Cac ham so so hoc

1. ¤i Håc Th¡i Nguy¶n
Tr÷íng ¤i Håc Khoa Håc
é Cao Sìn
CC H€M SÈ HÅC V€ ÙNG DÖNG
Chuy¶n ng nh: PH×ÌNG PHP TON SÌ C‡P
M‚ SÈ: 60.46.40
LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TSKH. H€ HUY KHOI
Th¡i Nguy¶n - 2011

2. Cæng tr¼nh ÷ñc ho n th nh t¤i
Tr÷íng ¤i Håc Khoa Håc - ¤i Håc Th¡i Nguy¶n
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TSKH. H€ HUY KHOI
Ph£n bi»n 1: PGS.TS. L¶ Thà Thanh Nh n
Ph£n bi»n 2: TS. Nguy¹n V«n Ngåc
Luªn v«n ÷ñc b£o v» tr÷îc hëi çng ch§m luªn v«n håp t¤i:
Tr÷íng ¤i Håc Khoa Håc - ¤i Håc Th¡i Nguy¶n
Ng y 09 th¡ng 09 n«m 2011
Câ thº t¼m hiºu t¤i
Th÷ Vi»n ¤i Håc Th¡i Nguy¶n

3. 1
Möc löc
Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 C¡c h m sè håc cì b£n 5
1.1. Phi - h m Ì-le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. C¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. H m têng c¡c ÷îc sè d÷ìng cõa n . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1. ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2. C¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. H m têng c¡c chú sè cõa sè tü nhi¶n n . . . . . . . . . . 12
1.3.1. ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2. C¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. H m sè c¡c ÷îc (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1. ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2. C¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. H m ph¦n nguy¶n [x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1. ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2. C¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Mët sè ùng döng cõa c¡c h m sè håc 18
2.1. Ùng döng cõa Phi - h m Ì-le . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1. X²t çng d÷ mæulæ cõa mët sè nguy¶n tè . . . . 18
2.1.2. Chùng minh ph²p chia vîi d÷ . . . . . . . . . . . 19
2.1.3. Gi£i ph÷ìng tr¼nh çng d÷ . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.4. T¼m nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh . . . . . . 21

4. 2
2.1.5. T¼m c§p cõa sè nguy¶n . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.6. T¼m sè tü nhi¶n thäa m¢n t½nh ch§t h m sè '(n) 23
2.2. Ùng döng cõa h m têng c¡c ÷îc sè d÷ìng cõa sè tü nhi¶n n 24
2.2.1. Chùng minh mët sè l hñp sè . . . . . . . . . . . 24
2.2.2. Chùng minh mët sè l sè ho n h£o . . . . . . . . 25
2.2.3. Chùng minh b§t ¯ng thùc li¶n quan tîi (n) . . 29
2.3. Ùng döng cõa h m S(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1. T¼m n bði S(n) thäa m¢n mët h» thùc cho tr÷îc . 32
2.3.2. T½nh gi¡ trà S(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.3. Chùng minh mët sè biºu thùc li¶n quan tîi S(n) . 37
2.3.4. X²t t½nh bà ch°n cõa h m sè chùa S(n) . . . . . . 39
2.4. Ùng döng cõa h m sè c¡c ÷îc (n) . . . . . . . . . . . . 40
2.4.1. T¼m n thäa m¢n mët i·u ki»n cho tr÷îc cõa (n) 40
2.4.2. Mët sè b§t ¯ng thùc li¶n quan tîi h m (n) . . 43
2.4.3. T¼m sè nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh b¬ng ph÷ìng
ph¡p sû döng (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5. Ùng döng cõa h m ph¦n nguy¶n [x] . . . . . . . . . . . . 46
2.5.1. B i to¡n ành t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.2. B i to¡n ành l÷ñng . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5. 3
Mð ¦u
Sè håc l mët trong nhúng l¾nh vüc cê x÷a nh§t cõa To¡n håc, v
công l l¾nh vüc tçn t¤i nhi·u nh§t nhúng b i to¡n, nhúng gi£ thuy¸t
ch÷a câ c¥u tr£ líi. Tr¶n con ÷íng t¼m ki¸m líi gi£i cho nhúng gi£
thuy¸t â, câ nhi·u t÷ t÷ðng lîn, nhi·u l½ thuy¸t lîn cõa to¡n håc ¢
n©y sinh. Hìn núa, trong nhúng n«m g¦n ¥y, Sè håc khæng ch¿ l mët
l¾nh vüc cõa to¡n håc l½ thuy¸t, m cán l l¾nh vüc câ nhi·u ùng döng,
°c bi»t trong l¾nh vüc b£o mªt thæng tin. V¼ th¸, vi»c trang bà nhúng
ki¸n thùc cì b£n v· sè håc ngay tø tr÷íng phê thæng l h¸t sùc c¦n
thi¸t. Khæng nh÷ nhi·u ng nh kh¡c cõa to¡n håc, câ r§t nhi·u th nh
tüu hi»n ¤i v quan trång cõa Sè håc câ thº hiºu ÷ñc ch¿ vîi nhúng
ki¸n thùc phê thæng ÷ñc n¥ng cao mët b÷îc. Do â, ¥y ch½nh l l¾nh
vüc thuªn lñi º ÷a håc sinh ti¸p cªn nhanh vîi khoa håc hi»n ¤i. Tuy
nhi¶n, trong ch÷ìng tr¼nh Sè håc ð tr÷íng phê thæng hi»n nay, mæn Sè
håc ch÷a ÷ñc gi nh nhi·u thíi gian. Công v¼ th¸ m håc sinh th÷íng
r§t lóng tóng khi gi£i b i to¡n Sè håc, °c bi»t l trong c¡c k¼ thi chån
håc sinh giäi.
Trong ph¦n Sè håc, c¡c h m sè håc âng vai trá quan trång trong
vi»c h¼nh th nh v nghi¶n cùu l½ thuy¸t º ho n thi»n. ¥y l mët v§n
· cê iºn v quan trång cõa Sè håc. C¡c b i tªp ùng döng c¡c h m sè
håc cì b£n ÷ñc · cªp nhi·u trong c¡c k¼ thi chån håc sinh giäi c§p
t¿nh (th nh phè), Quèc gia, Quèc t¸.
Möc ½ch ch½nh cõa luªn v«n l n¶u ra ÷ñc mët sè ùng döng cì b£n
cõa c¡c h m sè håc cì b£n (Phi-h m Ì-le, h m têng c¡c ÷îc d÷ìng cõa
n, sè c¡c ÷îc d÷ìng cõa n, têng c¡c chú sè cõa sè tü nhi¶n n, h m ph¦n
nguy¶n). Cö thº l ph¥n lo¤i ÷ñc c¡c d¤ng b i tªp cõa c¡c h m sè håc
thæng qua h» thèng b i tªp sû döng c¡c h m sè håc v c¡c ành l½ cì

6. 4
b£n cõa Sè håc.
Nëi dung cõa luªn v«n gçm 2 ch÷ìng
Ch÷ìng 1: Tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc cì b£n cõa c¡c h m sè håc.
Ch÷ìng 2: Mët sè ùng döng cõa c¡c h m sè håc.
Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh vîi sü h÷îng d¨n v ch¿ b£o tªn t¼nh
cõa GS.TSKH. H Huy Kho¡i - Vi»n To¡n Håc H Nëi. Th¦y ¢ d nh
nhi·u thíi gian h÷îng d¨n v gi£i ¡p c¡c th­c m­c cõa tæi trong suèt
qu¡ tr¼nh l m luªn v«n. Tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n
Th¦y.
Tæi xin c£m ìn tîi Sð Nëi Vö, Sð Gi¡o döc v o t¤o t¿nh B­c Ninh,
tr÷íng THPT Thuªn Th nh 1, tê To¡n tr÷íng THPT Thuªn Th nh 1
¢ t¤o i·u ki»n gióp ï tæi ho n th nh khâa håc n y.
Tæi xin gûi tîi c¡c Th¦y Cæ khoa To¡n, pháng o t¤o sau ¤i håc
Tr÷íng ¤i Håc Khoa Håc - ¤i Håc Th¡i Nguy¶n, công nh÷ c¡c Th¦y
cæ tham gia gi£ng d¤y khâa Cao håc 2009-2011 líi c£m ìn s¥u s­c v·
cæng lao d¤y dé trong suèt qu¡ tr¼nh gi¡o döc, o t¤o cõa nh tr÷íng.
çng thíi tæi xin gûi líi c£m ìn tîi tªp thº lîp Cao Håc To¡n K3A
Tr÷íng ¤i Håc Khoa Håc ¢ ëng vi¶n gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håc
tªp v l m luªn v«n n y.
Tuy nhi¶n do sü hiºu bi¸t cõa b£n th¥n v khuæn khê cõa luªn v«n
th¤c s¾, n¶n ch­c r¬ng trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu khæng tr¡nh khäi
nhúng thi¸u sât, tæi r§t mong ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c Th¦y Cæ
v ëc gi£ quan t¥m tîi luªn v«n n y.
Th¡i Nguy¶n, ng y 31 th¡ng 07 n«m 2011
T¡c gi£
é Cao Sìn

7. 5
Ch֓ng 1
C¡c h m sè håc cì b£n
1.1. Phi - h m Ì-le
1.1.1. ành ngh¾a
ành ngh¾a 1.1. Gi£ sû n l mët sè nguy¶n d÷ìng. Phi-h m Ì-le cõa
n l sè c¡c sè nguy¶n d÷ìng khæng v÷ñt qu¡ n v nguy¶n tè còng nhau
vîi n.
K½ hi»u Phi-h m Ì-le l '(n).
V½ dö 1.1. '(1) = 1, '(2) = 1, '(3) = 2, '(4) = 2, '(5) = 4.
ành ngh¾a 1.2. Cho n l sè nguy¶n d÷ìng. N¸u a l sè nguy¶n vîi
(a; n) = 1 th¼ luæn tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng k º ak 1(mod n).
Sè nguy¶n d÷ìng k b² nh§t thäa m¢n ak 1(mod n) ÷ñc gåi l
c§p cõa sè nguy¶n a (mod n).
ành ngh¾a 1.3. Mët h» th°ng d÷ thu gån mæulæ n l mët tªp hñp
gçm '(n) sè nguy¶n sao cho méi ph¦n tû cõa tªp hñp ·u nguy¶n tè
còng nhau vîi n v khæng câ hai ph¦n tû kh¡c nhau n o çng d÷ mæulæ
n.
V½ dö 1.2. Tªp hñp f1; 3; 5; 7g l mët h» th°ng d÷ thu gån mæulæ 8.
Tªp hñp f3;1; 1; 3g công vªy.
ành ngh¾a 1.4. Mët tªp hñp A n o â ÷ñc gåi l mët h» th°ng d÷ ¦y
õ (mod n) n¸u vîi b§t ký sè x 2 Z tçn t¤i mët a 2 A º x a(mod n).

8. 6
V½ dö 1.3. A = f0; 1; 2; :::; n 1g l mët h» th°ng d÷ ¦y õ theo
mæulæ n.
Chó þ 1.1. D¹ th§y mët tªp A = fa1; a2; :::; ang gçm n sè s³ l mët h»
th°ng d÷ ¦y õ theo mæulæ n khi v ch¿ khi ai
=
aj(mod n) (ta k½ hi»u
khæng çng d÷ l =
) vîi i6= j v i; j 2 f1; 2; :::; ng.
1.1.2. C¡c t½nh ch§t
T½nh ch§t 1. Gi£ sû
r1; r2; :::; r'(n)
l mët h» th°ng d÷ thu gån mæulæ
n, a l sè nguy¶n d÷ìng v (a; n) = 1. Khi â, tªp hñp
ar1; ar2; :::; ar'(n)
công l h» th°ng d÷ thu gån mæulæ n.
Chùng minh. Tr÷îc ti¶n ta chùng tä r¬ng, méi sè nguy¶n arj l nguy¶n
tè còng nhau vîi n. Gi£ sû ng÷ñc l¤i, (arj ; n) 1 vîi j n o â. Khi â
tçn t¤i ÷îc nguy¶n tè p cõa (arj ; n). Do â, ho°c p ja , ho°c p jrj , tùc
l ho°c p ja v p jn, ho°c p jrj v p jn. Tuy nhi¶n, khæng thº câ p jrj v
p jn v¼ rj v n l nguy¶n tè còng nhau. T÷ìng tü, khæng thº câ p ja v
p jn. Vªy, arj v n nguy¶n tè còng nhau vîi måi j = 1; 2; :::; '(n).
Cán ph£i chùng tä hai sè arj , ark (j6= k) tòy þ khæng çng d÷ mæulæ
n. Gi£ sû arj ark(mod n); j6= k v 1 j '(n) ; 1 k '(n). V¼
(a; n) = 1 n¶n ta suy ra rj rk(mod n). i·u n y m¥u thu¨n v¼ rj ; rk
còng thuëc mët h» th°ng d÷ thu gån ban ¦u mæulæ n.
V½ dö 1.4. Tªp hñp f1; 3; 5; 7g l mët h» th°ng d÷ thu gån mæulæ 8.
Do (3; 8) = 1 n¶n f3; 9; 15; 21g công l mët h» th°ng d÷ mæulæ 8.
T½nh ch§t 2.(ành l½ Ì-le) Gi£ sû m l sè nguy¶n d÷ìng v a l sè
nguy¶n vîi (a;m) = 1. Khi â a'(m) 1 (mod m).
Chùng minh. Gi£ sû
r1; r2; :::; r'(n)
l mët h» th°ng thu gån gçm
c¡c sè nguy¶n d÷ìng khæng v÷ñt qu¡ m v nguy¶n tè còng nhau vîi m.
Do T½nh ch§t 1 v do (a;m) = 1, tªp hñp
ar1; ar2; :::; ar'(n)
công l
mët h» th°ng d÷ thu gån mæulæ m. Nh÷ vªy, c¡c th°ng d÷ d÷ìng b²
nh§t cõa ar1; ar2; :::; ar'(m) ph£i l c¡c sè nguy¶n r1; r2; :::; r'(m) x¸p
theo thù tü n o â. V¼ th¸, n¸u ta nh¥n c¡c v¸ tø trong h» th°ng d÷ thu
gån tr¶n ¥y, ta ÷ñc: ar1:ar2:::ar'(m) r1:r2:::r'(m)(modm).

9. 7
Do â, a'(m)r1r2:::r'(m) r1r2:::r'(m) (mod m).
V¼
r1; r2; :::r'(m);m
= 1 n¶n a'(m) 1 (mod m).
Ta câ thº t¼m nghàch £o mæulæ n b¬ng c¡ch sû döng ành l½ Ì-le. Gi£
sû a;m l c¡c sè nguy¶n tè còng nhau, khi â:
a:a'(m)1 = a'(m) 1 (mod m).
Vªy a'(m)1 l nghàch £o cõa a mæulæ m.
V½ dö 1.5. 2'(9)1 = 261 = 25 = 32 5 ( mod 9) l mët nghàch £o cõa
2 mæulæ 9.
H» qu£ 1.1. (a; b) = 1 th¼ a'(b) + b'(a) 1(mod ab):
H» qu£ 1.2. Vîi (a; b) = 1 v n; v l hai sè nguy¶n d÷ìng n o â th¼
an'(b) + bv'(a) 1 (mod ab):
n2
n1
H» qu£ 1.3. Gi£ sû câ k (k 2) sè nguy¶n d÷ìng m1;m2; :::;mk v
chóng nguy¶n tè vîi nhau tøng æi mët. °t M = m1:m2:::mk = mi:ti
vîi i = 1; 2; :::; k ta câ:
t+ t+ ::: + tnk
(t1 + t2 + ::: + tk)n(modM) vîi n nguy¶n d÷ìng.
B¥y gií ta s³ cho cæng thùc t½nh gi¡ trà cõa phi-h m Ì-le
t¤i n khi bi¸t ph¥n t½ch cõa n ra thøa sè nguy¶n tè.
T½nh ch§t 3. Vîi sè nguy¶n tè p ta câ '(p) = p 1. Ng÷ñc l¤i, n¸u p
l sè nguy¶n d÷ìng sao cho '(p) = p 1 th¼ p l sè nguy¶n tè.
Chùng minh. N¸u p l sè nguy¶n tè th¼ vîi måi sè nguy¶n d÷ìng nhä
hìn p ·u nguy¶n tè còng nhau vîi p. Do câ p1 sè nguy¶n d÷ìng nh÷
vªy n¶n '(p) = p 1:
Ng÷ñc l¤i, n¸u p l hñp sè th¼ p câ c¡c ÷îc d; 1 d p. T§t nhi¶n
p v d khæng nguy¶n tè còng nhau. Nh÷ vªy, trong c¡c sè 1; 2; :::; p 1
ph£i câ nhúng sè khæng nguy¶n tè còng nhau vîi p, n¶n '(p) p 2.
Theo gi£ thi¸t, '(p) = p 1. Vªy p l sè nguy¶n tè.
T½nh ch§t 4. Gi£ sû p l sè nguy¶n tè v a l sè nguy¶n d÷ìng. Khi â:
' (pa) = pa pa1:

10. 8
Chùng minh. C¡c sè nguy¶n d÷ìng nhä hìn pa khæng nguy¶n tè còng
nhau vîi p l c¡c sè khæng v÷ñt qu¡ pa1 v chia h¸t cho p. Câ óng
pa1 sè nh÷ vªy. Do â tçn t¤i papa1 sè nguy¶n nhä hìn pa v nguy¶n
tè còng nhau vîi pa. Vªy, '(pa) = pa pa1.
V½ dö 1.6. ' (125) = '
53
= 5352 = 100 ; '
210
= 21029 = 525.
T½nh ch§t 5. N¸u m; n l c¡c sè nguy¶n d÷ìng nguy¶n tè còng nhau
th¼ '(mn) = '(m):'(n).
Chùng minh. Ta vi¸t c¡c sè nguy¶n d÷ìng khæng v÷ñt qu¡ mn th nh
b£ng sau:
1 m + 1 2m + 1 ::: (n 1)m + 1
2 m + 2 2m + 2 ::: (n 1)m + 2
3 m + 3 2m + 3 ::: (n 1)m + 3
::: ::: ::: ::: :::
m 2m 3m ::: mn
B¥y gií gi£ sû r l mët sè nguy¶n khæng v÷ñt qu¡ m. Gi£ sû (m; r) =
d 1. Khi â, khæng câ sè n o trong dáng thù r nguy¶n tè còng nhau
vîi mn, v¼ méi ph¦n tû cõa dáng â ·u câ d¤ng km + r, trong â
1 k n 1, d j (km + r); v¼ d j m; d j r.
Vªy, º t¼m c¡c sè trong b£ng m nguy¶n tè còng nhau vîi mn, ta
ch¿ c¦n xem c¡c dáng thù r vîi (m; r) = 1. Ta x²t mët dáng nh÷ vªy, nâ
chùa c¡c sè r;m + r; :::; (n 1)m + r. V¼ (r;m) = 1 n¶n méi sè nguy¶n
trong dáng ·u nguy¶n tè còng nhau vîi n. Nh÷ vªy, n sè nguy¶n trong
dáng lªp th nh h» th°ng d÷ ¦y õ mæulæ n. Do â câ óng '(n) sè
trong h ng â nguy¶n tè còng nhau vîi n. Do c¡c sè â công nguy¶n tè
còng nhau vîi m n¶n chóng nguy¶n tè còng nhau vîi mn.
V¼ câ '(m) dáng, méi dáng chùa '(n) sè nguy¶n tè còng nhau vîi
mn n¶n ta suy ra '(mn) = '(m)'(n).
K¸t hñp hai t½nh ch§t tr¶n, ta ÷ñc t½nh ch§t sau:
1 pn2
T½nh ch§t 6. Gi£ sû n = pn1
2 :::pnk
k l ph¥n t½ch n ra thøa sè nguy¶n
tè. Khi â:
' (n) = n
1
1
p1
1
1
p2
:::
1
1
pk
:

11. 9
Chùng minh. V¼ ' l h m câ t½nh ch§t nh¥n n¶n n¸u n câ ph¥n t½ch
nh÷ tr¶n, ta ÷ñc: '(n) = '(pa1
1 )'(pa2
2 ):::'(pak
k ).
M°t kh¡c: '
paj
j
= paj
j paj1
j = paj
j
1 1
pj
; j = 1; 2; :::; k:
Vªy
' (n) = pa1
1
1
1
p1
pa2
2
1
1
p2
:::pak
k
1
1
pk
= pa1
1 pa2
2 :::pak
k
1
1
p1
1
1
p2
:::
1
1
pk
= n
1
1
p1
1
1
p2
:::
1
1
pk
:
T½nh ch§t 7. Gi£ sû n l mët sè nguy¶n d÷ìng. Khi â:
P
djp
' (d) = n:
Chùng minh. Têng tr¶n ¥y ÷ñc l§y theo c¡c ÷îc sè cõa n. Ta ph¥n
chia tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n tø 1 ¸n n th nh c¡c lîp sau ¥y. Lîp Cd
gçm c¡c sè nguy¶n m; 1 m n, m (m; n) = d. Nh÷ vªy m thuëc Cd
n¸u v ch¿ n¸u d l ÷îc chung cõa m; n v (m=d; n=d) = 1. Nh÷ vªy, sè
ph¦n tû cõa Cd l c¡c sè nguy¶n d÷ìng khæng v÷ñt qu¡ n=d v nguy¶n
tè còng nhau vîi n=d ; tùc l Cd gçm '(n=d) ph¦n tû. V¼ méi sè nguy¶n
m tø 1 ¸n n thuëc mët v ch¿ mët lîp Cd n o â (d = (m; n) n¶n n
b¬ng têng P
cõa sè c¡c th nh ph¦n trong c¡c lîp Cd, d l ÷îc sè cõa n.
Ta câ n =
djn
'
n
d
.
1.2. H m têng c¡c ÷îc sè d÷ìng cõa n
1.2.1. ành ngh¾a
ành ngh¾a 1.1. H m têng c¡c ÷îc d÷ìng cõa sè tü nhi¶n n ÷ñc k½
hi»u l (n).
V½ dö 1.7. (12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28.
P
Chó þ 1.2. Ta câ thº biºu di¹n h m (n) d÷îi d¤ng: (n) =
djn
d

12. 10
1.2.2. C¡c t½nh ch§t
Bê · 1.1. Gi£ sû m; n l c¡c sè nguy¶n d÷ìng nguy¶n tè còng nhau.
Khi â, n¸u d l ÷îc chung cõa mn th¼ tçn t¤i c°p duy nh§t c¡c ÷îc
d÷ìng d1 cõa m v d2 cõa n sao cho d = d1:d2. Ng÷ñc l¤i, n¸u d1 v d2
l c¡c ÷îc d÷ìng t÷ìng ùng cõa m v n th¼ d = d1:d2 l ÷îc d÷ìng cõa
mn.
Chùng minh. Gi£ sû m; n câ ph¥n t½ch ra thøa sè nguy¶n tè nh÷ sau:
m = pm1
1 pm2
s ; n = qn1
2 :::pms
1 qn2
2 :::qnt
t .
V¼ (m; n) = 1 n¶n tªp hñp sè nguy¶n tè p1; p2; :::; ps v tªp hñp c¡c
sè nguy¶n tè q1; q2; :::; qt khæng câ ph¦n tû chung. Do â ph¥n t½ch ra
thøa sè cõa mn câ d¤ng: mn = pm1
1 pm2
2 :::pms
s :qn1
1 qn2
2 :::qnt
t .
Nh÷ vªy, n¸u d l mët ÷îc chung cõa mn th¼ d = pe1
s :qf1
1 pe2
2 :::pes
1 qf2
2 :::qft
t ,
trong â 0 ei mi(i = 1; 2; :::; s) ; 0 fi ni(i = 1; 2; :::; s).
°t: d1 = pe1
s , d2 = qf1
1 pe2
2 :::pes
1 qf2
2 :::qft
t . Rã r ng d = d1d2 v (d1; d2) = 1.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû d1 v d2 l c¡c ÷îc d÷ìng t÷ìng ùng cõa m v n.
Khi â:
d1 = pe1
1 pe2
2 :::pes
s trong â, 0 ei mi(i = 1; 2; :::; s)
d2 = qf1
1 qf2
2 :::qft
t trong â, 0 fi mi(i = 1; 2; :::; t):
Sè nguy¶n d = d1d2 = pe1
s :qf1
1 pe2
2 :::pes
1 qf2
2 :::qft
t .
Rã r ng l ÷îc cõa mn = pm1
1 pm2
2 :::pms
s :qn1
1 qn2
2 :::qnt
t
v¼ lôy thøa cõa méi sè nguy¶n tè xu§t hi»n trong ph¥n t½ch ra thøa sè
nguy¶n tè cõa d b² hìn ho°c b¬ng lôy thøa cõa sè nguy¶n tè â trong
ph¥n t½ch cõa mn.
Bê · 1.2. Gi£ sû p l sè nguy¶n tè, a l sè nguy¶n d÷ìng. Khi â:
(pa) =
1 + p + p2 + ::: + pa
=
pa+1
p 1
(pa) = a + 1

13. 11
Chùng minh. C¡c ÷îc cõa pa l 1; p, p2, pa. Do â, pa câ óng a + 1 ÷îc
d÷ìng, (pa) = a+1. M°t kh¡c, (pa) = 1+p+p2+:::+pa =
pa+1 1
p 1
.
ành lþ P
1.1. Gi£ sû f l mët h m câ t½nh ch§t nh¥n. Khi â h m
F(n) =
djn
f(d) công câ t½nh ch§t nh¥n.
Chùng minh. Ta s³ ch¿ ra r¬ng n¸u m; n l c¡c sè nguy¶n d÷ìng nguy¶n
tè còng nhau th¼ F(mn) = F(m):F (n). Gi£ sû (m; n) = 1, ta câ:
F(mn) =
P
djmn
f(d).
V¼ (m; n) = 1 n¶n theo bê · 1.1, méi ÷îc sè cõa mn câ thº vi¸t duy
nh§t d÷îi d¤ng t½ch c¡c ÷îc d1 cõa m v d2 cõa n v d1; d2 nguy¶n tè
còng nhau, çng thíi méi c°p ÷îc sè d1 cõa m v d2 cP
õa n t÷ìng ùng
vîi ÷îc d1:d2 cõa mn. Do â ta câ thº vi¸t: F(mn) =
d1jm
d2jn
f(d1d2).
V¼ f l h m câ t½nh ch§t nh¥n v (d1; d2) = 1 n¶n
F (mn) =
P
d1jm
d2jn
f(d1)f(d2) =
P
d1jm
f(d1):
P
d2jn
f(d2) = F(m):F (n)
T½nh ch§t 1. H m (n) l h m nh¥n t½nh, tùc l : Vîi måi sè tü nhi¶n
n1; n2 nguy¶n tè còng nhau th¼ (n1:n2) = (n1):(n2)
Chùng minh. Tø ành l½ 1.1 suy ra h m sè (n) câ t½nh ch§t nh¥n. V¼
th¸ ta câ thº vi¸t cæng thùc cõa chóng khi bi¸t ph¥n t½ch th nh thøa sè
nguy¶n tè cõa n.
T½nh ch§t 2. N¸u p l sè nguy¶n tè th¼ (p) = 1 + p
Chùng minh. ÷ñc suy ra tø Bê · 1.2.
T½nh ch§t 3. Gi£ sû n l sè nguy¶n d÷ìng v câ khai triºn ch½nh t­c
n = p1
1 p2
2 :::pk
k th¼ (n) =
p1+1
1 1
p1 1
:
p2+1
2 1
p2 1
:::
pk+1
k 1
pk 1
Chùng minh. Do h m câ t½nh ch§t nh¥n n¶n ta câ
(n) = (pa1
1 ) (pa2
2 ) ::: (pas
s ).

14. 12
1.3. H m têng c¡c chú sè cõa sè tü nhi¶n n
1.3.1. ành ngh¾a
ành ngh¾a 1.1. Gi£ sû n l mët sè tü nhi¶n. Ta ành ngh¾a S(n) l
h m têng c¡c chú sè cõa n, khi biºu di¹n trong h» thªp ph¥n.
1.3.2. C¡c t½nh ch§t
Vîi n l sè nguy¶n d÷ìng. Ta câ:
T½nh ch§t 1. S(n) n (mod 9).
Chùng minh. Gi£ sû trong biºu di¹n thªp ph¥n, sè nguy¶n d÷ìng n
câ d¤ng: n = kk1:::210 j10
Khi §y
n = 0 + 101 + 1022 + ::: + 10k1k1 + 10kk
S(n) = 0 + 1 + 2 + ::: + k1 + k
V¼ th¸
n S(n) = 91 + 992 + ::: + 9|9{:z::9}
(k - 1) sè 9
k1 + ::: + 9|9{:z::9}
k sè 9
k: (1.1)
Tø (1.1) suy ra [n S(n)]
...
9 hay S(n) n (mod 9), suy ra i·u ph£i
chùng minh.
T½nh ch§t 2. 0 S(n) n
T½nh ch§t 3. S(n) = n , 1 n 9
Chùng minh. Ta câ n = kk1:::210 j10 . V¼ n 0 n¶n k 0.
Ngo i ra i 2 f0; 1; 2; :::; 9g vîi måi i = 1; 2; :::; k:
Tø â, do S(n) = k + k1 + ::: + 1 + 0 suy ra S(n) 0:
L¤i th§y tø (1.1) th¼ S(n) n v S(n) = n , 1 = 2 = ::: = k =
0 , 0 0 , 0 2 f1; 2; :::; 9g. â l i·u ph£i chùng minh.
T½nh ch§t 4. S(m + n) S(m) + S(n), vîi måi m; n nguy¶n d÷ìng.
Chùng minh. Gi£ sû trong h» thªp ph¥n, n v m l¦n l÷ñt câ d¤ng:
n = kk1:::10 j10
m =

15. k

16. k1:::

17. 1

18. 0 j10

19. 13
Khæng gi£m têng qu¡t, ta câ thº cho l n m ) k s. Ta câ thº vi¸t
l¤i m d÷îi d¤ng sau ¥y m = |00{:z::0}
(k - s) sè 0

20. s

21. s1:::

22. 1

23. 0 j10
°t

24. i
0
=

25. i vîi i = 0,1,2,...,s
0 vîi i = s + 1,...,k.
V¼ th¸ luæn luæn câ thº coi n v m câ còng lo¤i biºu di¹n sau:
n = kk1:::210 j10
m =

26. k

27. k1:::

28. 2

29. 1

30. 0 j10
trong â 0 i;

31. i 9, vîi måi i = 0; 1; 2; :::; k v i;

32. i nguy¶n.
Ta s³ chùng minh b§t ¯ng thùc S(m+ n) S(m) + S(n) vîi måi m; n
nguy¶n d÷ìng b¬ng ph²p quy n¤p theo k.
- N¸u k = 0, khi â n = 0;m =

33. 0 suy ra S(n) + S(m) = 0 +

34. 0
Ta câ m + n = 0 +

35. 0, do vªy
S(m + n) =
0 +

36. 0 n¸u 0 +

37. 0 9
(0 +

38. 0 10) + 1 n¸u 0 +

39. 0 9
Chó þ r¬ng do 0 0 9; 0

40. 0 9 n¶n 0 +

41. 0 18, suy ra
0 +

42. 0 9 9 0 +

43. 0 (khi 0 +

44. 0 9)
Tâm l¤i, ta luæn chùng minh ÷ñc S(m+n) S(m)+S(n), trong tr÷íng
hñp k = 0. Vªy i·u kh¯ng ành óng khi k = 0.
- Gi£ sû i·u kh¯ng ành ¢ óng ¸n k 1, tùc l vîi måi biºu di¹n
trong h» thªp ph¥n: n = k1:::210 j10 , m =

45. k1:::

46. 2

47. 1

48. 0 j10
(trong â ½t nh§t mët trong hai sè k1;

49. k1 ph£i lîn hìn 0), ta luæn
câ: S(m + n) S(m) + S(n)
- X²t tr÷íng hñp vîi k, tùc l khi n v m biºu di¹n nh÷ sau:
n = kk1:::210 j10 , m =

50. k

51. k1:::

52. 2

53. 1

54. 0 j10
ð ¥y ½t nh§t mët trong hai sè k;

55. k ph£i lîn hìn 0.
Ta câ thº vi¸t l¤i: n = 10:kk1:::10 ; m = 10:

56. k

57. k1:::

58. 1

59. 0
V¼ 10:kk1:::1 = kk1:::10 n¶n suy ra S(n) = S(n0),
ð ¥y n0 = kk1:::1
T÷ìng tü: 10:

60. k

61. k1:::

62. 1 =

63. k

64. k1:::

65. 10 n¶n suy ra S(m) = S(m0),
ð ¥y m0 =

66. k

67. k1:::

68. 1

69. 14
Rã r ng ta câ: S(n) = 0 + S(n0) v S(m) =

70. 0 + S(m0).
p döng gi£ thi¸t quy n¤p, ta th§y ngay: S(m0 + n0) S(m0) + S(n0).
M°t kh¡c, ta câ: m + n = 10(m0 + n0) + 0 +

71. 0 n¶n
S(m + n) S(m0) + S(n0) + 0 +

72. 0:
suy ra S(m + n) S(m0) + S(n0) + 0 +

73. 0 = S(m) + S(n).
Vªy i·u kh¯ng ành công óng ¸n k. Tø â suy ra i·u ph£i chùng
minh.
Nhªn x²t 1.1. B¬ng quy n¤p d¹ d ng chùng minh ÷ñc:
N¸u a1; a2; :::; ak l c¡c sè nguy¶n d÷ìng th¼:
S(a1 + a2 + ::: + ak)
Xk
i=1
S(ai)
S(a1a2:::ak) S(a1):S(a2):::S(ak):
T½nh ch§t 5. S(mn) S(m):S(n), vîi måi m; n nguy¶n d÷ìng.
Chùng minh. Gi£ sû B câ biºu di¹n d÷îi d¤ng thªp ph¥n l :
B = b1b2:::bk
Do â B = bk + 10bk1 + 102bk2 + ::: + 10k1b1
Tr÷îc h¸t ta câ nhªn x²t sau:
N¸u N l sè tü nhi¶n th¼ vîi måi sè p nguy¶n d÷ìng, ta câ:
S(10pN) = S(N)
(Nhªn x²t n y qu¡ hiºn nhi¶n düa v o trüc ti¸p tø ành ngh¾a cõa h m
S(n)). Ta câ: AB = Abk + 10Abk1 + 102Abk2 + ::: + 10k1Ab1
Theo chùng minh cõa T½nh ch§t 4, suy ra:
S(AB) = S(Abk + 10Abk1 + ::: + 10k1Ab1
S(Abk) + S(10Abk1) + ::: + S(10k1Ab1) (1.2)
L¤i theo T½nh ch§t 4, ta câ
S(Abk) = S(|A + A {+z::: + A}
bk sè h¤ng A
) S(A) + S(A) + ::: + S(A) = bkS(A)

74. 15
T÷ìng tü, ta câ
S(10Abk1) bk1S(10A) = bk1S(A);
S(102Abk2) bk1S(102A) = bk2S(A);
:::::::::
S(10Ak1b1) b1S(10k1A) = b1S(A):
V¼ vªy, thay v o (1.2), ta câ: S(AB) (b1 + b2 + ::: + bk) :S(A)
Do S(B) = b1 + b2 + ::: + bk n¶n tø ¯ng thùc tr¶n ta thu ÷ñc
S(AB) S(A):S(B)
â l i·u ph£i chùng minh.
Chó þ 1.3. Theo nguy¶n l½ quy n¤p, ta suy ra k¸t qu£ sau:
N¸u A1;A2; :::;An l c¡c sè nguy¶n d÷ìng th¼
S (A1A2:::An) S(A1):S(A2)::::S(An):
1.4. H m sè c¡c ÷îc (n)
1.4.1. ành ngh¾a
ành ngh¾a 1.1. Sè c¡c ÷îc d÷ìng cõa cõa sè tü nhi¶n n ÷ñc k½ hi»u
l (n).
V½ dö 1.8. (1) = 1, (2) = 2, (12) = 6.
1.4.2. C¡c t½nh ch§t
T½nh ch§t 1. H m (n) l h m câ t½nh ch§t nh¥n.
Chùng minh. Düa trüc ti¸p v o ành l½ (1.1)
T½nh ch§t 2. N¸u p l sè nguy¶n tè th¼ (p) = 2.
T½nh ch§t 3. Gi£ sû sè nguy¶n d÷ìng n câ khai triºn ch½nh t­c
n = p1
1 p2
2 :::pk
k th¼ (n) = (1 + 1) (2 + 1) ::: (k + 1).
Chùng minh. ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø Bê · 1.2

75. 16
1.5. H m ph¦n nguy¶n [x]
1.5.1. ành ngh¾a
ành ngh¾a 1.1. H m ph¦n nguy¶n [x] cõa mët sè nguy¶n x l sè
nguy¶n lîn nh§t khæng v÷ñt qu¡ x.
V½ dö 1.9. [2:33] = 2 , [2:33] = 3
1.5.2. C¡c t½nh ch§t
T½nh ch§t 1. Cho x; y l c¡c sè thüc, khi â:
1. [x] x x + 1 ; x 1 [x] x ; 0 x [x] 1
2. Vîi måi sè nguy¶n m, [x + m] = [x] + m
3. [x] + [y] [x
+ y] [x] + [y] + 1
4. [x] + [x] =
0 n¸u x l mët sè nguy¶n
1 n¸u tr¡i l¤i
5. [x] l sè nguy¶n nhä nh§t lîn hìn ho°c b¬ng x.
6. N¸u m l mët sè nguy¶n th¼
[x]
m
=
h x
m
i
7. N¸u a;m l c¡c sè nguy¶n d÷ìng th¼
h x
m
i
l sè c¡c bëi sè cõa a n¬m
trong kho£ng [1;m].
Chùng minh.
1. Hiºn nhi¶n suy ra tø ành ngh¾a.
2. Ch¿ c¦n chùng minh cho 0 x 1. Khi â, m x +m m + 1 n¶n
theo ành ngh¾a, [x] = 0; [x + m] = m = [x] + m:
Tùc l [x + m] = [x] + m
3. Do f(x) = [x] l mët h m khæng gi£m v [y] y [y] + 1 n¶n tø 2)
ta câ [x] + [y] = [x + [y]] [x + y] [x + ([y] + 1)]
Tùc l [x] + [y] [x + y] [x] + [y] + 1
4. N¸u x = m l mët sè nguy¶n th¼ [x] = m; [x] = m
n¶n [x] + [x] = 0.
N¸u x khæng l mët sè nguy¶n, x = m + h vîi m l mët sè nguy¶n v
0 h 1 th¼ x = m 1 + (1 h) vîi 0 1 h 1 n¶n theo ành
ngh¾a [x] = m v [x] = m 1. Do â, [x] + [x] = 1.

76. 17
5. Ch¿ c¦n chùng minh cho tr÷íng hñp x khæng ph£i l mët sè nguy¶n.
Gi£ sû x = m + h vîi m l mët sè nguy¶n v 0 h 1, Khi â nh÷
chùng minh tr¶n ta câ [x] = m 1 n¶n [x] = m + 1 ch½nh l sè
nguy¶n nhä nh§t lîn hìn ho°c b¬ng x.
6. Gi£ sû
h x
m
i
= k. Khi â, k
x
m
k + 1 n¶n km x k(m + 1).
Do [x] l sè nguy¶n d÷ìng lîn nh§t khæng v÷ñt qu¡ x n¶n
km [x] x m(k + 1).
Do â km [x] m(k + 1),
suy ra k
[x]
m
k + 1, tùc l
[x]
m
=
h x
m
i
7. Gi£ sû a; 2a; :::; na l t§t c£ c¡c bëi sè cõa a n¬m trong kho£ng [1;m],
ta c¦n chùng minh [m=a] = n. Thªt vªy, do a; 2a; :::; na l t§t c£ c¡c
bëi sè cõa a n¬m trong kho£ng [1;m] n¶n na m (n + 1)a. Do â,
n m=a (n + 1). Theo ành ngh¾a ta câ: [m=a] = n.
ành l½ ÷ñc chùng minh.
T½nh ch§t 2 (Cæng thùc Polignac). Cho p l mët sè nguy¶n tè, khi
1P
â sè mô lîn nh§t k sao cho pk l ÷îc cõa n! l k =
i=1
n
pi
Chùng minh. Gåi ei l c¡c sè chia h¸t cho pi trong kho£ng [1; n]. Khi
â sè c¡c sè trong kho£ng [1; n] chia h¸t cho pi m khæng chia h¸t cho
pi+1 l fi = ei ei+1 v sè mô lîn nh§t k sao cho pk l ÷îc sè cõa n! câ
1P
d¤ng k =
i=1
ifi. Theo t½nh ch§t 1) ta câ ei =
n
pi
; fi =
n
pi
n
pi+1
Do â k =
1P
i=1
ifi =
1P
i=1
i
n
pi
n
pi+1
=
1P
i=1
n
pi
i·u ph£i chùng minh.

77. 18
Ch֓ng 2
Mët sè ùng döng cõa c¡c h m sè
håc
Trong ch÷ìng tr¼nh phê thæng, c¡c b i to¡n v· sè håc âng vai trá
quan trång trong vi»c h¼nh th nh t÷ duy to¡n håc. Vi»c sû döng c¡c
h m sè håc ¢ gi£i quy¸t ÷ñc nhúng lîp b i to¡n cì b£n trong c¡c b i
to¡n sì c§p.
Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ùng döng cõa c¡c h m sè håc cì
b£n trong vi»c gi£i c¡c b i to¡n sì c§p. Ngo i ra, cán câ nhúng b i to¡n
têng hñp sû döng mët sè h m sè kh¡c.
2.1. Ùng döng cõa Phi - h m Ì-le
2.1.1. X²t çng d÷ mæulæ cõa mët sè nguy¶n tè
V½ dö 2.1. Gi£ sû p nguy¶n tè, r l sè tü nhi¶n nhä hìn p sao cho:
(1)rr! 1(mod p) (2.1)
Chùng minh r¬ng:
(p r 1)! + 1 0(mod p) (2.2)
Líi gi£i. Theo ành l½ Wilson ta câ
(p 1)! + 1 0(mod p): (2.3)
M°t kh¡c, (p 1) (p 2) ::: (p r) (1)rr!(mod p). Suy ra
(p 1)! (p r 1)!(1)rr! (mod p) (p r 1)! (mod p) : (2.4)

78. 19
Tø (2.3) v (2.4) suy ra c¡c çng d÷ (2.1) v (2.2) l t÷ìng ÷ìng nhau.
V½ dö 2.2. X²t d¢y Uk =
k(k + 1)
2
vîi k = 1; 2; :::; n. Chùng minh r¬ng
n¸u n = 2s(s 1) th¼ trong d¢y tr¶n câ thº chån ÷ñc mët h» th°ng d÷
¦y õ mæulæ n.
Líi gi£i. X²t n sè U2k1 vîi k = 1; 2; :::. Ta ch¿ c¦n chùng minh vîi måi
1 i j n th¼ U2i1
=
U2j1(mod n)
Gi£ sû ng÷ñc l¤i tçn t¤i 1 i j n m U2i1 U2j1(mod n)
, (2i 1)i (2j 1)j(modn)
, (j i)(2j + 2i 1) 0(mod n) (2.5)
Do n = 2s(s 1) n¶n n khæng câ ÷îc l´.
Tø (2.5) ) j i(mod n) (væ lþ) suy ra i·u ph£i chùng minh.
2.1.2. Chùng minh ph²p chia vîi d÷
V½ dö 2.3. Chùng minh r¬ng: n¸u a nguy¶n tè vîi 7 th¼ a2010 1 chia
h¸t cho 7.
Líi gi£i. Do 7 l sè nguy¶n tè n¶n '(7) = 7 - 1 = 6.
Do â theo ành lþ Ì-le ta câ a'(7) = a6 1(mod 7).
Tø â a2010 = (a6)335 1(mod 7) hay a2010 1 0(mod 7).
Vªy a2010 1 chia h¸t cho 7.
V½ dö 2.4. Chùng minh r¬ng: 2015 1 chia h¸t cho 11.31.61
Líi gi£i.
Chùng minh 2015 1 chia h¸t cho 11.
Do (20, 11) = 1 v '(11) = 10. Theo ành l½ Ì-le ta câ
20'(11) 2010 1(mod 11)
Do â 2015 205 (2)5 1(mod 11)
Vªy 2015 1 chia h¸t cho 11.
Chùng minh t÷ìng tü, ta câ: 2015 1 chia h¸t cho 31 v 61.
m 11, 31, 61 l c¡c sè nguy¶n tè còng nhau.
Vªy 2015 1 chia h¸t cho 11.31.61

79. 20
V½ dö 2.5. Chùng minh r¬ng: m'(n) + n'(m) 1(mod mn)
vîi m, n 1 v (m, n) = 1.
Líi gi£i. Do (m; n) = 1 n¶n theo ành l½ Ì-le ta câ
m'(n) 1(mod n)
n'(m) 1(mod m)
)
m'(n) + n'(m) 1(mod n)
n'(m) + m'(n) 1(mod m)
Suy ra m'(n) + n'(m) 1(mod mn).
2.1.3. Gi£i ph÷ìng tr¼nh çng d÷
V½ dö 2.6. T¼m ½t nh§t 4 nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh:
x3 + y7 1(mod 30).
Líi gi£i. Do 30 = 5 x 6 v (5, 6) = 1 n¶n theo h» qu£ (1.1) câ
5'(6) + 6'(5) 1(mod 30)
V¼ '(6) = '(2):'(3) = 2 v '(5) = 4; 62 6(mod 30) n¶n ta câ
52 + 64 (25 + 6) 1(mod 30)
Ta th§y 253 25(mod 30) ; 62 6(mod 30) n¶n theo h» qu£ (1.2) câ
253 + 67 25 + 6 1(mod 30)
T÷ìng tü câ 257 25(mod 30) ; 63 6(mod 30) n¶n
63 + 257 1(mod 30)
N¸u ph¥n t½ch 30 = 3 x 10 vîi (3, 10)=1 th¼ theo h» qu£ (1.1) câ
3'(10) + 10'(3) 1(mod 30)
T½nh to¡n t÷ìng tü tr¶n ta câ 34 + 103 1(mod 30)
V¼ 34 = 81 21(mod 30) ; 102 10(mod 30) n¶n theo h» qu£ (1.3) câ
34
3
+
102
7
1(mod 30) v
34
7
+
102
3
1(mod 30)
Suy ra ph÷ìng tr¼nh câ ½t nh§t 4 nghi»m (x; y) l :
(25, 6), (6, 25), (21, 10), (10, 21).

80. 21
V½ dö 2.7. Chùng minh r¬ng ph÷ìng tr¼nh çng d÷ sau câ nghi»m
(x; y; z; t) kh¡c (0, 0, 0, 0): x3 + y3 + z3 t3(mod 210).
Líi gi£i. Do 210 = 5 x 6 x 7 v (5, 6) = (5, 7) = (6, 7) = 1 n¶n ta °t
m1 = 5; t1 = 42;m2 = 6; t2 = 35;m3 = 7; t3 = 30:
Theo h» qu£ (1.3) ta câ
423 + 353 + 303 (42 + 35 + 30)3 1073(mod 210):
Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m (x; y; z; t) l (42, 35, 30, 107).
N¸u ph¥n t½ch 210 = 3 x 7 x 10 th¼ t÷ìng tü nh÷ th¸ ta th§y ph÷ìng
tr¼nh câ nghi»m (x, y, z, t) l (70, 30, 21, 121).
2.1.4. T¼m nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh
V½ dö 2.8. T¼m nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh:
12x - 19y + 21 = 0.
Líi gi£i. Ph÷ìng ph¡p n y düa tr¶n m»nh · sau:
M»nh ·. X²t ph÷ìng tr¼nh ax + by + c = 0, trong â a; b l c¡c sè
nguy¶n d÷ìng, (a; b) = 1; c l sè nguy¶n. Khi â ph÷ìng tr¼nh n y câ
mët nghi»m ri¶ng sau ¥y:
8 :
x0 = ca'(b)1
y0 = c:
a'(b) 1
b
Do a; c l c¡c sè nguy¶n, cán '(b) 1 l sè nguy¶n n¶n hiºn nhi¶n x0 l
sè nguy¶n. Theo ành l½ Ì-le th¼
a'(b) 1(mod b) )
a'(b) 1
...
b:
Tø â y0 l sè nguy¶n. M°t kh¡c
ax0 + by0 + c = aca + ca c + c = ca'(b) + ca'(b) = 0
Vªy (x0; y0) l nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh ax + by + c = 0, suy ra
i·u ph£i chùng minh.

81. 22
Trð l¤i ph÷ìng tr¼nh ¢ cho
12x 19y + 21 = 0
,12x + 19(y) + 21 = 0
,12x + 19z + 21 = 0; vîi z = y.
Do 19 l sè nguy¶n tè n¶n '(19) = 19 1 = 18. Do â
8
:
x0 = 21:1217
z = 21:
1218 1
19
l mët nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh 12x + 19z + 21 = 0.
Vªy måi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh n y câ d¤ng
8
:
x = 21:1217 + 19t
1218 1
z = 21:
19
12t
Nâi c¡ch kh¡c, ph÷ìng tr¼nh 12x 19y + 21 = 0 câ nghi»m l :
8
:
x = 21:1217 + 19t
1218 1
y = 21:
19
+ 12t
Nhªn x²t 2.1. C¡ch gi£i n y ho n to n mang t½nh ch§t l½ thuy¸t. Trong
thüc t¸, chóng ta s³ khæng sû döng c¡ch n y.
2.1.5. T¼m c§p cõa sè nguy¶n
V½ dö 2.9. T¼m c§p (mod 101) cõa 2.
Líi gi£i. °t n = 101 v a = 2. Gåi h l c§p cõa a (mod 101).
V¼ 2'(101) 1(mod 101) n¶n ta câ
'(101)
...
h (2.6)
Do 101 l sè nguy¶n tè n¶n d¹ th§y '(101) = 101 1 = 100. Nh÷ vªy
tø (2.6), ta câ
101
...
h

82. 23
N¸u h 100 th¼ do c¡c ÷îc nhä hìn 100 cõa 100 ch¿ câ thº l 2, 4, 10,
20, 25, 50 n¶n suy ra ho°c l 50
...
h ho°c l 20
...
h.
V¼ h l c§p cõa 2 (mod 101) n¶n ta câ
250 1(mod 101) ho°c 220 1(mod 101) (2.7)
M°t kh¡c, 250 =
210
5
= 10245. V¼ 1024 14(mod 101) n¶n ta i ¸n
10245 145(mod 101)
19:196:14 (mod 101)
(6)(6):14 (mod 101)
504 (mod 101)
1 (mod 101)
V¼ th¸ ta câ
250 1(mod 101) (2.8)
L¤i th§y
220 10242 142 196 6 (mod 101) (2.9)
Tø (2.7), (2.8) v (2.9) suy ra m¥u thu¨n. Vªy gi£ thi¸t ph£n chùng
h 100 l sai. V¼ th¸ tø 100
...
h suy ra h = 100.
Vªy 100 l c§p (mod 101) cõa 2.
2.1.6. T¼m sè tü nhi¶n thäa m¢n t½nh ch§t h m sè '(n)
V½ dö 2.10. T¼m t§t c£ c¡c sè tü nhi¶n n câ t½nh ch§t n chia h¸t cho
'(n), trong â ' l h m Ì-le.
Líi gi£i. Hiºn nhi¶n n¸u n = 1 th¼ '(n) jn. Ta x²t n 1. Gi£ sû n câ
ph¥n t½ch th nh thøa sè nguy¶n tè d÷îi d¤ng n = pk1
1 pk2
2 :::pki
i .
Ta câ '(n) = n
1
1
p1
1
1
p2
:::
1
1
pi
.
Tø i·u ki»n '(n) jn, ch¯ng h¤n n = x:'(n), suy ra
p1p2:::pi = x(p1 1)(p2 1):::(pi 1).

83. 24
Nh÷ vªy, ph£i câ pj n o â b¬ng 2 (n¸u ng÷ñc l¤i th¼ væ l½, v¼ v¸ tr¡i l
sè l´, v¸ ph£i l sè ch®n). Gi£ sû p1 = 2, ta câ
2p2:::pi = x(p2 1):::(pi 1).
Do p2; :::; pi kh¡c 2 n¶n tø ¯ng thùc tr¶n suy ra r¬ng n câ nhi·u nh§t
l mët ÷îc nguy¶n tè l´, ch¯ng h¤n p2.
°t p2 = 2y + 1. Ta câ: 2p2 = x(2y).
Do p2 nguy¶n tè n¶n suy ra x = p2; y = 1. Vªy p2 = 3 v n câ d¤ng
n = 2k3m; k 1; m 0:
D¹ thû l¤i r¬ng, c¡c sè n câ d¤ng nâi tr¶n thäa m¢n i·u ki»n: '(n) jn
V½ dö 2.11. Chùng minh r¬ng vîi måi sè tü nhi¶n n 2, ta câ
(n) + '(n) 2n.
Líi gi£i. Gi£ sû c¡c ÷îc cõa n l 1 = d1 d2 ::: dk = n.
Trong c¡c sè tü nhi¶n khæng v÷ñt qu¡ n, câ
n
di
sè l bëi cõa d. Méi sè
khæng v÷ñt qu¡ n v khæng nguy¶n tè còng nhau vîi n ph£i l bëi cõa
mët ÷îc n o â (lîn hìn 1) cõa n. V¼ th¸ ta câ
n '(n)
n
d2
+
n
d3
+ ::: +
n
dk
.
M°t kh¡c,
n
d2
+
n
d3
+ ::: +
n
dk
= dk1 + dk2 + ::: + d1 = (n) n:
Vªy n '(n) (n) n, tùc l (n) + '(n) 2n.
Khi n nguy¶n tè, ta câ ¯ng thùc: (n) + '(n) = 2n.
2.2. Ùng döng cõa h m têng c¡c ÷îc sè d÷ìng cõa
sè tü nhi¶n n
2.2.1. Chùng minh mët sè l hñp sè
V½ dö 2.12. Chùng minh r¬ng n l hñp sè khi v ch¿ khi:
(n) n +
p
n:

84. 25
Líi gi£i. Gi£ sû n l hñp sè. Khi â ngo i ÷îc cõa 1 v n ra, n cán ½t
nh§t mët ÷îc d(1 d n). Lóc n y
n
d
công l mët ÷îc cõa n (rã r ng
1
n
d
n). Câ hai kh£ n«ng x£y ra:
1) N¸u
n
d
6= d: Khi â câ ½t nh§t 4 ÷îc l 1; n; d;
n
d
. V¼ th¸
(n) 1 + n + d +
n
d
(2.10)
Ta câ
d +
n
d
2
p
n
p
n: (2.11)
Tø (2.10) v (2.11) suy ra trong tr÷íng hñp n y ta câ (n) n +
p
n.
2) N¸u
n
d
= d (tùc l d =
p
n). Lóc n y n câ ½t nh§t 3 ÷îc l 1;
p
n; n.
V¼ th¸ (n) 1 + n +
p
n n +
p
n:
Tâm l¤i khi n l hñp sè ta luæn câ (n) n +
p
n.
£o l¤i, gi£ sû
(n) n +
p
n: (2.12)
Rã r ng n6= 1. V¼ (1) = 1, suy ra
(1) 1 +
p
1: (2.13)
Tø (2.12) v (2.13) suy ra n¸u n thäa m¢n (2.11) th¼ n khæng thº b¬ng
1.
Rã r ng n khæng thº l sè nguy¶n tè. Thªt vªy, n¸u p l sè nguy¶n tè
p
th¼ (p) = p + 1 p +
p (chó þ p 2)
V¼ th¸, n¸u n thäa m¢n (2.12) th¼ n công khæng thº l sè nguy¶n tè. V¼
l½ do â suy ra n¸u n thäa m¢n (2.12) th¼ n l hñp sè.
Tâm l¤i n l hñp sè khi v ch¿ khi (n) n +
p
n. â l i·u ph£i
chùng minh.
2.2.2. Chùng minh mët sè l sè ho n h£o
V½ dö 2.13. Sè nguy¶n d÷ìng n gåi l sè ho n h£o n¸u (n) = 2n.
Chùng minh r¬ng sè nguy¶n d÷ìng ch®n n l sè ho n h£o khi v ch¿

85. 26
khi n câ biºu di¹n: n = 2m1(2m 1), trong â m l sè nguy¶n sao cho
m 2 v 2m 1 l sè nguy¶n tè.
Líi gi£i.
1) Gi£ sû n l sè nguy¶n d÷ìng ch®n v câ d¤ng n = 2m1(2m1) trong
â m l sè nguy¶n, m m 2 v 2m 1 l sè nguy¶n tè.
Rã r ng (2m1; 2m 1) = 1, m (n) l h m nh¥n t½nh n¶n ta câ
(n) = (2m1):(2m 1) (2.14)
Do 2m 1 l sè nguy¶n tè n¶n düa v o cæng thùc (p) = p + 1 khi p l
sè nguy¶n tè, ta câ
(2m 1) = (2m 1) + 1 = 2m.
M°t kh¡c 2m1 câ c¡c ÷îc d÷ìng l 1; 2; 22; :::; 2m1 v câ têng c¡c ÷îc
l
1 + 2 + 22 + 2m1 =
2m 1
2 1
= 2m 1.
Tø â theo (2.14) suy ra
(n) = (2m 1):2m = 2:2m1(2m 1) ) (n) = 2n.
Vªy n l sè ho n h£o.
2) £o l¤i, gi£ sû n l sè ho n h£o ch®n. Biºu di¹n n d÷îi d¤ng sau:
n = 2s:t, trong â s v t l c¡c sè nguy¶n d÷ìng v t l sè l´.
Do (n) l h m nh¥n t½nh v v¼ (2s; t) = 1 n¶n
(n) = (2s):(t) = (2s+1 1):(t) (2.15)
(Chó þ, lªp luªn nh÷ tr¶n, suy ra (2s) = 2s+1 1).
Do n l sè ho n h£o n¶n theo ành ngh¾a th¼
(n) = 2n = 2s+1:t (2.16)
Tø (2.15) v (2.16) ta câ
2s+1:t = (2s+1 1):(t) (2.17)

86. 27
Tø (2.17) suy ra
2s+1 1
(t)
...
2s+1 (2.18)
V¼ (2s+1; 2s+1) = 1 n¶n tø (2.18) ta câ
2s+1...
(t) (2.19)
Tø (2.19) ta câ biºu di¹n sau
(t) = 2s+1:q (2.20)
Thay (2.20) v o (2.17) ta thu ֖c
(2s+1 1)2s+1q = 2s+1:t )
2s+1 1
q = t (2.21)
Tø (2.21) suy ra t
...
q. Rã r ng t6= q (v¼ n¸u t = q ) 2s+1 1 = 1 )
2s+1 = 2 ) s = 0 ) n = t ) n l´, do t l´. â l i·u væ l½ v¼ n l sè
nguy¶n d÷ìng ch®n). Ta l¤i th§y t + q = (2s+1 1)q + q = 2s+1q = (t)
(theo (2.20)). Ta chùng minh r¬ng q = 1.
Thªt vªy, n¸u ng÷ñc l¤i q 1 th¼ t câ ½t nh§t 3 ÷îc kh¡c nhau l :
1; t; q (chó þ t
...
q; t6= q). Theo ành ngh¾a th¼ (t) 1 + t + q. Nh÷ vªy
ta thu ÷ñc h» phi l½ sau
(t) = t + q
(t) t + q + 1
V¼ th¸ q = 1. Do vªy (t) = 2s+1 ) t = (t) 1 = 2s+1 1. Tø â
n = 2s(2s+1 1):
Chó þ r¬ng công tø q = 1, ta câ (t) = t + 1 ) t l sè nguy¶n tè.
) 2s+1 1 l sè nguy¶n tè.
°t m = s + 1, th¼ m 2 v n = 2m1(2m 1), trong â 2m 1 l sè
nguy¶n tè. B i to¡n ¢ ÷ñc gi£i ho n to n.
Nhªn x²t 2.2. 1) Tø b i tªp tr¶n suy ra º t¼m c¡c sè ho n h£o, ta ch¿
c¦n t¼m sè c¡c sè nguy¶n tè câ d¤ng 2m 1 (v¼ khi â sè 2m1(2m 1)
l sè ho n h£o).
2) Gi£ sû m l sè nguy¶n d÷ìng, khi â sè Mm = 2m 1 ÷ñc gåi l sè
Mersenne thù m. N¸u p l sè nguy¶n tè v Mp công l sè nguy¶n tè th¼
Mp ÷ñc gåi l sè nguy¶n tè Mersenne.

87. 28
V½ dö: M2, M3, M5, M7 l c¡c sè nguy¶n tè Mersenne, cán M11 l
hñp sè.
V½ dö 2.14. Cho n l sè ho n h£o v l sè l´. Chùng minh r¬ng n câ ½t
nh§t 3 ÷îc nguy¶n tè kh¡c nhau.
Líi gi£i. Gi£ sû n l sè ho n h£o, v gåi (n) l têng t§t c£ c¡c ÷îc sè
cõa n. Khi â: (n) = 2n.
B¥y gií gi£ sû n l sè ho n h£o v l sè l´ nh÷ng k¸t luªn cõa b i to¡n
khæng óng. Khi â ch¿ câ hai kh£ n«ng sau x£y ra:
1) N¸u n ch¿ câ mët ÷îc sè nguy¶n tè, tùc l sè n câ d¤ng n = pk vîi p
l sè nguy¶n tè l´ (chó þ do n l sè l´). Ta câ
2 =
(n)
n
=
1 + p + p2 + ::: + pk
pk = 1 +
1
p
+
1
p2 + ::: +
1
pk
=
1
1
pk+1
1
1
p
1
1
1
p
=
p
p 1
2
(
p
p 1
2 , p 2p 2 , p 2. Do p l sè nguy¶n tè l´ n¶n p 2 l
óng).
Tø 2 2 suy ra i·u væ l½. Vªy ð tr÷íng hñp n y gi£ thi¸t ph£n chùng
l sai.
2) N¸u n câ 2 ÷îc sè nguy¶n tè l´ kh¡c nhau p v q sao cho n = paqb (câ
thº cho l p q). Lóc n y ta câ
2 =
(n)
n
=
(paqb)
paqb =
(pa)
pa :
(qb)
qb
=
1 + p + p2 + ::: + pa
pa :
1 + q + q2 + ::: + qb
qb
Lªp luªn nh÷ tr¶n suy ra
2
1
1
1
p
:
1
1
1
q
(2.22)
V¼ p v q l hai sè nguy¶n tè l´ v p q n¶n p 3; q 5. V¼ vªy

88. 29
1
1
1
p
:
1
1
1
q
1
1
1
3
:
1
1
1
5
=
15
8
2.
Thay v o (2.22) ta câ 2 2. i·u væ l½ n y chùng tä gi£ thi¸t ph£n
chùng trong tr÷íng hñp n y công sai.
Tâm l¤i gi£ thi¸t cho l k¸t luªn cõa b i to¡n khæng óng l gi£ thi¸t
sai. â ch½nh l i·u ph£i chùng minh.
2.2.3. Chùng minh b§t ¯ng thùc li¶n quan tîi (n)
V½ dö 2.15. Chùng minh r¬ng b§t ¯ng thùc: (n) 3n óng vîi mët
tªp hñp væ h¤n c¡c sè tü nhi¶n n.
Líi gi£i. Rã r ng n¸u d l ÷îc cõa n th¼
n
d
công l mët ÷îc sè cõa n. V¼
vªy: (n) = d1 + d2 + ::: + dk = n
1
d1
+
1
d2
+ ::: +
1
dk
ð ¥y d1; d2; :::; dk l t§t c£ c¡c ÷îc tü nhi¶n cõa n.
L§y n l sè tòy þ sao cho nâ l bëi sè cõa sè 16! = 1.2.3...15.16. D¾
nhi¶n sè nhúng sè n nh÷ vªy l væ h¤n (â l c¡c sè câ d¤ng k:16! vîi
k = 1; 2; :::;).
Nâi ri¶ng trong c¡c ÷îc cõa n câ 1, 2, 3, ..., 16. V¼ th¸ lóc n y
(n) = n
1
d1
+
1
d2
+ ::: +
1
dk
n
1 +
1
2
+
1
3
+ ::: +
1
16
(2.23)
º þ r¬ng
1 +
1
2
+
1
3
+ ::: +
1
16
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+ ::: +
1
8
+
1
9
+
1
10
+ ::: +
1
16
M°t kh¡c, hiºn nhi¶n ta câ
1
3
+
1
4
2:
1
4
=
1
2
;
1
5
+
1
6
+ ::: +
1
8
4:
1
8
=
1
2
;
::::::::::::::::::::::::::
1
1
1
+
+ ::: +
9
10
16
8:
1
16
=
1
2
:

89. 30
Do vªy
1 +
1
2
+
1
3
+ ::: +
1
16
3 (2.24)
B¥y gií tø (2.23) v (2.24) ta i ¸n (n) 3n. Nh÷ vªy ta ¢ chùng
minh ÷ñc r¬ng tçn t¤i væ h¤n sè tü nhi¶n n, sao cho ta câ b§t ¯ng
thùc (n) 3n. â l i·u ph£i chùng minh.
V½ dö 2.16. Cho sè tü nhi¶n n 1. Chùng minh r¬ng ta luæn câ b§t
p
¯ng thùc sau: (n) n
n.
Líi gi£i. X²t hai tr÷íng hñp sau:
1) N¸u n = 2. Do n 2 n¶n l sè nguy¶n lîn hìn ho°c b¬ng 2. Rã
r ng lóc n y
(n) = (2) = 20 + 21 + 22 + ::: + 2 =
2+1 1
2 1
= 2+1 1 (2.25)
V¼ 2 n¶n ta câ (n) = 2+1 1 2+1 2+
2 = 2:2
p
n
2 = n
Vªy b§t ¯ng thùc ¢ cho khi n 2 v n câ d¤ng n = 2 l óng.
2) N¸u n khæng câ d¤ng 2 (tùc n khæng ph£i l lôy thøa cõa 2). ta s³
chùng minh b¬ng quy n¤p trong tr÷íng hñp n y.
Do n 2 n¶n sè nhä nh§t khæng câ d¤ng 2 l sè 3.
Lóc n y (3) = 1 + 3 = 4 3
p
3. Vªy b§t ¯ng thùc óng khi n = 3:
Gi£ thi¸t quy n¤p (k) k
p
k ¢ óng vîi måi k, 3 k n v k khæng
câ d¤ng 2. Ta s³ chùng minh:
p
n (2.26)
(n) n
V¼ n khæng chia h¸t cho 2 n¶n n câ d¤ng n = mp trong â m nguy¶n
d÷ìng, p l sè nguy¶n tè l´. D¹ th§y
p
p (2.27)
1 + p p
Thªt v¥y, khi p = 3 th¼ 1 + 3 3
p
3, cán khi p 5, ta câ
1 + p
p
= 1 +
1
p
1 +
1
5
2.

90. 31
M°t kh¡c
p
p
p
5 2 )
1 + p
p
p
p hay 1 + p p
p
p.
Vªy (2.27) óng.
Ch¿ câ c¡c kh£ n«ng sau x£y ra:
a) N¸u m = 1 =) n = p, khi â p nguy¶n tè n¶n (n) = (p) = 1 + p.
Tø (2.26) suy ra trong tr÷íng hñp n y ta câ: (n) = 1+p p
p
n.
p
p = n
Vªy (2.26) óng trong tr÷íng hñp n y.
b) N¸u m = 2 =) n = 2p. Do p nguy¶n tè n¶n lóc n y
(n) = (2p) = 1 + 2 + p + 2p = 3(1 + p).
V¼ p l nguy¶n tè l´ n¶n p 3. Ta câ
3 +
3
p
3 +
3
3
)3 +
3
p
4:
p
2:
L¤i câ: 2
p
6 4. V¼ th¸
p
p 2
3 +
3
p
2
p
2:
p
p
)3(1 + p) 2
p
2:p
p
p = 2p
p
2p = n
p
n
p
n:
)(n) n
Vªy (2.26) óng trong tr÷íng hñp n y.
c) N¸u m 3. V¼ m khæng câ d¤ng 2, n¶n m 3 v m n, n¶n theo
gi£ thi¸t quy n¤p ta câ: (m) m
p
m. Ta th§y r¬ng c¡c ÷îc sè cõa
n = mp ch¿ câ d¤ng d ho°c dp vîi d l ÷îc sè cõa m. V¼ th¸
(n) = (m) + p(m)
= (p + 1)(m):
p
m
Tø â i ¸n (n) (p + 1)m
p
p:m
L¤i ¡p döng (2.27), ta câ (n) p
p
m = mp
p
n.
p
mp = n
Vªy (2.26) công óng trong tr÷íng hñp n y.
Tâm l¤i khi n khæng câ d¤ng 2, ta công luæn câ (n) n
p
n. V¼ l³ §y
p
n ÷ñc chùng minh ho n to n.
b§t ¯ng thùc (n) n

91. 32
2.3. Ùng döng cõa h m S(n)
2.3.1. T¼m n bði S(n) thäa m¢n mët h» thùc cho tr÷îc
V½ dö 2.17. T¼m sè tü nhi¶n n sao cho S(n) = n2 2003n + 5:
Líi gi£i. Ta câ
0 S(n) n (2.28)
Gi£ sû n l sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n y¶u c¦u · b i, tùc l
S(n) = n2 2003n + 5:
Tø (2.28) i ¸n h» b§t ph÷ìng tr¼nh sau (©n n)
n2 2003n + 5 0
n2 2003n + 5 n
,
n2 2003n + 5 0 (a)
n2 2004n + 5 0 (b)
Tø (a) suy ra, nâi ri¶ng (n 1)(n 2002) 0 v t÷ìng tü tø (b) ta câ
n(n 2004) 0. V¼ l³ â ta i ¸n
2002 n 2004 (2.29)
Tø (2.29) v tø t½nh nguy¶n cõa n ta thu ÷ñc n = 2003.
£o l¤i, n¸u n = 2003 th¼ S(2003) = 2 + 3 = 5.
M°t kh¡c, rã r ng 20032 - 2003.2003 + 5 = 5.
Nâi c¡ch kh¡c S(n) = n2 2003n + 5 , n = 2003.
i·u â câ ngh¾a l n = 2003 l gi¡ trà duy nh§t cõa n thäa m¢n y¶u
c¦u b i to¡n.
V½ dö 2.18. T¼m sè tü nhi¶n n sao cho: n + S(n) = 2003:
Líi gi£i. Ta câ
n + S(n) = 2003 , n = 2003 S(n) (2.30)
V¼ S(n) 0 v S(n) nguy¶n, n¶n S(n) 1. Do â tø (2.30) ta câ
n 2002 (2.31)

92. 33
Chó þ r¬ng trong c¡c sè khæng v÷ñt qu¡ sè 2002, th¼ sè 1999 câ têng c¡c
chú sè lîn nh§t. nh÷ vªy ta câ b§t ¯ng thùc sau
S(n) S(1999) = 28 (2.32)
óng vîi måi sè tü nhi¶n n 2002.
Thay (2.32) v o (2.30) ta câ: n 1975, k¸t hñp vîi (2.31) ta i ¸n
1975 n 2002: (2.33)
Do S(2002) = 4; S(2001) = 3; S(2000) = 2, n¶n n = 2002; 2001; 2000 d¾
nhi¶n khæng thäa m¢n h» thùc (2.30), v¼ th¸ k¸t hñp vîi (2.33), ta câ:
1975 n 1999 (2.34)
V¼ l³ §y, ta câ thº biºu di¹n n d÷îi d¤ng
n = 19ab (a; b 2 N) , 0 a 9, 0 b 9.
Khi â h» thùc n+S(n) = 2003 câ d¤ng: 1900+10a+b+10+a+b = 2003
hay
11a + 2b = 93: (2.35)
Tø (2.35) ta câ b =
93 11a
2
= 46 5a +
1 a
2
Do b nguy¶n n¶n
1 a
2
= t hay a = 1 2t v b = 11t + 41, trong â t
nguy¶n. V¼ a; b l c¡c sè nguy¶n khæng ¥m, nh÷ng khæng v÷ñt qu¡ 9 n¶n
suy ra h» thùc sau º x¡c ành t
8
:
9 1 2t 0
9 11t + 41 0
t 2 Z
,
8
:
4 t
1
2
41
11
t
32
11
t 2 Z
, t = 3
Khi t = 3 th¼ a = 7; b = 8.
Nh÷ vªy n¸u n thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n th¼ n = 1978.
£o l¤i, n¸u n = 1978 th¼ S(n) = 1 + 9 + 7 + 8 = 25.
Rã r ng n + S(n) = 1978 + 25 = 2003.
Tâm l¤i n = 1978 l gi¡ trà duy nh§t cõa n thäa m¢n y¶u c¦u · ra.

93. 34
V½ dö 2.19. T¼m t§t c£ c¡c sè tü nhi¶n n thäa m¢n:
n + S(n) + S(S(n)) = 2001.
Líi gi£i. Ta câ
n 2001 =) S(n) S(1999) = 28 =) S(S(n)) S(28) = 10:
Suy ra n 2001 28 10 = 1963.
Tø â S(n) S(1970) = 17 v S(S(n)) 2
n¶n n 2001 17 2 = 1982:
M°t kh¡c 3n n + S(n) + S(S(n)) 2001 3(mod 9)
n¶n n 1(mod 3). Tø â n 2 f1963; 1966; 1969; 1972; 1975; 1978; 1981g.
B¬ng c¡ch thû trüc ti¸p ta th§y ch¿ câ c¡c sè 1969, 1972, 1975 thäa m¢n.
Nh÷ vªy, ¡p sè cõa b i to¡n l n 2 f1969; 1972; 1975g.
V½ dö 2.20. T¼m sè n nhä nh§t sao cho trong n sè tü nhi¶n li¶n ti¸p
tòy þ luæn chån ÷ñc mët sè N m S(N) chia h¸t cho 13.
Líi gi£i. Ta chùng minh sè c¦n t¼m l 79.
Tr÷îc h¸t ta chùng minh trong 79 sè li¶n ti¸p th¼ luæn chån ÷ñc mët
sè N m S(N) chia h¸t cho 13. X²t 2 tr÷íng hñp:
1) N¸u trong 79 sè câ sè M chia h¸t cho 100. Khi â n¸u trong 79 sè
â câ ½t nh§t 39 sè lîn hìn M th¼ trong 13 sè li¶n ti¸p trong c¡c sè sau:
S(M); S(M + 1); :::; S(M + 9); S(M + 19); S(M + 29); S(M + 39) ph£i
câ mët sè chia h¸t cho 13, cán n¸u câ ½t nh§t 40 sè nhä hìn M th¼ trong
13 sè li¶n ti¸p
S(M 40); S(M 39); :::; S(M 31); S(M 21); S(M 11); S(M 1)
công ph£i câ mët sè chia h¸t cho 13.
2) N¸u trong 79 sè khæng câ sè n o chia h¸t cho 100 th¼ gåi M l sè
chia h¸t cho 10 nhä nh§t trong 79 sè. Khi â trong 13 sè li¶n ti¸p
S(M); S(M + 1); :::; S(M + 9); S(M + 19); S(M + 29); S(M + 39)
ph£i câ mët sè chia h¸t cho 13.
Cuèi còng câ thº kiºm tra 78 sè li¶n ti¸p b­t ¦u tø 9 999 999 961 khæng
câ sè N n o º S(N) chia h¸t cho 13.

94. 35
2.3.2. T½nh gi¡ trà S(n)
V½ dö 2.21. (IMO-1975). °t A = S(44444444), v B = S(A). T¼m
S(B).
Líi gi£i. °t N = 44444444. Do N 100004444 n¶n N câ khæng qu¡
4444.4 20000 sè. Tø â: A 9:20000 = 180000
) B S(99999) = 45 ) S(B) 39 = 12 (2.36)
M°t kh¡c 4444 (2)(mod 9) n¶n
N 24444 = 81431:2 (2)(mod 9) v do â S(B) chia 9 d÷ 7: (2.37)
Tø (2.36) v (2.37) suy ra S(B) = 7.
V½ dö 2.22. °t a = S
(29)1999
; b = S(a) ; c = S(b): T¼m c.
Líi gi£i. °t n = (29)1999 th¼ n = (23)3:1999 = 85997 105997. Vªy n l
mët sè câ khæng qu¡ 5997 sè. Do |99{:z::9}
5997 sè 9
l sè lîn nh§t câ 5997 chú sè.
Tø â suy ra a = S(n) S( 9|9{:z::9}
5997 sè 9
) = 9:5997 = 53973
Nh÷ th¸ ta câ
a 53973 (2.38)
Trong c¡c sè khæng v÷ñt qu¡ 53973, chú sè 49999 l sè câ têng c¡c chú
sè lîn nh§t. V¼ th¸ tø (2.38) suy ra
b = S(a) S(49999) = 40
Do vªy
b 40 (2.39)
Trong c¡c sè khæng v÷ñt qu¡ 40 th¼ sè 39 l¤i l sè câ têng c¡c chú sè lîn
nh§t. V¼ l³ §y, tø (2.39) ta thu ÷ñc: c = S(b) S(39) = 12:
Nh÷ vªy
c 12 (2.40)

95. 36
Theo c¡ch x¡c ành tr¶n th¼ n = (23)5997. Do 23 (1)(mod 9) n¶n
n (1)5997(mod 9) hay n (1)(mod 9), công tùc l
n 8(mod 9) (2.41)
Ta câ vîi måi m tü nhi¶n th¼ m S(m)(mod 9).
V¼ l³ §y, tø (2.41) suy ra: c b a S(n) n 8(mod 9)
Tâm l¤i ta câ 0 c 12 v c 8(mod 9) n¶n c = 8.
V½ dö 2.23. (· thi QG 2004). T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa S(n) khi n
ch¤y tr¶n c¡c bëi cõa 2003.
Nhªn x²t 2.3. 1) Cho p l sè nguy¶n tè l´ v câ d¤ng p = 4k 1, ta
câ:
2
p1
2 (1)k(mod p): (2.42)
2) 2 l sè ch½nh ph÷ìng (mod p), vîi p nguy¶n tè l´ th¼ i·u ki»n c¦n v
õ l
p = 8t 1: (2.43)
Líi gi£i.
°t p = 2003, th¼ p l sè nguy¶n tè. Rã r ng n khæng thº câ d¤ng
100...0. Thªt vªy, khi â n = 10k v 10k khæng chia h¸t cho 2003 vîi måi
k. V¼ l³ â khi n ch¤y tr¶n c¡c bëi cõa 2003 th¼ S(n) 1.
Gi£ sû tçn t¤i n l bëi cõa p m S(n) = 2. V¼ S(n) = 2, n¶n ch¿ câ
thº x£y ra hai tr÷íng hñp sau:
1) Ho°c l n = 200:::0. Tr÷íng hñp n y khæng thº câ v¼ 200:::0 = 2:10k
khæng chia h¸t cho 2003.
2) Ho°c l n = 1aq1aq2:::a1a0, trong â c¡c h» sè a0; a1; :::; aq1 câ óng
mët sè b¬ng 1, cán l¤i ·u b¬ng 0, tùc l n câ d¤ng n = 10q + 10j vîi
0 j q.
Theo gi£ thi¸t ta câ n
...
2003, tùc l
10q 10j(mod p) ) 10qj 1(mod p).
°t k = q j, th¼ 10k 1(mod p)
D¹ th§y 210 = 1024 107(mod p) suy ra

96. 37
25k
2
= 210k 107k 1(mod p)
Vªy -1 l sè ch½nh ph÷ìng (mod p). Theo (2.42), th¼ p ph£i câ d¤ng
4k + 1, suy ra 2003 = 4k + 1 ) k =
1001
2
=2 Z
Ta thu ÷ñc i·u væ l½ (do k =2 Z).
Vªy S(n) khæng thº b¬ng 2, suy ra S(n) 2.
B¥y gií ta s³ ch¿ ra r¬ng tçn t¤i n l bëi cõa 3 m S(n) = 3. Ta câ
107 210(mod p) ) 2:10700 21001 = 2
p1
2 1(mod p)
(do p = 20036= 8t 1) (¡p döng (2.43): 2 l sè ch½nh ph÷ìng (mod p)
, p ph£i câ d¤ng 8t1). V¼ 20036= 8t1, n¶n 2 khæng ph£i l sè ch½nh
ph÷ìng (mod p). Theo nhªn x²t tr¶n, suy ra: 2
p1
2 1(mod p). Tø â
suy ra
2:10700 + 1
...
p.
°t n = 2:10700 + 1, th¼ n l bëi cõa 2003 v S(n) = 3.
Tâm l¤i, min
n2D
S(n) = 3, ð ¥y
D =
n : n nguy¶n d÷ìng v l bëi cõa 2003
.
Nhªn x²t 2.4. Ta ¢ ¡p döng c¡c k¸t qu£ v· sè ch½nh ph÷ìng (mod p)
º gi£i b i to¡n tr¶n.
2.3.3. Chùng minh mët sè biºu thùc li¶n quan tîi S(n)
V½ dö 2.24. Cho n l sè tü nhi¶n b§t ký. Chùng minh r¬ng:
S(8n)
S(n)
1
8
.
Líi gi£i. Tr÷îc h¸t ta câ nhªn x²t sau: N¸u n l sè nguy¶n d÷ìng th¼ vîi
måi sè nguy¶n d÷ìng p, ta câ h» thùc:
S(n) = S(10pn) (2.44)
Thªt vªy, gi£ sû n = 12:::k th¼ 10pn = 12:::k |00{:z::0}
p sè 0
.
V¼ th¸ S(n) = S(10pn) (v¼ còng b¬ng 1 + 2 + ::: + k), tùc l (2.44)

97. 38
óng.
Tø (2.44) nâi ri¶ng ta câ
S(n) = S(1000n) = S(125:8n): (2.45)
p döng t½nh ch§t cõa h m S(n) th¼
S(125:8n) S(125):S(8n) = 8:S(8n) (2.46)
Tø (2.45) v (2.46) ta i ¸n S(n) 8S(8n) )
S(8n)
S(n)
1
8
.
V½ dö 2.25. Cho
sè nguy¶
n d÷ìng n. Gåi A l tªp hñp t§t c£ c¡c sè
nguy¶n a trong
10n; 10n+1
m S(a) ch®n v B l tªp hñp t§t c£ sè
nguy¶n b trong
10n; 10n+1
m S(b) l´. Chùng minh r¬ng:
X
a2A
am =
X
b2B
bn vîi måi sè tü nhi¶nm n: (2.47)
Líi gi£i.
K½ hi»u A(n);B(n) l c¡c tªp A;B ð · b i vîi n 0 v A(0) =
Cn f0g, B(0) = Ln f1g vîi C = f0; 2; 4; 6; 8g v L = f1; 3; 5; 7; 9g.
Ta chùng minh (2.47) quy n¤p vîi n 0.
Vîi n = 0 th¼ m = 0 v (2.47) hiºn nhi¶n óng. Gi£ sû (2.47) ¢ óng
tîi vîi n, ta chùng minh nâ công óng vîi n + 1.
Ta câ
P
a2A(n+1)
am =
P
a2A(n)
P
x2C
(10a + x)m+
P
b2B(n)
P
y2L
(10b + y)m
Tø â, n¸u m = 0 th¼ ta câ ngay i·u ph£i chùng minh.
N¸u 0 m n + 1 th¼
P
a2A(n)
P
x2C
(10a + x)m =
P
a2A(n)
10mam +
mP1
i=0
Cim
:10i:Si:
P
x2C
xm1
vîi
Si =
X
a2A(n)
ai =
X
b2B(n)
bi 8i n:
X
a2A(n+1)
am =
X
a2A(n)
10mam +
X
b2B(n)
10mbm +
mX1
i=0
Cim
:10i:Si:
X
z2C[L
zm1
!

98. 39
Do t½nh èi xùng n¶n suy ra
P
a2A(n+1)
am =
P
b2B(n+1)
bm.
Theo nguy¶n l½ quy n¤p ta câ i·u ph£i chùng minh.
Nhªn x²t 2.5. Câ thº ph¡t biºu l¤i k¸t qu£ B i to¡n 2.25 nh÷ sau:
Cho sè nguy¶n d÷ìng n. Gåi A l tªp hñp t§t c£ c¡c sè nguy¶n a trong
kho£ng (1, 10n) m S(a) ch®n v B l tªp hñp t§t c£ c¡c sè nguy¶n b
trong kho£ng (1, 10n) m S(b) l´. Chùng minh r¬ng:
P
a2A
am =
P
b2B
bn vîi måi sè tü nhi¶n m n.
2.3.4. X²t t½nh bà ch°n cõa h m sè chùa S(n)
V½ dö 2.26. X²t t½nh bà ch°n cõa h m sè f(n) =
S(a)
S(a:n)
vîi a 2 Z+
cho tr֔c.
Líi gi£i. °t a = 2:5

99. :b ; (b; 10) = 1
N¸u b = 1 th¼ f(n) =
S(n)
S(a:n)
=
S(10:10

100. :n)
S(2:5

101. :n)
S(5:2

102. ) = const
N¸u b 1 th¼ gåi p l mët ÷îc nguy¶n tè cõa b. Ta câ
f(n) =
S(n)
S(a:n)
S(n)
S(pn):S(a=p
S(n)
S(pn):a=p
.
Ta chån d¢y xn =
10n(p1)
p
vîi 0 c p v (c + 10)
...
p. Khi â
vîi n õ lîn th¼ S(xn:p) = 1 + S(c) = const v º chùng tä h m
f(n) khæng bà ch°n ta ch¿ c¦n câ S(xn) ! +1 khi n ! +1. Do
xn ! +1 khi n ! +1 n¶n ta ch¿ c¦n chùng minh trong biºu di¹n
thªp ph¥n cõa xn khæng câ chú sè 0 n o.
Thªt vªy, n¸u ng÷ñc l¤i, d¹ th§y r¬ng pxn câ ½t nh§t 3 chú sè kh¡c 0.
Vªy h m f(n) bà ch°n khi v ch¿ khi a khæng câ ÷îc nguy¶n tè n o
ngo i 2 v 5.

103. 40
V½ dö 2.27. Cho a l sè ch®n nh÷ng khæng chia h¸t cho 5. Chùng minh
r¬ng: lim
n!+1
S(an) = +1.
Líi gi£i. L§y n 8, °t an = akak1:::a1
Ta chùng minh n¸u 1 i
n
4
th¼ trong c¡c chú sè ai+1; :::; a4i ph£i
câ ½t nh§t mët sè kh¡c 0.
Thªt vªy, v¼ n¸u khæng th¼ °t c = aiai1:::a1 v ta câ
(an c)
...
104i ) c
...
24i (v¼ a ch®n)
nh÷ng 0 c 10i 24i n¶n m¥u thu¨n.
Tø â l§y n 4m th¼
S(an) (a2 + a3 + a4) + ::: + (a4m+1 + a4m+2 + ::: + a4m+m) m:
Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh.
2.4. Ùng döng cõa h m sè c¡c ÷îc (n)
2.4.1. T¼m n thäa m¢n mët i·u ki»n cho tr÷îc cõa (n)
V½ dö 2.28. T¼m n nhä nh§t º (n) = 1. (Gi£i b i to¡n khi thay 1 bði
mët trong c¡c sè sau: 2, 3, 6, 14 v 100).
Líi gi£i. Ta bi¸t r¬ng trong c¡c ÷îc d÷ìng cõa n luæn câ m°t 1 v n.
1) X²t khi (n) = 1. V¼ n ch¿ câ mët ÷îc d÷ìng n¶n tø nhªn x²t tr¶n suy
ra n = 1. (n) = 1 () n = 1. D¾ nhi¶n sè n nhä nh§t công l n = 1.
2) X²t khi (n) = 2. n ch¿ câ hai ÷îc khi v ch¿ khi n l sè nguy¶n tè.
Vªy khi (n) = 2 th¼ n nhä nh§t l 2 (v¼ 2 l sè nguy¶n tè b² nh§t).
3) X²t khi (n) = 3. Ta câ n¸u trong khai triºn ra thøa sè nguy¶n
tè n = p1
1 p2
2 :::pk
k , ð ¥y i nguy¶n v lîn hìn 0 (i = 1, 2,...,k) th¼
(n) = (1 + 1) (2 + 1) ::: (k + 1). V¼ th¸ (n) = 3 n¶n suy ra n = p2,
vîi p l sè nguy¶n tè. Do â khi (n) = 3 th¼ n nhä nh§t l 22 = 4.
4) X²t khi (n) = 6. Ta câ 6 = 2.3, v¼ th¸ n¶n khi (n) = 6 th¼ n câ
d¤ng n = p1p2
2, trong â p1, p2 l c¡c sè nguy¶n tè. Vªy khi (n) = 6
th¼ n nhä nh§t l 22:3 = 12.
5) X²t khi (n) = 14. Ta câ 14 = 2.7, v¼ th¸ khi (n) = 14 th¼ n câ d¤ng

104. 41
n = p1p62
, trong â p1, p2 l c¡c sè nguy¶n tè. Vªy khi (n) = 14 th¼ n
nhä nh§t l n = 26:3 = 64:3 = 192.
6) X²t khi (n) = 100. Ta câ 100 = 2.50 = 4.25 = 2.2.25 = 2.2.5.5 =
10.10. V¼ vªy n = p1p49
2 = p31
p24
2 = p1p2p24
3 = p1p2p43
p44
= p91
p92
, trong â
p1, p2, p3, p4 l c¡c sè nguy¶n tè.
Sè nhä nh§t trong c¡c sè p1p49
2 l 249:3
Sè nhä nh§t trong c¡c sè p31
p24
2 l 224:33
Sè nhä nh§t trong c¡c sè p1p2p33
p44
l 24:34:5:7
Sè nhä nh§t trong c¡c sè p91
p92
l 29:39
D¹ th§y minf3:249 ; 33:224 ; 24:34:5:7 ; 29:39g =24:34:5:7 = 35:6 = 45360
Vªy khi (n) = 100 th¼ n nhä nh§t l 45360.
V½ dö 2.29. T¼m t§t c£ c¡c sè nguy¶n d÷ìng n sao cho ( (n))3 = 4n.
Líi gi£i. Gi£ sû n l sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n i·u ki»n:
( (n))3 = 4n (2.48)
Gi£ sû trong khai triºn ra thøa sè nguy¶n tè cõa n, ta câ
n = p1
1 p2
2 :::ps
s ::: ð ¥y p1 p2 ::: ps ::: l t§t c£ c¡c sè nguy¶n
tè, cán i, i = 1, 2,... l c¡c sè nguy¶n khæng ¥m. Khi â ta câ
(n) = (1 + 1)(1 + 2):::(1 + s)::: (2.49)
Ta câ 4n = p1
1 p2
2 :::ps
s ::: Do p1 = 2 n¶n
4n = p2+1
1 p2
2 :::ps
s ::: (2.50)
Tø (2.48) suy ra 4n l lªp ph÷ìng cõa
mët sè nguy¶n. V¼ th¸ tø (2.50)
v do pi l c¡c sè nguy¶n tè n¶n ta câ
1 = 1 + 3

105. 1
i = 3

106. i ; i = 2; 3; :::
ð ¥y

107. 1;

108. 1; ::: l c¡c sè nguy¶n lîn hìn ho°c b¬ng 0. Thay v o (2.49)
ta câ
(n) = (2 + 3

109. 1)(1 + 3

110. 2)(1 + 3

111. 3):::(1 + 3

112. s)::: (2.51)
Tø (2.51) suy ra (n) khæng chia h¸t cho 3 (v¼ (n) 2(mod 3)).
M°t kh¡c, l¤i câ 4n = ( (n))3 n¶n suy ra n khæng chia h¸t cho 3.

113. 42
V¼ n = p1
1 p2
2 :::ps
s :::, ð ¥y p2 = 3. Do n khæng chia h¸t cho 3 n¶n 2 = 0
(v¼ n¸u 2 0 th¼ p2
2 chia h¸t cho 3, tùc l n chia h¸t cho 3, d¨n ¸n
væ l½). V¼ l³ â tø (2.51), l¤i câ
(n) = (2 + 3

114. 1)(1 + 3

115. 3):::(1 + 3

116. s):::
B¥y gií ph÷ìng tr¼nh
( (n))3 = 4n , (2 + 3

117. 1)3(1 + 3

118. 3)3:::(1 + 3

119. s)3::: = 23(1+

120. 1)p3

121. 3
3 :::p3

122. s
s :::
,
2 + 3

123. 1
21+

124. 1
=
p

125. 3
3 :::p

126. s
s :::
(1 + 3

127. 3) ::: (1 + 3

128. s) :::
(2.52)
V¼ 5 = p3 p4 ::: ps ::: n¶n vîi måi i 3 th¼
p

129. i
i 5

130. i = (1 + 4)

131. i 1 + 4

132. i
(theo b§t ¯ng thùc Bernoulli, th¼ (1 + a)n 1 + na vîi måi n nguy¶n
d÷ìng). Tø â suy ra v¸ ph£i cõa (2.52) lîn hìn ho°c b¬ng 1, v ¯ng
thùc x£y ra khi v ch¿ khi

133. i = 0 vîi måi i 3. V¼ l³ â tø (2.52), ta câ
2 + 3

134. 1
21+

135. 1
1 (2.53)
Tø (2.53) suy ra
2 + 3

136. 1 21+

137. 1 (2.54)
M°t kh¡c
21+

138. 1 = 2(1 + 1)

139. 1 2(1 + C1

140. 1
+ C2

141. 1
) = 2
1 +

142. 1 +

143. 1(

144. 1 1)
2
hay tø (2.54) ta câ 2 + 3

145. 1 2 +

146. 1 + 2

147. 2
1
(ð ¥y ¢ sû döng cæng thùc khai triºn nhà thùc Newton). Tø â ta câ
2

148. 1

149. 2
1 hay

150. 1 2. Tø t½nh nguy¶n cõa

151. 1, câ

152. 1 = 0, 1 hay 2. X²t
c¡c tr÷íng hñp sau:
a) N¸u

153. 1 = 0 hay

154. 1 = 2 th¼:
2 + 3

155. 1
21+

156. 1
= 1
Do â suy ra c£ hai v¸ cõa (2.52) b¬ng 1, v¼ l³ â tø lªp luªn tr¶n suy
ra 2 l ÷îc sè nguy¶n duy nh§t cõa n. Tø â:

157. 43
- N¸u

158. 1 = 0, ta ÷ñc nghi»m n = 21+3

159. 1 = 2.
- N¸u

160. 1 = 2, ta ÷ñc nghi»m n = 21+3

161. 1 = 27 = 128.
b) N¸u

162. 1 = 1 th¼
2 + 3

163. 1
21+

164. 1
=
5
4
Khi â tø (2.52) ta câ

165. 3 0 nh÷ng

166. 3 1 khæng thº câ. Thªt vªy,
khi â
5

167. 3
1 + 3

168. 3
5
4
, suy ra v¸ ph£i cõa (2.52)
5
4
v m¥u thu¨n so vîi
(2.52). V¼ l³ â

169. 3 = 1, th¸ th¼
5

170. 3
1 + 3

171. 3
=
51
1 + 3
=
5
4
(v d¾ nhi¶n º
(2.52) óng th¼

172. 4 =

173. 5 = ::: = 0). Tø â ta câ
8
:
1 = 1 + 3

174. 1 = 1 + 3:1 = 4
2 = 0
3 = 3

175. 3 = 3
i = 0 ; 8i 4
Nh÷ vªy n = 24:53 = 16:125 = 2000.
Tâm l¤i c¡c sè nguy¶n d÷ìng c¦n t¼m l n = 2; n = 128 v n = 2000.
2.4.2. Mët sè b§t ¯ng thùc li¶n quan tîi h m (n)
V½ dö 2.30. Gi£ sû (n) l sè t§t c£ c¡c ÷îc sè tü nhi¶n cõa n. Chùng
minh r¬ng vîi måi n = 1; 2; ::: ta câ b§t ¯ng thùc: 2(n) 4n.
Líi gi£i. Gi£ sû a l ÷îc sè cõa n, th¼ sè b =
n
a
công l ÷îc cõa n. Do
â t§t c£ c¡c ÷îc sè cõa n ÷ñc chia th nh tøng c°p, khi °t t÷ìng ùng
p
vîi méi ÷îc a
n v b =
n
a
. Ngo i ra, câ thº th¶m
p
n n¸u
p
n l sè
nguy¶n (tùc l khi n l sè ch½nh ph÷ìng). Sè nhä trong hai sè cõa c°p
gåi l sè thù nh§t, cán l¤i sè lîn gåi l sè thù hai. X²t hai kh£ n«ng sau:
1) N¸u n khæng ph£i l sè ch½nh ph÷ìng.
Khi â t§t c£ c¡c sè thù nh§t s³ nhä hìn
p
n. Công v¼ l³ â n¸u gåi d
l sè lîn nh§t trong c¡c sè thù nh§t th¼ d
p
n ) d [
p
n], ð ¥y
qua [] º ch¿ ph¦n nguy¶n cõa sè .
V¼ måi sè thù nh§t thuëc tªp f1; 2; :::; [
p
n]g, tø â suy ra sè c¡c sè thù
p
n]
nh§t [
p
n (do n khæng ph£i l sè ch½nh ph÷ìng). V¼ n khæng
ph£i l sè ch½nh ph÷ìng n¶n (n) b¬ng hai l¦n c¡c sè thù nh§t. Do vªy

176. 44
ta câ b§t ¯ng thùc: (n) 2
p
n ) 2(n) 4n:
2) N¸u n l sè ch½nh ph÷ìng.
Khi â
p
n l ÷îc cõa n, v t§t c£ c¡c ÷îc thù nh§t
p
n 1. Kþ hi»u
d nh÷ trong ph¦n 1), ta câ
d
p
n 1 ) d [
p
n 1]
p
n 1]
Lªp luªn nh÷ tr¶n ta câ sè c¡c sè thù nh§t [
p
n 1.
Khi n l sè ch½nh ph÷ìng, th¼ (n) b¬ng hai l¦n sè c¡c sè thù nh§t cëng
th¶m 1. V¼ l³ â suy ra
p
n 1) + 1 ) (n) 2
(n) 2 (
p
n 1 2
p
n ) 2(n) 4n:
Tâm l¤i, ta luæn luæn chùng minh ÷ñc r¬ng vîi måi n = 1; 2; ::: th¼
2(n) 4n. â l i·u ph£i chùng minh.
V½ dö 2.31. Chùng minh r¬ng, tçn t¤i n thäa m¢n: (n2) = k (n) khi
v ch¿ khi k l sè l´.
Líi gi£i. Tr÷îc ti¶n, ta ch¿ ra r¬ng, n¸u tçn t¤i n º
(n2) = k (n) (2.55)
khi k l sè l´.
N¸u n = 1 th¼ (n) = (n2) = 1 =) k = 1.
Gi£ sû n 1, n = pr1
1 :::prs
s l khai triºn n th nh thøa sè nguy¶n tè.
Khi â: n2 = p2r1
1 :::p2rs
s .
Ph÷ìng tr¼nh (2.55) cho ta
(2r1 + 1) ::: (2rs + 1) = k (r1 + 1) ::: (rs + 1) (2.56)
Vªy k l sè l´.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû k = 2m + 1. Ta chùng minh sü tçn t¤i n thäa m¢n
(2.55) b¬ng quy n¤p theo m. Sü tçn t¤i n t÷ìng ÷ìng vîi sü tçn t¤i
(r1; :::; rs) thäa m¢n (2.56).
Vîi m = 1, ta câ 2m + 1 = 3 =
(2:4 + 1)(2:2 + 1)
(4 + 1)(2 + 1)
.

177. 45
Gi£ sû vîi måi m M, méi sè k = 2m + 1 ·u câ thº biºu di¹n d÷îi
d¤ng (2.56). Ta chùng minh k = 2M + 1 công câ d¤ng â.
Gi£ sû k + 1 = 2l:t, trong â t l´. Khi â ta câ: t =
k + 1
2l
k + 1
2
k
v¼ l 1; k 1. X²t c¡c sè r1; :::; rl nh÷ sau
r1 = 2l:t 20:t 20
r2 = 2l+1:t 21:t 21
:::
rl = 2l+l1:t 2l1:t 2l1:
X²t n1 = pr1
1 :::prl
l . Khi â ta câ
k =
(n21
)
(n1)
=
2l+1:t 21:t 21 + 1
:::
2l+1:t 2l:t 2l + 1
(2l:t 20:t 20 + 1) ::: (2l+l1:t 2l1:t 2l1 + 1)
=
22l:t 2l:t 2l + 1
2l:t 20:t 20 + 1
=
2l 1
2l:t 1
(2l 1) t
=
2l:t 1
t
V¼ 1 k n¶n theo gi£ thi¸t quy n¤p, tçn t¤i sè n2 = qa1
1 :::qas
s sao cho
t =
(n22
)
(n2)
.
B¬ng c¡ch chån c¡c sè q1; :::; qs; p1; :::; pl l c¡c sè nguy¶n tè kh¡c nhau
v °t n = n1:n2, ta câ:
(n2)
(n)
=
(n21
)
(n1)
:
(n22
)
(n2)
= k1:t = 2l:t 1 = k:
2.4.3. T¼m sè nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh b¬ng ph÷ìng ph¡p sû
döng (n)
V½ dö 2.32. Chùng minh r¬ng vîi måi k 1, ph÷ìng tr¼nh (n) = k
câ væ sè nghi»m.
Líi gi£i. Ta câ cæng thùc: (n) = (1 + 1) (2 + 1) ::: (k + 1),
n¸u n = p1
1 p2
2 :::pk
k , trong â pi l c¡c sè nguy¶n tè v i nguy¶n 1,
8i = 1; 2; :::k.
X²t hai kh£ n«ng sau:
1) N¸u k l sè nguy¶n tè.
Khi â tø (n) = k suy ra n = pk1, ð ¥y p l sè nguy¶n tè. Do tªp

178. 46
hñp sè nguy¶n tè l væ h¤n, n¶n tçn t¤i væ h¤n sè nguy¶n d÷ìng câ d¤ng
n = pk1. i·u â câ ngh¾a l ph÷ìng tr¼nh (n) = k câ væ sè nghi»m
khi k l sè nguy¶n tè.
2) N¸u k l hñp sè.
Khi â ta câ biºu di¹n k = k1:k2, trong â k1 1; k2 1. Tø (n) = k,
n¶n suy ra mët trong c¡c d¤ng cõa n l n = pk11
1 :pk21
2 , ð ¥y p1; p2 l
c¡c sè nguy¶n tè. Do tªp hñp c¡c sè nguy¶n tè p1; p2 l væ h¤n n¶n tçn
t¤i væ h¤n c¡c sè nguy¶n d÷ìng câ d¤ng n = pk11
1 :pk21
2 .
Tâm l¤i vîi måi k nguy¶n d÷ìng lîn hìn 1, th¼ ph÷ìng tr¼nh (n) = k
câ væ sè nghi»m. â l i·u ph£i chùng minh.
2.5. Ùng döng cõa h m ph¦n nguy¶n [x]
2.5.1. B i to¡n ành t½nh
V½ dö 2.33. Chùng minh r¬ng vîi måi sè nguy¶n n,
n + 2
4
+
n + 4
4
+
n 1
2
= n.
Líi gi£i. X²t n = 4k ta câ
n + 2
4
= k ;
n + 4
4
= k + 1 ;
n 1
2
= 2k 1.
Do â
n + 2
4
+
n + 4
4
+
n 1
2
= n
X²t n = 4k + 1 ta câ
n + 2
4
= k ;
n + 4
4
= k + 1 ;
n 1
2
= 2k
Do â
n + 2
4
+
n + 4
4
+
n 1
2
= n
T÷ìng tü vîi n = 4k + 2; 4k + 3 ta công câ i·u ph£i chùng minh.

179. 47
V½ dö 2.34. Cho m; n l c¡c sè nguy¶n, c l mët sè væ t d÷ìng v
d =
1
c
. Chùng minh r¬ng:
[mP+nc]
j=0
[n + 1 + (m j)d] =
[n+Pmd]
j=0
[m + 1 + (n j)c].
Líi gi£i. Trong m°t ph¯ng Oxy x²t hai iºm A(0;m+nc) v B(n+md; 0).
X²t sè iºm nguy¶n n¬m trong tam gi¡c OAB theo hai c¡ch.
C¡ch thù nh§t, vîi méi sè nguy¶n j, 0 j [n + md] ta t½nh sè c¡c sè
nguy¶n i sao cho iºm (j, i ) n¬m trong tam gi¡c OAB (coi j t÷ìng ùng
vîi iºm (j, 0) tr¶n OB). °t x0 = n + md; y0 = m + nc, khi â ÷íng
th¯ng câ ph÷ìng tr¼nh x = j c­t o¤n AB t¤i iºm câ tung ë b¬ng
(x0 j)y0
x0
=
(n + md j)(m + nc)
n + md
=
(n +
m
c
j)(n +
m
c
)c
n +
m
c
= m + (n j)c:
Do â, sè c¡c sè nguy¶n i º iºm (j; i) n¬m trong tam gi¡c OAB l :
1 + [m + (n j)c] = [m + 1 + (n j)c]
Tø â suy ra sè iºm nguy¶n (j; i) n¬m trong tam gi¡c OAB l :
N =
P
0j[n+md]
[m + 1 + (n j)c].
C¡ch thù hai, vîi méi sè nguy¶n i, 0 i [m + nc] ta t½nh sè c¡c sè
nguy¶n j sao cho iºm (j; i) n¬m trong tam gi¡c OAB (coi i t÷ìng ùng
vîi iºm (0; i) tr¶n OA). B¬ng c¡ch t½nh ho n to n t÷ìng tü ta câ sè
c¡c iºm nguy¶n (j; i) n¬m trong tam gi¡c OAB l
N =
P
0i[m+nc]
[n + 1 + (m j)d]:
Tø â suy ra i·u ph£i chùng minh.

180. 48
V½ dö 2.35. Cho n l sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n n! câ óng 2002 chú
sè 0 tªn còng. Chùng minh r¬ng: n 8024.
Líi gi£i. Gi£ sû n! = 25

181. q, trong â (q; 2) = (q; 5) = 1. Theo cæng thùc
1P
Polignac, ta câ: =
i=1
h n
2i
i

182. =
1P
i=1
h n
5i
i
:
Do â n!
...
10

183. , n! khæng chia h¸t cho 10

184. +1 n¶n sè chú sè 0 ùng tªn
còng trong biºu di¹n thªp ph¥n cõa n l

185. . Vªy ta c¦n t¼m n nhä nh§t
sao cho

186. =
1P
i=1
h n
5i
i
= 2002.
Vîi méi n °t p(n) =
1P
i=1
h n
5i
i
. Ta câ p(n) p(n + 1) vîi måi n 1 v
p(8024) =
8024
5
+
8024
25
+
8024
125
+
8024
625
+
8024
3125
= 1604 + 320 + 64 + 12 + 2 = 2002:
Do â n 8024, i·u ph£i chùng minh.
V½ dö 2.36. Cho a1; a2; :::; ak l c¡c sè nguy¶n d÷ìng khæng v÷ñt qu¡ n
thäa m¢n i·u ki»n: [ai; aj ] n vîi måi 1 i6= j k.
Chùng minh r¬ng:
1
a1
+
1
a2
+ ::: +
1
ak
2.
Líi gi£i. Phn
¥n ho¤ch tªp S = f1; 2; :::; ng th nh k tªp S1; S2; :::; Sk thäa
m¢n: Si =
s 2 S

189. s
...
ai
o
vîi måi i = 1; 2; :::; k.
Ta s³ chùng minh Si Sj = ; vîi måi 1 i6= j k. Thªt vªy, gi£ sû
tçn t¤i s 2 Si Sj khi â s
...
ai v s
...
aj n¶n a
...
[ai; aj ] n væ lþ. Vªy c¡c
tªp S1; S2; :::; Sk æi mët ríi nhau. Do â:
Pk
i=1
jSij =
Pk
i=1
n
ai
n:
Tø â,
Pk
i=1
n
ai
Pk
i=1
n
ai
+ 1
n + k 2n
i·u ph£i chùng minh.
V½ dö 2.37. (Taiwan 1998). Chùng minh r¬ng vîi måi sè nguy¶n d÷ìng
mP1
m v n, ta luæn câ: (m; n) = 2
k=0
kn
m
+ m + n mn:

190. 49
Líi gi£i. °t d = (m; n);m = dm0; n = dn0 ta câ m0; n0 l c¡c sè nguy¶n
d÷ìng nguy¶n tè còng nhau. Ta câ
kn
m
+
n
kn
m
=
8
:
n 1 n¸u
kn
m
khæng l mët sè nguy¶n
n n¸u
kn
m
l mët sè nguy¶n
M°t kh¡c
kn
m
=
kn0
m0 l mët sè nguy¶n khi v ch¿ khi k chia h¸t cho m0.
Do â, trong tªp hñp f1; 2; :::;m 1g câ
m 1
m0
=
d
1
m0
= d 1
gi¡ trà cõa k sao cho
kn
m
l mët sè nguy¶n. Ta câ
2
mX1
k=0
kn
m
= 2
mX1
k=1
kn
m
=
mX1
k=1
kn
m
+
n
kn
m
= mn m n + d:
Suy ra (m; n) = d = 2
mP1
k=0
kn
m
+ m + n mn:
i·u ph£i chùng minh.
V½ dö 2.38. (Væ àch to¡n quèc t¸, 1972). Vîi sè nguy¶n d÷ìng m; n.
Chùng minh r¬ng:
(2m)! (2n)!
m!n! (m + n)!
l mët sè nguy¶n.
Líi gi£i. Tr÷îc ti¶n, ta chùng minh:
[2] + [2

191. ] [] + [

192. ] + [ +

193. ] (2.57)
vîi ;

194. l c¡c sè thüc.
Thªt vªy, ta câ
[2] = [2 [] + 2 fg] = 2 [] + [2 fg]
[2

195. ] = [2 [

196. ] + 2 f

197. g] = 2 [

198. ] + [2 f

199. g]
[ +

200. ] = [] + [

201. ] + [fg + f

202. g]

203. 50
B§t ¯ng thùc (2.57) t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc
[2 fg] + [2 f

204. g] [fg + f

205. g] (2.58)
V¼ 0 fg + f

206. g 2 n¶n x£y ra hai tr÷íng hñp sau:
1) N¸u 0 fg + f

207. g 1 th¼ (2.58) luæn óng v¼ v¸ tr¡i lîn hìn
ho°c b¬ng 0.
2) N¸u 1 fg+f

208. g 2 th¼ [fg + f

209. g] = 1. Khi â fg
1
2
ho°c
f

210. g
1
2
, gi£ sû fg
1
2
. Suy ra 2 fg 1 ) [2 fg] + [2 f

211. g] 1.
Vªy (2.57) ÷ñc chùng minh.
B¥y gií, Ta chùng tä r¬ng vîi måi sè nguy¶n tè p, sè c¡c thøa sè p
chùa trong t½ch (2m)!(2n)! khæng nhä hìn c¡c thøa sè p chùa trong t½ch
m!n!(m + n)!.
Gåi S1; S2 l¦n l÷ñt l c¡c sè thøa sè p chùa trong t½ch (2m)!(2n)! v
m!n!(m + n)!: Ta câ
S1 =
2m
p
+
2m
p2
+ ::: +
2n
p
+
2n
p2
+ :::
S2 =
m
p
+
m
p2
+ ::: +
n
p
+
n
p2
+ :::
m + n
p
+
m + n
p2
+ :::
º chùng tä S1 S2 ta ph£i chùng minh vîi k tü nhi¶n b§t ký ta câ
2m
pk
+
2n
pk
m
pk
+
n
pk
+
m + n
pk
B§t ¯ng n y ÷ñc suy ra tø b§t ¯ng thùc (2.57) ð tr¶n vîi =
m
pk v

212. =
m
pk .
2.5.2. B i to¡n ành l÷ñng
V½ dö 2.39. Cho M = 19871987, d¢y fxngn1 l c¡c sè nguy¶n thäa
m¢n: x1 = M; xn+1 =
2
664
xn +
M
xn
2
3
775
, vîi måi n = 1, 2,...
T½nh min fxn : 1 n Mg :

213. 51
Líi gi£i. °t
hp
M
i
= , khi â 2 Z+; 2 M ( + 1)2.
Ta câ:
a + [b]
2
=
a + b
2
n¶n xn+1 =
2
664
M
xn
2
xn +
3
775
hp
M
i
= :
do M ( + 1)2 n¶n n¸u xn + 1 th¼
M=xn xn v xn+1 =
2
664
M
xn
2
xn +
3
775
xn + xn
2
= xn
Tùc l , n¸u xn + 1 th¼ xn+1 xn 1. Tø â suy ra
min fxn : 1 n Mg = .
V½ dö 2.40. T¼m sè nguy¶n d÷ìng n lîn nh§t sao cho 2003! chia h¸t
cho 5n.
Líi gi£i. Hiºn nhi¶n sè n c¦n t¼m ch½nh l sè mô cõa 5 trong ph¥n t½ch
2003! th nh t½ch c¡c thøa sè nguy¶n tè. Theo cæng thùc Polignac,
n =
X1
i=1
2003
5i
=
2003
5
+
2003
25
+
2003
125
+
2003
625
= 400 + 80 + 16 + 3 = 499
Vªy n = 499 l sè c¦n t¼m.
V½ dö 2.41. (Canada 1998). T¼m sè c¡c nghi»m thüc cõa ph÷ìng tr¼nh:
ha
2
i
+
ha
3
i
+
ha
5
i
= a.
Líi gi£i. V¼ v¸ ph£i l mët sè nguy¶n n¶n a công ph£i l mët sè nguy¶n.
°t a = 30q+r trong â q; r l c¡c sè nguy¶n, 0 r 29. Ta câ ph÷ìng
tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi ph÷ìng tr¼nh sau
31q +
hr
2
i
+
hr
3
i
+
hr
5
i
= 30q + r:

214. 52
hay q = r
hr
2
i
+
hr
3
i
+
hr
5
i
:
Nh÷ vªy, vîi méi gi¡ trà cõa r tçn t¤i duy nh§t mët gi¡ trà cõa q sao cho
a = 30q + r thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho. Do r câ thº nhªn 30 gi¡ trà
(tø 0 ¸n 29) n¶n ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ 30 nghi»m.
V½ dö 2.42. (Czeck-Slovak 1998). T¼m t§t c£ c¡c sè thüc x thäa m¢n:
x [x [x [x]]] = 88.
Líi gi£i. °t f(x) = x [x [x [x]]] vîi måi sè thüc x.
Tr÷îc h¸t ta chùng minh r¬ng: jf(a)j jf(b)j vîi måi a; b 2 R thäa m¢n
ab 0, jaj jbj 1.
Thªt vªy, tø ab 0, jaj jbj 1 suy ra [[a]] [[b]] 1
Nh¥n jaj jbj 1 v o ta câ [a [a]] [b [b]] 1
D¹ th§y a [a] còng d§u vîi b [b], a [a [a]] còng d§u vîi b [b [b]] n¶n t÷ìng
tü nh÷ tr¶n ta câ
[a [a [a]]] [b [b [b]]] 1; [a [a [a [a]]]] [b [b [b [b]]]] 1
Tø â suy ra jf(a)j jf(b)j.
V¼ f(x) = 0 vîi måi jxj 1; f(1) = 1 n¶n n¸u f(x0) = 88 th¼ jx0j 1.
X²t hai tr÷íng hñp sau:
Tr÷íng hñp 1 : x0 1. Tø chùng minh tr¶n f(x) ìn i»u t«ng tr¶n
kho£ng (1;1) n¶n n¸u tçn t¤i th¼ x0 l duy nh§t. Ta câ
f(3) = 81 88 = f(x0) f(4) = 256
n¶n 3 x0 4 v [x0] = 3. Tø â, f(x0)
= x0 [x0 [3x0]] = 88.
10
M°t kh¡c f(3) = 81 88 = f(x0) f
3
= 110
n¶n 3 x0 10/3 suy ra [x0 [x0]] = 9.
Ti¸p töc, f(3) = 81 88 = f(x0) f
29
9
=
292
9
n¶n 3 x0 29/9.
Do â 27 [x0 [x0 [x0]]] = [9x0] 29 =
9
29
9
suy ra [x0 [x0 [x0]]] = 28. Tø â f(x0) = 28x0 = 88 n¶n x0 = 22/7

215. 53
Tr÷íng hñp 2 : x0 - 1. Tø chùng minh tr¶n, f(x) ìn i»u gi£m tr¶n
kho£ng (1;1). T÷ìng tü tr÷íng hñp 1, ta câ
jf(3)j = 81 88 = f(x0)

219. f
112
37

223. = 112
n¶n - 3 x0 - 112/37 v [x0 [x0 [x0]]] = 37.
Tø â suy ra x =
88
37
3, væ lþ. Vªy khæng tçn t¤i nghi»m x0 1.
Tâm l¤i, tçn t¤i duy nh§t nghi»m x0 =
22
7
.
V½ dö 2.43. (Korea 1997). Biºu di¹n
Pn
k=1
hp
k
i
theo n v a = [
p
n].
Líi gi£i. D¹ d ng th§y r¬ng
hp
k
i
=
Pa
j=1
j2 k
v¼ n¸u 1 k n th¼
hp
k
i
[
p
n] = a. Tø â, ta câ
Xn
k=1
hp
k
i
=
Xn
k=1
Xa
j=1
j2 k
=
Xa
j=1
Xn
k=1
j2 k
V¼
Pn
k=1
j2 k
chùa sè c¡c sè k 2 f1; 2; :::; ng thäa m¢n k j2, v do
j a k²o theo j2 n n¶n sè c¡c sè n y l n + 1 j2. Theo ¯ng thùc
tr¶n ta câ
Pn
k=1
hp
k
i
=
Pa
j=1
(n + 1 j2) = (n + 1)a
a(a + 1)(2a + 1)
6
.
Tr¶n ¥y l mët sè d¤ng b i to¡n cì b£n cõa sè håc trong ch÷ìng
tr¼nh phê thæng. Vi»c ph¥n chia c¡c b i to¡n qua c¡c ùng döng cì b£n
gióp cho vi»c h¼nh th nh t÷ duy v· sè håc mët c¡ch thuªn lñi hìn.

224. 54
K¸t luªn
Luªn v«n tr¼nh b y mët sè ùng döng cì b£n cõa c¡c h m sè håc.
Luªn v«n ¢ tr¼nh b y v ¤t ÷ñc mët sè k¸t qu£ sau thæng qua 2
ch֓ng.
1. Ch÷ìng 1 ¢ tr¼nh b y ÷ñc nh÷ng lþ thuy¸t cì b£n cõa c¡c h m sè
håc.
2. Ch÷ìng 2 ¢ n¶u ÷ñc c¡c ùng döng cõa c¡c h m sè håc cì b£n. V
qua â t¤o ÷ñc t÷ duy trong vi»c ph¥n ho¤ch c¡c d¤ng to¡n cõa c¡c
h m sè håc. Sü ph¥n ho¤ch â em l¤i mët c¡ch t÷ duy cho ng÷íi håc
b¬ng c¡ch tü m¼nh câ thº ph¥n chia l¤i c¡c ùng döng ho°c bê sung ho n
ch¿nh cho ph¦n ùng döng â.
3. Thæng qua ph¦n lþ thuy¸t v c¡c ùng döng cì b£n cõa c¡c h m sè
håc em l¤i c¡ch nh¼n cö thº hìn èi vîi c¡c h m sè håc trong c¡c b i
to¡n sì c§p ð phê thæng.

225. 55
T i li»u tham kh£o
[1] Phan Huy Kh£i - Chuy¶n · 3: C¡c b i to¡n v· h m sè håc - NXB
Gi¡o döc, th¡ng 3 n«m 2009.
[2] Phan Huy Kh£i - Chuy¶n · 4: C¡c b i to¡n v· h m sè håc - NXB
Gi¡o döc, th¡ng 3 n«m 2009.
[3] H Huy Kho¡i - Chuy¶n · bçi d÷ïng håc sinh giäi to¡n trung håc
phê thæng Sè håc - NXB Gi¡o döc, 2003.
[4] Nguy¹n Vô L÷ìng - Nguy¹n L÷u Sìn - Nguy¹n Ngåc Th­ng - Ph¤m
V«n Hòng - C¡c b i gi£ng v· sè håc - NXB ¤i håc Quèc Gia H
Nëi, Quþ 4 n«m 2006.
[5] T i li»u tªp hu§n ph¡t triºn chuy¶n mæn gi¡o vi¶n tr÷íng THPT
Chuy¶n mæn To¡n, th¡ng 07/2011.
[6] °ng Hòng Th­ng - Nguy¹n V«n Ngåc - Vô Kim Thõy - B i gi£ng
sè håc - X½ nghi»p in ÷íng s­t H Nëi, th¡ng 05/1997.
[7] Nguy¹n Vô Thanh - Chuy¶n · bçi d÷ïng Chuy¶n mæn to¡n Sè håc
- NXB Ti·n Giang, th¡ng 09/1992.
[8] Peter Vandendriessche - Hojoo Lee - Problems in Elementary Num-ber
Theory, 07/2007.