1. Unitat 5: Àlgebra i equacions de primer grau
Activitats prèvies: problema inicial / analogia balances
1. Introducció a l'àlgebra
2. La unitat més senzilla en àlgebra: els monomis
a) Nomenclatura
b) Grau d'un monomi
c) Monomis semblants
3. Operacions amb monomis
a) Suma i resta
b) Producte
c) Quocient
d) La propietat distributiva
4. El valor numèric d'una expressió algebraica
2. Unitat 5: Àlgebra i equacions de primer grau
5. Les equacions
a) Igualtats, identitats i equacions
b) Equacions de 1r grau: elements i nomenclatura
6. Resolució d'equacions: primeres tècniques
a) Tipus x + a = b
b) Tipus x - a = b
c) Tipus a · x = b
d) Tipus x / a = b
7. Resolució d'equacions
a) Mètode general per a equacions senzilles
b) Equacions amb parèntesis
c) Equacions amb denominadors
d) Resum: mètode general
8. Problemes amb equacions
3. 1. Introducció
Parts de les matemàtiques que coneixeu:
-Treball amb nombres, operacions,
jerarquia, etc.
Aritmètica
-Treball amb figures planes i cossos,
al pla o a l'espai.
-Treball amb relacions de dependència
entre nombres: funcions.
-Treball amb dades: recopilació,
representació i interpretació.
Geometria
Anàlisi
Estadística i probabilitat
-Treball amb nombres desconeguts,
que substituïm per lletres: x, y, z, a, b,...
Àlgebra
4. 2. La unitat més senzilla en àlgebra: els monomis
Un monomi és el producte indicat entre un valor conegut (el coeficient)
i un o més valors desconeguts, representats per lletres (la part literal).
a) Nomenclatura
Coeficient
(el número)
Monomi de grau 4
(3+1=4)
1 3
b ·h
2
Part literal
(les lletres)
b) Grau d'un monomi
El grau és la suma de tots els exponents de la part literal.
c) Monomis semblants
Si dos o més monomis tenen la mateixa part literal, direm que són
monomis semblants.
3x
2
−5 2
x
3
−4x
2
x2
3
Exercici 1 p86 Barcanova +ext
5. 3. Operacions amb monomis
a) Suma i resta:
Dos monomis només es poden sumar si són semblants. En aquest
cas, sumarem o restarem els coeficients i deixarem la mateixa part
literal.
2
2
2
3x + 4x −9x =−2x
2
2a+ b−4a+ 2b=−2a+ 3b
Exercici 2 p86 i 10, 11 i 12 p94
b) Producte:
El producte d'un o més monomis és un monomi que té com a
coeficient el producte dels coeficients, i com a part literal el producte
de les parts literals.
3a ·5b=(3· 5)·(a · b)=15ab
2
3
2
3
5x · 2x =(5 · 2)·( x · x )=10x
5
Exercici 3 p87
6. 3. Operacions amb monomis
c) Quocient:
Del quocient entre dos monomis se'n pot obtenir un nombre, un altre
monomi o una fracció algebraica. Posarem l'operació en forma de
fracció i simplificarem factors idèntics ("flas-flas").
2x 2 2
2x : 5x = 2 =
5x 5
(Nombre)
6a 3 b 2 2 ·3 · a · a · a · b · b 3a 2
6a 3 b 2 : 2ab2 =
=
=
=3a 2
2
2·a ·b·b
1
2ab
(Monomi)
2
2
8x 2 y 2 · 2 · 2 · x · x · y 4x 2
8x 2 y : 6y 3=
=
= 2
3
2 ·3 · y · y · y
6y
3y
(Fracció algebraica)
Exercici 4 p87 i 13 p95
7. 3. Operacions amb monomis
d) La propietat distributiva:
Si tenim un factor multiplicant un parèntesi, podem aplicar la
propietat distributiva "distribuint" aquest factor a cada un dels termes
de l'interior del parèntesi.
3
3x ·(5x −2x)
3
3
3x ·(5x −2x)=3x ·5x −3x · 2x
3
4
3x ·5x −3x · 2x=15x −6x
2
Exercici 5 full monomis 3r
8. 4. Valor numèric d'una expressió algebraica
El valor numèric d'una expressió algebraica és el nombre o
resultat que s'obté en substituir les lletres per nombres determinats i
realitzar les operacions indicades.
Exemple: Trobar el valor numèric de la següent expressió
algebraica per a x = 5.
2
3x + x+ 10
si x = 5
2
3 · 5 + 5+ 10
2
3 · 5 + 5+ 10=3 · 25+ 5+ 10=75+ 5+ 10=90
Exercici 2 p88 Barcanova+19 i 27
9. 5. Les equacions
a) Igualtats, identitats i equacions
Una
igualtat
és
una
expressió
matemàtica
que
indica
l'equivalència entre dues entitats mitjançant el símbol "=".
=
1r membre
2n membre
Numèriques: Tots els termes són valors coneguts.
Poden ser
4+5=3·3
Algebraiques: Hi ha termes desconeguts (lletres).
x + 32 - y = 2 · a + 1
Identitats
Equacions
10. 5. Les equacions
-Una identitat és una igualtat algebraica que es compleix
sempre, siguin quins siguin els valors que prenguin les lletres.
a + b = 42
3 + 39 = 42
22 + 20 = 42
-34 + 76 = 42
Les identitats tenen infinites solucions.
-Una equació és una igualtat algebraica que es compleix
només per a determinats valors de les lletres.
3·x+1=7
3·2+1=7
Les equacions tenen solucions concretes.
11. 5. Les equacions
b) Equacions de 1r grau: elements i nomenclatura
Les equacions de primer grau tenen una sola incògnita, que té
exponent 1, i una única solució.
Termes
5x - 7 = 2x + 2
1r membre
2n membre
-Incògnita: És la lletra que apareix a l'equació, normalment "x".
-Grau: És l'exponent de la incògnita.
-Solució: És el valor numèric de la incògnita per la qual es compleix la igualtat.
3x+ 1=7
Incògnita: x
Grau: 1
Solució: x=2
2
x =25
Incògnita: x
Grau: 2
Solucions: x=5 i x=-5
12. 6. Resolució d'equacions: primeres tècniques
Resoldre una equació consisteix en anar-la transformant fins a
aïllar la incògnita "x", és a dir, a deixar-la sola en un dels dos
membres.
a) Tipus x + a = b
Un terme "a" positiu al primer membre, passa com a negatiu al
segon membre, i viceversa.
x+a=b;
Exemple:
x=b-a
x+5=9;
x=9-5;
Comprovació:
Demostració:
x=4
4 + 5 = 9 ; 9 = 9 Ok.
x+a=b;x+a-a=b-a;x=b-a
13. 6. Resolució d'equacions: primeres tècniques
b) Tipus x - a = b
Un terme "a" negatiu al primer membre, passa com a positiu al
segon membre, i viceversa.
x-a=b;
Exemple:
x=b+a
x-3=5;
x=5+3;
c) Tipus a · x = b
x=8
Exercici 1 p104 Barcanova
Un terme "a" que multiplica TOT el primer membre, passa a
dividir tot el segon membre, i viceversa.
Exemple:
b
a · x = b ; x=
a
15
x=
3x = 15 ;
3
; x=5
14. 6. Resolució d'equacions: primeres tècniques
d) Tipus x/a = b
Un terme "a" que divideix TOT el primer membre, passa a
multiplicar tot el segon membre, i viceversa.
x
=b ;
a
Exemple:
x=b · a
x
=3 ; x=3· 4 ; x = 12
4
Exercicis 3 p105 Barcanova
15. 7. Resolució d'equacions
a) Mètode general per a equacions senzilles
1r -Quan tenim diversos termes en cada membre, primer
reduïrem (sumant o restant) els que siguin semblants.
2n -Transposarem els termes en x al primer membre, i els
termes independents (números), al segon membre.
3r -Tornarem a reduir per a obtenir una equació amb un dels
formats de l'apartat 6.
4t -Aïllarem definitivament la x.
5è -Comprovarem el resultat substituint-lo en l'equació primitiva.
16. 7. Resolució d'equacions
Exemple:
5x−2x=7+ x+ 5 ;
Reduïm
3x=x+ 12 ;
Transposem: les "x" a l'esquerra
3x−x=12 ;
Reduïm
2x=12 ;
12
x= ;
2
x=6
Exercicis 4 p105, 1 i 2 p106 i fitxa
Transposem per aïllar la x
Comprovació:
5· 6−2 · 6=7+ 6+ 5 ;
30−12=18 ;
18=18 Ok
17. 7. Resolució d'equacions
b) Equacions amb parèntesis: caldrà aplicar la propietat distributiva
Exemple:
3 ·( x−1)−6x=5−( x+ 7) ;
Apliquem p.distr.
3 · x−3 ·1−6x=5−x−7 ;
3x−3−6x=5− x−7 ;
Transposem: les "x" a l'esquerra
3x−6x+ x=5−7+ 3 ;
1
−2x=1 ; x=
−2
Reduïm i aïllem
Exercici 61 p123
18. 7. Resolució d'equacions
c) Equacions amb denominadors
Per eliminar tots els denominadors d'una equació, multiplicarem els
dos membres pel mcm de tots ells.
Exemple:
4 3x 1
x− = − ;
5 5 2
El mcm de 5 i 2 és 10
( ) (
)
4
3x 1
10 · x− =10 ·
− ;
5
5 2
20. 8. Problemes amb equacions
a) PROBLEMA TIPUS 1: Quin és el nombre que augmentat en 55
és igual a 6 vegades el seu valor inicial?
Primer pas: Identificar els elements del problema.
Un nombre
x
Un nombre augmentat en 55
x+55
Sis vegades el nombre
6·x
Segon pas: Expressar l'equació.
x+ 55=6x
Tercer pas: Resoldre l'equació.
−55
x+ 55=6x ; x−6x=−55 ;−5x=−55 ; x=
=11
−5
21. Quart pas: Fer la comprovació.
11 + 55 = 6 · 11 ; 66 = 66
Ok!
R) El nombre que estem buscant és l'11.
Exercicis Barcanova p110 1, 2, 3 i 4
Exercicis Fitxa problemes: 1,2,3,4,5,6 i 7
22. 8. Problemes amb equacions
b) PROBLEMA TIPUS 2: Per tres quilos de pomes i dos quilos de
préssecs he pagat 7,25 euros. Un quilo de préssecs val 50 cèntims
més que un de pomes. Quin és el preu del quilo de cada fruita?
Primer pas:
Preu del quilo de pomes
x
Preu del quilo de préssecs
x+0,5
Segon pas:
Tercer pas:
3 · x+ 2 ·( x+ 0,5)=7,25
6,25
3x+ 2x+ 1=7,25 ;5x=6,25 ; x=
=1,25
5
23. Quart pas:
3 · 1,25 + 2 · (1,25 + 0,5) = 7,25 ;
3,75 + 2 · 1,75 = 7,25;
3,75 + 3,50 = 7,25 ; 7,25 = 7,25
Ok!
R) El quilo de pomes val 1,25 euros i el quilo de préssecs val
1,75 euros (1,25+0,50).
Exercicis Barcanova p111 5
Exercicis Fitxa problemes: 10, 11, 13, 14, 15, 16 i 17
24. 8. Problemes amb equacions
c) PROBLEMA TIPUS 3: L'Aleix té 15 anys, la seva germana 12 i
la seva mare 40. Quants anys han de passar perquè entre tots
dos fills igualin l'edat de la mare?
Primer pas:
Els anys que han de passar serà "x"
Actualment
Aleix
15
15 + x
Germana
12
12 + x
Mare
Segon pas:
D'aquí a x anys
40
40 + x
15+ x+ 12+ x=40+ x
Tercer pas:
27+ 2x=40+ x ; 2x−x=40−27 ; x=13
25. Quart pas:
15 + 13 + 12 + 13 = 40 + 13 ;
53 = 53
Ok!
R) Han de passar 13 anys perquè entre tots dos fills igualin l'edat
de la mare.
Exercicis Barcanova p112 7 i 8
Exercicis Fitxa problemes: 20, 21 i 22
26. 8. Problemes amb equacions
d) PROBLEMA TIPUS 4: La base d'un rectangle és el doble que
l'altura, i el preímetre mesura 78cm. Calcula les dimensions del
rectangle.
Primer pas:
Costat més curt
x
Costat més llarg
2x
2x
x
x
2x
Segon pas:
Tercer pas:
x+ 2x+ x+ 2x=78
78
x+ 2x+ x+ 2x=78 ; 6x=78 ; x= =13
6
27. Quart pas:
13 + 2 · 13 + 13 + 2 · 13 = 78 ;
13 + 26 + 13 + 26 = 78 ; 78 = 78
Ok!
R) La base del rectangle mesura 26 cm (2 · 13) i la seva altura
13 cm.
Exercicis Barcanova p113 9 i 10
Exercicis Fitxa problemes: 18 i 19
