9. Ch֓ng
1
×îc v Bëi
1.1 ×îc sè, ÷îc sè chung, ÷îc sè chung
lîn nh§t 1
1.2 Bëi sè, bëi sè chung, bëi sè chung
nhä nh§t 4
1.3 B i tªp · nghà 6
Nguy¹n M¤nh Tròng D÷ìng (duongld)
Nguy¹n Tr¦n Huy (yeutoan11)
×îc v bëi l 2 kh¡i ni»m quan trång trong ch÷ìng tr¼nh sè håc THCS.
Chuy¶n · n y s³ giîi thi»u nhúng kh¡i ni»m v t½nh ch§t cì b£n v·
÷îc, ÷îc sè chung, ÷îc chung lîn nh§t, bëi, bëi sè chung, bëi chung
nhä nh§t. Mët sè b i tªp · nghà v· c¡c v§n · n y công s³ ÷ñc ·
cªp ¸n ð cuèi b i vi¸t.
1.1 ×îc sè, ÷îc sè chung, ÷îc sè chung lîn nh§t
Trong ph¦n n y, chóng tæi s³ tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· ÷îc sè,
÷îc sè chung v ÷îc sè chung lîn nh§t k±m theo mët v i t½nh ch§t cõa
chóng. Mët sè b i tªp v½ dö cho b¤n åc tham kh£o công s³ ÷ñc ÷a
ra.
1.1.1 ành ngh¾a
ành ngh¾a 1.1 Sè tü nhi¶n d6= 0 ÷ñc gåi l mët ÷îc sè cõa sè tü
nhi¶n a khi v ch¿ khi a chia h¸t cho d. Ta nâi d chia h¸t a, k½ hi»u dja.
Tªp hñp c¡c ÷îc cõa a l : U(a) = fd 2 N : djag. 4
1
10. 2 1.1. ×îc sè, ÷îc sè chung, ÷îc sè chung lîn nh§t
T½nh ch§t 1.1 N¸u U(a) = f1; ag th¼ a l sè nguy¶n tè.
ành ngh¾a 1.2 N¸u U(a) v U(b) câ nhúng ph¦n tû chung th¼ nhúng
ph¦n tû â gåi l ÷îc sè chung cõa a v b. Ta k½ hi»u:
USC(a; b) = fd 2 N : (dja) ^ (djb)g
= fd 2 N : (d 2 U(a)) ^ (d 2 U(b))g:
T½nh ch§t 1.2 N¸u USC(a; b) = f1g th¼ a v b nguy¶n tè còng nhau.
ành ngh¾a 1.3 Sè d 2 N ÷ñc gåi l ÷îc sè chung lîn nh§t cõa a v b
(a; b 2 Z) khi d l ph¦n tû lîn nh§t trong tªp USC(a; b). Kþ hi»u ÷îc
chung lîn nh§t cõa a v b l UCLN(a; b), (a; b) hay gcd(a; b). 4
1.1.2 T½nh ch§t
Sau ¥y l mët sè t½nh ch§t cõa ÷îc chung lîn nh§t:
N¸u (a1; a2; : : : :; an) = 1 th¼ ta nâi c¡c sè a1; a2; : : : ; an nguy¶n
tè còng nhau.
N¸u (am; ak) = 1; 8m6= k; fm; kg 2 f1; 2; : : : ; ng th¼ ta nâi c¡c
a1; a2; : : : ; an æi mët nguy¶n tè còng nhau.
c 2 USC(a; b) th¼
a
c
;
b
c
=
(a; b)
c
.
d = (a; b) ,
a
d
;
b
d
= 1.
(ca; cb) = c(a; b).
(a; b) = 1 v bjac th¼ bjc.
(a; b) = 1 v (a; c) = 1 th¼ (a; bc) = 1.
(a; b; c) = ((a; b); c).
Cho a b 0
N¸u a = b:q th¼ (a; b) = b.
N¸u a = bq + r(r6= 0) th¼ (a; b) = (b; r).
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
11. 1.1. ×îc sè, ÷îc sè chung, ÷îc sè chung lîn nh§t 3
1.1.3 C¡ch t¼m ÷îc chung lîn nh§t b¬ng thuªt to¡n Euclide
º t¼m (a; b) khi a khæng chia h¸t cho b ta dòng thuªt to¡n Euclide
sau:
a = b:q + r1 th¼ (a; b) = (b; r1).
b = r1:q1 + r2 th¼ (b; r1) = (r1; r2).
rn2 = rn1:qn1 + rn th¼ (rn2; rn1) = (rn1; rn).
rn1 = rn:qn th¼ (rn1; rn) = rn.
(a; b) = rn.
(a; b) l sè d÷ cuèi còng kh¡c 0 trong thuªt to¡n Euclide.
1.1.4 B i tªp v½ dö
V½ dö 1.1. T¼m (2k 1; 9k + 4); k 2 N. 4
Líi gi£i. Ta °t d = (2k 1; 9k + 4). Theo t½nh ch§t v· ÷îc sè chung
ta câ dj2k1 v dj9k+4. Ti¸p töc ¡p döng t½nh ch§t v· chia h¸t ta l¤i
câ dj9(2k 1) v dj2(9k + 4). Suy ra dj2(9k + 4) 9(2k 1) hay dj17.
Vªy (2k 1; 9k + 4) = 1.
V½ dö 1.2. T¼m (123456789; 987654321). 4
Líi gi£i. °t b = 123456789; a = 987654321. Ta nhªn th§y a v b ·u
chia h¸t cho 9.
Ta l¤i câ :
a + b = 1111111110
=
1010 10
9
:
, 9a + 9b = 1010 10
(1.1)
M°t kh¡c :
10b + a = 9999999999
= 1010 1:
(1.2)
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
12. 4 1.2. Bëi sè, bëi sè chung, bëi sè chung nhä nh§t
Trø (1.2) v (1.1) v¸ theo v¸ ta ÷ñc b8a = 9. Do â n¸u °t d = (a; b)
th¼ 9
.. .d.
M a v b ·u chia h¸t cho 9, suy ra d = 9.
Düa v o thuªt to¡n Euclide, ta câ líi gi£i kh¡c cho V½ dö 1.2 nh÷ sau :
Líi gi£i. 987654321 = 123456789:8+9 th¼ (987654321; 123456789) =
(123456789; 9).
123456789 = 9:1371421.
(123456789; 987654321) = 9.
V½ dö 1.3. Chùng minh r¬ng d¢y sè An =
1
2
n(n + 1); n 2 N chùa
nhúng d¢y sè væ h¤n nhúng sè æi mët nguy¶n tè còng nhau. 4
Líi gi£i. Gi£ sû trong d¢y ang x²t câ k sè æi mët nguy¶n tè còng
nhau l t1 = 1; t2 = 3; : : : ; tk = m(m 2 N). °t a = t1t2: : : tk. X²t sè
h¤ng t2a+1 trong d¢y An:
t2a+1 =
1
2
(2a + 1)(2a + 2)
= (a + 1)(2a + 1)
tk
M°t kh¡c ta câ (a + 1; a) = 1 v (2a + 1; a) = 1 n¶n (t2a+1; a) = 1.
Do â t2a+1 nguy¶n tè còng nhau vîi t§t c£ k sè ft1; t2; : : : tkg. Suy ra
d¢y sè An chùa væ h¤n nhúng sè æi mët nguy¶n tè còng nhau.
1.2 Bëi sè, bëi sè chung, bëi sè chung nhä nh§t
T÷ìng tü nh÷ c§u tróc ¢ tr¼nh b y ð ph¦n tr÷îc, trong ph¦n n y
chóng tæi công s³ ÷a ra nhúng ành ngh¾a, t½nh ch§t cì b£n cõa bëi
sè, bëi sè chung, bëi sè chung nhä nh§t v mët sè b i tªp v½ dö minh
håa.
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
13. 1.2. Bëi sè, bëi sè chung, bëi sè chung nhä nh§t 5
1.2.1 ành ngh¾a
ành ngh¾a 1.4 Sè tü nhi¶n m ÷ñc gåi l mët bëi sè cõa a6= 0 khi
v ch¿ khi m chia h¸t cho a hay a l mët ÷îc sè cõa m. 4
Nhªn x²t. Tªp hñp c¡c bëi sè cõa a6= 0 l : B(a) = f0; a; 2a; : : : ; kag; k 2
Z.
ành ngh¾a 1.5 Sè tü nhi¶n m ÷ñc gåi l mët bëi sè cõa a6= 0 khi
v ch¿ khi m chia h¸t cho a hay a l mët ÷îc sè cõa m 4
ành ngh¾a 1.6 N¸u 2 tªp B(a) v B(b) câ ph¦n tû chung th¼ c¡c ph¦n
tû chung â gåi l bëi sè chung cõa a v b. Ta kþ hi»u bëi sè chung
cõa a v b: BSC(a; b).
ành ngh¾a 1.7 Sè m6= 0 ÷ñc gåi l bëi chung nhä nh§t cõa a v
b khi m l ph¦n tû d÷ìng nhä nh§t trong tªp BSC(a; b). Kþ hi»u :
BCNN(a; b), [a; b] hay lcm(a; b). 4
1.2.2 T½nh ch§t
Mët sè t½nh ch§t cõa bëi chung lîn nh§t:
N¸u [a; b] = M th¼
M
a
;
M
b
= 1.
[a; b; c] = [[a; b]; c].
[a; b]:(a; b) = a:b.
1.2.3 B i tªp v½ dö
V½ dö 1.4. T¼m [n; n + 1; n + 2]. 4
Líi gi£i. °t A = [n; n + 1] v B = [A; n + 2]. p döng t½nh ch§t
[a; b; c] = [[a; b]; c], ta câ: B = [n; n + 1; n + 2].
D¹ th§y (n; n + 1) = 1, suy ra [n; n + 1] = n(n + 1).
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
14. 6 1.3. B i tªp · nghà
L¤i ¡p döng t½nh ch§t [a; b] =
a:b
(a; b)
th¸ th¼
[n; n + 1; n + 2] =
n(n + 1)(n + 2)
(n(n + 1); n + 2)
.
Gåi d = (n(n + 1); n + 2). Do (n + 1; n + 2) = 1 n¶n
d = (n; n + 2)
= (n; 2):
X²t hai tr÷íng hñp:
N¸u n ch®n th¼ d = 2, suy ra [n; n + 1; n + 2] =
n(n + 1)(n + 2)
2
.
N¸u n l´ th¼ d = 1, suy ra [n; n + 1; n + 2] = n(n + 1)(n + 2) .
V½ dö 1.5. Chùng minh r¬ng [1; 2; : : : 2n] = [n + 1; n + 2; : : : ; 2n]. 4
Líi gi£i. Ta th§y ÷ñc trong k sè nguy¶n li¶n ti¸p câ mët v ch¿ mët sè
chia h¸t cho k. Do â b§t trong c¡c sè f1; 2; : : : ; 2ng ·u l ÷îc cõa mët
sè n o â trong c¡c sè fn + 1; n + 2; : : : ; 2ng. Do â [1; 2; : : : n; 2n] =
[n + 1; n + 2; : : : ; 2n].
1.3 B i tªp · nghà
Thay cho líi k¸t, chóng tæi xin gûi ¸n b¤n åc mët sè b i tªp · nghà
º luy»n tªp nh¬m gióp c¡c b¤n quen hìn vîi c¡c kh¡i ni»m v c¡c
t½nh ch§t tr¼nh b y trong chuy¶n ·.
B i 1. a: Cho A = 5a + 3b;B = 13a + 8b(a; b 2 N) chùng minh
(A;B) = (a; b).
b: Têng qu¡t A = ma+nb;B = pa+qb thäa m¢n jmqnpj =
1 vîi a; b; m; n; p; q 2 N. Chùng minh (A;B) = (a; b).
B i 2. T¼m (6k + 5; 8k + 3)(k 2 N).
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
15. 1.3. B i tªp · nghà 7
B i 3. Tø c¡c chú sè 1; 2; 3; 4; 5; 6 th nh lªp t§t c£ sè câ s¡u chú sè
(méi sè ch¿ vi¸t mët l¦n). T¼m UCLN cõa t§t c£ c¡c sè â.
B i 4. Cho A = 2n + 1;B =
n(n + 1)
2
(n 2 N). T¼m (A;B).
B i 5. a: Chùng minh r¬ng trong 5 sè tü nguy¶n li¶n ti¸p bao gií
công chån ÷ñc mët sè nguy¶n tè còng nhau vîi c¡c sè
cán l¤i.
b: Chùng minh r¬ng trong 16 sè nguy¶n li¶n ti¸p bao gií công
chån ÷ñc mët sè nguy¶n tè còng nhau vîi c¡c sè cán l¤i.
B i 6. Cho 1 m n(m; n 2 N).
a: Chùng minh r¬ng (22n
1; 22n
+ 1) = 1.
b: T¼m (2m 1; 2n 1).
B i 7. Cho m; n 2 N vîi (m; n) = 1. T¼m (m2 + n2;m + n).
B i 8. Cho A = 2n+3;B = 2n+1+3n+1(n 2 N);C = 2n+2+3n+2(n 2
N). T¼m (A;B) v (A;C).
B i 9. Cho s¡u sè nguy¶n d÷ìng a; b; a0; b0; d; d0 sao cho (a; b) = d; (a0; b0) =
d0. Chùng minh r¬ng (aa0; bb0; ab0; a0b) = dd0.
B i 10. Chùng minh r¬ng d¢y sè Bn =
1
6
n(n + 1)(n + 2)(n 2 N) chùa
væ h¤n nhúng sè nguy¶n tè còng nhau.
B i 11. Chùng minh r¬ng d¢y sè 2n 3 vîi måi n 2 N v n 2 chùa
d¢y sè væ h¤n nhúng sè nguy¶n tè còng nhau.
B i 12. Chùng minh d¢y Mersen Mn = 2n 1(n 2 N) chùa d¢y sè væ
h¤n nhúng sè nguy¶n tè còng nhau.
B i 13. Chùng minh r¬ng d¢y Fermat Fn = 22n
+ 1(n 2 N) l d¢y sè
nguy¶n tè còng nhau.
B i 14. Cho n 2 N; n 1 v 2n 2 chia h¸t cho n. T¼m (22n
; 2n 1).
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
16. 8 1.3. B i tªp · nghà
B i 15. Chùng minh r¬ng vîi måi n 2 N, ph¥n sè 21n + 1
14n + 3
tèi gi£n.
B i 16. Cho ba sè tü nhi¶n a; b; c æi mët nguy¶n tè còng nhau. Chùng
minh r¬ng (ab + bc + ca; abc) = 1.
B i 17. Cho a; b 2 N. Chùng minh r¬ng tçn t¤i væ sè n 2 N sao cho
(a + n; b + n) = 1.
B i 18. Gi£ sû m; n 2 N(m n) thäa m¢n (199k1;m) = (19931; n).
Chùng minh r¬ng tçn t¤i t(t 2 N) sao cho m = 1993t:n.
B i 19. Chùng minh r¬ng n¸u a;m 2 N; a 1 th¼
am 1
a 1
; a 1
=
(m; a 1).
B i 20. T¼m sè nguy¶n d÷ìng n nhä nh§t º c¡c ph¥n sè sau tèi gi£n:
a:
1
n1996 + 1995n + 2
,
b:
2
n1996 + 1995n + 3
,
c:
1994
n1996 + 1995n + 1995
,
d:
1995
n1996 + 1995n + 1996
.
B i 21. Cho 20 sè tü nhi¶n kh¡c 0 l a1; a2; : : : an câ têng b¬ng S
v UCLN b¬ng d. Chùng minh r¬ng UCLN cõa S a1; S
a2; : : : ; S an b¬ng t½ch cõa d vîi mët ÷îc n o â cõa n 1.
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
17. Ch֓ng
2
Sè Nguy¶n Tè
2.1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· sè
nguy¶n tè 9
2.2 Mët sè b i to¡n cì b£n v· sè nguy¶n
tè 13
2.3 B i tªp 19
2.4 Phö löc: B¤n n¶n bi¸t 24
Nguy¹n Trung Hi¸u (nguyentrunghieua)
Ph¤m Quang To n (Ph¤m Quang To n)
2.1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· sè nguy¶n tè
2.1.1 ành ngh¾a, ành lþ cì b£n
ành ngh¾a 2.1 Sè nguy¶n tè l nhúng sè tü nhi¶n lîn hìn 1, ch¿ câ 2
÷îc sè l 1 v ch½nh nâ. 4
ành ngh¾a 2.2 Hñp sè l sè tü nhi¶n lîn hìn 1 v câ nhi·u hìn 2
֔c. 4
Nhªn x²t. C¡c sè 0 v 1 khæng ph£i l sè nguy¶n tè công khæng ph£i
l hñp sè. B§t ký sè tü nhi¶n lîn hìn 1 n o công câ ½t nh§t mët ÷îc
sè nguy¶n tè.
ành lþ 2.1 D¢y sè nguy¶n tè l d¢y sè væ h¤n.
9
18. 10 2.1. Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· sè nguy¶n tè
Chùng minh. Gi£ sû ch¿ câ húu h¤n sè nguy¶n tè l p1; p2; p3; :::; pn;
trong â pn l sè lîn nh§t trong c¡c nguy¶n tè.
X²t sè N = p1p2:::pn + 1 th¼ N chia cho méi sè nguy¶n tè pi(i = 1; n)
·u d÷ 1 (*)
M°t kh¡c N l mët hñp sè (v¼ nâ lîn hìn sè nguy¶n tè lîn nh§t l pn)
do â N ph£i câ mët ÷îc nguy¶n tè n o â, tùc l N chia h¸t cho mët
trong c¡c sè pi (**).
Ta th§y (**) m¥u thu¨n (*). Vªy khæng thº câ húu h¤n sè nguy¶n tè.
ành lþ 2.2 Måi sè tü nhi¶n lîn hìn 1 ·u ph¥n t½ch ÷ñc ra thøa
sè nguy¶n tè mët c¡ch duy nh§t (khæng kº thù tü c¡c thøa sè).
Chùng minh. * Måi sè tü nhi¶n lîn hìn 1 ·u ph¥n t½ch ÷ñc ra thøa
sè nguy¶n tè:
Thªt vªy: gi£ sû i·u kh¯ng ành tr¶n l óng vîi måi sè m tho£ m¢n:
1 m n ta chùng minh i·u â óng ¸n n.
N¸u n l nguy¶n tè, ta câ i·u ph£i chùng minh.
N¸u n l hñp sè, theo ành ngh¾a hñp sè, ta câ: n = a:b (vîi a; b n)
Theo gi£ thi¸t quy n¤p: a v b l t½ch c¡c thøa sè nhä hìn n n¶n n l
t½ch cu£ c¡c thøa sè nguy¶n tè.
* Sü ph¥n t½ch l duy nh§t:
Gi£ sû måi sè m n ·u ph¥n t½ch ÷ñc ra thøa sè nguy¶n tè mët
c¡ch duy nh§t, ta chùng minh i·u â óng ¸n n:
N¸u n l sè nguy¶n tè th¼ ta ÷ñc i·u ph£i chùng minh. N¸u n l hñp
sè: Gi£ sû câ 2 c¡ch ph¥n t½ch n ra thøa sè nguy¶n tè kh¡c nhau:
n = p:q:r::::
n = p0:q0:r0::::
Trong â p; q; r::::: v p0; q0; r0:::: l c¡c sè nguy¶n tè v khæng câ sè
nguy¶n tè n o công câ m°t trong c£ hai ph¥n t½ch â (v¼ n¸u câ sè
tho£ m¢n i·u ki»n nh÷ tr¶n, ta câ thº chia n cho sè â lóc â th÷íng
s³ nhä hìn n, th÷ìng n y câ hai c¡ch ph¥n t½ch ra thøa sè nguy¶n tè
kh¡c nhau, tr¡i vîi gi£ thi¸t cõa quy n¤p).
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta câ thº gi£ thi¸t p v p0 l¦n l÷ñt l c¡c sè
nguy¶n tè nhä nh§t trong ph¥n t½ch thù nh§t v thù hai.
V¼ n l hñp sè n¶n n p2 v n p02. Do p6= p ) n p:p0
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
19. 2.1. Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· sè nguy¶n tè 11
X²t m = n pp0 n ÷ñc ph¥n t½ch ra thøa sè nguy¶n tè mët c¡ch
duy nh§t ta th§y:
pjn ) pjn pp0 hay pjm
Khi ph¥n t½ch ra thøa sè nguy¶n tè ta câ: m = npp0 = p0p:P:Q::: vîi
P;Q 2 P ( P l tªp c¡c sè nguy¶n tè).
) pp0jn ) pp0jp:q:r::: ) pjq:r::: ) p l ÷îc nguy¶n tè cõa q:r:::
M p khæng tròng vîi mët thøa sè n o trong q; r::: (i·u n y tr¡i vîi
g¿a thi¸t quy n¤p l måi sè nhä hìn n ·u ph¥n t½ch ÷ñc ra thøa sè
nguy¶n tè mët c¡ch duy nh§t).
Vªy, i·u gi£ sû khæng óng. ành lþ ÷ñc chùng minh.
2.1.2 C¡ch nhªn bi¸t mët sè nguy¶n tè
C¡ch 1
Chia sè â l¦n l÷ñt cho c¡c nguy¶n tè tø nhä ¸n lîn: 2; 3; 5; 7:::
N¸u câ mët ph²p chia h¸t th¼ sè â khæng nguy¶n tè.
N¸u thüc hi»n ph²p chia cho ¸n lóc th÷ìng sè nhä hìn sè chia m c¡c
ph²p chia v¨n câ sè d÷ th¼ sè â l nguy¶n tè.
C¡ch 2
Mët sè câ hai ÷îc sè lîn hìn 1 th¼ sè â khæng ph£i l sè nguy¶n tè.
Cho håc sinh lîp 6 håc c¡ch nhªn bi¸t 1 sè nguy¶n tè b¬ng ph÷ìng
ph¡p thù nh§t (n¶u ð tr¶n), l düa v o ành lþ cì b£n:
×îc sè nguy¶n tè nhä nh§t cõa mët hñp sè A l mët sè khæng v÷ñt
p
qu¡
A.
Vîi quy tc tr¶n trong mët kho£n thíi gian ngn, vîi c¡c d§u hi»u chia
h¸t th¼ ta nhanh châng tr£ líi ÷ñc mët sè câ hai chú sè n o â l
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
20. 12 2.1. Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· sè nguy¶n tè
nguy¶n tè hay khæng.
H» qu£ 2.1 N¸u câ sè A 1 khæng câ mët ÷îc sè nguy¶n tè n o tø
2 ¸n
p
A th¼ A l mët nguy¶n tè.
2.1.3 Sè c¡c ÷îc sè v têng c¡c ÷îc sè cõa 1 sè
Gi£ sû: A = px1
1 :px2
2 ::::::pnxn; trong â: pi 2 P; xi 2 N; i = 1; n
T½nh ch§t 2.1 Sè c¡c ÷îc sè cõa A t½nh b¬ng cæng thùc:
T(A) = (x1 + 1)(x2 + 1):::::(xn + 1)
V½ dö 2.1. 30 = 2:3:5 th¼ T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8. Kiºm tra:
(30) = f1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30g n¶n (30) câ 8 ph¥n tû. 4
T½nh ch§t 2.2 Têng c¡c ÷îc mët sè cõa A t½nh b¬ng cæng thùc:
(A) =
Yn
i=1
pxi+1
i 1
pi 1
2.1.4 Hai sè nguy¶n tè còng nhau
ành ngh¾a 2.3 Hai sè tü nhi¶n ÷ñc gåi l nguy¶n tè còng nhau khi
v ch¿ khi chóng câ ÷îc chung lîn nh§t (×CLN) b¬ng 1. 4
T½nh ch§t 2.3 Hai sè tü nhi¶n li¶n ti¸p luæn nguy¶n tè còng nhau.
T½nh ch§t 2.4 Hai sè nguy¶n tè kh¡c nhau luæn nguy¶n tè còng nhau.
T½nh ch§t 2.5 C¡c sè a; b; c nguy¶n tè còng nhau khi v ch¿ khi (a; b; c)
= 1.
ành ngh¾a 2.4 Nhi·u sè tü nhi¶n ÷ñc gåi l nguy¶n tè s¡nh æi khi
chóng æi mët nguy¶n tè còng nhau. 4
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
21. 2.2. Mët sè b i to¡n cì b£n v· sè nguy¶n tè 13
2.1.5 Mët sè ành lþ °c bi»t
ành lþ 2.3 (Dirichlet) Tçn t¤i væ sè sè nguy¶n tè p câ d¤ng:
p = ax + b (x; a; b 2 N, a; b l 2 sè nguy¶n tè còng nhau).
Vi»c chùng minh ành lþ n y kh¡ phùc t¤p, trø mët sè tr÷íng hñp °c
bi»t, ch¯ng h¤n câ væ sè sè nguy¶n tè d¤ng: 2x1; 3x1; 4x+3; 6x+
5; : : :
ành lþ 2.4 (Tchebycheff-Betrand) Trong kho£ng tø sè tü nhi¶n
n ¸n sè tü nhi¶n 2n câ ½t nh§t mët sè nguy¶n tè (n 2).
ành lþ 2.5 (Vinogradow) Måi sè l´ lîn hìn 33 l têng cõa 3 sè
nguy¶n tè.
2.2 Mët sè b i to¡n cì b£n v· sè nguy¶n tè
2.2.1 Câ bao nhi¶u sè nguy¶n tè d¤ng ax + b
V½ dö 2.2. Chùng minh r¬ng: câ væ sè sè nguy¶n tè câ d¤ng 3x 1.4
Líi gi£i. Måi sè tü nhi¶n khæng nhä hìn 2 câ 1 trong 3 d¤ng: 3x; 3x+1
ho°c 3x 1
Nhúng sè câ d¤ng 3x (vîi x 1) l hñp sè
X²t 2 sè câ d¤ng 3x + 1: â l sè 3m + 1 v sè 3n + 1.
X²t t½ch (3m + 1)(3n + 1) = 9mn + 3m + 3n + 1. T½ch n y câ
d¤ng: 3x + 1
L§y mët sè nguy¶n tè p b§t câ d¤ng 3x 1, ta lªp t½ch cõa p
vîi t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè nhä hìn p rçi trø i 1 ta câ: M =
2:3:5:7::::p 1 = 3(2:5:7::::p) 1 th¼ M câ d¤ng 3x 1.
Câ 2 kh£ n«ng x£y ra:
1. Kh£ n«ng 1: M l sè nguy¶n tè, â l sè nguy¶n tè câ d¤ng
3x 1 p, b i to¡n ÷ñc chùng minh.
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
22. 14 2.2. Mët sè b i to¡n cì b£n v· sè nguy¶n tè
2. Kh£ n«ng 2: M l hñp sè: Ta chia M cho 2; 3; 5; ::::; p ·u tçn
t¤i mët sè d÷ kh¡c 0 n¶n c¡c ÷îc nguy¶n tè cõa M ·u lîn
hìn p, trong c¡c ÷îc n y khæng câ sè n o câ d¤ng 3x+1 (¢
chùng minh tr¶n). Do â ½t nh§t mët trong c¡c ÷îc nguy¶n
tè cõa M ph£i câ d¤ng 3x (hñp sè) ho°c 3x + 1
V¼ n¸u t§t c£ câ d¤ng 3x+1 th¼ M ph£i câ d¤ng 3x+1 (¢ chùng
minh tr¶n). Do â, ½t nh§t mët trong c¡c ÷îc nguy¶n tè cõa M
ph£i câ d¤ng 3x 1, ÷îc n y luæn lîn hìn p.
Vªy: Câ væ sè sè nguy¶n tè d¤ng 3x 1.
V½ dö 2.3. Chùng minh r¬ng: Câ væ sè sè nguy¶n tè câ d¤ng 4x+3.4
Líi gi£i. Nhªn x²t. C¡c sè nguy¶n tè l´ khæng thº câ d¤ng 4x ho°c
4x + 2. Vªy chóng ch¿ câ thº tçn t¤i d÷îi 1 trong 2 d¤ng 4x + 1 ho°c
4x + 3.
Ta s³ chùng minh câ væ sè sè nguy¶n tè câ d¤ng 4x + 3.
X²t t½ch 2 sè câ d¤ng 4x + 1 l : 4m + 1 v 4n + 1.
Ta câ: (4m+1)(4n+1) = 16mn+4m+4n+1 = 4(4mn+m+n)+1.
Vªy t½ch cõa 2 sè câ d¤ng 4x + 1 l mët sè công câ d¤ng 4x + 1.
L§y mët sè nguy¶n tè p b§t ký câ d¤ng 4x+3, ta lªp t½ch cõa 4p
vîi t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè nhä hìn p rçi trø i 1 khi â ta câ:
N = 4(2:3:5:7:::::p) 1. Câ 2 kh£ n«ng x£y ra
1. N l sè nguy¶n tè ) N = 4(2:3:5:7::::p)1 câ d¤ng 4x1.
Nhúng sè nguy¶n tè câ d¤ng 4x 1 công ch½nh l nhúng sè
câ d¤ng 4x + 3 v b i to¡n ÷ñc chùng minh.
2. N l hñp sè. Chia N cho 2; 3; 5; ::::; p ·u ÷ñc c¡c sè d÷
kh¡c 0. Suy ra c¡c ÷îc nguy¶n tè cõa N ·u lîn hìn p.
C¡c ÷îc n y khæng thº câ d¤ng 4x ho°c 4x+2 (v¼ â l hñp sè).
Công khæng thº to n c¡c ÷îc câ d¤ng 4x + 1 v¼ nh÷ th¸ N ph£i
câ d¤ng 4x + 1. Nh÷ vªy trong c¡c ÷îc nguy¶n tè cõa N câ ½t
nh§t 1 ÷îc câ d¤ng 4x 1 m ÷îc n y hiºn nhi¶n lîn hìn p.
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
23. 2.2. Mët sè b i to¡n cì b£n v· sè nguy¶n tè 15
Vªy: Câ væ sè sè nguy¶n tè câ d¤ng 4x 1 (hay câ d¤ng 4x + 3).
Tr¶n ¥y l mët sè b i to¡n chùng minh ìn gi£n cõa ành lþ Dirichlet:
Câ væ sè sè nguy¶n tè d¤ng ax + b trong â a; b; x 2 N; (a; b) = 1.
2.2.2 Chùng minh sè nguy¶n tè
V½ dö 2.4. Chùng minh r¬ng: (p 1)! chia h¸t cho p n¸u p l hñp sè,
khæng chia h¸t cho p n¸u p l sè nguy¶n tè. 4
Líi gi£i. X²t tr÷íng hñp p l hñp sè: N¸u p l hñp sè th¼ p l t½ch
cõa c¡c thøa sè nguy¶n tè nhä hìn p v sè mô c¡c luÿ thøa n y
khæng thº lîn hìn sè mô cõa ch½nh c¡c luÿ thøa §y chùa trong
(p 1)!. Vªy: (p 1)!
...
p (pcm).
X²t tr÷íng hñp p l sè nguy¶n tè: V¼ p 2 P ) p nguy¶n tè còng
nhau vîi måi thøa sè cõa (p 1)! (pcm).
V½ dö 2.5. Cho 2m 1 l sè nguy¶n tè. Chùng minh r¬ng m công l
sè nguy¶n tè. 4
Líi gi£i. Gi£ sû m l hñp sè ) m = p:q (p; q 2 N; p; q 1)
Khi â: 2m1 = 2pq1 = (2p)q1 = (2p1)((2p)q1+(2p)q2+:::::+1)
v¼ p 1 ) 2p 1 1 v (2p)q1 + (2p)q2 + ::::: + 1 1
D¨n ¸n 2m 1 l hñp sè :tr¡i vîi gi£ thi¸t 2m1 l sè nguy¶n tè.
Vªy m ph£i l sè nguy¶n tè (pcm)
V½ dö 2.6. Chùng minh r¬ng: måi ÷îc nguy¶n tè cõa 1994!1 ·u lîn
hìn 1994. 4
Líi gi£i. Gåi p l ÷îc sè nguy¶n tè cõa 1994! 1
Gi£ sû p 1994 ) 1994:1993:::::3:2:1
.. .p ) 1994!
.. .p.
M 1994! 1
.. .p ) 1
.. .p (væ lþ)
Vªy: p 1994 (pcm).
V½ dö 2.7. Chùng minh r¬ng: n 2 th¼ giúa n v n! câ ½t nh§t 1 sè
nguy¶n tè (tø â suy ra câ væ sè sè nguy¶n tè). 4
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
24. 16 2.2. Mët sè b i to¡n cì b£n v· sè nguy¶n tè
Líi gi£i. V¼ n 2 n¶n k = n! 1 1, do â k câ ½t nh§t mët ÷îc sè
nguy¶n tè p. T÷ìng tü b i tªp 3, ta chùng minh ÷ñc måi ÷îc nguy¶n
tè p cõa k ·u lîn hìn k.
Vªy: p n ) n p n! 1 n! (pcm)
2.2.3 T¼m sè nguy¶n tè thäa m¢n i·u ki»n cho tr÷îc
V½ dö 2.8. T¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà cõa sè nguy¶n tè p º: p + 10 v
p + 14 công l sè nguy¶n tè. 4
Líi gi£i. N¸u p = 3 th¼ p + 10 = 3 + 10 = 13 v p + 14 = 3 + 14 = 17
·u l c¡c sè nguy¶n tè n¶n p = 3 l gi¡ trà c¦n t¼m.
N¸u p 3 ) p câ d¤ng 3k + 1 ho°c d¤ng 3k 1
N¸u p = 3k + 1 th¼ p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5)
.. .3
N¸u p = 3k 1 th¼ p + 10 = 3k + 9 = 3(k + 3)
...
3
Vªy n¸u p 3 th¼ ho°c p + 10 ho°c p + 14 l hñp sè : khæng thäa m¢n
b i. Vªy p = 3.
V½ dö 2.9. T¼m k 2 N º trong 10 sè tü nhi¶n li¶n ti¸p:
k + 1; k + 2; k + 3; ::::k + 10
câ nhi·u sè nguy¶n tè nh§t. 4
Líi gi£i. N¸u k = 0: tø 1 ¸n 10 câ 4 sè nguy¶n tè: 2; 3; 5; 7.
N¸u k = 1: tø 2 ¸n 11 câ 5 sè nguy¶n tè: 2; 3; 5; 7; 11.
N¸u k 1: tø 3 trð i khæng câ sè ch®n n o l sè nguy¶n tè. Trong 5
sè l´ li¶n ti¸p, ½t nh§t câ 1 sè l bëi sè cõa 3 do â, d¢y s³ câ ½t hìn 5
sè nguy¶n tè.
Vªy vîi k = 1, d¢y t÷ìng ùng: k + 1; k + 2; :::::k + 10 câ chùa nhi·u sè
nguy¶n tè nh§t (5 sè nguy¶n tè).
V½ dö 2.10. T¼m t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè p º: 2p+p2 công l sè nguy¶n
tè. 4
Líi gi£i. X²t 3 tr÷íng hñp:
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
25. 2.2. Mët sè b i to¡n cì b£n v· sè nguy¶n tè 17
p = 2 ) 2p + p2 = 22 + 22 = 862 P
p = 3 ) 2p + p2 = 23 + 32 = 17 2 P
p 3 ) p6
.. .3. Ta câ 2p + p2 = (p2 1) + (2p + 1).
V¼ p l´ ) 2p + 1
...
...
3 v p2 1 = (p + 1)(p 1)
3 ) 2p + p262 P
Vªy câ duy nh§t 1 gi¡ trà p = 3 tho£ m¢n.
V½ dö 2.11. T¼m t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè p sao cho: pj2p + 1. 4
Líi gi£i. V¼ p 2 P : pj2p + 1 ) p 2 ) (2; p) = 1
Theo ành lþ Fermat, ta câ: pj2p1 1. M
pj2p + 1 ) pj2(2p1 1) + 3 ) pj3 ) p = 3
Vªy: p = 3.
2.2.4 Nhªn bi¸t sè nguy¶n tè
V½ dö 2.12. N¸u p l sè nguy¶n tè v 1 trong 2 sè 8p + 1 v 8p 1 l
sè nguy¶n tè th¼ sè cán l¤i l sè nguy¶n tè hay hñp sè? 4
Líi gi£i. N¸u p = 2 ) 8p + 1 = 17 2 P; 8p 1 = 1562 P
N¸u p = 3 ) 8p 1 = 23 2 P; 8p 1 = 2562 P
N¸u p 3, x²t 3 sè tü nhi¶n li¶n ti¸p: 8p1; 8p v 8p+1. Trong
3 sè n y t câ 1 sè chia h¸t cho 3. N¶n mët trong hai sè 8p + 1
v 8p 1 chia h¸t cho 3.
K¸t luªn: N¸u p 2 P v 1 trong 2 sè 8p + 1 v 8p 1 l sè nguy¶n tè
th¼ sè cán l¤i ph£i l hñp sè.
V½ dö 2.13. N¸u p 5 v 2p + 1 l c¡c sè nguy¶n tè th¼ 4p + 1 l
nguy¶n tè hay hñp sè? 4
Líi gi£i. X²t 3 sè tü nhi¶n li¶n ti¸p: 4p; 4p + 1; 4p + 2. Trong 3 sè t
câ mët sè l bëi cõa 3.
M p 5; p 2 P n¶n p câ d¤ng 3k + 1 ho°c 3k + 2
N¸u p = 3k + 1 th¼ 2p + 1 = 6k + 3
.. .3: (tr¡i vîi gi£ thi¸t)
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
26. 18 2.2. Mët sè b i to¡n cì b£n v· sè nguy¶n tè
N¸u p = 3k+2. Khi â 4p+1 = 4(3k+2)+1 = 12k+9
.. .3 ) 4p+1
l hñp sè
V½ dö 2.14. Trong d¢y sè tü nhi¶n câ thº t¼m ÷ñc 1997 sè li¶n ti¸p
nhau m khæng câ sè nguy¶n tè n o hay khæng ? 4
Líi gi£i. Chån d¢y sè: (ai) : ai = 1998! + i + 1 (i = 1; 1997) ) ai
.. .i +
1 8i = 1; 1997
Nh÷ vªy: D¢y sè a1; a2; a3; :::::a1997 gçm câ 1997 sè tü nhi¶n li¶n ti¸p
khæng câ sè n o l sè nguy¶n tè.
V½ dö 2.15 (Têng qu¡t b i tªp 2.14). Chùng minh r¬ng câ thº t¼m
÷ñc 1 d¢y sè gçm n sè tü nhi¶n li¶n ti¸p (n 1) khæng câ sè n o
l sè nguy¶n tè ? 4
Líi gi£i. Ta chån d¢y sè sau: (ai) : ai = (n+1)!+i+1 ) ai
.. .i+1 8i =
1; n.
B¤n åc h¢y tü chùng minh d¢y (ai) ð tr¶n s³ gçm câ n sè tü nhi¶n
li¶n ti¸p trong â khæng câ sè n o l sè nguy¶n tè c£.
2.2.5 C¡c d¤ng kh¡c
V½ dö 2.16. T¼m 3 sè nguy¶n tè sao cho t½ch cõa chóng g§p 5 l¦n têng
cõa chóng. 4
Líi gi£i. Gåi 3 sè nguy¶n tè ph£i t¼m l a; b; c. Ta câ: abc = 5(a + b +
c) ) abc
...
5
V¼ a; b; c câ vai trá b¼nh ¯ng n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû:
a
...
5 ) a = 5
Khi â: 5bc = 5(5 + b + c) , 5 + b + c = bc , (c 1)(b 1) = 6
Do vªy:
2
664
b 1 = 1
c 1 = 6
,
b = 2
c = 7
chån
b 1 = 2
c 1 = 3
,
b = 3
c = 4
lo¤i
Vªy bë sè (a; b; c) c¦n t¼m l ho¡n và cõa (2; 5; 7).
V½ dö 2.17. T¼m p; q 2 P sao cho p2 = 8q + 1. 4
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
27. 2.3. B i tªp 19
Líi gi£i. Ta câ:
p2 = 8q + 1 ) 8q = p2 1 = (p + 1)(p 1) (2.1)
Do p2 = 8q + 1 : l´ ) p2 : l´ ) p : l´. °t p = 2k + 1.
Thay v o (2.1) ta câ:
8q = 2k(2k + 2) ) 2q = k(k + 1) (2.2)
N¸u q = 2 ) 4 = k(k + 1) ) khæng t¼m ÷ñc k 2 N
Vªy q 2. V¼ q 2 P ) (2; q) = 1.
Tø (2.2) ta câ:
a) k = 2 v q = k + 1 ) k = 2; q = 3. Thay k¸t qu£ tr¶n v o (2.2)
ta câ: p = 2:2 + 1 = 5
b) q = k v 2 = k + 1 ) q = 1 :lo¤i.
Vªy (q; p) = (5; 3).
2.3 B i tªp
2.3.1 B i tªp câ h÷îng d¨n
B i 1. Ta bi¸t r¬ng câ 25 sè nguy¶n tè nhä hìn 100. Têng cõa 25 sè
nguy¶n tè nhä hìn 100 l sè ch®n hay sè l´?
HD :Trong 25 sè nguy¶n tè nhä hìn 100 câ chùa mët sè nguy¶n
tè ch®n duy nh§t l 2, cán 24 sè nguy¶n tè cán l¤i l sè l´. Do
â têng cõa 25 sè nguy¶n tè l sè ch®n.
B i 2. Têng cõa 3 sè nguy¶n tè b¬ng 1012. T¼m sè nguy¶n tè nhä nh§t
trong ba sè nguy¶n tè â.
HD: V¼ têng cõa 3 sè nguy¶n tè b¬ng 1012, n¶n trong 3 sè
nguy¶n tè â tçn t¤i ½t nh§t mët sè nguy¶n tè ch®n. M sè
nguy¶n tè ch®n duy nh§t l 2 v l sè nguy¶n tè nhä nh§t. Vªy
sè nguy¶n tè nhä nh§t trong 3 sè nguy¶n tè â l 2.
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
28. 20 2.3. B i tªp
B i 3. Têng cõa 2 sè nguy¶n tè câ thº b¬ng 2003 hay khæng? V¼ sao?
HD: V¼ têng cõa 2 sè nguy¶n tè b¬ng 2003, n¶n trong 2 sè
nguy¶n tè â tçn t¤i 1 sè nguy¶n tè ch®n. M sè nguy¶n tè
ch®n duy nh§t l 2. Do â sè nguy¶n tè cán l¤i l 2001. Do
2001 chia h¸t cho 3 v 2001 3. Suy ra 2001 khæng ph£i l sè
nguy¶n tè.
B i 4. T¼m sè nguy¶n tè p, sao cho p + 2; p + 4 công l c¡c sè nguy¶n
tè.
B i 5. Cho p v p + 4 l c¡c sè nguy¶n tè (p 3). Chùng minh r¬ng
p + 8 l hñp sè.
HD: V¼ p l sè nguy¶n tè v p 3, n¶n sè nguy¶n tè p câ 1
trong 2 d¤ng:
...
N¸u p = 3k +2 th¼ p+4 = 3k +6 = 3(k +2) ) p+4
3 v
p + 4 3. Do â p + 4 l hñp sè: tr¡i · b i.
...
N¸u p = 3k +1 th¼ p+8 = 3k +9 = 3(k +3) ) p+8
3 v
p + 8 3. Do â p + 8 l hñp sè.
B i 6. Chùng minh r¬ng måi sè nguy¶n tè lîn hìn 2 ·u câ d¤ng 4n+1
ho°c 4n 1.
B i 7. T¼m sè nguy¶n tè, bi¸t r¬ng sè â b¬ng têng cõa hai sè nguy¶n
tè v b¬ng hi»u cõa hai sè nguy¶n tè.
HD: Gi£ sû a; b; c; d; e l c¡c sè nguy¶n tè v d e. Theo ·
b i:
a = b + c = d e ()
Tø (*) ) a 2 n¶n a l sè nguy¶n tè l´ ) b+c; de l sè l´.
Do b; d l c¡c sè nguy¶n tè ) b; d l sè l´ ) c; e l sè ch®n.
) c = e = 2 (do c; el sè nguy¶n tè) ) a = b + 2 = d 2 )
d = b + 4.
Vªy ta c¦n t¼m sè nguy¶n tè b sao cho b + 2 v b + 4 công l
c¡c sè nguy¶n tè.
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
29. 2.3. B i tªp 21
B i 8. T¼m t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè x, y sao cho: x2 6y2 = 1.
B i 9. Cho p v p + 2 l c¡c sè nguy¶n tè (p 3). Chùng minh r¬ng
p + 1
...
6.
2.3.2 B i tªp khæng câ h÷îng d¨n
B i 1. T¼m sè nguy¶n tè p sao cho c¡c sè sau công l sè nguy¶n tè:
a) p + 2 v p + 10.
b) p + 10 v p + 20.
c) p + 10 v p + 14.
d) p + 14 v p + 20.
e) p + 2 v p + 8.
f) p + 2 v p + 14.
g) p + 4 v p + 10.
h) p + 8 v p + 10.
B i 2. T¼m sè nguy¶n tè p sao cho c¡c sè sau công l sè nguy¶n tè:
a) p + 2; p + 8; p + 12; p + 14
b) p + 2; p + 6; p + 8; p + 14
c) p + 6; p + 8; p + 12; p + 14
d) p + 2; p + 6; p + 8; p + 12; p + 14
e) p + 6; p + 12; p + 18; p + 24
f) p + 18; p + 24; p + 26; p + 32
g) p + 4; p + 6; p + 10; p + 12; p + 16
B i 3. Cho tr÷îc sè nguy¶n tè p 3 thäa
a) p + 4 2 P. Chùng minh r¬ng: p + 8 l hñp sè.
b) 2p + 1 2 P. Chùng minh r¬ng: 4p + 1 l hñp sè.
c) 10p + 1 2 P. Chùng minh r¬ng: 5p + 1 l hñp sè.
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
30. 22 2.3. B i tªp
d) p + 8 2 P. Chùng minh r¬ng: p + 4 l hñp sè.
e) 4p + 1 2 P. Chùng minh r¬ng: 2p + 1 l hñp sè.
f) 5p + 1 2 P. Chùng minh r¬ng: 10p + 1 l hñp sè.
g) 8p + 1 2 P. Chùng minh r¬ng: 8p 1 l hñp sè.
h) 8p 1 2 P. Chùng minh r¬ng: 8p + 1 l hñp sè.
i) 8p2 1 2 P. Chùng minh r¬ng: 8p2 + 1 l hñp sè.
j) 8p2 + 1 2 P. Chùng minh r¬ng: 8p2 1 l hñp sè.
B i 4. Chùng minh r¬ng:
a) N¸u p v q l hai sè nguy¶n tè lîn hìn 3 th¼ p2 q2.. .24.
b) N¸u a; a+k; a+2k(a; k 2 N) l c¡c sè nguy¶n tè lîn hìn
3 th¼ k
...
6.
B i 5. a) Mët sè nguy¶n tè chia cho 42 câ sè d÷ r l hñp sè. T¼m sè
d÷ r.
b) Mët sè nguy¶n tè chia cho 30 câ sè d÷ r. T¼m sè d÷ r bi¸t
r¬ng r khæng l sè nguy¶n tè.
B i 6. T¼m sè nguy¶n tè câ ba chú sè, bi¸t r¬ng n¸u vi¸t sè â theo
thù tü ng÷ñc l¤i th¼ ta ÷ñc mët sè l lªp ph÷ìng cõa mët sè
tü nhi¶n.
B i 7. T¼m sè tü nhi¶n câ 4 chú sè, chú sè h ng ngh¼n b¬ng chú sè
h ng ìn và, chú sè h ng tr«m b¬ng chú sè h ng chöc v sè â
vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng t½ch cõa 3 sè nguy¶n tè li¶n ti¸p.
B i 8. T¼m 3 sè nguy¶n tè l c¡c sè l´ li¶n ti¸p.
B i 9. T¼m 3 sè nguy¶n tè li¶n ti¸p p; q; r sao cho p2 + q2 + r2 2 P.
B i 10. T¼m t§t c£ c¡c bë ba sè nguy¶n tè a; b; c sao cho abc ab +
bc + ca.
B i 11. T¼m 3 sè nguy¶n tè p; q; r sao cho pq + qp = r.
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
31. 2.3. B i tªp 23
B i 12. T¼m c¡c sè nguy¶n tè x; y; z tho£ m¢n xy + 1 = z.
B i 13. T¼m sè nguy¶n tè abcd thäa ab; ac l c¡c sè nguy¶n tè v b2 =
cd + b c.
B i 14. Cho c¡c sè p = bc + a; q = ab + c; r = ca + b(a; b; c 2 N) l
c¡c sè nguy¶n tè. Chùng minh r¬ng 3 sè p; q; r câ ½t nh§t hai sè
b¬ng nhau.
B i 15. T¼m t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè x; y sao cho:
a) x2 12y2 = 1
b) 3x2 + 1 = 19y2
c) 5x2 11y2 = 1
d) 7x2 3y2 = 1
e) 13x2 y2 = 3
f) x2 = 8y + 1
B i 16. Chùng minh r¬ng i·u ki»n c¦n v õ º p v 8p2 +1 l c¡c sè
nguy¶n tè l p = 3.
B i 17. Chùng minh r¬ng: N¸u a2b2 l mët sè nguy¶n tè th¼ a2b2 =
a + b.
B i 18. Chùng minh r¬ng måi sè nguy¶n tè lîn hìn 3 ·u câ d¤ng 6n+1
ho°c 6n 1.
B i 19. Chùng minh r¬ng têng b¼nh ph÷ìng cõa 3 sè nguy¶n tè lîn hìn
3 khæng thº l mët sè nguy¶n tè.
B i 20. Cho sè tü nhi¶n n 2. Gåi p1; p2; :::; pn l nhúng sè nguy¶n tè
sao cho pn n+1. °t A = p1:p2:::pn. Chùng minh r¬ng trong
d¢y sè c¡c sè tü nhi¶n li¶n ti¸p: A + 2;A + 3; :::;A + (n + 1),
khæng chùa mët sè nguy¶n tè n o.
B i 21. Chùng minh r¬ng: N¸u p l sè nguy¶n tè th¼ 2:3:4:::(p3)(p
2) 1
.. .p.
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
32. 24 2.4. Phö löc: B¤n n¶n bi¸t
B i 22. Chùng minh r¬ng: N¸u p l sè nguy¶n tè th¼ 2:3:4:::(p2)(p
1) + 1
.. .p.
2.4 Phö löc: B¤n n¶n bi¸t
M÷íi sè nguy¶n tè câ 93 chú sè lªp th nh c§p sè cëng
Sau ¥y l mët sè nguy¶n tè gçm 93 chú sè:
100996972469714247637786655587969840329509324689190041
803603417758904341703348882159067229719
K löc n y do 70 nh to¡n håc lªp ÷ñc n«m 1998 thªt khâ m ¡nh
b¤i ÷ñc. Hå m§t nhi·u th¡ng t½nh to¡n mîi t¼m ÷ñc m÷íi sè nguy¶n
tè t¤o th nh mët c§p sè cëng.
Tø möc trá chìi trong 1 t¤p ch½ khoa håc, hai nh nghi¶n cùu ð tr÷íng
¤i håc Lyonl (Ph¡p) ¢ o s¥u þ t÷ðng: T¼m 6 sè nguy¶n tè sao cho
hi»u 2 sè li¶n ti¸p luæn luæn nh÷ nhau. i·u â l d¹ èi vîi c¡c chuy¶n
gia nh÷ng hå muèn i xa hìn. Công khæng câ v§n · g¼ khâ kh«n èi
vîi mët d¢y 7 sè. Hå c¦n sü hé trñ mët chót º ¤t ÷ñc 8 sè, mët sü
hé trñ hìn núa º ¤t tîi 9 sè. Cuèi còng th¡ng 3 n«m 1998 câ 70 nh
to¡n håc tø khp tr¶n th¸ giîi còng vîi 200 m¡y i»n to¡n ho¤t ëng
li¶n töc ¢ t¼m ra 10 sè, méi sè câ 93 chú sè, m hi»u sè cõa 2 sè li¶n
ti¸p luæn luæn l 210. Tø sè nguy¶n tè ð tr¶n ch¿ c¦n th¶m v o 210 l
÷ñc sè nguy¶n tè thù 2....
K löc câ l³ døng ð â: Theo ÷îc t½nh cõa c¡c nh khoa håc muèn t¼m
÷ñc 1 d¢y 11 sè nguy¶n tè th¼ ph£i m§t hìn 10 t¿ n«m.
Sinh ba r§t ½t, ph£i ch«ng sinh æi l¤i r§t nhi·u
Ta bi¸t r¬ng c¡c sè nguy¶n tè câ thº xa nhau tuý þ i·u n y thº hi»n
ð b i tªp:
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
33. 2.4. Phö löc: B¤n n¶n bi¸t 25
B i to¡n 2.1. Cho tr÷îc sè nguy¶n d÷ìng n tuý þ. Chùng minh r¬ng
tçn t¤i n sè tü nhi¶n li¶n ti¸p m méi sè trong chóng ·u l hñp sè.4
Vªy nh÷ng, c¡c sè nguy¶n tè công câ thº r§t g¦n nhau. C°p sè (2; 3)
l c°p sè tü nhi¶n li¶n ti¸p duy nh§t m c£ hai b¶n ·u l sè nguy¶n
tè. C°p sè (p; q)÷ñc gåi l c°p sè sinh æi, n¸u c£ 2 ·u l sè nguy¶n
tè v q = p + 2. Bë 3 sè (p; q; r) gåi l bë sè nguy¶n tè sinh ba n¸u
c£ 3 sè p,q,r ·u l c¡c sè nguy¶n tè v q = p + 2; r = q + 2.
B i to¡n 2.2. T¼m t§t c£ c¡c bë sè nguy¶n tè sinh ba? 4
¥y l mët b i to¡n d¹, dòng ph÷ìng ph¡p chùng minh duy nh§t ta
t¼m ra bë (3; 5; 7) l bë ba sè nguy¶n tè sinh ba duy nh§t, c¡c bë 3 sè
l´ lîn hìn 3 luæn câ 1 sè l hñp sè v¼ nâ chia h¸t cho 3.
Tø b i to¡n 2.2 th¼ b i to¡n sau trð th nh mët gi£ thuy¸t lîn ang chí
c¥u tr£ líi.
Dü o¡n 2.1 Tçn t¤i væ h¤n c°p sè sinh æi.
Sè ho n h£o (ho n to n) cõa nhúng ng÷íi Hy L¤p cê ¤i
Ng÷íi Hy L¤p cê ¤i câ quan ni»m th¦n b½ v· c¡c sè. Hå r§t thó và
ph¡t hi»n ra c¡c sè ho n h£o, ngh¾a l c¡c sè tü nhi¶n m têng c¡c ÷îc
sè tü nhi¶n thüc sü cõa nâ (c¡c ÷îc sè nhä hìn sè â) b¬ng ch½nh nâ.
Ch¯ng h¤n:
6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
Ng÷íi Hy L¤p cê ¤i ¢ bi¸t t¼m t§t c£ c¡c sè ho n h£o ch®n ngh¾a l
hå ¢ l m ÷ñc b i to¡n sau ¥y:
B i to¡n 2.3. Mët sè tü nhi¶n ch®n n6= 0 l sè ho n h£o n¸u v ch¿
n¸u: n = 2m+1(2m 1). Trong â m l sè tü nhi¶n kh¡c 0 sao cho
2m 1 l sè nguy¶n tè. 4
Tø â ta câ gi£ thuy¸t
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
34. 26 2.4. Phö löc: B¤n n¶n bi¸t
Dü o¡n 2.2 Khæng tçn t¤i sè ho n h£o l´.
Ð b i to¡n 2.3 tr¶n, sè nguy¶n tè d¤ng 2m 1 gåi l sè nguy¶n tè
Merseme. C¡c sè nguy¶n tè Merseme câ vai trá r§t quan trång. Cho
¸n nay ng÷íi ta v¨n ch÷a bi¸t câ húu h¤n hay væ h¤n sè nguy¶n tè
Merseme.
Dü o¡n 2.3 Tçn t¤i væ h¤n sè nguy¶n tè Merseme.
N«m 1985 sè nguy¶n tè lîn nh§t m ng÷íi ta bi¸t l sè 21320491 gçm
39751 chú sè ghi trong h» thªp ph¥n. G¦n ¥y 2 sinh vi¶n Mÿ ¢ t¼m
ra mët sè nguy¶n tè lîn hìn núa â l sè 22160911 gçm 65050 chú sè.
Ta bi¸t r¬ng vîi håc sinh lîp 6 º thû xem sè A câ ½t hìn 20 chú sè
câ l sè nguy¶n tè khæng b¬ng c¡ch thû xem A câ chia h¸t cho sè n o
nhä hìn A hay khæng, th¼ º t¼m h¸t c¡c sè nguy¶n tè vîi chi¸c m¡y
si¶u i»n to¡n c¦n h ng th¸ k !!!
David SlowinSky ¢ so¤n mët ph¦n m·m, l m vi»c tr¶n m¡y si¶u i»n
to¡n Gray-2 , sau 19 gií æng ¢ t¼m ra sè nguy¶n tè 2756839 1. Sè n y
vi¸t trong h» thªp ph¥n s³ câ 227832 chú sè- vi¸t h¸t sè n y c¦n 110
trang v«n b£n b¼nh th÷íng. Ho°c n¸u vi¸t h ng ngang nhúng sè tr¶n
phæng chú .VnTime Size 14 th¼ ta c¦n kho£ng 570 m.
Líi K¸t
Thæng qua · t i n y, chóng ta câ thº kh¯ng ành r¬ng: To¡n håc câ
m°t trong måi cæng vi»c, måi l¾nh vüc cõa cuëc sèng quanh ta, nâ
khæng thº t¡ch ríi v l¢ng qu¶n ÷ñc, n¶n chóng ta ph£i hiºu bi¸t v
nm bt ÷ñc nâ mët c¡ch tü gi¡c v hi»u qu£.
Möc ½ch cõa · t i n y l trang bà nhúng ki¸n thùc cì b£n câ o
s¥u câ n¥ng cao v r±n luy»n t÷ duy to¡n håc cho håc sinh, t¤o ra n·n
t£ng tin cªy º c¡c em câ vèn ki¸n thùc nh§t ành l m h nh trang cho
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
35. 2.4. Phö löc: B¤n n¶n bi¸t 27
nhúng n«m håc ti¸p theo.
Vîi i·u ki»n câ nhi·u h¤n ch¸ v· thíi gian, v· n«ng lüc tr¼nh ë n¶n
trong khuæn khê · t i n y ph¥n chia d¤ng to¡n, lo¤i to¡n ch¿ câ t½nh
t÷ìng èi. çng thíi công mîi ch¿ ÷a ra líi gi£i chù ch÷a câ ph÷ìng
ph¡p, thuªt l m rã r ng. Tuy ¢ câ cè gng nhi·u nh÷ng chnsg tæi tü
th§y trong · t i n y cán nhi·u h¤n ch¸. Chóng tæi r§t mong nhªn
÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y cæ gi¡o còng b¤n åc º to¡n
håc thªt sü câ þ ngh¾a cao µp nh÷ c¥u ng¤n ngú Ph¡p ¢ vi¸t:
To¡n håc l Vua cõa c¡c khoa håc
Sè håc l Nú ho ng
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
36.
37. Ch֓ng
3
B i to¡n chia h¸t
3.1 Lþ thuy¸t cì b£n 29
3.2 Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia
h¸t 31
Ph¤m Quang To n (Ph¤m Quang To n)
Chia h¸t l mët · t i quan trång trong ch÷ìng tr¼nh Sè håc cõa bªc
THCS. i k±m theo â l c¡c b i to¡n khâ v hay. B i vi¸t n y xin
giîi thi»u vîi b¤n åc nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t:
ph÷ìng ph¡p x²t sè d÷, ph÷ìng ph¡p quy n¤p, ph÷ìng ph¡p çng d÷,
v.v...
3.1 Lþ thuy¸t cì b£n
3.1.1 ành ngh¾a v· chia h¸t
ành ngh¾a 3.1 Cho hai sè nguy¶n a v b trong â b6= 0, ta luæn t¼m
÷ñc hai sè nguy¶n q v r duy nh§t sao cho
a = bq + r
vîi 0 r b.
Trong â, ta nâi a l sè bà chia, b l sè chia, q l th÷ìng, r l sè d÷.4
Nh÷ vªy, khi a chia cho b th¼ câ thº ÷a ra c¡c sè d÷ r 2 f0; 1; 2; ; jbjg.
°c bi»t, vîi r = 0 th¼ a = bq, khi â ta nâi a chia h¸t cho b (ho°c a l
bëi cõa b, ho°c b l ÷îc cõa a). Ta k½ hi»u b j a. Cán khi a khæng chia
29
38. 30 3.1. Lþ thuy¸t cì b£n
h¸t cho b, ta k½ hi»u b - a.
Sau ¥y l mët sè t½nh ch§t th÷íng dòng, chùng minh ÷ñc suy ra trüc
ti¸p tø ành ngh¾a.
3.1.2 T½nh ch§t
Sau ¥y xin giîi thi»u mët sè t½nh ch§t v· chia h¸t, vi»c chùng minh
kh¡ l d¹ d ng n¶n s³ d nh cho b¤n åc. Ta câ vîi a; b; c; d l c¡c sè
nguy¶n th¼:
T½nh ch§t 3.1 N¸u a6= 0 th¼ a j a, 0 j a.
T½nh ch§t 3.2 N¸u b j a th¼ b j ac.
T½nh ch§t 3.3 N¸u b j a v c j b th¼ c j a.
T½nh ch§t 3.4 N¸u c j a v c j b th¼ c j (ax by) vîi x; y nguy¶n.
T½nh ch§t 3.5 N¸u b j a v a j b th¼ a = b ho°c a = b.
T½nh ch§t 3.6 N¸u c j a v d j b th¼ cd j ab.
T½nh ch§t 3.7 N¸u b j a; c j a th¼ BCNN(b; c) j a.
T½nh ch§t 3.8 N¸u c j ab v UCLN(b; c) = 1 th¼ c j a.
T½nh ch§t 3.9 N¸u p j ab, p l sè nguy¶n tè th¼ p j a ho°c p j b.
Tø t½nh ch§t tr¶n ta suy ra h» qu£
H» qu£ 3.1 N¸u p j an vîi p l sè nguy¶n tè, n nguy¶n d÷ìng th¼
pn j an.
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
39. 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t 31
3.1.3 Mët sè d§u hi»u chia h¸t
Ta °t N = anan1 : : : a1a0
D§u hi»u chia h¸t cho 2; 5; 4; 25; 8; 125
2 j N , 2 j a0 , a0 2 f0; 2; 4; 6; 8g
5 j N , 5 j a0 , a0 2 f0; 5g
4; 25 j N , 4; 25 j a1a0
8; 125 j N , 8; 125 j a2a1a0
D§u hi»u chia h¸t cho 3 v 9
3; 9 j N , 3; 9 j (a0 + a1 + + an1 + an)
Mët sè d§u hi»u chia h¸t kh¡c
11 j N , 11 j [(a0 + a2 + ) (a1 + a3 + )]
101 j N , 101 j [(a1a0 + a5a4 + ) (a3a2 + a7a6 + )]
7; 13 j N , 7; 37 j [(a2a1a0 + a8a7a6 + ) (a5a4a3 + a11a10a9 + )]
37 j N , 37 j (a2a1a0 + a5a4a3 + + anan1an2)
19 j N , 19 j
an + 2an1 + 22an2 + + 2na0
3.2 Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t
3.2.1 p döng ành lþ Fermat nhä v c¡c t½nh ch§t cõa chia
h¸t
ành lþ Fermat nhä
ành lþ 3.1 (ành lþ Fermat nhä) Vîi måi sè nguy¶n a v sè
nguy¶n tè p th¼ ap p (mod p).
Chùng minh. 1. N¸u p j a th¼ p j (a5 a).
2. N¸u p - a th¼ 2a; 3a; 4a; ; (p 1)a công khæng chia h¸t cho p.
Gåi r1; r2; ; rp1 l¦n l÷ñt l sè d÷ khi chia a; 2a; 3a; ; (p1)a
cho p. th¼ chóng s³ thuëc tªp f1; 2; 3; ; p1g v æi mët kh¡c
nhau (v¼ ch¯ng h¤n n¸u r1 = r3 th¼ p j (3a a) hay p j 2a,
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
40. 32 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t
ch¿ câ thº l p = 2, m p = 2 th¼ b i to¡n khæng óng). Do â
r1r2 rp1 = 1 2 3 (p 1). Ta câ
a r1 (mod p)
2a r2 (mod p)
(p 1)a rp1 (mod p)
Nh¥n v¸ theo v¸ ta suy ra
123 (p1)ap1 r1r2 rp1 (mod p) ) ap1 1 (mod p)
V¼ UCLN(a; p) = 1 n¶n ap a (mod p).
Nh÷ vªy vîi måi sè nguy¶n a v sè nguy¶n tè p th¼ ap a (mod p).
Nhªn x²t. Ta câ thº chùng minh ành lþ b¬ng quy n¤p. Ngo i ra, ành
lþ cán ÷ñc ph¡t biºu d÷îi d¤ng sau:
ành lþ 3.2 Vîi måi sè nguy¶n a, p l sè nguy¶n tè, UCLN(a; p) =
1 th¼ ap1 1 (mod p).
Ph÷ìng ph¡p sû döng t½nh ch§t chia h¸t v ¡p döng ành lþ
Fermat nhä
Cì sð: Sû döng c¡c t½nh ch§t chia h¸t v ành lþ Fermat nhä º gi£i
to¡n.
V½ dö 3.1. Cho a v b l hai sè tü nhi¶n. Chùng minh r¬ng 5a2+15ab
b2 chia h¸t cho 49 khi v ch¿ khi 3a + b chia h¸t cho 7. 4
Líi gi£i. )) Gi£ sû 49 j 5a2 + 15ab b2 ) 7 j 5a2 + 15ab b2 ) 7 j
(14a2 + 21ab) (5a2 + 15ab b2) ) 7 j (9a2 + 6ab + b2) ) 7 j
(3a + b)2 ) 7 j 3a + b.
() Gi£ sû 7 j 3a+b. °t 3a+b = 7c (c 2 Z. Khi â b = 7c3a. Nh÷
vªy
) 5a2 + 15ab b2 = 5a2 + 15a(7c 3a) (7c 3a)2
= 49(c2 + 3ac a2)
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
41. 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t 33
chia h¸t cho 49.
Vªy 5a2 + 15ab b2 chia h¸t cho 49 khi v ch¿ khi 3a + b chia h¸t cho
7.
V½ dö 3.2. Cho 11 j (16a + 17b)(17a + 16b) vîi a; b l hai sè nguy¶n.
Chùng minh r¬ng 121 j (16a + 17b)(17a + 16b). 4
Líi gi£i. Ta câ theo ¦u b i, v¼ 11 nguy¶n tè n¶n ½t nh§t mët trong
hai sè 16a + 17b v 17a + 16b chia h¸t cho 11. Ta l¤i câ (16a + 17b) +
(17a + 16b) = 33(a + b) chia h¸t cho 11. Do â n¸u mët trong hai sè
16a + 17b v 17a + 16b chia h¸t cho 11 th¼ sè cán l¤i công chia h¸t cho
11. Cho n¶n 121 j (16a + 17b)(17a + 16b).
V½ dö 3.3. Chùng minh r¬ng A = 130 + 230 + + 1130 khæng chia h¸t
cho 11. 4
Líi gi£i. Vîi måi a = 1; 2; ; 10 th¼ (a; 10) = 1. Do â theo ành lþ
Fermat b² th¼ a10 1 (mod 11) ) a30 1 (mod 11) vîi måi a =
1; 2; ; 10 v 1130 0 (mod 11). Nh÷ vªy
A |1 + 1 +{z + 1}
10 sè 1
+0 (mod 11)
10 (mod 11) ) 11 - A
V½ dö 3.4. Cho p v q l hai sè nguy¶n tè ph¥n bi»t. Chùng minh r¬ng
pq1 + qp1 1 chia h¸t cho pq. 4
Líi gi£i. V¼ q nguy¶n tè n¶n theo ành lþ Fermat nhä th¼
pq1 1 (mod q)
Do â
pq1 + qp1 1 (mod q)
V¼ q v p câ vai trá b¼nh ¯ng n¶n ta công d¹ d ng suy ra
qp1 + pq1 1 (mod p):
Cuèi còng v¼ UCLN(q; p) = 1 n¶n pq1 + qp1 1 (mod pq) hay
pq1 + qp1 1 chia h¸t cho pq.
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
42. 34 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t
B i tªp · nghà
B i 1. Chùng minh r¬ng 11a+2b chia h¸t cho 19 khi v ch¿ khi 18a+5b
chia h¸t cho 19 vîi a; b l c¡c sè nguy¶n.
B i 2. Chùng minh r¬ng 2a + 7 chia h¸t cho 7 khi v ch¿ khi 3a2 +
10ab 8b2.
B i 3. Cho p l sè nguy¶n tè lîn hìn 5. Chùng minh r¬ng n¸u n l sè
tü nhi¶n câ p1 chú sè v c¡c chú sè â ·u b¬ng 1 th¼ n chia
h¸t cho p.
B i 4. Gi£ sû n 2 N; n 2. X²t c¡c sè tü nhi¶n an = 11 1 ÷ñc vi¸t
bði n chú sè 1. Chùng minh r¬ng n¸u an l mët sè nguy¶n tè
th¼ n l ÷îc cõa an 1.
B i 5. Gi£ sû a v b l c¡c sè nguy¶n d÷ìng sao cho 2a 1; 2b 1 v
a + b ·u l sè nguy¶n tè. Chùng minh r¬ng ab + ba v aa + bb
·u khæng chia h¸t cho a + b.
B i 6. Chùng minh r¬ng vîi måi sè nguy¶n tè p th¼ tçn t¤i sè nguy¶n
n sao cho 2n + 3n + 6n 1 chia h¸t cho p.
3.2.2 X²t sè d÷
Cì sð: º chùng minh A(n) chia h¸t cho p, ta x²t c¡c sè n d¤ng
n = kp + r vîi r 2 f0; 1; 2; ; p 1g.
Ch¯ng h¤n, vîi p = 5 th¼ sè nguy¶n n câ thº vi¸t l¤i th nh 5k; 5k +
1; 5k + 2; 5k + 3; 5k + 4. Ta th¸ méi d¤ng n y v o c¡c và tr½ cõa n rçi
lþ luªn ra ¡p sè. Sau ¥y l mët sè v½ dö
V½ dö 3.5. T¼m k 2 N º tçn t¤i n 2 N sao cho
4 j n2 k
vîi k 2 f0; 1; 2; 3g. 4
Líi gi£i. Gi£ sû tçn t¤i k 2 N º tçn t¤i n 2 N thäa m¢n 4 j n2 k.
Ta x²t c¡c Tr÷íng hñp: (m 2 N)
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
43. 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t 35
1. N¸u n = 4m th¼ n2 k = 16m2 k chia h¸t cho 4 khi v ch¿ khi
4 j k n¶n k = 0:
2. N¸u n = 4m 1 th¼ n2 k = 16m2 8m + 1 k chia h¸t cho 4
khi v ch¿ khi 4 j 1 k n¶n k = 1.
3. N¸u n = 4m 2 th¼ n2 k = 16m2 16m+ 4 k chia h¸t cho 4
khi v ch¿ khi 4 j k n¶n k = 0.
Vªy k = 0 ho°c k = 1.
V½ dö 3.6. Chùng minh r¬ng vîi måi n 2 N th¼ 6 j n(2n+7)(7n+1).4
Líi gi£i. Ta th§y mët trong hai sè n v 7n + 1 l sè ch®n 8n 2 N. Do
â 2 j n(2n+7)(7n+1). Ta s³ chùng minh 3 j n(2n+7)(7n+1). Thªt
vªy, x²t
1. Vîi n = 3k th¼ 3 j n(2n + 7)(7n + 1).
2. Vîi n = 3k + 1 th¼ 2n + 7 = 6k + 9 chia h¸t cho 3 n¶n 3 j
n(2n + 7)(7n + 1).
3. Vîi n = 3k + 2 th¼ 7n + 1 = 21k + 15 chia h¸t cho 3 n¶n 3 j
n(2n + 7)(7n + 1).
Do â 3 j n(2n+7)(7n+1) m (2; 3) = 1 n¶n 6 j n(2n+7)(7n+1) 8n 2
N.
V½ dö 3.7. (HSG 9, Tp Hç Ch½ Minh, váng 2, 1995) Cho x; y; z l c¡c
sè nguy¶n thäa m¢n
(x y)(y z)(z x) = x + y + z (3.1)
Chùng minh r¬ng 27 j (x + y + z). 4
Líi gi£i. X²t hai tr÷íng hñp sau
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
44. 36 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t
1. N¸u ba sè x; y; z chia h¸t cho 3 câ c¡c sè d÷ kh¡c nhau th¼ c¡c
hi»u xy; yz; zx còng khæng chia h¸t cho 3. M 3 j (x+y+z)
n¶n tø (3.1) suy ra væ l½ .
2. N¸u ba sè x; y; z ch¿ câ hai sè chia cho 3 câ còng sè d÷ th¼ trong ba
hi»u xy; yz; zx câ mët hi»u chia h¸t cho 3. M 3 - (x+y+z)
n¶n tø (3.1) suy ra væ l½.
Vªy x; y; z chia cho 3 câ còng sè d÷, khi â x y; y z; z x ·u chia
h¸t cho 3. Tø (3.1) ta suy ra 27 j (x + y + z), ta câ pcm.
B i tªp · nghà
B i 1. i) T¼m sè tü nhi¶n n º 7 j (2n 1).
ii) Chùng minh r¬ng 7 - (2n + 1) 8n 2 N.
B i 2. Chùng minh r¬ng vîi måi sè nguy¶n a th¼ a(a6 1) chia h¸t
cho 7.
B i 3. T¼m n º 13 j 32n + 3n + 1.
B i 4. Chùng minh r¬ng vîi måi a; b 2 N th¼ ab(a2b2)(4a2b2) luæn
luæn chia h¸t cho 5.
B i 5. Chùng minh r¬ng 24 j (p 1)(p + 1) vîi p l sè nguy¶n tè lîn
hìn 3.
B i 6. Chùng minh r¬ng khæng tçn t¤i sè nguy¶n a º a2 +1 chia h¸t
cho 12.
B i 7. Chùng minh r¬ng vîi måi sè nguy¶n x; y; z n¸u 6 j x+y+z th¼
6 j x3 + y3 + z3.
B i 8. Cho ab = 20112012, vîi a; b 2 N. Häi têng a + b câ chia h¸t cho
2012 hay khæng ?
B i 9. Sè 3n+2003 trong â n l sè nguy¶n d÷ìng câ chia h¸t cho 184
khæng ?
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
45. 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t 37
B i 10. Cho c¡c sè nguy¶n d÷ìng x; y; z thäa m¢n x2 +y2 = z2. Chùng
minh r¬ng xyz chia h¸t cho 60.
B i 11. Cho c¡c sè nguy¶n d÷ìng x; y; z thäa m¢n x2+y2 = 2z2. Chùng
minh r¬ng x2 y2 chia h¸t cho 84:
B i 12. Cho n 3; (n 2 N). Chùng minh r¬ng n¸u 2n = 10a+b; (0
b 9) th¼ 6 j ab.
3.2.3 Ph¥n t½ch
Ph¥n t½ch th nh t½ch
Cì sð: º chùng minh A(n) chia h¸t cho p, ta ph¥n t½ch A(n) = D(n)p,
cán n¸u trong ta khæng thº ÷a ra c¡ch ph¥n t½ch nh÷ vªy, ta câ thº
vi¸t p = kq.
N¸u (k; q) = 1 th¼ ta chùng minh A(n) còng chia h¸t cho k v q.
N¸u (k; q)6= 1 th¼ ta vi¸t A(n) = B(n)C(n) v chùng minh B(n)
chia h¸t cho k, C(n) chia h¸t cho q.
V½ dö 3.8. Cho n l mët sè nguy¶n d÷ìng. Chùng minh r¬ng
2n j (n + 1) (n + 2) (2n) :
Líi gi£i. Ta câ
(n + 1) (n + 2) (2n) =
(2n)!
n!
=
(1:3:5:::(2n 1)) (2:4:6:::2n)
n!
= 1:3:5:::(2n 1):2n:
n!
n!
= 1:3:5:::(2n 1):2n:
Do â 2n j (n + 1) (n + 2) (2n) :
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
46. 38 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t
V½ dö 3.9. Chùng minh r¬ng vîi måi sè nguy¶n n th¼ 6 j n3 n. 4
Líi gi£i. Ph¥n t½ch
n3 n = n(n2 1) = n(n 1)(n + 1)
Biºu thùc l t½ch ba sè nguy¶n li¶n ti¸p n¶n tçn t¤i ½t nh§t mët trong
ba sè mët sè chia h¸t cho 2 v mët sè chia h¸t cho 3. M (2; 3) = 1 n¶n
6 j n3 n.
V½ dö 3.10. Chùng minh r¬ng n6 n4 n2 + 1 chia h¸t cho 128 vîi n
l´. 4
Líi gi£i. Ta câ
n6 n4 n2 + 1 = (n2 1)2(n + 1) = (n 1)2(n + 1)2
V¼ n l´ n¶n °t n = 2k; k 2 N, suy ra
(n2 1)2 =
(2k + 1)2 1
= (4k2 + 4k)2 = [4k(k + 1)]2
Vªy 64 j (n2 1)2. V¼ n l´ n¶n 2 j n + 1, suy ra pcm.
V½ dö 3.11. Cho ba sè nguy¶n d÷ìng kh¡c nhau x; y; z. Chùng minh
r¬ng (xy)5+(yz)5+(xz)5 chia h¸t cho 5(xy)(yz)(xz).4
Líi gi£i. Ta câ
(x y)5 + (y z)5 + (x z)5
= (x z + z y)5 + (y z)5 + (z x)5
= (x z)5 + 5(x z)4(z y) + 10(x z)3(z y)2
+10(x z)4(z y) + 10(x z)3(z y)2
+10(x z)2(z y)3 + 5(x z)(z y)4
= 5(x z)(z y)
(x z)3 + 2(x z)2(z y) + 2(x z)(z y)2 + (z y)3
:
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
47. 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t 39
Nh÷ng ta công câ:
(x z)3 + 2(x z)2(z y) + 2(x z)(z y)2 + (z y)3
= (x y + y z)3 + 2(x y + y z)2(z y)
+2(x y + y z)(z y)2 + (z y)3
= (x y)3 + 2(x y)2(y z) + 3(x y)(y z)2
+(y z)3 + 2(x y)2(z y)
+4(x y)(y z)(z y) + 2(y z)2(z y)
+2(x y)(z y)2 + 2(y z)(z y)2 + (z y)3
= (x y)3 + 3(x y)2(y z) + 3(x y)(y z)2
+2(x y)2(z y) + 4(x y)(y z)(z y) + 2(x y)(z y)2;
Biºu thùc cuèi còng câ nh¥n tû chung (x y): Ta suy ra i·u ph£i
chùng minh.
B i tªp · nghà
B i 1. Chùng minh r¬ng n¸u a; k l c¡c sè nguy¶n, a l´ th¼ 2k+1 j
(a2k
1).
B i 2. Chùng minh r¬ng n5 n chia h¸t cho 30 vîi måi n 2 Z.
B i 3. Chùng minh r¬ng 3n4 14n3 + 21n2 10n chia h¸t cho 24 vîi
måi n 2 Z.
B i 4. Chùng minh r¬ng n55n3+4n chia h¸t cho 120 vîi måi n 2 Z.
B i 5. Chùng minh r¬ng n3 3n2 n + 3 chia h¸t cho 48 vîi måi n
l´, n 2 Z.
B i 6. Chùng minh r¬ng n8 n6 n4 + n2 chia h¸t cho 1152 vîi måi
sè nguy¶n n l´.
B i 7. Chùng minh r¬ng n44n34n2+16n chia h¸t cho 348 vîi måi
n l sè nguy¶n ch®n.
B i 8. Chùng minh r¬ng n4 14n3 + 71n2 154n + 120 chia h¸t cho
24 vîi måi sè tü nhi¶n n.
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
48. 40 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t
B i 9. Cho x; y; z l c¡c sè nguy¶n kh¡c 0. Chùng minh r¬ng n¸u
x2 yz = a; y2 zx = b; z2 xy = c th¼ têng (ax + by + cz)
chia h¸t cho têng (a + b + c).
B i 10. Cho m; n l hai sè ch½nh ph÷ìng l´ li¶n ti¸p. Chùng minh r¬ng
mn m n + 1 chia h¸t cho 192.
B i 11. (HSG 9 TQ 1970) Chùng minh r¬ng n12 n8 n4 +1 chia h¸t
cho 512 vîi måi sè tü nhi¶n n l´.
B i 12. (HSG 9 TQ 1975) Chùng minh r¬ng n4 +6n3 +11n2 +6n chia
h¸t cho 24 vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n.
T¡ch têng
Cì sð: º chùng minh A(n) chia h¸t cho p, ta bi¸n êi A(n) th nh
têng nhi·u h¤ng tû rçi chùng minh méi h¤ng tû ·u chia h¸t cho p.
Ta câ thº sû döng mët sè h¬ng ¯ng thùc ¡p döng v o chia h¸t, v½ dö
nh÷:
Cho a; b l c¡c sè thüc v n l sè nguy¶n d÷ìng. Khi â ta
câ
an bn = (a b)(an1 + an2b + + abn2 + bn1)
Ta s³ câ h» qu£ l :
H» qu£ 3.2 N¸u a b6= 0 th¼ an bn chia h¸t cho a b.
H» qu£ 3.3 N¸u a + b6= 0 v n l´ th¼ an + bn chia h¸t cho a + b.
H» qu£ 3.4 N¸u a+b6= 0 v n ch®n th¼ an bn chia h¸t cho a+b
V½ dö 3.12. Chùng minh r¬ng ax2 +bx+c 2 Z; 8x 2 Z khi v ch¿ khi
2a; a + b; c 2 Z 4
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
49. 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t 41
Líi gi£i. Ph¥n t½ch
ax2 + bx + c = ax2 ax + (a + b)x + c
= 2a:
x(x 1)
2
+ (a + b)x + c 2 Z; 8x 2 Z:
V½ dö 3.13. Chùng minh r¬ng 6 j (a3 + 5a) 8a 2 N. 4
Líi gi£i. Ph¥n t½ch a3+5a = (a3a)+6a. Hiºn nhi¶n óng v¼ 6 j n3n
(chùng minh ð v½ dö Equation 4.27).
Nhªn x²t. Tø v½ dö Equation 4.27 ta công câ thº ÷a ra c¡c b i to¡n
sau, chùng minh công b¬ng c¡ch vªn döng ph÷ìng ph¡p t¡ch têng:
B i to¡n 3.1. Cho m; n 2 Z. Chùng minh r¬ng 6 j m2n2(m n). 4
B i to¡n 3.2. Cho a; b; c 2 Z. Chùng minh r¬ng 6 j (a3 + b3 + c3) khi
v ch¿ khi 6 j (a + b + c) 4
B i to¡n 3.3. Cho a 2 Z. Chùng minh r¬ng a
3
+
a2
2
+
a3
6
2 Z 4
B i to¡n 3.4. Vi¸t sè 20112012 th nh têng c¡c sè nguy¶n d÷ìng. em
têng lªp ph÷ìng t§t c£ c¡c sè h¤ng â chia cho 3 th¼ ÷ñc d÷ l bao
nhi¶u ? 4
V½ dö 3.14. Cho m; n l c¡c sè nguy¶n thäa m¢n:
m
n
= 1
1
2
+
1
3
1
4
+
1
1334
+
1
1335
Chùng minh r¬ng 2003 j m. 4
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
50. 42 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t
Líi gi£i. º þ r¬ng 2003 l sè nguy¶n tè. Ta câ
m
1
1
1
1
1
= 1
+
+
+
n
2
3
4
1334
1335
=
1 +
1
2
+
1
3
+ +
1
1335
2
1
2
+
1
4
+
1
6
+ +
1
1334
=
1 +
1
2
+
1
3
+ +
1
1335
1 +
1
2
+
1
3
+ +
1
667
=
1
668
+
1
669
+ +
1
1335
=
1
668
+
1
1335
+
1
669
+
1
1334
+ +
1
1001
+
1
1002
= 2003
1
668:1335
+
1
669:1334
+ +
1
1001:1002
= 2003:
p
q
Ð ¥y p l sè nguy¶n cán q = 668 669 1335. V¼ 2003 nguy¶n tè n¶n
(q; 2003) = 1.
Do â tø () suy ra 2003pn = mq:
V¼ p; n nguy¶n n¶n suy ra 2003jmq m (q; 2003) = 1 n¶n 2003jm.
V½ dö 3.15. Chùng minh r¬ng vîi måi sè tü nhi¶n n th¼ A = 2005n +
60n 1897n 168n chia h¸t cho 2004. 4
Líi gi£i. Ta câ 2004 = 12 167. V¼ (12; 167) = 1 n¶n º chùng minh
A chia h¸t cho 2004 ta chùng minh A chia h¸t cho 12 v 167.
p döng t½nh ch§t an bn chia h¸t cho a b vîi måi n tü nhi¶n v
ab6= 0 suy ra 2005n1897n chia h¸t cho 20051897 = 108 = 129,
hay 2005n 1897n chia h¸t cho 12. T÷ìng tü th¼ 168n 60n chia h¸t
cho 12. Vªy A chia h¸t cho 12.
Ti¸p töc ph¥n t½ch
A = (2005n 168n) (1897n 60n):
Lªp luªn t÷ìng tü nh÷ tr¶n th¼ 2005n 168n v 1897n 60n chia h¸t
cho 167, tùc A chia h¸t cho 167. Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh.
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
51. 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t 43
V½ dö 3.16. (· thi tuyºn sinh HKHTN-HQG H Nëi, váng 1, n«m
2007-2008) Cho a; b l hai sè nguy¶n d÷ìng v a+1; b+2007 ·u chia
h¸t cho 6. Chùng minh r¬ng 4a + a + b chia h¸t cho 6. 4
Líi gi£i. Ph¥n t½ch
4a + a + b = (4a + 2) + (a + 1) + (b + 2007) 2010
4a + 2 = 4a 1 + 3 = (4 1)(4a1 + 1) + 3
Nh÷ vªy 3 j 4a + 2. Do â 4a + a + b l têng cõa c¡c sè nguy¶n d÷ìng
chia h¸t cho 6 n¶n 4a + a + b chia h¸t cho 6.
B i tªp · nghà
B i 1. ÷a ra c¡c mð rëng tø b i tªp · nghà cõa ph÷ìng ph¡p ph¥n
t½ch th nh t½ch th nh c¡c b i to¡n vªn döng ph÷ìng ph¡p t¡ch
têng (gièng nh÷ c¡ch mð rëng cõa v½ dö 1.9).
B i 2. (Hungary MO 1947) Chùng minh r¬ng 46n + 296:13n chia h¸t
cho 1947 vîi måi sè tü nhi¶n n l´.
B i 3. Chùng minh r¬ng 20n + 16n 3n 1 chia h¸t cho 323 vîi måi
sè tü nhi¶n n ch®n.
B i 4. Chùng minh r¬ng 2903n803n464n+261n chia h¸t cho 1897
vîi måi sè tü nhi¶n n.
B i 5. Chùng minh r¬ng vîi måi sè nguy¶n n 1 ta câ nn + 5n2
11n + 5 chia h¸t cho (n 1)2.
B i 6. (HSG 9 Tp H Nëi, váng 2, 1998) Chùng minh r¬ng 1997 j m
vîi m; n 2 N thäa m¢n
m
n
= 1
1
2
+
1
3
1
4
+ +
1
1329
1
1330
+
1
1331
:
B i 7. Chùng minh r¬ng 32n+1 + 2n+2 chia h¸t cho 7 vîi måi n 2 N:
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
52. 44 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t
B i 8. Chùng minh r¬ng 20032005 + 20172015 chia h¸t cho 12.
B i 9. Cho p l sè tü nhi¶n l´ v c¡c sè nguy¶n a; b; c; d; e thäa m¢n
a + b + c + d + e v a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ·u chia h¸t cho p.
Chùng minh r¬ng sè a5 + b5 + c5 + d5 + e5 5abcde công chia
h¸t cho p.
B i 10. (Canada Training for IMO 1987)
K½ hi»u:
1 3 5 (2n 1) = (2n 1)!!
2 4 6 (2n) = (2n)!!:
Chùng minh r¬ng (1985)!! + (1986)!! chia h¸t cho 1987:
B i 11. Chùng minh r¬ng sè 22225555 + 55552222 chia h¸t cho 7.
B i 12. Cho k l sè nguy¶n d÷ìng sao cho sè p = 3k + 1 l sè nguy¶n
tè v
1
1 2
+
1
3 4
+ +
1
(2k 1)2k
=
m
n
vîi hai sè nguy¶n d÷ìng nguy¶n tè còng nhau m v n.Chùng
minh m chia h¸t cho p.
(T¤p ch½ Mathematics Reflections, «ng bði T.Andreescu)
3.2.4 X²t çng d÷
ành ngh¾a v mët sè t½nh ch§t
ành ngh¾a 3.2 Cho a; b l c¡c sè nguy¶n v n l sè nguy¶n d÷ìng. Ta
nâi, a çng d÷ vîi b theo modun n v k½ hi»u a b (mod n) n¸u a v
b câ còng sè d÷ khi chia cho n. 4
Nh÷ vªy a n (mod n) () n j (a b). V½ dö: 2012 2 (mod 5).
T½nh ch§t (b¤n åc tü chùng minh)
Cho a; b; c; d; n l c¡c sè nguy¶n.
T½nh ch§t 3.10
a a (mod n);
a b (mod n) , b a (mod n);
a b (mod n); b c (mod n) ) a c (mod n):
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
53. 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t 45
T½nh ch§t 3.11
(
a b (mod n)
c d (mod n)
)
(
a c b d (mod n)
ac bd (mod n)
T½nh ch§t 3.12 a b (mod n) ) ak bk (mod n); 8k 1:
T½nh ch§t 3.13 a b (mod n) ) ac bc (mod mc); c 0
T½nh ch§t 3.14 (a + b)n bn (mod a); (a 0):
T½nh ch§t 3.15 N¸u d l ÷îc chung d÷ìng cõa a; b v m th¼ a b
(mod m) th¼
a
d
b
d
(mod
m
d
).
T½nh ch§t 3.16 a b (mod m), c l ÷îc chung cõa a v b, (c;m) = 1
th¼
a
c
b
c
(mod m).
Ph÷ìng ph¡p çng d÷ thùc º gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t
Cì sð: Sû döng c¡c t½nh ch§t v ành ngh¾a tr¶n º gi£i c¡c b i to¡n
chia h¸t.
V½ dö 3.17. Chùng minh r¬ng vîi måi sè tü nhi¶n n th¼ 7 j 8n + 6. 4
Líi gi£i. Ta câ 8n 1 (mod 7) =) 8n + 6 7 0 (mod 7):
V½ dö 3.18. Chùng minh r¬ng 19 j 7 52n + 12 6n: vîi måi sè nguy¶n
d֓ng n. 4
Líi gi£i. Ta câ 52 = 25 6 (mod 19) =) (52)n 6n (mod 19) =)
7 52n 7 6n (mod 19) =) 7 52n +12 6n 19 6n 0 (mod 19):
V½ dö 3.19. Vi¸t li¶n ti¸p c¡c sè 111; 112; ; 888 º ÷ñc sè A =
111112 888. Chùng minh r¬ng 1998 j A. 4
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
54. 46 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t
Líi gi£i. Ta th§y A ch®n n¶n 2 j A. M°t kh¡c
A = 111 1000777 + 112 1000776 + + 888:
Do 1000k 1 (mod 999); 8k 2 N n¶n
A 111 + 112 + + 888 0 (mod 999):
Suy ra 999 j A, v (999; 2) = 1 n¶n 1998 j A:
V½ dö 3.20. Chùng minh r¬ng 7 j 55552222 + 22225555. 4
Líi gi£i. Ta câ
2222 4 (mod 7) =) 22225555 (4)5555 (mod 7)
5555 4 (mod 7) =) 55552222 4 (mod 7)
=) 55552222 + 22225555 45555 + 42222 (mod 7)
L¤i câ
45555 + 42222 = 42222
43333 1
= 42222
641111 1
V 64 1 (mod 7) =) 641111 1 0 (mod 7).
Do â 7 j 55552222 + 22225555
B i tªp · nghà
B i 1. Mët sè b i tªp ð ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch câ thº gi£i b¬ng ph÷ìng
ph¡p çng d÷ thùc.
B i 2. Chùng minh r¬ng 333555777
+ 777555333 chia h¸t cho 10.
B i 3. Chùng minh r¬ng sè 11101967
1 chia h¸t cho 101968.
B i 4. Cho 9 j a3 +b3 +c3; 8a; b; c 2 Z. Chùng minh r¬ng 3 j a b c.
B i 5. Chùng minh r¬ng 222333 + 333222 chia h¸t cho 13.
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
55. 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t 47
B i 6. Chùng minh r¬ng 9n + 1 khæng chia h¸t cho 100; 8n 2 N:
B i 7. Chùng minh r¬ng vîi måi sè nguy¶n khæng ¥m n th¼ 25n+3 +
5n 3n+1 chia h¸t cho 17.
B i 8. T¼m n 2 N sao cho 2n3 + 3n = 19851986.
B i 9. Vi¸t li¶n ti¸p 2000 sè 1999 ta ÷ñc sè X = 19991999 1999:
T¼m sè d÷ trong ph²p chia X cho 10001.
B i 10. Chùng minh r¬ng 100 j 77777
777 .
B i 11. Cho b2 4ac v b2 + 4ac l hai sè ch½nh ph÷ìng vîi a; b; c 2 N.
Chùng minh r¬ng 30 j abc.
3.2.5 Quy n¤p
Cì sð : º chùng minh m»nh · óng vîi måi sè tü nhi¶n n p, ta
l m nh÷ sau:
Kiºm tra m»nh · óng vîi n = p.
Gi£ sû m»nh · óng vîi n = k. Ta i chùng minh m»nh · công
óng vîi n = k + 1.
V½ dö 3.21. Chùng minh r¬ng A = 4n + 15 1 chia h¸t cho 9 vîi måi
n 2 N. 4
Líi gi£i. Vîi n = 1 =) A = 18 chia h¸t cho 9.
Gi£ sû b i to¡n óng vîi n = k. Khi â 9 j 4k+15k1, hay 4k+15k1 =
9q vîi q 2 N. Suy ra 4k = 9q 15k + 1.
Ta i chùng minh b i to¡n óng vîi n = k+1, tùc 9 j 4k+1+15(k+1)1.
Thªt vªy:
4k+1 + 15(k + 1) 1 = 4 4k + 15k + 14
= 4 (9q 15k + 1) + 15k + 14
= 36q 45k + 18
chia h¸t cho 9. Ta câ pcm.
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
56. 48 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t
V½ dö 3.22. (HSG 9 TQ 1978)Chùng minh r¬ng sè ÷ñc t¤o bði 3n chú
sè gièng nhau th¼ chia h¸t cho 3n vîi 1 n; n 2 N: 4
Líi gi£i. Vîi n = 1, b i to¡n hiºn nhi¶n óng.
Gi£ sû b i to¡n óng vîi n = k, tùc 3k j |aa{z a}
3n sè a
:
Vîi n = k + 1 ta câ:
|aa{z a}
3k+1
= |aa{z a}
3k
|aa{z a}
3k
|aa{z a}
3k
= |aa{z a}
3k
1 |00{z 0}
3k1
|00{z 0}
3k1
1
chia h¸t cho 3k+1. Ta câ pcm.
V½ dö 3.23. Chùng minh r¬ng vîi måi n 2 N; k l sè tü nhi¶n l´ th¼
2n+2 j k2n
1
Líi gi£i. Vîi n = 1 th¼ k2n
1 = k2 1 = (k + 1)(k 1). Do k l´,n¶n
°t k = 2m+ 1 vîi m 2 N, th¼ khi â (k + 1)(k 1) = 4k(k + 1) chia
h¸t cho 23 = 8.
Gi£ sû b i to¡n óng vîi n = p, tùc 2p+2 j k2p
1 hay k2p
= q 2p+2+1
vîi q 2 N.
Ta chùng minh b i to¡n óng vîi n = p + 1. Thªt vªy
A = k2p+1
1 = k22p
1 =
k2p2
1
=
k2p
1
k2p
+ 1
= q 2p+2
2 + q 2p+2
= q 2p+3
1 + q 2p+1
chia h¸t cho 2p+3. Ta câ pcm.
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
57. 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t 49
B i tªp · nghà
B i 1. Mët sè b i to¡n ð c¡c ph÷ìng ph¡p n¶u tr¶n câ thº gi£i b¬ng
ph÷ìng ph¡p quy n¤p.
B i 2. Chùng minh r¬ng 255 j 16n 15n 1 vîi n 2 N.
B i 3. Chùng minh r¬ng 64 j 32n+3 + 40n 27 vîi n 2 N.
B i 4. Chùng minh r¬ng 16 j 32n+2 + 8n 9 vîi n 2 N.
B i 5. Chùng minh r¬ng 676 j 33n+3 16n 27 vîi n 2 N; n 1.
B i 6. Chùng minh r¬ng 700 j 292n 140n 1 vîi n 2 N.
B i 7. Chùng minh r¬ng 270 j 2002n 138n 1 vîi n 2 N.
B i 8. Chùng minh r¬ng 22 j 324n+1
+ 234n+1
+ 5 vîi n 2 N.
B i 9. Chùng minh r¬ng sè 23n
+ 1 chia h¸t cho 3n nh÷ng khæng chia
h¸t cho 3n+1 vîi n 2 N.
B i 10. Chùng minh r¬ng sè 20012n
1 chia h¸t cho 2n+4 nh÷ng khæng
chia h¸t cho 2n+5 vîi n 2 N.
B i 11. Chùng minh r¬ng vîi måi sè tü nhi¶n n 2, tçn t¤i mët sè tü
nhi¶n m sao cho 3n j (m3 + 17), nh÷ng 3n+1 - (m3 + 17).
B i 12. Câ tçn t¤i hay khæng mët sè nguy¶n d÷ìng l bëi cõa 2007 v
câ bèn chú sè tªn còng l 2008.
B i 13. Chùng minh r¬ng tçn t¤i mët sè câ 2011 chú sè gçm to n chú
sè 1 v 2 sao cho sè â chia h¸t cho 22011.
B i 14. T¼m ph¦n d÷ khi chia 32n cho 2n+3, trong â n l sè nguy¶n
d֓ng.
B i 15. Cho n 2 N; n 2. °t A = 77:::
(lôy thøa n l¦n). Chùng minh
r¬ng An + 17 chia h¸t cho 20.
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
58. 50 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t
3.2.6 Sû döng nguy¶n l½ Dirichlet
Nëi dung: Nhèt 5 con thä v o 3 chuçng th¼ tçn t¤i chuçng chùa ½t nh§t
2 con.
ành lþ 3.3 Nhèt m = nk + 1 con thä v o k chuçng (k n) th¼ tçn
t¤i chuçng chùa ½t nh§t n + 1 con thä.
Chùng minh. Gi£ sû khæng câ chuçng n o chùa ½t nh§t n+1 con thä,
khi â méi chuçng chùa nhi·u nh§t n con thä, n¶n k chuçng chùa nhi·u
nh§t kn con thä, m¥u thu¨n vîi sè thä l nk + 1.
ành lþ 3.4 (p döng v o sè håc) Trong m = nk + 1 sè câ ½t
nh§t n + 1 sè chia cho k câ còng sè d÷.
Tuy nguy¶n lþ ÷ñc ph¡t biºu kh¡ ìn gi£n nh÷ng l¤i câ nhúng ùng
döng h¸t sùc b§t ngí, thó và. B i vi¸t n y ch¿ xin n¶u mët sè ùng döng
cõa nguy¶n l½ trong vi»c gi£i c¡c b i to¡n v· chia h¸t.
V½ dö 3.24. Chùng minh r¬ng luæn tçn t¤i sè câ d¤ng
20112011 201100 0
chia h¸t cho 2012. 4
Líi gi£i. L§y 2013 sè câ d¤ng
2011; 20112011; ; |2011201{1z 2011}
2012 sè 2011
:
L§y 2013 sè n y chia cho 2012. Theo nguy¶n l½ Dirichlet th¼ tçn t¤i hai
sè câ còng sè d÷ khi chia cho 2012.
Gi£ sû hai sè â l |2011201{1z 2011}
m sè 2011
v 2|011201{1z 2011}
n sè 2011
(m n
0).
=) 2012 j |2011201{1z 2011}
m sè 2011
2|011201{1z 2011}
n sè 2011
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
59. 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t 51
=) 2012 j |2011201{1z 2011}
mn sè 2011
|00 {z 00}
n sè 2011
Vªy tçn t¤i sè thäa m¢n · b i.
V½ dö 3.25. Chùng minh r¬ng trong 101 sè nguy¶n b§t k¼ câ thº t¼m
÷ñc hai sè câ 2 chú sè tªn còng gièng nhau. 4
Líi gi£i. L§y 101 sè nguy¶n ¢ cho chia cho 100 th¼ theo nguy¶n l½
Dirichlet tçn t¤i hai sè câ còng sè d÷ khi chia cho 100. Suy ra trong
101 sè nguy¶n ¢ cho tçn t¤i hai sè câ chú sè tªn còng gièng nhau.
V½ dö 3.26 (Tuyºn sinh 10 chuy¶n HSPHN, 1993). Cho 5 sè nguy¶n
ph¥n bi»t tòy þ a1; a2; a3; a4; a5. Chùng minh r¬ng t½ch
P = (a1 a2)(a1 a3)(a1 a4)(a1 a5)(a2 a3)
(a2 a4)(a2 a5)(a3 a4)(a3 a5)(a4 a5)
chia h¸t cho 288. 4
Líi gi£i. Ph¥n t½ch 288 = 25 32.
1. Chùng minh 9 j P: Theo nguy¶n l½ Dirichlet th¼ trong 4 sè
a1; a2; a3 câ hai sè câ hi»u chia h¸t cho 3. Khæng m§t t½nh têng
qu¡t, gi£ sû: 3 j a1 a2. X²t 4 sè a2; a3; a4; a5 công câ hai sè câ
hi»u chia h¸t cho 3. Nh÷ vªy P câ ½t nh§t hai hi»u kh¡c nhau
chia h¸t cho 3, tùc 9 j p.
2. Chùng minh 32 j P: Theo nguy¶n l½ Dirichlet th¼ täng 5 sè ¢ cho
tçn t¤i ½t nh§t 3 sè câ còng t½nh ch®n l´. Ch¿ câ thº câ hai kh£
n«ng sau x£y ra:
N¸u câ ½t nh§t 4 sè câ còng t½nh ch®n l´, th¼ tø bèn sè câ thº
lªp th nh s¡u hi»u kh¡c nhau chia h¸t cho 2. Do â 32 j P.
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
60. 52 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t
N¸u câ 3 sè câ còng t½nh ch®n l´. Khæng m§t t½nh têng qu¡t,
gi£ sû ba sè â l a1; a2; a3. Khi â a4; a5 công còng t½nh
ch®n l´ nh÷ng l¤i kh¡c t½nh ch®n l´ cõa a1; a2; a3. Khi â
c¡c hi»u sau chia h¸t cho 2: a1 a2; a1 a3; a2 a3; a4 a5.
M°t kh¡c, trong 5 sè ¢ cho câ ½t nh§t hai hi»u chia h¸t cho
4, cho n¶n trong 4 hi»u a1 a2; a1 a3; a2 a3; a4 a5 câ
½t nh§t mët hi»u chia h¸t cho 4. Vªy 32 j P.
Ta câ pcm.
V½ dö 3.27. Cho 2012 sè tü nhi¶n b§t k¼ a1; a2; ; a2012. Chùng minh
r¬ng tçn t¤i mët sè chia h¸t cho 2012 ho°c têng mët sè sè chia h¸t cho
2012. 4
Líi gi£i. X²t 2012 sè
S1 = a2
S2 = a1 + a2
S2012 = a1 + a2 + + a2012
Tr÷íng hñp 1: N¸u tçn t¤i sè Si (i = 1; 2; ; 2012) chia h¸t cho
2012 th¼ b i to¡n chùng minh xong.
Tr÷íng hñp 2: N¸u 2012 - Si vîi måi i = 1; 2; ; 2012. em 2012
sè n y chia cho 2012 nhªn ÷ñc 2012 sè d÷. C¡c sè d÷ nhªn gi¡
trà thuëc tªp f1; 2; ; 2011g. V¼ câ 2012 sè d÷ m ch¿ câ 2011
gi¡ trà n¶n theo nguy¶n l½ Dirichlet chc chn câ hai sè d÷ b¬ng
nhau. G¿a sû gåi hai sè â l Sm v Sn câ còng sè d÷ khi chia
cho 2012 (m; n 2 N; 1 n m 2012) th¼ hi»u
Sm Sn = an+1 + an+2 + + am
chia h¸t cho 2012.
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
61. 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t 53
Nhªn x²t. Ta câ thº rót ra b i to¡n têng qu¡t v b i to¡n mð rëng
sau:
B i to¡n 3.5 (B i to¡n têng qu¡t). Cho n sè a1; a2; ; an. Chùng
minh r¬ng trong n sè tr¶n tçn t¤i mët sè chia h¸t cho n ho°c têng mët
sè sè chia h¸t cho n. 4
B i to¡n 3.6 (B i to¡n mð rëng). (T¤p ch½ To¡n Tuêi Thì sè 115)
Cho n l mët sè chuy¶n d÷ìng v n sè nguy¶n d÷ìng a1; a2; ; an câ
têng b¬ng 2n 1. Chùng minh r¬ng tçn t¤i mët sè sè trong n sè ¢
cho câ têng b¬ng n. 4
B i tªp · nghà
B i 1. Chùng minh r¬ng câ væ sè sè chia h¸t cho 201311356 m trong
biºu di¹n thªp ph¥n cõa c¡c sè â khæng câ c¡c chú sè 0; 1; 2; 3.
B i 2. (HSG 9 H Nëi, 2006) Chùng minh r¬ng tçn t¤i sè tü nhi¶n
n6= 0 thäa m¢n 313579 j (13579n 1).
B i 3. Chùng minh r¬ng trong 52 sè nguy¶n d÷ìng b§t k¼ luæn luæn
t¼m ÷ñc hai sè câ têng ho°c hi»u chia h¸t cho 100.
B i 4. Cho 10 sè nguy¶n d÷ìng a1; a2; ; a10. Chùng minh r¬ng tçn
t¤i c¡c sè ci 2 f0;1; 1g; (i = 1; 10) khæng çng thíi b¬ng
0 sao cho
A = c1a1 + c2a2 + + c10a10
chia h¸t cho 1032:
B i 5. Chùng minh r¬ng tçn t¤i sè tü nhi¶n k sao cho 2002k 1 chia
h¸t cho 200310.
B i 6. Bi¸t r¬ng ba sè a; a+k; a+2k ·u l c¡c sè nguy¶n tè lîn hìn
3. Chùng minh r¬ng khi â k chia h¸t cho 6.
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
62. 54 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t
3.2.7 Ph£n chùng
Cì sð: º chùng minh p - A(n), ta l m nh÷ sau:
Gi£ sû ng÷ñc l¤i p j A(n).
Chùng minh i·u ng÷ñc l¤i sai.
V½ dö 3.28. Chùng minh r¬ng vîi måi sè nguy¶n n th¼ n2+n+1 khæng
chia h¸t cho 9. 4
Líi gi£i. Gi£ sû 9 j (n2 +n+1). Khi â n2 +n+1 = (n+2)(n1)+3
chia h¸t cho 3. Suy ra 3 j n + 2 v 3 j n 1. Nh÷ vªy (n + 2)(n 1)
chia h¸t cho 9, tùc n2 + n + 1 chia 9 d÷ 3, m¥u thu¨n. Ta câ pcm.
Nhªn x²t. B i to¡n n y v¨n câ thº gi£i theo ph÷ìng ph¡p x²t sè d÷.
V½ dö 3.29. Gi£ sû p = k:2t + 1 l sè nguy¶n tè l´, t l sè nguy¶n
d֓
ng v k l
sè tü nhi¶n l´. Gi£ thi¸t x v y l c¡c sè tü nhi¶n m
p j
x2t
+ y2t
. Chùng minh r¬ng khi â x v y çng thíi chia h¸t cho
p. 4
Líi gi£i. Gi£ sû tr¡i l¤i p - x, suy ra p - y.
Do p l sè nguy¶n tè n¶n theo ành lþ Fermat nhä ta câ
xp1 1 (mod p)
yp1 1 (mod p)
Theo gi£ thi¸t th¼ p 1 = k:2t, do â
xk:2t
1 (mod p)
yk:2t
1 (mod p)
Tø â ta câ
xk:2t
+ yk:2t
2 (mod p): (i)
Theo gi£ thi¸t th¼
x2t
+ y2t
0 (mod p):
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
63. 3.2. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n chia h¸t 55
Do k l´ n¶n
xk:2t
+ yk:2t
=
x2t
k
+
y2t
k ...
x2t
+ y2t
)
xk:2t
+ yk:2t
0 (mod p) (ii)
Tø (i) v (ii) suy ra i·u m¥u thu¨n. Vªy gi£ thi¸t ph£n chùng sai. Do
â x; y çng thíi chia h¸t cho p.
B i tªp · nghà
B i 1. Chùng minh n2 + n + 2 khæng chia h¸t cho 15 vîi måi n 2 Z.
B i 2. Chùng minh n2 +3n+5 khæng chia h¸t cho 121 vîi måi n 2 N.
B i 3. Chùng minh 9n3 + 9n2 + 3n 16 khæng chia h¸t cho 343 vîi
måi n 2 N.
B i 4. Chùng minh 4n3 6n2 + 3n + 37 khæng chia h¸t cho 125 vîi
måi n 2 N.
B i 5. Chùng minh n3 +3n38 khæng chia h¸t cho 49 vîi måi n 2 N.
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
66. 58 4.1. X²t t½nh chia h¸t
Líi gi£i. Gi£ sû x; y l c¡c sè nguy¶n thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (4.1). Ta
th§y 175 v 5y ·u chia h¸t cho 5 n¶n 13x
.. .5 ) x
...
5 (do GCD(13; 5) = 1).
°t x = 5t (t 2 Z). Thay v o ph÷ìng tr¼nh (4.1), ta ÷ñc
13:5t + 5y = 175 , 13t + y = 35 , y = 35 13t
Do â, ph÷ìng tr¼nh (4.1) câ væ sè nghi»m nguy¶n biºu di¹n d÷îi d¤ng
(x; y) = (5t; 35 13t); (t 2 Z)
B i tªp · nghà
B i 1. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n 12x 19y = 285
B i 2. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n 7x + 13y = 65
B i 3. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n 5x + 7y = 112
4.1.2 ÷a v· ph÷ìng tr¼nh ÷îc sè
V½ dö 4.2. T¼m nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh
3xy + 6x + y 52 = 0 (4.2)
Líi gi£i. Nhªn x²t. èi vîi ph÷ìng tr¼nh n y, ta khæng thº ¡p döng
ph÷ìng ph¡p tr¶n l ph¡t hi»n t½nh chia h¸t, vªy ta ph£i gi£i nh÷ th¸
n o?
Ta gi£i nh÷ sau:
(4.2) , 3xy + y + 6x + 2 54 = 0
, y (3x + 1) + 2 (3x + 1) 54 = 0
, (3x + 1) (y + 2) = 54
Nh÷ vªy, ¸n ¥y ta câ x v y nguy¶n n¶n 3x + 1 v y + 2 ph£i l ÷îc
cõa 54. Nh÷ng n¸u nh÷ vªy th¼ ta ph£i x²t ¸n hìn 10 tr÷íng hñp sao?
V¼:
4 = 1:54 = 2:27 = 3:18 = 6:9
= (1):(54) = (2):(27) = (3):(18) = (6):(9)
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
67. 4.1. X²t t½nh chia h¸t 59
Câ c¡ch n o kh¡c khæng? C¥u tr£ líi l câ! N¸u ta º þ mët chót ¸n
thøa sè 3x + 1, biºu thùc n y chia cho 3 luæn d÷ 1 vîi måi x nguy¶n.
Vîi lªp luªn tr¶n, ta ÷ñc:
2
664
3x + 1 = 1
y + 2 = 54
,
x = 0
y = 52
3x + 1 = 2
y + 2 = 54
,
x = 1
y = 56
V½ dö 4.3. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n sau:
2x + 5y + 3xy = 8 (4.3)
Líi gi£i. Ta câ
(4:3) , x(2 + 3y) + 5y = 8
, 3x(2 + 3y) + 15y = 24
, 3x(2 + 3y) + 5(2 + 3y) = 34
, (3x + 5)(3y + 3) = 34
¸n ¥y ph¥n t½ch 34 = 1 34 = 2 17 rçi x²t c¡c tr÷íng hñp. Chó þ
r¬ng 3x + 5; 3y + 2 l hai sè nguy¶n chia 3 d÷ 2, vªn döng i·u n y ta
câ thº gi£m bît sè tr÷íng hñp c¦n x²t.
V½ dö 4.4. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n
x2 y2 = 2011 (4.4)
Líi gi£i. (4:4) , (x y)(x + y) = 2011. V¼ 2011 l sè nguy¶n tè n¶n
÷îc nguy¶n cõa 2011 ch¿ câ thº l 1;2011. Tø â suy ra nghi»m
(x; y) l (1006; 1005); (1006;1005); (1006;1005); (1006; 1005).
V½ dö 4.5. T¼m c¡c sè nguy¶n x; y tho£ m¢n i·u ki»n
x2 + y2 = (x y)(xy + 2) + 9 (4.5)
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
68. 60 4.1. X²t t½nh chia h¸t
Líi gi£i. °t a = x y; b = xy. Khi â (4.5) trð th nh
a2 + 2b = a(b + 2) + 9 , (a 2)(a b) = 9 (4.6)
V¼ x; y 2 Z n¶n a; ; a2; ab ·u l c¡c sè nguy¶n. Tø (4.6) ta câ c¡c
tr÷íng hñp sau:
(
a 2 = 9
a b = 1
,
(
a = 11
b = 10
,
(
x y = 11
xy = 10
(4.7)
(
a 2 = 3
a b = 3
,
(
a = 5
b = 2
,
(
x y = 5
xy = 2
(4.8)
(
a 2 = 1
a b = 9
,
(
a = 3
b = 6
,
(
x y = 3
xy = 6
(4.9)
(
a 2 = 1
a b = 9
,
(
a = 1
b = 10
,
(
x y = 1
xy = 10
(4.10)
(
a 2 = 3
a b = 3
,
(
a = 1
b = 2
,
(
x y = 1
xy = 2
(4.11)
(
a 2 = 3
a b = 3
,
(
a = 1
b = 2
,
(
x y = 1
xy = 2
(4.12)
D¹ th§y c¡c h» (4.7),(4.8),(4.10) khæng câ nghi»m nguy¶n, h» (4.9) væ
nghi»m, h» (4.11) câ hai nghi»m nguy¶n (1; 2) v (2;1), h» (4.12)
câ hai nghi»m nguy¶n (1; 6) v (6; 1).
Tâm l¤i ph÷ìng tr¼nh (4.5) câ c¡c c°p nghi»m nguy¶n (x; y) l (1; 2);
(2;1); (1; 6); (6; 1).
V½ dö 4.6. T¼m nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh:
x2 + 1
y2 + 1
+ 2 (x y) (1 xy) = 4 (1 + xy) (4.13)
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
69. 4.1. X²t t½nh chia h¸t 61
Líi gi£i. Ph÷ìng tr¼nh (4.13) t÷ìng ÷ìng vîi:
x2y2 + x2 + y2 + 1 + 2x 2x2y 2y + 2xy2 = 4 + 4xy
, (x2 + 2x + 1)y2 2(x2 + 2x + 1)y + (x2 + 2x + 1) = 4
, (x + 1)2(y 1)2 = 4
,
(x + 1)(y 1) = 2
(x + 1)(y 1) = 2
Vîi (x + 1)(y 1) = 2 m x; y 2 Z n¶n ta câ c¡c tr÷íng hñp sau:
x + 1 = 1
y 1 = 2
,
x = 0
y = 3
x + 1 = 2
y 1 = 1
,
x = 1
y = 2
x + 1 = 2
y 1 = 1
,
x = 3
y = 0
x + 1 = 1
y 1 = 2
,
x = 2
y = 1
Vîi (x + 1)(y 1) = 2 , t÷ìng tü ta công suy ra ÷ñc:
x + 1 = 1
y 1 = 2
,
x = 2
y = 3
x + 1 = 1
y 1 = 2
,
x = 0
y = 1
x + 1 = 2
y 1 = 1
,
x = 1
y = 0
x + 1 = 2
y 1 = 1
,
x = 3
y = 2
Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ c¡c c°p nghi»m nguy¶n:
(x; y) = f(0; 3); (1; 2); (3; 0); (2;1); (2; 3); (0;1); (1; 0); (3; 2)g
V½ dö 4.7. T¼m nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh
x6 + 3x3 + 1 = y4 (4.14)
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
71. 4.1. X²t t½nh chia h¸t 63
Líi gi£i.
(4:15) , xy = px + py ) (x y)(y p) = p2:
V¼ p l sè nguy¶n tè n¶n ÷îc sè nguy¶n cõa p2 ch¿ câ thº l 1;p;p2.
Thû l¦n l÷ñt vîi c¡c ÷îc tr¶n ta d¹ t¼m ÷ñc k¸t qu£. Ph¦n tr¼nh b y
xin d nh cho b¤n åc.
Nhªn x²t. Ph÷ìng ph¡p n y c¦n hai b÷îc ch½nh: Ph¥n t½ch th nh ÷îc
sè v x²t tr÷íng hñp º t¼m k¸t qu£. Hai b÷îc n y câ thº nâi l khæng
qu¡ khâ èi vîi b¤n åc, nh÷ng xin nâi mët sè l÷u þ th¶m v· b÷îc x²t
tr÷íng hñp. Trong mët sè b i to¡n, h¬ng sè nguy¶n ð v¸ ph£i sau khi
ph¥n t½ch l mët sè câ nhi·u ÷îc, nh÷ vªy ái häi x²t tr÷íng hñp v
t½nh to¡n r§t nhi·u. Mët c¥u häi °t ra l : L m th¸ n o º gi£m sè
tr÷íng hñp bà x²t ¥y? V º tr£ líi ÷ñc c¥u häi â, ta s³ tham kh£o
v½ dö d÷îi ¥y.
V½ dö 4.9. T¼m nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh:
x2 + 12x = y2: (4.16)
Líi gi£i. (thæng th÷íng) Ph÷ìng tr¼nh (4.16) ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi:
(x + 6)2 y2 = 36 , (x + 6 + y)(x + 6 y) = 36
Suy ra x + y + 6; x + 6 y l ÷îc cõa 36. M sè 36 câ t§t c£ 18 ÷îc
n¶n ta ph£i x²t 18 tr÷íng hñp t÷ìng ùng vîi
x + 6 + y 2 f1;2;3;4;6;9;12;18;36g
. K¸t qu£ l ta t¼m ÷ñc c¡c c°p nghi»m nguy¶n (x; y) l
(0; 0); (12; 0); (16; 8); (16;8); (4; 8); (4;8)
.
Nhªn x²t. óng nh÷ v§n · m ta ¢ n¶u ra ð tr¶n, sè ÷îc qu¡ nhi·u
º x²t. Cho n¶n ta s³ câ c¡c nhªn x²t sau · thüc hi»n thao t¡c si¶u
ph m chuyºn tø con sè 18 xuèng ch¿ cán 2!
Chuy¶n · Sè håc Di¹n n To¡n håc
72. 64 4.1. X²t t½nh chia h¸t
V¼ y câ sè mô ch®n trong ph÷ìng tr¼nh n¶n câ thº gi£ sû y 0. Khi
â x + 6 y x + 6 + y, do vªy ta lo¤i ÷ñc t¡m tr÷íng hñp v cán
l¤i c¡c tr÷íng hñp sau:
(
x + 6 + y = 9
x + 6 y = 4
;
(
x + 6 + y = 9
x + 6 y = 4
;
(
x + y + 6 = 1
x + y 6 = 36
;
(
x + y + 6 = 36
x y + 6 = 1
;
(
x + y + 6 = 2
x y + 6 = 18
;
(
x + y + 6 = 18
x y + 6 = 2
;
(
x + y + 6 = 3
x y + 6 = 12
;
(
x + y + 6 = 12
x y + 6 = 3
;
(
x + y + 6 = 6
x y + 6 = 6
;
(
x + y + 6 = 6
x + y 6 = 6
:
B¥y gií ta ¢ câ 10 tr÷íng hñp, ta s³ ti¸p töc l÷ñc bä. Nhªn th§y
(x + y + 6) (x + 6 y) = 2y n¶n x + 6 y v x + 6 + y câ còng t½nh
ch®n l´, do â ta lo¤i th¶m 6 tr÷íng hñp, ch¿ cán
(
x + y + 6 = 18
x + y 6 = 2
;
(
x + y + 6 = 2
x + y 6 = 18
;
(
x + y + 6 = 6
x y + 6 = 6
;
(
x + y + 6 = 6
x + y 6 = 6
.
Ti¸p töc x²t hai ph÷ìng tr¼nh
(
x + y + 6 = 6
x y + 6 = 6
v
(
x + y + 6 = 6
x + y 6 = 6
,
hai ph÷ìng tr¼nh n y ·u t¼m ÷ñc y = 0. Vªy sao khæng º ìn gi£n
hìn, ta x²t y = 0 ngay tø ¦u. Ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng x(x + 12) = y2,
x²t hai kh£ n«ng:
N¸u y = 0 th¼ x = 0 ho°c x = 12.
N¸u y6= 0 th¼ x+6+y x+6y, ¡p döng hai nhªn x²t tr¶n ta ch¿
câ hai tr÷íng hñp:
(
x + y + 6 = 2
x y + 6 = 18
v
(
x + y + 6 = 18
x y + 6 = 2
.
Di¹n n To¡n håc Chuy¶n · Sè håc
