1

1. Ознаки подільності
чисел та їх
застосування
Підготувала учениця 9 класу Чорноморської
ЗОШ I-IIIступенів
Голопристанського району
Жовнір Ксенія Миколаївна
Науковий керівник учитель математики
Чорноморської ЗОШ I-III ступенів
Кузьма Любов Василівна

2. Мета роботи :
●систематизація розпорошених відомостей з теми «Ознаки
подільності та їх застосування»
●розгляд та порівняння різних методів визначення подільності
двох чисел
●класифікація методів від найпростіших до більш загальних
●знаходження універсального підходу, що дозволяє отримати
ознаку подільності на довільне число
●відбір та застосування найбільш раціональних методів
подільності

3. Предмет дослідження:
Процес систематизації прийомів, методів розвязування
задач на застосування теорії подільності та чітка
класифікація ознак подільності чисел.
Обʼєкт дослідження:
Різновидність методів визначення подільності двох чисел.
Завдання дослідження:
Набуття майстерності у розвʼзуванні задач на доведення
подільності двох чисел, обираючи методи розвʼязання, які
є найбільш раціональними і спираються на чітку
класифікацію, запропоновану в роботі.

4. Подільність за
останніми цифрами
числа
Розбивання числа на одно,
двох, трьохзначні грані
Рекурентний
метод
Ознаки подільності
Ознака Паскаля
Метод використання
фіксованого множника
Метод розбиття на
нерівномірні грані

5. Метод подільності за останніми цифрами
числа
Наведемо інтерпретації ознаки подільності на 8.
Теорема 3.7. Якщо число сотень є парне, то число
утворене двома останніми цифрами повинне ділитися на 8.
Якщо ж число сотень є непарним, то до числа, утвореного
двома останніми цифрами, потрібно додати 4. Таке число
повинне ділитися на 8.
Приклад 3.1.7.1.
а) 624⋮8, бо 6 – парне і 24⋮8.
б) 352⋮8, бо 52+4=56 і 56⋮8.

6. Рекурентний метод
Рекурентний алгоритм ділення числа N на число n
полягає в утворенні деякої послідовності чисел, де
N1, N2 … Nn
N1= N - n (N1 ≤
n),
N2 = N1 - n (N2 ≤
n),
…………………
Nn = Nn-1 - n (Nn <
n)
Якщо Nn = 0, то N⋮
n, якщо Nn≠ 0, то N не ділиться
націло на n.
Його суть – у поступовому віднімання від числа N
числа n. Якщо різниця на якомусь етапі співпаде з
числом n, то N⋮
n.

7. Модифікований рекурентний метод
Якщо модифікувати попередній алгоритм, утворивши послідовність N1, N2 … Nn, де
N1 = N - 10k∙n∙r, (𝑁 = 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0, N1 ≤ 10k∙n∙r і N>10k∙n∙r),
N2 = N1 -10k-1∙n∙m, (N2 ≤ 10k-1∙n∙m),
…………………
Nl = Nk-1 - n∙p, (Nl <
n∙p), l, n, p, m, k∈ Z. То N⋮
n тільки тоді, якщо Nl⋮
n.
Приклад 3.2.1. Використовуючи модифікований рекурентний спосіб подільності,
перевірити чи ділиться 123459 на 7.
Розв’язання: Послідовно віднімаємо від числа 123459 – 70000, 7000, 700, 70, 7 в
залежності від кількості цифр заданого числа, або різниці маємо:
123459 – 70000 = 53459 53459 – 7000 = 46459  46459 – 7000 = 39459 
39459 – 7000 = 32459  …  42 – 7 = 35  35 – 7 = 28  28 – 7= 14  7 ⋮
7, отже
123459 ⋮
7.

8. Розбивання числа на одно, двох, трьох
значні грані
Розділимо число N на тризначні грані справа наліво, тобто
N=103nаn + 103n-3аn-1 + … + 106а2 + 103a1 + а0. Так як 1000 = 27∙
∙37 + 1, тоді 103k≡ 1 (mod 37). Отже має місце таке твердження:
Теорема 3.12.N=(103nаn + 103n-3аn-1 + … + 106а2 + 103a1 + а0) ⋮ 37
тоді і тільки тоді, коли (𝑎0– 𝑎1 + 𝑎2– 𝑎3 + ⋯ ± 𝑎 𝑘) ⋮ 37, де ai –
тризначне числа, утворені в результаті поділу даного числа на
тризначні грані, починаючи справа наліво.
Приклад 3.3.4.1. Визначити подільність числа 29583794 на 7, 11,
13, 37, користуючись методом розбиття числа N на тризначні
грані справа наліво.
Розв’язання: 794 – 583 + 29 = 240. 240 не ділиться націло на 7,
11, 13. Отже 29583794 не ділиться націло на 7, 11, 13.
Визначимо подільність даного числа на 37.
794 + 583 + 29 = 1406. 1 + 406 = 407 ⋮ 37, отже N⋮ 37.

9. Розбивання на нерівномірні грані
Теорема 3.13. Якщо N = 1000a + b, де 𝑎 = 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 … 𝑎3, 𝑏 = 𝑎2 𝑎1 𝑎0 і
𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 … 𝑎3 – 𝑎2 𝑎1 𝑎0 ділиться націло на 7, 11, 13, то і N⋮ 7, N⋮ 11, N⋮ 13
Нехай N = 1000 a + b
Знайдемо p = a – b, тоді 1000p = 1000a – 1000b. (1)
Звідси 1000a = 1000p + 1000b (2)
Підставимо (2) в (1), одержимо N = 1000p + 1000b + b = 1000p + 1001b;
Оскільки 1001 ⋮ 7, 1001 ⋮ 11, 1001 ⋮ 13, то N ділиться націло на 7, 11, 13 тільки
тоді, коли p⋮ 7, p⋮ 11, p⋮ 13. Зрозуміло, що p – різниця між числом складеним з
усіх цифр числа N, крім останніх трьох і числом, складеним з трьох останніх
цифр числа N, записаних у тому ж порядку, що й дане число N.
Приклад 3.4.1. Перевірити, чи ділиться число 3754023 на 7, 11, 13.
Розв’язання: Застосуємо метод розбиття на нерівномірні грані.
p = 3754 – 23 = 3731
Застосуємо виведену ознаку ще один раз:
3 – 731 = -728; Оскільки 728 ⋮ 7, то 3754023 ⋮ 7.
728 не ділиться на 11, то і число 3754023 не ділиться на 11.
728 ⋮ 13, то і число 3754023 ⋮ 13.

10. Дільник m 7 11 13 19 19 47 31
Фіксоване k 3 -1 -3 -9 5 6 7
b + ka b + 3a b – a b – 3a b – 9a b + 5a b + 6a b + 7a
Ділення N 100a+b 100a+b 100a+b 100a+b 100a+b
Дільник m 97 251 51 1251 143
Фіксоване k 3 -4 -2 -8 -1
b ± ka 3a + b b – 4a b – 2a b – 8a b – a

11. Метод використання фіксованого множника
3.5.4. Ознака подільності на 47.
Нехай N = 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 … 𝑎0 = 100 (𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 … 𝑎2) + 𝑎1 𝑎0 =
= 94 ∙ (𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 … 𝑎2) + 6∙ (𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 … 𝑎2) + 𝑎1 𝑎0 = 94 a + 6a
+ b,
де b – двозначна грань.
Теорема 3.18. Якщо N=100a + b, то N⋮ 47, тоді і тільки
тоді, якщо (6∙a+b) ⋮47.Фіксоване число 6.
Приклад 3.5.4.1. Довести, що 517 ⋮ 47.
Доведення:a = 5, b = 17;
6∙a+b = 6∙5 + 17 = 47; 47 ⋮ 47, отже 517 ⋮ 47.

12. «S-подільність»
Нехай N = 10 a + b. Намагатимемося підібрати таке S,
щоб (S, n) = 1, і (10S ± 1) ⋮n.
Доведемо, що N=(10a + b) ⋮n тоді і тільки тоді, коли на m
ділиться a ± bS. N= 10 a + b
NS = (10 a + b) ∙ S
NS = 10 aS + bS = 10 aS + a – a+ bS ;
NS = (10 S+ 1) ∙ a – (a – bS) або NS = (10 S– 1) ∙ a – (a + bS)
Так як (S, n) = 1, і (10S ± 1) ⋮n, то N = (10 a + b) ⋮n,
коли (a ± bS) ⋮n.
Користуючись цим правилом виведемо ознаки подільності
числа N=10a+b на ряд чисел, зокрема на 3, 7, 11, 13, 17, 19,
23, 29, 31.

13. Узагальнені міркування
N 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b 10a+b
n 3, 9 7 11 13 17 19 23 29 31 37
S 1 2 1 4 5 2 7 3 3 11
a ± bS a + b a – 2b a – b a + 4b a – 5b a + 2b a + 7b a + 3b a – 3b a–11b

14. Теорема Паскаля
Теорема Паскаля. Нехай N = , де a0 – одиниці, a1 – десятки і т.д.
Нехай C – довільне натуральне число, для якого ми хочемо вивести ознаку
подільності.
Нехай 10 r1 (modC)
10r1 r2 (modC)
10r2 r3 (modC)
…………………
10ri-1 ri (modC), і =2,…,n
Тоді число N має ту ж остачу від ділення на число C, що і число rnan + … + r2a2+
+ r1a1 +a0

15. Приклад3.6.1.Чиділитьсяна7числоN=285349?
Розв’язання:N=285349=2∙105
+8·104
+5∙103
+3∙102
+4∙101
+9
Знайдемовідповідніостачівідділення10k
на7.
101
3(mod7);102
2(mod7);103
(-1)(mod7);
104
(-3)(mod7);105
(-2)(mod7).
Отже, A=2∙(-2)+8∙(-3)+5∙(-1)+3∙2+4∙3+9=-4-24-5+6+12+9=-6
Отже, N=285349неділиться7,остачавідділеннярівна1.

16. «Універсальна» ознака подільності
3.6.5.m = 7.
100= 1 = 7∙0 + 1 r0= 1 A0r0 = a0∙1 = a0
101= 10 = 7∙1+3 r1= 3 A1r1 = a1∙3 = 3a1
102 = 100 =7∙14+2 r2 = 2 A2r2 = a2∙2 = 2
103= 1000 = 7∙143-1 r3= -1 A3r3= a3∙(-1) = -a3
104= 10000 = 7∙1429-3 r4 = -3 A4r4= a4∙(-3) = -3a4
105= 100000 = 7∙14285-2 r5= -2 A5r5= a2∙(-2) = -2a5
106
= 105∙101 r6= -2∙3=1 A6r6 = a6∙1 = a6
……………………………………………………………………
Отже виявилася певна закономірність утворення остач, тоді шуканий вираз
дорівнює
σ𝑖=0
𝑛
𝑎𝑖 𝑟𝑖 = 1a0 + 3a1 + 2a2 – a3 – 3a4 – 2a5 + a6 + … ± a3k±3a3k+1± 2a3k+2 =
= (a0–a3+a6–a9+…±a3k) + 3(a1–a4+a7–a10+…±a3k+1) + 2(a2–a5+a8–a11+…± a3k+2).
Отже N⋮ 7, коли ((a0–a3+a6–a9+…±a3k) + 3(a1–a4+a7–a10+…±a3k+1) + 2(a2–a5+a8–-
-a11+…± a3k+2)) ⋮7
Приклад 3.6.6.1. Чи ділиться на 7 29584349.
Розв’язання: Знаходимо відповідну суму:
1∙9 + 3∙4 + 2∙3 – 1∙4 – 3∙8 – 2∙5 + 1∙9 + 3∙2 = 27 – 38 + 15 = 4.Остача від ділення
29584349 на 7 дорівнює 4.

17. Висновки:
●ознайомлення з різними способами встановлення
подільності двох чисел
●класифікація розпорошеного матеріалу з цієї теми
●аналіз та коментування раціональності того чи іншого
способу
●підтвердження своїх міркувань прикладами
●узагальнення розглянутих ознак, обʼєднавши їх через
універсальну ознаку подільності Паскаля
●дала влучну назву двом методам
●власним доробком в дану роботу вважаю запропоновану
класифікацію методів.
●довела ознаки подільності власними силами:
модифікований рекурентний спосіб, метод фіксованого
множника, розбиття на нерівномірні грані.