Chuyen de boi duong hoc sinh gioi lop 12

1. Chuyên đ I: ng D ng Đ o Hàm Trong Các Bài Toán Đ i Sề Ứ ụ ạ ạ ố
I.Các vài toán liên quan đ n nghi m c a pt-bptế ệ ủ :
Đ nh lí 1ị : S nghi m c a pt f(x)=g(x) chính là s giao đi m c a hai đ th y=f(x) vàố ệ ủ ố ể ủ ồ ị
y=g(x)
Đ nh lí 2:ị N u hàm s y=f(x) lt trên D vàế ố min ( )
x D
m f x
∈
= , ax ( )
x D
M M f x
∈
= thì pt: f(x)=k có
nghi m khi và ch khiệ ỉ m k M≤ ≤
Đ nh lí 3:ị B t ph ng trìnhấ ươ ( ) ( )f x g x≥ nghi m đúng m i x thu c D khi và ch khiệ ọ ộ ỉ
( ) ( )
x D x D
Min f x Max g x
∈ ∈
≥
Các ví dụ:
Bài 1:Tìm m đ pt sau có nghi m:ể ệ 2 2
1 1x x x x m+ + − − + = (HSG Ngh an 2005ệ )
L i gi i: Xét hàm sờ ả ố 2 2
( ) 1 1f x x x x x= + + − − + có t p xác đ nh là D=Rậ ị
( )
( )
+ −
= − ⇒ = ⇔
+ + − +
+ − + = − + +
   
⇒ + + = − + + ⇔ =   
   
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1 2 1
'( ) ' 0
2 1 2 1
(2 1) 1 2 1 1 (1)
1 1 3 1 1 3
[( - ) ] [( ) ] 0 thay vaøo (1)tathaáy khoâng
2 2 4 2 2 4
thoûamaõn. Vaäy f'(x)=0voânghieäm, maøf'(0)=1>0, do
x x
f x f x
x x x x
x x x x x x
x x x x x
→ ∞→ ∞ →−∞
∀ ∈
= = −
+ + + − +
⇔ < <
2 2x +x +
ñoùf'(x)>0 x
2
Maëtkhaùc: Lim ( ) =Lim 1; Lim ( ) 1
1 1
Vaäy ptñaõcho coùnghieäm -1 1
x
R
x
f x f x
x x x x
m
Bài 2:Tìm t t c các giá tr c a a đ pt:ấ ả ị ủ ể 2
1 cosax x+ = có đúng m t nghi mộ ệ
0;
2
x
π 
∈ 
 
(Đ thi HSG t nh H i D ng L p 12 năm 2005ề ỉ ả ươ ớ )
Gi iả : Ta th y đ pt có nghi m thìấ ể ệ 0a ≤
( )
π
π π
−  
⇔ ⇔ = = ∈ 
  
 
 
−    
= < ∀ ∈ ⇒   
   
2
2 2
2 2
sin
cos 1 sin2Khi ñoùpt =a -2 . Xeùthaømsoá( ) vôùi t 0;
4
2
cos -.cos sin
tacoù '( ) = 0 vôùi t 0; ( ) ngbtreân 0;
4 4t
x
x t
a f t
tx x
t t tgtt t t
f t f t
t

2. π π
π π π
π
π π
→
= ⇒ < < ⇒ < < ∀ ∈
 
 
 
∈ ⇔ < − < ⇔ − < < −
2
2 20
2 2
sin
2 2 2 2 8 2Maøf( )= vaø ( ) 1 ( ) 1 1 (0; )
4 2
2
8 1 4
Vaäy ptñaõcho coùñuùng1nghieäm (0; ) 2 1
2 2
t
x
Lim f t f t x
x
x a a
Bài 3: Cho ph ng trìnhươ + − − − + + =6 5 4 3 2
3 6 ax 6 3 1 0x x x x x . Tìm t t c các giáấ ả
tr c a tham s a, đ ph ng trình có đúng 2 nghi m phân bi t.ị ủ ố ể ươ ệ ệ (HSG Nam Đ nhị
2004)
Gi i:ả Vì 0x= không ph i là nghi m pt. Chia hai v pt cho xả ệ ế 3
ta đ cượ
+ + + − + − +
− + − − = ⇔ + − = +
− + = ∆ ≥ ⇔ ≥
= ±
3 2
3 2
2 2 3 2
2 2
1 1 1 1
( ) 3( ) 6( ) a=0 (1). Ñaëtt= tathuñöôïc pt
( 3) 3( 2) 6 3 9 6 (1')
Töøcaùchñaëtttacoù: 1 0 (2)ptnaøy coù = - 4 0 2. Töøñaây tacoù
*Neáu 2 thì pt
x x x x
x xx x
tt t t a t t t a
x tx t t
t
>
⇔ ±
ñaõcho coùmoätnghieäm
*Neáu 2 thì vôùi moãi giaùtròcuûa cho töôngöùnghai giaùtròcuûax
Neânpt(1) coùñuùnghai nghieämphaânbieät pt(1') coùñuùnghai nghieämt= 2
hoaëc (1') coùñuùng
t t
>
= +
± ⇒ 
= +
>
= + − > = + − = −3 2 2
1nghieäm thoûamaõn 2
2 6
1: Neáu(1') coùñuùnghai nghieämt= 2 voânghieäm
22 6
2:(1') coùñuùngmoätnghieäm 2
Xeùthaømsoá( ) 3 9 vôùi 2, tacoù '( ) 3 6 9 3( 1
t t
a
TH
a
TH t
f t t t t t f t t t t +)( 3)t
Ta có b ng bi n thiên:ả ế
D a vào b ng bt ta th y pt(1’) có đúng m t nghi mự ả ấ ộ ệ > 2t khi và ch khiỉ
< + < ⇔ − < <2 6 22 4 16a a
f(t)
f’(t)
x -2 21-3
0 0 +-
222
27

3. Bài 4:Cho hàm số = − + + +( )( )y x x a x b v i a,b là hai s th c d ng khác nhau choớ ố ự ươ
tr c.Cmr v i m i s th cướ ớ ỗ ố ự ( )∈ 0;1s đ u t n t i duy nh t s th cế ồ ạ ấ ố ự
α α
 +
> =  
 
1
0: ( )
2
s s sa b
f ( HSG QG b ng A năm 2006)ả
Gi i:ả Tr c h t ta cos BĐT :ướ ế
+ +
≤ ( )
2 2
s s
sa b a b
(1) ta có th cm (1) b ng hàm sể ằ ố
ho c b ng BĐT Bécnuliặ ằ
Áp d ng BĐT Côsi và (1) ta có :ụ
1
( )
2 2
s s
sa b a b
ab
+ +
< < (*) (do a b≠ )
M t khác ta có:ặ
2 2 ( )( )
'( )
2 ( )( )
x a b x a x b
f x
x a x b
+ + − + +
=
+ +
ta d dàng cm đ c f’(x) >0 m iễ ượ ọ
x>0 suy ra f(x) đ ng bi n v i x>0 nênồ ế ớ
0
( ) ( ) ( )
2xx
a b
Lim f x ab f x Lim f x
+ →+∞→
+
= ≤ ≤ = (**)
Vì f(x) liên t c khi x>0 nên t (*) và (**) ta có đi u ph i cmụ ừ ề ả
Bài t p:ậ
1. Tìm m đ pt sau có nghi m duy nh t thu cể ệ ấ ộ
π
[0; ]
4
− + − + − − − =3 2
(4 6 )sin 3(2 1)sin 2( 2)sin cos (4 3)cos 0m x m x m x x m x
2.Tìm m đ s nghi m c a pt:ể ố ệ ủ 2 2 4 2
15 2(6 1) 3 2 0x m x m m− + − + = không nhi u h nề ơ
s nghi m c a pt:ố ệ ủ 2 3 6 8
(3 1) 12 2 6 (3 9) 2 0,25x m m
m x x− + + = − − (HSG Ngh anệ
1998)
3. Tìm t t c các giá tr a đ bpt:ấ ả ị ể 2
ln(1 )x x ax+ ≥ − nghi m đúngệ 0x∀ ≥
4. a)Cmr n u a >0 là s sao cho bpt:ế ố 1x
a x≥ + đúng v i m iớ ọ 0x ≥ thì a e≥
b) Tìm t t c các giá tr c a a đ :ấ ả ị ủ ể 1x
a x x≥ + ∀ (HSG 12 Nam Đ nh 2006)ị

4. II.Gi i pt b ng ph ng pháp hàm s :ả ằ ươ ố
Đ nh lí 1ị :N u hàm s y=f(x) luôn đb (ho c luôn ngb) thì s nghi m c a pt : f(x)=kế ố ặ ố ệ ủ
Không nhi u h n m t và f(x)=f(y) khi và ch khi x=yề ơ ộ ỉ
Đ nh lí 2ị : N u hàm s y=f(x) luôn đb (ho c luôn ngb) và hàm s y=g(x) luôn ngbế ố ặ ố
(ho c luôn đb) trên D thì s nghi m trên D c a pt: f(x)=g(x) không nhi u h n m tặ ố ệ ủ ề ơ ộ
Đ nh lí 3ị :Cho hàm s y=f(x) có đ o hàm đ n c p n và ptố ạ ế ấ ( )
( ) 0k
f x = có m nghi m,ệ
khi đó pt ( 1)
( ) 0k
f x−
= có nhi u nh t là m+1 nghi mề ấ ệ
Các ví d :ụ
Bài 1:Gi i pt:ả 2 2
3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0x x x x x+ + + + + + + =
(Olympic 30-4 ĐBSCL 2000)
Gi i:ả Ta th y pt ch có nghi m trongấ ỉ ệ
1
( ;0)
2
−
( ) 2 2
2 2
3 (2 ( 3 ) 3) (2 1)(2 (2 1) 3)
(2 3) (2 3) (1)
pt x x x x
u u v v
⇔ − + − + = + + + +
⇔ + + = + +
V i u=-3x, v=2x+1; u,v>0. Xét hàm sớ ố 4 2
( ) 2 3f t t t t= + + v i t>0ớ
Ta có
3
4 2
2 3
'( ) 2 0 0 ( ) ( )
3
t t
f t t f u f v u v
t t
+
= + > ∀ > ⇒ = ⇔ =
+
(1)⇔ u=v ⇔ -3x=2x+1
1
5
x⇔ = − là nghi m duy nh t c a ptệ ấ ủ
Bài 2: Gi i pt:ả
π π 
+ ∈ 
 
2
osx=2 vôùi - ;
2 2
tg x
e c x (HSG L p 12 Nam Đ nh 2006)ớ ị
Gi i:ả Xét hàm s :ố
π π 
= + ∈ 
 
2
( ) osx vôùi - ;
2 2
tg x
f x e c x , ta có
 −
 = − =
 
 
2
2 tg 3
2 3
1 2e os
'( ) 2 . sin sin
cos os
x
tg x c x
f x tgx e x x
x c x
Vì ≥ > >
2 3
2 2 os 0tg x
e c x
Nên d u c a f’(x) chính là d u c a sinx. T đây ta cóấ ủ ấ ủ ừ ≥ =( ) (0) 2f x f
V y pt đã cho có nghi m duy nh t x=0ậ ệ ấ
Bài 3: Gi i pt:ả + = +2003 2005 4006 2x x
x (HSG Ngh an 2005)ệ
Gi i:ả Xét hàm s :ố = + − −( ) 2003 2005 4006 2x x
f x x
Ta có: = + −'( ) 2003 ln2003 2005 ln2005 4006x x
f x

5. = + > ∀ ⇒ =
⇒ ⇒
2 2
''( ) 2003 ln 2003 2005 ln 2005 0 "( ) 0 voânghieäm
f'(x)=0coùnhieàunhaátlaømoätnghieäm f(x)=0coùnhieàunhaátlaøhai nghieäm
x x
f x x f x
Mà ta th y f(1)=f(0)=0 nên pt đã cho có hai nghi m x=0 và x=1ấ ệ
Bài 4: Gi i pt:ả = + + +33 1 log (1 2 )x
x x (TH&TT)
Gi iả : Đk: x>-1/2
⇔ + = + + + ⇔ + = + + +3 3 33 1 2 log (1 2 ) 3 log 3 1 2 log (1 2 )x x x
pt x x x x x (1)
Xét hàm s :ố = + 3( ) logf t t tta có f(t) là hàm đ ng bi n nênồ ế
⇔ = + ⇔ = + ⇔ − − =(1) (3 ) (1 2 ) 3 2 1 3 2 1 0 (2)x x x
f f x x x
Xét hàm s :ố = − − ⇒ = − ⇒ = >2
( ) 3 2 1 '( ) 3 ln3 2 "( ) 3 ln 3 0x x x
f x x f x f x
⇒ =( ) 0f x có nhi u nh t là hai nghi m, mà f(0)=f(1)=0 nên pt đã cho có hai nghi mề ấ ệ ệ
x=0 và x=1
Bài 5: Gi i h pt:ả ệ
π





>
sinx-siny=3x-3y (1)
x+y= (2)
5
, 0 (3)x y
Gi iả : T (2) và (3) ta có :ừ
π
∈, (0; )
5
x y
⇔(1) sinx-3x=siny-3y. Xét hàm s f(t)=sint-3t v iố ớ
π
∈(0; )
5
t ta có f(t) là hàm ngh chị
bi n nên f(x)=f(y)ế ⇔ x=y thay vào (2) ta có
π
= =
10
x y là nghi m c a hệ ủ ệ
Bài 6: Gi i h :ả ệ
− = −

+ − = − +
(1)
1 1 8 (2)
tgx tgy y x
y x y
(30-4 MOĐBSCL 2005)
Gi iả : Đk:
≥ −

≥ +
1
8
y
x y
(*)
(1) tgx x tgy y⇔ + = + x y⇔ = (do hàm số ( )f t tgt t= + là hàm đ ng bi n)ồ ế
Thay vào (2) ta có: + − = − + ⇔ + = − + +1 1 8 1 8 1y y y y y y
⇔ + = − + + − + + ⇔ + = − +
 
≥ ≥ 
⇔ − = + ⇔ ⇔ ⇔ = 
 − + = + − − = 
2 2
1 8 2 8 1 8 4 4 8
8 8
3 33 8 4 8 8
9 48 64 16 128 9 64 64 0
y y y y y y y y
y y
y y y
y y y y y
V yậ 8x y= = là nghi m duy nh t c a h đã choệ ấ ủ ệ

6. H HOÁN V VÒNG QUANH:Ệ Ị
Đ nh nghĩa:ị Là h có d ng:ệ ạ
=
 =


 =
1 2
2 3
1
( ) ( )
( ) ( )
.................
( ) ( )n
f x g x
f x g x
f x g x
(I)
Đ nh lí 1:ị N u f,g là các hàm cùng tăng ho c cùng gi m trên A vàế ặ ả 1 2( , ,..., )nx x x là
nghi m c a h trên A thìệ ủ ệ = = =1 2 ... nx x x
Đ nh lí 2:ị N u f,g khác tính đ n đi u trên A vàế ơ ệ 1 2( , ,..., )nx x x là nghi m c a h trên Aệ ủ ệ
thì = = =1 2 ... nx x x n u n l vàế ẻ
−= = =

= = =
1 3 1
2 4
...
...
n
n
x x x
x x x
n u n ch nế ẵ
Bài 7:Gi i h :ả ệ
 + − + − + =

+ − + − + =

+ − + − + =
3 2
3 2
3 2
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
x x x x y
y y y y z
z z z z x
Gi i:ả Ta gi s (x,y,z) là nả ử o c a h .ủ ệ Xét hàm số = + − + − +3 2
( ) 3 3 ln( 1)f t t t t t
ta có:
−
= + + >
− +
2
2
2 1
'( ) 3 3 0
2 1
t
f t t
t t
nên f(t) là hàm đ ng bi nồ ế
Ta gi s : x=Max{x,y,z} thìả ử = ≥ = ⇒ = ≥ =( ) ( ) ( ) ( )y f x f y z z f y f z x
V y ta có x=y=z. Vì ptậ + − + − + =3 2
2 3 ln( 1) 0x x x x có nghi m duy nh t x=1 nên hệ ấ ệ
đã cho có nghi m là x=y=z=1ệ
Bài 8:Gi i h :ả ệ
 − + − =


− + − =

− + − =

2
3
2
3
2
3
2 6log (6 )
2 6log (6 )
2 6log (6 )
x x y x
y y z y
z z x z
(HSG QG B ng A năm 2006)ả
Gi iả : Hệ

 − =
 − + =
 
⇔ − = ⇔ = 
− +  =
 − =
 − +
3
2
3
2
3
2
log (6 )
2 6 ( ) ( )
log (6 ) ( ) ( )
2 6 ( ) ( )
log (6 )
2 6
x
y
x x f y g x
y
z f z g y
y y f x g z
z
x
z z

7. Trong đó 3
2
( ) log (6 ) ; ( )
2 6
t
f t t g t
t t
= − =
− +
v iớ ( ;6)t ∈ −∞
Ta có f(t) là hàm ngh ch bi n,ị ế
( )
3
2
6
'( ) 0 ( ;6)
2 6
t
g t t
t t
−
= > ∀ ∈ −∞ ⇒
− +
g(t) là hàm đb
Nên ta có n u (x,y,z) là nghi m c a h thì x=y=z thay vào h ta có:ế ệ ủ ệ ệ
3
2
log (6 )
2 6
x
x
x x
− =
− +
pt này có nghi m duy nh t x=3ệ ấ
V y nghi m c a h đã cho là x=y=z=3ậ ệ ủ ệ
Bài t p:ậ
2
3 32 2 10 103 3
2 2 cosx osx
3 2
3 2
3 2
81
1. 2 1 2 1 2 ; 2. 81sin os
256
3. (x-1)(x+2)=(x 2) ; 4. 3 2 osx; 5. (1 )(2 4 ) 3.4
x 3 2 5
6. 3 2 5 (HSG QG 2006)
3 2 5
x x c x x
x x x x x c x
e xe c x
x x y
y y y z
z z z x
−
+ + + = + + + =
− + = + + + =
 + + − =

+ + − =

+ + − =
7. Tìm a đ h sau đây có nghi m duy nh tể ệ ệ ấ
2 3 2
1 2 2 2
2 3 2
2 3 3 3
2 3 2
1 1 1
4 ax
4 ax
............................
4 axn
x x x
x x x
x x x
 = − +

= − +



= − +
8. Tìm m đ các pt sau có nghi m:ể ệ
6 6
2 2
2 2
) 12 ( 5 4 ); b) 3+x 6 (3 )(6 )
cos sin
) cot ( cotgx)+3=0; d) . 2
os sin
a x x x m x x x x x m
x x
c tg x g x m tgx m tg x
c x x
+ + = - + - + - - + - =
+
+ + + =
-