1. Відділ освіти Амвросіївської райдержадміністрації
Районний методичний кабінет
ПЕДАГОГІЧНА МАЙСТЕРНІСТЬ –
ДОМІНАНТА
ПРОФЕСІЙНОЇ ДІЇ ВЧИТЕЛЯ, ВИКЛАДАЧА
УРОК – ЛЕКЦІЯ
У СВІТІ МНОГОГРАННИКІВ
Благодатнівська загальноосвітня школа
І – ІІІ ступенів
Амвросіївської районної ради
Донецької області
вчитель математики та інформатики
Бродяная Наталія Леонідовна
Амвросіївський район
2014 рік
1
2. Затверджено педагогічною радою школи
(протокол № 2 від 26.12. 2013 року)
Укладач:
Бродяна Наталія Леонідівна
вчитель математики та інформатики, кваліфікаційна категорія
« спеціаліст вищої кваліфікаційної категорії», звання «учитель - методист.»
Відповідальні за випуск:
Подлєсна О.М. – директор Благодатнівської ЗОШ І-ІІІ ступенів
Красовська І.П. – заступник директора з виховної роботи Благодатнівської
ЗОШ І-ІІІ ступенів
Рецензенти:
Г.В.Денисенко – завідувач районним методичним кабінетом відділу освіти
Амвросіївської райдержадміністрації
Чугуєва Г.В. - методист районного методичного кабінету відділу освіти
Амвросіївської рай держадміністрації
Подлєсна О.М. – директор Благодатнівської ЗОШ І-ІІІ ступенів
Анотація роботи: в роботі представлені творчі доробки вчителя, яка активно
використовує ІКТ при викладанні уроків математики і інформатики
та в позаурочний час. В матеріалах представлена розробка вступного
уроку до теми «Многогранники», розробки інших уроків, позакласних
заходів та презентацій до них, фото та відео матеріали, що ілюструють
її педагогічну діяльність.
2
3. ВСТУП
Людина проявляє інтерес до многогранників на протязі всієї своєї свідомої
діяльності – від дворічної дитини , що грається деревинними кубиками, до
зрілого
математика,
який
насолоджується
читанням
книжок
про
многогранники. Деякі із правильних тіл зустрічаються в природі в вигляді
кристалів, інші – в вигляді вірусів. Бджоли будували шестикутні соти ще
задовго до появи людини, а в історії цивілізації створення многогранних тіл(
подібних пірамідам) поряд з другими видами пластичних мистецтв уходять в
глибину віків. Многогранники існували на Землі задовго до появи на ній
людини – куби кам'яної солі, тетраедри сурянистого сірчанокислого натрію,
октаедри хромових квасців, ікосаедри бору і додекаедри радіолярію та
макроскопічних морських організмів. Геометрія з її логікою і чіткістю побудов
відкрила зовсім нове бачення многогранників та їх застосування. Перші згадки
про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і
Вавілоні. Досить пригадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них
– піраміду Хеопса. Це правильна піраміда, в підставі якої квадрат із стороною
233 м і висота якої досягає 146,5 м. Не випадково говорять, що піраміда Хеопса
– німий трактат по геометрії. Многогранник - частина простору, обмежена
сукупністю кінцевого числа плоских багатокутників, сполучених таким чином,
що кожна сторона будь-якого багатокутника є стороною рівно одного іншого
багатокутника (званого суміжним), причому довкола кожної вершини існує
рівно один цикл. Многогранники мають красиві форми, наприклад, правильні,
напівправильні, зірчасті многогранники. Вони володіють багатою історією, яка
пов’язана з іменами таких вчених, як Піфагор, Евклід, Архімед. Многогранники
виділяються незвичайними властивостями, саме ярке із яких формулюється в
теоремі Ейлера про число граней,вершин і ребер випуклого многогранника для
любого випуклого многогранника є правильним співвідношення Г+В-Р=2, де Г
– число граней, В – вершин, Р – ребер даного многогранника. Теорему Ейлера
історики математики
називають першою теоремою топології - крупного
розділу сучасної математики. Теорія многогранників є і сучасним розділом
3
4. математики. Вона тісно пов'язана з топологією, теорією графів, має велике
значення як для теоретичних досліджень по геометрії, так і для практичних
застосувань в інших розділах математики, наприклад, в алгебрі, теорії чисел,
прикладної математики - лінійному програмуванні, теорії оптимального
управління.
Ні одне геометричне тіло не володіє таким удосконаленням і
красою,
правильні
як
інтересувалися
досконалість,
многогранники
Піфагор
гармонія
многогранники.
та
його
цих
ученики.
фігур.
божественними
Правильними
Їх
приголомшувала
Піфагорійці
фігурами
і
многогранниками
вважали
використовували
краса,
правильні
в
своїх
філософських вигадуваннях: першоосновам буття - вогню, землі, повітрю, воді
додавалася форма відповідно тетраедра, куба, октаедра, ікосаедра, а весь
Всесвіт мав форму додекаедра. Пізніше вчення піфагорійців про правильні
многогранники виклав в своїх працях інший старогрецький учений, філософ ідеаліст Платон. З тих пір правильні многогранники стали називатися
платоновими тілами.
Є в шкільній геометрії особливі теми, які чекаєш з нетерпінням, передчуваючи
зустріч з неймовірно красивим матеріалом. До таких тем можна віднести тему
" Многогранники" або
«Багатогранники»(підручник 9кл.).
Тут не тільки
відкривається дивовижний світ геометричних тіл, які мають неповторні
властивості, а й цікаві наукові гіпотези. І тоді урок геометрії стає своєрідним
дослідженням непередбачуваних сторін звичного шкільного предмету. Жодні
геометричні тіла не мають такої досконалості і краси, як правильні
багатогранники. Сьогодні на уроці ми дізнаємося і побачимо багато цікавого,
нам належить відповісти на такі питання, як, наприклад: Які багатогранники
називаються
правильними?
Скільки
їх
існує?
Що
таке
Ейлерова
характеристика? Які тіла носять назву тіл Кеплера-Пуансо? І багато-багато
інших ... І, нарешті: де, навіщо і для чого нам потрібні багатогранники? Може
можливо, в житті можна обійтися і без них?
Працюючи в старших класах я зіткнулась з такою проблемою: на кожному
уроці треба розв’язати великий об’єм задач за короткий період часу. Особливо
4
5. це актуально на уроках стереометрії в 11 класі. Як і багато інших вчителів
намагаюсь вирішити цю проблему. І разом з іншими методами вважаю дуже
вдалим використання прикладного програмного забезпечення з геометрії,
застосовування подачі нового матеріалу за допомогою блоків та уроків –
лекцій.
Ось чому я сьогодні вам пропоную подачу цього цікавого матеріалу
за допомогою ЛЕКЦІЇ.
Отже, я запрошую вас "У світ многогранників".
5
6. « Правильних многогранників зухвало мало,
але цей вельми скромний за чисельністю
загін зумів пробитися в самі глибини різних наук.»
Льюїс Керролл
ІІ. Теоретична частина.
Тема уроку.
У світі многогранників
Мета
.
Навчальна
сформувати в учнів поняття про двогранний і тригранний кути, лінійний
кут двогранного кута;
сформувати в учнів поняття геометричного тіла, многогранники , його
елементів, поняття призми, піраміди;
показати зображення призми і
піраміди, їх розгорток;
дати поняття правильного многогранника, напівправильних і зірчастих
многогранників, розглянути властивості многогранників, познайомити з
історією виникнення і розвитку теорії многогранників;
дати визначення прямої і правильної призми, піраміди, зрізаної
піраміди,розглянути формули площ і об’ємів , показати їх практичне
застосування.
Розвивальна
розвивати просторову уяву, логічне мислення, пам'ять ,культуру
математичного мовлення й записів;
розвивати уміння спостерігати, уміння міркувати аналогічно, інтерес до
предмету через використання інформаційних технологій і здійснення
міжпредметних зв'язків;
уміння знаходити необхідну інформацію за допомогою ІКТ, ОЕП,
Інтернет і інших джерел інформації;
формування логічного і системного мислення;
6
7. формування розумових операцій - аналізу, доказу, узагальнення,
класифікації.
Виховна
формування коректного і толерантного відношення до думок своїх
одногрупників; формування дружніх взаємин між учнями, викладачем і
учнями;
сприяти формуванню оцінки прекрасного в природі, сприяти підтримці
на
високому
рівні
працездатності
виховання волі і наполегливості учнів
результатів,
виховання
раціональної
для
навчання;
в досягненні кінцевих
організації
бюджету
часу
Протягом уроку, на різних його етапах формується пізнавальна,
самоосвітня, соціальна, особова компетентності.
Очікуванні результати
Учні повинні розпізнавати многогранники, многогранник Платона і Архімеда,
знаходити їх в природі і навколо нас, знати їх елементи , розв’язувати
найпростіші задачі на знаходження елементів многогранників
Вигляд уроку: лекція з інтерактивними прийомами і виконанням практичних
завдань.
Тип уроку: комбінований урок, направлений на засвоєння нових знань, умінь і
навиків.
Устаткування і дидактичне забезпечення: макети многогранників, один з
яких розбирається на грані, макети призм, , мультимедійний проектор ,
інтерактивна дошка, електронна презентація
Хід уроку
І.Організаційний момент
ІІ. Формулювання теми , мети й завдань уроку. Мотивація навчальної
діяльності
Учитель: Мені хотілося б розпочати урок словами Бертрана Рассела:
“Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой
7
8. отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному
совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства”
Світ наш виконаний симетрією. З прадавніх часів з нею пов'язані наші уявлення
про красу. Напевно, цим пояснюється нескороминущий інтерес людини до
многогранників - дивних символів симетрії, що привертали увагу безлічі
видатних мислителів, від Платона і Евкліда до Ейлера і Коші.
Є в шкільній геометрії особлива
тема, яку я чекаю з нетерпінням,
передчуваючи зустріч з неймовірно красивим матеріалом.
І ця тема
називається " Многогранники" Тут не тільки відкривається дивовижний світ
геометричних тіл, які мають неповторні
властивості, а й цікаві наукові
гіпотези. Жодні геометричні тіла не мають такої досконалості і краси, як
правильні багатогранники. Сьогодні на уроці ми дізнаємося і побачимо багато
цікавого, нам належить відповісти на такі питання, як, наприклад: Які
багатогранники називаються правильними? Скільки їх існує? Що таке ейлерова
характеристика? Які тіла носять назву тіл Кеплера-Пуансо? І багато-багато
інших ... І, нарешті: де, навіщо і для чого нам потрібні багатогранники? Може
можливо, в житті можна обійтися і без них?
Многогранник
–
це
геометричне
тіло,
поверхня
складається із скінченого числа плоских многокутників.
8
якого
9. ІІІ. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу.
ІІІ Многогранники, елементи многогранників, їх види , формули
для обчислень площ та об’ємів .
1.
Двогранні і тригранні кути, лінійний кут двогранного кута .
Означення1.
півплощинами
Двогранним
зі
кутом
називають
спільною
прямою,
фігуру,
що
утворену
їх
двома
обмежує
Площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по
двох півпрямих. Кут, утворений цими пів прямими, називається лінійним кутом
двогранного кута. Всі лінійні кути двогранного кута рівні.
Означення 2. Тригранним кутом (abc) називається фігура,яка складається з
трьох плоских кутів (ab), (bc) і (ac). Ці кути називаються гранями тригранного
кута, а їх сторони - ребрами. Спільна вершина плоских кутів називається
вершиною тригранного кута.
2 Види многогранників
Гранями
многогранника називаються частини площин (многокутники), які обмежують
многогранник. Ребрами многогранника
називаються спільні сторони суміжних
граней
(многокутників).
Вершинами многогранника називаються
вершини многогранних кутів, утворених
його гранями, що сходяться в одній точці.
9
10. Діагоналлю многогранника називається відрізок прямої, яка сполучає дві
вершини многогранника, що не лежать в одній грані. Діагональною
площиною многогранника називається площина, що проходить через три
вершини многогранника, які не лежать в одній грані
Означення3.
Призмою називається многогранник, який складається із двох плоских
многокутників, що лежать у різних площинах і суміщаються
паралельним
перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих
многокутників. Многокутники називаються основами призми, а відрізки, які
сполучають вершини, - бічними ребрами призми. Поверхня призми складається
з основ і бічної поверхні. Бічна поверхня
складається з паралелограмів.
Висотою призми називається відстань між площинами її основ. Відрізок , який
сполучає дві вершини призми, що не належать одній грані, називається
діагоналлю призми.
Призма називається прямою , якщо її бічні ребра
перпендикулярні до основ. У противному разі призма називається похилою.
Пряма призма називається правильною,якщо її основи правильні многокутники.
Бічною поверхнею призми називається сума площ бічних граней.
10
11. Означення4.
Паралелепіпедом називається призма, основа якої – паралелограм. Усі грані
паралелепіпеда – паралелограми. Протилежні грані – паралельні та рівні. Усі
діагоналі перетинаються в одній точці (центрі паралелепіпеда) й поділяються
нею навпіл. Точка перетину діагоналей паралелепіпеда і точка перетину
діагоналей
основ
лежать на одній прямій. Сума квадратів діагоналей
дорівнює сумі квадратів усіх ребер. Паралелепіпед, у якого основою є
прямокутник, і бічні ребра перпендикулярні до площини основи називається
прямокутним паралелепіпедом. Бічні ребра перпендикулярні до основи, усі
грані прямокутники,діагональні перерізи прямокутники, усі двогранні та плоскі
кути прямі, ребра ,що виходять з однієї вершини, взаємно перпендикулярні,
бічне ребро є висотою паралелепіпеда, усі діагоналі рівні, усі діагоналі
перетинаються в одній точці й поділяються нею навпіл, площа бічної поверхні
- добуток периметра основи
на довжину бічного ребра, квадрат діагоналі
11
12. дорівнює сумі квадратів довжин трьох ребер, що виходять з однієї вершини
( інакше – вимірів).
12
13. Означення 5.
Пірамідою
називається
многогранник,
який
складається
з
плоского
многогранника – основа піраміди, точки , яка не лежить у площині основи –
вершина піраміди і всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками
основи. Відрізки , що сполучають вершину піраміди з вершинами основи,
називаються бічними ребрами. Висотою піраміди називається перпендикуляр,
опущений з вершини піраміди на площину основи. Трикутна піраміда
називається тетраедром.. Діагональний переріз-переріз площинами , які
проходять через два не сусідніх бічних ребра піраміди. Піраміда називається
правильною , якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти
збігається з центром цього многокутника. Віссю правильної піраміди
називається пряма, яка містить її висоту. Висота бічної грані
правильної
піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. Бічною поверхнею
піраміди називається сума площ її бічних граней.
Площина ,яка паралельна площині основи піраміди й перетинає її бічні ребра ,
відтинає від неї подібну піраміду. Друга частина – це многогранник, який
називається зрізаною пірамідою. Грані зрізаної піраміди, що лежать у
паралельних площинах, називаються основами.,решту
граней називають
бічними гранями . Зрізана піраміда , яку дістали з правильної , теж називається
правильною.
Бічні грані
правильної
зрізаної
піраміди
рівні
–
рівнобічні
трапеції; їх
висоти
називаються
апофемами.
13
15. 3 Перерізи многогранників
Означення 6
Січною площиною многогранника називається така площина по обидві
сторони від якої є точки даного многогранника
Перерізом многогранника
називається фігура, яка складається з усіх точок, які є спільними для
многогранника
і
січної
площини.
Січна
площина
перетинає
грані
многогранника по відрізкам, тому перерізом многогранника є многокутник, що
лежить в січній площині.
Очевидно, що кількість сторін цього многокутника не може перевищувати
кількості граней даного многогранника.
Наприклад: в чотирикутній призмі (всього 6 граней) в перерізі
отримати трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник.
4 Опуклі і не опуклі многогранник
Многогранник називається опуклим, якщо він
цілком лежить по одну сторону від площини
будь-якої
його
грані.
Гранями
опуклого
многогранника можуть бути тільки опуклі
многокутники.
15
можемо
16. 5 Теорема Ейлера для опуклих многогранниківМногогранники виділяються
незвичайними властивостями, саме ярке із яких формулюється в теоремі
Ейлера про число граней,вершин і ребер випуклого многогранника для любого
16
17. .6 Правильні многогранники
- опуклий многогранник, грані якого є
правильними багатокутниками з одним і тим же числом сторін і в кожній
вершині якого сходиться одне і те ж
Назва “правильні” йде від античних
часів, коли прагнули знайти гармонію, правильність, досконалість в природі і
людині. Правильні багатокутники – це багатокутники, в яких всі сторони і всі
кути рівні, правильні многогранники – це многогранники, обмежені
Правильними
однаковими
багатокутниками
ТЕТРАЕДР
–
правильний
многогранник, поверхня якого складається з чотирьох правильних трикутників.
ГЕКСАЕДР (КУБ) – правильний многогранник, поверхня якого складається з
шести правильних чотирикутників (квадратів ОКТАЕДР – правильний
многогранник, поверхня якого складається з восьми правильних трикутників).
ДОДЕКАЕДР – правильний многогранник, поверхня якого складається з
дванадцяти
правильних
п'ятикутників.
ІКОСАЕДР
–
правильний
многогранник, поверхня якого складається з двадцяти правильних трикутників.
Назви цих многогранників прийшли з Древньої Греції, і в них вказується число
граней
Платоновими
тілами
називаються
правильні
однорідні
опуклі
многогранники, тобто опуклі многогранники, всі грані і кути яких рівні,
причому грані - правильні багатокутники.
Властивості: у кожній вершині
правильного многогранника сходиться одне і те ж число ребер; всі двогранні
кути при ребрах рівні;
багатокутника
правильних
рівні.
всі багатогранні кути при вершинах
правильного
Платонови тіла - тривимірний аналог плоских
багатокутників.
Існує
лише
многогранників .
17
п'ять
опуклих
правильних
18. Всі правильні багатогранники були відомі ще у Стародавній Греції, і їм
присвячена
заключна,
13-а
книга
знаменитих
"Начал"
Евкліда.
Ці
багатогранники часто називають також Платоновим тілами - в ідеалістичної
картині світу, даної великим давньогрецьким мислителем Платоном, чотири з
них уособлювали 4 стихії: тетраедр - вогонь, куб - землю, ікосаедр - воду,
октаедр - повітря, п'ятий же багатогранник, додекаедр, символізував
18
19. світобудову - його по-латині стали називати quinta essentia (квінта есенція), що
означає все найголовніше, основне, істинну сутність чого-небудь.
Тіла Архімеда Існують ще напівравильні многогранники (Архімедові тіла). У
них всі многогранні кути
рівні і всі грані – правильні
многокутники, але декілька
різних типів. Архімед(287–
212 рр. до н.е)
Вперше
многогранники
такого типа відкрив Архімед.
Ним детально описано 13
многогранників, які пізніше
на честь великого ученого були названі тілами Архімеда. Це зрізаний тетраедр,
зрізаний октаедр, зрізаний
ікосаедр, зрізаний куб, зрізаний додекаедр,
кубооктаедр
Множину Архімедових тіл можна розбити на кілька груп. Першу з них
складають п'ять багатогранників, які виходять з Платонових тіл в результаті їх
зрізання. Зрізане тіло - це тіло з відрізаною верхівкою.
Зрізаний тетраедр
Зрізаний куб
Зрізаний октаедр
Зрізаний додекаедр
Зрізаний ікосаедр
Іншу
групу
Архімедових
тіл
складають
два
тіла,
іменовані
квазіправильними многогранниками. Частка «квазі» підкреслює, що межі цих
багатогранників є правильні багатокутники всього двох типів, причому кожна
грань одного типу оточена багатокутниками іншого типу. Ці два тіла носять
назву ромбокубооктаедра і ікосододекаедра Два наступних Архімедових тіла
називаються ромбокубооктаедром і ромбоікосододекаедром Нарешті, існують
19
20. дві так звані «кирпаті» модифікації - одна для куба (кирпатий куб), інша - для
додекаедра
-кирпатий
додекаедр Кеплер першим
опублікував повний список
тринадцяти Архімедових тіл
і дав їм ті назви, під якими
вони
відомі
понині.
Архимедові тіла володіють
властивістю:
вершини
так,
многогранника попарно збіжаться один з одним.
будь-які
можна
що
дві
поєднати
всі
грани
Окрім напівправильних
многогранників, з правильних многогранників – Платонових тіл можна
отримати
так
звані
зірчасті
Їх
правильні
многогранники.
всього
чотири.
Перші
були
відкриті
І.
два
Кеплером
(1571 – 1630 рр.),
а два других
були побудовані
майже
течія
двісті
опісля
французьким
математиком
і
механіком Луї
Пуансо (1777 –
1859 рр.). Саме
тому
«Про
багатокутники
... роботі
і
многогранники»
(1810 р.) Луї
перерахував
Пуансо
і
описав
всі
правильні зірчасті многогранники, поставив, але не вирішив питання про
існування правильних многогранників, число граней яких відмінно від 4, 6, 8,
12, 20.Звіт
на це питання був дан рік потому, в 1811 році, французьким
20
21. математиком Огюстом Луї Коши (1789 – 1857 рр.) в роботі «Дослідження про
многогранники». У ній доводиться, що не існує інших правильних
многогранників,
окрім
перерахованих
Пуансо.
правильні
зірчасті
многогранники виходять з опуклих правильних многогранників
шляхом
продовження їх ребер або граней, досліджується питання, з яких саме
правильних
многогранників
можуть
бути
отримані
правильні
зірчасті
многогранники. Робиться висновок про те, що тетраедр, куб і октаедр не мають
зірчастих форм, додекаедр має три, а ікосаедр – одну зірчасту форму (це малий
зірчастий додекаедр, великий додекаедр і великий ікосаедр). Коші встановив,
що існує всього 4 правильних зірчастих тіла, які не є сполуками платонових і
зірчастих тіл, названі тілами Кепплера-Пуансо: всі 3 зірчастих форми
додекаедра і одна з зірчастих форм ікосаедра. Решта правильні зірчасті
многогранники є або з'єднаннями платонових тіл, або з'єднаннями тіл
Кепплера-Пуансо.
ІV. Осмислення нового нового матеріалу.
7 Многогранники навколо нас
« Багатогранники в житті, в мистецтві, в
природі, в архітектурі, побуті тощо»
Якщо ми розглянемо перші архітектурні споруди, які будувалися людиною з
каменів, то можна зазначити, що вже тоді людина вибирала найвиразніші за
формою і величиною камені
21
22. Пірамідальна форма в будівництві була популярна в стародавньому світі.
Піраміда Хеопса, може бути, саме грандіозне спорудження на землі. Майже
п'ять тисяч років стоїть ця величезна піраміда. Висота її сягала 147 м. Аж до
кінця XIX ст. піраміда Хеопса була найвищим спорудженням на землі.
Фароський маяк (Олександрійський
маяк), одне з Семи чудес світу.
Фароський маяк складався з трьох
мармурових башт, Перша башта
прямокутний паралелепіпед. Над цією
вежею
розташовувалася
менша,
восьмикутна призма. Верхня вежа
формою нагадувала циліндр, в якому
горів вогонь, який допомагав кораблям
благополучно досягти бухти. На
вершині вежі стояла статуя Зевса
Спасителя. Загальна висота маяка
становила 117 метрів.
2.Сучасна
архітектура
22
23. Роттердам - місто самої оригінальної архітектури в світі
Роттердам - шикарне сучасне місто з будинками в 30, 40 ... і до 176 поверхів.
Практично всі будівлі являють собою багатогранники
У самому центрі міста стоять самі незвичайні будинки. Наприклад, будинокбагатогранник, де граней - десятки.
Або незвичайний житловий будинок: на численних, з'єднаних між собою
тумбах стоять на ребрах кубики. На кожній тумбі - по кубику. Кожен кубик триярусна квартира для однієї сім'ї. Адже ми звикли жити в паралелепіпедах,
міцним фундаментом. А цей куб - парить.
23
24. 3. Многогранники в природі
У книзі німецького біолога початку нашого століття Е. Геккеля "Краса форм у
природі" можна прочитати такі рядки: "Природа вигодовує на своєму лоні
невичерпну кількість дивних створінь, які по красі і різноманітності далеко
перевершують всі створені мистецтвом людини форми".
Скелет одноклітинного організму феодаріі (Circjgjnia icosahtdra) за формою
нагадує ікосаедр .
Водорості вольвокс - один з найпростіших багатоклітинних організмів - являє
собою сферичну оболонку, складену в основному семикутними, шестикутними
і п'ятикутними клітинами Віруси, побудовані тільки з нуклеїнової кислоти і
білка, можуть походити на правильний двадцятигранник, або ікосаедр. Є віруси,
що розмножуються в клітинах тварин, інші облюбували рослини, треті
паразитують,
але
ікосаедрична
зустрічається у вірусів всіх
цих трьох груп.
24
форма
25. 4.Многогранники в мистецтві
Приклад зображення правильних багатогранників, виконаний художником XX
століття Сальвадором Далі (1904-1989)
Голандський художник М.К. Ешер в деякому роді є батьком математичного
мистецтва.
Однією з частих тем математичного мистецтва є використання багатогранників
25
26. У 2009 р. виповнилося 500 років з часу виходу в світ книги Луки Пачолі
«Божественна пропорція», Книга , для якої Леонардо виконав 59 ілюстрацій
різних багатогранників, справила великий вплив на розвиток геометрії того
часу, зокрема, стереометрії багатогранників.
Обидві
мозаїки
створені
Фра
Джовані де Верона (1457-1525)
для церкви Santa Maria in Organo
у Вероні орієнтовно в 1520
26
28. V.Підбиття підсумків уроку.
Висновки:
• Ні одні геометричні тіла не мають такої досконалістю і красою, як
багатогранники.
• Існує тільки 5 правильних багатогранників (тіл Платона), 13
напівправильні багатогранників, відкритих Архімедом, нескінченні серії
напівправильних
багатогранників,
4
типи
правильних
зірчастих
багатогранників.
• Многогранники оточують нас всюди: у природі, архітектурі, мистецтві,
техніці ,побуті тощо.
Завдяки цій роботі я узагальнила і я розкрила дітям світ многогранників, але
про ці тіла можна ще говорити, говорити і говорити …
.Хочу відзначити 3
найбільш вподобані мені книги:. А.В. Погорелов «Геометрія»,
Г. Якушева
«Математика - довідник школяра», Л.Ф. Пічурін «За сторінками підручника
геометрії». Ці книги допомогли мені більше, ніж інші. Мені б хотілося щоб мої
учні удало використовували свої нові отримані знання на практики.
VІ.Домашнє завдання
Підготувати і дати відповідь на питання: : де, навіщо і для чого нам потрібні
багатогранники? Може можливо, в житті можна обійтися і без них?
28
31. ЗМІСТ
I. Вступ---------------------------------------------------------------------------. 3
II. Теоретична частина ------------------------------------------------------- 6
ІІІ. . Многогранники, елементи многогранників, їх види , формули
для обчислень площ та об’ємів .----------------------------------------------- 9
1.Двогранні і тригранні кути, лінійний кут двогранного кута----------9
1. Многогранник------------------------------------------------------------------9
2. Види многогранників --------------------------------------------------------9
3. Перерізи многогранників---------------------------------------------------15
4. Опуклі і не опуклі многогранники---------------------------------------15
5. Теорема Ейлера для многогранників------------------------------------16
6. Правильні многогранники-------------------------------------------------17
7. Многогранники навколо нас ----------------------------------------------22
IІІ. Підсумок-------------------------------------------------------------------------29
31
