Tailieu.vncty.com lv2010 sp-bui_thanhdoan

1
§¹i häc Th¸i Nguyªn
Trêng §¹i häc s ph¹m
------------------------------
Bïi Thanh §oµn
Mét kÕt qu¶ h÷u h¹n cho tËp i®ªan nguyªn tè
g¾n kÕt cña m«®un Tor
LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
Th¸i nguyªn - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2
§¹i häc Th¸i Nguyªn
Trêng §¹i häc s ph¹m
------------------------------
Bïi Thanh §oµn
Mét kÕt qu¶ h÷u h¹n cho tËp i®ªan nguyªn tè
g¾n kÕt cña m«®un Tor
Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ lý thuyÕt sè.
M· sè: 60.46.05
LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc
Ngêi híng dÉn khoa häc: TS. NguyÔn ThÞ Dung
Th¸i nguyªn - 2010

3
Môc lôc
Trang
Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Ch¬ng 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. M«®un Artin vµ ®èi ngÉu Matlis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. BiÓu diÔn thø cÊp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. ChiÒu Noether cña m«®un Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Hµm tö më réng vµ hµm tö xo¾n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.5. D·y chÝnh quy vµ ®é s©u cña m«®un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ch¬ng 2. D·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1. D·y ®èi chÝnh quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. D·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Ch¬ng 3. Mét kÕt qu¶ h÷u h¹n cho tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
m«®un Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1. §é réng víi chiÒu > s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. KÕt qu¶ h÷u h¹n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4
Lêi c¶m ¬n
LuËn v¨n nµy ®îc hoµn thµnh sau 2 n¨m häc tËp t¹i Trêng §¹i häc
s ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn vµ díi sù híng dÉn tËn t×nh s©u s¾c cña
TS. NguyÔn ThÞ Dung. Nh©n dÞp nµy t«i xin ch©n thµnh bµy tá lßng biÕt ¬n
s©u s¾c ®Õn C« vµ gia ®×nh.
T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi Trêng §¹i häc s ph¹m, ViÖn to¸n häc ViÖt
nam, GS.TSKH NguyÔn Tù Cêng, PGS.TS NguyÔn Quèc Th¾ng, PGS. TS
Lª ThÞ Thanh Nhµn vµ c¸c thÇy c« gi¸o cña trêng §¹i häc S ph¹m Th¸i
Nguyªn ®· tham gia gi¶ng d¹y vµ t¹o ®iÒu kiÖn tèt nhÊt cho t«i trong qu¸
tr×nh thùc hiÖn b¶n luËn v¨n nµy.
Cuèi cïng t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi ngêi th©n, b¹n bÌ vµ tÊt c¶ nh÷ng
ngêi ®· gióp ®ì, ®éng viªn t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp.
Th¸i Nguyªn, th¸ng 8 n¨m 2010
Häc viªn
Bïi Thanh §oµn

5
Më ®Çu
Cho (R, m) lµ vµnh giao ho¸n, ®Þa ph¬ng, Noether víi i®ªan cùc ®¹i duy
nhÊt m, I lµ i®ªan cña R, M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh vµ A lµ R-m«®un
Artin. §Ó nghiªn cøu cÊu tróc cña çc m«®un Noether vµ m«®un Artin, ngêi
ta thêng quan t©m ®Õn çc tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt vµ i®ªan nguyªn tè
g¾n kÕt t¬ng øng cña chóng. XuÊt ph¸t tõ mét kÕt qu¶ trong vµnh çc sè
nguyªn Z: nÕu víi mçi i®ªan I = mZ, trong ®ã m = pα1
1 . . . pαk
k lµ sù ph©n
tÝch tiªu chuÈn cña sè nguyªn m th× tËp AssZ Z/In
Z = {p1Z, . . . , pkZ} lµ
æn ®Þnh víi mäi n, mét çch tù nhiªn ngêi ta ®· ®Æt ra c©u hái r»ng liÖu
tÝnh chÊt nµy cßn ®óng khi thay Z bëi mét vµnh giao ho¸n Noether tuú ý hay
kh«ng. §· cã nhiÒu nhµ to¸n häc nghiªn cøu vÒ vÊn ®Ò nµy mµ ®iÓn h×nh lµ
kÕt qu¶ cña M. Brodmann vµo n¨m 1979, trong ®ã «ng ®· chøng minh r»ng
çc tËp AssR(M/In
M) vµ AssR(In
M/In+1
M) kh«ng phô thuéc vµo n khi
n 0. TiÕp theo, vµo n¨m 1986, R. Y. Sharp ®· chøng minh kÕt qu¶ ®èi ngÉu
cho m«®un Artin, ®ã lµ çc tËp AttR(0 :A In
) vµ AttR(0 :A In+1
/0 :A In
)
lµ ®éc lËp víi n khi n 0. Chó ý r»ng ta lu«n cã çc ®¼ng cÊu
M/In
M ∼= TorR
0 (R/In
, M) vµ (0 :A In
) ∼= Ext0
R(R/In
, A).
V× thÕ, mét çch tù nhiªn khi hái r»ng liÖu çc kÕt qu¶ trªn cã thÓ më réng
cho çc m«®un Exti
R(R/In
, A) vµ TorR
i (R/In
, M), víi i bÊt kú hay kh«ng.
C©u tr¶ lêi kh¼ng ®Þnh cho c©u hái trªn ®îc ®a ra bëi L. Melkersson vµ
P. Schenzel vµo n¨m 1993. Hä ®· chøng minh ®îc çc tËp
AssR TorR
i (R/In
, M) vµ AttR Exti
R(R/In
, A) , n = 1, 2, . . .
lµ æn ®Þnh khi n ®ñ lín. §ång thêi, hä còng ®Æt ra c©u hái khi nµo th× hai tËp
AttR TorR
i (R/In
, A) vµ AssR Exti
R(R/In
, M) , n = 1, 2, . . .
lµ kh«ng phô thuéc vµo n khi n ®ñ lín. Tuy nhiªn, c©u tr¶ lêi cho
c©u hái trªn l¹i nh×n chung lµ phñ ®Þnh, thËm chÝ cßn tån t¹i çc tËp

6
n
AttR TorR
i (R/In
, A) vµ
n
AssR Exti
R(R/In
, M) lµ v« h¹n (VÝ dô cña
M. Katzman [6, HÖ qu¶ 1.3]). V× vËy, c©u hái tiÕp theo ®îc ®Æt ra lµ t×m
®iÒu kiÖn ®Ó çc tËp
n 0
AttR TorR
i (R/In
, A) vµ
n 0
AssR Exti
R(R/In
, M)
h÷u h¹n.
Mét phÇn c©u tr¶ lêi cho c©u hái trªn ®· ®îc ®a ra bëi M. Brodmann
vµ L.T. Nhan n¨m 2008. ë ®ã, b»ng viÖc ®a ra kh¸i niÖm M-d·y chÝnh quy
víi chiÒu > s vµ ®é s©u víi chiÒu > s cña M trong I depth>s(I, M), hä ®·
chøng minh r»ng nÕu dim Supp Hi
I(M) s víi mäi i r th× tËp
{p ∈
n 0
AssR Extt
R(R/In
, M) | dim(R/p) ≥ s}
lµ h÷u h¹n víi mäi t r, trong ®ã r = depth>s(I, M).
TiÕp theo ®ã, vµo n¨m 2010, phÇn cßn l¹i cña c©u hái trªn ®· ®îc tr¶ lêi
bëi L. T. Nhan vµ N. T. Dung [13]. Th«ng qua kh¸i niÖm d·y ®èi chÝnh quy
víi chiÒu > s, nÕu ký hiÖu
(AttR A)≥s = {p ∈ AttR A | dim(R/p) ≥ s}
th× hä ®· chøng minh r»ng çc tËp
n∈N
AttR(TorR
t (R/In
, A))
s
,
n1,...,nk∈N
AttR(TorR
t (R/(xn1
1 , . . . , xnk
k )R, A
≥s
lµ h÷u h¹n víi mäi t r, víi n ®ñ lín vµ víi mäi bé sè tù nhiªn n1, . . . , nk,
trong ®ã r = Width>s(I, A) lµ ®é réng víi chiÒu > s cña A trong I vµ
(x1, . . . , xk) lµ hÖ sinh cña I.
Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy lµ chøng minh mét çch chi tiÕt çc kÕt qu¶
vÒ tÝnh h÷u h¹n cña tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Tor trong [13]:
''A finitenees result for attached primes of certain Tor-modules''.

7
LuËn v¨n gåm 3 ch¬ng. Ch¬ng 1 lµ c¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ trong ®ã
tr×nh bµy lý thuyÕt ®èi ngÉu Matlis, biÓu diÔn thø cÊp, chiÒu Noether cña
m«®un Artin cïng víi mét sè tÝnh chÊt cña hµm tö më réng, hµm tö xo¾n,
d·y chÝnh quy vµ ®é s©u cña m«®un thêng ®îc sö dông trong c¸c ch¬ng
tiÕp theo. Ch¬ng 2 tr×nh bµy chi tiÕt vÒ ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt cña M-d·y ®èi
chÝnh quy víi chiÒu > s vµ ®Æc trng ®é dµi tèi ®¹i cña d·y ®èi chÝnh quy víi
chiÒu > s cña mét m«®un Artin th«ng qua chiÒu Krull cña m«®un con xo¾n
cña nã. Kh¸i niÖm ®é réng víi chiÒu > s vµ kÕt qu¶ vÒ tÝnh chÊt h÷u h¹n cña
tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Tor ®îc tr×nh bµy trong ch¬ng 3.

8
Ch¬ng 1
KiÕn thøc chuÈn bÞ
Trong toµn bé ch¬ng nµy, ta lu«n ký hiÖu R lµ vµnh giao ho¸n, Noether, A
lµ R-m«®un Arrtin vµ M lµ R-m«®un Noether. Ch¬ng nµy dµnh ®Ó nh¾c l¹i
mét sè kiÕn thøc ®îc dïng trong çc ch¬ng tiÕp theo: CÊu tróc cña m«®un
Artin, ®èi ngÉu Matlis, biÓu diÔn thø cÊp, chiÒu Noether, m«®un më réng vµ
m«®un xo¾n, d·y chÝnh quy vµ ®é s©u,. . .
1.1 M«®un Artin vµ ®èi ngÉu Matlis
Cho m lµ mét i®ªan cùc ®¹i cña vµnh R. Nh¾c l¹i r»ng m«®un con m-xo¾n
Γm(A) cña A ®îc ®Þnh nghÜa bëi
Γm(A) =
n≥0
(0 :A mn
).
Ta nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt cña m«®un Artin ®îc ®a ra bëi R. Y. Sharp
thêng ®îc dïng trong çc chøng minh vÒ sau.
MÖnh ®Ò 1.1.1. [18, MÖnh ®Ò 1.4, Bæ ®Ò 1.6]
(i) Gi¶ sö A lµ mét R-m«®un Artin kh¸c kh«ng. Khi ®ã chØ cã h÷u h¹n i®ªan
cùc ®¹i m cña R sao cho Γm(A) = 0. NÕu çc i®ªan cùc ®¹i ph©n biÖt ®ã lµ
m1, . . . , mr th×
A = Γm1
(A) ⊕ . . . ⊕ Γmr
(A) vµ Supp A = {m1, . . . , mr}.

9
(ii) Víi mçi j ∈ {1, . . . , r}, nÕu s ∈ R mj, th× phÐp nh©n bëi s cho ta
mét tù ®¼ng cÊu cña Γmj
(A). Do ®ã Γmj
(A) cã cÊu tróc tù nhiªn cña mét
Rmj
-m«®un vµ víi cÊu tróc nµy, mét tËp con cña Γmj
(A) lµ mét R-m«®un
con nÕu vµ chØ nÕu nã lµ Rmj
-m«®un con. §Æc biÖt
Amj
∼= Γmj
(A), víi mäi j = 1, . . . , r.
Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng. Nh¾c l¹i r»ng ®Çy ®ñ theo t« p« m-adic
cña R, ký hiÖu bëi R, lµ tËp çc líp t¬ng ®¬ng cña çc d·y Cauchy theo
quan hÖ t¬ng ®¬ng x¸c ®Þnh bëi c¬ së l©n cËn cña phÇn tö 0 lµ çc i®ªan
mt
, t = 0, 1, 2, . . . R ®îc trang bÞ hai phÐp to¸n hai ng«i: phÐp céng, phÐp
nh©n çc d·y Cauchy vµ cïng víi hai phÐp to¸n nµy, R lµm thµnh mét vµnh.
Mçi phÇn tö r ∈ R cã thÓ ®ång nhÊt víi líp t¬ng ®¬ng cña d·y Cauchy
mµ tÊt c¶ çc phÇn tö trong d·y ®Òu lµ r.
MÖnh ®Ò 1.1.2. [18, Bæ ®Ò 1.11, HÖ qu¶ 1.12] Cho A lµ R-m«®un Artin kh¸c
kh«ng trªn vµnh ®Þa ph¬ng (R, m). Khi ®ã, A cã cÊu tróc tù nhiªn cña
R-m«®un, trong ®ã R lµ vµnh ®Çy ®ñ theo t«p« m-adic cña R vµ mäi tËp con
cña A lµ R-m«®un con cña A nÕu vµ chØ nÕu nã lµ R-m«®un con cña A. Do
®ã, A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R-m«®un Artin.
Do cã cÊu tróc ®Æc biÖt nh vËy nªn ngêi ta cã thÓ chuyÓn viÖc nghiªn
cøu m«®un Artin trªn mét vµnh giao ho¸n bÊt k× vÒ viÖc nghiªn cøu trªn vµnh
®Þa ph¬ng. H¬n n÷a, viÖc nghiªn cÊu tróc cña m«®un Artin trong mét sè
trêng hîp cã thÓ chuyÓn vÒ nghiªn cøu trªn m«®un Noether nhê lý thuyÕt
®èi ngÉu Matlis. Díi ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt ®èi ngÉu Matlis hay ®îc sö
dông trong luËn v¨n.
Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng, ®Çy ®ñ. §Æt E = E(R/m) lµ bao néi x¹
cña trêng thÆng d R/m. KÝ hiÖu D( ) = HomR( , E) tõ ph¹m trï CR
çc R-m«®un vµ R-®ång cÊu vµo chÝnh nã. Víi mçi R-m«®un M, ®Æt
µM : M −→ DD(M) = HomR(HomR(M, E), E)

10
lµ R-®ång cÊu tù nhiªn cho bëi µM (x)(f) = f(x), víi mäi x ∈ M, vµ
f ∈ Hom(M, E). Khi ®ã ta cã kÕt qu¶ sau (xem [18, §Þnh lý 2.1]).
MÖnh ®Ò 1.1.3. (i) R-m«®un E lµ Artin. Víi mçi f ∈ HomR(E, E), tån t¹i
duy nhÊt af ∈ R : f(x) = af x, ∀x ∈ E.
(ii) NÕu N lµ R-m«®un Noether, th× D(N) lµ Artin.
(iii) NÕu A lµ R-m«®un Artin, th× D(A) lµ Noether.
(iv) Ann M = Ann D(M), vµ nÕu M lµ R-m«®un sao cho R(M) < ∞,
th× R(D(M)) = R(M).
Bæ ®Ò 1.1.4. Cho N lµ R-m«®un Noether, A lµ R-m«®un Artin vµ j ∈ N.
Khi ®ã
(i) D(N/Ij
N) ∼= (0 :D(N) Ij
) vµ
D(Ij−1
N/Ij
N) ∼= (0 :D(N) Ij
)/(0 :D(N) Ij−1
);
(ii) D(0 :A Ij
) ∼= D(A)/Ij
D(A) vµ
D((0 :A Ij
)/(0 :A Ij−1
)) ∼= Ij−1
D(A)/Ij
D(A).
1.2 BiÓu diÔn thø cÊp
Lý thuyÕt biÓu diÔn thø cÊp ®îc ®a ra bëi I. G. Macdonald [9] ®îc xem
nh lµ ®èi ngÉu víi lý thuyÕt ph©n tÝch nguyªn s¬ quen biÕt cho c¸c m«®un
Noether.
§Þnh nghÜa 1.2.1. (i) Mét R-m«®un M ®îc gäi lµ thø cÊp nÕu M = 0 vµ
nÕu víi mäi x ∈ R, phÐp nh©n bëi x trªn M lµ toµn cÊu hoÆc luü linh. Trong
trêng hîp nµy Rad(AnnR M) lµ i®ªan nguyªn tè, ch¼ng h¹n lµ p, vµ ta gäi
M lµ p-thø cÊp.

11
(ii) Cho M lµ R-m«®un. Mét biÓu diÔn thø cÊp cña M lµ mét ph©n tÝch
M = N1 + . . . + Nn thµnh tæng h÷u h¹n çc m«®un con pi-thø cÊp Ni. NÕu
M = 0 hoÆc M cã mét biÓu diÔn thø cÊp th× ta nãi M lµ biÓu diÔn ®îc. BiÓu
diÔn thø cÊp nµy ®îc gäi lµ tèi thiÓu nÕu çc i®ªan nguyªn tè pi lµ ®«i mét
kh¸c nhau vµ kh«ng cã h¹ng tö Ni nµo lµ thõa, víi mäi i = 1, . . . , n.
DÔ thÊy r»ng mäi biÓu diÔn thø cÊp cña M ®Òu cã thÓ ®a ®îc vÒ d¹ng
tèi thiÓu. Khi ®ã tËp hîp {p1, . . . , pn} lµ ®éc lËp víi viÖc chän biÓu diÔn thø
cÊp tèi thiÓu cña M vµ ®îc gäi lµ tËp çc i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña M, kÝ
hiÖu bëi AttR M. Çc h¹ng tö Ni, i = 1, . . . , n, ®îc gäi lµ çc thµnh phÇn
thø cÊp cña M.
§Þnh lý 1.2.2. TËp AttR A chØ phô thuéc vµo A mµ kh«ng phô thuéc vµo
biÓu diÔn thø cÊp tèi thiÓu cña A. H¬n n÷a ta cã çc kh¼ng ®Þnh sau lµ t¬ng
®¬ng víi p lµ i®ªan nguyªn tè.
(i) p ∈ AttR A.
(ii) A cã m«®un th¬ng lµ p-thø cÊp.
(iii) A cã m«®un th¬ng Q sao cho Rad(Q) = p.
(iv) A cã m«®un th¬ng Q sao cho p lµ phÇn tö tèi thiÓu trong tËp çc i®ªan
nguyªn tè chøa AnnR Q.
(v) A cã m«®un th¬ng Q sao cho AnnR Q = p.
MÖnh ®Ò 1.2.3. i) Cho M lµ mét R-m«®un biÓu diÔn ®îc. Khi ®ã M = 0
khi vµ chØ khi AttR M = ∅. Trong trêng hîp nµy tËp çc i®ªan nguyªn tè tèi
thiÓu cña R chøa Ann(M) chÝnh lµ tËp çc phÇn tö tèi thiÓu cña AttR M.
(ii) Cho 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 lµ d·y khíp çc R-m«®un biÓu
diÔn ®îc. Khi ®ã ta cã
AttR M ⊆ AttR M ⊆ AttR M ∪ AttR M .

12
Cho A lµ mét R-m«®un Artin. Khi ®ã, A lµ biÓu diÔn ®îc vµ tËp AttR A
lµ h÷u h¹n (xem [9, §Þnh lý 5.3]). H¬n n÷a, theo MÖnh ®Ò 1.1.2, A cã cÊu
tróc tù nhiªn cña R-m«®un vµ víi cÊu tróc nµy mçi tËp con cña A lµ R-m«®un
con nÕu vµ chØ nÕu nã lµ R-m«®un con. §iÒu nµy cho thÊy çc dµn m«®un
con cña A xÐt nh R-m«®un vµ R-m«®un lµ nh nhau. Tõ ®ã ta cã çc kÕt
qu¶ sau (xem [18, HÖ qu¶ 1.12, HÖ qu¶ 2.7]).
MÖnh ®Ò 1.2.4. Çc mÖnh ®Ò sau lµ ®óng.
(i) AttR A = {p ∩ R : p ∈ AttR A}.
(ii) NÕu R lµ vµnh ®Þa ph¬ng, ®Çy ®ñ, th× ta cã
a) NÕu N lµ R-m«®un Noether, th× AttR(D(N)) = AssR(N).
b) NÕu A lµ R-m«®un Artin, th× AssR(D(A)) = AttR(A).
1.3 ChiÒu Noether cña m«®un Artin
Nh¾c l¹i r»ng mét d·y çc i®ªan nguyªn tè p0 ⊆ p1 ⊆ . . . ⊆ pn, trong
®ã pi = pi+1 ®îc gäi lµ d·y nguyªn tè cã ®é dµi n. Khi ®ã chiÒu Krull cña
vµnh R, ký hiÖu lµ dim R lµ cËn trªn cña ®é dµi cña çc d·y i®ªan nguyªn tè
trong R. ChiÒu Krull cña m«®un M, ký hiÖu lµ dim M lµ cËn trªn cña çc sè
n sao cho cã mét d·y nguyªn tè cã ®é dµi n trong Supp M. V× M lµ m«®un
h÷u h¹n sinh nªn ta cã Supp M = V (AnnR M), do ®ã
dim M = dim R/ AnnR M = sup
p∈Ass M
dim(R/p).
Kh¸i niÖm ®èi ngÉu víi chiÒu Krull cho mét m«®un Artin ®îc ®a ra bëi
R. N. Roberts [16] vµ sau ®ã D. Kirby [8] ®æi tªn thµnh chiÒu Noether ®Ó
tr¸nh nhÇm lÉn víi chiÒu Krull ®· ®îc ®Þnh nghÜa cho çc m«®un Noether.
Çc thuËt ng÷ vÒ chiÒu Noether ®îc dïng trong luËn v¨n lµ theo [8].
§Þnh nghÜa 1.3.1. ChiÒu Noether cña m«®un Artin A, ký hiÖu bëi N-dimR A,
®îc ®Þnh nghÜa b»ng quy n¹p nh sau:

13
Khi A = 0, ®Æt N-dimR A = −1.
Víi A = 0, cho mét sè nguyªn d ≥ 0, ta ®Æt N-dimR A = d nÕu
N-dimR A < d lµ sai vµ víi mçi d·y t¨ng A0 ⊆ A1 ⊆ . . . çc m«®un
con cña A, tån t¹i sè nguyªn n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < d, víi mäi
n > n0.
Tõ ®Þnh nghÜa trªn, ta thÊy r»ng mäi R-m«®un kh¸c kh«ng M lµ Noether
khi vµ chØ khi N-dimR M = 0. Ta ®· biÕt r»ng ®èi víi mçi m«®un h÷u h¹n
sinh M th× dim M = 0 nÕu vµ chØ nÕu M = 0 vµ R(M) < ∞. Tõ §Þnh
nghÜa 1.3.1 ta cã mét sè tÝnh chÊt sau vÒ chiÒu Noether.
Bæ ®Ò 1.3.2. (i) N-dimR A = 0 nÕu vµ chØ nÕu A = 0 vµ R(A) < ∞. Trong
trêng hîp nµy AttR A = {m}. H¬n n÷a, nÕu
0 −→ A −→ A −→ A −→ 0
lµ d·y khíp çc R-m«®un Artin th×
N-dimR A = max{N-dimR A , N-dimR A }.
(ii) N-dimR A dim R/ AnnR A = max{dim R/p : p ∈ AttR A} vµ tån
t¹i m«®un Artin A sao cho N-dimR A < dim R/ AnnR A.
(iii) N-dimR A = dim R/ AnnR A = max{dim R/p : p ∈ AttR A}.
(iv) Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng vµ A lµ R-m«®un Artin. Khi ®ã A cã
cÊu tróc tù nhiªn cña R-m«®un Artin vµ ta cã
N-dimR A = N-dimR A.
ChÝnh v× vËy, ta cã thÓ viÕt N-dim A thay cho N-dimR A hoÆc N-dimR A.
§· cã nhiÒu t¸c gi¶ nghiªn cøu cÊu tróc cña çc m«®un Artin A th«ng qua
chiÒu Noether cña chóng vµ mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Noether cho m«®un

14
Artin ®îc xem lµ ®èi ngÉu víi mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Krull cho m«®un
h÷u h¹n sinh ®· ®îc ®a ra (xem [4], [8], [16],...). §Æc biÖt lµ kÕt qu¶ sau
®îc R. N. Roberts [16, §Þnh lý 6] chøng minh cho trêng hîp vµnh tùa ®Þa
ph¬ng vµ sau ®ã ®îc NguyÔn Tù Cêng vµ Lª Thanh Nhµn [4, §Þnh lý 2.6]
chøng minh cho trêng hîp vµnh giao ho¸n bÊt kú.
MÖnh ®Ò 1.3.3. R(0 :A Jn
A) lµ mét ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû khi n 0 vµ
N-dim A = deg( (0 :A Jn
A))
= inf{t : ∃x1, . . . , xt ∈ JA sao cho (0 :A (x1, . . . , xt)R) < ∞},
trong ®ã JA =
m∈Supp A
m.
1.4 Hµm tö më réng vµ hµm tö xo¾n
Môc nµy dµnh ®Ó nh¾c l¹i kh¸i niÖm vµ c¸c tÝnh chÊt cña m«®un Ext vµ
Tor thêng ®îc dïng trong luËn v¨n (xem [10]).
§Þnh nghÜa 1.4.1. Cho M, N lµ c¸c R-m«®un vµ n ≥ 0 lµ mét sè tù nhiªn.
M«®un dÉn xuÊt ph¶i thø n cña hµm tö Hom(−, N) øng víi M ®îc gäi lµ
m«®un më réng thø n cña M vµ N vµ ®îc kÝ hiÖu lµ Extn
R(M, N). Cô thÓ,
®Ó x©y dùng Extn
R ta lÊy mét gi¶i x¹ ¶nh cña M
. . . −→ P2
u2
−→ P1
u1
−→ P0 −→ M −→ 0.
T¸c ®éng hµm tö Hom(−, N) vµo d·y khíp trªn ta cã ®èi phøc
0 −→ Hom(P0, N)
u∗
1
−→ Hom(P1, N)
u∗
2
−→ Hom(P2, N) −→ . . .
Khi ®ã Extn
R(M, N) = Ker u∗
n+1/ Im u∗
n lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu thø n cña
®èi phøc trªn (m«®un nµy kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän gi¶i x¹ ¶nh cña
M).

15
§Þnh nghÜa 1.4.2. Cho M, N lµ çc R-m«®un vµ n ≥ 0 lµ mét sè tù nhiªn.
M«®un dÉn xuÊt tr¸i thø n cña hµm tö − ⊗ N øng víi M ®îc gäi lµ m«®un
xo¾n thø n cña M vµ N vµ ®îc kÝ hiÖu lµ TorR
n (M, N). Cô thÓ, ®Ó x©y dùng
TorR
n ta lÊy mét d¶i x¹ ¶nh cña M
. . . −→ P2
v2
−→ P1
v1
−→ P0 −→ M −→ 0.
T¸c ®éng hµm tö − ⊗ N vµo d·y khíp trªn ta cã phøc
. . . −→ P2 ⊗ N
v∗
2
−→ P1 ⊗ N
v∗
1
−→ P0 ⊗ N −→ 0.
Khi ®ã TorR
n (M, N) = Ker v∗
n/ Im v∗
n+1 lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu thø n cña
phøc trªn (m«®un nµy kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän gi¶i x¹ ¶nh cña M).
Sau ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt c¬ së cña çc m«®un Ext vµ Tor thêng ®îc
dïng trong luËn v¨n nµy.
MÖnh ®Ò 1.4.3. (a) Ext0
R(M, N) ∼= Hom(M, N) vµ TorR
0 (M, N) ∼= M⊗N.
(b) NÕu M hoÆc N lµ x¹ ¶nh th× TorR
n (M, N) = 0 víi mäi n ≥ 1.
(c) NÕu M lµ x¹ ¶nh hoÆc N lµ néi x¹ th× Extn
R(M, N) = 0 víi mäi n ≥ 1.
(d) NÕu 0 −→ N −→ N −→ N −→ 0 lµ d·y khíp ng¾n th× tån t¹i çc
®ång cÊu nèi Extn
R(M, N ) −→ Extn+1
R (M, N ) víi mçi n ≥ 0 sao cho ta
cã d·y khíp dµi
0 −→ Hom(M, N ) −→ Hom(M, N) −→ Hom(M, N ) −→ Ext1
R(M, N )
−→ Ext1
R(M, N) −→ Ext1
R(M, N ) −→ Ext2
R(M, N ) −→ . . .
(e) NÕu 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 lµ d·y khíp ng¾n th× tån t¹i çc
®ång cÊu nèi Extn
R(M , N) −→ Extn+1
R (M , N) víi mçi n ≥ 0 sao cho ta
cã d·y khíp dµi
0 −→ Hom(M , N) −→ Hom(M, N) −→ Hom(M , N) −→ Ext1
R(M , N)
−→ Ext1
R(M, N) −→ Ext1
R(M , N) −→ Ext2
R(M , N) −→ . . .

16
(g) NÕu 0 −→ N −→ N −→ N −→ 0 lµ d·y khíp ng¾n th× tån t¹i c¸c
®ång cÊu nèi TorR
n (M, N ) −→ TorR
n−1(M, N ) víi mçi n ≥ 0 sao cho ta
cã d·y khíp dµi
. . . −→ TorR
n (M, N ) −→ TorR
n (M, N) −→ TorR
n (M, N )
−→ TorR
n−1(M, N ) −→ TorR
n−1(M, N) −→ TorR
n−1(M, N )
. . . −→ TorR
1 (M, N ) −→ (M ⊗ N ) −→ (M ⊗ N) −→ (M ⊗ N ) −→ 0.
HÖ qu¶ 1.4.4. NÕu M, N h÷u h¹n sinh th× Extn
R(M, N) vµ TorR
n (M, N) lµ
h÷u h¹n sinh víi mäi n.
KÕt qu¶ díi ®©y cho ta tÝnh chÊt giao ho¸n gi÷a m«®un Ext, Tor víi hµm
tö ®Þa ph¬ng hãa vµ sù t¬ng ®¬ng gi÷a hai hµm tö Ext vµ Tor trªn vµnh
®Þa ph¬ng ®Çy ®ñ.
MÖnh ®Ò 1.4.5. (i) NÕu S lµ tËp ®ãng nh©n cña R th× ta cã c¸c ®¼ng cÊu
S−1
(Extn
R(M, N)) ∼= Extn
S−1R(S−1
M, S−1
N),
S−1
(TorR
n (M, N)) ∼= TorS−1
R
n (S−1
M, S−1
N),
trong ®ã S−1
lµ hµm tö ®Þa ph¬ng hãa. §Æc biÖt,
(Extn
R(M, N))p
∼= Extn
Rp
(Mp, Np),
(TorR
n (M, N))p
∼= TorRp
n (Mp, Np)
víi mäi i®ªan nguyªn tè p cña R.
(ii) Cho I lµ i®ªan cña R. Khi ®ã
Exti
R
(R/IR, D(A)) ∼= TorR
i (R/IR, A),
víi mäi sè nguyªn i ≥ 0.

17
1.5 D·y chÝnh quy vµ ®é s©u cña m«®un
D·y chÝnh quy lµ mét trong nh÷ng d·y c¬ b¶n cña ®¹i sè giao ho¸n mµ
th«ng qua ®ã ngêi ta cã thÓ ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm ®é s©u - mét bÊt biÕn rÊt
quan träng ®Ó nghiªn cøu cÊu tróc cña m«®un (xem [10]).
§Þnh nghÜa 1.5.1. Cho R lµ vµnh giao ho¸n Noether vµ M lµ R-m«®un kh¸c
0. Mét phÇn tö 0 = a ∈ R ®îc gäi lµ phÇn tö M- chÝnh quy nÕu M = aM
vµ a kh«ng lµ íc cña 0 trong M. D·y çc phÇn tö (a1, . . . , an) ∈ R ®îc
gäi lµ M- d·y chÝnh quy nÕu
(a) M/(a1, . . . , an)M = 0.
(b) ai lµ phÇn tö M/(a1, . . . , ai−1)M-chÝnh quy, víi mäi i = 1, . . . , n.
D·y çc phÇn tö (a1, . . . , an) ∈ R ®îc gäi lµ M- d·y chÝnh quy nghÌo
nÕu nã chØ tháa m·n ®iÒu kiÖn (b) trong ®Þnh nghÜa trªn.
Cho I lµ i®ªan cña R sao cho M = IM. Khi ®ã mçi d·y chÝnh quy cña
M trong I ®Òu cã thÓ më réng thµnh d·y chÝnh quy tèi ®¹i trong I, vµ çc
d·y chÝnh quy tèi ®¹i cña M trong I cã chung ®é dµi. §é dµi chung nµy ®îc
gäi lµ ®é s©u cña M trong I vµ ®îc kÝ hiÖu lµ depth(I, M). NÕu M = IM
th× ta quy íc depth(I, M) = ∞.
Chó ý 1.5.2. (i) Gi¶ sö M lµ h÷u h¹n sinh. Khi ®ã (a1, . . . , an) ∈ R lµ
M-d·y chÝnh quy khi vµ chØ khi ai /∈ p, ∀p ∈ AssR M/(a1, . . . , ai−1)M.
(ii) NÕu R lµ vµnh ®Þa ph¬ng víi i®ªan cùc ®¹i m th× theo bæ ®Ò Nakayama
mäi d·y (a1, . . . , an) ∈ m ®Òu tháa m·n ®iÒu kiÖn M/(a1, . . . , an)M = 0,
do ®ã nã lµ M-d·y chÝnh quy khi vµ chØ khi nã tháa m·n ®iÒu kiÖn (b) trong
®Þnh nghÜa trªn. Trong trêng hîp nµy, ®é s©u cña M trong m gäi lµ ®é s©u
cña M vµ kÝ hiÖu lµ depth M.
(iii) NÕu (a1, . . . , an) lµ M-d·y chÝnh quy trong I th× (at1
1 , . . . , atn
n ) còng lµ
M-d·y chÝnh quy trong I víi mäi sè nguyªn d¬ng t1, . . . , tn.

18
TiÕp theo ta ®a ra mét sè tÝnh chÊt cña depth(I, M) hay ®îc dïng trong
luËn v¨n. §Þnh lÝ sau chØ ra quan hÖ gi÷a ®é s©u cña m«®un vµ chiÒu cña nã.
§Þnh lý 1.5.3. Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether vµ M lµ R-m«®un
h÷u h¹n sinh. Khi ®ã ta cã depth(M) dim(M).
Ta ®· biÕt r»ng víi I lµ i®ªan cña R th× m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
thø i Hi
I(M) cña M øng víi i®ªan I ®îc ®Þnh nghÜa bëi
Hi
I(M) = Ri
(ΓI(M)),
trong ®ã ΓI(M) lµ m«®un con I-xo¾n cña M. MÖnh ®Ò sau ®©y cho ta ®Æc
trng cña ®é s©u qua tÝnh kh«ng triÖt tiªu cña m«®un Ext vµ m«®un ®èi ®ång
®iÒu ®Þa ph¬ng.
MÖnh ®Ò 1.5.4. Cho I lµ i®ªan cña R.
(i) Ta cã c¸c ®¼ng thøc sau
depth(I, M) = inf{i | Exti
R(R/I, M) = 0} = inf{i | Hi
I(R/I, M) = 0}.
(ii) Gi¶ sö depth(I, M) = t. Khi ®ã
AssR(Extt
R(R/I, M)) = AssR(Ht
I(M)).

19
Ch¬ng 2
D·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s
Trong toµn bé ch¬ng nµy, ta vÉn gi¶ thiÕt (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng, I lµ
i®ªan cña R vµ A lµ R-m«®un Artin víi chiÒu Noether N-dimR A = d. Kh¸i
niÖm A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s ®· ®îc ®a ra bëi L. T. Nhan vµ
N. V. Hoang trong [14] nh lµ mét sù më réng cña kh¸i niÖm d·y ®èi chÝnh
quy ®a ra bëi A. Ooishi [15] vµ th«ng qua kh¸i niÖm nµy hä ®· chøng minh
mét kÕt qu¶ h÷u h¹n cho tËp çc i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Artin.
Trong ch¬ng nµy, kh¸i niÖm A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s còng ®îc
tiÕp tôc sö dông ®Ó ®Æc trng cho chiÒu Krull cña çc m«®un TorR
i (R/I, A)
cña A.
2.1 D·y ®èi chÝnh quy
Kh¸i niÖm d·y ®èi chÝnh quy cho mét m«®un tuú ý ®îc nghiªn cøu bëi
A. Ooishi [15], ë ®ã «ng ®· ®a ra mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña d·y ®èi chÝnh
quy khi m«®un lµ Artin. Çc kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt nµy theo mét nghÜa nµo
®ã ®èi ngÉu víi çc kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña d·y chÝnh quy cho m«®un h÷u
h¹n sinh trªn vµnh Noether.
§Þnh nghÜa 2.1.1. Cho M lµ mét R-m«®un tuú ý. Mét d·y çc phÇn tö
x1, . . . , xr trong R ®îc gäi lµ d·y ®èi chÝnh quy cña M (hay M-d·y ®èi

20
chÝnh quy) nÕu tho¶ m·n çc ®iÒu kiÖn sau.
(i) (0 :M (x1, . . . , xr)R) = 0.
(ii) xi(0 :M (x1, . . . , xi−1)R) = (0 :M (x1, . . . , xi−1)R), víi 1 i r.
§Æc biÖt, phÇn tö x ∈ R ®îc gäi lµ phÇn tö M-®èi chÝnh quy nÕu 0 :M x = 0
vµ xM = M.
Cho A lµ R-m«®un Artin vµ I lµ mét i®ªan cña R sao cho (0 :A I) = 0.
Khi ®ã ®é dµi cña mçi A-d·y ®èi chÝnh quy trong I lµ h÷u h¹n vµ hai d·y
®èi chÝnh quy tèi ®¹i trong I cã chung ®é dµi. V× thÕ ta cã ®Þnh nghÜa sau.
§Þnh nghÜa 2.1.2. §é réng cña A trong I, ký hiÖu lµ WidthI A (hoÆc
Width(I, A) ), lµ ®é dµi cña mét A-d·y ®èi chÝnh quy tèi ®¹i trong I. §Æc
biÖt, nÕu I = m th× ta gäi Widthm A lµ ®é réng cña A trong m vµ ký hiÖu lµ
Width A.
Chó ý 2.1.3. (i) §èi víi m«®un Artin A kh¸c kh«ng trªn vµnh giao ho¸n R,
nÕu çc phÇn tö x1, . . . , xr ∈ m, th× theo tÝnh chÊt cña m«®un Artin ®iÒu kiÖn
(0 :A (x1, . . . , xr)R) = 0 trong §Þnh nghÜa 2.1.1 lu«n ®îc tho¶ m·n.
(ii) NÕu x ∈ m lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy th× ta cã c«ng thøc vÒ chiÒu
Noether N-dim(0 :A xR) = N-dim A − 1. Do ®ã, mçi A-d·y ®èi chÝnh quy
lµ mét phÇn hÖ tham sè cña A vµ v× thÕ
Width(A) N-dim A.
(iii) Mét d·y çc phÇn tö (x1, . . . , xr) ∈ R lµ A-d·y ®èi chÝnh quy nÕu vµ
chØ nÕu xi /∈ p, ∀p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) víi mäi i = 1, . . . , r.
MÖnh ®Ò 2.1.4. Cho I lµ i®ªan cña R. Khi ®ã çc mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng
®¬ng:
(1) Tån t¹i phÇn tö A-®èi chÝnh quy trong I.
(2) A ⊗R R/I = 0.

21
Çc kÕt qu¶ sau ®©y cho thÊy ®èi víi mçi m«®un Artin A, sù tån t¹i cña
mét A-d·y ®èi chÝnh quy cã liªn quan chÆt chÏ ®Õn çc m«®un con xo¾n cña
chóng.
MÖnh ®Ò 2.1.5. Cho I lµ i®ªan cña R vµ (x1, . . . , xn) lµ mét A-d·y ®èi chÝnh
quy trong I. Khi ®ã
(1) TorR
i (R/I, A) = 0 víi mäi i < n.
(2) TorR
n (R/I, A) ∼= 0 :A (x1, . . . , xn) ⊗R R/I.
§Þnh lý 2.1.6. Cho I lµ i®ªan cña R vµ A lµ R-m«®un Artin. Çc mÖnh ®Ò
sau lµ t¬ng ®¬ng:
(1) TorR
i (R/I, A) = 0 víi mäi i < n.
(2) Tån t¹i A-d·y ®èi chÝnh quy (x1, . . . , xn) trong I.
Gi¶ sö I lµ i®ªan cña R sao cho (0 :A I) = 0. Tõ çc kÕt qu¶ trªn ta cã
ngay tÝnh chÊt lµ ®é réng cña A trong I lu«n h÷u h¹n vµ ®îc tÝnh b»ng c«ng
thøc
WidthI(A) = inf{n ≥ 0 | TorR
n (R/I, A) = 0}.
2.2 D·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s
Cho I lµ i®ªan cña R vµ s ≥ −1 lµ mét sè nguyªn. Tríc hÕt ta nh¾c l¹i
kh¸i niÖm A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s ®îc ®a ra trong [14].
§Þnh nghÜa 2.2.1. [14, §Þnh nghÜa 2.4], mét d·y çc phÇn tö (x1, . . . , xk)
trong m ®îc gäi lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s nÕu xi /∈ p víi
mäi i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) tho¶ m·n
dim(R/p) > s, víi mäi i = 1, . . . , k.
Chó ý r»ng A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > −1 chÝnh lµ A-d·y ®èi chÝnh
quy ®· ®îc ®Þnh nghÜa bëi A. Ooishi [15].

22
Bæ ®Ò 2.2.2. Gi¶ sö x lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Khi ®ã
dim(A/xA) s.
Chøng minh. Cho A = A1 + · · · + At lµ biÓu diÔn thø cÊp tèi thiÓu cña A,
trong ®ã Ai lµ pi-thø cÊp. Theo gi¶ thiÕt x lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi
chiÒu > s nªn x /∈ pi víi mäi i tho¶ m·n dim(R/pi) > s. Kh«ng mÊt tÝnh
tæng qu¸t, ta cã thÓ ®¸nh sè l¹i sao cho c¸c m«®un con thø cÊp A1, . . . , Ai−1
tháa m·n dim(R/pk) s vµ Ai, . . . , At tháa m·n dim(R/pj) > s, víi mäi
k = 1, . . . , i − 1 vµ j = i, . . . , t. Khi ®ã xAj = Aj víi mäi j = i, . . . , t. V×
thÕ ta cã ®¼ng cÊu sau
A/xA = (A1 + · · · + At)/xA1 + · · · + xAt
∼= (A1 + · · · + Ai−1)/(xA1 + · · · + xAi−1) ∩ (Ai + · · · + At).
Suy ra dim(A/xA) s.
Bæ ®Ò 2.2.3. Gi¶ sö r»ng dim(A/IA) s. Khi ®ã tån t¹i mét A-d·y ®èi
chÝnh quy víi chiÒu > s trong I.
Chøng minh. Gi¶ sö tån t¹i p ∈ AttR A sao cho I ⊆ p vµ dim(R/p) > s.
V× p ∈ AttR A, nªn theo §Þnh lÝ 1.2.2 tån t¹i m«®un th¬ng A/B = 0
cña A lµ p-thø cÊp. Do A/B lµ p-thø cÊp vµ p lµ i®ªan h÷u h¹n sinh nªn
theo §Þnh lÝ 1.2.2 ph¶i tån t¹i sè nguyªn n sao cho pn
(A/B) = 0. V×
I ⊆ p, nªn suy ra In
(A/B) = 0. Nhng l¹i do A/B = 0 vµ In
(A/B) = 0,
nªn ta ph¶i cã I(A/B) = A/B, v× nÕu ngîc l¹i I(A/B) = A/B th×
I(I(A/B)) = I(A/B) = A/B, do ®ã
I2
(A/B) = A/B, . . . , In
(A/B) = A/B = 0,
v« lý. VËy suy ra A = IA + B. Do ®ã m«®un th¬ng A/(B + IA)
cña A/B còng kh¸c 0, nªn còng lµ p-thø cÊp. Theo Bæ ®Ò 1.3.2 ta cã
dim(A/(B + IA)) = dim(R/p) > s. §iÒu nµy dÉn ®Õn
dim(A/IA) ≥ dim(A/(B + IA) > s,

23
m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. V× vËy I ⊆ p víi mäi p ∈ AttR A tho¶ m·n
dim(R/p) > s. Do ®ã tån t¹i x ∈ I sao cho x /∈ p víi mäi p ∈ AttR A
tháa m·n dim(R/p) > s. Suy ra x lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s
trong I.
Nh ®· biÕt, nÕu R lµ vµnh ®Þa ph¬ng ®Çy ®ñ th× ®èi ngÉu Matlis cho
ta mét t¬ng ®¬ng gi÷a ph¹m trï çc m«®un Artin vµ ph¹m trï çc m«®un
Noether. Ch¼ng h¹n, AttR A = AssR D(A), N-dim A = dimR D(A) vµ
WidthR A = depthR D(A). Tuy nhiªn, nÕu R kh«ng lµ vµnh ®Çy ®ñ th× viÖc
chøng minh ®ßi hái ph¶i hÕt søc cÈn thËn. KÕt qu¶ sau ®©y, ®· ®îc chøng
minh trong [14, Bæ ®Ò 2.5] mµ kü thuËt chÝnh lµ chuyÓn lªn vµnh ®Çy ®ñ, sau
®ã sö dông ®èi ngÉu Matlis vµ ®Þa ph¬ng ho¸ lµ bæ ®Ò cã tÝnh chÊt kü thuËt
cho viÖc chøng minh çc kÕt qu¶ tiÕp theo cña ch¬ng.
Bæ ®Ò 2.2.4. Mét d·y (x1, . . . , xk) çc phÇn tö cña m lµ A-d·y ®èi chÝnh quy
víi chiÒu > s nÕu vµ chØ nÕu (x1, . . . , xk) lµ D(A)p-d·y chÝnh quy nghÌo víi
mäi p ∈ Var(AnnR A) tho¶ m·n dim(R/p∩R) > s, trong ®ã xi lµ ¶nh cña
xi trong Rp víi i = 1, . . . , k.
Chøng minh. Cho (x1, . . . , xk) lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Gi¶
sö r»ng tån t¹i p ∈ Var(AnnR A) tho¶ m·n dim(R/p ∩ R) > s sao
cho (x1, . . . , xk) kh«ng lµ d·y chÝnh quy nghÌo cña (D(A))p. Khi ®ã,
theo §Þnh nghÜa 1.5.1 tån t¹i j ∈ {1, . . . , k} sao cho xj ∈ qRp víi
qRp ∈ AssRp
(D(A))p/(x1, . . . , xj−1)(D(A))p). Chó ý r»ng theo Bæ ®Ò 1.1.4,
ta cã
(D(A))p/((x1, . . . , xj−1)D(A))p
∼= D(A)/(x1, . . . , xj−1)D(A)
p
∼= D(0 :A (x1, . . . , xj−1)R)
p
(∗)
lµ Rp-m«®un h÷u h¹n sinh. V× thÕ q ∈ AssR D(0 :A (x1, . . . , xj−1)R)
vµ v× vËy xj ∈ q ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xj−1)R). Theo MÖnh ®Ò 1.2.4 ta cã

24
xj ∈ q ∩ R ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) . Chó ý r»ng ˆq ⊆ ˆp cho nªn
dim(R/q ∩ R) ≥ dim(R/p ∩ R) > s. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt
(x1, . . . , xk) lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s.
Ngîc l¹i, cho (x1, . . . , xk) lµ d·y chÝnh quy nghÌo cña (D(A))p, víi mäi
p ∈ Var(AnnR A) tho¶ m·n dim(R/p ∩ R) > s. Gi¶ sö r»ng (x1, . . . , xk)
kh«ng lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Theo §Þnh nghÜa 2.1.1 ph¶i tån
t¹i chØ sè j sao cho xj ∈ p víi p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) tháa m·n
dim(R/p) > s. Tõ MÖnh ®Ò 1.2.4, tån t¹i q ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xj−1)R)
sao cho q ∩ R = p. Suy ra q ∈ AssR D(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) (theo MÖnh
®Ò 1.2.4). L¹i theo Bæ ®Ò 1.1.4 ta cã ®¼ng cÊu (*) nh ë trªn, ®iÒu nµy dÉn
®Õn
xj ∈ qRq ∈ AssRq
(D(A))q/(x1, . . . , xj−1)(D(A))q .
Do ®ã theo ®Þnh nghÜa th× x1, . . . , xk kh«ng lµ d·y chÝnh quy nghÌo cña
(D(A))q víi dim(R/q ∩ R) = dim(R/p) > s, ®iÒu nµy dÉn ®Õn m©u thuÉn,
v× vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
KÕt qu¶ tiÕp theo lµ sù më réng cña [15, MÖnh ®Ò 3.6], [15, §Þnh lý 3.9]
víi kü thuËt chÝnh ®Ó chøng minh lµ sö dông kÕt qu¶ cña Bæ ®Ò 2.2.4 vµ tÝnh
chÊt δ-hµm tö ®ång ®iÒu cña hµm tö xo¾n Tor, tÝnh chÊt chiÒu Krull cña d·y
khíp c¸c m«®un céng víi mèi liªn hÖ gi÷a tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña
m«®un më réng Ext vµ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un xo¾n Tor
trªn vµnh ®Þa ph¬ng ®Çy ®ñ.
Bæ ®Ò 2.2.5. Cho n ≥ 0 lµ mét sè nguyªn. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng:
(i) dim(TorR
i (R/I, A)) s víi mäi i < n.
(ii) Tån t¹i A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi n.
Chøng minh. (i)⇒(ii). Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo n.

25
Cho n = 1. Khi ®ã dim(TorR
0 (R/I, A)) s. Tõ ®¼ng cÊu
TorR
0 (R/I, A) ∼= A/IA nªn dim(A/IA) s. Theo Bæ ®Ò 2.2.3 tån t¹i
phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I.
Cho n > 1 vµ gi¶ sö r»ng kÕt qu¶ ®· ®óng cho trêng hîp n − 1. Khi ®ã
tån t¹i phÇn tö x1 ∈ I lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s theo Bæ ®Ò
2.2.3. Tõ hai d·y khíp
0 −→ 0 :A x1 −→ A
x1
−→ x1A −→ 0
0 −→ x1A −→ A −→ A/x1A −→ 0,
¸p dông tÝnh chÊt δ-hµm tö ®ång ®iÒu cña hµm tö Tor ta cã çc d·y khíp sau
TorR
i+1(R/I, x1A) −→ TorR
i (R/I, 0 :A x1) −→ TorR
i (R/I, A);
TorR
i+1(R/I, A/x1A) −→ TorR
i (R/I, x1A) −→ TorR
i (R/I, A)
−→ TorR
i (R/I, A/x1A).
V× x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s nªn theo Bæ ®Ò 2.2.2 ta cã
dim(A/x1A) s. Do ®ã dim(TorR
i (R/I, A/x1A)) s víi mäi i. V× thÕ tõ
d·y khíp thø hai ta cã dim(TorR
i (R/I, x1A)) s, ¸p dông kÕt qu¶ nµy vµo
d·y khíp thø nhÊt vµ tõ gi¶ thiÕt (i) ta cã dim(TorR
i (R/I, 0 :A x1)) s víi
mäi i < n−1. Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, ph¶i tån t¹i d·y çc phÇn tö x2, . . . , xn
lµ 0 :A x1-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi n − 1. V× vËy
x1, . . . , xn lµ mét A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi n.
(ii) ⇒(i). Cho x1, . . . , xn lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I. Ta
cÇn chøng minh r»ng dim(TorR
i (R/I, A)) s víi mäi i < n. Gi¶ sö tån t¹i
k < n sao cho dim(TorR
k (R/I, A)) > s. Khi ®ã, theo Bæ ®Ò 1.3.2, tån t¹i çc
i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt p ∈ AttR(TorR
k (R/I, A)) sao cho dim(R/p) > s.
Theo MÖnh ®Ò 1.2.4, tån t¹i p ∈ AttR(TorR
k (R/I, A)) sao cho p∩R = p. V×
p ∈ AttR(TorR
k (R/I, A)), ta cã p ⊇ AnnR(TorR
k (R/I, A)) theo MÖnh ®Ò
1.2.3. Do ®ã IR ⊆ p. V× dim(R/(p ∩ R)) = dim(R/p) > s vµ x1, . . . , xn
lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I, nªn theo Bæ ®Ò 2.2.4 ta cã

26
x1, . . . , xn lµ D(A)p-d·y chÝnh quy nghÌo, trong ®ã xi lµ ¶nh cña xi trong
Rp. V× vËy, theo MÖnh ®Ò 1.5.4, ta cã
Exti
Rp
(Rp/IRp, D(A)p) = 0
víi mäi i < n. Do ®ã, theo MÖnh ®Ò 1.4.5
p /∈ SuppR Exti
R
(R/IR, D(A)) = Var(AnnR(Exti
R
(R/IR, D(A)))
= Var(AnnR(TorR
i (R/IR, A)))
= Var(AnnR(TorR
i (R/I, A)))
víi mäi i < n. Theo MÖnh ®Ò 1.2.3 ta cã p /∈ AttR(TorR
k (R/I, A)), ®iÒu
nµy v« lý. V× vËy, dim(TorR
i (R/IR, A)) s víi mäi i < n.
Nh¾c l¹i r»ng ®èi víi mçi R-m«®un h÷u h¹n sinh M ta xÐt mét tÝnh
chÊt c¬ b¶n sau: Gi¶ sö p lµ i®ªan nguyªn tè cña R chøa AnnR M. Khi ®ã
p ∈ SuppR M vµ do ®ã Mp = 0. Theo Bæ ®Ò Nakyama ta suy ra
(M/pM)p = Mp/pMp = 0.
Do ®ã p ∈ Supp(M/pM), nghÜa lµ p ⊇ AnnR(M/pM). V× vËy ta lu«n cã
tÝnh chÊt AnnR(M/pM) = p, víi mäi i®ªan nguyªn tè chøa AnnR M. Mét
c©u hái tù nhiªn ®îc ®Æt ra lµ liÖu cã mét tÝnh chÊt t¬ng tù nh vËy cho
mäi m«®un Artin trªn vµnh giao ho¸n bÊt kú hay kh«ng, nghÜa lµ nÕu ký hiÖu
V (AnnR A) lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè cña R chøa AnnR A th× liÖu r»ng cã
®¼ng thøc AnnR(0 :A p) = p, ∀p ∈ V (AnnR A) hay kh«ng. C©u tr¶ lêi cho
c©u hái nµy nh×n chung kh«ng ®óng víi mäi p ∈ Var(AnnR A), (xem [4, VÝ
dô 4.3]), vµ líp m«®un tho¶ m·n tÝnh chÊt trªn ®îc gäi lµ tÝnh chÊt (∗) hay
tÝnh chÊt linh ho¸ tö. Bæ ®Ò sau cho ta tÝnh chÊt linh ho¸ tö cña c¸c i®ªan
nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Artin.
Bæ ®Ò 2.2.6. Cho p ∈ AttR A. Khi ®ã AnnR(0 :A p) = p.

27
Chøng minh. V× p ∈ AttR A nªn theo MÖnh ®Ò 1.2.4, tån t¹i p ∈ AttR A sao
cho p ∩ R = p. H¬n n÷a, tõ p ∈ Var(AnnR A), ta suy ra p ⊇ AnnR A. Mµ
ta l¹i cã AnnR A = AnnR D(A) theo MÖnh ®Ò 1.1.3 nªn p ⊇ AnnR D(A).
Do ®ã p ⊇ Var(AnnR D(A)) suy ra AnnR D(A)/pD(A) = p. Theo Bæ
®Ò 1.1.4 ta cã AnnR(0 :A p) = p. Do ®ã
p ⊆ AnnR(0 :A p) ⊆ AnnR(0 :A p) ∩ R = p ∩ R = p.
V× vËy, Ann(0 :A p) = p
§Þnh lý sau lµ kÕt qu¶ chÝnh cña ch¬ng cho ta mét tÝnh chÊt thó vÞ vÒ sù
lu«n tån t¹i A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s vµ sù më réng chóng thµnh
d·y cã ®é dµi tèi ®¹i, ®Æc biÖt ®Æc trng ®îc ®é dµi tèi ®¹i cña A-d·y ®èi
chÝnh quy víi chiÒu > s th«ng qua chiÒu Krull cña m«®un xo¾n Tor cña
A. §Ó chøng minh ®Þnh lý nµy, ngoµi viÖc ¸p dông çc tÝnh chÊt cña d·y ®èi
chÝnh quy vµ chiÒu Krull th× tÝnh chÊt linh ho¸ tö trong Bæ ®Ò 2.2.6 còng ®ãng
mét vai trß rÊt quan träng.
§Þnh lý 2.2.7. Cho I lµ mét i®ªan cña R.
(i) NÕu dimR(0 :A I) s th× víi mçi sè nguyªn n > 0 lu«n tån t¹i mét
A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi n.
(ii) NÕu dimR(0 :A I) > s th× mçi A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong
I cã thÓ më réng ®îc thµnh d·y cã ®é dµi tèi ®¹i vµ tÊt c¶ çc A-d·y ®èi
chÝnh quy tèi ®¹i víi chiÒu > s trong I ®Òu cã chung ®é dµi, h¬n n÷a ®é dµi
chung ®ã chÝnh lµ sè nguyªn i nhá nhÊt sao cho dimR(TorR
i (R/I, A)) > s.
Chøng minh.
(i). Cho n > 0 lµ mét sè nguyªn. Ta sÏ chøng minh b»ng quy n¹p theo n
r»ng tån t¹i mét d·y çc phÇn tö trong i®ªan I lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi
chiÒu > s cã ®é dµi n.

28
Cho n = 1 vµ p ∈ AttR A sao cho dim(R/p) > s. Khi ®ã theo Bæ ®Ò
2.2.6 ta cã AnnR(0 :A p) = p. V× thÕ nÕu I ⊆ p th× (0 :A I) ⊇ (0 :A p) vµ
do ®ã
dimR(0 :A I) ≥ dimR(0 :A p) = dim(R/ AnnR(0 :A p)) = dim(R/p) > s,
(theo Bæ ®Ò 1.3.2) m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt dimR(0 :A I) s. VËy suy ra
I ⊆ p víi mäi p ∈ AttR A tho¶ m·n dim(R/p) > s. Do ®ã tån t¹i phÇn tö
x1 ∈ I sao cho x1 /∈ p víi mäi p ∈ AttR A tho¶ m·n dim(R/p) > s hay
nãi çch kh¸c x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I.
Cho n > 1 vµ gi¶ sö r»ng tån t¹i d·y x1, . . . , xn−1 çc phÇn tö trong
I lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Cho i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt
p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) sao cho dim(R/p) > s. Khi ®ã theo Bæ ®Ò
2.2.6 ta cã AnnR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R p) = p. V× vËy nÕu I ⊆ p th×
dimR(0 :A I) = dimR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R I)
≥ dimR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R p)
= dim(R/ AnnR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R p)) = dim(R/p) > s,
m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. Do ®ã tån t¹i xn ∈ I sao cho xn /∈ p víi mäi
p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) tho¶ m·n dim(R/p) > s, vµ d·y x1, . . . , xn
lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi n.
(ii). §Æt dimR A = dim(R/ AnnR A) = d. V× (0 :A I) ⊆ A nªn ta cã thÓ gi¶
sö r»ng dimR(0 :A I) = d−k > s, trong ®ã k ≥ 0 lµ mét sè nguyªn. Ta sÏ chØ
ra r»ng mçi A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi nhiÒu nhÊt lµ
k. ThËt vËy, gi¶ sö ®iÒu ngîc l¹i. Khi ®ã tån t¹i d·y x1, . . . , xk+1 çc phÇn tö
trong I lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Tríc hÕt, ta chøng minh b»ng
quy n¹p theo n = 1, . . . , k+1 r»ng dimR(0 :A (x1, . . . , xn)R) d−n. Cho
n = 1 vµ p ∈ Var(AnnR A) sao cho dim(R/p) = d. Khi ®ã p ∈ AttR A
theo MÖnh ®Ò 1.2.3. V× d ≥ d − k > s vµ x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi

29
chiÒu > s, nªn suy ra x1 /∈ p theo §Þnh nghÜa 2.2.1. Do ®ã theo Bæ ®Ò 1.3.2
dimR(0 :A x1) = dim(R/ Ann(0 :A x1)) dim(R/(x1R+AnnR A)) = d−1,
v× thÕ kh¼ng ®Þnh ®óng cho trêng hîp n = 1. Cho n > 1 vµ gi¶ sö r»ng
kh¼ng ®Þnh ®· ®óng cho trêng hîp n − 1, nghÜa lµ
dimR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) = t d − n + 1.
V× dimR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) ≥ dimR(0 :A I) nªn ta cã t ≥ d − k > s.
V× xn lµ phÇn tö 0 :A (x1, . . . , xn−1)R-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s, nªn theo
MÖnh ®Ò 1.2.3 suy ra xn /∈ p víi mäi p ∈ Var(AnnR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R))
tho¶ m·n dim(R/p) = t. V× thÕ
dimR(0 :A (x1, . . . , xn)R) = dim R/ Ann(0 :A (x1, . . . , xn)R)
dim R/(xnR + AnnR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R))
= t − 1 d − n,
vµ kh¼ng ®Þnh ®îc chøng minh. B©y giê, dïng kh¼ng ®Þnh trªn cho trêng
hîp n = k + 1 ta cã
d − k = dimR(0 :A I) dimR(0 :A (x1, . . . , xk+1)R) d − k − 1.
§iÒu nµy v« lý. V× vËy, ®é dµi cña mét A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s
trong I nhiÒu nhÊt lµ k. Do ®ã, mçi mét A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s
trong I cã thÓ më réng ®îc thµnh d·y tèi ®¹i.
Cho x1, . . . , xm vµ y1, . . . , ym lµ hai A-d·y ®èi chÝnh quy tèi ®¹i víi
chiÒu > s trong I. Gi¶ sö r»ng m = m vµ m < m . Theo Bæ ®Ò 2.2.5 ta
cã dimR(TorR
i (R/I, A)) s víi mäi i < m . Ta sÏ chøng minh b»ng quy
n¹p theo n = 1, . . . , m r»ng dimR(TorR
i (R/I, 0 :A (x1, . . . , xn)R)) s víi
mäi i < m − n. Cho n = 1. Nh chøng minh trong Bæ ®Ò 2.2.5, ta cã c¸c

30
d·y khíp
TorR
i+1(R/I, x1A) −→ TorR
i (R/I, 0 :A x1) −→ TorR
i (R/I, A);
TorR
i+1(R/I, A/x1A) −→ TorR
i (R/I, x1A) −→ TorR
i (R/I, A)
−→ TorR
i (R/I, A/x1A).
Do x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s, ta cã dimR(A/x1A) s
theo Bæ ®Ò 2.2.2. V× thÕ dimR(TorR
i (R/I, A/x1A)) s víi mäi i. Do
®ã tõ c¸c d·y khíp trªn ta nhËn ®îc dimR(TorR
i (R/I, 0 :A x1)) s
víi mäi i < m − 1. V× vËy kh¼ng ®Þnh ®óng cho trêng hîp n = 1.
Cho n > 1 vµ gi¶ sö r»ng mÖnh ®Ò ®· ®óng cho trêng hîp n − 1,
nghÜa lµ dimR(TorR
i (R/I, A )) s víi mäi i < m − n + 1, trong
®ã A = 0 :A (x1, . . . , xn−1)R. Chó ý r»ng xn lµ phÇn tö A -®èi chÝnh
quy víi chiÒu > s. V× vËy b»ng lý luËn t¬ng tù nh chøng minh ë
trªn, ta cã dimR(TorR
i (R/I, 0 :A xn)) s, ®iÒu nµy t¬ng ®¬ng víi
dimR(TorR
i (R/I, 0 :A (x1, . . . , xn)R)) s víi mäi i < m − n, hay kh¼ng
®Þnh ®îc chøng minh.
Do m > m, nªn ¸p dông kh¼ng ®Þnh trªn cho trêng hîp n = m th×
dimR(TorR
0 (R/I, 0 :A (x1, . . . , xm)R)) s. Theo Bæ ®Ò 2.2.3, tån t¹i phÇn
tö trong I lµ phÇn tö 0 :A (x1, . . . , xm)R-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. §iÒu
nµy m©u thuÉn víi tÝnh tèi ®¹i cña d·y (x1, . . . , xm). V× thÕ, tÊt c¶ c¸c A-d·y
®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I ®Òu cã chung ®é dµi, ®ã chÝnh lµ sè
nguyªn nhá nhÊt i sao cho dimR(TorR
i (R/I, A)) > s.

31
Ch¬ng 3
Mét kÕt qu¶ h÷u h¹n cho tËp i®ªan
nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Tor
VÉn ký hiÖu nh c¸c ch¬ng tríc, ch¬ng nµy dµnh ®Ó tr¶ lêi mét phÇn
vÊn ®Ò ®îc ®Æt ra bëi L. Melkerson vµ P. Schenzel [11], ®ã lµ t×m ®iÒu kiÖn
®Ó c¸c tËp
n 0
AttR TorR
i (R/In
, A) vµ
n 0
AssR Exti
R(R/In
, M)
lµ h÷u h¹n. Mét phÇn cña vÊn ®Ò trªn ®· ®îc tr¶ lêi bëi M. Brodmann vµ
L. T. Nhan n¨m 2008. B»ng viÖc ®a ra kh¸i niÖm ®é réng víi chiÒu > s, kÕt
qu¶ chÝnh cña ch¬ng nµy lµ chøng minh ®îc tËp
n 0
AttR TorR
i (R/In
, A)
lµ h÷u h¹n khi n ®ñ lín.
3.1 §é réng víi chiÒu > s
NÕu nh kh¸i niÖm d·y ®èi chÝnh quy dÉn tíi kh¸i niÖm ®é réng cña m«®un
Artin th× tõ kh¸i niÖm A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s vµ §Þnh lý 2.2.7
cho phÐp ta ®a ra kh¸i niÖm ®é réng víi chiÒu > s nh sau.
§Þnh nghÜa 3.1.1. NÕu dimR(0 :A I) > s th× ®é dµi cña mét A-d·y ®èi
chÝnh quy tèi ®¹i víi chiÒu > s trong I ®îc gäi lµ ®é réng víi chiÒu > s

32
trong I øng víi A vµ ®îc ký hiÖu bëi Width>s(I, A). Trong trêng hîp
dimR(0 :A I) s ta ®Æt Width>s(I, A) = ∞.
Chó ý 3.1.2. NÕu s = −1 th× Width>−1(I, A) = Width(I, A), chÝnh lµ ®é
réng cña A trong I theo nghÜa cña A. Ooshi [15].
Sau ®©y ta nh¾c l¹i mét kÕt qu¶ ®· ®îc chøng minh trong [14].
Bæ ®Ò 3.1.3. [14, HÖ qu¶ 2.6] NÕu x1, . . . , xk lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi
chiÒu > s th× xn1
1 , . . . , xnk
k còng lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s víi
mäi sè nguyªn d¬ng n1, . . . , nk.
Chøng minh. Cho (x1, . . . , xk) lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s vµ
n1, . . . , nk lµ çc sè nguyªn. Theo Bæ ®Ò 2.2.4 ta cã (x1, . . . , xk) lµ (D(A))p-
d·y chÝnh quy nghÌo víi mäi i®ªan p ∈ Var(AnnR A) tho¶ m·n tÝnh chÊt
dim(R/p ∩ R)) > s. Do ®ã (xn1
1 , . . . , xnk
k ) lµ (D(A))p-d·y chÝnh quy nghÌo
víi mäi p ∈ Var(AnnR A) tho¶ m·n dim(R/p∩R)) > s theo Chó ý 1.5.2. V×
vËy xn1
1 , . . . , xnk
k lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s theo Bæ ®Ò 2.2.4.
Tõ kÕt qu¶ trªn, nÕu (a1, . . . , ak) lµ çc phÇn tö sinh cña I th× víi mäi bé
çc sè nguyªn d¬ng n, n1, . . . , nk ta cã
Width>s(I, A) = Width>s(In
, A) = Width>s((an1
1 , . . . , ank
k )R, A).
Ta cã nhËn xÐt r»ng víi mçi sè nguyªn i, R-m«®un TorR
i (R/I, A) = 0
nÕu vµ chØ nÕu nã còng lµ R-m«®un 0. H¬n n÷a, dimR(TorR
i (R/I, A)) > 0
nÕu vµ chØ nÕu dimR(TorR
i (R/I, A)) > 0. Do ®ã ta cã hÖ qu¶ sau.
HÖ qu¶ 3.1.4. Víi mçi i®ªan I cña R ta cã
(i) Width(I, A) = Width(IR, A).
(ii) Width>0(I, A) = Width>0(IR, A).
(iii) Width>s(I, A) Width>s(IR, A).

33
Chøng minh. Theo §Þnh lý 2.2.7, Width>s(I, A) chÝnh lµ sè nguyªn i nhá
nhÊt ®Ó dim(TorR
i (R/I, A)) > s.
(i) Gi¶ sö Width(I, A) = n. Khi ®ã n chÝnh lµ ®é dµi cña A-d·y ®èi chÝnh
quy tèi ®¹i trong I theo nghÜa cña A. Ooishi [15] trong trêng hîp s = −1.
V× thÕ, theo §Þnh lý 2.1.6, ta cã TorR
i (R/I, A) = 0 víi mäi i < n. Theo
nhËn xÐt trªn, ®iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi TorR
i (R/IR, A) = 0 víi mäi
i < n, khi vµ chØ khi Width(IR, A) = n.
(ii) Cho x1, . . . , xn lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > 0 trong I, theo
®Þnh nghÜa ta cã xi /∈ p, víi mäi p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) tho¶
m·n dim R/p > 0, nghÜa lµ xi tr¸nh tÊt c¶ c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt p
trong tËp AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) trõ i®ªan cùc ®¹i m. Do ®ã n chÝnh
lµ sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt ®Ó dim(TorR
n (R/I, A)) > 0. Theo nhËn xÐt
trªn, khi vµ chØ khi n còng chÝnh lµ sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt sao cho
dim(TorR
n (R/IR, A)) > 0, khi vµ chØ khi n = Width>0(IR, A).
(iii) Gi¶ sö x1, . . . , xn lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I. Ta cÇn
chøng minh r»ng x1, . . . , xn còng lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong
IR. B»ng quy n¹p ta chØ cÇn chøng minh cho trêng hîp n = 1. V× x1 lµ
phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I nªn theo ®Þnh nghÜa, x1 /∈ p,
víi mäi p ∈ AttR A tho¶ m·n dim R/p > s. Gi¶ sö x1 kh«ng lµ phÇn tö
A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong IR. Khi ®ã tån t¹i q ∈ AttR A sao cho
x1 ∈ q vµ dim(R/q) > s. Theo MÖnh ®Ò 1.2.4, ta cã q ∩ R = q ∈ AttR A.
Suy ra x1 ∈ q vµ
s < dim(R/q) dim(R/qR) = dim R/q ∩ R = dim R/q.
§iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s
trong I. Do ®ã x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong IR.
Theo hÖ qu¶ trªn, ta cã bÊt ®¼ng thøc Width>s(I, A) Width>s(IR, A)

34
vµ dÊu ®¼ng thøc chØ x¶y ra trong trêng hîp s 0. Tuy nhiªn, trong trêng
hîp s > 0, dÊu ®¼ng thøc kh«ng cßn ®óng n÷a. Lý do lµ nh×n chung ta cã
{p ∈ AttR A | dim(R/p) s} ⊆ {p ∩ R | p ∈ AttR A, dim(R/p) s}.
V× thÕ, cã thÓ cã nh÷ng d·y (x1, . . . , xk) c¸c phÇn tö trong I lµ d·y ®èi chÝnh
quy víi chiÒu > s cña R-m«®un A nhng kh«ng lµ d·y ®èi chÝnh quy víi
chiÒu > s cña R-m«®un A, dÉn tíi Width>s(I, A) < Width>s(IR, A). V×
vËy, cÇn ph¶i cÈn thËn khi chuyÓn qua ®Çy ®ñ vµ dïng ®èi ngÉu Matlis. VÝ
dô sau minh häa cho ®iÒu nµy.
VÝ dô 3.1.5. Tån t¹i mét vµnh Noether ®Þa ph¬ng (S, n), i®ªan I cña S vµ
S-m«®un Artin A sao cho dimS A = 3, dimS A = 2 vµ
Width>1(I, A) < Width>1(IS, A),
trong ®ã S lµ n-adic ®Çy ®ñ cña S.
Chøng minh. Cho (R, m) lµ miÒn ®Þa ph¬ng Noether chiÒu 2 ®îc x©y dùng
bëi D. Ferrand vµ M. Raynaud [5] sao cho tån t¹i nh÷ng i®ªan nguyªn tè
nhóng p ∈ Ass R tháa m·n dim(R/p) = 1. V× H1
m(R) ∼= H1
mR
(R) nh
R-m«®un, theo [1, §Þnh lý 11.3.3] ta cã
{p ∈ Ass R | dim(R/p) = i} = AttR Hi
mR
(R)
nªn suy ra p ∈ AttR H1
m(R). V× thÕ
dimR(H1
m(R)) = dim R/ AnnR(H1
m(R))
= max{dim R/p, p ∈ AttR(H1
m(R))} ≥ dim(R/p) = 1
theo Bæ ®Ò 1.3.2. MÆt kh¸c, ta lu«n cã dimR(H1
m(R)) 1 theo [17, MÖnh
®Ò 3.8]. V× thÕ dimR(H1
m(R)) = 1. V× p ∈ Ass R, nªn p∩R ∈ Ass R. Do R
lµ miÒn nguyªn nªn Ann R = 0, dÉn ®Õn Ass R = 0. Suy ra p ∩ R = 0. V×
p ∈ AttR(H1
m(R)), nªn theo MÖnh ®Ò 1.2.4 ta cã p∩R = 0 ∈ AttR(H1
m(R)).
Do ®ã, theo Bæ ®Ò 1.3.2, dimR(H1
m(R)) = 2.

35
B©y giê, cho R[[x]] lµ vµnh c¸c chuçi lòy thõa h×nh thøc mét biÕn x víi hÖ
sè trong R. Khi ®ã theo §Þnh lý c¬ së Hilbert, R[[x]] lµ miÒn nguyªn Noether
chiÒu 3, depth R[[x]] = 2 v× R lµ miÒn nguyªn vµ m /∈ Ass R, i®ªan cùc
®¹i duy nhÊt cña R[[x]] lµ (m, x)R[[x]] vµ R[[x]] lµ vµnh ®Çy ®ñ theo t« p«
(m, x)R[[x]]-adic cña R[[x]]. V× p ∈ Ass R, nªn theo ®Þnh nghÜa tån t¹i phÇn
tö a ∈ R sao cho p = AnnR a. §Æt
p[[x]] =
∞
i=0
aixi
∈ R[[x]] | ai ∈ p, ∀i .
Khi ®ã ta cã thÓ kiÓm tra ®îc r»ng p[[x]] lµ i®ªan nguyªn tè cña R[[x]] vµ
AnnR[[x]] a =
∞
i=0
aixi
∈ R[[x]] |
∞
i=0
(aai)xi
= 0 = p[[x]].
Do ®ã p[[x]] ∈ Ass(R[[x]]) vµ
dim(R[[x]]/p[[x]]) = dim(R/p)[[x]]) = 2.
Theo [1, §Þnh lý 11.3.3] suy ra
p[[x]] ∈ AttR[[x]] H2
(m,x)R[[x]]
(R[[x]]) = AttR[[x]] H2
(m,x)R[[x]](R[[x]]) .
VËy, l¹i theo [17, MÖnh ®Ò 3.8] vµ Bæ ®Ò 1.3.2 ta cã
dimR[[x]] H2
(m,x)R[[x]](R[[x]]) = 2.
V× p[[x]] ∈ Ass(R[[x]]) ∩ AttR[[x]] H2
(m,x)R[[x]](R[[x]]) , nªn ta cã
p[[x]] ∩ R[[x]] ∈ Ass(R[[x]]) ∩ AttR[[x]] H2
(m,x)R[[x]](R[[x]]) .
V× thÕ p[[x]] ∩ R[[x]] = 0 vµ dimR[[x]] H2
(m,x)R[[x]](R[[x]]) = 3 theo Bæ ®Ò
1.3.2. V× depth R[[x]] = 2 vµ dim R[[x]] = 3 nªn Hi
(m,x)R[[x]](R[[x]]) = 0
víi i < 2 vµ i > 3. Do ®ã, tõ d·y khíp ng¾n
0 −→ R[[x]]
x
−→ R[[x]] −→ R[[x]]/xR[[x]] −→ 0

36
ta cã d·y khíp dµi
. . . −→ 0 −→ H1
(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) −→ H2
(m,x)R[[x]](R[[x]])
x
−→ H2
(m,x)R[[x]](R[[x]]) −→ H2
(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]])
−→ 0 . . .
V× thÕ ta cã ®¼ng cÊu gi÷a çc R[[x]]-m«®un
H1
(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) ∼= (0 :H2
(m,x)R[[x]](R[[x]]) x).
Chó ý r»ng H1
(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) cã cÊu tróc tù nhiªn lµ R-m«®un
vµ nã ®¼ng cÊu víi H1
m(R). Do ®ã dimR[[x]] 0 :H2
(m,x)R[[x]](R[[x]]) x = 2
vµ dimR[[x]] 0 :H2
(m,x)R[[x]](R[[x]]) x = 1. B©y giê, ta chän S = R[[x]],
I = xR[[x]] vµ A = H2
(m,x)R[[x]](R[[x]]). Khi ®ã A lµ S-m«®un Artin,
dimS A = 3, dimS A = 2, dimS(0 :A I) = 2, dimS(0 :A I) = 1. Theo
§Þnh lý 2.2.7 ta cã:
1. V× dimS(0 :A I) = 1 nªn víi mçi sè nguyªn n, ®Òu tån t¹i A-d·y ®èi
chÝnh quy víi chiÒu > 1 trong IR nªn Width>1(IS, A) = ∞.
2. V× dimS(0 :A I) = 2 > 1, nªn lu«n tån t¹i A-d·y ®èi chÝnh quy víi
chiÒu > 1 trong I. Do dimS A = 2 = N-dimR A nªn theo [15] ta cã
0 < Width>1(I, A) < N-dim A = 2
nªn suy ra Width>1(I, A) = 1.
VËy ta cã Width>1(I, A) < Width>1(IR, A).
3.2 KÕt qu¶ h÷u h¹n
Tríc hÕt ta chøng minh bæ ®Ò sau ®©y b»ng kü thuËt t¬ng tù nh chøng
minh çc kÕt qu¶ cña ch¬ng 2. §ã lµ chuyÓn lªn vµnh ®Çy ®ñ, sö dông ®èi
ngÉu Matlis, ®¼ng cÊu gi÷a çc m«®un Ext, Tor trªn vµnh ®Çy ®ñ vµ tÝnh
chÊt giao ho¸n cña hµm tö ®Þa ph¬ng hãa víi çc hµm tö Ext, Tor. KÕt qu¶
nµy ®ãng vai trß then chèt trong viÖc chøng minh ®Þnh lý chÝnh.

37
Bæ ®Ò 3.2.1. Cho t lµ mét sè nguyªn. §Æt
Pt =
t−1
i=0
Var(AnnR TorR
i (R/I, A) .
Khi ®ã
AttR TorR
t (R/In
, A) ∪ Pt = AttR TorR
t (R/(an1
1 , . . . , ank
k ), A) ∪ Pt
= AttR TorR
t (R/I, A) ∪ Pt
víi mçi hÖ sinh (a1, . . . , ak) cña I vµ mäi sè nguyªn d¬ng n, n1, . . . , nk.
Chøng minh. Cho p ∈ AttR TorR
t (R/In
, A) ∪ Pt sao cho p /∈ Pt. Khi ®ã
theo MÖnh ®Ò 1.2.4, tån t¹i i®ªan nguyªn tè p ∈ AttR TorR
t (R/In
, A) sao
cho p ∩ R = p. V× p /∈ Pt, nªn theo c¸ch x¸c ®Þnh Pt ta cã
p /∈ Var AnnR TorR
i (R/I, A)) = Var AnnR TorR
i (R/IR, A))
víi mäi i < t. Do ®ã theo MÖnh ®Ò 1.4.5 ta cã p /∈ SuppR Exti
R
(R/IR, D(A))
víi mäi i < t. V× thÕ MÖnh ®Ò 1.4.5
Exti
Rp
Rp/IRp, D(A)p
∼= Exti
R
(R/IR, D(A)) p
= 0
víi mäi i < t. Do ®ã depth(IRp, D(A)p) ≥ t theo MÖnh ®Ò 1.5.4.
§iÒu nµy suy ra depth(In
Rp, D(A)p) ≥ t theo Chó ý 1.5.2. NÕu
depth(In
Rp, D(A)p) > t th× l¹i ¸p dông MÖnh ®Ò 1.5.4 ta suy ra ®îc
Extt
Rp
(Rp/In
Rp, D(A)p) = 0 hay p /∈ SuppR Extt
R
(R/IR, D(A)) . V×
vËy,
p /∈ Var AnnR(Extt
R
(R/In
R, D(A))) = Var AnnR TorR
t (R/In
R, A)) .
V× thÕ p /∈ AttR TorR
t (R/In
, A) theo MÖnh ®Ò 1.2.3, ®iÒu nµy m©u thuÉn
víi c¸ch chän p. Do ®ã,
depth(In
Rp, D(A)p) = t = depth(IRp, D(A)p).

38
V× vËy, tõ rad(I) = rad(In
) vµ theo MÖnh ®Ò 1.5.4 ta cã
AssRp
Extt
Rp
(Rp/In
Rp, D(A)p) = AssRp
Ht
InRp
(D(A)p)
= AssRp
Ht
IRp
(D(A)p)
= AssRp
Extt
Rp
(Rp/IRp, D(A)p) .
V× p ∈ AttR TorR
t (R/In
, A) , nªn suy ra p ∈ AssR Extt
R
(R/In
R, D(A)) ,
vµ v× vËy pRp ∈ AssRp
Extt
Rp
(Rp/In
Rp, D(A)p) . Theo kÕt qu¶ trªn ta suy
ra pRp ∈ AssRp
Extt
Rp
(Rp/IRp, D(A)p) . V× vËy
p ∈ AssR Extt
R
(R/IR, D(A)) = AttR TorR
t (R/I, A) .
Suy ra ta cã
AttR TorR
t (R/In
, A) ∪ Pt ⊆ AttR TorR
t (R/I, A) ∪ Pt.
Chó ý r»ng ta lu«n cã çc ®¼ng thøc
depth(IRp, D(A)p) = depth(In
Rp, D(A)p)
= depth((an1
1 , . . . , ank
k )Rp, D(A)p).
nªn çc bao hµm thøc cßn l¹i cña bæ ®Ò còng ®îc chøng minh t¬ng tù.
Víi viÖc ®a ra ®Þnh nghÜa ®é réng víi chiÒu > s vµ chøng minh ®îc tÝnh
chÊt æn ®Þnh cña hîp çc tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un xo¾n Tor
trong Bæ ®Ò trªn ®· gióp ta chøng minh ®îc kÕt qu¶ quan träng vµ còng lµ
kÕt qu¶ chÝnh cña luËn v¨n, ®ã lµ tÝnh chÊt h÷u h¹n cña tËp çc i®ªan nguyªn
tè g¾n kÕt cña m«®un xo¾n Tor khi n ®ñ lín. §Ó tiÖn cho viÖc theo dâi ta kÝ
hiÖu
(AttR A)≥s = {p ∈ AttR A | dim(R/p) ≥ s}.
§Þnh lý 3.2.2. Cho Width>s(I, A) = r. Khi ®ã
(i) TËp
n∈N
AttR(TorR
t (R/In
, A))
s
lµ h÷u h¹n víi mäi t r.

39
(ii) TËp
n1,...,nk∈N
AttR(TorR
t (R/(an1
1 , . . . , ank
k )R, A
≥s
lµ h÷u h¹n víi mäi
t r, trong ®ã (a1, . . . , ak) lµ hÖ sinh cña I.
Chøng minh. §Æt
Pt =
t−1
i=0
Var AnnR(TorR
i (R/I, A))
víi mçi sè nguyªn t sao cho t r. Cho n ≥ 0 lµ mét sè nguyªn vµ
p ∈
n
AttR(TorR
t (R/In
, A)) ≥s
. V× t r = Width>s(I, A), nªn theo
§Þnh lý 2.2.7 suy ra dimR(TorR
i (R/In
, A)) s víi mäi i < t.
NÕu dim(R/p) > s th× ¸p dông Bæ ®Ò 1.3.2 ta cã p /∈ Pt. Do ®ã,
p ∈ AttR(TorR
t (R/I, A)) theo Bæ ®Ò 3.2.1.
NÕu dim(R/p) = s th× p ∈ AttR(TorR
t (R/I, A)) ∪ Pt theo Bæ ®Ò
3.2.1. Gi¶ sö r»ng p /∈ AttR(TorR
t (R/I, A)). Khi ®ã p ∈ Pt. V× vËy
p ∈ Var(AnnR(TorR
h (R/I, A))) víi h < t. V× h < Width>s(I, A), nªn ta
cã dim(TorR
h (R/In
, A)) s theo §Þnh lý 2.2.7. Do ®ã p lµ phÇn tö tèi thiÓu
cña tËp Var(AnnR(TorR
h (R/I, A))), vµ v× vËy p ∈ AttR(TorR
h (R/I, A))
theo Bæ ®Ò 1.2.3. V× vËy, ta ®· chøng minh ®îc
n
AttR TorR
t (R/In
, A) ≥s
⊆
t
i=0
AttR TorR
i (R/I, A) ,
vµ v× thÕ
n
AttR TorR
t (R/In
, A) ≥s
lµ tËp h÷u h¹n. Mét c¸ch hoµn toµn
t¬ng tù ta còng chøng minh ®îc
n1,...,nk
(AttR TorR
t (R/(an1
1 , . . . , ank
k )R, A) ≥s
⊆
t
i=0
AttR(TorR
i (R/I, A)),
vµ ®Þnh lý ®îc chøng minh.
KÕt qu¶ sau ®©y lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña §Þnh lý chÝnh.

40
HÖ qu¶ 3.2.3. Gi¶ sö r»ng s 1. Cho Width>s(I, A) = r. Khi ®ã tËp
n
AttR TorR
t (R/In
, A) vµ tËp
n1,...,nk
AttR TorR
t (R/(an1
1 , . . . , ank
k )R, A)
lµ tËp h÷u h¹n víi mçi sè nguyªn t r vµ mçi hÖ sinh (a1, . . . , ak) cña I.

41
KÕt luËn
Tãm l¹i, trong luËn v¨n nµy chóng t«i ®· tr×nh bµy vµ chøng minh chi tiÕt
c¸c kÕt qu¶ trong bµi b¸o: "A finiteness result for attached primes of certain
Tor-modules" cña L. T. Nhan vµ N. T. Dung (2010). KÕt qu¶ chÝnh cña luËn
v¨n gåm c¸c néi dung sau.
1. HÖ thèng mét sè tÝnh chÊt cña m«®un Artin cã liªn quan ®Õn néi dung
cña luËn v¨n: cÊu tróc cña m«®un Artin, biÓu diÔn thø cÊp, chiÒu Noether,
d·y ®èi chÝnh quy vµ ®é réng cña m«®un Artin. Tr×nh bµy kh¸i niÖm vµ mét
sè tÝnh chÊt cña hµm tö më réng vµ hµm tö xo¾n, kh¸i niÖm vµ mét sè tÝnh
chÊt cña d·y chÝnh quy vµ ®é s©u cña m«®un.
2. Nghiªn cøu vÒ d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s: ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt,
®iÒu kiÖn lu«n tån t¹i cña d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s vµ ®Æc trng ®é
dµi tèi ®¹i cña d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s th«ng qua chiÒu Krull cña
m«®un con xo¾n Tor.
3. §a ra kh¸i niÖm ®é réng víi chiÒu > s vµ tõ ®ã chøng minh kÕt qu¶
h÷u h¹n cña tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Tor.

42
Tµi liÖu tham kh¶o
[1] M. Brodmann, and R. Y. Sharp (1998), Local Cohomology: An Algebraic
Introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press,
Cambridge.
[2] M. Brodmann, Asymptotic stability of Ass(M/In
M), Proc., America
Math. Soc., (1) 74 (1979), 16-18.
[3] M. Brodmann and L.T. Nhan, A finiteness result for associated primes,
J. Al., (4) 87 (2008), 596-600.
[4] N. T. Cuong and L. T. Nhan (2002), "On Noetherian dimension of
Artinian modules", Vietnam J. Math., 30, pp. 121-130.
[5] Ferrand D. and M. Raynaud (1970), "Fibres formelles d'un anneau local
Noetherian," Ann. Sci. E'cole Norm. Sup., 3 (4), pp. 295-311.
[6] M. Katzman, An example of an infinite set of associated primes of local
cohomology module, J. Alg., 252 (2002), 161-166.
[7] Kirby D. (1973), "Artinian modules and Hilbert polynomials", Quart. J.
Math. Oxford (Ser. 2) 24 (2), pp. 47-57.
[8] Kirby, D. (1990), "Dimension and length for Artinian modules", Quart.
J. Math. Oxford, (Ser. 2) 41 (2), pp. 419-429.
[9] Macdonald, I. G. (1973), "Secondary representation of modules over a
commutative ring", Symposia Mathematica. 11, pp. 23-43.

43
[10] Matsumura, H. (1986), "Commutative ring theory", Cambridge Univer-
sity press.
[11] L. Melkersson and P. Schenzel Asymptotic prime ideals related to drived
funtors Proc. Ame. Math. Soc. 4 117 (1993), 935-938.
[12] Nagata M., (1962), Local ring, Interscience, New York.
[13] L. T. Nhan and N. T. Dung, "A finiteness property for attached primes
of certain Tor-modules", Algebra Colloquium, to appear, (2010).
[14] L. T. Nhan and N. V. Hoang, A finiteness result for attached primes of
local cohomology, Submit in Commutative Algebra, (2008).
[15] A. Ooishi, Matlis duallity and the width of a module, Hiroshima Math.
J. 6 (1976), 573-587.
[16] Roberts, R. N. (1975), "Krull dimension for Artinian modules over
quasi-local commutative rings", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2) 26,
pp. 269-273.
[17] R. Y. Sharp, Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime
ideals, J. London Math. Soc., (2) 34 (1986), 212-218.
[18] Sharp, R. Y. (1989) "A method for the study of Artinian modules with an
application to asymptotic Behaviour," in: Commutative Algebra, Math.
Sci. Res. Inst. Publ. No. 15, Spinger-Verlag, New York, pp. 443-465.

Tailieu.vncty.com lv2010 sp-bui_thanhdoan

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (17)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Tailieu.vncty.com lv2010 sp-bui_thanhdoan

Similar to Tailieu.vncty.com lv2010 sp-bui_thanhdoan (20)

More from Trần Đức Anh

More from Trần Đức Anh (20)

Tailieu.vncty.com lv2010 sp-bui_thanhdoan