Dat an phu giai pt chua can

1. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
CHUY–N —
T ‰N PHÖ GIƒI PH×ÌNG TRœNH V€ H› PH×ÌNG TRœNH VÆ T
Nh÷ c¡c b¤n ¢ bi¸t trong ch÷ìng tr¼nh To¡n THPT th¼ ph÷ìng tr¼nh v h» ph÷ìng tr¼nh væ t
luæn l mët chõ · kinh iºn, bði th¸ n¶n nâ luæn xu§t hi»n trong c¡c k¼ thi lîn nh÷ thi ¤i håc v
c¡c k¼ thi håc sinh giäi lîn nhä. Trong â ph÷ìng ph¡p dòng ©n phö º gi£i to¡n luæn l mët cæng cö
m¤nh v húu ½ch. Hæm nay b i vi¸t n y s³ tr¼nh b y mët sè ph÷ìng ph¡p °t ©n phö º gi£i quy¸t
c¡c b i to¡n.
Nëi dung: °t biºu thùc chùa c«n b¬ng biºu thùc mîi m ta gåi l ©n phö, chuyºn v· ph÷ìng
tr¼nh theo ©n mîi. Gi£i ph÷ìng tr¼nh ©n phö rçi thay v o biºu thùc t¼m nghi»m ban ¦u.
Ph÷ìng ph¡p: Gçm câ c¡c b÷îc sau:
B÷îc 1: Chån c¡ch °t ©n phö, t¼m i·u ki»n x¡c ành cõa ©n phö. º l m tèt b÷îc n y ph£i câ sü
quan s¡t, nhªn x²t mèi quan h» cõa c¡c biºu thùc câ m°t trong ph÷ìng tr¼nh rçi ÷a ra biºu thùc
th½ch hñp º °t ©n phö.
B÷îc 2: Chuyºn ph÷ìng tr¼nh ban ¦u v· ph÷ìng tr¼nh theo ©n phö, th÷íng l nh÷ng ph÷ìng tr¼nh
¢ bi¸t c¡ch gi£i, t¼m ÷ñc nghi»m c¦n chó þ ¸n i·u ki»n cõa ©n phö.
B÷îc 3: Gi£i ph÷ìng tr¼nh vîi ©n phö vøa t¼m ÷ñc v k¸t luªn nghi»m.
Th nh vi¶n tham gia chuy¶n ·:
1-Tr¦n Tr½ Quèc 11TL8 THPT Nguy¹n Hu», Phó Y¶n
2-Hç ùc Kh¡nh 10CT THPT Chuy¶n Qu£ng B¼nh.
3-o n Th¸ Háa 10A7 THPT Long Kh¡nh, çng Nai
4-Th¦y Mai Ngåc Thi THPT Hòng V÷ìng, B¼nh Ph÷îc.
5-Th¦y Nguy¹n Anh Tu§n THPT L¶ Qu£ng Ch½, H T¾nh.
¦u ti¶n ta còng gi£i c¡c v½ dö cì b£n sau:
Câ l³ nhi·u b¤n ¢ quen vîi b i tªp d¤ng lo¤i n y n¶n m¼nh ch¿ muèn nh­c l¤i 1 tþ
I-°t ©n phö ÷a v· ph÷ìng tr¼nh theo ©n phö:
D¤ng 1
p
Pt câ d¤ng ax2 + bx + c =
px2 + qx + r trong â
a
p
=
b
q
C¡ch gi£i : °t t =
p
px2 + qx + r; t 0
Tæi s³ ÷a ra v i v½ dö º c¡c b¤n æn l¤i v¼ ¥y l ph¦n kh¡ d¹
Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau
p
x2 + 3x
1/(H Ngo¤i Th÷ìng-2000) (x + 5)(2 x) = 3
p
x2 + 5x + 2 = 6
2/(H Ngo¤i ngú 1998) (x + 4)(x + 1) 3
3/(H C¦n Thì 1999)
p
(x + 1)(2 x) = 1 + 2x 2x2
p
2x2 + 5x + 3
4/ 4x2 + 10x + 9 = 5
p
9x2 9x + 2
5/ 18x2 18x + 5 = 3
p
x2 + 7x + 7 = 2
6/ 3x2 + 21x + 18 + 2
D¤ng ti¸p theo công r§t quen thuëc
D¤ng 2
PT câ d¤ng P(x) + Q(x) + (
p
P(x)
p
Q(x)) 2
p
P(x):Q(x) + = 0 ( l sè thüc)
C¡ch gi£i °t t =
p
P(x)
p
Q(x) ) t2 = P(x) + Q(x) 2
p
P(x):Q(x)
Page 1

2. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
B i 1: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 1 +
2
3
p
x x2 =
p
x +
p
1 x
Gi£i
K 0 x 1, Ta °t t =
p
x +
p
1 x th¼
p
x x2 =
t2 1
2
, ph÷ìng tr¼nh trð th nh bªc 2 vîi ©n
l t
, 1 +
t2 1
3
= t , t2 3t + 2 = 0 , t = 1; t = 2
TH1 t = 2 ,
p
x +
p
1 x = 2 (VN)
TH2 t = 1 ,
p
x +
p
1 x = 1 , x = 0; x = 12
Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau
1/(HVKTQS-1999)
p
3x 2 +
p
x 1 = 4x 9 + 2
p
3x2 5x + 2
2/
p
2x + 3 +
p
x + 1 = 3x + 2
p
2x2 + 5x + 3 16
p
4x + 3 +
3/
p
2x + 1 = 6x +
p
8x2 + 10x + 3 16
4/(CSPHN-2001)
p
x 2
p
x2 4 2x + 2
p
x + 2 = 2
Th¸ l ¢ xong c¡c v½ dö cì b£n rçi b¥y gií ta x²t ¸n c¡c v½ dö m c¦n sü bi¸n êi kh²o l²o mët
chót v câ sü quan s¡t ¡nh gi¡ mîi câ thº ÷a v· d¤ng cì b£n º °t ©n phö ÷ñc.
II-°t ©n phö ÷a v· ph÷ìng tr¼nh t½ch
Xu§t ph¡t tø 1 sè h¬ng ¯ng thùc cì b£n khi °t ©n phö:
x3 + 1 = (x + 1)(x2 x + 1)
x4 + 1 = (x2
p
2x + 1)(x2 +
p
2x + 1)
x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) x2 = (x2 + x + 1)(x2 x + 1)
4x4 + 1 = (2x2 2x + 1)(2x2 + 2x + 1)
Chó þ: Khi °t ©n phö xong ta cè g­ng ÷a v· nhúng d¤ng cì b£n nh÷ sau
u + v = 1 + uv , (u 1)(v 1) = 0
au + bv = ab + vu , (u b)(v a) = 0
Ph÷ìng tr¼nh ¯ng c§p bªc hai ax2 + bxy + cy2 = 0 , at2 + bt + c = 0 vîi t =
x
y
L¤i l§y B i 1 ð tr¶n 1 l¦n núa
Gi£i
Gi£i ph÷ìng tr¼nh 1 +
2
3
p
x x2 =
p
x +
p
1 x
p
x)2 + (
Nhªn x²t: Ta th§y (
p
1 x)2 = 1(**), m tø ph÷ìng tr¼nh ¦u ta rót ÷ñc mët c«n thùc
qua c«n thùc cán l¤i
Gi£i
,
p
x =
p
3
1 x 3
p
2
1 x 3
. Do â n¸u °t t =
p
1 x )
p
x =
3t 3
2t 3
Thay v o (**) ta bi¸n êi th nh t(t1)(2t2 4t+3) = 0 , t = 0; t = 1 hay x = 0; x = 1 l nghi»m
cõa ph÷ìng tr¼nh.2
Page 2

3. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
Ta x²t v½ dö sau
B i 2: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 3 p
x + 2 = 1 + 3 p
x + 1 + 3 p
x2 + 3x + 2
Gi£i
3 3 Ta th§y (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2
°t u = x + 1; v = x + 2
p
p
PT, u + v = 1 + uv
, (u 1)(v 1) = 0
Gi£i ti¸p ta ÷ñc x = 0; x = 12
Ta x²t v½ dö sau, kh¡ gièng b i ð tr¶n nh÷ng khâ hìn.
B i 3: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 3 p
x2 + 3x + 2( 3 p
x + 1 3 p
x + 2) = 1
Nhªn x²t: C¡ch l m b i n y công kh¡ gièng nh÷ng ph£i º þ thªt k¾ b¶n VP v¼ ta t¡ch VP
th nh biºu thùc li¶n quan ¸n biºu thùc ©n phö.
Gi£i
3 3 3 Líi gi£i: Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng p
vîi
(x + 1) (x + 2) + x2 + 3x + 2( x + p
p
1 x + 2) = 0
Ta °t 3 p
x + 1 = a; b = 3 p
x + 2, khi â ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng
a3 + b3 ab(a + b) = 0
, (a + b)(a b)2 = 0
, a = b , 3 p
x + 1 = 3 p
x + 2
, x =
3
2
Thû l¤i th§y x =
3
2
thäa m¢n. Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t x =
3
2
2
V½ dö t÷ìng tü
B i 4: Gi£i ph÷ìng tr¼nh (x + 2)(
p
2x + 3 2
p
x + 1) +
p
2x2 + 5x + 3 1 = 0
Gi£i
K
8
:
x
3
2
x 1
) x 1
°t
8
:
p
2x + 3 = a
p
x + 1 = b
a; b 0
)
8 :
x + 2 = a2 b2
p
2x2 + 5x + 3
1 = a2 2b2
N¶n PT , (a2 b2)(a 2b) + ab = a2 2b2
, (a2 b2)(a 2b) + b(a + b) (a2 b2) = 0. V¼ a + b 0 n¶n ta chia 2 v¸ cho a + b
, (a b)(a 2b) p
(a 2b) = p
0 , (a 2b)(a b 1) = 0
Vîi a = b + 1 )
2x + 3 =
x + 1 + 1 (VN)
Vîi a = 2b )
p
2x + 3 = 2
p
x + 1 , x =
1
2
(TMK)
Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m S =
1
2
Page 3

4. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
B i tªp · nghà
Gi£p
i c¡c ph÷ìp
ng tr¼nh sau
1/(
x + 5
x + 2)(1 +
p
x2 + 7x + 10) = 3
p
x + 1 +
2/(
p
x 2)(1
p
x2 x 2) = 3
p
x x2 +
3/
p
1 x = 1 + (1 x)
p
x
p
3x2 18x + 25 +
4/
p
4x2 24x + 29 = 6x x2 4
B i 5: Gi£i ph÷ìng tr¼nh
2 +
p
x
p
2 +
p
2 +
p
x
+
2
p
x
p
2
p
2
p
x
=
p
2
Gi£i
Tho¤t nh¼n ta ÷a ra ¡nh gi¡ r§t d¹ th§y 2 +
p
x + 2
p
x = 4
N¶n ta °t
p
2 +
p
x = a;
p
2
p
x = b
Ta câ ab =
p
4 x; a2 + b2 = 4
Ta vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh nh÷ sau:
a2
p
2 + a
+
b2
p
2 b
=
p
2
) a2
p
2 a2b + b2
p
2 + ab2 =
p
2(2 b
p
2 + a
p
2 ab)
,
p
2(a2 + b2 + ab 2) ab(a b) = 2(a b)
,
p
2(ab + 2) = (a b)(ab + 2). º þ a2 + b2 = 4
V¼ ab + 26= 0 n¶n a b =
p
2
, a2 + b2 2ab = 2 ) ab = 1 )
p
4 x = 1
N¶n x = 3
Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m S = 32.
p
2x 3 + (4x 3)
B i 6: Gi£i ph÷ìng tr¼nh (13 4x)
p
5 2x = 2 + 8
p
16x 4x2 15
Nhªn x²t: D¹ th§y r¬ng (2x 3)(5 2x) = 16x 4x2 15, nh÷ng cán c¡c nhà thùc ð ngo i c«n ta
khæng thº biºu di¹n h¸t theo 1 ©n phö ÷ñc, ta °t 2 ©n phö v cè ÷a v· ph÷ìng tr¼nh t½ch.
Gi£i
Líi gi£i: K
3
2
x
5
2
°t u =
p
2x 3 ) u2 = 2x 3; 2u2 + 3 = 4x 3
v =
p
5 2x ) v2 = 5 2x; 2v2 + 3 = 13 4x
) u2 + v2 = 2; uv =
p
16x 4x2 15(1)
) PT , (2v2 + 3)u + (2u2 + 3)v = 2 + 8uv = u2 + v2 + 8uv
, 2uv(u + v) + 3(u + v) = (u + v)2 + 6uv
, (u + v 3)(2uv u v) = 0
TH1 : u + v = 3
,
p
16x 4x2 15 =
7
2
(VN)
TH2 : u + v = 2uv
,
p
16x 4x2 15 = 1
) x = 2 (Thäa K)
Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m duy nh§t x = 22
B i 7: Gi£i ph÷ìng tr¼nh x2 +
p
x + 1 = 1 (*)
Gi£i
Page 4

5. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
°t
p
x + 1 = t; t 0
PT(*) , (t2 1)2 + t = 1 , t(t 1)(t2 + t 1) = 0
TH1 Vîi t = 0 th¼ x = 1.
TH2 Vîi t = 1 th¼ x = 0.
TH3 Vîi t =
p
5
2
1 +
th¼ x =
p
5
2
1
2
Ta tü l m khâ vîi kiºu b i tr¶n l¶n mët tþ nh², n¥ng bªc lôy thøa, ta x²t v½ dö sau
B i 8: Gi£i ph÷ìng tr¼nh x4 +
p
x2 + 3 = 3
Gi£i
º ìn gi£n hâa, ta °t x2 = a; a 0
PT , a2 +
p
a + 3 = 3, ta s³ t¡ch º ÷a v· ph÷ìng tr¼nh t½ch nh÷ sau:
, a2 (a + 3) + (a +
p
a + 3) = 0
, (a +
p
a + 3)(a
p
a + 3 + 1) = 0
V¼ a 0 ) a +
p
a + 3 0 (VN)
Ta câ a + 1 =
p
a + 3
, a2 + a 2 = 0
) a = 1(a 0) n¶n x = 12
B i 9: Gi£i ph÷ìng tr¼nh (x2 + 2)2 + 4(x + 1)3 +
p
x2 + 2x + 5 = (2x 1)2 + 2
(· thi chån ëi tuyºn 10 THPT chuy¶n L÷ìng V«n Ch¡nh-Phó Y¶n)
Nhªn x²t: B i n y câ lôy thøa bªc cao nh§t l 4, v câ c£ c«n bªc 2 n¶n ta s³ cè nhâm c¡c biºu
thùc lôy thøa gièng trong c«n º câ thº °t ©n phö.
Gi£i
, x4 + 4x2 + 4 + 4(x3 + 3x2 + 3x + 1) +
p
x2 + 2x + 5 = 4x2 4x + 3
, (x2+2x)2+8(x2+2x)+
p
x2 + 2x + 5+5 = 0 (Cæng o¤n nhâm l¤i th¸ n y công r§t quan trång)
°t t =
p
x2 + 2x + 5; t 2 ) t2 5 = x2 + 2x
Ta vi¸t l¤i PT ¢ cho t÷ìng t÷ìng vîi (t2 5)2 + 8(t2 5) + t + 5 = 0
, t4 2t2 + t 10 = 0 , (t 2)(t3 + 2t2 + 2t + 5) = 0
V¼ t 2 n¶n t3 + 2t2 + 2t + 5 0
Ta câ t = 2
)
p
x2 + 2x + 5 = 2
Vªy x = 12
B i 10: Gi£i ph÷ìng tr¼nh
p
x2 2x + 5 +
p
x 1 = 2
Gi£i
°t:t =
p
x 1; vîi x 1; t 0 ) t2 = x 1
Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho vi¸t l¤i:
q
(x 1)2 + 4 = 2
p
x 1
p
t4 + 4 = 2 t(t 2)
Trð th nh:
, t4 t2 + 4t = 0
Page 5

6. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
V¼ t 2 [0; 2] n¶n t3 t + 4 0
Vªy t = 0 ) x = 12
p
5 2y = 0
B i 11: Gi£i ph÷ìng tr¼nh (4x2 + 1)x + (y 3)
Gi£i
i·u ki»n y
5
2
.
°t a = 2x v b =
p
5 2y (b 0) ta câ ph÷ìng tr¼nh vi¸t l¤i th nh
a3 + a
2
+
(b3 + b)
2
= 0 , a = b
Hay 2x =
p
5 2y , x =
5 4y2
2
. Vªy x =
5 4y2
2
l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh.
Nhªn x²t. Mët líi gi£i thªt µp ph£i khæng ! Ch­c c¡c b¤n s³ th­c m­c r¬ng l m sao m ta l¤i câ
thº °t ÷ñc ©n phö nh÷ tr¶n.
p
5 b2
Tr÷îc ti¶n ta s³ °t
5 2y = b ) y 3 =
2
3 =
(b2 + 1)
2
) (y 3)
p
5 2y =
(b2 + 1) b
2
B¥y gií ta muèn (4x2 + 1) x =
a (a3 + 1)
2
) (4x2 + 1) :2x = a3 + a
) 8x3 + 2x = a3 + a ) a = 2x
Tø â ta câ ÷ñc c¡ch °t ©n phö nh÷ ð líi gi£i 2
B i 12: Gi£i ph÷ìng tr¼nh
r
x + 2
2
1 = 3 p
3(x 3)2 + 3 p
9(x 3)
Gi£i
i·u ki»n x 2 °t t = 3 p
9 (x 3) th¼ ta câ x =
t3 + 27
r 9
x + 2
2
=
r
t3 + 45
18
q
3(x 3)2 =
; 3
t2
3
.
Prh÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh
t3 + 45
18
1 =
t2
3
+ t
,
r
t3 + 45
2
= t2 + 3t + 3 (1)
Ta câ t2 + 3t + 3 =
t +
3
2
2
+
3
4
0 n¶n ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng vîi
t3 + 45
2
= (t2 + 3t + 3)2
, 2t4 + 11t3 + 30t2 + 36t 27 = 0
(2t 1)(t + 3)(t2 + 3t + 9) = 0
, t =
1
2
; t = 3
Vîi t =
1
2
th¼ x =
t3 + 27
9
=
217
72
Page 6

7. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
Vîi t = 3 th¼ x =
t3 + 27
9
= 0
C¡c nghi»m tr¶n thäa m¢n i·u ki»n cõa b i to¡n. Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m x = 0 v
x =
217
72
2.
B i 13: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 5 3 p
x 5 p
x + 3 5 p
x 3 p
x = 8
Gi£i
Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi: 5 3 p
5 p
x6 + 3 5 p
3 p
x4 = 8
p
x6 + 3 15
, 5 15
p
x4 = 8
p
x2 vîi y 0 ta câ:
°t:y = 15
5y3 + 3y2 8 = 0
, (y 1)(5y2 + 8y + 8) = 0
, y 1 = 0 , y = 1
Do â ta câ: 15
p
x2 = 1 , x2 = 1 , x = 1:
Vªy: tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l :S = f1; 1g2.
B i 14: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 5 p
x4
7
5 p
x2
+
6
x
= 0
Gi£i
K x6= 0. Ta câ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi
5 p
x4
7
5 p
x2
+
6
5 p
x5
= 0 , 5 p
x9 7 5 p
x3 + 6 = 0()
°t:y = 5 p
x3; y6= 0; ph÷ìng tr¼nh (*) trð th nh:
y3 7y + 6 = 0 , (y 1)(y2 + y 6) = 0
,
2
4
y = 1
y = 2
y = 3
,
2
4
5 p
x3 = 1
5 p
x3 = 2
5 p
x3 = 3
,
2
4
x = 1
x = 2 3 p
4
x = 3 3 p
9
Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l
1; 2 3 p
4;3 3 p
9
2
B i 15: Gi£i ph÷ìng tr¼nh
p
4x 1 +
p
4x2 1 = 1
Gi£i
K
(
4x 1 0
4x2 1 0
, x
1
2
B¼nh ph÷ìng hai v¸ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho, ta câ:
(4x 1) + (4x2 1) + 2
p
(4x 1)(4x2 1) = 1
p
(4x 1) (4x2 1) = 3 4x2 4x = 4 (2x + 1)2
, 2
°t y = 2x + 1 ) 4x 1 = 2y 3; 4x2 1 = y2 2y
Php
÷ìng tr¼nh trð th nh
2
(2y 3)(y 2) = 4 y2
,
(
4 y2 0
4(2y 3)(y 2)y = (4 y2)2
Page 7

8. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
,
8
:
2 y 2
y 2 = 0
4(2y 3)y = (y + 2)2(y 2)
,
8
:
2 y 2
y = 2
y3 6y2 + 8y 8 = 0
, y = 2
H m sè G(y) = y3 6y2 + 8y 8 l§y gi¡ trà ¥m tr¶n to n mi·n [2; 2]
Do â ta câ 2x + 1 = 2 , x =
1
2
Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t x =
1
2
2
B i 16: Gi£i ph÷ìng tr¼nh
p
2x 1 + x2 3x + 1 = 0 (D-2006)
Gi£i
°t t =
p
2x 1 ) x =
t2 + 1
2
PT , t4 4t2 + 4t 1 = 0
, (t 1)2(t2 + 2t 1) = 0
* Vîi t = 1 ) x = 1
*Vîi t =
p
2 1 ) x = 2
p
22
B i 17: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 2x2 6x 1 =
p
4x + 5
Gi£i
K x
3
p
11
2
; x
3 +
p
11
2
°t t =
p
4x + 5 ) x =
t2 5
4
PT, t4 22t2 8t + 27 = 0 , (t2 + 2t 7)(t2 2t 11) = 0
èi chi¸u i·u ki»n ta t¼m ÷ñc nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh x = 1
p
2; x = 2 +
p
32
Nhªn x²t: èi vîi nhúng b i câ d¤ng
p
ax + b+cx2+dx+e = 0 th¼ c¡ch gi£i l °t
p
ax + b = t,
sau â ÷a v· ph÷ìng tr¼nh bªc 4, dòng çng nh§t thùc º ph¥n t½ch nh¥n tû. Nh÷ng câ 1 sè b i
khæng gi£i ÷ñc b¬ng c¡ch â, ta s³ nh­c l¤i v§n · n y ð ph¦n sau.
B i 18: Gi£i ph÷ìng tr¼nh (x + 3
p
x + 2)(x + 9
p
x + 18) = 168x
èi vîi nhúng b i m khi ph¥n t½ch th nh c¡c nhà thùc ho°c tam thùc ta th÷íng nh©m ÷ñc
nghi»m húu t kh¡ µp, vªy cán çi vîi nhúng nghi»m væ t?
Ta x²t b i to¡n sau:
p
x 1
B i 19: Gi£i ph÷ìng tr¼nh (x 2)
p
2x + 2 = 0
Nhªn x²t: Ta th§y trong c«n câ
p
x 1, n¶n ta s³ cè g­ng th¶m bît v t¡ch s³ ÷ñc mët ph÷ìng
tr¼nh theo ©n mîi
Gi£i
Page 8

9. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
°t
p
x 1 = t; t 0
p
x 1
Ta bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh nh÷ sau : [(x 1) 1]
p
2[(x 1)
p
2]
p
2 = 0
, t3
p
2t2 t + 2
p
2 = 0
Ph÷ìng tr¼nh n y ta b§m m¡y khæng câ nghi»m húu t, nh÷ng b¤n n o tinh þ mët tþ s³ th§y
t = 0:4142::::::?
Nh¼n v o sè n y kh¡ quen nh¿, nâ ch½nh l
p
2 1
p döng sì ç Horner, ta ph¥n t½ch ÷ñc nh÷ sau :(t + 1
p
2)(t2 t
p
2) = 0
*TH1 Vîi t =
p
2 1 )
p
x 1 =
p
2 1 ) x = 4 2
p
2
*TH2 t2 t
p
2 = 0, v ch¿ nhªn t 0
Ta câ t =
1 +
p
1 + 4
p
2
2
) x =
1 +
p
1 + 4
p
2
2
!2
+ 12
III- °t ©n phö ÷a v· ph÷ìng tr¼nh ¯ng c§p bªc hai, bªc ba.
p
x3 + 1 (· nghà Olympic 30/4/2007)
B i 20: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 2(x2 + 2) = 5
èi vîi b i to¡n n y ¦u ti¶n ta ph¥n t½ch nh¥n tû trong c«n x3 + 1 = (x + 1)(x2 x + 1) rçi cè þ
bi¸n êi v¸ tr¡i th nh têng ho°c hi»u cõa hai thøa sè trong c«n.
Gi£i
Ta bi¸n p
êi nh÷ sau 2(x2 p
+ 2) = 2(x2 x + 1) + 2(x + 1)
Ta °t
x2 x + 1 = a;
x + 1 = b
PT , 2a2 + 2b2 = 5ab
¸n ¥y gi£i ra ÷ñc 2 nghi»m t =
1
2
; t = 2 vîi t = (
a
b
)
Vªy x =
5
p
37
2
2
Sau ¥y l mët sè b i tªp t÷ìng tü
Gi£i PT
1/2(x2 3x + 2) = 3
p
x3 + 8
p
x3 1
2/2x2 + 5x 1 = 7
p
x3 + 8 = 3(x2 x + 6)
3/10
p
x3 + 1 = 3(x2 + 2)
4/10
Ngo i ra c¡c b¤n v¨n câ thº s¡ng t¤o th¶m c¡c PT b¬ng c¡c ¯ng thùc tæi ¢ n¶u ð tr¶n s³ r§t
thó và §y, º câ mët ph÷ìng tr¼nh µp ta ph£i chån h» sè a; b; c sao cho PT at2 + bt + c = 0 câ
nghi»m µp l ÷ñc, b¤n h¢y thû xem.
p
2x + 4 =
V½ dö b i n y ch¬ng h¤n 4x2 2
p
x4 + 1
Còng thû sùc vîi b i to¡n sau nh², b i n y khâ hìn so vîi c¡c v½ dö tæi ¢ n¶u ð tr¶n
B i 21: Gi£i ph÷ìng tr¼nh
p
5x2 14x + 9
p
x2 x 20 = 5
p
x + 1 (HSG Qu¢ng Ng¢i 2012)
Gi£i
K x 5, chuyºn p
v¸ b¼nh ph÷ìng ta câ :
2x2 5x + 2 = 5
(x2 x 20)(x + 1)
¸n ¥y l¤i g°p 1 v§n · núa â l ta khæng thº t¼m ÷ñc hai sè ;

10. sao cho
(x2 x 20) +

11. (x + 1) = 2x2 5x + 2 n¶n ta khæng thº °t a =
p
x2 x 20; b =
p
x + 1 nh÷
Page 9

12. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
c¡c v½ dö tr¶n ÷ñc.
Nh÷ng l¤i th§y x2 x 20 = (x 5)(x + 4)
PT , 2x2 5x + 2 =
p
(x2 4x 5)(x + 4)
Ta thû l¤i l¦n núa v t¼m ÷ñc ;

13. thäa m¢n, ta bi¸n èi l¤i PT nh÷ sau
, 2(x2 4x 5) + 3(x + 4) = 5
p
(x2 4x 5)(x + 4)
°t a =
p
x2 4x 5; b =
p
x + 4
PT , 2a2 + 3b2 = 5ab
Tø â ta ÷ñc a = b; a =
3
2
b
Vîi a = b ) x =
5 +
p
61
2
(x 5)
Vîi a =
3
2
b ) x = 8; x =
7
4
èi chi·u vîi i·u ki»n ta nhªn x = 8; x =
5 +
p
61
2
l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh.2
B€I TŠP
Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau:
1/
p
x2 + x 6 + 3
p
x 1
p
3x2 6x + 19 = 0 S: x =
23
p
341
2
p
x2 + 4x 5 +
2/ 3
p
x 3
p
11x2 + 25x + 2 = 0 S: x =
21
p
161
2
3/
p
7x2 + 25x + 19
p
x2 2x 35 = 7
p
x + 2 S: S =
(
61 +
p
11137
18
; 3 + 2
)
p
7
B i 22: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 3x2 2x 2 =
6
p
30
p
x3 + 3x2 + 4x + 2
Nhªn x²t:B i n y hìi kh¡c mët chót so vîi nhúng b i ð tr¶n â l biºu thùc trong c«n khæng
câ d¤ng h¬ng ¯ng thùc, v¼ vªy ta xem nh÷ mët ph÷ìng tr¼nh húu t v nh©m nghi»m.
K 3x2 2x 2 0 , x
p
7
3
1
; x
p
7
3
1 +
º þ: x3 + 3x2 + 4x + 2 = (x + 1)3 + (x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 2)
Gi£i
Ta vi¸t l¤i PT nh÷ sau 3(x2 + 2x + 2) 8(x + 1) =
6
p
30
p
(x + 1)(x2 + 2x + 2)
¸n ¥y d¹ rçi, ta °t a =
p
x2 + 2x + 2; b =
p
x + 1 n¶n PT vi¸t l¤i nh÷ sau
3a2 8b2 =
6
p
30
ab
¡p sè : x =
2
3
2
B i 23: Gi£i ph÷ìng tr¼nh (x2 6x + 11)
p
x2 x + 1 = 2(x2 4x + 7)
p
x 2
Gi£i
Líi gi£i: K x 2
°t
p
x2 x + 1 = a;
p
x 2 = b vîi a; b 0
Ta biºu di¹n c¡c bip
ºu thùc ngo i c«n p
theo a v b nh÷ sau
x2 6x + 11 = (
x2 x + 1)2 +

14. (
x 2)2
Page 10

15. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
p
x2 x + 1)2 +

16. (
x2 4x + 7 = (
p
x 2)2
Sû döng çng nh§t thùc ta gi£i ÷ñc
x2 6x + 11 = a2 5b2 v x2 4x + 7 = a2 3b2
Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi
(a2 5b)a = 2(a2 3b2)b
, a3 2a2b 5ab2 + 6b3 = 0
, t3 2t2 5t + 6 = 0 vîi t =
a
b
) t 0
, (t 1)(t 3)(t + 2) = 0
TH1 Vîi t = 1 ) a = b )
p
x2 x + 1 =
p
x 2 (VN)
TH2 Vîi t = 3 ) a = 2b )
p
x2 x + 1 = 3
p
x 2
) x = 5
p
6 (Thäa m¢n K)
TH3 Vîi t = 2 0 n¶n ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m.
Vªy S =
5 +
p
6; 5
2
p
6
Nhªn x²t: C¡i khâ ð d¤ng b i n y l ta ph£i bi¸n êi biºu thùc trong c«n sao cho phò hñp vîi
b¶n ngo i º t¼m ÷ñc ;

17. th½ch hñp, c¡c b¤n công câ thº tü s¡ng t¤o c¡c PT kiºu n y b¬ng c¡ch
l m ng÷ñc l¤i l tø PT bªc 2 nghi»m µp rçi chån c¡c tam thùc v nhà thùc th½ch hñp s³ câ ÷ñc
mët b i to¡n hay.
IV-‰n phö khæng tri»t º
èi vîi nhi·u PT væ t, khi khæng biºu di¹n ho n to n ÷ñc theo ©n phö th¼ câ mët c¡ch l xem
bi¸n mîi l ©n, bi¸n cô l tham sè.D¤ng to¡n n y gåi l ©n phö khæng ho n to n.
*Nëi dung ph÷ìng ph¡p
÷a ph÷ìng tr¼nh ¢ cho v· d¤ng ph÷ìng tr¼nh bªc hai vîi ©n l ©n phö hay l ©n cõa ph÷ìng tr¼nh
¢ cho.
p
÷a ph÷ìng tr¼nh v· d¤ng sau
f(x)Q(x) = f(x) + P(x)x khi â:
°t
p
f(x) = t; t 0. Ph÷ìng tr¼nh vi¸t l¤i th nh t2 t:Q(x) + P(x) = 0
¸n ¥y chóng ta gi£i t theo x. Cuèi còng l gi£i quy¸t ph÷ìng tr¼nh
p
f(x) = t sau khi ¢ ìn gi£n
hâa v k¸t luªn.
Ta x²t v½ dö sau º hiºu rã hìn.
B i 24: Gi£i ph÷ìng tr¼nh x2 + 3x + 1 = (x + 3)
p
x2 + 1 (HQG-2001)
Nhªn x²t: Ta th§y trong c«n câ x2 + 1, ta °t t =
p
x2 + 1. Ta s³ khæng rót x theo t m coi x
l tham sè. Thªt vªy
PT , t2 (x + 3)t + 3x = 0
Ta câ = (x + 3)2 12x = (x 3)2
)
p
= x 3 ) t = 3; t = x + 3
TH1 t = x + 3 (VN)
TH2 t = 3 ) x = 2
p
22
B i 25: Gi£i ph÷ìng tr¼nh x2 +
3
p
x2 + 2
x = 1 + 2
p
x2 + 2
Gi£i
Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng vîi
Page 11

18. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
x2 +
3
p
x2 + 2
x = 1 + 2
p
x2 + 2
, x2 + 3x 1 (x + 2)
p
x2 + 2 = 0
°t t =
p
x2 + 2; (t
p
2), ph÷ìng tr¼nh vi¸t l¤i th nh
t2 (x + 2) t + 3x 3 = 0 câ = (x 4)2
N¶n ph÷ìng tr¼nh câ 2 nghi»m l
t = x 1 ,
p
x2 + 2 = x 1 ,
(
x 1
2x 1 = 0
h» n y væ nghi»m.
t = 4 ,
p
14
p
x2 + 2 = 4 , x2 = 14 , x =
Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m l x =
p
14 v x =
p
142
B i 26: Gi£i ph÷ìng tr¼nh (3x + 1)
p
2x2 1 = 5x2 +
3
2
x 3
Gi£i
°t t =
p
2x2 1; (t 0)
Ph÷ìng tr¼nh vi¸t l¤i th nh 2t2 (3x + 1)t + x2 +
3
2
x 1 = 0
= (x 3)2 suy ra ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m l
t = 2x 1 ,
p
2x2 1 = 2x 1 ,
8
:
x
1
2
x2 2x + 1 = 0
, x = 1
t = x + 2 ,
p
2x2 1 = x + 2 ,
(
x 2
x2 4x 5 = 0
, x = 1; x = 5
Vªy S = f1; 5; 1g2
Nhªn x²t: Thæng th÷íng sau khi °t ©n phö th¼ ta vi¸t ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l¤i th nh
t2 (3x + 1) t + 3x2 +
3
2
x 2;nh÷ng b i to¡n n y l¤i câ sü kh¡c bi»t l ta s³ vi¸t ph÷ìng tr¼nh n y
l¤i th nh 2t2 (3x + 1) t + x2 +
3
2
x 1. Chóng ta quan t¥m tîi li»u h» sè tr÷îc t2 câ µp tùc ta
mong muèn ph£i l b¼nh ph÷ìng cõa mët sè ho°c mët biºu thùc, v¼ i·u n y s³ quy¸t ành tîi líi
gi£i s³ ng­n gån hay phùc t¤p. º câ thº i·u ch¿nh ÷ñc h» sè tr÷îc t2 sao cho µp c¡c b¤n câ
thº l m nh÷ sau mt2 (3x + 1) t + (5 2m) x2 +
3
2
x + m 3 = 0 co.
= (3x + 1)24m
(5 2m) x2 +
3
2
=(8m2 20m + 9) x2+(6 6m) x+(4m2 + 12m + 1)
x + m 3
Ta x²t ti¸p cõa b¬ng c¡ch gi£i ph÷ìng tr¼nh sau
p
2
(8m2 20m + 9) (4m2 + 12m + 1) = 6 6m , m = 2
â ch½nh l h» sè m ta c¦n t¼m.
B i 27: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 3
p
= x
2x2 + 1 1
1 + 3x + 8
p
2x2 + 1
Gi£i
Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng vîi 3
p
= x
2x2 + 1 1
1 + 3x + 8
p
2x2 + 1
, 3x2 + x + 3 + (8x 3)
p
2x2 + 1 = 0
Page 12

19. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
°t
p
2x2 + 1 = t (t 1), ph÷ìng tr¼nh vi¸t l¤i th nh
3t2 + (8x 2) t 3x2 x = 0 câ = (10x 3)2
N¶n ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m
t = x ,
p
2x2 + 1 = x ,
8
:
x 0
2x2 + 1 =
x2
9
h» n y væ nghi»m.
t = 1 3x ,
p
2x2 + 1 = 1 = 3x
,
8
:
x
1
3
7x2 6x = 0
, x = 0
Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m l x = 02.
B i 28: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 3x3 13x2 + 30x 4 =
p
(6x + 2)(3x 1)3
Gi£i
K x
4
3
; x
1
3
Ta bi¸n êi nh÷ sau 3x3 13x2 + 30x 4 = (x2 3x + 2)(3x 4) + 2(6x + 2)
N¸u x
1
3
VT0VP (VN)
N¸u x
4
3
chia 2 v¸ cho 3x 4 v¼ x =
4
3
khæng l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh.
2
6x + 2
3x 4
r
(3x 4)
6x + 2
3x 4
+ x2 3x + 2 = 0
, 2t2 (3x 4)t + x2 3x + 2 = 0 vîi t =
r
6x + 2
3x 4
0
= x2 n¶n t = x 1 ho°c 2t = x 2
Vîi t = x 1 ,
r
6x + 2
3x 4
= x 1 ,
8
:
x
4
3
6x + 2
3x 4
= (x 1)2
, x = 3
Vîi t =
x 2
2
,
r
6x + 2
3x 4
=
x 2
2
,
(
x 2
3x3 16x2 + 4x 24 = 0()
Gi£i ph÷ìng tr¼nh (*) ta câ nghi»m g¦n óng x 5; 36278, c¡c b¤n câ thº sû döng ph÷ìng ph¡p
Cardano º t½nh ch½nh x¡c nh÷ng nâ qu¡ d i v phùc t¤p n¶n ta khæng · cªp.
Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ 2 nghi»m x = 3 _ x 5; 362782
B i tªp Gi£i c¡c PT sau:
1/6x2 10x + 5 (4x 1)
p
6x2 6x + 5 = 0
2/(x + 3)
p
10 x2 = x2 x 12 (H D֖c-1999)
p
x2 + 2x 1 = x2 2x 1 (H D֖c 1997)
3/2(1 x)
p
x2 + 1 = 2x2 + 2x + 1
4/(4x 1)
p
x2 + x + 1 = x2 3x 1
5/2(1 x)
6/(x + 1)
p
x2 2x + 3 = x2 + 1 (Chó þ th¶m bît º câ ch½nh ph÷ìng).
p
x3 + 1 = 2x3 + 2x + 1
7/(4x 1)
Page 13

20. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
p
2x + 4 + 4
B i 29: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 2
p
2 x =
p
9x2 + 16
B i n y tho¤t nh¼n th¼ ch£ câ d¡ng i»u gièng mët ph÷ìng tr¼nh ÷a v· ©n phö khæng ho n to n.
Nh÷ng nâ ch½nh l mët ph÷ìng ph¡p gi£i quy¸t r§t hay cho b i to¡n n y.
Gi£i
Líi gi£i: K jxj 2
B¼nh ph÷ìng 2 v¸ ta câ :
4(2x + 4) + 16
p
2(4 x2) + 16(2 x) = 9x2 + 16
, 8(4 x2) + 16
p
2(4 x2) = x2 + 8x
¸n ¥y b¤n n o tinh þ, s³ quan s¡t ÷ñc c£ 2 v¸ câ d¤ng h¬ng ¯ng thùc, v cè ÷a v· a2 = b2
Thªt vªy th¶m 16 v o 2 v¸ ta ÷ñc (2
p
2(4 x2) + 4)2 = (x + 4)2, ¸n ¥y th¼ r§t d¹ d ng rçi nh¿,
nh÷ng möc ½ch cõa ta l ÷a v· ©n phö khæng ho n to n.
Ta vi¸t l¤i PT 8(4 x2) + 16
p
2(4 x2) = x2 + 8x, °t t =
p
2(4 x2)
) 4t2 + 16t x2 8x = 0
Gi£i ph÷ìng tr¼nh tr¶n theo ©n t ta ÷ñc t1 =
x
2
; t2 =
x
2
4
V¼ K jxj 2 n¶n t2 khæng thäa i·u ki»n.
Vîi t =
x
2
th¼
p
2(4 x2) =
x
2
) x =
p
2
3
4
(Thäa m¢n K) 2
B i 30: Gi£i ph÷ìng tr¼nh (3x + 2)
p
2x 3 = 2x2 + 3x 6
Gi£i
Líi gi£i: i·u ki»n x
3
2
°t t =
p
2x 3; t 0 ) t2 + 3 = 2x
Ta s³ th¶m bît theo ©n phö º ÷a v· ph÷ìng tr¼nh theo t v x l tham sè.
PT , t2 (3x + 2)t + 2x2 + x 3 = 0
Ta câ = 9x2 + 12x + 4 4(2x2 + x 3) = (x + 4)2
N¶n ta gi£i ÷ñc t = 2x p
+ 3 ho°c t = x 1
TH1 Vîi t = 2x + 3 )
2x 3 = 2x + 3 (VN)
TH2 Vîi t = x 1 )
p
2x 3 = x 1(x 1)
) x = 2 (Thãa K)
Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t x = 22
p
x + 1 1 = 3x + 2
B i 31: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 4
p
1 x +
p
1 x2
Nhªn x²t: Mîi ¦u khi g°p b i to¡n n y tæi th§y nâ kh¡ d¹ bði th§y sü xu§t hi»n cõa
p
x + 1
v
p
1 x, n¶n tæi °t ©n phö º ÷a v» h» ph÷ìng tr¼nh nh÷ng khi nh¼n k¾ l¤i th¼ 3x khæng thº
biºu di¹n ho n to n theo ©n phö ÷ñc ) b¸ t­c.
Gi£i
Page 14

21. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
Ta gi£i b i n y nh÷ sau: °t
p
1 x = t
PT , 3t2 (2 +
p
1 x)t + 4(
p
x + 1 1) = 0
Ta t½nh = (2+
p
x + 11), ta th§y khæng câ d¤ng ch½nh ph÷ìng, m§u chèt b i
p
1 x)2 48(
to¡n n y n¬m ð ché 3x.
Ta s³ t¼m v

22. sao cho:
3x + 1 = (
p
1 + x)2, sû döng çng nh§t h» sè ta d¹ d ng t¼m ÷ñc = 1;

23. = 2
p
1 x)2 +

24. (
PT , t2 (2 +
p
x + 1)t 2(x + 1) + 4
p
x + 1 = 0
p
x + 1 = 9(x + 1) 12
Ta câ = 9x + 13 12
p
x + 1 + 4 = (3
p
x + 1 2)2
Ph¦n ti¸p theo xin d nh cho b¤n åc.2
B i to¡n n y khæng d¹ mët chót n o èi vîi nhúng ai khæng n­m k¾ c¡ch gi£i công nh÷ bi¸n êi,
v§n · ð ¥y l ph£i tinh þ t¡ch 3x th nh hai d¤ng câ biºu thùc nh÷ trong c«n, ¸n §y b i to¡n
mîi thüc sü ÷ñc gi£i quy¸t.
p
1 + x2
B i 32: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 2(2
p
1 x2)
p
1 x4 = 3x2 + 1
Gi£i
Líi gi£i: p
i·u ki»n 1 x 1
°t a =
1 + x2; b =
p
1 x2 ) 3x2 + 1 = 2(1 + x2) (1 x2) = 2a2 b2
Khi â ph÷ìng tr¼nh trð th nh
2(2a b) ab = 2a2 b2 , 2a2 + a(b 4) + 2b b2 = 0
Ta câ a = (b 4)2 8(2b b2) = (3b 4)2
N¶n ta suy ra a =
b
2
ho°c a = 2 b
TH1 Vîi a =
b
2
p
1 + x2 =
, 2
p
1 x2 (VN)
TH2 Vîi a = 2 b ,
p
x2 + 1 = 2
p
1 x2
,
p
x2 + 1 +
p
1 x2 = 2 , 2 + 2
p
1 x4 = 4
) x = 0
Vªy S = f0g2
Sû döng h» sè b§t ành
B i 33: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 2x2 11x + 21 3 3 p
4x 4 = 0 (Håc sinh giäi quèc gia -1995, b£ng
A)
B i n y câ c¡ch gi£i r§t hay v gån b¬ng B§t ¯ng thùc Cauchy, mët c¡ch gi£i b¬ng ©n phö công
r§t s¡ng t¤o.
Líi gi£i: Ta c¦n t¼m a; b; c sao cho:
2x2 11x + 21 = a(4x 4)2 + b(4x 4) + c
, 2x2 11x + 21 = 16ax2 + (4b 32a)x + (16a 4b + c)
çng nh§t h» sè ta thu ÷ñc a =
1
8
; b =
7
4
; c = 12
Ta vi¸t l¤i PT nh÷ sau:
1
7
(4x 4)2
8
4
(4x 4) + 12 3 p
4x 4 = 0
°t u = 3 p
4x 4, khi â PT trð th nh
u6 14u3 24u + 96 = 0 , (u 2)2(u4 + 4y3 + 18u + 24) = 0
D¹ th§y u4 + 4y3 + 18u + 24 = 0 (VN) v¼:
*N¸u u 0 th¼ u6 14u3 24u + 96 0
*N¸u u 0 th¼ u4 + 4y3 + 18u + 24 0
Vªy u = 2 ) x = 32
Page 15

25. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
p
1 x
B i 34: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 2
p
1 x2 = 3 x
p
x + 1 + 3
K 1 x 1
Ta t¼m ;

26. sao cho x + 3 = (
p
1 x)2 +

27. (
p
x + 1)2
, x + 3 = (

28. )x + +

29. Gi£i ra ta ÷ñc = 2;

30. = 1
Ta vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh th nh 1 + x + 2(1 x) 2
p
1 x +
p
1 x2 = 0
p
x + 1 3
°t u =
p
1 + x; v =
p
1 x v u; v 0, ph÷ìng tr¼nh trð th nh
u2 + 2v2 2v + u 3uv = 0
, u2 + (1 3v)u + 2v2 2v = 0
= (1 3v)2 4(2v2 2v) = (v + 1)2
N¶n u = 2v ho°c u = v 1
u = 2v )
p
x + 1 = 2
p
1 x , x =
5
3
u = v 1 ,
8
:
1 x
1
2
4x2 = 3
N¶n ph÷ìng tr¼nh câ 2 nghi»m x =
5
3
; x =
p
3
2
Vªy S =
(
5
3
;
p
3
2
)
2
Tuy nhi¶n ph÷ìng ph¡p dòng h» sè b§t ành n y ch¿ gi£i quy¸t ÷ñc mët sè lîp b i v¼ trong
ph÷ìng tr¼nh væ t d¤ng b i n y công khæng nhi·u, ta còng x²t 2 v½ dö tho¤t ¦u nh¼n th¼ công
t÷ìng tü nh÷ng khæng thº gi£i quy¸t b¬ng c¡ch nh÷ tr¶n ÷ñc, ph¦n n y cõa d¤ng ÷a v· ph÷ìng
tr¼nh t½ch nh÷ng tæi muèn ÷a ra ð ¥y º gióp ta linh ho¤t khi gi£i to¡n chù khæng ph£i c¡i m¡y nh².
p
1 x = x + 6 3
B i 35: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 4
p
1 x2 + 5
p
1 + x
Ta s³ l m c¡ch nh÷ tr¶n nh², biºu di¹n x + 6 = (
p
x + 1)2
p
1 x)2 +

31. (
Gi£i ra ta ÷ñc =
1
2
;

32. =
7
2
, thay v o PT ¦u nh÷ng ta khæng nhªn ÷ñc ch½nh ph÷ìng.
Líi gi£i: °t a =
p
1 + x v b =
p
1 x
PT , 2x + 2 + 1 x + 5
p
1 x2 4
p
1 + x 3
p
1 x + 3 = 0
,) 2a2 + b2 3ab + 5a 4b + 3 = 0
B¥y gií ta s³ cè þ nhâm sao cho °t ÷ñc nh¥n tû chung, th÷íng l nhâm v· d¤ng a = b
, (a b)(2a b) + 3(a b) + (2a b) + 3 = 0
, (a b + 1)(2a b + 3) = 0
TH1 a + 1 = b
,
p
x + 1 + 1 =
p
1 x
p
x + 1 = (2x + 1); x
, 2
1
2
, x =
p
3
2
TH2 2a + 3 = b (PTVN)
V½ dö t÷ìng tü sau xin d nh cho b¤n åc
B i 36: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 4 + 2
p
1 x = 3x + 5
p
x + 1 +
p
1 x2
Page 16

33. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
¡p sè: Ph÷ìng tr¼nh câ 3 nghi»m S =
(
0;
24
25
;
p
3
2
)
2
°t ©n phö ÷a v» h» ph÷ìng tr¼nh.
Ta s³ ti¸p töc vîi 1 ph÷ìng ph¡p l m â l °t ©n phö ÷a v· h», chõ · n y kh¡ d i hìi v¼
nhi·u b i to¡n s³ ÷ñc gi£i quy¸t r§t gån b¬ng ph÷ìng ph¡p n y
D¤ng 1. Ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng xn + a = b n p
bx a
C¡ch gi£i: °t y = n p
bx a khi â ta câ h» èi xùng lo¤i II
xn by + a = 0
yn bx + a = 0
Ta x²t b i to¡n sau
B i 37: Gi£i ph÷ìng tr¼nh x3 + 1 = 2 3 p
2x 1 (H D֖c-1996)
Gi£i
°t y = 3 p
2x 1 ) y3 = 2x 1
Ta câ h» PT sau
x3 + 1 = 2y
y3 + 1 = 2x
¥y l h» èi xùng lo¤i II, trø v¸ theo v¸ ta câ:
x3 y3 = 2(y x)
, (x y)(x2 + y2 + xy + 2) = 0
x = y ) 3 p
2x 1 = x , x3 2x + 1 = 0 (x 1)(x2 + x 1) = 0
Vªy x = 1; x =
p
5
2
1
Ta câ x2 + y2 + xy + 2 =
x +
y
2
2
+
3y2
4
+ 2 0; 8x; y
Vªy PT ¢ cho câ 3 nghi»m 2.
Ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng:
a f(x) + m p
n p
b + f(x) = c
C¡ch gi£i: °t u = n p
a f(x); v = m p b + f(x)
Ta câ h» sau
u + v = c
un + vm = a + b
B i 38: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 4 p
x + 8 + 4 p
x 7 = 3
Gi£i
°t u = 4 p
x + 8 0 , u4 = x + 8 ) x = u4 8
v = 4 p
x 7 0 ) v4 = x 7 ) x = v4 + 7
8
:
Ta câ h»:
u + v = 3
u; v 0
u4 v4 = 15
,
8
:
v = 3 u
(u2 v2)(u2 + v2) = 15
u; v 0
,
8
:
v = 3 u
(u v)(u + v)(u2 + v2) = 15
u; v 0
,
8
:
v = 3 u
0 u 3
(u v)(u2 + v2) = 5
Page 17

34. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
,
(
0 u 3
(2u 3)
u2 + (3 u)2
= 5
,
(
0 u 3
(2u 3)(2u2 6u + 9) = 5
,
(
0 u 3
4u3 18u2 + 36u 32 = 0
,
(
0 u 3
u = 2
,
(
4 p
x + 8 = 2
4 p
x 7 = 1
,
(
x + 8 = 16
x 7 = 1
, x = 8
Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m duy nh§t x = 82.
3 3 B i tªp Gi£i ph÷ìng tr¼nh
p
1/ x + 34 x 3 = 14
p
2/ 4 p
97 x + 4 p
x = 5
3/ 3 p
x + 2 +
p
x + 1 = 3
4/ 4 p
18 x + 4 p
x 1 = 3
5/ 4 p
17 x8 3 p
2x8 1 = 1
B i 39: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 2 3 p
3x 2 + 3
p
6 5x = 8 (A-2009)
Gi£i
°t u = 3 p
3x 2; v =
p
6 5x 0
)
u3 = 3x 2
v2 = 6 5x
) 5u3 + 3v2 = 5(3x 2) + 3(6 5x) = 8(1)
M°t kh¡c ta l¤i câ 2u + 3v 8 = 0(2)
Tø (1) v (2) ta câ h» sau:
5u3 + 3v2 = 8
2u + 3v = 8
) 5u3 + 3
8 2u
3
2
= 8
3 , 15u3 + 4u2 32u + 40 = 0
Ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t u = 2
N¶n 3x 2 = 2 ) x = 22
p
B i 40: Gi£i ph÷ìng tr¼nh
p
1 +
p
1 x2
hp
(1 + x)3
p
(1 x)3
i
= 2 +
p
1 x2 (Olympic 30/4/2011)
p
1 + x)2 + (
Nhªn x²t: B i to¡n n y nh¼n v o câ v´ kh¡ phùc t¤p nh÷ng º þ (
p
1 x)2 = 2.
Gi£i
Líi gip
£i: K 1 x 1
°t
1 + x = a;
p
1 x = b vîi a; b 0
) a2 + b2 = 2 (*)
Ta câ h» sau
p a2 + b2 = 2(1)
1 + ab(a3 b3) = 2 + ab
(2)
Ta câ 1 + ab =
1
2
(2 + 2ab) =
1
2
(a2 + b2 + 2ab) do (*)
)
p
1 + ab =
1
p
2
(a + b) v¼ a; b 0
Page 18

35. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
Vªy tø PT(2) ta câ
1
p
2
(a + b)(a b)(a2 + b2 + ab) = 2 + ab
,
1
p
2
(a2 b2) = 1
K¸t hñp vîi (1) ta câ h» sau
a2 b2 =
p
2
a2 + b2 = 2
Cëng v¸ ta câ 2a2 = 2 +
p
2
, a2 = 1 +
1
p
2
) 1 + x = 1 +
1
p
2
) x =
1
p
2
2
Nhªn x²t: Ð b i to¡n n y þ t÷ðng cõa ta l thay h» sè b¯ng ©n tø ph÷ìng tr¼nh thù nh§t cõa h»
câ thº gi£i quy¸t b i to¡n ÷ñc d¹ d ng hìn. Sau ¥y l mët v½ dö nhä t÷ìng tü.
B i 40b: Gi£i ph÷ìng tr¼nh
p
x + 1 + x + 3 =
p
1 x + 3
p
1 x2
Gi£i
°t
(
u =
p
x + 1 0
v =
p
1 x 0
Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh
(
u2 + u + 2 = v + 3uv
u2 + v2 = 2
Thay 2 = u2 +v2 v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ta câ 2u2 +u+v2 = v +3uv , 2u2 +(13v)u+v2 v = 0
Ta câ = (v + 1)2. ¸n ¥y c¡c b¤n câ thº gi£i quy¸t d¹ d ng 2.
B i 41: Gi£i ph÷ìng tr¼nh (x + 5)
p
x + 1 + 1 = 3 p
3x + 4
Gi£i
Líi gi£i: K x 1
°t a =
p
x + 1; b = 3 p
3x + 4
) x = a2 1 v 3a2 + 1 = b3
Thay v o ph÷ìng tr¼nh ta câ h» sau
(a2 + 4)a + 1 = b
3a2 + 1 = b3
Cëng v¸ theo v¸ ta câ a3 + 3a2 + 4a + 2 = b3 + b
¸n ¥y quan s¡t k¾ mët chót, ta bi¸n êi nh÷ sau
, (a + 1)3 + (a + 1) = b3 + b
X²t h m sè °c tr÷ng f(t) = t3 + t
Ta câ f0(t) = 3t2 + 1 0, vªy h m sè çng bi¸n.
) f(a + 1) = f(b)
N¶n
p
x + 1 + 1 = 3 p
3x + 4
°t u =
p
x + 1; v = 3 p
3x + 4
Ta câ h» sau
Page 19

36. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
u + 1 = v
v3 3u2 = 1
)
u = v 1
v3 3u2 = 1
Sû döng ph²p th¸ ta câ v3 3(v 1)2 = 1
, v3 3v2 + 6v 4 = 0
, (v 1)(v2 v + 4) = 0
Ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t v = 1
) 3 p
3x + 4 = 1 ) x = 1
Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t x = 12
Ph÷ìng tr¼nh d¤ng
p
ax + b = cx2 + dx + e
Ta ¢ g°p c¡c d¤ng b i to¡n nh÷
p
ax + b = cx + d v mët sè v½ dö ¢ n¶u ð tr¶n b¬ng c¡ch b¼nh
ph÷ìng bªc 4 v çng nh§t h» sè º t¼m ÷ñc nghi»m, nh÷ng èi vîi nhúng b i to¡n khæng dòng
÷ñc ph÷ìng ph¡p â th¼ sao? Chóng ta còng l m rã v§n ·.
X²t v½ dö sau
B i 42: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 2x2 6x 1 =
p
4x + 5
Gi£i
Líi gi£i: K x
5
4
Ta bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh nh÷ sau
4x2 12x 2 = 2
p
4x + 5 + 11
p
4x + 5 , (2x 3)2 = 2
.°t 2y 3 =
p
4x + 5 ta ÷ñc h» ph÷ìng tr¼nh sau:
(2x 3)2 = 4y + 5
(2y 3)2 = 4x + 5
) (x y)(x + y 1) = 0
Vîi x = y ) 2x 3 =
p
4x + 5 ) x = 2 +
p
3.
Vîi x + y 1 = 0 ) y = 1 x ) x = 1
p
22
Nhªn x²t: Ch­c c¡c b¤n ang ng¤c nhi¶n v¼ khæng bi¸t t¤i sao ta câ thº °t nh÷ vªy, â khæng
ph£i l o¡n má ¥u. Ph÷ìng ph¡p n y r§t húu döng vîi ai ¢ håc qua ¤o h m l câ thº d¹ d¤ng
°t ÷ñc.
B i to¡n câ d¤ng nh÷ sau
D¤ng 1:
p
ax + b = cx2 + dx + e; (a6= 0; c6= 0; a6= 1
c )
X²t f(x) = cx2 + dx + e ) f0(x) = 2cx + d
Gi£i PT f0(x) = 0, khi â b¬ng ph²p °t
p
ax + b = 2cy + d, ta s³ ÷a ÷ñc v· h» èi xùng lo¤i II
trø mët sè tr÷íng hñp °c bi»t.
Câ thº th§y rã r ng qua v½ dö tr¶n, ta x²t v½ dö ti¸p theo
B i 43: Gi£i ph÷ìng tr¼nh x2 4x 3 =
p
x + 5
L m nh¡p: X²t f(x) = x2 4x 3 ) f0(x) = 2x 4
Gi£i f0(x) = 0 ) x = 2
Gi£i
p
7; x 2 +
Líi gi£i: K x 2
p
7
°t
p
x + 5 = y 2 ) (y 2)2 = x + 5
Page 20

37. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
Ta bi¸n èi ph÷ìng tr¼nh ¦u l¤i
p
x + 5 = (x 2)2 7
T(hay y 2 v o PT ¦u ta thu ÷ñc h» sau
(x 2)2 = y + 5
(y 2)2 = x + 5
Trø v¸ theo v¸ ta câ (x y)(x + y 3) = 0
TH1 : x = y ,
p
x + 5 = x 2; x 2
,
x = 1
2(5 +
p
29)
x = 1
2(5
p
29)
TH2 : 1 x =
p
x + 5; x 1
,
x = 1
x = 4
èi chi¸u vîi i·u ki»n ta nhªn x = 1; x =
1
2
(5 +
p
29)
Vªy PT ¢ cho câ nghi»m S =
1;
1
2
(5 +
p
29)
B i 44: Gi£i ph÷ìng tr¼nh x2 + 5 +
p
3x + 1 = 13x
pNhªn x²t. L m t÷ìng tü ta vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh nh÷ sau
3x + 1 = 4x2 + 13x 5 v °t f(x) = 4x2 + 13x 5
Ta câ f0(x) = 8x + 13 n¸u ta gi£i ra v °t b¬ng ph÷ìng ph¡p t÷ìng tü nh÷ tr¶n s³ khæng thu
÷ñc h» èi xùng lo¤i II.
Gi£i
Líi gi£i. K x
1
3
°t
p
3x + 1 = (2y 3); y
3
2
Ta câ h» ph÷ìng tr¼nh sau
(
(2x 3)2 = 2y + x + 1
(2y 3)2 = 3x + 1
Trø v¸ theo v¸ ta câ (x y)(2x + 2y 5) = 0
Vîi x = y ) x =
p
97
8
15
Vîi 2x + 2y 5 = 0 ) x =
p
73
8
11 +
Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l S =
(
15
p
97
8
;
p
73
8
11 +
)
2
Ngo i c¡ch n y, c¡c b¤n v¨n câ thº °t
p
3x + 1 = t, rçi bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh th nh
4x2 10x t2 + t + 6 = 0 câ = (2t 1)2
Nhªn x²t. Ta th§y c¡ch gi£i b i to¡n n y kh¡c so vîi v½ dö tr¶n v¼ ÷a v· h» g¦n èi xùng lo¤i
II nh÷ng v¨n gi£i ÷ñc mët c¡ch d¹ d ng. D¤ng to¡n n y câ d¤ng nh÷ sau:
p
ax + b = r(ux + v)2 + dx + e v thäa m¢n
(
u = ar + d
v = br + e
C¡ch gi£i. °t uy + v =
p
ax + b khi â ta câ h»
(
uy + v = r(ux + v)2 + dx + e
ax + b = (uy + v)2
Ta vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh tr¶n nh÷ sau
p
3x + 1 + (2x 3)2 x 4 = 0. D¹ d ng ta kiºm tra ÷ñc
c¡c h» sè ·u thäa m¢n, nh÷ng khi °t
p
3x + 1 = 2y 3 th¼ ta thu ÷ñc h» ph÷ìng tr¼nh khæng
d¹ d ng º gi£i mët chót n o. Ta chuyºn v¸ v êi d§u s³ ÷a v· h» g¦n èi xùng gi£i ÷ñc nh÷ b i
Page 21

38. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
to¡n tr¶n. Ch­c c¡c b¤n ang th­c m­c l khi n o th¼ dòng ¤o h m khi n o th¼ dòng c¡ch tæi vøa
n¶u. Thªt sü l k¸t hñp c£ 2 c¡ch §y. ¤o h m ¡p döng ÷ñc khi h» sè d = 0, c¡c b¤n câ thº d¹
d ng kiºm tra, cán n¸u khæng ÷ñc th¼ dòng c¡ch th¶m bît nh÷ tr¶n.
B i tªp: Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau
1/
p
2x 1 + x2 3x + 1 = 0
2/
p
2x + 15 = 32x2 + 32x 20
3/
p
x 1 + x2 x 3 = 0
4/x2 x 2004
p
1 + 16032x = 2004 (HSG B­c Giang 2003-2004)
p
5/
9x 5 = 3x2 + 2x + 3
6/x2 =
p
2 x + 2
D¤ng 2:
p
ax + b =
1
a
x2 + cx + d(a6= 0) v thäa m¢n b + ad =
a2c
2
1 +
c
2
C¡ch gi£i: X²t h m sè f(x) =
1
a
x2 + cx + d ) f0(x) =
2
a
x + c = 0 = x =
ac
2
ta ÷a v» h» èi
xùng quen thuëc.
V½ dö: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 3x2 + x
29
6
=
r
12x + 61
36
L m nh¡p:f(x) = 3x2 + x
29
6
) f0(x) = 6x + 1 = 0 , x =
1
6
Gi£i
°t
r
12x + 61
36
= y +
1
6
; y
1
6
,
12x + 61
36
= y2 +
1
3
y +
1
36
, 12x + 61 = 36y2 + 12y + 1 , 3y2 + y = x + 5
M°t kh¡c tø ph÷ìng tr¼nh ¦u ta câ 3x2 + x
29
6
= y +
1
6
, 3x2 + x = y + 5
N¶n ta câ h» sau
(
3x2 + x = y + 5
3y2 + y = x + 5
Trø v¸ theo v¸ ta câ (x y)(3x + 3y + 2) = 0 , x = y _ y =
3x + 2
3
Vîi x = y ) 3y2 = 5 ) x = y =
r
5
3
; y
1
6
Vîi y =
3x + 2
3
) 3x2 + x =
3x + 2
3
+ 5 , 9x2 + x 13 = 0
) x =
p
126
9
3
Tø ¥y t¼m ÷ñc y v k¸t luªn nghi»m 2
D¤ng 3: 3 p
ax + b = cx3 + dx2 + ex + m; (a6= 0; c6= 0; a =
1
c
)
C¡ch gi£i: X²t h m sè cx3 + dx2 + ex + m, ta gi£i ph÷ìng tr¼nh ¤o h m c§p hai b¬ng khæng.
f00(x) = 6cx + 2d = 0 ) x =
d
3c
.
Sau â b¬ng ph²p °t 3 p
ax + b = y +
d
3c
ta ÷a ÷ñc v· h» èi xùng.
r
3x
V½ dö 1: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 3
63
8
=
x3
3
3
2
x2 +
9
4
x
Page 22

39. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
L m nh¡p: Ta câ f00(x) = 2x 3 = 0 ) x =
3
2
Gi£i
r
3x
°t 3
63
8
= y
3
2
) 3x
63
8
= y3
9
2
y2 +
27
4
y
27
8
, 12x 18 = 4y3 18y2 + 27y
M°t kh¡c tø ph÷ìng tr¼nh ¦u ta câ ÷ñc ( 12y 18 = 4x3 18x2 + 27x, ta câ h» sau
12x 18 = 4y3 18y2 + 27y
12y 18 = 4x3 18x2 + 27x
Gi£i h» n y khæng cán khâ kh«n2.
D¤ng 4: 3 p
ax + b = cx3 + dx2 + ex + m; (a6= 0; c6= 0; a6=
1
c
)
C¡ch gi£i: Công t÷ìng tü nh÷ tr¶n : X²t h m sè f(x) = cx3 + dx2 + ex + m, gi£i ph÷ìng tr¼nh
f00(x) = 0 ) 6cx + 2d = 0 ) x =
d
3c
.
Khi â công b¬ng c¡ch °t 3 p
ax + b = 3cy + d, ta ÷a v· h» èi xùng.
V½ dö 2: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 3 p
81x 8 = x3 2x2 + 4
3x 2 (THTT T6/2001)
L m nh¡p: Ta câ f00(x) = 6x 4 ) x =
2
3
Gi£i
°t 3 p
81x 8 = 3y 2 ) 3x = y3 2y2 +
4
3
y, bi¸n êi t÷ìng tü nh÷ tr¶n ta câ h»
(
3y = x3 2x2 + 4
3x
3x = y3 2y2 + 4
3y
) (x y)(x2 + xy + y2 2x 2y +
13
3
= 0
V¼ (x2 + xy + y2 2x 2y +
13
3
=
1
2
(x + y)2 +
1
2
(x 2)2 +
1
2
(y 2)2 +
1
3
0
3 N¶p
n x = y thay v o ph÷ìng tr¼nh ta gi£i ti¸p töc2.
Nhªn x²t: Tuy d¤ng b i n y v¨n gi£i ÷ñc c¡ch dòng h m sè, nh÷ng ¥y công l mët c¡ch r§t húu
hi»u º gi£i quy¸t d¤ng to¡n n y. Ta còng ¸n vîi mët sè b i to¡n t÷ìng tü xu§t hi»n trong c¡c k¼
thi.
Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau:
1/x3 + 3x2 3 3x + 5 = 1 3x (· nghà Olympic 30/4/2009)
2/x3 15x2 + 78x 141 = 5 3 p
2x 9 (Olympic 30/4/2011)
3/8x3 4x 1 = 3 p
6x + 1
B i 45: Gi£i ph÷ìng tr¼nh
pp
2 1 x + 4 p
x =
1
4 p
2
Gi£i
i·u ki»n 0 x
p
2 1
°t
(pp
2 1 x = u
4 p
x = v
,
(
0 u
pp
2 1
0 v 4 p
p
2 1
Nh÷ vªy ta câ h»
8
:
u + v =
1
4 p
2
u2 + v4 =
p
2 1
,
8
:
u =
1
4 p
2
v
1
4 p
2 v
2
+ v4 =
p
2 1
Page 23

40. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
Tø ph÷ìng tr¼nh thù hai ta câ: (v2 + 1)2 =
1
4 p
2
+ v
2
, v2 v + 1
1
4 p
2
= 0
, v =
1
r
4
4 p
2
3
2
(Thäa K). N¶n x =
0
BB@
1
r
4
4 p
2
3
2
1
4
CCA
2
B i 46: Gi£i ph÷ìng tr¼nh
p
1 x2 =
2
3
p
x
2
Gi£i
i·u ki»n
1 x2 0
x 0
,
1 x 1
x 0
, 0 x 1
°t u =
p
x, v =
2
3
p
x vîi u 0; v
2
3
Ta câ h» ph÷ìng tr¼nh 8
:
1 x2 = 1 u4
2
p
2
x
3
= v2
( Do â ta câ h»
u + v =
2
p 3
1 u4 = v2
,
(
u + v =
2
3
u4 + v4 = 1
,
8
:
u + v =
2
3
(u2 + v2)2 2u2:v2 = 1
,
8
:
u + v =
2
3
(u + v)2 2u:v
2
= 1
,
8
:
u + v =
2
3
4
2
2u:v
9
2u2:v2 = 1
,
(
u + v = 2
3
2u2:v2
16
9
u:v
65
81
= 0
,
8
: u + v =
2
666666664
2
3
8
p
8
194
u:v =
18 :
u + v =
2
5
u:v =
8 +
p
194
18
N¶n u; v l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
2
y2
64
2
3
y +
8
p
194
18
= 0(a)
y2
2
3
y +
8 +
p
194
18
= 0(b)
Ch¿ câ (a) l câ nghi»m n¶n
y =
1
6
2
q
2(2
p
194 6)
Do â
u1 = y1
v1 = y2
_
u2 = y2
v2 = y1
V¼ u 0 n¶n ta chån u =
1
6
2 +
q
2(2
p
194 6)
)
p
x =
1
6
2 +
q
2(2
p
194 6)
Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t
x =
1
9
2 +
q
2(
p
194 6) +
r
97
2
!
2
Page 24

41. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
Nhªn x²t: B i n y thüc sü l khâ, phùc t¤p khæng ch¿ ái häi sü s¡ng t¤o linh ho¤t trong c¡ch
°t ©n phö m khi ta gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh bªc 2 m¡y t½nh khæng b§m ra sè ÷ñc m ái häi ta ph£i
vúng k¾ n«ng t½nh to¡n chù khæng ph£i lóc n o công düa v o m¡y t½nh.
p
2x2 6x + 2
B i 47: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 4x2 11x + 10 = (x 1)
Nhªn x²t: B i n y khi åc · ta ngh¾ ngay ¸n c¡ch gi£i b¬ng ©n phö khæng ho n to n b¬ng
c¡ch °t
p
2x2 6x + 2, rçi th¶m bît VT nh÷ng ta khæng nhªn ÷ñc ch½nh ph÷ìng, ta gi£i b i
n y b¬ng c¡ch ÷a v· h» ph÷ìng tr¼nh ©n phö khæng ho n to n.
Gi£i
p
(x 1)(2x 3) x 1
PT , (2x 3)2 + x + 1 = (x 1)
°t u = 2x 3; v =
p
(x 1)(2x 3) x 1
Ta câ h» ph÷ìng tr¼nh
(
u2 + x + 1 = (x 1)v
v2 + x + 1 = (x 1)u
Trø v¸ theo v¸ ta câ u2 v2 = (x 1)(v u) , (u v)(u + v + x 1) = 0
u = v ) u2 + x + 1 = (x 1)u , (2x 3)2 + x + 1 = (x 1)(2x 3)
, 2x2 6x + 7 = 0 ph÷ìng tr¼nh p
væ nghi»m.
u + v + x 1 = 0 , 2x 3 +
2x2 6x + 2 + x 1 = 0
,
p
2x2 6x + 2 = 4 3x ,
8
:
x
4
3
7x2 18x + 14 = 0
h» n y væ nghi»m.
Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho væ nghi»m.2
Nhªn x²t: C¡ch gi£i cõa b i to¡n n y ph¡t triºn l¶n tø 1 c¡ch l m ¢ n¶u ð tr¶n
fn(x) + b = a n p
af(x) b, trong â a; b 2 R
Ta dü o¡n f(x) = (2x + c)2. ¸n ¥y ta çng nh§t h» sè º t¼m c
4x2 + 4cx + c2 + (11 4c)x + 10 c2 = (x 1)
p
(x 1)(2x + c) (11 4c)x 10 + c2
b = (11 4c)x + 10 c2. èi chi¸u vîi b i to¡n çng nh§t h» sè suy ra x = 3
Ta x²t ti¸p v½ dö sau, ë khâ nh¿nh hìn 1 chót
Gi£i ph÷ìng tr¼nh 3x3 6x2 3x 17 = 3 3 p
9(3x2 + 21x + 5)
Nhªn x²t: Công gièng nh÷ b i to¡n tr¶n nh¼n v o biºu thùc ta câ thº dü o¡n f(x) = (3x + c) _
f(x)x + c. Ð ¥y ta chån f(x) = 3x + c
PT , 27x3 54x2 27x + 153 = 27 3 p
9(3x2 + 21x + 5)
Tuy nhi¶n ¸n ¥y n¸u ta ¡p döng c¡ch c¥n b¬ng h» sè th¼ câ l³ phùc t¤p. Ta h¢y chó þ ¸n n¸u
chóng ta t¼m ra biºu thùc f(x) phò hñp th¼ biºu thùc b c¦n t¼m s³ câ bªc cao nh§t l 2. V °c
bi»t hìn khi ta ¡p döng af(x) b cho biºu thùc trong c«n th¼ h» sè bªc 2 trong biºu thùc b giú
nguy¶n ch¿ thay êi bªc nh§t v h¤ng tû tü do. V¼ af(x) = a(3x + c) ch¿ cho c¡c h¤ng tû bªc nh§t
3ax v h» sè tü do ac . Ta th§y 27x2 s³ ch­c ch­n câ trong biºu thùc b. Vªy biºu thùc bªc 2 trong
f(x) = 81x2. M°t kh¡c khi khai triºn f(x) th¼ h» sè cõa h¤ng tû bªc 2 l 27x2c, vªy c = 3. Hay
ta dü o¡n f(x) = 3x 3
Ta ph¥n t½ch kiºm tra
(3x 3)3 + (27x2 108x 126) = 27 3 p
9(3x2 + 12x + 5) = 27 3 p
27(3x 3) (27x2 108x 126)
Ta °t u = 3x 3; v = 3 p
27(3x 3) (27x2 108x 126)
Page 25

42. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
Ta câ h» ph÷ìng tr¼nh sau
(
u3 + (27x2 108x 126) = 27v
v3 + (27x2 108x 126) = 27u
3 Ph¦3 n tip
p
¸p theo xin d nh cho b¤n åc.2
Công b¬ng c¡ch t÷ìng tü nh÷ tr¶n b¤n åc công câ thº gi£i quy¸t b i to¡n t÷ìng tü nh÷ sau
B i tªp: Gi£i ph÷ìng tr¼nh
1/ x3 x2 10x 2 = 7x2 + 23x + 12
2/7x2 13x + 8 =
2x2 x(1 + 3x 3x2)
3/8x2 13x + 7 =
x +
1
x
3 p
3x2 2
Ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa.
N¸u b i to¡n chùa
p
a2 x2 câ thº
°t x = jaj sin t vîi
2
t
2
ho°cx = jaj cos t vîi 0 t
N¸u b i to¡n chùa
p
x2 a2 câ thº
°t x =
jaj
sin t
vîi t 2
h
2
;
2
i
n f0g
Ho°c x =
jaj
cos t
vîi t 2 [0; ] n
n
2
o
N¸u b i to¡n chùa
p
a2 + x2 câ thº: °t:x = jaj tan t vîi t 2
2
;
2
Ho°c x = jaj cot t vîi r
t 2 (0; ).
N¸u b i to¡n chùa
a + x
a x
ho°c
r
a x
a + x
câ thº: °tx = a cos 2t.
p
(x a) (b x) câ thº °t x = a + (b a) sin2t.
N¸u b i to¡n chùa
Lñi th¸ cõa ph÷ìng ph¡p n y l ÷a ph÷ìng tr¼nh ban ¦u v· mët ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡c cì
b£n ¢ bi¸t c¡ch gi£i nh÷ ph÷ìng tr¼nh ¯ng c§p, èi xùng ... V i·u ki»n nhªn ho°c lo¤i nghi»m
công d¹ d ng hìn r§t nhi·u. V¼ l÷ñng gi¡c l h m tu¦n ho n n¶n ta chó þ °t i·u ki»n c¡c biºu
thùc l÷ñng gi¡c sao cho khi khai c«n khæng câ d§u trà tuy»t èi, câ ngh¾a l luæn d÷ìng.
B i 48: Gi£i ph÷ìng tr¼nh x3 +
p
(1 x2)3 = x
p
2(1 x2)
K 1 x 1
Tø i·u ki»n cõa b i to¡n ta °t ©n phö x = cos t, khi â
p
1 x2 = jsin 'j
Ch¿ c¦n chån ' m 0 ' khi â 1 cos' = x 1 v sin ' 0 v jsin 'j = sin '
PT ¢ cho bi¸n êp
i ÷ñc v· d¤ng :
cos3' + sin3' =
2cos'sin'
, (cos' + sin') (1 cos'sin') =
p
2cos'sin'
°t u = cos' + sin' =
p
2 sin
' +
4
Do 0 x )
4
' +
4
5
4
)
p
2
2
sin
' +
4
1, ta ֖c
1
2
u
p
2
Ph÷ìng tr¼nh ¤i sè vîi ©n u câ d¤ng :
u
1
u2 1
2
=
p
2
u2 1
2
, u3 +
p
2u2 3u
p
2 = 0
,
u
u2 + 2
p
2
p
2u + 1
= 0
Page 26

43. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
,
2
4
u =
p
2
p
2 + 1
u =
p
2 1
u =
p
2
TH1 :
u =
p
2 sin
' +
4
=
p
2 , sin
' +
4
= 1 , ' =
4
+ k2 , k 2 Z
TH2 :
u =
p
2 sin
' +
4
= 1
p
2 v cos'sin' =
u2 1
2
= 1
p
2
Khi â cos' , sin' l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
X2
1
X + 1
p
2
p
2 = 0 , X =
1
p
2
qp
p
2 1
2 + 3
2
Do sin ' 0 cho n¶n cos' =
1
p
2
qp
p
2 1
2 + 3
2
Vªy pt câ nghi»m : x =
1
p
2
qp
p
2 1
2 + 3
2
, x=
p
2
2
2
B i 49: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 2x2 +
p
1 x + 2x
p
1 x2 = 1
Gi£i
K x 2 [1; 1]
°t x = cos t; t 2 [0; ]
Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng 2 cos2 t +
p
2 sin
t
2
+ 2 sin t cos t = 1
p
2 sin
, cos 2t + sin 2t =
t
2
cos
2t
4
= sin
t
2
, cos
2t
4
= cos
t
2
+
2
,
2
4 2t
4
=
t
2
+
2
+ k2
2t
4
=
t
2
2
+ k2
,
2
64
t =
2
+
k4
3
t =
10
+
k4
5
Düa v o i·u ki»n nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ta nhªn 2 nghi»m l
x = cos
2
; x = cos
7
10
Vªy S =
cos
7
10
; 0
2
B i 50: Gi£i ph÷ìng tr¼nh
p
1 +
p
1 x2 = x(1 + 2
p
1 x2)
Gi£i
Page 27

44. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
i·u ki»n:1 x2 0 h
, 1 x 1
°t x = sin t vîi t 2
2
;
2
i
Khi â ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng:
q
1 +
p
1 sin2t = sin t
1 + 2
p
1 sin2t
,
p
1 + cos t = sin t (1 + 2 cos t)
,
p
2 cos
t
2
= sin t + sin 2t ,
p
2 cos
t
2
= 2 sin
3t
2
cos
t
2
,
p
2 cos
t
2
1
p
2 sin
3t
2
= 0
,
2
64
cos
t
2
= 0
sin
3t
2
=
p
2
2
,
2
664
t =
6
t =
2
,
2
64
x =
1
2
x = 1
Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l S =
1
2
; 1
2
B i 51: Gi£i ph÷ìng tr¼nh
p
x2 + 1 +
x2 + 1
2x
=
(x2 + 1)2
2x(1 x2)
Gi£i
i·u ki»n
(
x6= 1
x6= 0
°t x = tan t; t 2
2
;
2
n
n
4
; 0
o
Khi â x2 + 1 = tan2t + 1 =
1
cos2t
)
p
x2 + 1 =
1
cos t
sin 2t =
2 tan t
1 + tan2t
=
2x
x2 + 1
)
x2 + 1
2x
=
1
sin 2t
cos 2t =
1 tan2t
1 + tan2t
=
1 x2
x2 + 1
) sin 2t: cos 2t =
2x (1 x2)
(x2 + 1)2
, sin 4t =
4x (1 x2)
(x2 + 1)2 ,
2
sin 4t
=
(x2 + 1)2
2x (1 x2)
Khi â ph÷ìng tr¼nh ÷ñc bi¸n êi v· d¤ng
1
1
2
+
=
cos t
sin 2t
sin 4t
, 4 sin t: cos 2t + 2 cos 2t = 2
, 2 sin t: cos 2t = 1 cos 2t , 2 sin t: cos 2t = 2sin2t , (cos 2t sin t) sin t = 0
,
1 2sin2t sin t
sin t = 0 , (sin t + 1) (2 sin t 1) sin t = 0
, sin t =
1
2
, t =
6
, x =
1
p
3:
Vªy nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l :x =
1
p
3
2.
B i 52: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 5 + 3
p
1 x2 = 8x6 + 8(1 x2)3
Gi£i
i·u ki»n x 2 [1; 1]
°t x = sin t;
2
t
2
Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi 5 + 3
p
1 x2 = 8 (x6 + (1 x2)3)
, 5 + 3 cos t = 8(sin6 t + cos6 t) º þ sin6 t + cos6 t =
5
8
+
3
8
cos 4t
Page 28

45. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
, cos 4t = cos t ,
2
64
t =
k2
3
t =
k2
5
K¸t hñp vîi i·u ki»n cõa t, ta gi£i ÷ñc x = 0 _ x = sin
2
5
2
MËT SÈ B€I TON CHÅN LÅC
B i 1: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 3 p
7x + 1 3 p
x2 x 8 + 3 p
x2 8x + 1 = 2
Gi£i
°t a = 3 p
7x + 1; b = 3 p
8 + x x2; c = 3 p
x2 8x + 1
Ta câ h» sau
(
a + b + c = 2
a3 + b3 + c3 = 8
. ,
(
(a + b + c)3 = 8
a3 + b3 + c3 = 8
) (a + b)(b + c)(c + a) = 0
a = b ) x = 1 _ x = 9
b = c ) x = 1
c = a ) x = 0 _ x = 1
Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m S = f1; 1; 0; 9g2
B i tªp t÷ìng ùng 3 p
3x + 1 + 3 p
5 x + 3 p
2x 9 3 p
4x 3 = 0
B i 2: Gi£i ph÷ìng tr¼nh
15
2
(30x2 4x) = 2004(
p
30060x + 1 + 1)
Gi£i
PT , (30x2 4x) = 4008(
p
30060x + 1 + 1)
°t y =
p
30060x + 1 + 1
15
) 15y 1 =
p
30060x + 1
, 15y2 + 2y = 2004x
M°t kh¡c tø ph÷ìng tr¼nh ¦u ta câ 30x2 4x = 4008y , 15x2 2x = 2004y
Ta câ h» ph÷ìng tr¼nh
(
15x2 2x = 2004y
15y2 + 2y = 2004x
Trø v¸ theo v¸ ta câ (x p
y)(15(x + y) + 2002) = 0
Vîi x = y ) 15x 1 =
30060x + 1
, x = 0 _ x =
2006
15
Vîi x = 0 th¼ ph÷ìng tr¼nh ¦u væ nghi»m.
Vîi 15(x + y) + 2002 = 0. Ta câ 30060x + 1 0 ) y =
p
30060x + 1 + 1
15
1
15
N¶n x + y
1
30060
+
1
15
0
Vªy 15(x + y) + 2002 = 0 væ nghi»m2.
p
1 x = x + 3 + 3
B i 3: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 4
p
1 x +
p
1 x2
Gi£i
Page 29

46. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
°t x = cos t; t 2 [0; ]
PT, 4
p
1 + cos t = cos t + 3 + 3
p
1 cos t + sin t
p
2 cos
, 4
t
2
p
2 sin
= cos t + 3 + 3
t
2
+ 2 sin
t
2
cos
t
2
p
2 cos
, 4
t
2
= 4 2 sin2 t
2
+ 3
p
2 sin
t
2
+ 2 sin
t
2
cos
t
2
, 2 cos
t
2
2
p
2 sin
t
2
+ 2 sin2 t
2
p
2 sin
3
t
2
4 = 0
, 2 cos
t
2
2
p
2 sin
t
2
+
sin
t
2
p
2
2
2 sin
t
2
+
p
2
= 0
sin
t
2
p
2
2
2 sin
t
2
2 cos
t
2
+
p
2
= 0
Vîi sin
t
2
p
2 (PTVN)
= 2
Vîi 2 sin
t
2
2 cos
t
2
+
p
2 = 0
, sin
t
2
cos
t
2
=
1
p
2
, sin
t
2
4
=
1
2
,
2
664
t
2
4
=
6
+ k2
t
2
4
=
7
6
+ k2
,
2
664
t =
6
t =
17
6
(l)
èi chi¸u vîi i·u ki»n cõa t, ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t x = cos
6
=
p
3
2
2
B i 4: Gi£i ph÷ìng tr¼nh (x3 3x + 1)
p
x2 + 21 + x4 3x2 + x = 21
(Tr½ch b i vi¸t cõa anh L¶ Phóc Lú)
Gi£i
°t t =
p
x2 + 21 0
p
x2 + 21(x4 2x2 +x) = 0 , t2 (x3 3x+1)t(x4 2x2 +x) = 0
, (x2 +21)(x3 3x+1)
= (x3 3x + 1)2 + 4:(x4 2x2 + x) = x6 2x4 + 2x3 + x2 2x + 1 = (x3 x + 1)2
Suy ra ph÷ìng tr¼nh câ 2 nghi»m l :
x3 3x + 1) (x3 x + 1)
) t =
2
)
t = x(1)
t = x3 2x + 1(2)
,
p
x2 + 21 = x
x 0
,
x2 + 21 = x2
x 0
Ph÷ìng tr¼nh n y væ nghi»m.
(2) ,
p
x2 + 21 = x3 2x + 1 ,
p
x2 + 21 5 = x3 2x 4
,
x2 4
p
x2 + 21 + 5
= (x 2)(x2 + 2x + 2) ,
2
4
x = 2
x + 2
p
x2 + 21 + 5
= x2 + 2x + 2(3)
X²t (3) V T jV Tj

50. x + 2
5

54. x2 + 2x + 2 = V P Suy ra (3) væ nghi»m.
Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t x = 22
r
B i 5: Gi£i ph÷ìng tr¼nh x4 + 2x3 + 2x2 2x + 1 = (x3 + x)
1 x2
x
(THTT T5/354)
Page 30

55. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
Gi£i
Ta th§y x4 + 2x3 + 2x2 2x + 1 = x2(x + 1)2 + (1 x)2 08x. N¶n ta suy ra ÷ñc i·u ki»n x¡c
ành l 0 x 1
p
PT , (x(x + 1))2 + (x x)2 = (x2 + 1)
x(x + 1)(1 x) (2)
°t u = x(x + 1); v = 1 x2 p
p
x (vîi p
u,v0) th¼ u + p
v = + 1. Ta câ thº vi¸t (2) d÷îi d¤ng
u2 + v2 = (u + v)
uv , (
u
v)2(u + v +
uv) = 0
, u = v (V¼ u + v +
p
uv 0)
Vîi u = v ) x(x+1) = 1x , x2 +2x1 = 0 PT câ 2 nghi»m x = 1
p
2. èi chi¸u i·u ki»n
ch¿ câ x = 1 +
p
2 thãa m¢n.
Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t x = 1 +
p
22.
B i 6: Gi£i ph÷ìng tr¼nh 10x2 + 3x + 1 = (6x + 1)
p
x2 + 3
Gi£i
°t u = 6x + 1; v =
p
x2 + 3
M ta biºu di¹n VT theo ©n phö ÷ñc nh÷ sau 10x2 + 3x + 1 =
1
4
(6x + 1)2 + (x2 + 3)
9
4
Vªy ta vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh
1
4
u2 + v2
9
4
= uv , (u 2v)2 = 9 , u 2v = 9
Vîi u 2v = 3 ) 1 + 6x
p
x2 + 3 = 3 , 3x 1 =
p
x3 + 3 ,
(
3x 1 0
x2 + 3 = (3x 1)2
, x = 1
Vîi u 2v = 3 ) 3x + 2 =
p
x2 + 3 ,
(
3x 2 0
(3x + 2)2 = x2 + 3
, x =
p
7 3
4
Vªy ph÷ìng tr¼nh câ 2 nghi»m l x = 1 _ x =
p
7 3
4
2
PH’P T ‰N PHÖ GIƒI H› PH×ÌNG TRœNH
B i to¡n 1 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
p
2 (x y) (1 + 4xy) =
p
3 (1)
x2 + y2 = 1 (2)
Gi£i
°t :
x = sin
y = cos
Khi â, ph÷ìng tr¼nh (2) thäa m¢n vîi måi :
Page 31

56. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng vîi ph÷ìng tr¼nh
p
2(sin cos )(1 + 2 sin 2) =
p
3
p
2:
,
p
2 sin( 450):2
1
2
+ sin 2
=
p
3
,4 sin( 450)(sin 2 + sin 300) =
p
3
,8 sin( 450): sin( + 150) cos( 150) =
p
3
,4 cos( 150)[cos 600 cos(2 300)] =
p
3
,2 cos( 150) 4 cos( 150): cos(2 300) =
p
3
, 2 cos(3 450) =
p
3
,
= 650 + k1200
= 350 + l1200 (k; l 2 Z)
Vªy h» ¢ cho câ s¡u nghi»m nh÷ sau:
x1 = sin 650
y1 = cos 650
x2 = sin 1850
y2 = cos 1850
x3 = sin 3050
y3 = cos 3050
x4 = sin 850
y4 = cos 850
x5 = sin 350
y5 = cos 350
x6 = sin 2050
y6 = cos 2050 2
B i 2 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh:
x + y + x2 + y2 = 8
xy(x + 1)(y + 1) = 12
Gi£i
Bi¸n êi h» trð th nh
x(x + 1) + y(y + 1) = 8
x(x + 1):y(y + 1) = 12
°t:
u = x(x + 1)
v = y(y + 1)
Khi â, h» ¢ cho trð th nh:
u + v = 8 =
u:v = 12
,
2
664
u = 2
v = 6
u = 6
v = 2
Tr÷íng hñp 1
u = 2
v = 6
,
x2 + x 2 = 0
y2 + y 6 = 0
,
(1; 2); (1;3)
(2; 2); (2;3)
Page 32

57. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
Tr÷íng hñp 2
u = 6
v = 2
,
x2 + x 6 = 0
y2 + y 2 = 0
,
(2; 1); (3; 1)
(2;2); (3;2)
2
B i 3 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
(x y)(x2 y2) = 3
(x + y)(x2 + y2) = 15
Gi£i
Bi¸n êi h» ¢ cho ta thu ÷ñc
x3 + y3 xy(x + y) = 3
x3 + y3 + xy(x + y) = 15
°t
u = x3 + y3
v = xy(x + y)
H» ¢ cho trð th nh
u + v = 15
u v = 3
,
u = 9
v = 6
Khi â, ta câ:
x3 + y3 = 9
xy(x + y) = 6
,
x + y = 3
xy = 2
,
2
664
x = 1
y = 2
x = 2
y = 1
2
B i 4 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
8
:
(2x + y)2 5(4x2 y2) + 6(2x y)2 = 0
1
2x + y +
2x y
= 3
Gi£i
i·u ki»n: 2x y6= 0
°t
u = 2x + y
v = 2x y
H» ¢ cho trð th nh
(
u2 5uv + 6v2 = 0
u +
1
v
= 3
,
2
6666664
8
:
u
v
= 3
u +
1
v
= 3
8
:
u
v
= 2
u +
1
v
= 3
,
u = 2v =
2v2 3v + 1 = 0
,
2
6664
u = 2
( v = 1
u = 1
v =
1
2
Tr÷íng hñp 1
2x + y = 2
2x y = 1
,
8
:
x =
3
4
y =
1
2
Page 33

58. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
Tr÷íng hñp 2
(
2x + y = 1
2x y =
1
2
,
8
:
x =
3
8
y =
1
4
¡p sè: (x; y) =
3
4
;
1
2
;
3
8
;
1
4
2
B i 5 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh 8
:
r
x +
1
y
+
p
x + y 3 = 3
2x + y +
1
y
= 8
Gi£i
i·u ki»n 8
:
y6= 0
x +
1
y
0
x + y 3 0
()
Bi¸n êi h» ¢ cho trð th nh 8
:
r
x +
1
y
+
p
x + y 3 = 3
x +
1
y
+ x + y 3 = 5
°t 8
:
u =
r
x +
1
y
v =
p
x + y 3
vîi
u 0
v 0
()
Khi â h» ¢ cho trð th nh
u + v = 3 =
u2 + v2 = 5
,
u + v = 3
uv = 2
,
664
2
u = 2
v = 1
u = 1
v = 2
thäa m¢n ()
Tr÷íng hñp 1
u = 2
v = 1
)
8
:
x +
1
y
=
1
4
x + y 3 = 1
,
2
664
x = 3
y = 1
x = 5
y = 1
thäa m¢n ()
Tr÷íng hñp 2
u = 1
v = 2
)
8
:
x +
1
y
= 1
x + y 3 = 4
,
2
664
x = 4
p
10
y = 3 +
p
10
x = 4 +
p
10
y = 3
p
10
thäa m¢n ()
¡p sè: (x; y) = (3; 1); (5;1); (4
p
10; 3 +
p
10); (4 +
p
10; 3
p
10)2
Page 34

59. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
B i 6 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
4log3(xy) = 2 + (xy)log3 2
x2 + y2 3x 3y = 12
Gi£i
i·u ki»n: xy 0
°t: u = log3(xy) , xy = 3u
Khi â, h» ¢ cho trð th nh
xy = 3
x2 + y2 3(x + y) = 12
,
xy = 3
(x + y)2 3(x + y) 18 = 0
,
2
664
x + y = 6
xy = 3
x + y = 3
xy = 3
(væ nghi»m)
,
2
664
x = 3 +
p
6
y = 3
p
6
x = 3
p
6
y = 3 +
p
6
¡p sè: (x; y) = (3 +
p
6; 3
p
6); (3
p
6; 3 +
p
6) 2
B i 7 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
x2 + y2 + x + y = 4
x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2
Gi£i
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi h» sau
x2 + y2 + x + y = 4
x2 + y2 + x + y + xy = 2 ) xy = 2
°t S = x + y; P = xy(S2 4P) ) S2 = x2 + y2 + 2xy ) x2 + y2 = S2 2P
Vªy
S2 2P + S = 4
S2 P + S = 2
,
8
:
P = 2
S = 0
S = 1
Tr÷íng hñp 1
x + y = 0
xy = 2
,
2
664
x =
p
2
p
y =
2
x =
p
2
y =
p
2
Tr÷íng hñp 2
x + y = 1
xy = 2
,
2
664
x = 1
y = 2
x = 2
y = 1
Page 35

60. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
p
2;
¡p sè: (x; y) = (
p
2); (
p
2;
p
2); (1;2); (2; 1)
B i 8 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau (
x2 + y2 + xy = 4y 1
y
x + y =
x2 + 1
+ 2
Gi£i
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi 8
:
x2 + 1
y
+ x + y = 4 =
x + y =
y
x2 + 1
+ 2
°t u =
x2 + 1
y
, v = x + y. H» ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng
(
u + v = 4
v =
1
u
+ 2
Gi£i h» tr¶n ta thu ÷ñc u = 1, v = 3.
Vîi
u = 1
v = 3
)
8
:
x2 + 1
y
= 1
x + y = 3
,
2
664
x = 1
y = 2
x = 2
y = 5
¡p sè: (x; y) = (1; 2); (2; 5) 2
B i 9 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh 8
:
3
x2 + y2 1
+
2y
x
= 1
x2 + y2
2x
y
= 4
Gi£i
i·u ki»n: xy6= 0
°t a = x2 + y2 1, b =
x
y
vîi ab6= 0
H» ¢ cho trð th nh
( 3
a
+
2
b
= 1
a 2b = 3
,
2
664
a = 1
b = 1
a = 9
b = 3
Tr÷íng hñp 1
a = 1
b = 1
)
2
664
x = 1
y = 1
x = 1
y = 1
Tr÷íng hñp 2
a = 9
b = 3
)
2
664
x = 3
y = 1
x = 3
y = 1
Page 36

61. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
¡p sè: (x; y) = (1;1); (1; 1); (3; 1); (3;1) 2
B i 10 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau
x2 + xy 3x + y = 0
x4 + 3x2y 5x2 + y2 = 0
Gi£i
X²t x = 0 ) y = 0. Vªy (0; 0) l mët nghi»m cõa h».
X²t x6= 0, chia hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh u cho x, hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh thù hai cho x2, ta ÷ñc
h» ph÷ìng tr¼nh sau 8
:
x +
y
x
+ y = 3
x2 +
y2
x2 + 3y = 5
,
8
:
x +
y
x
+ y = 3
x +
y
x
2
+ y = 5
°t z = x +
y
x
, ta thu ÷ñc h»
z + y = 3
z2 + y = 5
Gi£i h» n y, ta câ: z = 2, y = 1 ho°c z = 1, y = 4.
Gi£i tr÷íng hñp ¦u ÷ñc x = y = 1, tr÷íng hñp thù hai væ nghi»m.
¡p sè: (x; y) = (0; 0); (1; 1) 2
B i 11 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau
x
p
3x + y +
p
5x + 4y = 5
p
5x + 4y + x 2y = 35
12
Gi£i
i·u ki»n p
3x + y 0, 5x + 4y 0.
°t u =
3x + 4y; v =
p
5x + 4y. Suy ra x 2y = 2(3x + y) (5x + 4y) = 2u2 v2.
H» ¢ cho trð th nh
u + v = 5
12v + 2u2 v2 35 = 0
,
u = 5 v
2(5 v)2 v2 + 12v 35 = 0
,
u = 5 v
v2 8v + 15 = 0
Tr÷íng hñp 1
v = 3
u = 2
)
5x + 4y = 9
3x + y = 4
,
x = 1
y = 1
Tr÷íng hñp 2
v = 5
u = 0
)
5x + 4y = 25
3x + y = 0
,
8
:
x =
25
7
y =
75
7
¡p sè (x; y) = (1; 1);
25
7
;
75
7
2
B i 12 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
x2y + 2x2 + 3y 15 = 0
x4 + y2 2x2 4y 5 = 0
Gi£i
Page 37

62. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi h» sau
(x2 1)(y 2) + 4(x2 1) + 4(y 2) = 5
(x2 1)2 + (y 2)2 = 10
°t u = x2 1, v = y 2
H» trð th nh
u2 + v2 = 10
uv + 4(u + v) = 5
,
(u + v)2 2uv = 10
uv + 4(u + v) = 5
,
2
664
u + v = 10
uv = 45
u + v = 2
uv = 3
,
2
664
u = 3
v = 1
u = 1
v = 3
Tr÷íng hñp 1
u = 3
v = 1
Khi â, câ hai nghi»m cõa h» l : (x; y) = (2; 1) v (x; y) = (2; 1)
Tr÷íng hñp 2
u = 1
v = 3
Khi â, h» câ nghi»m l : (x; y) = (0; 5).
¡p sè: (x; y) = (2; 1); (2; 1); (0; 5) 2
B i 13 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau
p
2x 1 y
1 + 2
= 8
p
2x 1
y2 + y
p
2x 1 + 2x = 13
Gi£i
i·u ki»n: x
1
2
. °t t =
p
2x 1 vîi t 0. H» ph÷ìng tr¼nh trð th nh
t y (1 + 2t) = 8
y2 + yt + t2 = 12
,
t y 2ty = 8 (1)
(t y)2 + 3ty = 12 (2)
Tø (1) v (2), suy ra: 2(t y)2 + 3 (t y) = 0 , t y = 0 t y =
3
2
Vîi t = y, ta câ: t = y = 2. Khi â:
p
2x 1 = 2 , x =
5
2
.
Vªy h» câ nghi»m l
5
2
.
; 2
Vîi y = t +
3
2
, câ 4t2 + 6t 13 = 0 , t =
p
61
4
3 +
( do t 0). Khi â:
t =
p
61
4
3 +
)
8
:
y =
3
2
+
p
61
4
3 +
p
2x 1 =
p
61
4
3 +
,
8
:
y =
3 +
p
61
4
x =
p
61
16
43 3
¡p sè: (x; y) =
5
2
;
; 2
43 3
p
61
16
;
3 +
p
61
4
!
2
B i 14 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau
8
:
x
p
y + 2 =
3
2
y + 2 (x 2)
p
x + 2 =
7
4
Page 38

63. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
Gi£i
i·u ki»n: p
x 2, y 2
°t u =
x + 2, v =
p
y + 2 vîi u; v 0 ()
H» ¢ cho trð th nh 8
:
u2 v =
7
2
(1)
v2 + 2 (u2 4) u =
1
4
(2)
Tø (1) v (2), thu ÷ñc:
u2
7
2
2
+ 2u3 8u =
1
4
, u4 + 2u3 7u2 8u + 12 = 0
, (u 1) (u 2)
u2 + 5u + 6
= 0
, u = 1 _ u = 2
Vîi u = 1 thay v o (1) câ v =
5
2
, khæng thäa ():
Vìi u = 2 thay v o (1) câ v =
1
2
, thäa ().
Vªy h» câ nghi»m l (x; y) =
2;
7
4
2.
B i 15 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
2x2 x(y 1) + y2 = 3y
x2 + xy 3y2 = x 2y
Gi£i
X²t y = 0 ) x = 0:
X²t y6= 0. °t t =
x
y
, x = ty. H» ¢ cho trð th nh
y2(2t2 t + 1) = y(3 t) (1)
y2(t2 + t 3) = y(t 2) (2)
Tø (1) v (2) ÷ñc:
3t3 7t2 3t + 7 = 0 ,
2
64
t = 1
t = 1
t =
7
3
H» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 0); (1; 1); (1; 1);
7
43
;
3
43
2
B i 16 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
1 + x + xy = 5y
1 + x2y2 = 5y2
Gi£i
Vîi y = 0, h» væ nghi»m.
Vîi y6= 0, h» câ d¤ng
8
:
x +
1
y
+
x
y
= 5
x2 +
1
y2 = 5
,
8
:
x +
1
y
+ x:
1
y
= 5
x +
1
y
2
2x
1
y
= 5
Page 39

64. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
°t x +
1
y
= u v x:
1
y
= v, h» trð th nh:
u2 2v = 5
u + v = 5
,
2
664
u = 5
v = 10
u = 3
v = 2
Vîi
u = 5
v = 10
)
8
:
x +
1
y
= 5
x:
1
y
= 10
H» væ nghi»m
Vîi
u = 3
v = 2
)
8
:
x +
1
y
= 3
x:
1
y
= 2
,
2
6664
x = 2
( y = 1
x = 1
y =
1
2
¡p sè: (x; y) = (2; 1);
1;
1
2
2
C¥u 17: Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh:
x2 + 1 + y (y + x) = 4y (1)
(x2 + 1) (y + x 2) = y (2)
(I)
Gi£i
+) Do y = 0 khæng l nghi»m cõa h» n¶n: (I) ,
8
:
x2 + 1
y
+ y + x = 4
x2 + 1
y
(y + x 2) = 1
+) °t
8
:
u =
x2 + 1
y
v = x + y
. H» trð th nh:
u + v = 4
u (v 2) = 1
,
u = 4 v
(4 v) (v 2) = 1
,
u = 1
v = 3
)
8
:
x2 + 1
y
= 1
x + y = 3
,
2
664
x = 1
y = 2
x = 2
y = 5
Vªy h» ¢ cho câ 2 nghi»m: (1; 2) ; (2; 5)2
C¥u 18: Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh:
2
p
x2y4 + 2xy2 y4 + 1 = 2
3
p
2 x
p y2 (1)
x y2 + x = 3 (2)
(I)
Gi£i
+) (2) ,
p
x y2 = 3 x ,
x 3
x2 + y2 7x + 9 = 0
+) (1) , 2
p
(xy2 + y2 + 1) (xy2 y2 + 1) = 2
3
p
2 x
y2
,
p
(xy2 + y2 + 1) (xy2 y2 + 1) = 2
1
3
y2 + xy2
p
2
()
Page 40

65. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
+) °t
u = xy2 + 1
v = y2 . Ph÷ìng tr¼nh (*) trð th nh:
p
(u + v) (u v) = 2
u
3
v
p
2
,
(
u
3
v 0
p
2
u
u2 v2 = 4
3
v
p
2
2
,
u
3
v 0
p
2
3u2 8
3
uv +
p
2
45 24
v2 = 0 ()
p
2
(II)
Ta th§y v = 0 khæng l nghi»m cõa h¶ (II) n¶n:
u
v
() , 3
2
8
3
u
v
p
2
+
45 24
= 0 ,
p
2
2
4
u
v
= 3
u
v
p
2
3
= 5 8
)
2
664
xy2 + 1
y2 = 3
xy2 + 1
y2 = 5 8
p
2
3
)
xy2 + 1
y2 = 3 (Do u
3
v)
p
2
) xy2 + 1 = 3y2 , (x 3) y2 + 1 = 0 ( )
Tø (1) ta câ: y2 = x2 + 7x 9 thay v o (***) ta ÷ñc:
(x 3) (x2 + 7x 9) + 1 = 0 , x3 + 10x2 30x + 28 = 0 ,
2
4
x = 2
x = 4 +
p
2(lo¤i)
x = 4
p
2
Vîi x = 2 ) y2 = 1 ) y = 1
p
Vîi x = 4
2 ) y2 = 1 +
p
2 ) y =
p
1 +
p
2
Vªy h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ 4 nghi»m:
(x; y) =
n
(2; 1) ; (2;1) ;
4
p
2;
p
1 +
;
p
2
4
p
1 +
p
2;
o
p
2
2
C¥u 19: Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh:
8
:
4xy + 4 (x2 + y2) +
3
(x + y)2 = 7 (1)
2x +
1
x + y
= 3 (2)
(I)
Gi£i
+) i·u ki»n: x + y6= 0
+) (I) ,
8
:
3(x + y)2 + (x y)2 +
3
(x + y)2 = 7
x + y +
1
x + y
+ x y = 3
,
8
:
x + y +
3
1
x + y
2
+ (x y)2 = 13
x + y +
1
x + y
+ x y = 3
+) °t a = x + y +
1
x + y
(jaj 2) ; b = x y ta ÷ñc h»:
3a2 + b2 = 13 (3)
a + b = 3 (4)
Tø (4) ta câ: b = 3 a thay v o (3):
3a2 + (3 a)2 = 13 , 4a2 6a 4 = 0 ,
a = 2
a =
1
2
(lo¤i)
Vîi a = 2 ) b = 1tø â ta câ h»:
x + y + 1
x+y = 2
x y = 1
,
x + y = 1
x y = 1
,
x = 1
y = 0
+) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m duy nh§t l (1; 0)2
Page 41

66. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
C¥u 20: Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh:
8
:
x2 + y2 =
1
5
(1)
4x2 + 3x
57
25
= y (3x + 1) (2)
(I)
Gi£i
+) (I) ,
(
5 (x2 + y2) = 1
4x2 + 3x + 3xy + y =
57
25
,
8
:
2 (x2 + y2) =
10
25
2x2 2y2 + 3x + 3xy + y =
47
25
+) Ta câ: 2x2 2y2 + 3x + 3xy + y =
47
25
, (2x y) (x + 2y) + (2x y) + (x + 2y) =
47
25
+) °t 2x y = a; 2x + y = b ta câ h»:
(
a2 + b2 = 1
ab + a + b =
47
25
,
(
(a + b)2 2ab = 1
2ab + 2 (a + b) =
94
25
,
(
2ab = (a + b)2 1
(a + b + 1)2 =
144
25
,
2
666666664
8
:
a + b =
7
5
ab =
12
25
()
8
:
a + b =
17
25
ab =
132
25
()
+) Ta th§y h» (**) væ nghi»m, cán h» (*) câ hai nghi»m l : (a; b) =
3
5
;
4
5
;
4
5
;
3
5
T÷ìng ùng ta câ: (x; y) =
2
5
;
1
5
;
11
25
;
2
5
+) Vªy h» ¢ cho câ hai nghi»m: (x; y) =
2
5
;
1
5
;
11
25
;
2
5
2
Nhªn x²t: B i n y xu§t ph¡t tø h» èi xùng
x2 + y2 = 1
xy + x + y = 47
25
. Sau khi thay x; y t÷ìng ùng bði
2x y; 2x + y th¼ b i to¡n trð n¶n phùc t¤p ái häi ng÷íi gi£i ph£i câ nhúng bi¸n êi kh²o l²o º
÷ñc k¸t qu£ nh÷ tr¶n.
C¥u 21: Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh:
x4 2x = y4 y (1)
(x2 y2)3 = 3 (2)
(I)
Gi£i
+) °t x + y = a; x y = b; 3 = c3 )
8
:
x =
a + b
2
y =
a b
2
+) Tø (2) ta câ: (ab)3 = c3 , ab = c
+) Ta câ: x4 y4 = (x y) (x + y) (x2 + y2) = ab
a + b
2
2
+
a b
2
2
#
=
ab
2
(a2 + b2)
+) M°t kh¡c: 2x y = a + b
a b
2
=
a + 3b
2
=
a + c3b
2
+) Khi â (1) trð th nh:
ab
2
(a2 + b2) =
a + c3b
2
, c (a2 + b2) = a + c3b
Page 42

67. Tr¦n Tr½ Quèc THPT NGUY™N HU› PHÓ Y–N
+) Tø â ta câ h»:
c (a2 + b2) = a + c3b
ab = c
(II)
) c
a2 +
c2
a2
= a +
c4
a
, ca4 + c3 = a3 + ac4 , (ca 1) (a3 c3) = 0 ,
a =
1
c
a = c
Suy ra h» (II) câ hai nghi»m l : (a; b) = (c; 1) ;
1
c
; c2
Vîi
a = c
b = 1
)
8
:
x =
c + 1
2
=
3 p
3 + 1
2
y =
3 p
3 1
2
Vîi
(
a =
1
c
b = c2
)
8
:
x =
1
2
1
c
+ c2
=
1 + c3
2c
=
2
3 p
3
y =
1
2
1
c
c2
=
1 c3
2c
=
1
3 p
3
+) Vªy h» ¢ cho câ hai nghi»m: (x; y) =
3 p
3 + 1
2
;
3 p
3 1
2
!
;
2
3 p
3
;
1
3 p
3
2
Page 43