завдання 2 етапу 2015-16

1. Завдання ІІ етапу
Всеукраїнської учнівської олімпіади з математика
2015-2016 навчальний рік
6 клас
1. (7 балів) Розшифруйте числовий ребус, де однаковими буквами
позначені однакові цифри, різними – різні:
1234DCCBBBAAAA  .
2. (7 балів) Розріжте фігуру на три рівні частини
3. (7 балів) Відрізок МВ поділено на частини точками А та С так, що
МА становить
7
48
відрізка МВ, а відрізок АС становить
5
64
відрізка
МВ. Яку частину відрізка МВ становить відрізок СВ?
4. (7 балів) У двох класах 50 учнів. З них 40 займаються плаванням, 37
грають на музичних інструментах, 5 учнів не вміють ані того, ані
іншого. Скільки учнів уміють плавають і грають на музичних
інструментах одночасно? Скільки учнів уміють тільки плавати?
Скільки учнів лише займаються музикою?
5. (7 балів) Морська вода містить 5% солі. Скільки кілограмів чистої
води треба додатидо 40 кг морськоїводидля того, щоб вміст солі в
ній становив 2%?

2. Завдання ІІ етапу
Всеукраїнської учнівської олімпіади з математика
2015-2016 навчальний рік
7 клас
1. ( 7 балів) Обчисліть значення виразу:
1
2 ∙ 3
+
1
3 ∙ 4
+
1
4 ∙ 5
+ ⋯+
1
2013 ∙ 2014
+
1
2014 ∙ 2015
2. (7 балів) Кути КОМ та МОР – суміжні. Промінь ОА – бісектриса кута
КОМ, а промінь ОС проходить між сторонами кута МОР. Доведіть, що
промінь ОС є бісектрисою кута МОР, якщо кут АОС прямий.
3. ( 7 балів) Перша зліва цифра шестизначного числа – 1. Якщо цю цифру
переставити на останнє місце, то отримаємо число, що утричі більше за
попереднє. Знайдіть початкове число.
4. (7 балів) Туристи виїхали гірською дорогою на велосипедну
прогулянку о 7.00 . Рухаючись без зупинок, по рівнинних ділянках
вони їхали зі швидкістю 20км/год, вгору – 15 км/год, а вниз – 30км/год.
О котрій годині вони повернулися, якщо подолали в один бік відстань
40 км?
5. (7 балів) Смужку паперу розірвали на 16 частин, потім одну з частинок
розірвали ще на 16 частин, потім продовжили такуж операцію далі. Чи
може на деякому етапі загальна сума шматочків паперу дорівнювати
2015?

3. Завдання ІІ етапу
Всеукраїнської учнівської олімпіади з математика
2015-2016 навчальний рік
8 клас
1. ( 7 балів) Бічна сторона рівнобічній трапеції дорівнює меншій основі, а
діагональ трапеції дорівнює більшій основі. Визначте градусні міри
кутів трапеції.
2. ( 7 балів) Банк купив 10000 акцій підприємства А і 20000 акцій
підприємства В на загальну суму 50 000 грн. Коли ціна акцій
підприємства А зросла на 25%, а ціна акцій підприємства В упала на
10%, то банк продав усі акції за 52 000 грн. Яка початкова ціна акції
кожного підприємства?
3. ( 7 балів) Спростити вираз:
1
(а + 1)(а + 2)
+
1
(а + 2) ∙ (а + 3)
+ ⋯+
1
(а + 2013) ∙ (а + 2014)
+
1
(а + 2014) ∙ (а + 2015)
4. ( 7 балів) При якому значенні параметра а система рівнянь:
{
|х| + |у| = 2;
у = а.
має один розв'язок?
5. ( 7 балів) Дано відрізок OA. Із кінця відрізка A виходить 6 відрізків
AB1,AB2,AB3,AB4,AB5,АВ6. Із кожної точки Bi можуть виходити ще 6
нових відрізків, або жодного нового відрізка і т.д. Чи може число
вільних кінців побудованих відрізків дорівнювати 2016? (Під вільним
кінцем відрізка розуміють точку, що належить тільки одному відрізку).

4. Завдання ІІ етапу
Всеукраїнської учнівської олімпіади з математика
2015-2016 навчальний рік
9 клас
1. (7 балів) Скільки коренів має рівняння|х2
− 4|х|| = а залежно від
значення параметра а?
2. (7 балів ) Якщо першу цифру тризначного числа збільшити на n, а
другу та третю цифри зменшити на n, то отримане число буде у n разів
більше початкового. Знайдіть число n та початкове тризначне число.
3. (7 балів) Всі сторониопуклого п’ятикутника ABCDE рівні, а його кути
задовольняють нерівностям EDCBA  . Довести, що
ABCDE - правильний п’ятикутник.
4. (7 балів) Для всіх дійсних а і с доведіть нерівність 16а8
+ с8
+ 8 ≥
16а2
с2
5. ( 7 балів) В одній з вершин куба сидить павук. Чи може він проповзти
по всім його ребрам точно по одному разу і повернутись в початкову
вершину?

5. Завдання ІІ етапу
Всеукраїнської учнівської олімпіади з математика
2015-2016 навчальний рік
10 клас
1. (7 балів) При яких значеннях параметра а корені рівняння
  03ax3a2x2
 належать проміжку  0;3 ?
2. (7 балів)Знайдіть усі пари дійсних чисел  y;x , які задовольняють
нерівність √ 𝑥2 + 8x + 25 ∙ √ 𝑦2 − 10𝑦 + 26 ≤ 3 .
3. (7 балів) Два кола внутрішнім чином дотикаються в точці M . Пряма,
яка дотикається одного з кіл в точці A, перетинає друге коло в точках
B та С . Довести, що MA є бісектрисою кута BMC
4. (7 балів) Дано два послідовних натуральних числа а та в, а також їх
добуток с. Доведіть, що число 𝑥 = 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
завждиєквадратом
деякого непарного числа.
5. (7 балів)Кілька осіб (більше двох) проводять шаховий турнір в одне
коло. У деякий момент виявилося, що тільки двоє шахістів зіграли
однакову кількість партій. Довести, що тоді є або тільки один учасник,
який не зіграв жодної партії, або тільки один, який зіграв усі партії

6. Завдання ІІ етапу
Всеукраїнської учнівської олімпіади з математика
2015-2016 навчальний рік
11 клас
1. ( 7 балів) Розв’язати рівняння: 275232522  xxxx .
2. ( 6 балів) Сторона трикутника дорівнює 10 см, а медіани, проведені
до двох інших сторін, – 9 см і 12 см. Знайдіть площу трикутника.
3. ( 7 балів) При яких значеннях параметра a многочлен
    123 223
 xaaxxxf має три дійсні корені, що утворюють
геометричну прогресію?
4. (7 балів) Кілька осіб (більше двох) проводять шаховий турнір в одне
коло. У деякий момент виявилося, що тільки двоє шахістів зіграли
однакову кількість партій. Довести, що тоді є або тільки один
учасник, який не зіграв жодної партії, або тільки один, який зіграв
усі партії.
5. (7 балів) Знайти площу фігури, яка задається на координатній
площині нерівностями: 16 ≤ 𝑥2
+𝑦2
≤ 4(| 𝑥| + | 𝑦|)