợ cả 2 đ ngườ cong trên. Đồ thị biên độ v iớ
và đ cượ hi nể thị trên hình 1
Hình 1
Chú ý r ngằ đ ngườ cong có đ cượ b ngằ cách giá trị decibel t iạ các
t nầ số khác nhau.

62. T iạ t nầ số cao, đ ngườ cong cho b iở -40dB thõa mãn còn -20 dB
thì không. Đi uề này đúng v iớ th cự tế r ngằ logarithm c aủ 1 số bình ph ngươ
thì b ngằ 2 l nầ tích
Bài 7-33:
Vẽ bi uể đồ Bode từ hàm truy n:ề
L iờ gi i:ả
Chúng ta th cự hi nệ theo các b cướ sau:
1) Vẽ đ ngườ n mằ ngang 3
2) T nầ số góc duy nh tấ là :
từ m uẫ th cứ
Đi mể n mằ trên đ ngườ n mằ ngang.
3) Vẽ 1 đ ngườ từ đi mể này v iớ độ d cố
Hình vẽ đ cượ thể hi nệ từ đồ thị g nầ đúng trên.
Bài 7-34: Hàm truy nề c aủ hệ th ngố đ cượ bi uể di nễ như sau:
Vẽ đồ thị bode c aủ hệ th ngố

63. Gi i:ả
Đ uầ tiên ta tín biên độ hàm log có đ cượ
Góc pha là G(jw) là:
Hàm truy nề
Vẽ đ cượ đồ thị biên độ và góc theo t nầ số như hình vẽ trên
Bài 41:
Hàm truy nề c aủ hệ th ngố đ cượ cho như sau:
Vẽ đ cặ tính đáp ngứ t nầ số c aủ hệ th ng.ố
Gi i:ả
Tìm đáp ngứ t nầ số c aủ không gian tr ngạ thái đ tặ D=jw. Ta có

64. Tính đ cượ ,G φ là:
Đáp ngứ t nầ số c aủ hệ th ngố đ cượ vẽ như hình v :ẽ
Tính đ cượ :
Ta tìm đ cượ gi iả t nầ số là. Đ t:ặ
Ta tìm đ cượ là:
Và
1
nw w
T
= =
Bài 42
Cho hệ th ngố b cậ 1:
Đ uầ vào là d ngạ sin có d ng:ạ
G aỉ sử đ uầ ra c aủ hệ th ngố đ cượ cho qua bộ l cọ mà lo iạ bỏ t tấ cả các tín hi uệ
có biên độ nhỏ 0.01mV. Tìm t nầ số c tắ wc sao cho v iớ t tấ cả o cw w> thì bộ l cọ
sẽ không quan sát đ cượ tín hi uệ đ uầ vào
Gi iả
Ta có:
Ta tính đ c:ượ

65. Biên độ A đ cượ tính như sau:
v iớ Wc=Wn ta tìm đ cượ A=0.01. Ta tìm đ cượ
Bài 7-43:
Hệ th ngố đ cượ đ aư ra như sau:
Tìm đáp ngứ sin c aủ hệ th ngố
Gi i:ả
Có thể bi uể di nễ l iạ f(t) như sau:
Ta có đáp ngứ là:
t iạ đó k là biên độ vàφ là góc khi tín hi uệ đ uầ vào là d ngạ véc tơ
V yậ ta có
Thay vào ph ngươ trình trên đ uầ bài ta có:
Chi cả hai vế cho jwt
e ta đ cượ
ho cặ

66. CH NGƯƠ 8:
Bài 2:
Hệ th ngố c aủ đ cượ mô tả như sau:
T iạ đó ta có:
Sử d ngụ ph ngươ pháp ph nả h iồ bi nế tr ngạ thái đ tặ c cự c aủ hệ th ngố là -4 và -6.
Gi iả
Vi tế u(t) thành d iướ d ngạ
Vì v y:ậ
Và có:
Trị số đ cặ tr ngư c aủ A là:
C nầ ph iả ph nả h iồ n uế giá trị thu đ cượ là không mong mu n.ố Hệ th ngố vòng
kín cho t tấ cả các giá trị c aủ g1 và g2 là:

67. N uế mu nố trị số đ cặ tr ngư c aủ ma tr nậ A-BG t i:ạ
Chúng ta áp d ngụ ph ngươ pháp kéo theo. từ ma tr nậ [A,B] có thể đi uề khi nể
đ cượ ta có thể sử d ngụ bi nế ph nả h iồ có thể thay đ iổ đ c.ượ Trong tr ngườ h pợ
này khi đ aư ra hệ th ngố có d ngạ
A là ma tr nậ b tấ kỳ n x n
B là ma tr nậ b tấ kỳ n x m
Và [A,B] đi uề khi nể đ c.ượ T iạ đó t nồ t iạ ít nh tấ m tộ ma tr nậ ph nả h iồ G m x n
. Mà trị số đ cặ tr ngư c aủ A-BG b ngằ giá trị c nầ mong mu n.ố Có đa th cứ đ cặ
tính
Có
V yậ giá trị c aủ g1 và g2 là

68. Bài 8-16
Hinh̀ vẽ1 biêủ diêñ quĩtich́ nghiêṃ cho hệ thônǵ loaị 2 v íơ ham̀ truyêǹ
Phân tich́ tinh́ ôn̉ đinḥ cuả hệ thông.́ Giả sử môṭ điêm̉ zero đ cượ đ aư vaò taị s =
2
1
T
−
gi ãư gôć vàđiêm̉ c cự 1
1
T
−
. Vẽbiêủ đồquĩtich́ nghiêṃ m i.́ơ Xet́ tinh́ ôn̉
đinḥ cuả hệ thông.́
Giai:̉
Ở hinh̀ 1 ta thâý toaǹ bộ môṭ nhanh́ cuả quĩtich́ nghiêṃ năm̀ ở bên phaỉ măṭ
phăng̉ ph ćư vìthếhệ thônǵ không ôn̉ đinḥ v íơ moị giátrị K. Khi thêm môṭ
điêm̉ zero taị 2
1
T
−
, sốc cự tr ̀ư đi sốzero băng̀ 2. Vìthếsẽcótiêṃ câṇ đ nǵư taị
Khi K = 0, quĩtich́ đi qua gôć toạ độ vàphâǹ quĩtich́ trên truc̣ th cự năm̀ gi ãư
hai điêm̉ 1
1
T
−
và 2
1
T
−
Biêủ đồquĩtich́ nghiêṃ đ cượ vẽlai:̣
Bài 18:
Cho hệ th ngố đ cượ mô tả b i:ở

69. V iớ
Hệ th ngố đ cượ mô tả v iớ trị riêng , v iớ tín hi uệ ph nả h iồ
tr ngạ thái thì trở thành:
Hãy tìm giá trị c aủ K?
L iờ gi i:ả
Ph ngươ trình đ cặ tính c aủ hệ th ng:ố
Vi tế về d ngạ
Chúng ta xác đ nhị K từ ph ngươ trình:
V i:ớ
Các ph nầ tử c tộ thứ j c aủ ma tr nậ I ta thay b ngằ ej, và c tộ thứ j c aủ ma tr nậ
b ngằ dj. Như v yậ 1 c tộ c aủ 1 ma tr nậ là 0. Như v y,ậ chúng ta có đ cượ
T oạ thành n c tộ đ cộ l pậ , ta có:

70. Ma tr nậ D:
Chú ý để mô tả D ta dùng và như các c tộ đ cộ l p,ậ và ch nọ
. Ta có đ cượ trị riêng mong mu nố
CH NGƯƠ 9:
BÀI 1:
Đ aư hàm truy nề c aủ hệ th ngố về d ngạ không gian tr ngạ thái:
Gi iả
Hàm truy nề c aủ hệ th ngố đ cượ phân tích như sau:
Nhân thêm s và 2
s vào hàm truy nề c aủ hệ th ngố r iồ phân tích ra:

71. Chú ý r ng:ằ
Sau đó ta đ tặ
Ta đ aư ra:
Ta có:
Đ aư ra đ cượ

72. Ho cặ d ngạ trong không gian tr ngạ thái
Có d ngạ ma tr n:ậ
Đi uề ki nệ ban đ uầ c aủ hệ th ng:ố
T iạ đó

73. Bài 9-2
Cho ham̀ truyêǹ hệ thônǵ như sau:
Lâp̣ ph ngươ trinh̀ trang̣ thai.́
Giai:̉
T ̀ư ham̀ truyêǹ hệ thônǵ ta viêt́ đ cượ ph ngươ trinh̀ vi phân sau:
Choṇ vector trang̣ thaí
Đăṭ biêń trang̣ thaí
Vìvâỵ ta cóthể viêt́ đ cượ
Trong đo:́

74. Bài 9-31 : chỉ ra ph ngươ trình không gian tr ngạ thái c aủ hệ th ngố cho b iở hình
vẽ sau :
Bài làm :
Hàm truy nề vòng kính c aủ hệ th ngố là
Trong đó

Ph ngươ trình hàm truy nề vòng kính vi tế theo cách khác có d ngạ sau :
Chúng ta hãy đ tặ các bi nế tr ngạ thái :
V iớ các hệ số đ cượ chỉ ra b iở ph ngươ trình :

75. Ph ngươ trình không gian tr ngạ thái có d ngạ sau :
V yậ trong tr ngườ h pợ c aủ ta là :
CH NGƯƠ 12:
BÀI 5:
Hệ th ngố đ cượ mô tả như sau:
T iạ đó có:

76. Hãy chỉ ra hệ th ngố hoàn không quan sát đ cượ
Gi i:ả
Có thể đ tặ u=0. Vì hàm đi uề khi nể u không nhả h ngưở t iớ tính quan sát c aủ hệ
th ng.ố Ma tr nậ quan sát c aủ hệ th ng:ố
H ngạ c aủ ma tr nậ là nhỏ h nơ 3 có:
Vì v yậ hệ th ngố không hoàn toàn quan sát đ c.ượ Hàm truy nề hệ th ngố X1(s) và
G(s) là:
Và hàm truy nề Y(s) và X1(s) là:
Hàm truy nề Y(s) và U(s) là:
Bài 12-9 ; cho hệ th ngố có hàm truy nề không gian tr ngạ thái như sau. Xét khả
năng đi uề khi nể c aủ hệ th ng.ố
Bài làm :
Cho hệ th ngố trên có khả năng đi uề khi nể tr ngạ thái đ c,ượ thì đi uề ki nệ c nầ và
đủ là ma tr nậ S ph iả có h ng(rank)ạ là 2 v iớ S=[ B AB].
Chúng ta có :

77. V yậ ta k tế lu nậ r ngằ hệ th ngố này không có khả năng đi uề khi nể đ c.ượ
Bài 12-18:
Xác đ nhị tính quan sát đ cượ c aủ hệ th ngố sau:
L iờ gi i:ả
Ta tính toán các ma tr nậ sau:
H ngạ c aủ ma tr nậ là 3. V yậ hệ th ngố quan sát đ c.ượ

78. Vector là các hàng đ cộ l p,ậ vì v yậ hệ th ngố hoàn toàn có thể đi uề khi nể đ c.ượ
Hệ th ngố hoàn toàn có thể quan sát đ cượ khi vector C*, A*C*, là các
hàng đ cộ l pậ
Và
Như v yậ vector là các hàng đ cộ l pậ và hệ th ngố hoàn toàn có thể quan sát đ c.ượ
Ch ngươ 13
Bài 13-1
Cho ham̀ truyêǹ cuả hệ thông.́ Haỹ xać đinḥ ph ngươ trinh̀ đăc̣ tinh́ vàxet́ tinh́
ôn̉ đinḥ cuả hệ thônǵ

79. Giai:̉
Ph ngươ trinh̀ đăc̣ tinh́ cuả hệ thônǵ códang:̣
Th cự hiêṇ pheṕ biêń đôi:̉
Nghiêṃ cuả ph ngươ trinh̀ la:̀
Ph ngươ trinh̀ đăc̣ tinh́ cómôṭ nghiêṃ d ngươ D3 = 2 do đóhệ thônǵ không ôn̉
đinh.̣
Bài 13-2
Xet́ tinh́ ôn̉ đinḥ cuả hệ thônǵ cóham̀ truyêǹ
Giai:̉
Ph ngươ trinh̀ đăc̣ tinh́ hệ thông:́
Giaỉ ra nghiêṃ cuả ph ngươ trinh̀
Tât́ cả cać nghiêṃ cóphâǹ th cự âm do đóhệ thônǵ làôn̉ đinh.̣
Bài 13-6
Xet́ tinh́ ôn̉ đinḥ cuả hệ thônǵ cóph ngươ trinh̀ đăc̣ tinh:́
Giai:̉
Lâp̣ bang̉ Routh

80. Kêt́ luâṇ hệ thônǵ không ôn̉ đinḥ vìcać giátrị ở côṭ th ́ư nhât́ đôỉ dâú môṭ lân.̀
Bài 13-10:
Cho hệ th ngố đ cươ đ aư ra ở d ngạ tiêu chu nẩ Jordan, sau khi chuy nể đ i:ổ
T iố gi nả hệ th ngố d aự vào tính quan sát đ cượ và đi uề khi nể đ c.ượ
Ch ngứ tỏ r ngằ ma tr nậ c aủ hệ th ngố t iố gi nả t ngươ tự như ma tr nậ ban đ u?ầ
L iờ gi iả
Hệ th ngố d ngạ Jordan có các giá trị riêng khác nhau, như v yậ tính đi uề khi nể
đ cượ và quan sát đ cượ dễ dàng xác đ nhị đ c.ượ
Hàng thứ 3 c aủ ma tr nậ Bn là 0, nên q3 không đi uề khi nể đ c.ượ C tộ thứ 2 c aủ Cn
là 0, v yậ nên q2 cũng không đi uề khi nể đ c.ượ q2 và q3 bị lo iạ từ đó chúng không
còn tác d ngụ v iớ ngõ vào-ngõ ra:
Khi đó:
, v iớ hệ th ngố ban đ u:ầ

81. V iớ hệ th ngố t iố gi n:ả
Như v yậ ma tr nậ là như nhau đ iố v iớ cả 2 ph ngươ trình tr ngạ thái.
Bài 13-11
Cho các ma tr nậ A và B :
Xác đ nhị n uế [A,B] là 1 c pặ ki mể soát.
L iờ gi i:ả
Từ kích th cướ các ma tr nậ A là 3x3, B là 3x2 nên ma trân S ph iả là 3x6:
Chúng ta tìm :
S có thể đ cượ vi tế l iạ như sau:

82. Có thể dễ dàng ki mể tra đ cượ h ngạ c aủ S là 3 và hệ th ngố là đi uề khi nể đ c.ượ
Bài 13-12 : cho hàm truy nề vòng kính. Dùng tiêu chu nẩ routh tìm k để hệ th ngố
nổ đ nhị
Bài làm :
Ph ngươ trình đ cặ tính c aủ hệ th ngố là :
B ngả routh như sau ;
Di uề ki nệ c nầ và đủ để hệ th ngố nổ đ nhị là t tấ cả các hệ số ở c tộ 1 c aủ b ngả
ph iả đ uề d ngươ nên ta có :
Và
V yậ k ph iả th aỏ mãn :
Bài 13-13 : cho ph ngươ trình đ cặ tính c aủ hệ th ng.ố Tìm k để hệ th ngố nổ đ nhị
theo tiêu chu nẩ routh.
Bài làm :
B ngả routh ;
Theo routh ta có :

83. Hai đi uề ki nệ đ uầ cho ta đi uề ki nệ k >1/2, đi uề ki nệ thứ 3 ta có –3k2
+2k-1 > 0
(ph ngươ trình này có nghi mệ o)ả và giá trị c aủ đa th cứ luôn âm v iớ m iọ k € R. vì
v yậ v iớ 3 đi uề ki nệ trên không tìm đ cượ giá trị c aủ k để hệ th ngố nổ đ nh.ị
Bài 13-16: Ph ngươ trình hàm truy nề đ cặ tính c aủ hệ th ngố vòng kín là:
V iớ giá trị nào c aủ K thì hệ nổ đ nhị
Gi i:ả
Sử d ngụ b ngả Routh để tìm giá c aủ K
Để hệ th ngố nổ đ nhị thì các giá trị trên c tộ đ uầ tiên c aủ b ngả là cùng d u.ấ Trong
tr ngườ h pợ này ta có:
Khi K>0 ta có:
Bài 13-27:
Xét hệ th ngố như hình v :ẽ
Tìm K để hệ th ngố nổ đ nhị
Gi iả

84. Hàm truy nề c aủ vòng kín:
Ph ngươ trình đ cặ tính là:
Ta có b ngả Routh
Để hệ th ngố nổ đ nhị thì t tấ cả các thông số c aủ c tộ đ uầ tiên ph iả d ng.ươ Nên
có: