2. Εισαγωγή
• Στα τέλη της δεκαετίας του ’50, οι Ολλανδοί καθηγητές στη μέση
εκπαίδευση Pierre Van Hiele και η σύζυγός του Dina Van Hiele-Geldof,
προβληματίζονταν με τις δυσκολίες των μαθητών τους στην γεωμετρία.
• Μελετώντας τις εργασίες του Piaget ο Pierre Van Hiele συνειδητοποίησε
ότι, όπως ακριβώς συμβαίνει με τα γνωστικά στάδια του Piaget, τα
προβλήματα ή οι εργασίες που ζητούνται από τους μαθητές απαιτούν
λεξιλόγιο ή ιδιότητες που βρίσκονται πάνω από το επίπεδο της σκέψης
τους.
3. Εισαγωγή
• Αν η διδασκαλία λαμβάνει χώρα σε επίπεδο πάνω από αυτό του μαθητή,
τότε η διδασκόμενη ύλη δεν αφομοιώνεται σωστά και δεν συγκρατείται
μακροπρόθεσμα.
• Η ίδια ιδέα εμφανίζεται και στο έργο του σοβιετικού Vygotsky με τη Ζώνη
Επικείμενης Ανάπτυξης (ΖΕΑ).
• Τα πέντε επίπεδα κατανόησης που διατύπωσαν οι Van Hiele αποτελούν τη
μία από τις τρεις συνιστώσες του μοντέλου τους.
• Οι άλλες δύο συνιστώσες είναι οι φάσεις της μάθησης και η ενόραση.
4. Επίπεδα κατανόησης
Επίπεδο 4. Αυστηρότητα ή αξιωματικοποίηση
Επίπεδο 3. Απόδειξη ή τυπική παραγωγή
Επίπεδο 2. Σύνδεση ή άτυπη παραγωγή
Επίπεδο 1. Περιγραφή ή ανάλυση ιδιοτήτων
Επίπεδο 0. Αναγνώριση ή Οπτικοποίηση
5. Επίπεδο 0. Αναγνώριση ή Οπτικοποίηση
• Οι μαθητές αναγνωρίζουν σχήματα από τη συνολική μορφή τους, σαν μια
ολότητα.
• Για την περιγραφή τους χρησιμοποιούν οπτικά πρότυπα (π.χ. ένα σχήμα
είναι ορθογώνιο όταν μοιάζει με πόρτα κ.λπ.).
• Μπορούν να τα κατονομάσουν (π.χ. ως τρίγωνα, τετράγωνα ή κύβους).
• Δεν μπορούν να διατυπώσουν τις ιδιότητές τους.
• Λύνουν προβλήματα χωρίς τη χρήση ιδιοτήτων (π.χ. Tangram).
6. Επίπεδο 1. Περιγραφή ή ανάλυση ιδιοτήτων
• Οι μαθητές μπορούν να αναγνωρίσουν ένα σχήμα από τις ιδιότητές του
(π.χ. «ένα σχήμα είναι ορθογώνιο γιατί έχει τέσσερις ορθές γωνίες»).
• Μπορούν να αναφέρουν άλλες ιδιότητες των σχημάτων (π.χ. «τα
ορθογώνια έχουν ίσες διαγώνιες» ή «ένας ρόμβος έχει τις διαγώνιες
κάθετες»).
• Δεν μπορούν να τα ορίσουν τυπικά ή να αποδείξουν τις ιδιότητες.
• Συγκρίνουν τάξεις σχημάτων με βάση τις ιδιότητές τους.
7. Επίπεδο 2. Σύνδεση ή άτυπη παραγωγή
• Οι μαθητές συνδέουν τα σχήματα με βάση τις ιδιότητές τους και τα
ταξινομούν σε κατηγορίες (π.χ. «κάθε τετράγωνο είναι ορθογώνιο»).
• Αρχίζουν να κατανοούν το ρόλο του ορισμού.
• Μπορούν να κάνουν απλούς παραγωγικούς συλλογισμούς
• Δεν μπορούν να κατανοήσουν ή να συνθέσουν πλήρεις αποδείξεις των
ισχυρισμών τους.
• Αναγνωρίζουν σχέσεις μεταξύ τάξεων σχημάτων.
8. Επίπεδο 3. Απόδειξη ή τυπική παραγωγή
• Οι μαθητές αναπτύσσουν συλλογισμούς για να αποδείξουν μια πρόταση
χρησιμοποιώντας δεδομένα (π.χ. πώς το αξίωμα της παραλληλίας
συνεπάγεται ότι το άθροισμα γωνιών τριγώνου είναι 180ο).
• Δεν αναγνωρίζουν την ανάγκη για αυστηρότητα στην απόδειξη.
• Δεν κατανοούν τις σχέσεις μεταξύ διαφόρων αξιωματικών συστημάτων.
Στο Λύκειο η μελέτη της Γεωμετρίας ξεκινάει από αυτό το επίπεδο.
9. Επίπεδο 4. Αυστηρότητα ή αξιωματικοποίηση
• Οι μαθητές είναι σε θέση να αναλύσουν διάφορα αξιωματικά συστήματα
με μεγάλη αυστηρότητα.
• Γνωρίζουν την ύπαρξη και άλλων αξιωματικών θεμελιώσεων για την
Ευκλείδεια Γεωμετρία εκτός από αυτή του Hilbert.
• Κατανοούν ιδιότητες όπως η συνέπεια, η ανεξαρτησία και η πληρότητα
των αξιωμάτων.
Μία μειοψηφία μαθητών φτάνει στο επίπεδο αυτό κατά τη διάρκεια της
τριτοβάθμιας εκπαίδευσης. Οι περισσότεροι δεν φτάνουν ποτέ.
10. Παράδειγμα: Η έννοια του ρόμβου
Επίπεδο 0 (Γ’–Δ’ Δημοτικού)
Η αναγνώριση του ρόμβου στηρίζεται σ΄ ένα οπτικό πρότυπο.
Αν αλλάξει ο προσανατολισμός μπορεί να μην είναι πια ρόμβος.
Ένα τετράγωνο αποκλείεται να είναι ρόμβος.
Επίπεδο 1 (ΣΤ’ Δημοτικού)
Η αναγνώριση του ρόμβου βασίζεται σ΄ ένα δίκτυο σχέσεων.
Ακόμα και αν το σχήμα δεν είναι κατασκευασμένο με ακρίβεια, ο μαθητής
μπορεί να αποφανθεί αν είναι ρόμβος ή όχι.
11. Παράδειγμα: Η έννοια του ρόμβου
Επίπεδο 2 (Β’ Γυμνασίου)
Ο μαθητής συνειδητοποιεί ότι το σχήμα είναι ρόμβος αν ικανοποιεί τον
ορισμό (έχει τέσσερις πλευρές ίσες).
Μπορεί να «ταξινομήσει» τον ρόμβο μέσα στο σύνολο των τετράπλευρων.
Επίπεδο 3 (Α’ Λυκείου)
Ο μαθητής μπορεί με βάση τον ορισμό και άλλες γνωστές προτάσεις να
αποδείξει τις ιδιότητές του αλλά και να διατυπώσει κριτήρια ικανά να
χαρακτηρίσουν ένα τετράπλευρο ως ρόμβο.
12. Παράδειγμα: Η έννοια του ρόμβου
Επίπεδο 4 (Πανεπιστήμιο)
Ο φοιτητής μπορεί να αναγνωρίσει αν ένα σχήμα είναι ρόμβος ή όχι σε άλλα
αξιωματικά συστήματα (π.χ. αν υπάρχουν ρόμβοι στην επιφάνεια μιας
σφαίρας).
15. Φάση 1. Πληροφόρηση
• Ο δάσκαλος συζητά (αμφίδρομα) με τους μαθητές για το αντικείμενο της
μελέτης, ανταλλάσσει δηλαδή πληροφορίες μαζί τους.
• Μαθαίνει πώς οι μαθητές ερμηνεύουν το σχετικό λεξιλόγιο και τους δίνει
οδηγίες για το θέμα που θα μελετήσουν.
• Προκύπτουν ερωτήματα και γίνονται παρατηρήσεις που χρησιμοποιούν τη
σχετική ορολογία και καθορίζουν το πλαίσιο μέσα στο οποίο θα γίνει η
μελέτη.
Οι μαθητές εξοικειώνονται με το αντικείμενο.
16. Φάση 2. Καθοδηγούμενος προσανατολισμός
• Ο δάσκαλος οργανώνει προσεκτικά μια ακολουθία δραστηριοτήτων με την
οποία οι μαθητές αρχίζουν να συνειδητοποιούν την κατεύθυνση που
παίρνει η μελέτη και να εξοικειώνονται με τις σχετικές δομές.
• Πολλές από τις δραστηριότητες της φάσης αυτής είναι απλά βήματα που
απαιτούν συγκεκριμένη απάντηση.
17. Φάση 3. Έκφραση - Ανάλυση
• Οι μαθητές, βασιζόμενοι στις εμπειρίες τους, και με την ελάχιστη δυνατή
παρακίνηση από το δάσκαλο, ξεκαθαρίζουν τη χρήση της ορολογίας και
εκφράζουν τη γνώμη τους για τις δομές που υπεισέρχονται στη μελέτη.
• Αρχίζουν να διαμορφώνουν το σύστημα των σχέσεων ανάμεσα στις υπό
μελέτη έννοιες.
Κάποιοι συγγραφείς, ονομάζουν επεξήγηση τη φάση αυτή. Είναι όμως
βασικό οι μαθητές να κάνουν μόνοι τους παρατηρήσεις και όχι να δέχονται
επεξηγήσεις από το δάσκαλο.
18. Φάση 4. Ελεύθερος προσανατολισμός
• Οι μαθητές συναντούν εργασίες με πολλά βήματα ή εργασίες που μπορούν
να ολοκληρωθούν με περισσότερους από έναν τρόπους.
• Αποκτούν εμπειρία στο να βρίσκουν μόνοι τους τον τρόπο εκτέλεσης της
εργασίας.
• Με το να προσανατολίζονται μόνοι τους στο πεδίο της έρευνας,
αποσαφηνίζουν πολλές από τις σχέσεις μεταξύ των υπό μελέτη
αντικειμένων.
19. Φάση 5. Αφομοίωση
• Οι μαθητές επαναλαμβάνουν τις μεθόδους που έχουν τώρα στη διάθεσή
τους και κάνουν μία σύνοψη.
• Τα αντικείμενα και οι σχέσεις συνενώνονται και ενσωματώνονται σε ένα
γνωστικό σχήμα.
• Ο δάσκαλος βοηθάει αυτή τη διαδικασία, παρέχοντας σφαιρικές απόψεις
των γνώσεων που έχουν ήδη οι μαθητές, προσέχοντας να μην παρουσιάσει
νέες ή άσχετες ιδέες.
20. Παράδειγμα
Φάση 1
Επιδεικνύονται διάφορα σχήματα στους μαθητές και ακολουθεί συζήτηση
ποια είναι ρόμβοι και ποια όχι.
Φάση 2
Ο ρόμβος διπλώνεται για την ανακάλυψη των αξόνων συμμετρίας και
γίνονται κάποιες παρατηρήσεις για τις διαγώνιες και τις γωνίες.
Φάση 3
Οι μαθητές διατυπώνουν ιδέες για τις ιδιότητές του.
21. Παράδειγμα
Φάση 4
Ζητείται από τους μαθητές η κατασκευή ενός ρόμβου από ορισμένα στοιχεία
του.
Φάση 5
Οι ιδιότητες ανακεφαλαιώνονται και εντάσσεται λειτουργικά μέσα στην
οικογένεια των υπολοίπων τετράπλευρων ιδιαίτερα σε σχέση με τα υπόλοιπα
είδη παραλληλογράμμων.
22. Φάσεις μάθησης
• Οι φάσεις της διδασκαλίας κατά Van Hiele μπορούν να συγκριθούν με την
αρχή των διαδοχικών φάσεων του Polya που αποτελείται από την
εξερεύνηση, την τυποποίηση και την αφομοίωση.
• Μπορούν επίσης να συγκριθούν με τους κύκλους μάθησης του Dienes.
• Κοινό στοιχείο όλων αυτών των προσεγγίσεων είναι ο συνεχής τρόπος με
τον οποίο οι ιδέες γεννιούνται, ξεκαθαρίζονται και επεκτείνονται.
23. Ενόραση
• Σύμφωνα με τους Van Hiele, ένα άτομο δείχνει ενόραση αν:
• Είναι ικανό να λειτουργήσει σε μία κατάσταση με την οποία δεν είναι
εξοικειωμένο.
• Εκτελεί ικανοποιητικά (σωστά και με ακρίβεια) τις ενέργειες που απαιτεί η
κατάσταση αυτή.
• Εκτελεί συνειδητά και μετά από σκέψη μία διαδικασία που επιλύει το
πρόβλημα.
24. Ενόραση
• Ένας μαθητής δείχνει ενόραση αν καταλαβαίνει τι ακριβώς κάνει, γιατί το
κάνει και πότε το κάνει. Μπορεί να εφαρμόσει τις γνώσεις του ώστε να
λύσει προβλήματα.
• Ο δάσκαλος πρέπει να προσπαθεί να διευρύνει τη ενόραση των μαθητών
του και για να το πετύχει αυτό οι Van Hiele εισήγαγαν τις φάσεις της
μάθησης.
• Η ενόραση εξακολουθεί να είναι το κύριο ζητούμενο σε όλες τις έρευνες
γύρω από τη διδακτική είτε αυτές αφορούν τα μαθηματικά είτε όχι.
25. Ενόραση
• O P. Van Hiele ασχολήθηκε ιδιαίτερα με τις δομές που κατά τον ίδιο δεν
περιορίζονται σε αλγεβρικές ή γεωμετρικές.
• Τον ενδιέφεραν οι δομές που έχουν βαθιά σχέση με τη διδασκαλία και τη
μάθηση και σχηματίζουν μια βάση για την επίλυση προβλημάτων.
• Για παράδειγμα ένα φύλλο τετραγωνισμένο χαρτί προσφέρει την υποδομή
για να ασχοληθούμε με επίπεδα και στερεά σχήματα αλλά και για να
δουλέψουμε με κλάσματα, εμβαδά κ.λπ. Οι έρευνές του είχαν μεγάλη
επίδραση στη διδακτική των μαθηματικών αλλά και άλλων επιστημών.
26. Τεστ Van Hiele
01. Ποια από τα παρακάτω σχήματα είναι τετράγωνα;
α. Το Κ μόνο.
β. Το Λ μόνο.
γ. Το Μ μόνο.
δ. Το Λ και το Μ.
ε. Όλα είναι τετράγωνα.
27. Τεστ Van Hiele
02. Ποια από τα παρακάτω σχήματα είναι τρίγωνα;
α. Κανένα από αυτά δεν είναι τρίγωνο.
β. Το Λ μόνο.
γ. Το Μ μόνο.
δ. Το Μ και το Ν.
ε. Το Λ και το Μ.
28. Τεστ Van Hiele
03. Ποια από τα παρακάτω σχήματα είναι ορθογώνια;
α. Το Κ μόνο.
β. Το Λ μόνο.
γ. Το Κ και το Λ.
δ. Το Λ και το Μ.
ε. Όλα είναι ορθογώνια.
29. Τεστ Van Hiele
04. Ποια από τα παρακάτω σχήματα είναι τετράγωνα;
α. Κανένα από αυτά δεν είναι τετράγωνο.
β. Το Λ μόνο.
γ. Το Κ και το Λ.
δ. Το Λ και το Ν.
ε. Όλα είναι τετράγωνα.
30. Τεστ Van Hiele
05. Ποια από τα παρακάτω σχήματα είναι παραλληλόγραμμα;
α. Το Κ μόνο.
β. Το Μ μόνο.
γ. Το Κ και το Λ.
δ. Κανένα από αυτά δεν είναι παραλληλόγραμμο.
ε. Όλα είναι παραλληλόγραμμα.
31. Τεστ Van Hiele
06. Το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο. Ποια σχέση είναι αληθής για όλα τα τετράγωνα.
α. Το ΚΜ και το ΜΝ έχουν το ίδιο μήκος.
β. Το ΚΜ και το ΛΝ είναι κάθετα.
γ. Το ΚΝ και το ΛΜ είναι κάθετα.
δ. Το ΚΝ και το ΚΜ έχουν το ίδιο μήκος.
ε. Η γωνία Λ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία Μ.
32. Τεστ Van Hiele
07. Στο ορθογώνιο ΚΛΜΝ οι ΚΜ και ΛΝ είναι διαγώνιες. Ποια από τα (α) έως (δ) δεν είναι
αληθή σε κάθε ορθογώνιο;
α. Υπάρχουν 4 ορθές γωνίες.
β. Υπάρχουν 4 πλευρές.
γ. Οι διαγώνιες έχουν το ίδιο μήκος.
δ. Οι απέναντι πλευρές έχουν το ίδιο μήκος.
ε. Όλα από (α) έως (δ) είναι αληθή σε κάθε ορθογώνιο.
33. Τεστ Van Hiele
08. Ο ρόμβος είναι ένα τετράπλευρο με όλες τις πλευρές του ίσες. Στο παρακάτω σχήμα
υπάρχουν τρία παραδείγματα. Ποια από τα (α) έως (δ) δεν είναι αληθή σε κάθε
ρόμβο;
α. Οι διαγώνιες έχουν το ίδιο μήκος.
β. Κάθε διαγώνιος διχοτομεί δύο από τις γωνίες του ρόμβου.
γ. Οι δύο διαγώνιες είναι κάθετες.
δ. Οι απέναντι γωνίες έχουν το ίδιο μέτρο.
ε. Όλα από (α) έως (δ) είναι αληθή.
34. Τεστ Van Hiele
09. Ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο με δύο ίσες πλευρές. Στο παρακάτω σχήμα
υπάρχουν τρία παραδείγματα. Ποια από τα (α) έως (δ) είναι αληθή σε κάθε ισοσκελές
τρίγωνο;
α. Οι τρεις πλευρές πρέπει να έχουν το ίδιο μήκος.
β. Μια πλευρά να είναι διπλάσια σε μήκος από κάποια άλλη.
γ. Πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο γωνίες με το ίδιο μέτρο.
δ. Οι τρεις γωνίες πρέπει να έχουν το ίδιο μέτρο.
ε. Κανένα από τα (α) έως (δ) δεν είναι αληθές για κάθε ισοσκελές τρίγωνο.
35. Τεστ Van Hiele
10. Δύο κύκλοι με κέντρα Κ και Λ τέμνονται στα σημεία Μ και Ν σχηματίζοντας το
τετράπλευρο ΚΜΛΝ. Στο παρακάτω σχήμα υπάρχουν δύο παραδείγματα. Ποια από τα
(α) έως (δ) δεν είναι πάντα αληθή;
α. Το ΚΜΛΝ θα έχει δύο ζευγάρια πλευρών ίσου μήκους.
β. Το ΚΜΛΝ θα έχει τουλάχιστον δύο γωνίες ίσου μέτρου.
γ. Οι ευθείες ΚΛ και ΜΝ θα είναι κάθετες.
δ. Οι γωνίες Κ και Λ θα έχουν το ίδιο μέτρο.
ε. Όλα από (α) έως (δ) είναι αληθή.
36. Τεστ Van Hiele
11. Υπάρχουν δύο υποθέσεις. Ποιο από τα παρακάτω είναι σωστό;
Υπόθεση 1: «Το σχήμα Φ είναι ένα ορθογώνιο».
Υπόθεση 2: «Το σχήμα Φ είναι ένα τρίγωνο».
α. Αν η 1 είναι αληθής, τότε και η 2 είναι αληθής.
β. Αν η 1 είναι λάθος ,τότε η 2 είναι αληθής.
γ. Οι 1 και 2 δεν μπορεί να είναι και οι δύο αληθείς.
δ. Οι 1 και 2 δεν μπορεί να είναι και οι δύο ψευδείς.
ε. Καμία από τις (α) έως (δ) δεν είναι σωστή.
37. Τεστ Van Hiele
12. Υπάρχουν δύο υποθέσεις. Ποιο από τα παρακάτω είναι σωστό;
Υπόθεση 1: «Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις πλευρές με το ίδιο μήκος».
Υπόθεση 2: «Στο τρίγωνο ΑΒΓ οι γωνίες Β και Γ έχουν το ίδιο μέτρο».
α. Οι υποθέσεις 1 και 2 δεν μπορεί να είναι και οι δύο αληθείς.
β. Αν η 1 είναι αληθής ,τότε και η 2 είναι αληθής.
γ. Αν η 2 είναι αληθής ,τότε και η 1 είναι αληθής.
δ. Αν η 1 είναι ψευδής ,τότε και η 2 είναι ψευδής.
ε. Καμία από τις (α) έως (δ) δεν είναι σωστή.
38. Τεστ Van Hiele
13. Ποια από τα παρακάτω σχήματα μπορούν να τα ονομαστούν ορθογώνια;
α. Όλα μπορούν.
β. Μόνο το Λ.
γ. Μόνο το Μ.
δ. Τα Κ και Λ μόνο.
ε. Τα Λ και Μ μόνο.
39. Τεστ Van Hiele
14. Ποια είναι αληθή;
α. Όλες οι ιδιότητες των ορθογωνίων είναι ιδιότητες των τετραγώνων.
β. Όλες οι ιδιότητες των τετραγώνων είναι ιδιότητες των ορθογωνίων.
γ. Όλες οι ιδιότητες των ορθογωνίων είναι ιδιότητες των παραλληλογράμμων
δ. Όλες οι ιδιότητες των τετραγώνων είναι ιδιότητες των παραλληλογράμμων
ε. Καμία από τις (α) έως (δ) δεν είναι σωστή.
40. Τεστ Van Hiele
15. Τι έχουν όλα τα ορθογώνια που μερικά παραλληλόγραμμα δεν έχουν;
α. Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες.
β. Οι διαγώνιες είναι ίσες.
γ. Οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες.
δ. Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.
ε. Κανένα από τα (α) έως (δ).
41. Τεστ Van Hiele
16. Έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΓΕ, ΑΒΖ και ΒΓΔ
σχηματίζονται στις πλευρές ΑΓ, ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα του τριγώνου ΑΒΓ. Από αυτή
την πληροφορία μπορεί κάποιος να αποδείξει ότι: «οι ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ έχουν ένα κοινό
σημείο». Τι σας λέει αυτή η απόδειξη;
α. Μόνο σε αυτό το τρίγωνο είναι σίγουρο ότι οι ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ έχουν ένα κοινό σημείο.
β. Σε μερικά και όχι σε όλα τα ορθογώνια τρίγωνα οι ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ έχουν ένα κοινό σημείο.
γ. Σε οποιαδήποτε ορθογώνια τρίγωνα οι ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ έχουν ένα κοινό σημείο.
δ. Σε οποιαδήποτε τρίγωνα οι ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ έχουν ένα κοινό σημείο.
ε. Σε οποιαδήποτε ισόπλευρο τρίγωνο οι ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ έχουν ένα κοινό σημείο.
42. Τεστ Van Hiele
17. Υπάρχουν 3 ιδιότητες ενός σχήματος. Ποια από τα παρακάτω είναι αληθή;
Ιδιότητα 1: «Το σχήμα έχει διαγώνιες με ίσα μήκη».
Ιδιότητα 2: «Το σχήμα είναι ένα τετράγωνο».
Ιδιότητα 3: «Το σχήμα είναι ένα ορθογώνιο».
α. Η 1 συνεπάγεται την 2 η οποία συνεπάγεται την 3.
β. Η 1 συνεπάγεται την 3 η οποία συνεπάγεται την 2.
γ. Η 2 συνεπάγεται την 3 η οποία συνεπάγεται την 1 .
δ. Η 3 συνεπάγεται την 1 η οποία συνεπάγεται την 2.
ε. Η 3 συνεπάγεται την 2 η οποία συνεπάγεται την 1.
43. Τεστ Van Hiele
18. Υπάρχουν δύο υποθέσεις. Ποιο από τα παρακάτω είναι σωστό;
Υπόθ. 1: «Αν ένα σχήμα είναι ορθογώνιο, τότε οι διαγώνιοί του διχοτομούνται».
Υπόθ. 2: «Αν οι διαγώνιοι ενός σχήματος διχοτομούνται, τότε αυτό είναι ορθογώνιο».
α. Για να αποδειχθεί ότι η 1 είναι σωστή, αρκεί να αποδειχθεί ότι η 2 είναι σωστή.
β. Για να αποδειχθεί ότι η 2 είναι σωστή, αρκεί να αποδειχθεί ότι η 1 είναι σωστή.
γ. Για να αποδειχθεί ότι η 2 είναι σωστή, αρκεί να βρεθεί ένα ορθογώνιο του οποίου οι
διαγώνιες να διχοτομούνται.
δ. Για να αποδειχθεί ότι η 2 είναι λάθος, αρκεί να βρεθεί ένα μη ορθογώνιο του οποίου οι
διαγώνιες να διχοτομούνται.
ε. Καμία από τις (α) έως (δ) δεν είναι σωστή.
44. Τεστ Van Hiele
19. Στη Γεωμετρία:
α. Κάθε όρος μπορεί να ορισθεί και κάθε αληθής εικασία μπορεί να αποδειχθεί.
β. Κάθε όρος μπορεί να ορισθεί αλλά είναι αναγκαίο να υποθέσουμε ότι ορισμένες εικασίες
είναι αληθείς.
γ. Μερικοί όροι μπορεί να μην ορισθούν αλλά κάθε αληθής εικασία μπορεί να αποδειχθεί
αληθής.
δ. Μερικοί όροι μπορεί να μην ορισθούν αλλά είναι αναγκαίο να έχουμε μερικές εικασίες οι
οποίες υποτίθεται αληθείς.
ε. Τίποτε από τα (α) έως (δ) δεν είναι σωστό.
45. Τεστ Van Hiele
20. Εξετάστε αυτές τις τρεις υποθέσεις.
Υπόθεση 1: «Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία, είναι μεταξύ τους παράλληλες».
Υπόθεση 2: «Μια ευθεία που είναι κάθετη σε μια από δύο παράλληλες, είναι κάθετη
και στην άλλη». Υπόθεση 3: «Εάν δύο ευθείες ισαπέχουν, τότε είναι παράλληλες».
Στο σχήμα που ακολουθεί δίνεται ότι οι ευθείες (ε) και (ζ) είναι κάθετες και οι ευθείες
(ζ) και (η) είναι κάθετες. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις μπορεί να είναι ο λόγος
που η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στην ευθεία (η);
α. Η 1 μόνο.
β. Η 2 μόνο.
γ. Η 3 μόνο.
δ. Είτε η 1 είτε η 2.
ε. Είτε η 2 είτε η 3.
46. Πηγές
[1] Πρίντεζης, Ι., (2006) Η κατηγορική άποψη των επιπέδων Van Hiele και
άλλες οικουμενικές μέθοδοι προσέγγισης των μαθηματικών. Διπλωματική
εργασία, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών &
Πανεπιστήμιο Κύπρου, Αθήνα
[2] Τζίφας, Ν., (2005) Η αξιολόγηση της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών της
Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης: Επίπεδα Van Hiele και διδακτικές
προσεγγίσεις με χρήση λογισμικού. Διπλωματική εργασία, Εθνικό και
Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Αθήνα
Digitally signed by Zinos
Giannakis
Date: 2018.03.23 23:47:28 +02'00'
