bài tập

1. Ch ng
ươ 1
Bài 1-1
Cho sơ đồ kh i
ố c a
ủ hệ th ng
ố như hình 1. Sơ đồ kh i
ố c a
ủ hệ th ng
ố đ c
ượ
chuy n
ể đ i
ổ như hình 2 và hình 3
Hình 1
Hình 2
Hình 3
L i
ờ gi i:
ả
Th c
ự hi n
ệ c ng
ộ t i
ạ đi m
ể x c a
ủ hình 1, tai đây ta có:
Hay
Từ sơ đồ kh i
ố và ph ng
ươ trình trên ta có:
V i
ớ sơ đồ hệ th ng
ố ở hình 2 và 3 chúng ta ph i
ả tìm m i
ố quan hệ gi a
ữ y và u
Hình 2 ta c ng
ộ t i
ạ đi m
ể x:
K t
ế h p
ợ 2 ph ng
ươ trình ta có:
So sánh v i
ớ (*) ta có:
Trong hình 3:

2. Đ ng
ồ nh t
ấ v i
ớ ph ng
ươ trình (*):
V y:
ậ
Bài 1-2:
Cho hệ th ng
ố đi u
ề khi n
ể vòng kín như hình 1. Tìm Geq(s) và Heq(s) c a
ủ hệ
th ng
ố cho b i
ở hình 2.
Hình 1
Hình 2
L i
ờ gi i:
ả
Từ sơ đồ kh i
ố ở hình 1 ta có đ c
ượ khâu ph n
ả h i
ồ c a
ủ hệ th ng:
ố
Và
Thay vào khâu ph n
ả h i:
ồ
V i
ớ y = x1, ta có đ c
ượ hàm truy n
ề c a
ủ khâu ph n
ả h i:
ồ
Từ sơ đồ kh i
ố hình 1 ta có:
Bài 1-5:
Cho hệ th ng
ố đ c
ượ trình bày hình d i.
ướ Hãy tìm m i
ố quan hệ gi a
ữ u và y (
) là 1 hàm theo H1, H2, G1, G2 và G3.

3. L i
ờ gi i:
ả
Từ sơ đồ kh i
ố trên ta có đ c
ượ ph ng
ươ trình:
Từ ph ng
ươ trình (3) và (4) thay vào x2:
L y
ấ ph ng
ươ trình (5) thế vào ph ng
ươ trình (2):
Thế ph ng
ươ trình (6) vào ph ng
ươ trình (1):
Như v y:
ậ
Bài 1- 6:
Cho sơ đồ kh i
ố c a
ủ hệ th ng
ố như sau:
Hãy tìm hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố và t i
ố gi n
ả sơ đồ kh i
ố .
L i
ờ gi i:
ả
Hệ th ng
ố có 2 khâu ph n
ả h i.
ồ Ta s p
ắ x p
ế l i
ạ sao cho chỉ còn 1 khâu ph n
ả h i.
ồ
Chuy n
ể đi m
ể A c a
ủ khâu ph n
ả h i
ồ phía d i
ướ t i
ớ đi m
ể A’ thì ph i
ả bi n
ế đ i
ổ H2
thành

4. Chuy n
ể đi m
ể B ở phía trên t i
ớ đi m
ể B’ thì H1 đ c
ượ bi n
ế đ i
ổ thành:
Sơ đồ kh i
ố đ c
ượ chuy n
ể đ i
ổ t ng
ươ đ ng
ươ thành:
2 khâu ph n
ả h i
ồ đ c
ượ chuy n
ể thành 1 khâu , v i
ớ :
Từ sơ đồ kh i
ố v a
ừ có, ta có đ c
ượ hàm truy n
ề đ c
ượ đ n
ơ gi n
ả hóa như sau:
Bài 1-7: Thu g n
ọ sơ đồ c a
ủ hệ th ng
ố đi u
ề khi n
ể vòng kín nhi u
ề vòng hình
d i
ướ thành sơ đồ đ n
ơ gi n:
ả
Gi i:
ả
Để có thể thu g n
ọ sơ đồ trên c n
ầ ph i
ả dùng nh ng
ữ quy t c
ắ sau:
+ thành
+ thành

5. + thành
Sử d ng
ụ quy t c
ắ 2 sẽ chuy n
ể đ c
ượ kh i
ố H2 ra sau kh i
ố G4. Sử d ng
ụ quy t c
ắ 3
sẽ khử đ c
ượ vòng G3.G4. G1. Đ a
ư ra đ c
ượ sơ đồ t ng
ươ đ ng
ươ như hình d i.
ướ
Khử vòng
2
4
H
G
sẽ đ c:
ượ
Cu i
ố cùng, thu g n
ọ l i
ạ theo nguyên t c
ắ 1 khử vòng H3 đ c
ượ sơ đồ thu g n
ọ như
hình d i:
ướ
Bài 1- 8: Mô hình m ch
ạ khu ch
ế đ i
ạ đ c
ượ đ a
ư ra như hình d i:
ướ
- Cho 4
10
A >
- Tính hệ số khu ch
ế đ i
ạ
0
in
V
e

6. - Dòng vào đ c
ượ xem như không đáng kể do trở kháng đ u
ầ vào c a
ủ bộ
khu ch
ế đ i
ạ là r t
ấ l n
ớ
Gi i
ả
Do dòng đi n
ệ vào cuẩ bộ khu ch
ế đ i
ạ là b ng
ằ 0 nên dòng đi n
ệ đi qua R1 và R2 là
b ng
ằ nhau nên bi u
ể th c
ư toán t i
ạ nút n là:
Vì hệ số khu h
ế đ i
ạ là A nên ta có
G p
ộ hai phép tính vào ta có:
Hay:
Có thể vi t
ế l i
ạ bi u
ể th c
ứ cu i
ố cùng như sau:
T i
ạ đó
Do 4
10
A > nên ta có
Nên ta có sơ đồ dòng tín hi u
ệ cua bộ khu h
ế đ i
ạ là:

7. Bài 1- 10: M ch
ạ đi n
ệ bao g m
ồ đi n
ệ trở và tụ đi n
ệ đ c
ượ chỉ ra trong hình .
Sơ đồ kh i
ố đ c
ượ chỉ ra trong hình 2. Yêu c u
ầ tìm t t
ấ cả các hàm truy n
ề từ
G1 cho đ n
ế G6. thu g n
ọ sơ đồ hình 2 về sơ đồ hình 3:
Gi i:
ả
Áp d ng
ụ các đ nh
ị lu t
ậ gi i
ả m ch
ạ đi n
ệ ta đ c
ượ ma tr n
ậ như hình d i:
ướ
Và
Từ hình 2 ta có:

8. Và: vì
Nhân và so sánh các thành ph n
ầ c a
ủ ma tr n
ậ ta có:
Tính các hệ số c a
ủ bi u
ể th c
ứ trên:
Có thêm :
Thay đ i
ổ các vòng trên sơ đồ hình 2 ta tìm đ c
ượ

9. Bài 1-14: Cho sơ đồ đi u
ề khi n
ể đ ng
ộ cơ DC như hình d i.
ướ
Tìm hàm truy n.
ề Cho các thông số sau:
Gi i:
ả
Các ph ng
ươ trình toán h c
ọ mô tả hệ th ng:
ố
Th c
ự hi n
ệ bi n
ế đ i
ổ laplace ta có:

10. V y
ậ hàm truy n
ề là:
Đ t:
ặ
V i
ớ bi u
ể th c
ứ (*) t ng
ươ đ ng
ươ v i:
ớ
T i
ạ đó ta có:
Có cơ năng ph i
ả b ng
ằ đi n
ệ năng nên ta có:
Có :
Tính các hệ s :
ố

11. V y
ậ hàm truy n
ề tìm đ c
ượ là:
Bài 1-15: Cho hệ th ng
ố nhi u
ề vòng l p
ậ và sơ đồ vòng tín hi u
ệ c a
ủ nó như hình 1
và hình 2.
Tìm hàm truy n
ề vòng kín c a
ủ hệ th ng
ố sử d ng
ụ công th c
ứ Mason.
Bài làm:
Độ l i
ợ c a
ủ các vòng ti n:(
ế tín hi u
ệ th ng
ẳ từ đ u
ầ vào đ n
ế đ u
ầ ra)
P1=G1G2G3
Độ l i
ợ c a
ủ các vòng kín( hệ th ng
ố có 3 vòng kín)
L1=G1G2H1
L2= - G2G3H2
L3= - G1G2G3
Trong hệ th ng
ố này t t
ấ cả các vòng kín cùng n m
ằ trên m t
ộ nhánh nên đònh
thöùc cuûa sô ñoà doøng tín hieäu:
∆ = 1 − (L1 + L2 + L3 )
Đ nh
ị th c
ứ con: (đ c
ượ tính b ng
ằ ∆κ trừ đi các vòng không dính v i
ớ Pk)

12. ∆1= 1
V y
ậ hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố là:
Bài 1-20: Cho sơ đồ vòng tín hi u
ệ c a
ủ hệ th ng
ố như hình v ,
ẽ tìm hàm truy n
ế
Bài làm:
Độ l i
ợ c a
ủ các vòng ti n:(
ế tín hi u
ệ th ng
ẳ từ đ u
ầ vào đ n
ế đ u
ầ ra)
Độ l i
ợ c a
ủ các vòng kín( hệ th ng
ố có 3 vòng kín)
Trong hệ th ng
ố này có 2 vòng kín không dính nhau là L1 và L2 nên đònh thöùc
cuûa sô ñoà doøng tín hieäu:
∆ = 1 − (L1 + L2 + L3 ) + L1 L2
∆ =
Đ nh
ị th c
ứ con: (đ c
ượ tính b ng
ằ ∆κ trừ đi các vòng không dính v i
ớ Pk)
∆1= 1
V y
ậ hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố là:

13. Bài 1-24: Sử d ng
ụ công th c
ứ mason để tìm hàm truy n
ề vòng kín cho hệ th ng
ố có
sơ đồ vòng tín hi u
ệ như hình v :
ẽ
Bài làm:
- Ñoä lôïi cuûa caùc ñöôøng tieán:
P1 = G1G2G3G4G5 ;
P2 = G1G6G4G5 ;
P3 = G1G2G7
- Ñoä lôïi cuûa caùc voøng kín:
L1 = − G4H1 ;
L2 = − G2G7H2 ;
L3 = − G6G4G5H2 ;
L4 = − G2G3G4G5H2
Trong hệ th ng
ố này có 2 vòng kín không dính nhau là L1 và L2 nên đònh thöùc
cuûa sô ñoà doøng tín hieäu:
∆ = 1 − (L1 + L2 + L3+ L4 ) + L1 L2
Đ nh
ị th c
ứ con: (đ c
ượ tính b ng
ằ ∆κ trừ đi các vòng không dính v i
ớ Pk)
∆1 = 1 ; ∆2 = 1; ∆3 = 1 − L1
V y
ậ hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố là:

14. Bài 1-26: Cho sơ đồ kh i
ố và sơ đồ vòng tín hi u
ệ c a
ủ hệ th ng
ố như hình v .
ẽ
Dùng công th c
ứ mason tìm hàm truy n
ề vòng kín :
Bài làm:
Hệ th ng
ố có b n
ố vòng kín:
Hệ th ng
ố có 2 vòng kín không dính nhau: (vòng L1 và L2)
Đ nh
ị th c
ứ c a
ủ hệ th ng
ố là:
Hệ th ng
ố có 2 m ch
ạ th ng:
ẳ
Từ sơ đồ graph ta có các đ nh
ị th c
ứ con:

15. V y
ậ hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố là:
Bài 1-31
Viêt
́ ph ng
ươ trinh
̀ trang
̣ thai
́ cho hệ thông
́ lòxo giam
̉ chân
́ đ c
ượ cho như hinh
̀ ve.
̃
Tin
́ hiêu
̣ vao
̀ f(t) làl c
ự tac
́ dung
̣ ở đâu
̀ lòxo
Giai:
̉
Đăt
̣ y1(t) vày2(t) làhai đâu
̀ vị trícua
̉ lòxo.
Ta phân tich
́ hệ thông
́ như sau:
Ph ng
ươ trinh
̀ l c
ự tac
́ dung
̣ cua
̉ hệ thông:
́
Thếph ng
ươ trinh
̀ 1 vao
̀ 2 ta đ c:
ượ
Đăt:
̣

16. Ta đ c
ượ ph ng
ươ trinh
̀ cua
̉ hệ thông
́ như sau:
Bài 1-34
Viêt
́ ph ng
ươ trinh
̀ trang
̣ thai
́ cho mach
̣ điên
̣ sau:
Ap
́ dung
̣ cac
́ đinh
̣ luât
̣ Kirchoff 1,2 ta co:
́
Trong đó
T ̀
ư đóta viêt
́ đ c
ượ dang
̣ ph ng
ươ trinh
̀ chinh
́ tăc
́ sau:

17. Ch ng
ươ 3:
Bài 3-1:
Tìm bi n
ế đ i
ổ Laplace c a
ủ các hàm sau:
L i
ờ gi i:
ả
Dùng tích phân t ng
ừ ph n
ầ ta có:
V i
ớ :
V y:
ậ

18. Bài 3- 2: Tìm bi n
ế đ i
ổ Laplace c a
ủ hàm :
L i
ờ gi i:
ả
Dung đ nh
ị nghĩa về phép bi n
ế đ i
ổ Laplace ta có:
Công th c
ứ Euler’s:
Ta có đ c:
ượ
V y:
ậ
Bài 3-3: Dùng d ng
ạ chuy n
ể đ i
ổ Laplace sau :
và các đ nh
ị lý vi phân. Hãy tìm chuy n
ể đ i
ổ Laplace c a
ủ hàm sau:
L i
ờ gi i:
ả
Đ nh
ị lý về phép l y
ấ vi phân:
N u
ế f(t) trong mi n
ề th i
ờ gian thì:
Theo đó
Ta sử d ng
ụ đ nh
ị lý trên và ph ng
ươ trình:
Ta có đ c:
ượ

19. Bài 3-4:
Tìm bi n
ế đ i
ổ Laplace c a
ủ các hàm sau:
v i
ớ a là 1 h ng
ằ s .
ố
v i
ớ a, A là các h ng
ằ s .
ố
L i
ờ gi i:
ả
a) Theo đ nh
ị nghĩa về phép bi n
ế đ i
ổ Laplace ta có:
b) Dùng k t
ế quả câu a) ta có:
Bài 3-20:
Cho bi n
ế đ i
ổ Laplace c a
ủ hàm f(t) như sau:
Tìm f(t)
Gi i:
ả
Hàm F(s) đ c
ượ vi t
ế l i
ạ như sau:
Đ t
ặ
Có:

20. Các hệ số K1, K2, K3 đ c
ượ tính như sau:
Hàm G(s) đ c
ượ vi t
ế l i
ạ như sau:
Bi n
ế đ i
ổ laplace ng c
ượ c a
ủ hàm G(s) là:
Áp d ng
ụ thêm đ nh
ị lý:
V y
ậ ta có:
V y
ậ f(t) c n
ầ tìm là:

21. Bài 3-21:
Tìm Laplace ng c
ượ c a
ủ hàm F(s) cho ở d i
ướ v i
ớ wn là h ng
ằ số
Gi i:
ả
Ta có
Và
Sau đó có
Hàm F(s) đ c
ượ vi t
ế l i:
ạ
Thu g n
ọ l i
ạ ta có:
Trong tr ng
ườ h p
ợ này:
Bi n
ế đ i
ổ laplace có
Có:
Và

22. Ta sử d ng
ụ
Vì v y
ậ f(t) tìm đ c
ượ là:
Bài 3-23:
Cho hàm Laplace X(s)
Tìm x(t)
Gi i
ả
Phân tích X(s) thành các h ng
ạ tử
Có thể vi t
ế l i
ạ X(s) thành d ng
ạ sau:
Ta có
Có:

23. X(s) đ c
ượ vi t
ế l i
ạ như sau:
Có:
Bài 3-24: Tìm laplace ng c
ượ c a
ủ hàm X(s) qua ph ng
ươ pháp bi n
ế đ i
ổ tích phân
Gi i:
ả
X(s) đ c
ượ vi t
ế l i
ạ là:
Áp d ng
ụ ph ng
ươ pháp tích phân ta có:
T i
ạ đó có:
Vì v y
ậ có:

24. Và
Có hàm x(t) là:
BÀI 3-25: bi n
ế đ i
ổ laplace c a
ủ x(t) là X(s) có ph ng
ươ trình sau :
Tìm x(t).
Bài làm:
Ta phân tích ph ng
ươ trình X(s) thành t ng
ổ c a
ủ nh ng
ữ hàm đ n
ơ gi n.
ả
Chúng ta chú ý r ng
ằ :
V y
ậ :
Chúng ta tính các h ng
ằ số b ng
ằ cách cân b ng
ằ các hệ số :

25. V y
ậ laplace ng c
ượ ta đ c
ượ x(t) :
Vì áp d ng
ụ công th c
ứ :
Bài 3-26: Tìm laplace ng c
ượ c a
ủ hàm:
Bài làm:
Ta vi t
ế l i
ạ hàm F(s) như sau:
Áp d ng
ụ đ nh
ị lí trễ và laplace ng c
ượ c a
ủ hàm sin và cost a đ c:
ượ
Đ nh
ị lí tr :
ễ
V y
ậ ta có:
Bài 3-27: Tìm laplace ng c
ượ c a
ủ hàm:

26. Bài làm:
Ta vi t
ế l i
ạ hàm F(s):
Ta ti n
ế hành quy đ ng
ồ và sau đó đ ng
ồ nh t
ấ các hệ số v i
ớ ph ng
ươ trình chu n
ẩ đã
cho => ta tìm đ c
ượ các hệ s :
ố a1= -0.5; a2=0; a3= 0.5.
V y
ậ ta đ c:
ượ

 f(t)=
Bài 3-28
Biên
́ đôi
̉ Laplace ng c
ượ cua
̉ ham
̀ sau:
Giai:
̉
Chia tử sốcho mẫ
u sốta được:
Tôi
́ gian
̉ phân th c
́
ư ta đ c:
ượ
Lây
́ anh
̉ Laplace ng c
ượ ta co:
́
Bài 3-29
Biên
́ đôi
̉ Laplace ng c
ượ cua
̉ ham
̀ sau:
Giai:
̉

27. Ta phân tich
́ F(s) thanh
̀ cac
́ phân sốthanh
̀ phân:
̀
Ta tim
̀ cac
́ hệ sốa1, a2, a3 như sau:
T ̀
ư đóta tim
̀ đ c:
ượ
Bài 3-34
Tim
̀ biên
́ đôi
̉ ng c
ượ cua
̉ X(s) đ c
ượ cho b i
ở ph ng
ươ trinh:
̀
V i
́
ơ cac
́ điêu
̀ kiên
̣ đâu
̀
Giai:
̉
Biên
́ đôi
̉ Laplace cua
̉ ph ng
ươ trinh
̀ vi phân
Ap
́ dung
̣ cac
́ điêu
̀ kiên
̣ cho tr c
́
ươ ta cóđ c
ượ
hoăc
̣

28. Biên
́ đôi
̉ Laplace ng c
ượ ta cóđ c:
ượ
Ch ng
ươ 5
Bài 5-1
Cho hệ thông
́ cósơ đồkhôi
́ như hinh
̀ vẽsau. Hay
̃ xac
́ đinh
̣ ham
̀ truyên
̀ cua
̉ hệ
thông
́
Giai:
̉
Ham
̀ truyên
̀ cua
̉ hệ thông
́ códang
̣
trong đo:
́
va:
̀
Do đóta co:
́
Bài 5-2
Cho hệ thông
́ cósơ đồkhôi
́ như sau. Hay
̃ xac
́ đinhham
̀
̣ truyên
̀ cua
̉ hệ thông
́

29. Giai:
̉
Tai
̣ cac
́ điêm
̉ 1,2,3 ta cócac
́ giátrị
Th c
ự hiên
̣ phep
́ nhân vàgiai
̉ ph ng
ươ trinh
̀ ta tim
̀ đ c
ượ ham
̀ truyên
̀ cua
̉ hệ thông
́
Bài 5-3
Ch ng
́
ư minh răng
̀ ham
̀ truyên
̀ cua
̉ hai hệ thông
́ sau lànhư nhau
Giai:
̉
Ở sơ đồkhôi
́ th ́
ư nhât
́ ta cóquan hệ gi a
̃
ư u vày
T ̀
ư đóta rut
́ ra đ c
ượ ham
̀ truyên
̀

30. Ở sơ đồkhôi
́ th ́
ư hai ta có
T ̀
ư đóta rut
́ ra đ c
ượ ham
̀ truyên
̀ cua
̉ hệ thông
́
Bài 5-4: cho hệ th ng
ố như hình vẽ có 2 tín hi u
ệ vào, m t
ộ tín hi u
ệ chu n
ẩ và m t
ộ
tín hi u
ệ nhi u.
ễ chỉ ra r ng
ằ ph ng
ươ trình đ c
ặ tính c a
ủ hệ th ng
ố sẽ không thay
đ i
ổ khi thay thế tín hi u
ệ vào chu n
ẩ b ng
ằ tín hi u
ệ vào là nhi u.
ễ
Bài làm:
Hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố khi bỏ qua tín hi u
ệ nhi u
ễ có d ng
ạ sau:
Hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố khi bỏ qua tín hi u
ệ chu n
ẩ có d ng
ạ sau:
Ta th y
ấ ph ng
ươ trình đ c
ặ tính c a
ủ hệ th ng
ố khi bỏ tín hi u
ệ nhi u
ễ tác đ ng
ộ vào
hệ th ng
ố ho c
ặ là bỏ tín hi u
ệ chu n
ẩ tác đ ng
ộ vào hệ th ng
ố là gi ng
ố nhau:
Bài 5-5: tìm hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố c a
ủ sơ đồ kh i
ố sau đây:
Bài làm:
Ta có:
Ө0= G Өe *
Өe= Өi – Өb **
Өb= H Ө0 ***
Thay (***) vào (**) ta đ c:
ượ
Өe= Өi - H Ө0 ****
Thay (****) vào (*) :
Ө0= G (Өi - H Ө0)

31.  Hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố là:
Bài 5-6: tìm hàm truy n
ề vòng kín c a
ủ hệ th ng
ố cho b i
ở hình vẽ sau:
Bài làm:
Từ sơ đồ ta có:
K t
ế h p
ợ các ph ng
ươ trình trên ta đ c:
ượ
 Hàm truy n
ề vòng kín c a
ủ hệ là:
Bài 5-7:
Tìm hàm truy n
ề c a
ủ các hệ th ng
ố từ sơ đồ kh i
ố cho b i
ở hình 1 t i
ớ hình 4

32. Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
L i
ờ gi i:
ả
Hình 1: Đ t
ặ X1,X2, X3 như sau :
Từ sơ đồ kh i
ố trên ta có:
K t
ế h p
ợ t t
ấ cả 4 ph ng
ươ trình trên ta có:
T ng
ươ tự như cách làm trên ta tính cho các hình còn l i:
ạ

33. Hình 2:
Hình 3:
Hình 4:
Bài 5-8: Từ sơ đồ kh i
ố hãy tìm hàm truy n
ề
L i
ờ gi i:
ả
Đ t
ặ ngõ ra c a
ủ G2(s) là X(s) ta có:
T i
ạ đi m
ể (1) :
T i
ạ đi m
ể (2):
Và đ i
ố v i
ớ X(s):
T i
ạ đi m
ể (4):
Đ i
ố v i
ớ ngõ ra C(s) ta có đ c:
ượ
Như v y:
ậ
Bài 5-12:
Xác đ nh
ị hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố lò xo cho bên d i.
ướ Độ d ch
ị chuy n
ể x là
ngõ vào và độ d ch
ị chuy n
ể y là ngõ ra c a
ủ hệ th ng.
ố

34. L i
ờ gi i:
ả
Giả sử hệ d ch
ị chuy n
ể về phía trái, lo xo sinh ra l c
ự đàn h i
ồ có ph ng
ươ trình:
Kh i
ố damper sẽ t o
ạ ra l c
ự :
Sử d ng
ụ đ nh
ị lu t
ậ Newton cho t ng
ổ các l c
ự tác đ ng
ộ vào kh i
ố M , ta có:
Hay
Chuy n
ể đ i
ổ ph ng
ươ trình và giả sử đi u
ề ki n
ệ ban đ u
ầ b ng
ằ 0, ta có:
Hàm truy n
ề là:
Bài 5-13:
Tìm hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố đ c
ượ chỉ ra như hình d i:
ướ
Gi i
ả
Từ sơ đồ ta đ a
ư ra phép toán:

35. Bi n
ế đ i
ổ phép tính thứ nh t
ấ và phép tính thứ 2 ta có:
Tìm đ c
ượ ma tr n
ậ véctơ
Hàm truy n
ề c a
ủ hệ là:
Bài 5-16:
Tìm hàm truy n
ề c a
ủ m ch
ạ đi n
ệ hình d i
ướ

36. Áp d ng
ụ đ nh
ị lu t
ậ Kirchhoff cho m ch
ạ đi n
ệ trên
Cho đi n
ệ áp đ u
ầ ra:
K t
ế h p
ợ hai phép tính ta có
Bi n
ế đ i
ổ laplace cho bi u
ể th c
ứ trên:
Hàm truy n
ề và sơ đồ c a
ủ hệ th ng
ố
Bài 5-17:
Tìm hàm truy n
ề c a
ủ đ ng
ộ cơ servo hai pha như hình d i.
ướ Đi n
ệ áp l n
ớ nh t
ấ c a
ủ
hai pha là 115 V.
Mô men quán tính là:
Hệ số ma sát tr t
ượ là:

37. Gi i
ả
Hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố có thể tìm đ c
ượ từ nh ng
ữ phép tính sau:
Kc, Kn là nh ng
ữ h ng
ằ số
T: Mômen xo n
ắ
θ : Góc c a
ủ tr c
ụ đ ng
ộ cơ
Ec: Đi n
ệ áp đi u
ề khi n
ể
J: Mômen quán tính
G p
ộ hai công th c
ứ l i
ạ ta có:
Chuy n
ể đ i
ổ sang laplace v i
ớ đi u
ề khi n
ệ ban đ u
ầ là 0
Hàm truy n
ề là:
V i
ớ

38. Có:
V y
ậ ta có hàm tuy n
ề là:
Ch ng
ươ 6
Bài 6-2
Cho hệ thông
́ cơ khínhư hinh
̀ vẽd i
́
ươ đây, trang
̣ thai
́ ban đâu
̀ làtrang
̣ thai
́ nghi.
̉
L c
ự tac
́ dung
̣ vao
̀ hệ thông
́ làham
̀ xung đ n
ơ vi.
̣ Hay
̃ tim
̀ ph ng
ươ trinh
̀ chuyên
̉
đông
̣ cua
̉ vât.
̣
Giai:
̉
Ap
́ dung
̣ đinh
̣ luât
̣ II Newton ta cóđ c
ượ
Biên
́ đôi
̉ Laplace ta có
Ban đâu
̀ hệ thông
́ ở trang
̣ thai
́ nghỉ do đóta có
Ta tinh
́ đ c
ượ X(s)

39. Tiên
́ hanh
̀ lây
́ anh
̉ Laplace ng c
ượ ta có
Trong đó
làbiên độ dao đông.
̣
Bài 6-3
Cho hệ thông
́ cósơ đồkhôi
́ như hinh
̀ sau. Xac
́ đinh
̣ cac
́ thông sốK, k để độ vot
̣ lố
tôi
́ đa là50% vàth i
̀
ơ gian tăng tr ng
ưở là5s
Giai:
̉
Độ vot
̣ lốtôi
́ đa Mp xac
́ đinh
̣ b i
ở công th c:
́
ư
Theo đềbai
̀ ta cóMp= 50%
hoăc
̣

40. Th i
̀
ơ gian tăng tr ng
ưở 5s
Tân
̀ sốtăng tự nhiên:
T ̀
ư sơ đồkhôi
́ ta có
V ́
ơ hệ thông
́ binh
̀ th ng
̀
ươ
v i
́
ơ cac
́ hệ số
T ̀
ư đóta cóđ c
ượ
Bài 6-4: cho hệ th ng
ố bên d i
ướ có các thông số như sau: ξ=0.4 và ωn= 5 rad/s.
Hệ th ng
ố ch u
ị tác đ ng
ộ b i
ở tín hi u
ệ b c
ướ đ n
ơ v .
ị Tìm th i
ờ gian tăng tr ng
ưở tr ,
th i
ờ gian quá ch nh
ỉ tp , độ v t
ọ lố Mp và th i
ờ gian quá độ ts .

41. Bài làm:
V i
ớ ξ=0.4 và ωn= 5 rad/s. Ta tìm đ c
ượ :
Th i
ờ gian tăng tr ng:
ưở
Mà

Th i
ờ gian quá ch nh:
ỉ
Độ v t
ọ l :
ố
Th i
ờ gian quá đ :
ộ
V i
ớ sai số 2%:
V i
ớ sai số 5%:

42. Bài 6-7: Cho hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng.
ố tìm đáp ng
ứ b c
ướ ngõ ra c a
ủ hệ th ng
ố khi
tín hi u
ệ vào là b c
ướ đ n
ơ v .
ị
Bài làm:
Khi R(s)=1/s. Ta sẽ đ c
ượ Y(s) như sau:
Ta khai tri n
ể Y(s) thành t ng
ổ c a
ủ các hàm đ n
ơ gi n
ả :
Sau đó tìm các hệ số A, B, C, D :
V y
ậ Y(s) đ c
ượ vi t
ế l i
ạ như sau:

43. Laplace ng c
ượ Y(s) thì ta tìm đ c
ượ y(t) :
Bài 6-9:
Cho hệ th ng
ố đ c
ượ miêu tả b i
ở ph ng
ươ trình:
Sử d ng
ụ :
a) Trong mi n
ề th i
ờ gian
b) Trong mi n
ề t n.
ầ
Hãy tìm đáp ng
ứ ở tr ng
ạ thái nghỉ v i
ớ tín hi u
ệ đ u
ầ vào là b c
ướ đ n
ơ vị
L i
ờ gi i:
ả
Hàm truy n
ề c n
ầ tìm có d ng:
ạ
V y:
ậ
a) Đáp ng
ứ xung c a
ủ hệ th ng
ố là hàm ngư c
ợ c a
ủ G(s):
b) Trong mi n
ề t n
ầ số
Theo đó:

44. V i
ớ
Ta có:
Đ ng
ồ nh t
ấ hệ th c
ứ ta có:
V y
ậ
L y
ấ Laplace ng c
ượ ta đ c:
ượ
Bài 6-10:
Hệ th ng
ố có hàm truy n
ề vòng kín là:
Hãy tìm đáp ng
ứ xung c a
ủ hệ th ng
ố này.
L i
ờ gi i:
ả
Ta có hàm xung r(s) = 1 và:

45. V i:
ớ
Ta có thể vi t
ế l i
ạ đ c
ượ y(s) như sau:
Các hệ số đ c
ượ xác đ nh
ị như sau:
Ta có đ c:
ượ
Chuy n
ể đ i
ổ ng c
ượ hàm truy n
ề có d ng:
ạ
Trong đó :
V y:
ậ

46. Bài 6-12:
Cho hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố
Cho tìm đáp ng
ứ th i
ờ gian c a
ủ hệ th ng.
ố Tìm đáp ng
ứ th i
ờ gian c a
ủ hệ
th ng
ố
Gi i
ả
V i
ớ đi u
ề ki n
ệ ban đ u
ầ là 0. Có bi n
ế đ i
ổ Laplace là:
V i
ớ
Và
• là d ng
ạ chu n.
ẩ Sử d ng
ụ bi n
ể đ i
ổ t ng
ươ đ ng
ươ ta có:
Ta có:

47. Bài 6-13: Cho hệ th ng
ố đi u
ề khi n
ể như hình d i:
ướ
Cho K và P sao cho độ v t
ọ lố l n
ớ nh t
ấ khi đ u
ầ vào là đáp ng
ứ đ n
ơ vị là 0.4.
Th i
ờ gian đ nh
ỉ là 1s. Tìm th i
ờ gian lên
Gi i
ả
Có độ v t
ọ lố là:
Do Mp=0.4 nên
Th i
ờ gian đ nh
ỉ là:
Có:

48. Từ sơ đồ hình vẽ ta có:
Có:
Th c
ự hi n
ệ sự đ ng
ồ nh t
ấ
Th i
ờ gian lên là:
T i
ạ đó:
Nên:
Ch ng
ươ 7

49. Bài 7-1: cho khâu tích phân như hình 1, vẽ bi u
ể đồ nyquist cho hệ th ng
ố khi
K>0.
Bài làm:
Từ sơ đồ ta tính đ c
ượ hàm truy n
ề vòng hở như sau:
Vẽ bi u
ể đồ đáp ng
ứ c a
ủ đ i
ố t ng
ượ v i
ớ hàm truy n
ề vòng hở F(s) . Hình 2 mô tả
đáp ng
ứ c a
ủ hệ th ng
ố khi đ t
ặ S=jω.
Cho k>0 đáp ng
ứ là đóng về phía bên ph i,
ả đi u
ề đó có thể chỉ ra r ng
ằ khi s=R
=>∞ khi F(R)>0. Đi m
ể -1 không bị bao b i
ở đáp ng,
ứ vì v y
ậ hệ th ng
ố là n
ổ đ nh
ị
theo nyquist.
F(s) có 1 zero trên đ i
ố t ng
ượ nên đi m
ể u n
ố cong c a
ủ đồ thị t i
ạ đi m
ể S=∞ khi
qua góc t a
ọ đ .
ộ
Bài 3: chỉ ra sự n
ổ đ nh
ị c a
ủ hệ th ng
ố khi thay đ i
ổ K2 v i
ớ hàm truy n
ề vòng hở
như sau:
Cho bi u
ể đồ myquist như hình vẽ khi T4> T1 , T2 , T3 .

50. Bài làm :
Di m
ể -1+j0 không bị bao b i
ở đáp ng
ứ vì v y
ậ hệ th ng
ố n
ổ đ nh.
ị Tuy nhiên khi ta
tăng giá trị k2 đủ l n
ớ thì đáp ng
ứ có thể bao đi m
ể -1+j0 và hệ th ng
ố sẽ trở thành
giao đ ng.
ộ
Bài 4 : cho hệ th ng
ố có hàm truy n
ề vòng hở như sau :
Vẽ bi u
ể đồ nyquist và xét tính n
ổ đ nh
ị c a
ủ hệ th ng.
ố
Bài làm :
- Ph n
ầ t i
ạ Góc t a
ọ độ c a
ủ đ i
ố t ng
ượ :
Chúng ta xét vòng bao bán nguy t
ệ t ng
ượ tr ng
ư quanh đi m
ể c c
ự b i
ở
s=εejΦ
.
Khi Φ bi n
ế đ i
ổ từ -900
t i
ạ ω=0-
đ n
ế +900
t i
ạ ω=0+
. Ta có :
V y
ậ góc c a
ủ đ ng
ườ bao c a
ủ đáp ng
ứ sẽ thay đ i
ổ từ -900
t i
ạ ω=0-
đ n
ế +900
t i
ạ
ω=0+
, nó đi qua đi m
ể 00
t i
ạ ω=0.
- Ph n
ầ từ ω=0+
đ n
ế ω=+∞
Khi s=jω thì GH(s)|s=jω= GH(jω) ta có:
Độ l n
ớ ti n
ế về 0 t i
ạ góc -1800
.
- Ph n
ầ từ ω=+∞ đ n
ế ω=-∞

51. Khi Φ thay đ i
ổ từ Φ =+900
t i
ạ ω=+∞ đ n
ế Φ =-900
t i
ạ ω=-∞. Đ ng
ườ bao di
chuy n
ể từ -1800
t i
ạ ω= +∞ đ n
ế góc 1800
t i
ạ ω= -∞ v i
ớ độ l n
ớ không đ i.
ổ
Bài 7-7 : cho hàm truy n
ề vòng hở c a
ủ hệ th ng.
ố Vẽ bi u
ể đồ quỹ tích nghi m
ệ
c a
ủ hệ th ng.
ố
Bài làm :
Từ hàm truy n
ề vòng hở ta tính đ c
ượ ba đi m
ể c c
ự c a
ủ hệ th ng,
ố D=-20, và 2
đi m
ể D=0. Hệ th ng
ố có 1 đi m
ể zero D=-12. Vì v y
ậ quỹ tích nghi m
ệ c a
ủ hệ
th ng
ố sẽ có 2 nhánh xu t
ấ phát từ 0 khi K0=0 và ti n
ế đ n
ế ∞ khi K0=∞ , m t
ộ
nhánh xu t
ấ phát từ -20 khi K0=0 và ti n
ế đ n
ế -12 khi K0=∞ .
Góc c a
ủ các đ ng
ườ ti m
ệ c n
ậ và đi m
ể xu t
ấ phát c a
ủ các đ ng
ườ ti m
ệ c n
ậ là :
V y
ậ quỹ tích nghi m
ệ có d ng
ạ ;

52. Bài 7-8
Cho hệ thông
́ cóham
̀ truyên
̀ như sau:
V i
́
ơ K làhăng
̀ số
Hay
̃ xac
́ đinh
̣ môi
́ quan hệ gi a
̃
ư giátrị cua
̉ K vàđăc
̣ tinh
́ cua
̉ hệ thông
́
Giai:
̉
Ph ng
ươ trinh
̀ đăc
̣ tinh
́ cua
̉ hệ thông
́ la:
̀
Giai
̉ ph ng
ươ trinh
̀ trên ta tim
̀ đ c
ượ nghiêm:
̣

53. Vìph ng
ươ trinh
̀ đăc
̣ tinh
́ cóhai nghiêm
̣ th c
ự nên biêu
̉ đồquĩtich
́ nghiêm
̣ cóhai
nhanh.
́ Khi K=0, D1=0 vàD2=0 làhai điêm
̉ xuât
́ phat
́ cua
̉ đ ng
̀
ươ quĩtich
́ nghiêm.
̣
Hai nghiêm
̣ D1 vàD2 không thể lànghiêm
̣ ph c
́
ư v i
́
ơ bât
́ kìgiátrị nao
̀ cua
̉ K vì16 +
K2
> 0. Cac
́ nghiêm
̣ nay
̀ luôn làsốth c
ự âm vì
Khi K → ∞
1) D1 → -2, do đóquĩtich
́ nghiêm
̣ cua
̉ D1 làđoan
̣ t ̀
ư 0 đên
́ -2 trên truc
̣ th c.
ự
2) D2 → -∞, do đóquĩtich
́ nghiêm
̣ cua
̉ D2 làđoan
̣ t ̀
ư -4 đên
́ -∞ trên truc
̣ th c.
ự
T ̀
ư biêu
̉ đồquĩtich
́ nghiêm
̣ ta nhân
̣ thây
́ tât
́ cả cac
́ nghiêm
̣ đêu
̀ năm
̀ bên trai
́ măt
̣
phăng
̉ ph c
́
ư do đóhệ thông
́ làôn
̉ đinh
̣ v i
́
ơ moi
̣ giátrị cua
̉ K.
Bài 7-10
Vẽbiêu
̉ đồquĩtich
́ nghiêm
̣ cua
̉ ham
̀
Giai:
̉
1) Hệ không cóđiêm
̉ zero. Cac
́ điêm
̉ c c
ự làs = 0 , s = -4 , s = -16. Cac
́ nhanh
́
cua
̉ quĩtich
́ băt
́ đâu
̀ t ̀
ư cac
́ c c
ự cua
̉ vong
̀ hở vàkêt
́ thuc
́ tai
̣ cac
́ điêm
̀ zero.
2) Quĩtich
́ nghiêm
̣ năm
̀ trên truc
̣ th c
ự gi a
̃
ư điêm
̉ s = 0 vàs = -4 , s = -16 vàs =
-∞. Quĩtich
́ nghiêm
̣ năm
̀ trên truc
̣ th c
ự khi có môt
̣ sốlẻ cac
́ điêm
̉ c c
ự và
zero bên phai
̉ điêm
̉ đo.
́
3) Goc
́ tiêm
̣ cân
̣ là
V i
́
ơ k = 0 thìα = 600
k = 1 thìα = 1800
k = 2 thìα = 3000
4) Giao điêm
̉ cua
̉ đ ng
̀
ươ tiêm
̣ cân
̣ vàtruc
̣ th c
ự la:
̀
5) Điêm
̉ tach
́ nhâp
̣ đ c
ượ xac
́ đinh
̣ băng
̀ cach:
́
hoăc
̣
Giátrị xâp
́ xỉ cua
̉ Sb là

54. Goc
́ tach
́ nhâp
̣ t ̀
ư truc
̣ th c
ự là±900
6) Giátrị l n
́
ơ nhât
́ cua
̉ K để hệ thông
́ ôn
̉ đinh
̣ cóthể xac
́ đinh
̣ đ c
ượ băng
̀ cach
́
thay s = jω, t ̀
ư đo:
́
Đăt
̣ KGH(jω) = -1 ta co:
́
Giai
̉ ra ta tim
̀ đ c
ượ K
Để K làsốth c
ự thìω2
– 64 phai
̉ băng
̀ ‘0’
Do đóω = ±8
Thay vao
̀ ta tim
̀ đ c
ượ K = 20
Biêu
̉ đồquĩtich
́ nghiêm
̣ cua
̉ hệ thông
́ như hinh
̀ vẽsau
Bài 7-12
Cho hệ thông
́ sau

55. Vẽbiêu
̉ đồquĩtich
́ nghiêm
̣
Giai:
̉
Nghiêm
̣ cua
̉ ph ng
ươ trinh
̀ đăc
̣ tinh
́ là
Để 9 – 4K > 0 tât
́ cả cac
́ nghiêm
̣ đêu
̀ làsốth c
ự âm, ta có
v i
́
ơ
V i
́
ơ K > 2 4
1
, nghiêm
̣ làcăp
̣ sốph c
́
ư v i
́
ơ phân
̀ th c
ự băng
̀ -1 2
1
vàphân
̀ ao
̉
băng
̀
Phân
̀ ao
̉ sẽtiên
́ đên
́ vô cung
̀ khi K → ∞
V i
́
ơ moi
̣ giátrinh
̣ cua
̉ K thìhệ thông
́ ôn
̉ đinh
̣ vìtât
́ cả cac
́ nghiêm
̣ đêu
̀ năm
̀ bên
trai
́ măt
̣ phăng
̉ ph c
́
ư
Biêu
̉ đồquĩtich
́ nghiêm:
̣

56. Bài 7-14
Cho ham
̀ truyên
̀ hệ thông
́ vong
̀ hở như sau
Vẽbiêu
̉ đồquĩtich
́ nghiêm
̣
Giai:
̉
1) Ham
̀ truyên
̀ cua
̉ hệ thông
́ là
2) Cac
́ điêm
̉ c c
ự là0 , -1-j , -1+j
Do đóquĩtich
́ nghiêm
̣ sẽcóba nhanh,
́ băt
́ đâu
̀ t ̀
ư nh ng
̃
ư điêm
̉ cóK’=0
3) Môi
̃ nhanh
́ quĩtich
́ sẽkêt
́ thuc
́ tai
̣ ∞, b i
ở vìkhông cóđiêm
̉ zero. Goc
́ tiêm
̣
cân
̣ cua
̉ cac
́ nhanh
́ khi K’ → ∞ sẽlà
Tiêm
̣ cân
̣ sẽcăt
́ truc
̣ th c
ự tai
̣ điêm
̉
4) Không cócac
́ điêm
̉ tach
́ nhâp.
̣ Môt
̣ nhanh
́ quĩtich
́ sẽbăt
́ đâu
̀ t ̀
ư 0 khi K’ = 0
vàtiên
́ theo truc
̣ th c
ự âm về-∞ khi K’ → +∞
5) Thay jb vao
̀ D ta sẽtim
̀ đ c
ượ điêm
̉ căt
́ cua
̉ quĩtich
́ nghiêm
̣ v i
́
ơ truc
̣ ao
̉

57. Giai
̉ ra ta tim
̀ đ c
ượ
Như vây
̣ quĩtich
́ căt
́ truc
̣ ao
̉ tai
̣
6) Goc
́ xuât
́ phat
́ t ̀
ư điêm
̉ c c
ự -1+j
T ̀
ư điêm
̉ c c
ự -1-j
Biêu
̉ đồquĩtich
́ nghiêm
̣
Bài 7-15:
Cho hàm truy n
ề vòng hở c a
ủ hệ th ng
ố là:
Xác đ nh
ị giá trị c a
ủ K0’ sao cho hệ th ng
ố n
ổ đ nh
ị và vẽ quỹ tích nghi m
ệ
c a
ủ hệ th ng?
ố
L i
ờ gi i:
ả
Ph ng
ươ trình đ c
ặ tính c a
ủ hệ th ng
ố có 3 nghi m,
ệ vì v y
ậ quỹ tích nghi m
ệ có 3
nhánh. Quỹ tích b t
ắ đ u
ầ ở đi m
ể 0, -1, -8 và k t
ế thúc ở đi m
ể vô cùng, Góc ti m
ệ
c n
ậ là:

58. Đ ng
ườ ti m
ệ c n
ậ c t
ắ tr c
ụ th c
ự t i
ạ đi m:
ể
1 đi m
ể tách n m
ằ gi a
ữ 0 và 1. Quỹ tích v n
ẫ liên t c
ụ trên tr c
ụ th c
ự gi a
ữ 0 và -1,
và gi a
ữ đi m
ể -8 và -
Ph ng trình đ c tính c a h th ng là:
ươ ặ ủ ệ ố
Hay
Để tìm đi m
ể tách , chúng ta l y
ấ đ o
ạ hàm:
Gi i
ả ph ng
ươ trình
Ta đ c
ượ
D=-0.5 và D=-5.5.
Như v y,
ậ D=-0.5 t ng
ươ ng
ứ v i
ớ đi m
ể tách. V y
ậ K0’ là:
Thay jb=D vào ph ng
ươ trình đ c
ặ tính:
Ta có
Gi i
ả ta có:
Ta nh n
ậ th y
ấ quỹ tích nghi m
ệ c t
ắ tr c
ụ o
ả t i
ạ , ng
ứ v i
ớ K0’ = 72. Hàm
truy n
ề vòng kín không có đi m
ể c c
ự và đi m
ể zero. T ng
ổ các nghi m
ệ c a
ủ ph ng
ươ
trình đ c
ặ tính là -9. V i
ớ K0’ =72 thì 2 nghi m
ệ là -2.83 và 2.83. Như v y
ậ cả 3
nghi m
ệ ph i
ả là -9. Chúng ta th y
ấ r ng
ằ K0’ =72 xác đ nh
ị t i
ạ -9 trên nhánh b t
ắ
đ u
ầ từ -8 t i
ớ -
V i
ớ K0’ < 72 thì hệ th ng
ố n
ổ đ nh
ị
V i
ớ K0’ = 72 thì hệ th ng
ố ở biên gi i
ớ n
ổ đ nh
ị
V i
ớ K0’ > 72 thì hệ th ng
ố không n
ổ đ nh.
ị

59. Bài 7-28:
Sơ đồ kh i
ố c a
ủ hệ th ng
ố trình bày ở hình 1, K>o.
Vẽ quỹ tích nghi m
ệ c a
ủ hệ th ng,
ố Chú ý: v i
ớ K l n
ớ và bé thì hệ th ng
ố có
nhi u
ễ răng c a,
ư v i
ớ K trung bình thì hệ đáp ng
ứ tr n.
ơ
L i
ờ gi i:
ả
Vẽ quỹ tích nghi m
ệ chúng ta ph i
ả th c
ự hi n
ệ các b c
ướ sau:
1) Hi n
ể thị trên m t
ặ ph ng
ẳ ph c
ứ các đi m
ể c c
ự và đi m
ể không vòng hở. T n
ồ
t i
ạ quỹ t ch
ị nghi m
ệ trên ph n
ầ ân tr c
ụ th c
ự gi a
ữ -3 và -2 và gi a
ữ -1 và 0.
2) Không có đư ng
ờ ti m
ệ c n
ậ trong mi n
ề ph c
ứ từ đi m
ể c c
ự và zero c a
ủ vòng
hở.
3) Từ phương trình đ c
ặ tính c a
ủ hệ th ng
ố :
Chúng ta xác đ nh
ị đ c
ượ đi m
ể tách và đi m
ể nh p.
ậ
Gi i
ả ph ng
ươ trình ta có:
V i
ớ giá trị c a
ủ K là:
V i
ớ giá trị c a
ủ K là:

60. K= 14
Các giá trị c a
ủ K trong 2 tr ng
ườ h p
ợ để xác đ nh
ị đ c
ượ đi m
ể tách và đi m
ể
nh p.
ậ Đi m
ể s=-2.366 n m
ằ gi a
ữ 2 đi m
ể không, do v y
ậ nó là đi m
ể nh p,
ậ còn
s= -0.634 là đi m
ể tách.
4) Ở hình 2 thể hi n
ệ quỹ tích nghi m
ệ c a
ủ hệ th ng.
ố Chúng ta có thể tìm đ y
ầ
đủ các đi m
ể thõa mãn đi u
ề ki n
ệ góc.
5) Ta có thể xác đ nh
ị đ ng
ườ kính quỹ tích nghi m
ệ t ng
ươ ng
ứ v i
ớ giá trị K
b ng
ằ cách dùng đi u
ề ki n
ệ về độ l n.
ớ V i
ớ 1 giá trị K đ c
ượ đ a
ư ra thì các
c c
ự vòng kín đ u
ề thõa mãn đi u
ề ki n
ệ về góc và độ l n,
ớ có thể tìm từ quỹ
đ o
ạ nghi m
ệ s .
ố
Hệ th ng
ố là n
ổ đ nh
ị v i
ớ 1 vài giá trị d ng
ươ c a
ủ K
V i
ớ 0<K<0.0718 và K>14 hệ th ng
ố bị nhi u
ễ răng c a,
ư hệ tr n
ơ láng v i
ớ
.
Bài 7-31:
Cho hàm truy n
ề hệ th ng:
ố

61. Vẽ đ ng
ườ cong đáp ng
ứ t n
ầ số c a
ủ hệ th ng
ố
L i
ờ gi i:
ả
Chúng ta sẽ b t
ắ đ u
ầ v i
ớ đồ thị biên độ và góc pha c a
ủ
và k t
ế h p
ợ cả 2 đ ng
ườ cong trên. Đồ thị biên độ v i
ớ
và đ c
ượ hi n
ể thị trên hình 1
Hình 1
Chú ý r ng
ằ đ ng
ườ cong có đ c
ượ b ng
ằ cách giá trị decibel t i
ạ các
t n
ầ số khác nhau.

62. T i
ạ t n
ầ số cao, đ ng
ườ cong cho b i
ở -40dB thõa mãn còn -20 dB
thì không. Đi u
ề này đúng v i
ớ th c
ự tế r ng
ằ logarithm c a
ủ 1 số bình ph ng
ươ
thì b ng
ằ 2 l n
ầ tích
Bài 7-33:
Vẽ bi u
ể đồ Bode từ hàm truy n:
ề
L i
ờ gi i:
ả
Chúng ta th c
ự hi n
ệ theo các b c
ướ sau:
1) Vẽ đ ng
ườ n m
ằ ngang 3
2) T n
ầ số góc duy nh t
ấ là :
từ m u
ẫ th c
ứ
Đi m
ể n m
ằ trên đ ng
ườ n m
ằ ngang.
3) Vẽ 1 đ ng
ườ từ đi m
ể này v i
ớ độ d c
ố
Hình vẽ đ c
ượ thể hi n
ệ từ đồ thị g n
ầ đúng trên.
Bài 7-34: Hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố đ c
ượ bi u
ể di n
ễ như sau:
Vẽ đồ thị bode c a
ủ hệ th ng
ố

63. Gi i:
ả
Đ u
ầ tiên ta tín biên độ hàm log có đ c
ượ
Góc pha là G(jw) là:
Hàm truy n
ề
Vẽ đ c
ượ đồ thị biên độ và góc theo t n
ầ số như hình vẽ trên
Bài 41:
Hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố đ c
ượ cho như sau:
Vẽ đ c
ặ tính đáp ng
ứ t n
ầ số c a
ủ hệ th ng.
ố
Gi i:
ả
Tìm đáp ng
ứ t n
ầ số c a
ủ không gian tr ng
ạ thái đ t
ặ D=jw. Ta có

64. Tính đ c
ượ ,
G φ là:
Đáp ng
ứ t n
ầ số c a
ủ hệ th ng
ố đ c
ượ vẽ như hình v :
ẽ
Tính đ c
ượ :
Ta tìm đ c
ượ gi i
ả t n
ầ số là. Đ t:
ặ
Ta tìm đ c
ượ là:
Và
1
n
w w
T
= =
Bài 42
Cho hệ th ng
ố b c
ậ 1:
Đ u
ầ vào là d ng
ạ sin có d ng:
ạ
G a
ỉ sử đ u
ầ ra c a
ủ hệ th ng
ố đ c
ượ cho qua bộ l c
ọ mà lo i
ạ bỏ t t
ấ cả các tín hi u
ệ
có biên độ nhỏ 0.01mV. Tìm t n
ầ số c t
ắ wc sao cho v i
ớ t t
ấ cả o c
w w
> thì bộ l c
ọ
sẽ không quan sát đ c
ượ tín hi u
ệ đ u
ầ vào
Gi i
ả
Ta có:
Ta tính đ c:
ượ

65. Biên độ A đ c
ượ tính như sau:
v i
ớ Wc=Wn ta tìm đ c
ượ A=0.01. Ta tìm đ c
ượ
Bài 7-43:
Hệ th ng
ố đ c
ượ đ a
ư ra như sau:
Tìm đáp ng
ứ sin c a
ủ hệ th ng
ố
Gi i:
ả
Có thể bi u
ể di n
ễ l i
ạ f(t) như sau:
Ta có đáp ng
ứ là:
t i
ạ đó k là biên độ vàφ là góc khi tín hi u
ệ đ u
ầ vào là d ng
ạ véc tơ
V y
ậ ta có
Thay vào ph ng
ươ trình trên đ u
ầ bài ta có:
Chi cả hai vế cho jwt
e ta đ c
ượ
ho c
ặ

66. CH NG
ƯƠ 8:
Bài 2:
Hệ th ng
ố c a
ủ đ c
ượ mô tả như sau:
T i
ạ đó ta có:
Sử d ng
ụ ph ng
ươ pháp ph n
ả h i
ồ bi n
ế tr ng
ạ thái đ t
ặ c c
ự c a
ủ hệ th ng
ố là -4 và -6.
Gi i
ả
Vi t
ế u(t) thành d i
ướ d ng
ạ
Vì v y:
ậ
Và có:
Trị số đ c
ặ tr ng
ư c a
ủ A là:
C n
ầ ph i
ả ph n
ả h i
ồ n u
ế giá trị thu đ c
ượ là không mong mu n.
ố Hệ th ng
ố vòng
kín cho t t
ấ cả các giá trị c a
ủ g1 và g2 là:

67. N u
ế mu n
ố trị số đ c
ặ tr ng
ư c a
ủ ma tr n
ậ A-BG t i:
ạ
Chúng ta áp d ng
ụ ph ng
ươ pháp kéo theo. từ ma tr n
ậ [A,B] có thể đi u
ề khi n
ể
đ c
ượ ta có thể sử d ng
ụ bi n
ế ph n
ả h i
ồ có thể thay đ i
ổ đ c.
ượ Trong tr ng
ườ h p
ợ
này khi đ a
ư ra hệ th ng
ố có d ng
ạ
A là ma tr n
ậ b t
ấ kỳ n x n
B là ma tr n
ậ b t
ấ kỳ n x m
Và [A,B] đi u
ề khi n
ể đ c.
ượ T i
ạ đó t n
ồ t i
ạ ít nh t
ấ m t
ộ ma tr n
ậ ph n
ả h i
ồ G m x n
. Mà trị số đ c
ặ tr ng
ư c a
ủ A-BG b ng
ằ giá trị c n
ầ mong mu n.
ố Có đa th c
ứ đ c
ặ
tính
Có
V y
ậ giá trị c a
ủ g1 và g2 là

68. Bài 8-16
Hinh
̀ vẽ1 biêu
̉ diên
̃ quĩtich
́ nghiêm
̣ cho hệ thông
́ loai
̣ 2 v i
́
ơ ham
̀ truyên
̀
Phân tich
́ tinh
́ ôn
̉ đinh
̣ cua
̉ hệ thông.
́ Giả sử môt
̣ điêm
̉ zero đ c
ượ đ a
ư vao
̀ tai
̣ s =
2
1
T
−
gi a
̃
ư gôc
́ vàđiêm
̉ c c
ự 1
1
T
−
. Vẽbiêu
̉ đồquĩtich
́ nghiêm
̣ m i.
́
ơ Xet
́ tinh
́ ôn
̉
đinh
̣ cua
̉ hệ thông.
́
Giai:
̉
Ở hinh
̀ 1 ta thây
́ toan
̀ bộ môt
̣ nhanh
́ cua
̉ quĩtich
́ nghiêm
̣ năm
̀ ở bên phai
̉ măt
̣
phăng
̉ ph c
́
ư vìthếhệ thông
́ không ôn
̉ đinh
̣ v i
́
ơ moi
̣ giátrị K. Khi thêm môt
̣
điêm
̉ zero tai
̣ 2
1
T
−
, sốc c
ự tr ̀
ư đi sốzero băng
̀ 2. Vìthếsẽcótiêm
̣ cân
̣ đ ng
́
ư tai
̣
Khi K = 0, quĩtich
́ đi qua gôc
́ toạ độ vàphân
̀ quĩtich
́ trên truc
̣ th c
ự năm
̀ gi a
̃
ư
hai điêm
̉ 1
1
T
−
và 2
1
T
−
Biêu
̉ đồquĩtich
́ nghiêm
̣ đ c
ượ vẽlai:
̣
Bài 18:
Cho hệ th ng
ố đ c
ượ mô tả b i:
ở

69. V i
ớ
Hệ th ng
ố đ c
ượ mô tả v i
ớ trị riêng , v i
ớ tín hi u
ệ ph n
ả h i
ồ
tr ng
ạ thái thì trở thành:
Hãy tìm giá trị c a
ủ K?
L i
ờ gi i:
ả
Ph ng
ươ trình đ c
ặ tính c a
ủ hệ th ng:
ố
Vi t
ế về d ng
ạ
Chúng ta xác đ nh
ị K từ ph ng
ươ trình:
V i:
ớ
Các ph n
ầ tử c t
ộ thứ j c a
ủ ma tr n
ậ I ta thay b ng
ằ ej, và c t
ộ thứ j c a
ủ ma tr n
ậ
b ng
ằ dj. Như v y
ậ 1 c t
ộ c a
ủ 1 ma tr n
ậ là 0. Như v y,
ậ chúng ta có đ c
ượ
T o
ạ thành n c t
ộ đ c
ộ l p
ậ , ta có:

70. Ma tr n
ậ D:
Chú ý để mô tả D ta dùng và như các c t
ộ đ c
ộ l p,
ậ và ch n
ọ
. Ta có đ c
ượ trị riêng mong mu n
ố
CH NG
ƯƠ 9:
BÀI 1:
Đ a
ư hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố về d ng
ạ không gian tr ng
ạ thái:
Gi i
ả
Hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố đ c
ượ phân tích như sau:
Nhân thêm s và 2
s vào hàm truy n
ề c a
ủ hệ th ng
ố r i
ồ phân tích ra:

71. Chú ý r ng:
ằ
Sau đó ta đ t
ặ
Ta đ a
ư ra:
Ta có:
Đ a
ư ra đ c
ượ

72. Ho c
ặ d ng
ạ trong không gian tr ng
ạ thái
Có d ng
ạ ma tr n:
ậ
Đi u
ề ki n
ệ ban đ u
ầ c a
ủ hệ th ng:
ố
T i
ạ đó

73. Bài 9-2
Cho ham
̀ truyên
̀ hệ thông
́ như sau:
Lâp
̣ ph ng
ươ trinh
̀ trang
̣ thai.
́
Giai:
̉
T ̀
ư ham
̀ truyên
̀ hệ thông
́ ta viêt
́ đ c
ượ ph ng
ươ trinh
̀ vi phân sau:
Chon
̣ vector trang
̣ thai
́
Đăt
̣ biên
́ trang
̣ thai
́
Vìvây
̣ ta cóthể viêt
́ đ c
ượ
Trong đo:
́

74. Bài 9-31 : chỉ ra ph ng
ươ trình không gian tr ng
ạ thái c a
ủ hệ th ng
ố cho b i
ở hình
vẽ sau :
Bài làm :
Hàm truy n
ề vòng kính c a
ủ hệ th ng
ố là
Trong đó

Ph ng
ươ trình hàm truy n
ề vòng kính vi t
ế theo cách khác có d ng
ạ sau :
Chúng ta hãy đ t
ặ các bi n
ế tr ng
ạ thái :
V i
ớ các hệ số đ c
ượ chỉ ra b i
ở ph ng
ươ trình :

75. Ph ng
ươ trình không gian tr ng
ạ thái có d ng
ạ sau :
V y
ậ trong tr ng
ườ h p
ợ c a
ủ ta là :
CH NG
ƯƠ 12:
BÀI 5:
Hệ th ng
ố đ c
ượ mô tả như sau:
T i
ạ đó có:

76. Hãy chỉ ra hệ th ng
ố hoàn không quan sát đ c
ượ
Gi i:
ả
Có thể đ t
ặ u=0. Vì hàm đi u
ề khi n
ể u không nh
ả h ng
ưở t i
ớ tính quan sát c a
ủ hệ
th ng.
ố Ma tr n
ậ quan sát c a
ủ hệ th ng:
ố
H ng
ạ c a
ủ ma tr n
ậ là nhỏ h n
ơ 3 có:
Vì v y
ậ hệ th ng
ố không hoàn toàn quan sát đ c.
ượ Hàm truy n
ề hệ th ng
ố X1(s) và
G(s) là:
Và hàm truy n
ề Y(s) và X1(s) là:
Hàm truy n
ề Y(s) và U(s) là:
Bài 12-9 ; cho hệ th ng
ố có hàm truy n
ề không gian tr ng
ạ thái như sau. Xét khả
năng đi u
ề khi n
ể c a
ủ hệ th ng.
ố
Bài làm :
Cho hệ th ng
ố trên có khả năng đi u
ề khi n
ể tr ng
ạ thái đ c,
ượ thì đi u
ề ki n
ệ c n
ầ và
đủ là ma tr n
ậ S ph i
ả có h ng(rank)
ạ là 2 v i
ớ S=[ B AB].
Chúng ta có :

77. V y
ậ ta k t
ế lu n
ậ r ng
ằ hệ th ng
ố này không có khả năng đi u
ề khi n
ể đ c.
ượ
Bài 12-18:
Xác đ nh
ị tính quan sát đ c
ượ c a
ủ hệ th ng
ố sau:
L i
ờ gi i:
ả
Ta tính toán các ma tr n
ậ sau:
H ng
ạ c a
ủ ma tr n
ậ là 3. V y
ậ hệ th ng
ố quan sát đ c.
ượ

78. Vector là các hàng đ c
ộ l p,
ậ vì v y
ậ hệ th ng
ố hoàn toàn có thể đi u
ề khi n
ể đ c.
ượ
Hệ th ng
ố hoàn toàn có thể quan sát đ c
ượ khi vector C*, A*C*, là các
hàng đ c
ộ l p
ậ
Và
Như v y
ậ vector là các hàng đ c
ộ l p
ậ và hệ th ng
ố hoàn toàn có thể quan sát đ c.
ượ
Ch ng
ươ 13
Bài 13-1
Cho ham
̀ truyên
̀ cua
̉ hệ thông.
́ Hay
̃ xac
́ đinh
̣ ph ng
ươ trinh
̀ đăc
̣ tinh
́ vàxet
́ tinh
́
ôn
̉ đinh
̣ cua
̉ hệ thông
́

79. Giai:
̉
Ph ng
ươ trinh
̀ đăc
̣ tinh
́ cua
̉ hệ thông
́ códang:
̣
Th c
ự hiên
̣ phep
́ biên
́ đôi:
̉
Nghiêm
̣ cua
̉ ph ng
ươ trinh
̀ la:
̀
Ph ng
ươ trinh
̀ đăc
̣ tinh
́ cómôt
̣ nghiêm
̣ d ng
ươ D3 = 2 do đóhệ thông
́ không ôn
̉
đinh.
̣
Bài 13-2
Xet
́ tinh
́ ôn
̉ đinh
̣ cua
̉ hệ thông
́ cóham
̀ truyên
̀
Giai:
̉
Ph ng
ươ trinh
̀ đăc
̣ tinh
́ hệ thông:
́
Giai
̉ ra nghiêm
̣ cua
̉ ph ng
ươ trinh
̀
Tât
́ cả cac
́ nghiêm
̣ cóphân
̀ th c
ự âm do đóhệ thông
́ làôn
̉ đinh.
̣
Bài 13-6
Xet
́ tinh
́ ôn
̉ đinh
̣ cua
̉ hệ thông
́ cóph ng
ươ trinh
̀ đăc
̣ tinh:
́
Giai:
̉
Lâp
̣ bang
̉ Routh

80. Kêt
́ luân
̣ hệ thông
́ không ôn
̉ đinh
̣ vìcac
́ giátrị ở côt
̣ th ́
ư nhât
́ đôi
̉ dâu
́ môt
̣ lân.
̀
Bài 13-10:
Cho hệ th ng
ố đ c
ươ đ a
ư ra ở d ng
ạ tiêu chu n
ẩ Jordan, sau khi chuy n
ể đ i:
ổ
T i
ố gi n
ả hệ th ng
ố d a
ự vào tính quan sát đ c
ượ và đi u
ề khi n
ể đ c.
ượ
Ch ng
ứ tỏ r ng
ằ ma tr n
ậ c a
ủ hệ th ng
ố t i
ố gi n
ả t ng
ươ tự như ma tr n
ậ ban đ u?
ầ
L i
ờ gi i
ả
Hệ th ng
ố d ng
ạ Jordan có các giá trị riêng khác nhau, như v y
ậ tính đi u
ề khi n
ể
đ c
ượ và quan sát đ c
ượ dễ dàng xác đ nh
ị đ c.
ượ
Hàng thứ 3 c a
ủ ma tr n
ậ Bn là 0, nên q3 không đi u
ề khi n
ể đ c.
ượ C t
ộ thứ 2 c a
ủ Cn
là 0, v y
ậ nên q2 cũng không đi u
ề khi n
ể đ c.
ượ q2 và q3 bị lo i
ạ từ đó chúng không
còn tác d ng
ụ v i
ớ ngõ vào-ngõ ra:
Khi đó:
, v i
ớ hệ th ng
ố ban đ u:
ầ

81. V i
ớ hệ th ng
ố t i
ố gi n:
ả
Như v y
ậ ma tr n
ậ là như nhau đ i
ố v i
ớ cả 2 ph ng
ươ trình tr ng
ạ thái.
Bài 13-11
Cho các ma tr n
ậ A và B :
Xác đ nh
ị n u
ế [A,B] là 1 c p
ặ ki m
ể soát.
L i
ờ gi i:
ả
Từ kích th c
ướ các ma tr n
ậ A là 3x3, B là 3x2 nên ma trân S ph i
ả là 3x6:
Chúng ta tìm :
S có thể đ c
ượ vi t
ế l i
ạ như sau:

82. Có thể dễ dàng ki m
ể tra đ c
ượ h ng
ạ c a
ủ S là 3 và hệ th ng
ố là đi u
ề khi n
ể đ c.
ượ
Bài 13-12 : cho hàm truy n
ề vòng kính. Dùng tiêu chu n
ẩ routh tìm k để hệ th ng
ố
n
ổ đ nh
ị
Bài làm :
Ph ng
ươ trình đ c
ặ tính c a
ủ hệ th ng
ố là :
B ng
ả routh như sau ;
Di u
ề ki n
ệ c n
ầ và đủ để hệ th ng
ố n
ổ đ nh
ị là t t
ấ cả các hệ số ở c t
ộ 1 c a
ủ b ng
ả
ph i
ả đ u
ề d ng
ươ nên ta có :
Và
V y
ậ k ph i
ả th a
ỏ mãn :
Bài 13-13 : cho ph ng
ươ trình đ c
ặ tính c a
ủ hệ th ng.
ố Tìm k để hệ th ng
ố n
ổ đ nh
ị
theo tiêu chu n
ẩ routh.
Bài làm :
B ng
ả routh ;
Theo routh ta có :

83. Hai đi u
ề ki n
ệ đ u
ầ cho ta đi u
ề ki n
ệ k >1/2, đi u
ề ki n
ệ thứ 3 ta có –3k2
+2k-1 > 0
(ph ng
ươ trình này có nghi m
ệ o)
ả và giá trị c a
ủ đa th c
ứ luôn âm v i
ớ m i
ọ k € R. vì
v y
ậ v i
ớ 3 đi u
ề ki n
ệ trên không tìm đ c
ượ giá trị c a
ủ k để hệ th ng
ố n
ổ đ nh.
ị
Bài 13-16: Ph ng
ươ trình hàm truy n
ề đ c
ặ tính c a
ủ hệ th ng
ố vòng kín là:
V i
ớ giá trị nào c a
ủ K thì hệ n
ổ đ nh
ị
Gi i:
ả
Sử d ng
ụ b ng
ả Routh để tìm giá c a
ủ K
Để hệ th ng
ố n
ổ đ nh
ị thì các giá trị trên c t
ộ đ u
ầ tiên c a
ủ b ng
ả là cùng d u.
ấ Trong
tr ng
ườ h p
ợ này ta có:
Khi K>0 ta có:
Bài 13-27:
Xét hệ th ng
ố như hình v :
ẽ
Tìm K để hệ th ng
ố n
ổ đ nh
ị
Gi i
ả

84. Hàm truy n
ề c a
ủ vòng kín:
Ph ng
ươ trình đ c
ặ tính là:
Ta có b ng
ả Routh
Để hệ th ng
ố n
ổ đ nh
ị thì t t
ấ cả các thông số c a
ủ c t
ộ đ u
ầ tiên ph i
ả d ng.
ươ Nên
có: