Llenguatge algebraic 3r ESO

1. El llenguatge
algebraic
Unitat 2

2. Expressions
algebraiques: monomis i
polinomis

3. Expressions algebraiques. Valor numèric
Una expressió algebraica és una
combinació de nombres, lletres i
signes d’operacions.
Exemples: a·b, 20x, 3a+b, v/t, -x+y,
x2+2,...
Quan substituïm cada lletra que forma l’expressió algebraica per un
valor (el que sigui), l’expressió pren un valor numèric.
Exemples: el valor numèric de 20x és
20 · 0 = 0, si x = 0
20 · 1 = 20, si x = 1
20 · 2 = 40, si x = 2, ….
📌 Estem escollint el valor de x, no buscant-lo!

4. Monomis
Un monomi és una expressió algebraica “sense sumes ni restes”, formada per la
multiplicació d’un nombre per una o diverses lletres.
Exemples: 7x, x2y, -4ab, -t, , 47a4, ….
⚠ Escrivim 7x, i no x7 o 7·x (no posem el punt, i el nombre va abans de la lletra)
⚠ No s’ha de confondre a+a=2a i a·a=a2. El primer vol dir “el doble de a” i el segon vol dir
“el quadrat de a”. Pots comprovar que són coses diferents donant-li valors a ‘a’.

5. Grau d’un monomi
El grau d’un monomi és la suma dels exponents de les seves variables (les lletres).
⚠ Una lletra sense exponent, per exemple x, té grau 1 (és com si hi hagués un 1 amagat a
dalt, però no l’escrivim)
⚠ Si el monomi no té variables, per exemple 4, el seu grau és 0 (no hi ha exponents)
Exemples: el grau de ab és 1+1=2; el grau de 20x és 1; el grau de x2 és 2; el grau de
m4n és 4+1=5;...

6. Polinomis. Grau d’un polinomi
Un polinomi és una expressió algebraica formada per sumes i restes de diferents monomis.
Exemples: 3a+b, x2+2, 3x-y3, x4-7x3+23x-2, etcètera.
El grau d’un polinomi és el grau màxim dels monomis que el formen.
Exemples:
- El grau de 3a+b és 1, perquè tant 3a com b són de grau 1
- El grau de x2+2 és 2, perquè x2 té grau 2, i 2 té grau 0, i el màxim de 0 i 2 és 2
- El grau de 3x-y3 és 3, perquè 3x té grau 1, -y3 té grau 3, i el màxim de 1 i 3 és 3
- El grau de x4-7x3+23x-2 és 4, perquè el grau màxim dels monomis que el formen és 4.

7. Operacions i extracció de
factor comú
Com les lletres representen nombres, les operacions que
podem fer amb elles són les mateixes, i compleixen les
mateixes propietats que les operacions amb nombres
normals. Només haurem de vigilar de no juntar coses que
no es poden...

8. Suma i resta
Per sumar i restar expressions algebraiques, agrupem els termes semblants.
- Què vol dir termes semblants? són els monomis que tenen les mateixes lletres i amb
els mateixos exponents.
Per tant, no podem agrupar x amb x2, o a amb b, les haurem de deixar separades.
Exemples:
x - 6 + y2 -3x +5y - 9 = -2x - 15 + y2 + 5y
2a +7b - ab - 2a2b + 6a - 12b = 8a - 5b - ab - 2a2b

9. Producte (multiplicació). Propietat
distributiva
Per multiplicar expressions algebraiques utilitzem la propietat distributiva.
Recordem-la:
a(b + c) = ab + ac i a(b - c) = ab - ac
Abans de seguir, comprovem que amb nombres funciona, potser així ens ho creiem més (ho
pots provar amb altres nombres si encara no et convenç):
Fent parèntesi primer: 2(7+4) = 2·11 = 22
Fent distributiva: 2(7+4) = 2·7 + 2·4 = 14 + 8 = 22

10. Producte (multiplicació). Propietat
distributiva
Exemples:
3x(2x + 4) = 6x2 + 12x, perquè 3·2 = 6, x·x=x2, i 3·4=12
3(m + 2n - 9) = 3m + 6n - 27
k(2k + 17 - 3n) = 2k2 + 17k - 3kn
També val si estan intercanviades (per la propietat commutativa):
(2x + 4)3x = 6x2 + 12x
(m + 2n - 9) · 3 = 3m + 6n - 27

11. Producte (multiplicació). Propietat
distributiva
Compliquem-ho una mica: si les dues expressions estan entre parèntesis també funciona, però hem
d’aplicar la distributiva tantes vegades com calgui:
● (a+3)(a+2) = a(a+2) + 3(a+2) = a2 + 2a + 3a + 6
Ara sumem (agrupem), i ens queda a2 + 5a + 6
Com a+3 té dos termes, apliquem la distributiva dues vegades.
● També es pot desenvolupar per l’expressió de la dreta:
(a+3)(a+2) = (a+3)a + (a+3)·2 = a2 + 3a + 2a + 6 = a2 + 5a + 6
Fent-ho de les dues maneres dona el mateix.

12. Producte (multiplicació). Propietat
distributiva
● (m+2n+3)(n-1) = m(n-1) + 2n(n-1) + 3(n-1) = mn - m + 2n2 - 2n + 3n - 3
I agrupant, queda = mn - m + 2n2 + n - 3
Com m+2n+3 té tres termes, apliquem la distributiva tres vegades.
● En aquest cas, desenvolupant per (n-1) potser és més curt:
(m+2n+3)(n-1) = (m+2n+3)n - (m+2n+3)·1 = mn + 2n2 + 3n - m - 2n - 3,
I agrupant, queda el mateix que abans: mn + 2n2 + n - m - 3.

13. Producte (multiplicació). Propietat
distributiva
Si hi ha més de dues expressions multiplicant-se, es van fent una per una.
Exemple: n(n+2)(n+1) =
Fent primer la multiplicació n(n+2)
= (n2+2n)(n+1) = n2(n+1) + 2n(n+1) = n3 + n2 + 2n2 + 2n = n3 + 3n2 + 2n
Fent primer la multiplicació (n+2)(n+1)
= n[n(n+1) + 2(n+1)] = n(n2 + n + 2n + 2) = n(n2 + 3n +2) = n3 + 3n2 + 2n

14. Extracció de factor comú
Treure factor comú és just el contrari d’aplicar la propietat distributiva: volem reduir, recollir, d’alguna manera.
● Mirem què es repeteix en cada monomi que forma el polinomi. Aquest serà el factor comú
○ Factoritzem els nombres per veure si tenen algun factor comú (ex: 12 = 22 · 3)
○ Mirem quin és l’exponent més petit al que està elevat cada variable.
● Escrivim aquest factor comú
● Entre parèntesis, escrivim el que queda de cada monomi un cop tret el factor comú, i posem les
sumes/restes que toquin entre els monomis.
● Podem comprovar que no ens hem equivocat aplicant la p. distributiva i veient que ens dóna el que teníem
inicialment.

15. Extracció de factor comú. Exemples
● 4z2 + 2z
Es repeteix una z i un 2 (perquè 4 = 2·2)
= 2z(2z + 1)
Comprovem amb la distributiva: 2z · 2z + 2z · 1 = 4z2 + 2z ✓
● 32xy2 + 24yz
Com 32 = 25 i 24 = 23 · 3, de nombres es repeteix 23 = 8; de lletres només y
= 8y(4xy + 3z)
Comprovem amb la distributiva: 8y · 4xy + 8y · 3z = 32xy2 + 24yz ✓

16. Divisió
Hem de simplificar, igual que amb els nombres
Exemple
32xy2 : 22yz =
(2x2+2xy) : (x+y) = [2x(x+y)] : (x+y) = 2x
⚠ Observa que el resultat de dividir monomis (o polinomis) no sempre és un monomi o un
polinomi. S’anomenen fraccions algebraiques… les veureu a 4t més a fons (espero)!

17. Identitats notables

18. De què estem parlant?
● Què és una identitat?
En matemàtiques, és una igualtat que sempre és certa.
Per exemple, x + x = 2x és una identitat, perquè funciona per qualsevol valor que li
donem a x.
○ (Una equació, en canvi, és una igualtat que només és certa per certs valors de les variables)
● Per què identitats notables?
Perquè són importants i útils en diversos contextos.

19. Identitats notables
Són aquestes tres igualtats:
● (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ⇠ quadrat de la suma
● (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ⇠ quadrat de la resta o de la diferència
● (a + b)(a - b) = a2 - b2 ⇠ suma per diferència
📌 diferència vol dir ‘resta’
Veiem ara diverses maneres de demostrar o comprovar aquestes igualtats.

20. Identitats notables. Quadrat de la suma
Una manera de veure-ho és utilitzant la propietat distributiva:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
Exemples:
(x + 4)2 = x2 + 2·x·4 + 42 = x2 + 8x + 16
(3xy + 8)2 = (3xy)2 + 2·3xy·8 + 82 = 9x2y2 + 48xy + 64
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

21. Identitats notables. Quadrat de la suma
També podem fer una interpretació geomètrica:
En la imatge de la dreta, el costat del quadrat gran és a+b, per tant la seva
àrea és (a+b)2, i aquest quadrat gran el podem dividir en un quadrat d’àrea
a2, un altre d’àrea b2, i dos rectangles d’àrea a·b.
Per tant, podem igualar l’àrea del quadrat gran i la suma de les àrees en què
l’hem dividit… i obtenim la igualtat notable!
Si et costa, fes un exemple numèric: per exemple, (3+2)2

22. Recorda-ho: (a+b)2 NO és igual a a2+b2

23. Identitats notables. Quadrat de la resta
Una manera de veure-ho és utilitzant la propietat distributiva:
(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a(a - b) - b(a - b) = a2 - ab - ab - b·(-b) = a2 - 2ab + b2
⚠ la b2 va en positiu!
Exemples:
(2x - 1)2 = (2x)2 - 2·2x·1 + 12 = 4x2 - 4x + 1
(2m - 3n)2 = (2m)2 - 2·2m·3n + (3n)2 = 4m2 - 12mn + 9n2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

24. Identitats notables. Quadrat de la resta
També es pot fer una interpretació
geomètrica: El quadrat taronja (de costat a-b) es pot
obtenir a partir de:
● el quadrat gran (tota la figura, d’àrea a2)
● restar-li el rectangle rosa i verd, d’àrea a·b
● restar-li el rectangle lila i verd, d’àrea a·b
● sumar-li el quadrat verd, d’àrea b2, perquè
l’hem restat dues vegades i hem de
compensar
Ens queda, per tant, (a-b)2 = a2 - ab - ab + b2 =
a2 - 2ab + b2, que és la identitat notable!
Si et costa, fes un exemple numèric: per exemple, (5 - 2)2

25. Identitats notables. Suma per diferència
Utilitzant la propietat distributiva:
(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2
Exemples:
(k + 3)(k - 3) = k2 - 9
(7t + 2)(7t - 2) = 49t2 - 4
(a + b)(a - b) = a2 - b2

26. Identitats notables. Suma per diferència
Interpretació geomètrica de la igualtat:
Si et costa, fes un exemple numèric: per exemple, (4 + 2)(4 - 2)