1. Полтавська загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №27
Міський методичний кабінет
Розробка відкритого уроку у 8 класі
«Перетворення фігур»
З досвіду роботи
вчителя математики
Гусєвої Л.С.,
вища категорія,
старший учитель.
2007 – 2008 н.р.
2. Гусєва Л.С.
вчитель математики вищої категорії, старший учитель,
Полтавська загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №27
Перетворення фігур.
Симетрія, види симетрії. (8 клас)
Підсумковий урок.
Мета: систематизувати знання учнів з теми «Перетворення фігур», повторити
відомі види перетворень, їх властивості, класифікувати види симетрій
по Вейлю, розвивати кмітливість, допитливість, почуття прекрасного,
домогтися, щоб діти зрозуміли, що поняття симетрії є одним із
основних понять будови всесвіту, неорганічною і органічною світу.
Х І Д У Р О К У
І. Актуалізація опорних знань і умінь учнів.
Вчитель: в кінці минулої чверті ми розпочали вивчати тему „Перетворення
фігур”. Поясніть, що ж називають перетворенням однієї фігури в
іншу?
Учень: якщо кожну точку даної фігури F змістили яким-небудь чином, і
дістали нову фігуру F1
, то говорять, що ця фігура F1
утворилась
перетворенням даної фігури F.
Вчитель: які види перетворень вивчають у школі?
Учень: існують два види перетворень: рух і перетворення подібності.
Вчитель: яке перетворення однієї фігури в іншу називають рухом?
Учень: перетворення однієї фігури в іншу називається рухом, якщо воно
зберігає відстань між точками, тобто будь-які дві точки Х і У фігури
F переводить у дві точки Х1
і У1
фігури F1
і при цьому ХУ=Х1
У1
.
Вчитель: яке перетворення однієї фігури в іншу називають перетворенням
подібності?
Учень: перетворення фігури F у фігуру F1
називається перетворенням
подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками
змінюються в одну і ту ж саму кількість разів, тобто це означає, що
Х1
У1
=kХУ, де k – коефіцієнт подібності.
Вчитель: перелічіть властивості руху.
Учень: 1) прямі переходять у прямі, промені у промені, відрізки у відрізки.
2) зберігається порядок взаємного розміщення точок на прямій.
3) зберігається градусна міра кутів.
4) зберігається паралельність прямих.
Вчитель: чи є ці властивості характерні для перетворення подібності?
3. Учень: так. Всі перелічені властивості є характерні і для перетворення
подібності.
Вчитель: а, що ж відрізняє ці два види перетворень?
Учень: при рухові одержуємо рівні фігури, а при перетворення подібності –
подібні.
Вчитель: які види перетворень відносяться до руху. Перелічіть.
Учень: а) центральна симетрія;
б) осьова симетрія;
в) поворот;
г) паралельне перетворення.
Вчитель: яке перетворення називають центральною симетрією? Як
виконується центральна симетрія? Властивості. Довести, що
центральна симетрія є рух.
Учень: Перетворення фігури F у фігуру F1
, при якому кожна її точка Х
переходить у точку Х1
, симетричну відносно даної точки О,
називається перетворенням симетрії відносно точки О або
центральною симетрією з центром О.
Властивості:
__________________
1) всі три точки Х,О,Х1
лежать на одній прямій;
2) ХО=ОХ1
.
Теорема: Перетворення симетрії відносно точки є рухом.
Доведення. Нехай Х і У – дві довільні точки фігури F. Перетворення
симетрії відносно точки О переводить їх у точки Х1
і У1
. Розглянемо ХОУ і
Х1
ОУ1
.
Ці трикутники рівні за І ознакою рівності
трикутників. У них кути при вершині О
рівні як вертикальні, а ОХ=ОХ1
, ОУ=ОУ1
за
властивостями симетрії відносно точки О. З
рівності трикутників випливає рівність
сторін ХУ=Х1
У1
. А це означає, що симетрія
відносно точки О є рух. Теорему доведено.
Вчитель: яке перетворення називається осьовою симетрією? Як виконується
осьова симетрія? Властивості. Довести, що осьова симетрія є рух.
Учень: Перетворення фігури F у фігуру F1
, при якому кожна її точка Х
переходить у точку Х1
, симетричну відносно даної прямої l,
називається перетворення симетрії відносно прямої l.
X
Y
O
У1
Х1
Х Х1
O
4. Властивості:
1) всі три точки Х,О,Х1
лежать на одній прямій;
2) ХО=ОХ1
.
3) ХХ1
перпендикулярний l
Теорема: Перетворення симетрії відносно прямої є рух.
Доведення. Приймемо дану l за вісь ОУ. Візьмемо дві довільні точки А(х1;
у1) В (х2; у2).
Побудуємо симетричні їм точки
відносно осі ОУ, одержимо точку
А1
(-х1; у1) і В1
(-х2; у2).
Маємо
АВ2
=(х2-х1)2
+(у2-у1)2
А1
В1
=(-х2+х1)2
+(у2-у1)2
.
Очевидно, що АВ=А1
В1.
Це
означає, що перетворення симетрії
відносно прямої є рух. Теорему
доведено.
Вчитель: що можна сказати про координати двох точок, якщо вони
симетричні: а) відносно початку відліку; б) відносно осі ОХ; в) відносно осі ОУ.
Учень: а) якщо дві точки симетричні відносно початку відліку, то їх
координати протилежні А(х; у) А1
(-х; -у); б) якщо дві точки
симетричні відносно осі ОХ, то їх абсциси рівні, а ординати
протилежні А(х; у) А1
(х1
; -у); в) якщо дві точки симетричні відносно
осі ОУ ,то їх абсциси протилежні, а ординати рівні А(х; у) А1
(-х; у).
Вчитель: Діти, вдома ви виконували дві практичні роботи, по центральній і
осьовій симетрії, прошу здати їх, за виконання ви одержати оцінки. А
тепер перейдемо до усних вправ.
Усні вправи.
1. Чи має центр симетрії 1) відрізок; 2) промінь; 3) коло; 4) пара прямих, що
перетинаються; 5) пара паралельних прямих. Назвати центр симетрії.
x
А
В
х2
х1
у2
у1
А1
В1
-х1
-х2
l
Х О Х1
5. 2. Чи може пряма при симетрії відносно даної точки відображатись сама в себе?
Чи може промінь при симетрії відносно даної точки відобразитись сам в себе?
3. Прямі АВ||СД, точки А і Д
симетричні відносно точки О.
Пряма ВС проходить через точку О.
Довести, що точки В і С –
симетричні відносно точки О.
4. Знайти точку Д1
, симетричну
точці Д(-5; -7) відносно початку
координат? Відносно прямої ОХ?
Відносно прямої ОУ?
5. Серед точок А(3; -4), В(-3; -4), С(-3; 4), Д(4; -7), К(-4; 7), Р(3; 4) вказати пари
симетричних відносно точки О.
6. Чи симетричні точки М(-5; 8), N(-3; 4) відносно точки К(-1; 2).
7. Знайти центр симетрії точок А(-4; 3) і В(2; -7).
8. Знайти точку С, яка симетрична точці В(-3; 1) відносно точки А(2; -5).
9. Точки А(-4; m) і В(n; 3) симетричні відносно точки К(5; -2). Знайти m і n.
10. Записати рівняння кола, яке симетричне колу (х-4)2
+(у+3)2
=11 відносно
а) початку відліку; б) відносно осі ОХ; в) відносно осі ОУ; г) відносно точки
М(-4; 2).
11. Точки А(х; -2) і В(3; у) симетричні відносно осі ОУ. Знайти х і у.
ІІ. Самостійна робота. Учні виконують самостійну роботу по заздалегідь
заготовлених текстах
І варіант ІІ варіант
1. Знайти точку, симетричну даній відносно початку відліку
А(-3; -4) В(-5; 8)
2. Знайти точку, симетричну даній точці відносно осі ОХ
А(-2; 3) В(3; -4)
3. Знайти точку, симетричну даній точці відносно осі ОУ
А(5; -6) В(-2; -4)
4. Знайти центр симетрії двох точок
А(-6; 4), В(8; -2) А(3; -4), В(-7; 2)
5. Знайти координати точки В, симетричної точці А відносно точки О, якщо
А(1; -5), О(-2; 3) А(-6; 4), О(1; -2)
6. Записати рівняння кола, центр якого симетричний центру даного кола
відносно початку координат і радіус удвічі більший від радіуса даного кола.
(х+1)2
+(у-4)2
=4 (х-4)2
+(у+5)2
=9
7. Дано АВС, де А(0; 2), В (-2;
6), С(2; 6). Знайти координати
АВ1
С1
, симетричного даному
відносно точки А.
7. Дано АВС А(-2; 1), В(-1; 5), С(-
6; +2). Знайти координати
А1
ВС1
, симетричного даному
відносно точки В.
В
О
С D
А
6. На звороті дошки заздалегідь заготовлені правильні відповіді, діти
обмінюються варіантами і перевіряють самостійну роботу, а потім
оголошуються оцінки.
ІІІ. Вчитель. А тепер давайте заслухаємо ті повідомлення, які приготували діти
на канікулах.
Щоб вияснити питання, що ж таке симетрія,
згадаємо старовинну притчу про буріданового
віслюка.
У одного філософа по імені Бурідан був віслюк.
Одного разу, від’їжджаючи надовго, філософ
положив перед віслюком дві однакові кучі сіна –
одну зліва, а другу справа. Віслюк не зміг
вирішити, з якої почати їсти і здох з голоду.
Звичайно, це жарт. Але коли ми поглянемо на
малюнок (2), де зображені дві чаші терезів, то побачимо,
що в обох випадках ліва і права частина настільки
однакові, що важко чомусь віддати перевагу.
В обох випадках ми маємо справу з симетрією, яка
проявляється в повній рівновазі лівого і правого.
Відомий математики Герман Вейль писав, що
„симетрія є тією ідеєю, завдяки якій людина на протязі
багатьох віків намагається досягти і створити порядок,
красу і цілковиту гармонію”. Звичайно,
що це означення не конкретне і дуже
загальне. Математично строге означення
симетрії сформувалось недавно в ХІХ ст.
В праці „Симетрії” того ж самого Вейля
читаємо, що „симетричним називається
такий об’єкт, який можна якимось чином
змінювати, переміщати, одержуючи в
результаті те, що мали спочатку”.
Виходячи з цього, необхідно переглянути
ті твердження, про які ми говорили
раніше. Ми говорили, що існують такі
види руху: центральна симетрія, осьова
симетрія, поворот, паралельне
переміщення. Насправді, по Вейлю, це все
одне перетворення – симетрія, а точніше її
різні види. Симетрія буває: 1) дзеркальна;
2) поворотна; 3) переносна (трансляційна).
7. Розглянемо дзеркальну симетрію. Можливі три випадки: а) якщо об’єкт
одномірний, то одержимо центральну симетрію; б) якщо об’єкт двохмірний, то
одержимо осьову симетрію; в) якщо трьохмірний, то одержимо симетрію
відносно площини. Продемонструємо все сказане на таких малюнках:
Дзеркальна симетрія по іншому називається геральдичною, тому що
використовувалась в зображенні геральдичних гербів. Її можна побачити на
відомій срібній вазі царя Ептемени, який правив біля 2700 років до н.е. в країні
шумерів, потім на пізніших зображеннях древніх персів, сірійців, візантійців.
На Заході дзеркально-симетричні зображення можна побачити на
мозаїках кафедральних соборів, храмів, нагробних плитах, іконах, сосудах та
інших пам’ятках древнього мистецтва, архітектури.
8. Наступний вид симетрії – поворотна. Розглянемо букву И. Вона не має
дзеркальної симетрії, але якщо повернути її на 1800
навколо осі, то буква
суміщається сама в себе, тобто буква „И” симетрична відносно повороту на
1800
. Поворотна симетрія допустима і до букви Ф. Говорять, що якщо об’єкт
суміщається сам з собою при повороті навколо деякої осі на кут 3600
/n, то
говорять про поворотну симетрію nго
порядку. Якщо букви N і Ф повертались
на 1800
, то це симетрія 2го
порядку. Квадрат суміщається сам у себе через 900
,
отже це поворотна симетрія 4го
порядку, у правильного трикутника через 1200
,
тобто 3го
порядку і т.д.
Розглянемо наступний вид симетрії – переносну (або трансляційну), по
суті це той вид перетворень, який ми називаємо паралельним перенесенням.
Щоб зрозуміти як виконується переносно симетрія, познайомимось з теорією
бордюрів. Бордюр – це малюнок на довгій стрічці, що періодично
повторюється. Це може бути орнамент, що прикрашає стіни, галереї, чавунні
візерунки на литих парканах, решітках, на гіпсових барельєфах, керамічних
виробах. Всього існує 7 типів бордюрів.
Розглянемо деякі.
1 тип. Самий простий. Схема його така. Один і той
самий об’єкт зміщується на один і той самий
напрямлений відрізок (вектор).
2 тип. Щоб одержати другий тип бордюра треба взяти
окремий об’єкт, відобразити його відносно прямої
(осьова симетрія), а потім змістити паралельним
перенесенням і т.д.
5 тип. Спочатку виконуємо центральну симетрію
даного об’єкта, а потім паралельне перенесення і т.д.
Теорія бордюрів дуже добре ілюструє
властивості руху, які стверджують, що 1) два рухи,
виконані послідовно, є рухом; 2) перетворення,
обернене до руху, є рухом. Говорячи, про бордюри не
можна не згадати і орнаменти – ці чудові малюнки,
які часто зустрічаються в декоративно-
прикладному мистецтві. Виявляється, це
також математика! Орнамент – це не що
інше, як дуже чудернацьке поєднання
переносної, дзеркальної і поворотної
симетрії.
Далеко не треба ходити, погляньте
на шпалери в кімнаті. Або погляньте на два
орнаменти відомого голандського художника Емера. Один з них „Ящірки”, а
другий „Птахи, що летять”.
9. Існують фігури, які мають і дзеркальну, і поворотну симетрію, і
переносну, тобто таке перетворення, яке є композицією кількох видів симетрії.
Розглядаючи симетрію, можна чітко прослідкувати зв’язки математики
з різними науками. Так, наприклад, симетрія і астрономія. Спостерігаючи
хаотичні розсипи зірок на нічному небу, ми розуміємо, що за зовнішнім хаосом
сховані симетричні спіральні структури галактики і планетних систем. Цю
симетрію непогано ілюструє мал., на якому зображена наша Галактика і
Сонячна система. Але ще більше симетрія проявляється в неорганічному світі.
Хто з нас не захоплювався сніговою крижиною! Кожна сніжинка – є маленький
кристал, форма сніжинки може бути різною, але всі вони мають симетрію –
поворотну 6го
порядку, а також дзеркальну. Тісно пов’язані між собою симетрія
і кристалографія – наука про кристали. Уявіть собі правильний многогранник з
ідеально правильними кутами, ребрами, гранями. Важко уявити, що це
симетричне тіло утворилось само собою, його ніхто не шліфував, ніякий
чарівник не будував такі правильні споруди, крім природи. У кожного кристала
своя закономірність у розміщенні частинок, його будові. Це можна
продемонструвати на прикладах, зображених на малюнках.
Приклади симетрії видно і на наступному мал., де показано будову
молекули ДНК. Молекула складається із величезної
кількості ланок, які називаються нуклеотидами. Ці ланки
зв’язані в два ланцюги. Кожний нуклеотид містить
молекулу цукру, фосфорної кислоти, азотистої сполуки.
Приведена просторова модель молекули ДНК є не що інше
як переносна і поворотна симетрія, де один і той самий
набір повторюється нескінчену кількість разів.
Багато прикладів симетрії можна продемонструвати
на прикладах живої природи. Дзеркальну симетрію ІІго
порядку мають листочки, стовбури, деякі квіти. Зірвіть
листок дуба, клена, верби і ви впевнитися у цьому.
10. Придивіться до самої скромної польової квіточки – у неї ідеально симетричні
пелюстки, при чому це поворотна симетрія 5го
порядку на кут 360
.
У тварин поворотна симетрія зустрічається дуже рідко – це у морської зірки і
морського їжачка, а в більшості живі істоти мають осьову симетрію. Це
пояснюється дією законів природи, і в першу чергу законом всесвітнього
тяжіння. Звернемо увагу на стовбур дерева, він завжди є віссю симетрії, завдяки
цьому дерево досягає стійкого положення. Така ж осьова симетрія притаманна і
самому досконалому витвору природи – організму людини, його фігурі.
Цікава, що чудова дитяча казка Льюїса Керрела „Аліса в Задзеркальї” є
не тільки цікавою казкою, а і в деякій мірі серйозною математичною працею,
адже її автор, Л.Керрол, сам був математиком і його країна Задзеркальє – є не
що інше, як перетворення дзеркальної симетрії ІІІ порядку.
Але ми здивуємо вас іще більше, коли скажемо, що симетрія лежить в
основі музичного чи поетичного твору, при чому переносна симетрія, адже в
основі музики, поезії лежить ритм – тобто правильне періодичне повторення
частки музичного твору, а це і є суть переносної симетрії! А якщо музичний
твір записаний нотами на папері – то це очевидне підтвердження такої симетрії.
Те ж саме можна сказати і про поетичний твір. Великий німецький поет Йоган
Гёте говорив, що „всяка музична композиція спирається на скриту симетрію”.
Вірші всіх геніальних поетів легко лягають на музику. Поезія і музика – це
ніби-то орнамент у часі, сплетений із звуків, нот і слів.
11. На кінець нашої розмови погляньте на роботи великих майстрів пензля
Леонардо да Вінчі „Мадонна Літта” і Рафаєля „Сікстінська мадонна” та інших
художників. На цих картинах чітко видно осьову симетрію навіть неозброєним
математикою оком!
Таким чином:
1) Ми переконались, що симетрія скрізь, вона оточує нас повсюди, кожна
звичайна людина легко помічає її в багатьох проявах. Зате будь-яке
порушення симетрії ми сприймаємо з почуттям незадоволення. Ми
жалкуємо, дивлячись на птаха з одним крилом, або а криве похилене
дерево і думаємо, як могло таке статися! Адже ми знаємо точно, як не
повинно бути. Говорячи про симетрію, не можна не сказати про
асиметрію.
2) Симетрія і асиметрія поруч, але симетрія це спільна властивість всіх
об’єктів оточуючого світу, а асиметрія відображає індивідуальність.
Таким чином, симетрія – основа всього, вона первооснова краси.
3) Симетрія – одне із фундаментальних понять, яке лежить в основі
неорганічного і органічного світу, в основі будови Всесвіту.
І закінчимо урок словами основоположника теорії симетрії Г.Вейля:
„Симетрія є тією ідеєю, зо допомогою якої кожна людина на протязі
багатьох віків намагається пізнати і створити порядок, красу і досконалість”
