Pt vo-ti

T i li»u ph÷ìng tr¼nh-h» ph÷ìng tr¼nh-b§t ph÷ìng tr¼nh
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Ph÷ìng tr¼nh-H» ph÷ìng tr¼nh-B§t ph÷ìng tr¼nh d nh cho lîp 10
T¡c gi£: Nguy¹n V«n Quèc Tu§n - Lîp B K112 - ¤i Håc Y H Nëi
C¡c b i to¡n trong t i li»u l do Tu§n têng hñp ð 1 sè di¹n n, 1 sè t i li»u,. . . v· ph¦n
líi gi£i th¼ a sè l do Tu§n gi£i l¤i nh÷ng 1 sè c¥u l do nh¡c qu¡ :3 n¶n ch²p i nguy¶n
líi gi£i cõa nâ. V¼ th¸ n¶n t i li»u câ g¼ sai sât mong c¡c b¤n ghâp þ º ch¿nh sûa l¤i.
T i li»u n y Tu§n vi¸t t°ng 1 b¤n ( øng häi l ai nh² :v ). B¶n c¤nh â hi vång c¡c b¤n
câ 1 t i li»u º câ thº tham kh£o th¶m. Chóc c¡c b¤n håc tèt.
B i 1. Gi£i ph÷ìng tr¼nh sau:
p
x + 3 +
p
3x + 1 = 2
p
x +
p
2x + 2
Líi gi£i:
i·u ki»n: x 0
Ta câ: p
3x + 1
p
2x + 2 = 2
p
x
p
x + 3
p
6x2 + 8x + 2 = 4x + x + 3 4
() 3x + 1 + 2x + 2 2
p
x2 + 3x
()
p
6x2 + 8x + 2 = 2
p
x2 + 3x
() 6x2 + 8x + 2 = 4 (x2 + 3x)
() 2x2 4x + 2 = 0 () x = 1
Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l : x = 1
x 3 p
35 x3

x + 3 p
35 x3

= 30
Líi gi£i:
°t 3 p
35 x3 = y () x3 + y3 = 35
K¸t hñp vîi ph÷ìng tr¼nh ban ¦u ta câ h»:
(
x3 + y3 = 35
xy (x + y) = 30
()
(
(x + y)3 3xy (x + y) = 35
xy (x + y) = 30
()
(
(x + y)3 = 125
xy (x + y) = 30
()
(
x + y = 5
xy = 6
()

x = 3
x = 2
1 Nguy¹n V«n Quèc Tu§n
www.DeThiThuDaiHoc.com

Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l :

x = 3
x = 2
16x4 + 5 = 6 3 p
4x3 + x
Líi gi£i:
Ta câ V T 0 n¶n i·u ki»n º ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m l V P 0 () x 0
p döng b§t ¯ng thùc Cosi cho 3 sè d÷ìng ta câ:
6 3 p
4x3 + x = 2:3: 3 p
(4x3 + x) :1:1 2

4x3 + x + 1 + 1

M°t kh¡c ta câ:
16x4 + 5 2

4x3 + x + 1 + 1

() 16x4 8x3 2x + 1 0 () (2x 1)2
4x2 + 2x + 1

0
Do â: V T V P khi â
16x4 + 5 = 6 3 p
4x3 + x ()
(
4x3 + x = 1
2x 1 = 0
() x =
1
2
Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m duy nh§t l x =
1
2
3

x2 1

+ 4x = 4x
p
4x 3
Líi gi£i:
i·u ki»n: x
3
4
Ta câ:
3

x2 1

+ 4x = 4x
p
4x 3 () 3x2 + 4x 3 = 4x
p
4x 3
() 3x2 4x
p
4x 3 + 4x 3 = 0 ()

x

p
4x 3
3x

= 0
p
4x 3
()

x =
p
4x 3
3x =
p
4x 3
()

x2 = 4x 3
9x2 = 4x 3
()

x = 3
x = 1

Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l :

x = 3
x = 1
B i 5. Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau:
( p
x + 1 + 3y

:x + (3y2 + 1)
p
x + 1 51y 27 = 7y3 + 36y2
x2 + y2 + 3x + 5y + 10 = 0
Líi gi£i:
i·u ki»n: x 1
°t:
p
x + 1 = a (a 0)
Thay a2 1 = x v o ph÷ìng tr¼nh thù nh§t ta ÷ñc
(a + 3y) (a2 1) + (3y2 + 1) a 51y 27 = 7y3 + 36y2
() a3 + 3a2y + 3ay2 = 7y3 + 36y2 + 54y + 27
() a3 + 3a2y + 3ay2 + y3 = 8y3 + 36y2 + 54y + 27
() (a + y)3 = (2y + 3)3 () a = y + 3 () y = a 3 ) y =
p
x + 1 3
Th¸ xuèng ph÷ìng tr¼nh thù 2 ta ÷ñc: x2 + 4x + 5 =
p
x + 1
°t
p
x + 1 = y + 2 (y 2)
Khi â ta câ h» ph÷ìng tr¼nh:
(
x2 + 4x + 3 = y
y2 + 4y + 3 = x
()
(
x2 y2 + 5 (x y) = 0
x2 + 4x + 3 = y
()
(
(x y) (x + y + 5) = 0
x2 + 4x + 3 = y
()
(
x = y
x2 + 3x + 3 = 0
(V N)
Vªy h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho væ nghi»m.
2x 1 +
p
3x 2 =
p
8x2 2x 2
Líi gi£i:
i·u ki»n: x
2
3

Bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh ¦u trð th nh:
2x 1 +
p
3x 2 =
q
2(2x 1)2 + 2 (3x 2)
°t:
8
:
2x 1 = a

a
1
3

p
3x 2 = b (b 0)
Khi â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh:
a + b =
p
2a2 + 2b2 () a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 () (a b)2 = 0 () a = b
Tø â ta câ:
2x 1 =
p
3x 2 () 4x2 4x + 1 = 3x 2 () 4x2 7x + 3 = 0 ()
2
4
x = 1
x =
3
4
2
4
x = 1
x =
3
4
8
:
6x
y
2 =
p
3x y + 3y (1)
p
3x +
2
p
3x y = 6x + 3y 4 (2)
Líi gi£i:
i·u ki»n:
(
3x y6= 0
3x +
p
3x y 0
Ta câ:
(1) () 2 (3x y) = y
p
3x y + 3y2 () 2 (3x y) y
p
3x y 3y2 = 0
()

2
p
3x y 3y
p
3x y + y

= 0 ()

2
p
3x y = 3y
p
3x y = y
p
3x y = 3y th¼
Tr÷íng hñp 1: 2
8
:
p
3x y = 3y
2
r
3x +
2
3y
2
= 6x + 3y 4
()
8
:
p
3x y = 3y
2
p 6x + 3y 0
2 (6x + 3y) = 6x + 3y 4
()
(
p
3x y = 3y
6x + 3y = 8
2
Tr÷íng hñp 2:
p
3x y = y th¼
( p
p
3x y = y
2
3x +
p
3x y = 6x + 3y 4
()
( p
3x y = y
2
p
3x y = 6x + 3y 4

()
( p
3x y = y
2y = 6x + 3y 4
()
( p
3x y = y
6x + 5y = 4
Tø ¥y c¡c b¤n tü t¼m ra nghi»m.
p
2x2 + x + 9 +
p
2x2 x + 1 = x + 4
Líi gi£i:
X²t x = 4 khæng ph£i l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh khi â ta bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh nh÷ sau:
p
2x2 + x + 9 +
p
2x2 x + 1 = x + 4
()
2x + 8
p
2x2 + x + 9
p
2x2 x + 1
= x + 4
()
p
2x2 + x + 9
p
2x2 x + 1 = 2
K¸t hñp vîi ph÷ìng tr¼nh ban ¦u ta câ h»:
( p
2x2 + x + 9
p
2x2 x + 1 = 2
p
2x2 + x + 9 +
p
2x2 x + 1 = x + 4
p
2x2 + x + 9 = x + 6
) 2
() 4 (2x2 + x + 9) = x2 + 12x + 36
() 7x2 8x = 0 ()

x = 0
x = 8
7
Thû l¤i ta th§y thäa m¢n.
Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l
2
4
x = 0
x =
8
7
x +
q
5 +
p
x 1 = 6
Líi gi£i:
i·u ki»n: x 1

Bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh ¢ cho nh÷ sau:
x +
q
5 +
p
x 1 = 6 () x 1 +
q
5 +
p
x 1 = 5
°t:
( p
p x 1 = a
5 +
p
x 1 = b
(a 0; b 5)
Khi â ta câ:
(
a2 + b = 5
b2 = a + 5
()
(
a2 + b = 5
a2 b2 + a + b = 0
()
(
a2 + b = 5
(a + b) (a b + 1) = 0
()
8
:
a2 + b = 5
a + b = 0
a b + 1 = 0
()
8
:
a2 + b = 5
a2 a 5 = 0
a2 + a + 1 = 5
()
8
:
a2 + b = 5 2
64
a =
1
p
21
2
a =
p
17
2
1
()
8
:
a =
p
17
2
1 +
b =
1 +
p
17
2
Tø â ta t½nh ÷ñc x =
p
17
2
11
.
Vªy x =
p
17
2
11
l nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho.
p
1 x2 =

2
3

p
x
2
Líi gi£i:
i·u ki»n:
(
1 x2 0
x 0
() 0 x 1
°t:
8
:
a =
p
x
b =
2
3

p
x

a 0; b
2
3

Khi â ta câ h» mîi.

8
:
a + b =
2
p 3
1 a4 = b2
()
8
:
a + b =
2
3
a4 + b4 = 1
()
8
:
a + b =
2
3
(a2 + b2)2 2a2b2 = 1
()
8
:
a + b =
2
3
(a + b)2 2
2ab
2a2b2 = 1
()
8
:
a + b =
2
3
4
2
2ab
9
2a2b2 = 1
()
8
:
a + b =
2
3
2a2b2
16
9
ab
65
81
= 0
()
2
666666664
8
:
a + b =
2
3
8
p
8
194
ab =
18 :
a + b =
2
3
ab =
8 +
p
194
18
a; b l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
2
64
y2
2
3
y +
8
p
194
18
= 0
y2
2
3
y +
8 +
p
194
18
= 0 (V N)
Tø â ta t¼m ÷ñc nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l : x =
1
9

2 +
q
2
p

+
194 6
r
97
2
#
8
:
p
(3y x) (y + 1) (1)
x + 3 = 2
p
3y 2
r
x + 5
2
= xy 2y 2 (2)
Líi gi£i:
i·u ki»n:
8
:
y
2
3
x 5
(3y x) (y + 1) 0
()
8
:
y
2
3
x 5
3x y 0
Ta câ:
(1) () 3 (y + 1) (3y x) = 2
p
3y x:
p
y + 1
()
h
2
p
y + 1
2
p
3y x:
2
p
y + 1
i
+
hp
y + 1
2

p
3y x
2
i
= 0
p
y + 1
() 2
p
y + 1
p
3y x

+
p
y + 1
p
3y x
p
y + 1 +
p
3y x

= 0
()
p
y + 1
p
3y x

p
y + 1 +
3
p
3y x

= 0
()
p
y + 1
p
3y x = 0
p
y + 1 +
0 = 3
p
3y x 0 (L)
()
p
y + 1 =
p
3y x () x = 2y 1 (3)

Thay (3) v o (2) ta ÷ñc
p
3y 2
p
y + 2 = 2y2 3y 2
()
2 (y 2)
p
3y 2 +
p
y + 2
= (y 2) (2y + 1)
() (y 2)

2
p
3y 2 +
p
y + 2
(2y + 1)

= 0
()
2
4
y = 2 ) x = 3
2
p
3y 2 +
p
y + 2
(2y + 1) = 0 (4)
V (2) () 2 (2y + 1)
p
3y 2 +
p
y + 2

= 0 (5)
Do
y
2
3
) (2y + 1)
p
3y 2 +
p
y + 2

2:
2
3
+ 1
r
2
3
+ 2
() (2y + 1)
p
3y 2 +

p
y 2
7
3
r
8
3
M 2 (2y + 1)
p
3y 2 +

2
p
y 2
7
3
r
8
3
0 n¶n (5) væ nghi»m.
So vîi i·u ki»n h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t: (x; y) = (3; 2)
B i 12 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau:
(
x +
p
x2 + 1 = y +
p
y2 1
x2 + y2 xy = 1
Líi gi£i:
i·u ki»n:

y 1
y 1
Bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh ¦u nh÷ sau:
x +
p
x2 + 1 = y +
p
y2 1 () x y =
p
y2 1
p
x2 + 1
p
x2 + 1:
) x2 2xy + y2 = x2 + y2 2
p
y2 1
() xy =
p
y2 1 ) x2y2 = (x2 + 1) (y2 1) () y2 x2 = 1
p
x2 + 1:
Khi â ta ÷ñc h» mîi:

(
y2 x2 = 1
x2 + y2 xy = 1
()
(
x2 + y2 xy = y2 x2
y2 x2 = 1
()
(
2x2 xy = 0
y2 x2 = 1
()
8
:

x = 0
2x = y
y2 x2 = 1
()
2
6666664
(
x = 0
y = 1 8
:
x =
1
p
3
y =
2
p
3
Thû l¤i th¼ h» ph÷ìng tr¼nh câ c¡c nghi»m: (x; y) = (0; 1) ;

1
p
3
;
2
p
3

L÷u þ: B i to¡n ÷ñc gi£i ho n ch¿nh nh÷ng t¤i sao l¤i ph£i thû l¤i nghi»m. Ð ¥y v¼ khi bi¸n
êi ph÷ìng tr¼nh thù nh§t chóng ta khæng °t i·u ki»n n¶n sau khi gi£i ra nghi»m chóng ta ph£i
thû l¤i. M°t kh¡c n¸u chóng ta khæng °t i·u ki»n m b¼nh ph÷ìng th¼ dòng d§u ) nh².
p
x2 + x + 1 = 1 + 5x + 4x2 2x3 x4 (1)
4
Líi gi£i:
Ta câ: (x2 + x + 1)2 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
Khi â
p
x2 + x + 1 =
(1) () 4

x2 + x + 1
2
+ 7

x2 + x + 1

5
°t: a =
p
x2 + x + 1 (a 0)
Khi â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh:
a4 7a2 + 4a + 5 = 0 ()

a2 a 1

a2 + a 5

= 0 ()
2
64
a =
p
5
2
1 +
a =
p
21
2
1 +
Vîi a =
p
5
2
1 +
th¼
p
x2 + x + 1 =
p
5
2
1 +
() x2 + x
p
5
2
1 +
= 0 () x =
1
p
3 + 2
p
5
2

Vîi a =
p
21
2
1 +
th¼
p
x2 + x + 1 =
p
21
2
1 +
() x2 + x +
p
21
2
9 +
= 0 () x =
1
p
19 2
p
21
2
2
664
x =
1
p
3 + 2
p
5
2
x =
1
p
19 2
p
21
2
16x2 23x + 10 = (x + 2)
p
4x2 + 4x 7
Líi gi£i:
i·u ki»n:
2
64
x
1 + 2
p
2
2
x
p
2
1 2
2
Ta câ:
16x2 23x + 10 = (x + 2)
p
4x2 + 4x 7
() 4x2 + 4x 7 (4x 3)
p
4x2 + 4x 7 + (5x + 1)
p
4x2 + 4x 7 (5x + 1) (4x 3) = 0
()
p
p
4x2 + 4x 7 + 5x 1

= 0
4x2 + 4x 7 (4x 3)
()
p
4x2 + 4x 7 + 5x 1 = 0
p
4x2 + 4x 7 (4x 3) = 0
()
p
4x2 + 4x 7 = 1 5x
p
4x2 + 4x 7 = 4x 3
()
2
6666664
8
:
x
1
5
4x2 + 4x 7 = 25x2 10x + 1 3
x
:
4
8
4x2 + 4x 7 = 16x2 24x + 9
()
2
6666664
8
:
x
1
5
21x2 14x + 8 = 0 3
x
:
4
8
12x2 28x + 16 = 0
()
2
4 x =
4
3
x = 1
2
4 x =
4
3
x = 1
3 p
12x2 + 46x 15 3 p
x3 5x + 1 = 2x + 2
Líi gi£i:
°t: a = 3 p
12x2 + 46x 15; b = 2x + 1; c = 3 p
x3 5x + 1

Ta câ:
12x2 + 46x 15 3 p
3 p
x3 5x + 1 = 2x + 2
() 3 p
12x2 + 16x 15 (2x + 1) = 3 p
x3 5x + 1 + 1
()
12x2 + 46x 15 (2x + 1)3
a2 + ab + b2 =
x3 5x + 2
c2 c + 1
()
8(x3 5x + 2)
a2 + ab + b2 =
x3 5x + 2
c2 c + 1
() (x3 5x + 2)(
8
a2 + ab + b2 +
1
c2 c + 1
) = 0
()
2
64
x = 2
x = 1 +
p
2
x = 1
p
2
2
64
x = 2
x = 1 +
p
2
x = 1
p
2
p
x2 + x + 1 +
p
4x2 + x + 1
p
5x2 + 1
p
2x2 + 1

= 3x2
Líi gi£i:
Bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh ¦u trð th nh:
p
x2 + x + 1 +
p
4x2 + x + 1
p
5x2 + 1
p
2x2 + 1

= 3x2
()
p
x2 + x + 1 +
p
4x2 + x + 1

:3x2 = 3x2
p
5x2 + 1 +
p
2x2 + 1

()

x = 0
p
x2 + x + 1 +
p
4x2 + x + 1 =
p
5x2 + 1 +
p
2x2 + 1
M°t kh¡c:
p
x2 + x + 1 +
p
4x2 + x + 1 =
p
5x2 + 1 +
p
2x2 + 1
()
p
5x2 + 1
p
4x2 + x + 1 =
p
2x2 + 1
p
x2 + x + 1
()
x2 x
p
5x2 + 1 +
p
4x2 + x + 1
=
x2 x
p
2x2 + 1 +
p
x2 + x + 1
()

x2 x = 0
p
2x2 + 1 +
p
x2 + x + 1 =
p
5x2 + 1 +
p
4x2 + x + 1
()
2
64
x = 1
x = 0
p
2x2 + 1 =
p
5x2 + 1
()

x = 0
x = 1

x = 0
x = 1

B i 17. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh sau:
(x + 1) (x 3)
p
x2 + 2x + 3 2 (x 1)2
Líi gi£i:
i·u ki»n:

x 3
x 1
Bi¸n êi b§t ph÷ìng tr¼nh nh÷ sau:
(x + 1) (x 3)
p
x2 + 2x + 3 2 (x 1)2
() (x2 2x 3)
p
x2 + 2x + 3 x2 + 2x + 1
°t:
p
x2 + 2x + 3 = t (t 0)
Khi â b§t ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh:
t3 t2 2 () t3 t2 + 2 0
() (t + 1) (t2 2t + 2) 0 () t 1 (KTM)
Vªy b§t ph÷ìng tr¼nh ¢ cho væ nghi»m.
q
3
(3x + 1)2 + 3
q
(3x 1)2 + 3 p 9x2 1 = 1
Líi gi£i:
°t:
(
3 p
3x + 1 = a
3 p
3x 1 = b
) a3 b3 = 2
Khi â ta câ h» ph÷ìng tr¼nh:
(
a2 + b2 + ab = 1
a3 b3 = 2
()
(
a2 + b2 + ab = 1
(a b) (a2 + b2 + ab) = 2
()
(
a2 + b2 + ab = 1
a = b + 2
()
(
3b2 + 6b + 3 = 0
a = b + 2
()
(
a = 1
b = 1
Lóc â:
(
3 p
3x + 1 = 1
3 p
3x 1 = 1
() x = 0

Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l : x = 0
(3 x)
p
x 1 +
p
5 2x
p
x3 + 10x2 34x + 40 (1)
Líi gi£i:
i·u ki»n: 1 x
5
2
Ta câ:
(1) () 2 (3 x)
p
(x 1) (5 2x) 2x3 + 17x2 47x + 44
p
2x3 + 17x2 48x + 45:
() 2
p
x 1 (2x3 + 17x2 48x + 45) + (x 1)
()
p
2x3 + 17x2 48x + 45
2
p
x 1
0
()
p
2x3 + 17x2 48x + 45 =
p
x 1
() 2x3 + 17x2 49x + 46 () x = 2 (TM)
Vªy nghi»m cõa b§t ph÷ìng tr¼nh l : x = 2
5 p
x 1 + 3 p
x + 8 = x3 + 1
Líi gi£i:
Ta câ x = 0 l 1 nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh.
M°t kh¡c:
Tr÷íng hñp 1. Vîi x 0 th¼ ta câ: 5 p
x 1 + 3 p
x + 8 5 p
0 1 + 3 p
0 + 8 = 1 trong khi â
x3 + 1 1 do â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho væ nghi»m.
Tr÷íng hñp 2. Vîi x 0 th¼ ta câ 5 p
x 1 + 3 p
x + 8 1 x3 + 1 n¶n ph÷ìng tr¼nh công
væ nghi»m.
Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m duy nh§t l x = 0.
B¼nh lo¤n: Thæng th÷íng khi chóng ta g°p c¡c b i to¡n m sè mô cõa méi ph¦n tû khæng câ
1 tþ n o li¶n quan ¸n nhau th¼ hay o¡n nghi»m v sû döng ¡nh gi¡ xem sao nh².

8
:
1
2x
+
x
y
=
3x + 3
p
y
4x2 + 2y
(1)
4x + y =
p
2x + 6 2
p
y (2)
Líi gi£i:
i·u ki»n:
(
3 x6= 0
y 0
°t:
p
y = z (z 0) khi â ph÷ìng tr¼nh (1) trð th nh:
2x2 + z2
xz2 =
3x + 3z
2x2 + z2
() (2x2 + z2)2 = xz2 (3x + 3z)
() 4x4 + 4x2z2 + z4 = 3x2z2 + 3xz3 () 4x4 + x2z2 3xz3 + z4 = 0
x
z
() 4
4
+
x
z
2
3:
x
z
+ 1 = 0 ()

2x
z
2
1
:
x
z
2
+
x
z
+ 1

= 0
() 2x = z ) 2x =
p
y
Thay v o ph÷ìng tr¼nh cán l¤i ta ÷ñc:
4x2 + 8x =
p
2x + 6
()
(
x 0
16x4 + 64x3 + 64x2 = 2x + 6
()
(
x 0
8x4 + 32x3 + 32x2 x 3 = 0
()
(
x 0
(2x2 + 3x 1) (4x2 + 10x + 3) = 0
() x =
p
17
4
3 +
) y =
p
17
2
13 3
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l : (x; y) =

3 +
p
17
4
;
p
17
2
13 3
!
p
x + 3
p
x + 1

x2 +
p
x2 + 4x + 3

= 2x
Líi gi£i:
i·u ki»n: x 1

Ta câ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi:
2
p
x + 3 +
p
x + 1

x2 +
p
(x + 3) (x + 1)

= 2x
() x2 +
p
(x + 3) (x + 1) = x
p
x + 3 +
p
x + 1

()

x
p
x + 3

x
p
x + 1

= 0
()

x =
p
x + 3
x =
p
x + 1
()
2
66664
(
x 0
x2 ( x 3 = 0
x 0
x2 x 1 = 0
()
2
64
x =
1 +
p
13
2
x =
p
5
2
1 +
2
64
x =
p
5
2
1 +
x =
1 +
p
13
2
Ps: B i to¡n nay m¼nh ¢ l m m§t kh¡ nhi·u thíi gian nh÷ng «ng l¶n di¹n n v nh¼n ¡p ¡n
l¤i th§y kh¡ l cì b£n. Do â m¼nh rót ra 1 kinh nghi»m l khi l m chóng ta n¶n sû döng
c¡c bi¸n êi ìn gi£n, khæng n¶n sû döng c¡c bi¸n êi phùc t¤p, bi¸n b i to¡n trð n¶n
khâ kh«n.
p
1 + x2 + x4 + x =
p
x x3
Líi gi£i:
i·u ki»n:

0 x 1
1 x 1
X²t vîi x = 0 khæng ph£i l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh.
Vîi x 2 (0; 1] ta câ:
x
r
1
x2 + x2 + 1 + x = x
r
1
x
x ()
r
1
x2 + x2 + 1 + 1 =
r
1
x
x
°t
r
1
x
x = t ) t4 =
1
x2 + x2 2 khi â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh:
p
t4 + 3 + 1 = t ()
(
t 1 0
t4 + 3 = t2 2t + 1
() t = 1 (loai)
X²t vîi (1;1] ta câ
r

1
x2 + x2 + 1 + 1 =
r
1
x
x

T÷ìng tü ta câ:
r
1
x
x = t ) t4 =
1
x2 + x2 2
Khi â
p
t4 + 3 + 1 = t ()

(
t + 1 0
t4 + 3 = t2 + 2t + 1
() t = 1 (TM)
Vîi
t = 1 )
1
x
x = 1 () x2 + x 1 = 0 ()
2
64
x =
p
5
2
1 +
(loai)
x =
p
5
2
1
() x =
p
5
2
1
Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m l x =
p
5
2
1
x
p
x +
7 2x
p
x
r
x +
4
4
x
2
Líi gi£i:
i·u ki»n x 0.
B§t ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi.
p
x2 2x + 4 () x2 2x + 4 4
x2 2x + 7 4
p
x2 2x + 4 + 3 0
()
p
p
x2 2x + 4 1

0 ()
x2 2x + 4 3
p
x2 2x + 4 1
p
x2 2x + 4 3
() x2 2x 5 0 ()

x 1 +
p
6
x 1
p
6
èi chi¸u vîi i·u ki»n ta câ nghi»m cõa b§t ph÷ìng tr¼nh l x 1 +
p
6
x + 3

2 3x22
= 2
Líi gi£i:

°t: 2 3x2 = y ta câ h»
(
x + 3y2 = 2
y + 3x2 = 2
()
(
x = 2 3y2
y = 2 3x2
()
(
x y = 3x2 3y2
y = 2 3x2
()
8
:
2
4
x = y
y =
1 3x
3
y = 2 3x2
Vîi y = x thay v o ph÷ìng tr¼nh cán l¤i ta ÷ñc 3x2 + x 2 = 0 ()
2
4
x = 1
x =
2
3
Vîi y =
1 3x
3
th¼ ta câ:
1 3x
3
= 2 3x2 () 3x2 x
5
3
= 0 () x =
1
p
21
6
2
6664
x = 1
x =
2
3
x =
1
p
21
6
p
3x2 12x + 5
p
x3 1 +
p
x2 2x
Líi gi£i:
i·u ki»n: x 2
B§t ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi:
3x2 12x + 5 x3 1 + x2 2x + 2
p
(x 1) (x2 + x + 1) x (x 2)
() x3 2x2 + 10x 6 + 2
p
(x 1) (x 2):
p
(x2 + x + 1) x 0
p
x2 3x + 2:
() (x3 + x2 + x) 3 (x2 3x + 2) + 2
p
x3 + x2 + x 0
() 1 3:
x2 3x + 2
x3 + x2 + x
+ 2
r
x2 3x + 2
x3 + x2 + x
0
°t: a =
r
x2 3x + 2
x3 + x2 + x
(a 0) th¼ lóc â ta câ:
1 3a2 + 2a 0 ()
1
3
a 1 () a 1
() x2 3x + 2 x3 + x2 + x
() x3 + 4x 2 0

Nhªn th§y vîi x 2 luæn óng.
Vªy nghi»m cõa b§t ph÷ìng tr¼nh l : x 2
4x2 7x 19 =
p
4x2 4x 14
Líi gi£i:
i¶u ki»n:
2
64
x
1 +
p
15
2
x
1
p
15
2
Bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh ¢ cho nh÷ sau:
4x2 7x 19 =
p
4x2 4x 14
()
(
(4x2 7x 19)2 = 4x2 4x 14
4x2 7x 19 0
()
(
16x4 + 49x2 + 361 56x3 152x2 + 266x = 4x2 4x 14
4x2 7x 19 0
()
(
16x4 56x3 107x2 + 270x + 375 = 0
4x2 7x 19 0
()
(
(x2 2x 5) (16x2 24x 75) = 0
4x2 7x 19 0
()
8
:
2
4
x = 1
p
6
x =
p
21
4
3 2
4x2 7x 19 0
()
2
4
x = 1 +
p
6
x =
p
21
4
3 2
Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l
2
4
x = 1 +
p
6
x =
p
21
4
3 2
2x2

3
p
9 + 2x
2 x + 21
Líi gi£i:
i·u ki»n:
9
2
x6= 0

Ta câ:
2x2

3
p
9 + 2x
2 x + 21
()
x2
p
9 + 2x
9 + x 3
x + 21
() x2 (x + 21)

9 + x 3
p
9 + 2x

() (x + 21)
p
9 + 2x 10x + 63
() (x + 21)2 (9 + 2x) (10x + 63)2
() x2 (2x 7) 0 () 06= x
7
2
K¸t hñp vîi i·u ki»n ta câ nghi»m cõa b§t ph÷ìng tr¼nh l P =

9
2
;
7
2

n f0g
(
x2 xy + 7x + y = 8
p
x
p
x
p
y

=
p
x + 1
4
p
x 1
4
Líi gi£i:
i·u ki»n: x 1; y 0
H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng
()
(
(x 1) (x y + 8) = 0
x
p
xy = 8

x2 1 x
()
p
x2 1
8
:

x = 1
x + 8 = y
x
p
xy = 8

x2 1 x

p
x2 1
Tr÷íng hñp 1: x = 1 ) y = 1
Tr÷íng hñp 2: y = x + 8 thay v o ta ÷ñc:
p
x
p
x
p
x + 8

= 8 + 8x

x

p
x2 1
()
p
x + 8
p
x + 8
p
x

= 8x

x

p
x2 1
()
p
x + 8:
8
p
x + 8 +
p
x
= 8x:
1
x +
p
x2 1
()
p
x + 8

x +

= x
p
x2 1
p
x + 8 +
p
x

()
p
(x + 8) (x2 1) = x
p
x () 8x2 x 8 = 0
) x =
1 +
p
257
16
) y =
p
257
16
129 +
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l : (x; y) = (1; 1) ;

1 +
p
257
16
;
p
257
16
129 +
!

x =
p
3 x:
p
4 x +
p
5 x:
p
4 x +
p
3 x:
p
5 x
Líi gi£i:
i·u ki»n: x 2
Bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh trð th nh:
p
3 x
p
2 x +
p
4 x

+
p
4 x:
p
2 x x = 0
°t: 8
:
p
2 x = a
p
4 x = b
)
8
:
a2 + b2
2
= (3 x)
(a + b)2
2
3 = x +
p
4 x:
p
2 x
(a b)
Khi â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh h» ph÷ìng tr¼nh sau:
8
:
r
a2 + b2
2
(a + b) +
(a + b)2
2
= 3
a2 b2 = 2
)
3
2
(a2 b2) =
r
a2 + b2
2
(a + b) +
(a + b)2
2
()
3
2
(a + b) (a b) = (a + b)
r
a2 + b2
2
+
a + b
2
!
()
2
4
a + b = 0
3
2
(a b) =
r
a2 + b2
2
+
a + b
2
() 2a + b =
r
a2 + b2
2
()
8
:
b 2a
4a2 4ab + b2 =
a2 + b2
2
()
(
b 2a
7a2 8ab + b2 = 0
()
8
:
b 2a
a = b
7a = b
)
8
:
p
p
4 x 2
2 x p
4 x =
p
2 x
p
2 x =
7
p
4 x
()
( p
p
2 x
4 x 2
49 (2 x) = 4 x
() x =
47
24
Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l : x =
47
24
p
5x2 + 14x + 9
p
x2 x 20 = 5
p
x + 1
Líi gi£i:
i·u ki»n: x 5

Ta bi¸n êi nh÷ sau:
PT ()
p
5x2 + 14x + 9 =
p
x2 x 20 + 5
p
x + 1
p
x2 x 20:
() 5x2 + 14x + 9 = x2 x 20 + 25 (x + 1) + 10
p
x + 1
p
(x 5) (x + 1):
() 4x2 10x + 5 10
p
x + 4 = 0
p
4 (x2 4x 5):
() 4 (x2 4x 5) 5
p
x + 4 + 6 (x + 4) = 0
()
hp
p
x + 4
4 (x2 4x 5) 3
i hp
p
x + 4
4 (x2 4x 5) 2
i
= 0
()
p
4 (x2 4x 5) = 3
p
p x + 4
p
4 (x2 4x 5) = 2
x + 4
()

4x2 25x 56 = 0
4x2 20x 36 = 0
()
2
4
x = 8
x =
5 +
p
61
2
2
4
x = 8
x =
5 +
p
61
2
8
:
x
p
y + 2 =
3
2
y + 2 (x 2)
p
x + 2 =
7
4
Líi gi£i:
i·u ki»n: x 2; y 2
°t: u =
p
x + 2; v =
p
y + 2 vîi u; v 0 h» trð th nh
8
:
u2 v =
7
2
(1)
v2 + 2 (u2 4) u =
1
4
(2)
Th¸ (1) v o (2) ta ÷ñc:

u2
7
2
2
+ 2u3 8u =
1
4
() u4 + 2u3 7u2 8u + 12 = 0
() (u 1) (u 2) (u2 + 5u + 6) = 0
() u = 1 _ u = 2
V¼ u2 + 5u + 6 0; 8u 0.
Vîi u = 1 ) v =
5
2
khæng thäa m¢n
Vîi u = 2 ) v =
1
2
ta t¼m ÷ñc
8
:
x = 2
y =
7
4
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l :
8
:
x = 2
y =
7
4

(
x2y2 2x + y2 = 0
2x2 4x + 3 + y3 = 0
Líi gi£i:
Ta câ: (
x2y2 2x + y2 = 0
2x2 4x + 3 + y3 = 0
()
8
:
y2 =
2x
1 + x2
2(x 1)2 + 1 + y3 = 0
V¼
2x
1 + x2
1 (8x 2 R) n¶n 1 y 1
Khi â
y 1 () 1 + y3 0 () 2(x 1)2 + 1 + y3 0
()
(
x 1 = 0
1 + y3 = 0
()
(
x = 1
y = 1
Thû l¤i v o h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho thäa m¢n
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l : (x; y) = (1;1)
8
:
12xy + 12 (x2 + y2) +
9
(x + y)2 = 85
6x (x + y) + 3 = 13 (x + y)
Líi gi£i:
i·u ki»n x + y6= 0.
Vi¸t l¤i h» ph÷ìng tr¼nh th nh:
8
:

x + y +
9
1
x + y
2
+ 3(x y)2 = 103
3

x + y +
1
x + y

+ 3 (x y) = 13
°t
8
:
a = x + y +
1
x + y
(jaj 2)
b = x y
ta câ:

(
9a2 + 3b2 = 103
3a + 3b = 13
()
(
2b2 13b + 11 = 0
3a = 13 3b
()
2
66666664
8
:
a =
10
3
b = 1 8
:
a =
7
6
b =
11
2
(loai)
Khi â 8
:
x + y +
1
x + y
=
10
3
x y = 1
() (x; y) =

2
3
;
1
3

; (2; 1)
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l : (x; y) =

2
3
;
1
3

; (2; 1)
x2 2
p
15 x2 + x

= 15 3
p
15x x3 4
p
x
Líi gi£i:
i·u ki»n: 0 x
p
15
°t:
(
p
15 x2
b =
a =
p
x
(a; b 0) khi â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh:
a2 3ab 4b + 2 (a + b2) = 0
() a2 + 2b2 3ab + 2 (a 2b) = 0
() (a 2b) (a b) + 2 (a 2b) = 0
()

a = 2b
a = b 2
Vîi: a = 2b th¼
p
15 x2 = 2
p
x () 15 x2 = 4x ()

x = 2 +
p
19
x = 2
p
19 (loai)
Vîi a = b 2 khi â
p
15 x2 =
p
x 2
M°t kh¡c:
0 x
p
15 )
p
x 2
qp
15 2
qp
16 2 = 0

n¶n ph÷ìng tr¼nh â væ nghi»m.
Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m l x = 2 +
p
19
B i 36. Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh:
8
:
p
7x + y
p
2x + y = 4
p
2x + y
2
7
10
p
5x + 10y = 2
Líi gi£i:
°t:
( p
7x + y = a
p
2x + y = b
(a; b 0)
Ta câ:
5x + 10y = 3 (7x + y) + 13 (2x + y)
p
= 3a2 + 13b2 )
5x + 10y =
p
3a2 + 13b2
Khi â ta câ h» ph÷ìng tr¼nh mîi: 8
:
a b = 4
2b
7
10
p
3a2 + 13b2 = 2
()
8
:
a = b + 4
2b
7
10
p
10b2 24b 48 = 2
()
(
a = b + 4
20b 20 = 7
p
10b2 24b 48
()
8
:
a = b + 4
b 1
90b2 376b 2752 = 0
()
(
a = 12
b = 8
)
(
7x + y = 144
2x + y = 64
()
(
x = 16
y = 32
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l :
(
x = 16
y = 32
x + 2
r
3x 1
5
r
x4 + 4
= 4 4
20

Líi gi£i:
i·u ki»n: x
1
3
p döng b§t ¯ng thùc Cosi ta câ:
x + 2
r
3x 1
5
x +
3x 1
5
+ 1 =
8x + 4
5
M°t kh¡c:
r
x4 + 4
4 4
20

8x + 4
5
r
x4 + 4
() 4
20

2x + 1
5
()
125 (x4 + 4)
4
16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1
() 61x4 128x3 96x2 32x + 496 0
() (x 2)2 (61x2 + 116x + 124) 0 (8x 2 R)
Do â:
r
x4 + 4
4 4
20
x + 2
r
3x 1
5
D§u b¬ng x£y ra khi: x = 2
Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l : x = 2.
p
x (x + 2) q
(x + 1)3
p
x
1
Líi gi£i:
i·u ki»n: x 0.
Vîi x 0 th¼
q
(x + 1)3
p
x 0.

Khi â ta câ b§t ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng:
BPT ()
p
x (x + 2)
q
(x + 1)3
p
x
() x2 + 2x x3 + 3x2 + 4x + 1 2 (x + 1)
p
x2 + x
() (x + 1)

x2 + x + 1 2
p
x2 + x

0
p
x2 + x 0
() x2 + x + 1 2
()
p
2
x2 + x 1
0
()
p
x2 + x = 1 () x =
p
5
2
1
K¸t hñp vîi i·u ki»n ta câ nghi»m cõa b§t ph÷ìng tr¼nh l : x =
p
5
2
1 +
.
(
(x2 + y2) (x + y + 1) = 25 (y + 1)
x2 + xy + 2y2 + x 8y = 9
Líi gi£i:
H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng:
(
(x2 + y2) (x + y + 1) = 25 (y + 1)
x2 + y2 + x (y + 1) + (y + 1)2 10 (y + 1) = 0
.
D¹ th§y y = 1 khæng ph£i l nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh.
Chia c£ 2 v¸ ph÷ìng tr¼nh mët v hai cho y + 1 ta ÷ñc h» mîi:
8
:
(x2 + y2) (x + y + 1)
y + 1
= 25
x2 + y2
y + 1
+ x + y + 1 = 10
°t a =
x2 + y2
y + 1
; b = x + y + 1 khi â h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh:
(
ab = 25
2 + b = 10
() a = b = 5 ()
(
x2 + y2 = 5 (y + 1)
x + y + 1 = 10
()
2
6666664
(
x = 3
y = 1 8
:
x =
3
2
y =
11
2
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l : (x; y) = (3; 1) ;

3
2
;
11
2


(
(x + y)
p
x y + 2 = x + 3y + 2
(x y)
p
x y + 2 = (x + y + 1)
p
x + y 2
Líi gi£i:
i·u ki»n:
(
x y 2
x + y 2
°t
(
a = x + y (a 2)
b =
p
x y + 2 (b 0)
()
(
a = x + y
b2 2 = x y
H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh
(
ab = 2a b2 + 4
(b2 2) b = (a + 1)
p
a 2
()
(
a (2 b) + (2 + b) (2 b) = 0
(b2 2) b = (a + 1)
p
a 2 8
:

b = 2
a + b + 2 = 0 (V N)
(b2 2) b = (a + 1)
p
a 2
()
(
b = 2
(a + 1)
p
a 2 = 4
()
8
:
b = 2
a = 3
a = 2
)
8
:
x =
5
2
y =
1
2
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l (x; y) =

5
2
;
1
2

.
( p
x y +
p
x 1 = y 1 (1)
1 (y 1)2p
x 1 = (y x) (y 1) (2)
Líi gi£i:
i·u ki»n:
(
x y
x 1
Ta bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh 1 tr÷îc nh². Nh©m nh©m th§y li¶n hñp xu§t hi»n nh¥n tû n¶n ta l m
nh÷ sau:
Tr÷íng hñp 1: Vîi
p
x y =
p
x 1 () y = 1 thay xuèng ph÷ìng tr¼nh (2) khæng thäa m¢n.
Tr÷íng hñp 2: Vîi
p
x y6=
p
x 1 () y6= 1 ta câ:

(1) ()
1 y
p
x y
p
x 1
= y 1 ()
p
x y
p
x 1 = 1
()
p
x y + 1 =
p
x 1 () y 2 = 2
p
x y ()
8
:
y 2
x =
y2 + 4
4
Thay xuèn ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc:
1 (y 1)2
r
y2
4
=

y
y2 + 4
4

(y 1)
() 1 (y 1)2:
y
2
=
(4y y2 4) (y 1)
4
() y3 + y2 6y = 0 ()
2
64
y = 0
y = 2
y = 3
() y = 2 ) x = 2
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l : (x; y) = (2; 2)
2 +
p
x
p
2 +
p
2 +
p
x
+
2
p
x
p
2
p
2
p
x
=
p
2
Líi gi£i:
i·u ki»n: 0 x 4.
°t: p
2 +
p
x = a;
p
2
p
x = b

a; b 0; b6=

p
2
Ta câ: ab =
p
4 x; a2 + b2 = 4.
Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh:
a2
p
2 + a
+
b2
p
2 b
=
p
2
() a2
p
2 a2b + b2
p
2 + ab2 =
p
2

2 b
p
2 + a

p
2 ab
()
p
2 (a2 + b2 + ab 2) ab (a b) = 2 (a b)
()
p
2 (ab + 2) = (a b) (ab + 2)
() a b =
p
2 () a2 + b2 2ab = 2
() ab = 1 ()
p
4 x = 1 () x = 3

(
x
p
5 x2 + y
p
5 4y2 = 3
p
5 x2 +
p
5 4y2 = 6 x 2y
Líi gi£i:
i·u ki»n:
8
:
p
5 x

p
5

p
5
2
y
p
5
2
Ta câ:
HPT ()
(
x
p
5 x2 + y
p
5 4y2 = 3
x +
p
5 x2 + 2y +
p
5 4y2 = 6
°t: (
x +
p
5 x2 = a
2y +
p
5 4y2 = b
()
(
a2 = 5 + 2x
p
5 x2
b2 = 5 + 4y
p
5 4y2
()
8
:
x
p
5 x2 =
a2 5
2
y
p
5 4y2 =
b2 5
4
Khi â ta câ h» mîi:
8
:
a2 5
2
+
b2 5
4
= 3
a + b = 6
()
(
2a2 + b2 = 27
a + b = 6
()
(
3a2 12a + 9 = 0
a + b = 6
()
2
66664
(
a = 3
( b = 3
a = 1
b = 5
Vîi:
(
a = 3
b = 3
)
8
:

x = 2
2 x = 1
4
y = 1
y =
1
2
() (x; y) = (2; 1) ;

2;
1
2

; (1; 1) ;

1;
1
2


Vîi:
(
a = 1
b = 5
h» ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m.
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l :
(x; y) = (2; 1) ;

2;
1
2

; (1; 1) ;

1;
1
2

p
2x + 4 2
p
2 x =
12x 8
p
9x2 + 16
Líi gi£i:
i·u ki»n 2 x 2
Bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh ¦u th nh
p
2x + 4 2
p
2 x =
12x 8
p
9x2 + 16
()
6x 4
p
2x + 4 + 2
p
2 x
=
12x 8
p
9x2 + 16
()
2
4 x =
2
3
2
p
p
2 x
2x + 4 + 2

=
p
9x2 + 16
M°t kh¡c:
2
p
p
2 x
2x + 4 + 2

=
p
9x2 + 16
() 9x2 + 8x 32 = 16
p
2 (4 x2)
() 9x2 32 = 8
h
2
p
2 (4 x2) x
i
() (9x2 32)
h
2
p
2 (4 x2) + x
i
= 8 (32 9x2)
() (9x2 32)
h
2
p
2 (4 x2) + x + 8
i
= 0
()

9x2 = 32
p
2 (4 x2) + x + 8 = 0 (V N)
2
() x =
p
2
3
4
Thû l¤i ta câ nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l :
2
64
x =
2
3
x =
p
2
3
4
8
:
(x 2)
r
1 +
3x
y
= 2x y
y2
r
1 +
3x
y
= 2x2 + y2 4x

Líi gi£i:
i·u ki»n:
8
:
1 +
3x
y
0
y6= 0
Tr÷íng hñp 1:
r
1 +
3x
y
= 0 )
8
:
1 +
3x
y
= 0
2x y = 0
()
(
y = 3x
2x y = 0
() x = y = 0 (loai)
Tr÷íng hñp 2:
r
1 +
3x
y
6= 0
Chi 2 v¸ cõa 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau ta ÷ñc
x 2
y2 =
2x y
2x2 + y2 4x
() 2x3 8x2 xy2 2y2 + 8x + y3 = 0
() (x + y 2) (2x2 2xy + y2) = 0
()
2
4
x = y + 2
2

x2 xy +
y2
4

+
y2
2
= 0
()
2
4
x = y + 2

x
2
y
2
2
+
y2
2
= 0 (V N)
() x = y + 2
Thay v o ta câ:
y
r
1 +
3 (y + 2)
y
= 3y + 4
() y
r
2y + 6
y
= 3y 4
()
8
:
3
4
y 3
9y2 24y + 16 = 2y2 + 6y
()
8
:
3
4
y 3 2
4
y = 2
y =
8
11
() y = 2 ) x = 0
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l : (x; y) = (0; 2)
(
p
x + 3y + 2 3
2
p
y =
p
x + 2 (1)
p
4 x +
p
y 1 = x2 3y + 9 (2)

Líi gi£i:
i·u ki»n:
8
:
x + 3y + 2 0
y 1
2 x 4
Ta câ:
p
x + 3y + 2 =
(1) () 2
p
x + 2 + 3
p
y () 4 (x + 3y + 2) = x + 2 + 9y + 6
p
x + 2:
p
y
p
x + 2:
() 3 (x + 2) 6
p
y + 3y = 0 ()
p
x + 2
p
y
2
= 0 () x + 2 = y
Thay xuèng ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc
p
4 x +
p
x + 1 = x2 3 (x + 2) + 9 ()
p
4 x +
p
x + 1 = x2 3x + 3
()

p
4 x

x
3
+ 2

+
hp
x + 1
x
3
+ 1
i
= x2 3x
()
4 x

x
3
+ 2
2
p
4 x +

x
3
+ 2
+
x + 1
x
3
+ 1
2
p
x + 1 +
x
3
+ 1
= x2 3x
()
x2
9
+
x
3
p
4 x +

x
3
+ 2
+
x2
9
+
x
3
p
x + 1 +
x
3
+ 1
= x2 3x
()
2
664
x2 3x = 0
1
p
4 x +

x
3
+ 2
+
1
p
x + 1 +
x
3
+ 1
= 9 ()

x = 0
x = 3
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l (x; y) = (0; 2) ; (3; 5)
(13 4x)
p
2x 3 + (4x 3)
p
5 2x = 2 + 8
p
16x 4x2 15
Líi gi£i:
i·u ki»n:
3
2
x
5
2
.
°t: (
a =
p
2x 3
b =
p
5 2x
(a; b 0) )
(
2a2 + 3 = 4x 3
2b2 + 3 = 13 4x
M°t kh¡c: a2 + b2 = 2; ab =
p
16x 4x2 15.

Do â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh:
(2b2 + 3) a + (2a2 + 3) b = 2 + 8ab
() (2b2 + 3) a + (2a2 + 3) b = a2 + b2 + 8ab
() 2ab (a + b) + 3 (a + b) = (a + b)2 + 6ab
() (a + b 3) (2ab a b) = 0
()

a + b = 3
a + b = 2ab
()
2
4
p
16x 4x2 15 =
7
2
(V N)
p
16x 4x2 15 = 1
() x = 2 (TM)
p
x3 + 1
x2 + 5x + 7 = 7
Líi gi£i:
i·u ki»n: x 1
Bi¸n êi t÷ìng ÷ìng ph÷ìng tr¼nh ¦u ta câ:
p
x3 + 1
x2 + 5x + 7 = 7
p
(x + 1) (x2 x + 1)
() x2 + 5x + 7 = 7
p
(x + 1) (x2 x + 1) + 6 (x + 1) = 0
() (x2 x + 1) 7
()
p
p
x + 1
x2 x + 1 = 6
p
x2 x + 1 =
p
x + 1
()

x2 x + 1 = 36 (x + 1)
x2 x + 1 = x + 1
()

x2 37x 35 = 0
x2 2x = 0
()
2
664
x =
37
p
1509
2
x = 2
x = 0
2
664
x =
37
p
1509
2
x = 2
x = 0
(
(x + y)(x + 4y2 + y) + 3y4 p = 0
x + 2y2 + 1 y2 + y + 1 = 0
(x; y 2 R)
Líi gi£i:

i·u ki»n: x + 2y2 + 1 0
Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t cõa h» t÷ìng ÷ìng vîi:
(x + y)2 + 4(x + y)y2 + 3y4 = 0 () (x + y + y2)(x + y + 3y2) = 0:
TH 1: x = y y2 thay v o ph÷ìng tr¼nh thù 2 cõa h» ta ÷ñc
p
y2 y + 1 y2 + y + 1 = 0
()
p
y2 p y + 1 = 1(loai)
y2 y + 1 = 2:
() y2 y 3 = 0
() y =
1
p
13
2
:
Vîi y =
1
p
13
2
th¼ x = 4 +
p
13 v vîi y =
1 +
p
13
2
th¼ x = 4
p
13:
TH 2: x = y 3y2: thay v o ph÷ìng tr¼nh 2 cõa h» ta ÷ñc
p
y2 y + 1 y2 + y + 1 = 0
()
p
y2 y + 1 = y2 y 1
()
(
y2 y 1 0
y2 y + 1 = (y2 y 1)2
()
(
y2 y 1 0
y(y + 1)(y2 3y + 3) = 0
() y = 1:
Suy ra x = 2
Vªy h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m l :
(x; y) =

4 +
p
13;
1
p
13
2
!
;

4
p
13;
1 +
p
13
2
!
; (2; 1) :
r
x
1
x
+
r
1
1
x
x
Líi gi£i:

i·u ki»n:

x 1
1 x 0
TH 1: N¸u 1 x 0 th¼ nâ thäa m¢n b§t ph÷ìng tr¼nh.
TH 2: N¸u x 1 th¼ b§t ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi.
r
x
1
x
+
r
1
1
x
x ()
p
x2 1 x
p
x
p
x 1
Nhªn th§y 2 v¸ khæng ¥m n¶n b¼nh ph÷ìng 2 v¸ b§t ph÷ìng tr¼nh ta câ:
p
2
x2 x 1
0 () x2 x 1 = 0 ()
2
64
x =
p
5
2
1 +
x =
p
5
2
1
(loai)
Vªy nghi»m cõa b§t ph÷ìng tr¼nh l : 1 x 0 ho°c x =
p
5
2
1 +

Pt vo-ti

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Similar to Pt vo-ti

Similar to Pt vo-ti (20)

More from Vui Lên Bạn Nhé

More from Vui Lên Bạn Nhé (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (19)

Pt vo-ti