Cơ học lí thuyết

1. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 1
CƠ S CƠ H C GI I TÍCH
- Cơ h c gi i tích nghiên c u qui lu t cân b ng và chuy n ng c a cơ h
không t do theo di chuy n và năng lư ng d ng gi i tích.
- N i dung c a cơ h c gi i tích trình bày các nguyên lý t ng quát c a cơ
h c, t ó rút ra các phương trình vi phân cơ b n c a chuy n ng, nghiên
c u phương trình ó và ra các phương pháp tích phân chúng.
Bài 1.
Phân lo i cơ h , liên k t t vào cơ h
Xét cơ h N ch t i m k
M chuy n ng h qui chi u Oxyz.
V trí c a cơ h ư c xác nh b i 3N thành ph n xác nh v trí
1i i i
x ,y ,z ; i ,N= .
V n t c c a các i m thu c cơ h xác nh b i 3N thành ph n v n t c
1i i i
x ,y ,z ; i ,N= .
I. Khái ni m v cơ h
1. Cơ h t do
Cơ h t do là cơ h mà các thành ph n xác nh v trí và v n t c l y giá
tr b t kỳ trong không gian qui chi u.
Ví d : H m t tr i, m i hành tinh ư c coi là 1 ch t i m
2. Cơ h không t do
N u các thành ph n xác nh v trí hay v n t c c a cơ h ch u m t s i u
ki n ràng bu c nào ó do các v t th khác gây nên thì cơ h g i là cơ h không t
do.
3. Liên k t t vào cơ h
Nh ng i u ki n ràng bu c v v trí hay v n t c thu c h do các thành
ph n khác gây nên g i là liên k t t vào cơ h .
V m t toán h c, các liên k t này ư c bi u th b i các ng th c hay b t
ng th c g i là các phương trình liên k t hay b t phương trình liên k t.
( )
( )
1 1 1
1 1 1 1 1 1
0
0
N N N
N N N N N N
f x ,y ,z ,...,x ,y ,z
g x ,y ,z ,...,x ,y ,z ,x ,y ,z ,...,x ,y ,z
α
α
≥
≥
1,mα = , m là s liên k t.
Ví d :
1. Khi mô t ch t i m A luôn n m trên m t ư ng n m ngang dùng pt 0A
y = .
2. Khi ch t i m M n m trong m t ph ng Oxy, treo trên dây OM=l và dây luôn
căng, không giãn, ư c bi u di n b ng phương trình 2 2
M M
x y l+ = .

2. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 2
Hình 1
3. H mô t b i hình trên ch u liên k t mô t b i phương trình
2A B C
x y y l+ + = , v i l là chi u dài dây n i các v t.
II. Phân lo i liên k t t vào cơ h
1. Liên k t gi , không gi
•••• Liên k t gi là các liên k t ư c mô t b ng nh ng ng th c thì
chúng g i là các liên k t gi 0fα = hay 0gα = .
•••• Liên k t không gi là các liên k t ư c vi t dư i d ng b t ng th c
0fα ≥ hay 0gα ≥ . Liên k t không gi tùy trư ng h p g i là các liên k t gi n u
x y ra d u “=” và coi là liên k t không gi n u x y ra d u b t ng th c.
2. Liên k t d ng, không d ng
•••• Liên k t d ng n u phương trình liên k t không ch a rõ hi n th i gian t
(Sclêônôm). Nghĩa là 0
f g
,
t t
α α
α
∂ ∂
= = ∀
∂ ∂
•••• Liên k t không d ng n u phương trình liên k t có ch a th i gian t
(Rêônôm). Nghĩa là 0
f g
,
t t
α α
α
∂ ∂
= ≠ ∀
∂ ∂
3. Liên k t Hôlônôm, phi Hôlônôm
•••• Liên k t Hôlônôm (liên k t hình h c) n u trong phương trình liên k t
ch ch a các thành ph n v trí. Phương trình liên k t 0 1f , ,mα α≥ = .
•••• Liên k t phi Hôlônôm n u trong phương trình liên k t ch a các thành
ph n v trí và v n t c. Phương trình liên k t 0 1g , ,mα α≥ = .

3. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 3
Bài 2.
Khái ni m v b c t do,
T a suy r ng c a cơ h
1. B c t do c a cơ h
M i cơ h t i m i th i i m có vô s di chuy n kh dĩ. Vì h ch u liên k t
nên các di chuy n này không c l p v i nhau.
B c t do c a cơ h chính là s di chuy n kh dĩ c l p c a cơ h .
Xét trư ng h p cơ h g m N ch t i m và ch u tác d ng c a m liên k t.
S b c t do c a cơ h và ư c xác nh như sau:
•••• N u cơ h chuy n ng trong không gian Oxyz
3n N m= − (1.a)
•••• N u cơ h chuy n ng trong m t ph ng
2n N m= − (1.b)
•••• N u cơ h chuy n ng trên ư ng th ng
n N m= − (1.c)
2. T a suy r ng
T a suy r ng là t p h p t t c các thông s c n thi t, c l p và
xác nh v trí c a cơ h trong không gian. T a suy r ng có th là t a
Descartes c a các ch t i m thu c cơ h , góc quay, các t a cong… Tùy
trư ng h p ta có th ch n t a nào bài toán xác nh v trí c a cơ h ơn
gi n nh t.
Ký hi u t a suy r ng là 1 2 3
q ,q ,q ...
B n ch t v t lý c a t a suy r ng là b t kỳ, do ó th nguyên c a nó
không ph i ch là dài như t a Descartes.
o hàm theo th i gian c a t a suy r ng i
q g i là v n t c suy r ng.
S t a suy r ng 1j
q , j ,n= b ng v i s b c t do c a cơ h .
V trí c a cơ h ư c xác nh nh các t a suy r ng, nên gi a t a
Descartes c a ch t i m và t a suy r ng có s liên h v i nhau:
( ) ( ) ( ) 1k k j k k j k k j
x x t,q , y y t,q , z z t,q , j ,n= = = = (2.a)
ho c d ng vector
( ) 1k k j
r r t,q , j ,n= = (2.b)
Ví d
1. Bánh xe ng ch t bán kính R, chuy n ng lăn không trư t trên ư ng
th ng 0x n m ngang (như hình v ).

4. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 4
Xét chuy n ng c a bánh xe, Bánh xe chuy n ng song ph ng, xác nh
nó b i 3 tham s ( )0 0, ,x y ϕ , nhưng bánh xe là cơ h không t do, nó ch u các
liên k t ư c mô t b i phương trình
0
0 0
y R
x Rϕ α
=

− =
x
y
A
O
V y s b c t do c a cơ h là: n = 3 – 2 =1.
2. Cơ c u tay quay thanh truy n 0AB ư c xem là hai ch t i m chuy n
ng trong m t ph ng xy, ch u các liên k t cho b i các phương trình
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
A A
B A B A
B
x y r
x x y y l
y h
 + =

− + − =
 = − x
y
F
A
O
B
h
l
r
ϕ ψ
V y s b c t do c a cơ h : n=2.2-3=1.
Ta có th ch n t a suy r ng là góc quay ϕ c a OA.

5. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 5
Bài 3.
Di chuy n th c, di chuy n kh dĩ
Xét cơ h N ch t i m chuy n ng trong không gian Oxyz ch u m liên
k t hôlônôm, gi
( ) 0 1k
f t;r , ,mα α= = (1)
1. Di chuy n th c
T i th i i m t, gi s các ch t i m v trí xác nh b i k
r th a mãn các
phương trình liên k t (1). Trong kho ng th i gian ( )t,t dt+ , dư i tác d ng c a
các l c ngoài, ch t i m th c hi n m t d ch chuy n k k
dr r dt= g i là di chuy n
th c trong kho ng th i gian ( )t,t dt+ .
L y vi phân (1) theo th i gian, ta ư c
1
0
N
k
k
k
f f
df dt dr
t r
α α
α
=
∂ ∂
= + =
∂ ∂
∑ (2)
Nghĩa là, di chuy n th c trong kho ng th i gian ( )t,t dt+ ph i th a mãn phương
trình (2).
2. Di chuy n kh dĩ (di chuy n o)
T i th i i m t c nh, m i ch t i m có th vô s các v trí th a mãn
các phương trình liên k t, mà v trí th c c a nó ch là m t trong s chúng. G i k
r
là v trí vô cùng g n v i v trí th c k
r . Ký hi u ( )k k k
r x, y, z r rδ δ δ δ = − (g i là
bi n phân c a k
r ), ta có
( ) ( )
1
0
N
k
k k
f
f t;r f t;r r
r
α
α α δ
=
∂
− = =
∂
∑ (3)
Các gia s k
rδ g i là di chuy n kh dĩ c a cơ h và th a mãn công th c (3).
V y, di chuy n kh dĩ c a cơ h là t p các di chuy n vô cùng bé mà các
ch t i m c a cơ h có th th c hi n ư c t v trí kh o sát sang v trí lân c n mà
v n th a mãn các liên k t t i v trí ang xét.
Note:
•••• Khái ni m chuy n kh dĩ hoàn toàn khác v i khái ni m di chuy n
th c. Di chuy n th c là di chuy n mà các ch t i m th c hi n trong kho ng th i
gian ( )t,t dt+ , còn di chuy n kh dĩ ơn thu n là các gia s k
rδ vô cùng bé th a
mãn các phương trình (3), ư c tính t i th i i m c nh t.
•••• Khi liên k t là d ng ta có di chuy n th c vô cùng bé trùng v i m t
trong các di chuy n kh dĩ.

6. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 6
Bài 4.
L c suy r ng
1. nh nghĩa l c suy r ng
Xét cơ h N ch t i m ch u tác d ng c a các l c ch ng k
F . Gi s cơ
h có n b c t do.
Công c a l c ch ng trên di chuy n kh dĩ k
rδ g i t t là công kh dĩ (công o)
xác nh như sau:
1 1
N N
k k k
k k
A A F rδ δ δ
= =
= =∑ ∑ (1)
v i ( )1 2k k n
r r t,q ,q ,...,q= , ta có
( )1 2
1
n
k
k k n i
i i
r
r r t,q ,q ,...,q q
q
δ δ δ
=
∂
= =
∂
∑ (2)
Th (2) vào (1), ta ư c
1 1 1 1
1 1 1
N n N n
k k
k i k i
k i k i
i i
n N n
k
k i i i
i k i
i
r r
A F q F q
q q
r
F q Q q
q
δ δ δ
δ δ
= = = =
= = =
   ∂ ∂
= =   
∂ ∂   
 ∂
= = 
∂ 
∑ ∑ ∑∑
∑ ∑ ∑
(3)
v i
1 1
N N
k k k k
i k kx ky kz
k ki i i i
r x y z
Q F F F F
q q q q= =
 ∂ ∂ ∂ ∂
= = + + 
∂ ∂ ∂ ∂ 
∑ ∑ (4)
g i là l c suy r ng th i c a cơ h .
2. Phương pháp th c hành xác nh l c suy r ng i
Q ng v i t a suy
r ng i
q nào ó
Do t t c các 1j
q , j ,nδ = u c l p v i nhau, xác nh i
Q ng v i
t a suy r ng i
q nào ó, ta cho d i o 0i
qδ ≠ còn t t c các 0j
q , j iδ = ≠ ,
sau ó tính công i
Aδ c a t t c các l c tác d ng trên di chuy n kh dĩ i
qδ . Ta
ư c,
( )
1
i k i i i
k
A A q Q qδ δ δ
=
= =∑ (5)
H s c a i
qδ trong (5) cho ta l c suy r ng i
Q c n tìm.
Trong trư ng h p t t c các l c tác ng lên cơ h u có th , nghĩa là t n
t i hàm th Π sao cho k
k
F
r
Π∂
= −
∂
. Khi ó ta có
1 1
N N
k k
i k
k k
i k i i
r r
Q F
q r q q
Π Π
= =
∂ ∂ ∂ ∂
= = − = −
∂ ∂ ∂ ∂
∑ ∑ (6)

7. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 7
Ví d
Cơ c u tay quay thanh truy n 0AB ư c xem là hai ch t i m chuy n
ng trong m t ph ng xy. Tác d ng lên tay quay OA ng u l c M và l c F lên
con ch y B. Xác nh l c suy r ng ng v i t a
suy r ng ϕ .
Gi i
Ta tính công kh dĩ c a các ng u l c M và l c F tác
d ng lên h
BA M F xδ δϕ δΣ = +
( )
( )
( )
( )
( )
22
22
22
cos cos ; sin sin
1
sin sin
1
cos sin
cos sin
sin cos
sin
sin
B
B
B
x r l r l h
r h
l
l r h
l
x r l r h
r h r
x r
l r h
ϕ ψ ϕ ψ
ψ ϕ
ψ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕδϕ
δ ϕδϕ
ϕ
= + = −
⇒ = +
⇒ = − +
= + − +
+
= − −
− +
(g) ⇒
( )
( )
22
cos sin
sin
sin
r r h
A M F r
l r h
ϕ ϕ
δ ϕ δϕ
ϕ
  +  = − + 
 − +   
∑
V y
( )
( )
22
cos sin
sin
sin
r h
Q M Fr
l r h
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
 + = − +
 − + 
x
y
F
A
O
B
h
l
r
ϕ
M
Ψ

8. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 8
Bài 5.
Nguyên lý di chuy n kh dĩ
1. Liên k t lý tư ng
Các liên k t ư c g i là lý tư ng n u t ng công c a các ph n l c liên k t
trên các di chuy n kh dĩ u b ng không, nghĩa là
1 1
0
N N
k k k
k k
A R rδ δ
= =
= =∑ ∑ (1)
trong ó k
R - Ph n n l c liên k t t lên ch t i m th k.
k
rδ - Di chuy n kh dĩ c a ch t i m th k.
Trong th c t , các liên k t v t r n b qua ma sát, tính àn h i c a v t li u
ư c coi là liên k t lý tư ng.
2. Nguyên lý di chuy n kh dĩ
Phát bi u: i u ki n c n và cơ h ch u liên k t hôlônôm, gi , d ng
và lý tư ng cân b ng là t ng công c a các l c ch ng tác d ng lên cơ h trên
m i di chuy n kh dĩ b t kỳ b ng không.
1 1
0
N N
k k k
k k
A F rδ δ
= =
= =∑ ∑ (2)
trong ó k
F là l c ho t ng tác d ng lên ch t i m th k
M thu c cơ h ,
k
rδ là di chuy n kh dĩ c a ch t i m th k
M . Phương trình (2) còn g i là
phương trình công kh dĩ.
3. Phương trình cân b ng trong t a
Gi i s cơ h có n b c t do, ch n các t a suy r ng 1 2 n
q ,q ,...,q . Ta có
phương trình (2), nguyên lý di chuy n kh dĩ, tr thành
1 1 1
0
N N n
k k k i i
k k i
A F r Q qδ δ δ
= = =
= = =∑ ∑ ∑ (3)
v i
1
N
k
i k
k i
r
Q F
q=
∂
=
∂
∑ l c suy r ng ng v i t a suy r ng i
q . Vì các i
q c l p
nên ta ch n i
qδ là c l p và tùy ý. T (), ta có
0i
Q = (4)
Ta ư c n phương trình cân b ng d ng (), g i là phương trình cân b ng d ng t a
suy r ng.
N u các l c tác d ng là l c có th , ta có phương trình c n b ng
0i
i
Q
q
Π
= − =
∂
(5)
V i ( )i
qΠ Π= - Hàm th năng c a l c tác d ng.
Note:

9. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 9
Ưu i m c a nh lu t công kh dĩ là khi gi i bài toán cân b ng cơ h c, ta
không c n quan tâm n các ph n l c liên k t (liên k t là lý tư ng). Do ó nó r t
thu n l i cho gi i các bài toán tìm i u ki n cân b ng. Khi g p các bài toán tìm
ph n l c, hay liên k t là không lý tư ng ta ph i áp d ng nguyên lý gi i phóng
liên k t hay thành ph n không lý tư ng tương ng và coi các ph n l c này như
l c tác d ng.
Ví d
Xác nh quan h gi a các l c vaøP Q cơ c u Culit cân b ng t i v trí
kh o sát. Bi t OC = R ; OK = l .
Gi i
Xét cơ h . B qua ma sát gi a các tr c nó là h Holomom, gi , d ng và
lý tư ng.
H có m t b c t do. Ch n t a suy r ng là ϕ
y
x
ϕ
A
C
Q
K
P
B
O
Các l c tác d ng lên cơ h ,P Q
Áp d ng nguyên lý công kh dĩ khi h cân b ng, ta ư c
0Q PA Q r P rδ δ δ= + =
0x Q y Q x P y PQ x Q y P x P yδ δ δ δ⇒ + + + =
V i
( )1 1 2
cos sin sin
sin cos cos
sin ; cos
0 ;
; tan
cos
const
Q Q
Q Q
x y
x y
P B A P A A A
x OC x OC R
y OC y OC R
Q Q Q Q
P P P
l
y y y l l AB y y y l y
ϕ δ ϕδϕ ϕδϕ
ϕ δ ϕδϕ ϕδϕ
ϕ ϕ
δ δ ϕ δ δϕ
ϕ
= ⇒ = − = −
= ⇒ = =
= = −
= =
= = + = = ⇒ = = ⇒ =
⇒
( ) 2
2
sin sin cos cos 0
cos
0
cos
l
Q R Q R P
Pl
QR
ϕ ϕδϕ ϕ ϕδϕ δϕ
ϕ
δϕ
ϕ
− − + =
 
− + = 
 

10. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 10
⇒ 2 2
0
cos cos
Pl Pl
Q QR Q
R
ϕ
ϕ ϕ
= − + = ⇒ =
Bài 5.
PHƯƠNG TRÌNH T NG QUÁT NG L C H C
(NGUYÊN LÝ D’ALAMBERT – LAGRANGE)
1. Phương trình t ng quát ng l c h c
Xét cơ h N ch t i m k
M có kh i lư ng k
m chuy n ng trong không
gian Oxyz ch u liên k t Hôlônôm, gi , lý tư ng. Gi s ch t i m k
M ch u tác
d ng c a các l c ch ng k
F và ph n l c liên k t k
R .
Áp d ng nguyên lý d’Alambert ta có
0qt
k k k
F R F+ + = (1)
Nhân vô hư ng hai v phương trình (1) v i k
rδ và r i l y t ng theo k, ta có
( )1 1
0
N N
qt
k k k k k
k k
A F R F rδ δ
= =
= + + =∑ ∑ (2)
Vì liên k t là lý tư ng
1
0
N
k k
k
R rδ
=
=∑ , (2) tr thành
( )1
0
N
qt
k k k
k
F F rδ
=
+ =∑
hay
( )1
0
N
k k k k
k
F m W rδ
=
− =∑ (3)
Phương trình (3) g i là phương trình t ng quát ng l c h c.
Ho c vi t dư i d ng t a Descarst Oxyz là
( ) ( ) ( )
1
0
N
kx k kx kx ky k ky ky kz k kz kz
k
F m W r F m W r F m W rδ δ δ
=
 − + − + − = ∑ (4)
Phát bi u. N u cơ h chuy n ng và ch u liên k t lý tư ng thì t ng công c a t t
c l c ch ng và l c quán tính trên di chuy n kh dĩ b t kỳ b ng không.
Trư ng h p cơ h tr ng thái cân b ng 0k
W = , ta có
1 1
0
N N
k k k
k k
A F rδ δ
= =
= =∑ ∑ (5)
Phương trình (5) chính là nguyên lý di chuy n kh dĩ
2. Ví d .
1. M t s i dây không dãn, không tr ng lư ng m c qua hai ròng r c c
nh A, B, trên dây có ròng r c di ng C (hv ). B qua ma sát và kh i lư ng c a
các ròng r c. Tính gia t c c a các v t.

11. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 11
Gi i
H g m các v t 1 2 3
m ,m ,m . Các v t
chuy n ng theo phương th ng
ng, ch n tr c t a như hình v .
Các l c ch ng tác d ng lên các
v t lên cơ h là tr ng lư ng c a các
v t.
Áp d ng phương trình t ng quát
ng l c h c
( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
0m g m x x m g m x x m g m x xδ δ δ− + − + − = (a)
Phương trình liên k t (lý tư ng)
1 2 3
2x x x const+ + = (b)
Ch n t a suy r ng là 1 3
x ,x , t (a) ta có
( ) ( )3 1 3 3 1 2
1 1
2 2
x x x , x x xδ δ δ= − + = − +
Thay vào phương trình (a), ta ư c
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 3 1
3 2 3 2 2 2 1 3
2 4
2 4 0
m m g m m x m x x
m m g m m x m x x
δ
δ
+ − + −  
+ + − + − =  
Vì các chuy n d ch 1 3
x , xδ δ c l p và b t kỳ, nên
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 3
3 2 3 2 2 2 1
2 4 0
2 4 0
m m g m m x m x
m m g m m x m x
+ − + − =
+ − + − =
Gi i h phương trình trên, ta ư c 1 2 3
x ,x ,x .
2. Ngư i ta v t qua ròng r c c nh O m t s i dây m m nh , chi u dài l,
trên m t u dây treo v t n ng M1 có kh i lư ng m1, còn u kia c a dây treo
ròng r c M2 có kh i lư ng m2. V t qua ròng r c M2 s i dây m m nh chi u dài l2
2 v t có kh i lư ng tương ng là m3, m4. Xem liên k t là lý tư ng
1
m
O
A B
C
1
x
2
x
3
x
2
m
3
m

12. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 12
Gi i
ưa vào h tr c Oy th ng ng hư ng xu ng. L c tác
d ng lên cơ h là tr ng l c c a các v t.
Phương trình t ng quát ng l c h c
( )
( ) ( ) ( )
1
1
0
0
N
N
x y z
F m a r
F m x x F m y y F m z z
ν ν ν ν
ν
ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν
ν
δ
δ δ δ
=
=
− =
 ⇒ − + − + − = 
∑
∑
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
3 3 3 3 4 4 4 4 0
m g m y y m g m y y
m g m y y m g m y y
δ δ
δ δ
⇔ − + − +
− + − =
C
ác di chuy n kh dĩ δy1 , δy2 , δy3 , δy4 không c l p
v h không t do v i phương trình liên k t tương ng
là
( ) ( )
1 2 1
3 2 4 2 2
y y l
y y y y l
+ =

− + − =
1 2 3 4 20 ; 2 0y y y y yδ δ δ δ δ⇒ + = + − =
Ta ch n hai di chuy n kh dĩ c l p là 2 4y , yδ δ . V y
1 2 3 2 4; 2y y y y yδ δ δ δ δ= − = −
Th vào ta ư c
( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 2 2 2 2 3 3 2 4 4 4 42 0m g y y m g y y m g y y y m g y yδ δ δ δ δ− − + − + − − + − =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2 3 3 2
4 4 3 3 4
2
0
m g y m g y m g y y
m g y m g y y
δ
δ
⇒ − − + − + − +  
+ − − − =  
Vì δy3 , δy4 là tùy ý nên
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2 3 3
4 4 3 3
2 0
0
m g y m g y m g y
m g y m g y
− − + − + − =

− − − =
Hơn n a
1 2
3 4 2
0
2 0
y y
y y y
+ =

+ − =
M1
m g1
y
M3
m g3
M4
m g4
m g2
M2

13. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 13
⇒
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
3 4 3 4 1 2 3 4
1 2
4 4 3 4 1 2 3 4
2
3 4 3 4 1 2 3 4
3 3 4 4
3 4 4 4 3 4 1 2 3 4
4 2 3
2 2
1
2
2 2
2
m m m m m m m m
y y g
m m m m m m m m
m m m m m m m m
y m m m g
m m m m m m m m m m
y y y
− + + − − −
= − =
− − + + +
 − + + − − −
= − + 
+ − − + + +  
= −
Bài 7.
PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LO I II
Ta ch xét cơ h ch u liên k t Hô lô nôm, gi , lý tư ng có n b c t do.
1. Phương trình Lagrange lo i II
• Trư ng h p t ng quát
1j
j j
d T T
Q , j ,n
dt q q
 ∂ ∂
− = =  ∂ ∂ 
• Trong trư ng h p l c có th
0 1
j j
d L L
, j ,n
dt q q
 ∂ ∂
− = =  ∂ ∂ 
L T V= − g i là hàm Lagrange (là hi u gi a ng năng T và th năng V
c a cơ h )
• Chú ý
Phương trình Lagrange lo i II ư c ng d ng ph bi n nghiên c u
chuy n ng c a các cơ h hôlônôm, lý tư ng.
2. Quy trình thi t l p phương trình Lagrange lo i II
o Bư c 1. Xét tính ch t liên k t
o Bư c 2. Xác nh s b c t do n c a cơ h (b ng s t a suy r ng) và
ch n t a suy r ng.
o Bư c 3. Xác nh bi u th c ng năng.
o Bư c 4. Tính các l c suy r ng i
Q ho c th năng V.
o Bư c 5. Tính
j j
T T d
, ,
q q dt
∂ ∂
∂ ∂
ho c tính L T V= −
j
L
q
∂
∂
,
j
L
q
∂
∂
.
o Bư c 6. Vi t phương trình Lagrange II, và gi i chúng (n u c n).
3. Ví d

14. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 14
1. Thi t l p phương trình vi phân chuy n ng c a con l c eliptic g m v t
A chuy n ng trên m t ph ng ngang nh n, và treo vào A con l c toán h c B có
kh i lư ng A, dài l.
2. Bánh xe ư c xem là ĩa tròn ng ch t tr ng lư ng P, bán kính R có
th lăn không trư t trên m t ph ng nghiêng 1 góc α v i phương n m ngang. G n
vào tr c O c a bánh xe ng ch t OA tr ng lư ng Q, chi u dài OA=l có th quay
không ma sát quanh O (như hình v ). H ang ng yên, OA th ng ng hư ng
xu ng. Th cho chuy n ng. Xác nh t i th i i m th :
a. Gia t c tâm O
b. Gia t c thanh OA
O
α
C
A
l
Gi i
Xét h g m bánh xe và thanh OA. H có hai b c t do
Ch n t a suy r ng 1S O O= , ϕ là góc l ch c a thanh OA v i phương th ng
ng
Ta có
cos
sin
O
O
x s
y s
α
α
=

=
và
cos sin
2
sin cos
2
C
C
l
x s
l
y s
α ϕ
α ϕ

= +

 = +
 O
α
C
A
xO
y
P
Q
ϕ
s

15. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 15
( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
cos ; sin
1 1
cos cos ; sin sin
2 2
cos
4
O O
O O O
C C
C C C
x s y s
v x y s
x s y s
l
v x y s ls
α α
α ϕ ϕ α ϕ ϕ
ϕ ϕ α ϕ
= =
⇒ = + =
= + = −
⇒ = + = + + +
ng năng c a cơ h
2 2 2 2
0
1 1
2 2 2 2
O O C C C
P Q
T v J w v J w
g g
= + + +
Do bánh xe lăn không trư t
;O
O C
v s
w w
R R
ϕ= = =
Và chú ý:
2 2
;
2 12
C C
PR Ql
J J
g g
= =
Ta có: ( )
2
2 2 23
cos
2 2 6 2
P Q Ql Ql
T s s s
g g g g
ϕ ϕ α ϕ= + + + +
( )
( ) ( )
2
3
cos ; 0
2 2
cos ; sin
3 2 2
T P Q Ql T
s s
s g g g s
T Ql Ql T Ql
s
g g g
ϕ α ϕ
ϕ ϕ α ϕ ϕ α ϕ
ϕ ϕ
∂ ∂
= + + + =
∂ ∂
∂ ∂
= + + = − +
∂ ∂
Tính l c suy r ng Qs và Qϕ : k O C
k
A P y Q yδ δ δ= +∑
V i : sin ; sin sin
2
O C
l
y s y sδ δ α δ δ α αδϕ= = −
V y
( )sin sin sin sin sin
2 2
k
k
l Ql
A P s Q s P Q sδ δ α δ α αδϕ α δ αδϕ
 
= + − = + − 
 
∑
Suy ra ( )sin ; sin
2
s
Ql
Q P Q Qϕα α= + = −
Phương trình Lagrange lo i hai i v i cơ h có d ng
;s
d T T d T T
Q Q
dt s s dt
ϕ
ϕ ϕ
 ∂ ∂ ∂ ∂ 
− = − =   ∂ ∂ ∂ ∂   
Thay k t qu vào ta ư c

16. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 16
( ) ( ) ( )
( )
2
2
3 2
cos sin sin
2 2 2
cos sin
3 2 2
P Q Ql Ql
s P Q
g g g
Ql Ql Ql
s
g g
ϕ α ϕ ϕ α ϕ α
ϕ α ϕ α
+
+ + − + = +


 + + = −

(0.1)
TÍnh vaøO OAa s ε ϕ= = T i th i i , b t u chuy n ng, khi ó
0; 0sϕ ϕ= = =
( )
2
3 2
cos sin
2 2
cos 0
3 2
O OA
OA O
P Q Ql
a P Q
g g
Ql Ql
a
g g
ε α α
ε α
+
+ = +

⇒ 
 + =

Gi i ra cho vaøO OAa s ε ϕ= = , ta ư c
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
4 sin 4 sin
6 4 3 cos 6 3 sin
6 sin cos
6 3 sin
O
OA
g P Q g P Q
a
P Q Q P Q Q
g P Q
l P Q Q
α α
α α
α α
ε
α
+ +
= =
+ − + +
+
= −
+ +