урок про піраміди 11кл

1. Управління освіти Полтавської міської ради
Полтавська загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №27
Подорож до Великих пірамід
(Урок геометрії в 11 класі з вивченням двох іноземних мов)
Гусєва Л.С.
вчитель вищої категорії
вчитель-методист
Полтава, 2013

2. 2
Світ, що нас оточує, -
Це світ математики
Тож давайтейого пізнавати...
Тема:
Подорож до Великих пірамід.
Мета:
Узагальнити і систематизувати знання учнів з теми, розвивати просторову уяву,
вміння аналізувати, робити висновки, привчати учнів працювати творчо, показати
застосування набутих знань на практиці, виховувати позитивне ставлення до навчання,
наполегливість, прагнення до самовдосконалення, інтерес до геометрії та історії математики.
Обладнання:
Моделі пірамід, таблиці з умовами задач, роздаткові матеріали, таблиці Брадіса,
калькулятори, екран, проектор, комп`ютор.
І. Вивчення нового матеріалу.
Вчитель:
Сьогодні на уроці ми поговоримо про піраміду як многогранник , її складові,
правильну піраміду та інші види пірамід, зрізану піраміду та основні формули для
обчислення поверхонь та об’ємів пірамід. Основну увагу будемо приділяти правильній
чотирикутній піраміді, а також заочно побуваємо в Стародавньому Єгипті, , поєднавши
знання з геометрії і історії.
З цією метою було створено чотири групи. Група «Математики» отримала завдання
вивчити піраміду як геометричне тіло. Група «Дослідники» повинна була розглянути
унікальні властивості пірамід та пов’язані з ними міфи. Група «Практики» підготувала
матеріал про те , де в повсякденному житті людина зустрічається з пірамідами
1 група « Математики»
(Презентацію проводять двоє учнів, використовуючи моделі пірамід, різні слайди.)
Піраміда – це насамперед геометричне тіло, це многогранник. Можна дати такі
визначення піраміди.
Слайд . Пірамідою називається многогранник, що складається з плоского
многокутника – основи піраміди, точки, яка не належить площині основи – вершини
піраміди, та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи.
Слайд 18. Інше визначення: піраміда – це многогранник, одна грань якого – довільний
многокутник, а інші грані – трикутники, що мають спільну вершину.
Слайд 19. Спільну вершину трикутних граней називають вершиною піраміди, а
протилежну їй грань – основою.
Слайд 20. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи називають
ребрами піраміди.
Слайд 21. Бічні грані пірамід – трикутники.
Слайд 22. Висота піраміди – це перпендикуляр опущений з вершини піраміди на
площину основи. Висотою називають і довжину цього перпендикуляра.

3. 3
Слайд 23. Назва піраміди залежить від кількості сторін у многокутнику, який лежить в
основі піраміди.
Слайд 24. Перед вами трикутна, чотирикутна і шестикутна піраміди.
Слайд 25. Трикутну піраміду часто називають тетраедром.
Слайд 26. Серед пірамід виділяють правильні піраміди.
Слайд 27. Піраміда називається правильною, якщо в її основі лежить правильний
многокутник і всі бічні ребра рівні між собою. Можна дати і інше означення. Піраміда, в
основі якої лежить правильний многокутник і основа висоти піраміди збігається з
центром цього многокутника теж називається правильною.
Слайд 28. Перед вами правильні трикутна, чотирикутна і шестикутна піраміди.
Слайд 29. Висота бічної грані, проведена з вершини правильної піраміди називається
апофемою.
Слайд 30. Площина, яка паралельна основі піраміди й перетинає її, відтинає подібну
фігуру. Друга частина фігури – це многогранник, який називається зрізана піраміда.
Слайд 31. Зрізана піраміда, яку дістали з правильної піраміди називається правильною
зрізаною пірамідою.
2 група « Практики»
1й учень:
Ще в давнинуговорили: «Усе на світі боїться часу, але час боїться пірамід»
Слайд 4. У 1776 р. Конгресом США було прийнято ескіз державної печатки зі
зрізаною пірамідою. Якщо подивитися на американську купюру в один долар, то на її
звороті й нині можна побачити зрізану піраміду.
Слайд 5. Дизайнери, архітектори використовують пірамідальні форми при побудові
будинків, ліхтарів на вулицях.
Слайд 6. У вигляді шести – і восьмигранних пірамід будують каплички, церкви.
Слайд 7. Форму правильних восьмикутних пірамід мають гострокінцеві дахи на
баштах Московського Кремля.
Слайд 8. Дахи пірамідальної форми прикрашають різні кіоски, альтанки, грибочки на
пляжі.
Слайд 9. Бункери для піску або розчину, що застосовують на будівництві і в
промисловості, часто роблять у формі зрізаної чотирикутної піраміди.
Слайд 10. Пірамідальні форми використовують для виготовлення предметів побуту.
Слайд 11. Використовуються вони і при виготовленні упаковки для продуктів у
харчовій промисловості. Ми купуємо пакетики чаю у вигляді пірамід.
Слайд 12. Упаковка томатної пасти теж для зручності має форму піраміди.
Слайд 13. Весь світ знає піраміду Рубіка і головоломку «Піраміда».
Слайд 14. А діти складають іграшкові пірамідки, пірамідки із камінців і доміно.
Слайд 15. Навколишній світ – це світ геометрії, чистий, істинний, бездоганний в
наших очах. Усе навколо геометрія.
3 група « Дослідники»
У стародавньому Єгипті було споруджено славнозвісні єгипетські піраміди.
До останнього часу вважалося, що це - величні гробниці, останній притулок фараонів. Однак
тепер вчені наполягають на тому, що функції пірамід набагато ширші.
Про це говорять і дивовижні результати вимірювання піраміди Хеопса.

4. 4
Діагональ однієї з граней направлена по меридіану точно на Північний полюс. Крім того,
з'ясувалося, що єгипетські майстри зробили піраміди відображенням розташування зірок у
сузір'ї Оріона, а вершина Великої піраміди дивиться точно на Полярну зірку.
Крім цього:
• Периметр підстави піраміди Хеопса, поділений на подвоєну висоту дає наближення числа
«Пі» - 3,1415 .
• Периметр підстави піраміди дорівнює довжині кола, радіус якого дорівнює висоті піраміди
• Довжина сторони підстави, виражена в єгипетських «ліктях» , відповідає тривалості
земного року.
• Якщо помножити початкову висоту Великої Піраміди - 146,6 м на один мільйон, виходить
найменша відстань від Землі до Сонця - 147000000 км (перигелій).
• Площа кожної з граней піраміди дорівнює квадрату її висоти.
Невже така вражаюча точність була необхідна тільки для поховання фараона?
Тому,за однією з теорій, піраміди - це найпотужніший енергетичний центр Землі.
Розташування піраміди Хеопса в цьому сенсі унікально: меридіан, на якому розташована її
вершина, ділить поверхню суші та моря порівну, включаючи Америку і Тихий океан, і більш
того, паралель, що проходить через центр піраміди, також ділить планету на дві рівні
частини за кількістю води і суші.
Вчені виявилося, що енергія піраміди має багато унікальних властивостей: розчинна кава,
яка деякий час перебувала під її впливом, набуває смаку натуральної; дешеве вино значно
поліпшує свої смакові якості; вода отримує властивість заживляти рани, тонізує організм,
зменшує запальну реакцію після укусів, опіків, покращує травлення; м'ясо, риба, яйця,
фрукти муміфікуються, але не псуються; молоко довго не кисне; сир не пліснявіє. Якщо
сидіти в піраміді, зменшується інтенсивність головного і зубного болю, пришвидшується
заживання ран і виразок.
І так діє не лише піраміда Хеопса. Кожен може виготовити собі піраміду. Але, щоб модель
піраміди використовувалась у технології оздоровлення, вона повинна бути правильної
геометричної форми її грані повиннібути орієнтовані за сторонами світу, вона не повинна
контактування з приладами, які мають сильні електромагнітні випромінювання.
Отож, корисна дія піраміди на організм людини та навколишнє середовище така:
- нормалізація кров'яного тиску;
- зняття стресового стану людини;
- лікування артриту та ревматизму, болю зубів;
- позбавлення відчуття втоми;
- поліпшення сну;
- поліпшення біополя людини та навколишнього середовища;
- підвищення концентрації уваги під час навчання, творчої чи фізичної роботи;
- підвищення та активація сенсорних та чуттєвих систем людини;
- підвищення фізичної активності людини;
- підвищення активності імунної системи людини і тварини;
- підвищення екстрасенсорних властивостей у людей, які схильні до них.
При обробці насіння сільськогосподарських культур в піраміді підвищується його
врожайність на ЗО-70 %. Алмази, синтезовані із графіту, який пролежав тиждень в піраміді,
більш чисті, твердіші, досконаліші за формою. Вода, яка стояла в піраміді, не змінює своїх
властивостей роками. Нафта змінює свій склад, якщо на поверхні встановлені піраміди.
Паличка мишачого тифу у 35-40 % мишей,, які перед зараженням знаходилися в піраміді,не
викликає смерті.
Як це все пояснити?
Єгиптологом М. В. Сарятином (1883-1963) було досліджено, що піраміди є джерелами
випромінювання. Випромінювання піраміди має складну структуру і особливі властивості.
Вченим було виявлено декілька променів:

5. 5
- промінь (пі), під впливом якого відбувається руйнування пухлинних клітин;
- промінь, який спричиняє муміфікацію (висушування) і знищення мікроорганізмів;
- таємний промінь Омега, під впливом якого продукти довгий час не псуються і який має
благотворний вплив на організм людини
Ці та інші відомості про піраміди змушують вчених вивчати особливості пірамід. Проте, з
кожним новим дослідженням виникає більше нових питань, ніж відповідей. Тож сьогодні
доводиться визнати лиш одне : єгипетські піраміди являють собою дивовижний приклад
геометричної і математичної містики.
4 група « Історики»
Ще в давнинуговорили: «Усе на світі боїться часу, але час боїться пірамід»
Одне із семи чудес світу — єгипетські піраміди.
Довгий час вважалося, що піраміда — це будова релігійного характеру. Єгиптяни вірили,
що смерть – це не кінець існування людини. Стародавній єгиптянин міг сподіватися на
загробне життя лише в тому разі, коли будуть виконані дві важливі умови: по-перше,його
тіло мало зберегтися цілим і неушкодженим, і,по-друге, його душа мала одержати все
потрібне для життя на тім світі. З цього прагнення зберегти тіло походить звичай муміфікації
мертвих. Первісні прості обмуровані ями в піску, що мали забезпечити муміфіковане тіло
від різних ушкоджень, змінилися з часом у так звані мастаби. Гробниці царів мали бути
найбільшими, найміцнішими, з найбагатшими пожитками. Тому з часом вони розвинулися з
мастаб в піраміди.
До наших часів збереглося біля сімдесяти пірамід. Колись їх було ще більше; але деякі з
них зруйнував всевладний плин часу, інші засипало море піску, що насунулося з пустелі.
Скільки їх загалом побудували єгиптяни, визначити важко. На скелястому плоскогір'ї, що
відокремлює долину життєдайного Нілу від мертвої пустелі, височіють вони, ви-
шикувавшись в ряд на шістдесят п'ять кілометрів від Каїра до Фаюму, мов на
велетенському плацу, де їм щоденно робить огляд єгипетський бог сонця.
Піраміда має дуже просту геометричну форму. Назву її одні виводять від грецького слова
«пір», що означає «вогонь» (бо полум'я має вигляд гостроверхої піраміди) інші від слова
«пірос» тобто пшениця. Нам здається, що походження цього слова треба шукати у
староєгипетському «п-р-м-в-с», тобто «пірамеус» (стародавні єгиптяни, як і сучасні їхні
арабські нащадки, не писали голосних). Піраміда – ідеально – пропорційна модель всіх
природних процесів життя, про яку знаменитий і славетний грецький філософ Піфагор, після
досить тривалої (22 роки) подорожі Єгиптом, залишив загадковий напис: «Секрет Всесвіту».
Та не всі піраміди мають правильну геометричну форму Найстарша з них — «східчаста
піраміда» біля Саккари, збудована царем Джосером приблизно в 2670 року до нашої ери.
Фараон Снофру, батько Хеопса, побудував першу піраміду з рівними стінами — Рожеву
піраміду (слайд 10). Біля Медума є зрізана східчаста піраміда, біля Дахшура піраміда із
зламаним обрисом. Поміж мексіканських пірамід є навіть одна кругла, але всі єгипетські
піраміди, що їх залічують до чудес світу, мають правильну геометричну форму з квадратною
основою і подібні одна до одної, мов близнята.
Великими пірамідами називають розташовані в Гізі піраміди фараонів Хеопса (Хуфу),
Хефрена і Мікерина. На відміну від піраміди Джосера, ці піраміди мають не ступеневу, а
суворо геометричну, пірамідальну форму.
Але що найдужче дивує відвідувачів пірамід біля Гізи це технічні досягнення будівників
пірамід. «Важко збагнути, у який спосіб могли підняти таку силу кам'яних брил на таку
височінь»,— говорить Філон і має рацію. Навіть і тепер, коли ми знаємо, як будувались
піраміди, коли маємо перед очима досягнення нашого високомеханізованого будівництва, це

6. 6
викликає наш подив. Адже найменша брила з Хеопсової піраміди важить 2 000 кілограмів, а
найбільша аж 40 000 кілограмів!
Розміри піраміди, система підземних коридорів, поховальна камера, зовнішня кладка
піраміди — усе це свідчить про надзвичайну технічну майстерність єгипетських
будівельників. Точна орієнтація пірамід за сторонами світу й між собою (наприклад,
діагональ Хеопсової піраміди з північного сходу на південний захід точно збігається з
продовженням діагоналі Хефренової піраміди(слайд 20) свідчить у свою чергу про виняткові
знання єгипетських астрономів та геометрів. Але хоч як дивують нас їхні досягнення, проте
це захоплення поступається перед іншим, коли ми звернемо увагу на майже непомітну
дрібницю: камінні брили на стінах похоронної камери так точно витесані й так щільно при-
пасовані одна до одної, що між ними не встромиш навіть ріжок тоненького паперу!
І ця досконала точність і майстерність, яка виявляється в кожній деталі ,- це вже не
досягнення інженерів, а сірої, безіменної, знедоленої і поневоленої маси людей, що
орудували лише примітивним мідним знаряддям і шліфували брили тільки вручну, піском і
водою!
Якщо числа можуть часом, як і вірші поетів, збуджувати уяву, то до таких саме чисел,
безумовно, відносяться виміри Великої піраміди. Від основи до вершини ця камінна гора має
147 метрів. За давніх часів вона була на десять-одинадцять метрів вища, її шпиль невідомо
коли розкришився, і тепер на цьому місці є невеличкий майданчик, на якому під час другої
світової війни містився англійський пост протиповітряної оборони. Бік її квадратної основи
має 234 метри. Кубатура Великої піраміди — знаючи формулу, вирахувати її дуже легко —
дорівнює приблизно 2 600 000 кубічних метрів. На будову піраміди використано
приблизно 2 300 000 камінних брил, кожна об'ємом у середньому більше одного кубічного
метра і вагою приблизно дві з половиною тонни.
Фантастичні числа! А тепер розшифруймо їх.
Площа основи має понад 54 000 квадратних метрів, тобто 5,4 гектара. П'ять гектарів — це
площа досить значного селянського господарства. На цій площі вмістилося б 10 000
двокімнатних квартир з усіма вигодами. Таких вілл, яку звелів збудувати біля цієї піраміди
останній єгипетський король Фарук, вмістилося б там зо дві сотні, Серед імператорів і
королів Європи навіть найбагатші й наймогутніші не мали такого палацу, який забудованою
площею дорівнював би цій фараоновій гробниці: Букінгемський палац у Лондоні менший,
менші Версаль і колишній царський Зимовий палац.
Хеопсова піраміда вища, ніж баня Мікеланджело над собором святого Петра в Римі, який
вважається найбільшим християнським храмом. Якби ця піраміда була порожня, у ній
помістилася б стартова площадка ракетодрому разом із космічною ракетою.
Після Хеопса ніхто не спромігся спорудити величнішого символу необмеженої влади
фараона. Подивіться, що залишилося від деяких пірамід (слайд 26-29). Проте і сьогодні у
Хеопсовій піраміді дивує все: і її розміри, і її форма і навіть те, в який спосіб злодіям
пощастило пробратися в середину. І тому Велика піраміда - справді чудо світу.
ІІ. Розвязування задач.
Вчитель:
На малюнку №1 ви бачите зображення правильної чотирикутної піраміди, яка подібна до
піраміди Хеопса. Давайте назвемо і запишемо довжини тих елементів, про які ви почули з
розповіді. . Ширина грані в основі дорівнює 232 метри, а висота піраміди 147 метри, площа
основи 5,3 гектара.

7. 7
Дано:
232 .
147 .
AB BC CD DA м
SO м
   

Задачі:
 Скільки часу витратить турист, щоб обійти навколо піраміди, якщо його середня
швидкість 3,5 км/год.
Розв’язання:
4
4*232 928
0,928
; 0,26 . 16 .
3.5 /
ABCDS P AB
S м
S км
t t год хв
V км год
 
 
   
 Наша класна кімната має площу 2
58ě . Скільки таких кімнат можна розмістити на
площі основи Великої піраміди.
Розв’язання:
2
2 2
232 53824
53824 58 928
осн
осн
S а
S м
кімнат

 
 
 З висотою скількох поверхів будинку можна порівняти висоту піраміди Хеопса, якщо
висота одного поверху приблизно 3м.
Розв’язання:
147 3 49поверховий 
 Турист, дивлячись на вершину піраміди, мріє піднятись на її вершину і побачити
марево пустелі. Давайте підкажемо йому коротший шлях до вершини і допоможемо
підрахувати його довжину.
Розв’язання:
Найкоротший шлях по апофемі:
( ) ,SO ABC то SO ON 
З 
90 SONSON

8. 8
222
ONSOSN 
ABCD – квадрат, то ;
2
1
ADON 
1
*232 116
2
ON м 
350651345621609116147 222
SN
187.3SN м
Учень:
Велика Піраміда складається з двох мільйонів трьохсот тисяч кубічних блоків вапняку
з гладко відшліфованими сторонами. За підрахунками Наполеона, кам'яних блоків від трьох
пірамід Гізи вистачило б, що б оперезати усю Францію стіною заввишки трьох метрів і
товщиною в 30 сантиметрів. Підрахували, що кожний блок важить в основному 2,5 тонни, а
найважчий - 15 тонн. Загальна вага піраміди біля 5,7 мільйона тонн. Камені її тримаються
власною вагою - ніякого сполучного матеріалу немає. Блоки так старанно підігнані, що між
ними неможливо було просунути лезо ножа. Дивує те, що укладені вони в основному
кам’яними знаряддями. Дослідників дивувало, яким чином народ, що жив у бронзовому віці
міг спорудити таке грандіозне спорудження та ще й надати йому геометричну правильну
форму піраміди. Іноді висловлювалась думка, що в створенні цих колосальних споруджень
приймали участь інопланетяни.
Поступово таємниця зведення пірамід розкривалася: їх збудували люди.
Більше 2,5 тисяч років тому люди тягли на гору величезні брили, які все вище і вище
підіймали піраміду. Її будівництво нагадувало великий мурашник. Люди падали і вмирали
від непосильної праці під розжареним сонцем, а на їхнє місце наглядачі гнали все нові і нові
загони. То були тяжкі часи для народу Єгипту. Мабуть, тому і залишився вислів «Єгипетська
праця».
Робота вгрупах.(4 учні)
Вчитель:
Попрацюємо над знаходженням деяких кутів Великої Піраміди.(завдання на картах, для
кожної групи)
Картка 1
1. Знайти плоский кут при вершині піраміди.
2. Знайти кут між висотою і бічним ребром.

9. 9
Картка 2
1. Знайти кут між бічним ребром і площиною основи.
2. Знайти кут між висотою і апофемою.
Картка 3
1. Знайти двогранний кут при ребрі основи.
2. Знайти кут між бічним ребром і ребром основи.
Розв’язування до карток:
Картка 1
1. DSC - рівнобедрений
SN - медіана, бісектриса, висота
З )90( 
 NDSN
SN
DN
DSNtg 
6203.0
187
116
DSNtg

32DSN

64DSC
2. )(ABCSO  , то ODSO 
З )90( 
 OSOD
SD
SO
OSD cos
6682.0
220
147
cos OSD

48OSD
Картка 2
1. )(ABCSO 
SD - похила, OD - проекція, то SDOABCSD  ))(;(
З )90( 
 NSDN
222
DNSNSD 
222
116187 SD
4842513456349692
SD

10. 10
220SD см
З )90( 
 OSOD
6682.0
220
147
sin 
SD
SO
SDO

42SDO
2. )(ABCSO 
ONSO
З )90( 
 OSON
7861.0
187
147
sin 
SN
SO
SNO

52SNO
Картка 3
1. )(ABCSO  , N - середина DC , то DCON  , тоді DCSN  (за ттп)
NO - лінійний кут двогранного кута з ребром DC
ADON
2
1

1
*232 116
2
ON см 
З
2672.1
116
147

ON
SO
Ntg

51N
2. З )90( 
 NSDN
85.0
220
187
sin 
SD
SN
SDN

58SDN
Учень:
 У розмірах тесаних пліт піраміди археологи встановили пропорції 5:4:3(прямокутні
трикутники, які ми називаємо Єгипетськими).
 Висота піраміди дорівнює 1000000000
1 (міліардна) частина відстані від землі до
Сонця(записати на дошці відстань до Сонця, 1467000000000м.=1467млн.км.)
)90( 
 OSON

11. 11
 Якщо довжину периметра основи піраміди поділити на її подвоєну висоту то
одержимо число  з високою точністю.
....897931415926535.3 (перевірити на калькуляторі 1564625.3294928  )
Вчитель:
Говорять, що числа здатні збуджувати уяву. Давайте в цьому переконаймося,
обчисливши площу бічної поверхні піраміди і її об’єм.
2
. . *4 21692*4 86768б н DSCS S м  
2
2 3
1
*232*187 21692
2
1
232 *147 2637376
3
DSCS м
V м
  
 
Вчитель:
До наших часів збереглося до 70 пірамід. Височать вони від Каїра до Фаюма майже на
100 км.
У XXIст. жоден архітектор навіть за допомогою сучасної техніки і знань не зумів
повторити піраміду Хеопса. Першою найвищою спорудою, яка з’явилася після піраміди
Хеопса, стала Ейфелева вежа, побудована як символ технічного прогресу в ХХ ст. нашої ери.
УК наші дні сотні-тисяч людей з’їжджаються з усіх кінців світу, щоб подивитися на
найвеличніший пам’ятник давньоєгипетської цивілізації – піраміди в містечку Гіза. Ці
вражаючі уяву усипальні фараонів продовжують і сьогодні зберігати безліч таємниць, а
проте якими засобами користувались стародавні майстри під час їх зведення, досі
сперечаються інженери і історики. Почуті вами факти свідчать, що піраміда Хеопса творіння
людського генія - це пам’ятник не тільки архітектури, але й математики.
І кожна цегла, статуя, колона,
Мережечка, різьба і малювання
Незримим устами промовляє:
«Мене створив Єгипетський народ і
Тим на вік своє імення вславить»
Так переклала напис на руїні піраміди Леся Українка.
Домашнє завдання:
1. Знайти площу діагонального перерізу піраміди Хеопса.
2. Щоб пофарбувати підлогу у класній кімнаті, потрібно 5кг. фарби. Скільки кг. фарби
потрібно, щоб пофарбувати Велику Піраміду?
Література

12. 12
1. Погорєлов О.В. Геометрія. Підручник для 10-11 кл. серед. шк. - К.: Освіта, 2001
2. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н.Г. Геометрія. Підручник для 10-11 кл. - К.: Вежа,
2001
3. Математична хрестоматія. Геометрія. Під ред. М.І. Кованцова. - К.: Рад. шк., 1970
4. Депман И.Я. История математики. - М.: Просвещение, 1965
5. Лауер Ж.Ф. Загадки египетских пирамид. - М., 1966.
6. http://uk.wikipedia.org/wiki/Єгипетські_піраміди

13. 13
Малюнок №1

14. 14
Слайд №1
Слайд №2

15. 15
Слайд №3

16. 16
Відомості про автора:
Левченко Тамара Аркадіївна
Вчитель математики вищої категорії, вчитель-методист
Броварської ЗОШ І – ІІІ ступенів №9 Київської області.
 Бровари 07400, Київська обл., Грушевського 13, кв. 23
 (04594) 5-35-67
 (097) 544-08-11
