віє далекою давниною

1. Від деяких задач на прогресії вієВід деяких задач на прогресії віє
далекою давниною.далекою давниною.

2. ““ Предмет математики настПредмет математики настількиільки
серйознийсерйозний,, що корисно не упускатищо корисно не упускати
можливості робити його трохи цікавим”можливості робити його трохи цікавим”

3. Задача з єгипетського папірусуЗадача з єгипетського папірусу
Ахмеса РайндаАхмеса Райнда
Сто мір хліба треба розділити між пСто мір хліба треба розділити між п’’ятьма людьми так,ятьма людьми так,
щоб другий отримав на стільки ж більше за першого, нащоб другий отримав на стільки ж більше за першого, на
скільки третій отримав більше за другого, четвертийскільки третій отримав більше за другого, четвертий
більше за третього і пбільше за третього і п’’ятий більше за четвертого. Окрімятий більше за четвертого. Окрім
того, двоє перших повинні отримати в 7 разів меншетого, двоє перших повинні отримати в 7 разів менше
ніж троє останніх. Скільки треба дати кожному?ніж троє останніх. Скільки треба дати кожному?

4. РозвРозв’’язанняязання
Сто мір хліба треба розділити між пСто мір хліба треба розділити між п’’ятьма людьми, томуятьма людьми, тому
S=100S=100,,n=5.n=5.
Кожний отримаКожний отримає більше за попереднього на одне і те ж число,є більше за попереднього на одне і те ж число,
тобто це – арифметична прогресія. Крім того, двоє першихтобто це – арифметична прогресія. Крім того, двоє перших
повинні отримати в 7 разів менше, ніж троє останніх, тобтоповинні отримати в 7 разів менше, ніж троє останніх, тобто
Отримуємо систему рівняньОтримуємо систему рівнянь::
54321 )(7 aaaaa ++=+
;
6
5
10
;2011
2
11
=
=+
a
aa
1005
2
51
5 =⋅




 +
=
aa
S 4051 =+ aa



+=++
=+
);(7
;40
21543
51
aaaaa
aa



++=+++++
=++
);(7432
;404
11112
11
daadadada
daa



=
=+
;211
;202
1
1
da
da
;
6
5
10
;2011
2
11
=
=+
a
aa
;20
;2012
3
1
=
=
a
a
;
6
1
29
;
3
2
1
4
1
=
=
a
a
.
3
1
38
;
6
1
9
2
11
5
1
=
==
a
a
d
Відповідь. ;
3
2
1 ;
6
5
10 ;
9
1
29 .
3
1
38
або
;20

5. Поливання городуПоливання городу
На городі тридцять грядок, кожна довжиною 16м іНа городі тридцять грядок, кожна довжиною 16м і
шириною 2шириною 2,,5 м. Поливаючи грядки5 м. Поливаючи грядки,, господаргосподар
приносить відра з водою із криниці, яка розміщенаприносить відра з водою із криниці, яка розміщена
на відстані 14м від краю городу, і обходить грядкина відстані 14м від краю городу, і обходить грядки
по межі, причому за один раз приносить водипо межі, причому за один раз приносить води
скільки, що її вистачає полити одну грядку.скільки, що її вистачає полити одну грядку.
Який шлях повинен пройти господар, поливаючиЯкий шлях повинен пройти господар, поливаючи
ввесь город? Шлях починається і закінчується біляввесь город? Шлях починається і закінчується біля
криниці.криниці.

6. РозвРозв’’язанняязання
Для поливання першої грядки господарДля поливання першої грядки господар
повинен пройти шляхповинен пройти шлях
14+16+2,5+16+2,5+14=65м.14+16+2,5+16+2,5+14=65м.
При поливанні другої він проходитьПри поливанні другої він проходить
14+2,5+16+2,5+16+2,5+14+2,5=70 м.14+2,5+16+2,5+16+2,5+14+2,5=70 м.
Кожна наступна грядка потребує подолатиКожна наступна грядка потребує подолати
шлях на 5м довший ніж попередній.шлях на 5м довший ніж попередній.
Маємо прогресію:Маємо прогресію:
6565; 70; 75;…; 65+5*29.; 70; 75;…; 65+5*29.
Сума її членів дорівнюєСума її членів дорівнює
(65+65+29*5)*(65+65+29*5)*3030::22=4125м.=4125м.

7. ГодуванняГодування курейкурей
Для 31 курки приготували корм зДля 31 курки приготували корм з
розрахунку по декалітру в тиждень на однурозрахунку по декалітру в тиждень на одну
курку. При цьому припускалося, що числокурку. При цьому припускалося, що число
курей змінюватися не буде. Алекурей змінюватися не буде. Але,, так як втак як в
дійсності число курей кожного тижнядійсності число курей кожного тижня
зменшувалося на однузменшувалося на одну,, то кормівто кормів
вистачило на подвійний термін.вистачило на подвійний термін.
Наскільки багато було заготовлено корму іНаскільки багато було заготовлено корму і
на який час він був спочатку розрахований?на який час він був спочатку розрахований?

8. Нехай заготовлено х декалітрів корма на у тижнів.
Так як корм розрахований на 31 курицю по 1 д/л на курицю в
тиждень, то х=31у.
1 тиждень використано 31 д/л
2 тиждень 30 д/л
3 тиждень 29 д/л
Останній тиждень 31-2у+1 д/л
Весь запас х=31у=31-30+29+…+(31-2у+1), а1=31,
=31-2у+1na
Так як у=0, то 31=63-2у,
у=16, то х=496.
Відповідь. 16 тижнів, 496 декалітрів.
yyy
y
ySn ⋅−=⋅




 +−+
== )263(2
2
123131
31
Розв’язання

9. ЯблукаЯблука
Садівник продав першому покупцю половинуСадівник продав першому покупцю половину
всіх своїх яблук і ще пів яблука, третьому –всіх своїх яблук і ще пів яблука, третьому –
половину тих яблук, що залишилося і ще півполовину тих яблук, що залишилося і ще пів
яблука і т.д. Сьомому покупцю він продавяблука і т.д. Сьомому покупцю він продав
половину яблукполовину яблук,, що залишилися і ще півщо залишилися і ще пів
яблукаяблука,, після цього яблук у нього непісля цього яблук у нього не
залишилося. Скільки яблук було у садівника?залишилося. Скільки яблук було у садівника?

10. Нехай спочатку булоНехай спочатку було хх яблук, тоді перший покупець отримавяблук, тоді перший покупець отримав
другийдругий третій сьомий
Маємо рівнянняМаємо рівняння або
Сума геометричної прогресіїСума геометричної прогресії дорівнюєдорівнює
ТодіТоді
xx =





++++⋅+ 732
2
1
...
2
1
2
1
2
1
)1(
7
2
1
1−
і
x
x
7
2
1
1
1
−=
+
127127
=−=x
72
2
1
...
2
1
2
1
+++
x
xxxx
=
+
++
+
+
+
+
+
732
2
1
...
2
1
2
1
2
1
,
2
1
2
1
2
+
=+
xx
.
2
1
7
+x,
2
1
2
1
4
1
2
1
2
1
3
+
=+




 +
−
+
−
xxx
x
,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
+
=+




 +
−
xx
x
Розв’язання
Відповідь. 127 яблук

11. Задача з “Задача з “ Теоретичного і практичного курсуТеоретичного і практичного курсу
чистої математикичистої математики’’’’
Ю. ВойтяховськогоЮ. Войтяховського
 Воякові дано винагородуВоякові дано винагороду:: за першу рану – 1 копійка, заза першу рану – 1 копійка, за
другу – 2 копійки, за третю – 4 копійки і т.д. Післядругу – 2 копійки, за третю – 4 копійки і т.д. Після
обрахунку виявилосяобрахунку виявилося,, що вояк отримав винагороду в суміщо вояк отримав винагороду в сумі
655 рублів 35 копійок. Питання655 рублів 35 копійок. Питання:: чому дорівнює кількістьчому дорівнює кількість
його ран?його ран?

12. Розв’язання
Нехай число ран n, тоді 1+2+4+8+…
1
2 −n
=65535
1,2,4,8… - геометрична прогресія, 2,1 21 == bb тоді q=2.
1
)1(1
−
−⋅
=
q
qb
S
n
n
12
12
)12(1
−=
−
−⋅
= n
n
nS
6553512 =−n
655362 =n
16
22 =n
16=n
Відповідь: вояка мав 16 ран.

13. У газеті, що була видана у 1914 р., описуваласяУ газеті, що була видана у 1914 р., описувалася
справа, яка відбулося у місті Новочеркаську,справа, яка відбулося у місті Новочеркаську,
про продаж отари, що має 20 овець, за такимипро продаж отари, що має 20 овець, за такими
умовами: за першу вівцю слід заплатити 1к., заумовами: за першу вівцю слід заплатити 1к., за
другу – 2к., за третю – 4к. і т.д. У яку сумудругу – 2к., за третю – 4к. і т.д. У яку суму
обійдеться вся отара?обійдеться вся отара?

14. Вартість овець, про які йдеться в задачі, є сумою 20
членів геометричної прогресії, перший член якої b1=1,
а знаменник q=2. Тоді
1
)1(1
−
−⋅
=
q
qb
S
n
n
.)(1048575
12
)12(1 20
20 кS =
−
−⋅
=
1048575 к. = 10485 крб. 75 к
Відповідь. 10485 крб. 75 к.

15. ЗадачаЗадача
Феофана ПрокоповичаФеофана Прокоповича
Якась людина має багато коней, і всім їмЯкась людина має багато коней, і всім їм
різна ціна. Найгірший кінь коштує 4різна ціна. Найгірший кінь коштує 4
золотих, а найкращий 55 золотих, і ціна відзолотих, а найкращий 55 золотих, і ціна від
одного до другого коня весь часодного до другого коня весь час
піднімається на 3 золотих. Питаємо скількипіднімається на 3 золотих. Питаємо скільки
ж усього було коней?ж усього було коней?

16. Розв’язання
;41 =a d=3; ;55=na
n-?
)1(1 −+= ndaan
55=4+3(n-1)
n=18
Відповідь. було 18 коней.

17. Значна кількість задач на прогресіїЗначна кількість задач на прогресії
міститься в чудовій памміститься в чудовій пам’’ятціятці
математичної літератури початкуматематичної літератури початку XVIIIXVIII
століття ,,Арифметицістоліття ,,Арифметиці’’’’ Л. П.Л. П.
МагніцькогоМагніцького..

18. Задача із “Арифметики”Задача із “Арифметики”
МагніцькогоМагніцького
““ Купець мав 14 срібних чарок, причомуКупець мав 14 срібних чарок, причому
вага чарок зростає за арифметичноювага чарок зростає за арифметичною
прогресією з різницею 4. Остяння чаркапрогресією з різницею 4. Остяння чарка
важить 59 лотів. Визначити скількиважить 59 лотів. Визначити скільки
важать усі чарки ”.важать усі чарки ”.
(лот – стародавня російська міра, яка(лот – стародавня російська міра, яка
дорівнює 12,8г)дорівнює 12,8г)

19. Розв’язання
71 =a
Відповідь. усі чарки важать 462 лота.Відповідь. усі чарки важать 462 лота.
;5914 =a );1(1 −+= ndaan
;13459 1 ⋅+= a
d=4d=4,,
,
2
1
n
aa
S n
n ⋅
+
= .46214
2
597
14 =⋅




 +
=S

20. Задача із “Арифметики ”Задача із “Арифметики ”
МагніцькогоМагніцького
,, Якийсь чоловік продав коня купцеві за 156 карбованців;,, Якийсь чоловік продав коня купцеві за 156 карбованців;
передумавши, купець захотів віддати його назад продавцеві;передумавши, купець захотів віддати його назад продавцеві;
кажучи при цьому, що кінь не вартий такої високої ціни.кажучи при цьому, що кінь не вартий такої високої ціни.
Продавець запропонував іншу куплю: ,, Якщо тобі здається ціна заПродавець запропонував іншу куплю: ,, Якщо тобі здається ціна за
коня занадто високою, то купи тільки цвяхи в підковах коня, аконя занадто високою, то купи тільки цвяхи в підковах коня, а
коня візьмеш даром. За перший цвях даси мені пів – шага, законя візьмеш даром. За перший цвях даси мені пів – шага, за
другий - шаг, за третій - копійкудругий - шаг, за третій - копійку,, і так усі цвяхи купиші так усі цвяхи купиш’’’’. У кожній. У кожній
підкові було 6 цвяхів. Зачувши таку малу ціну і бажаючи одержатипідкові було 6 цвяхів. Зачувши таку малу ціну і бажаючи одержати
в подарунок коня, купець погодився, думаючи при цьому нев подарунок коня, купець погодився, думаючи при цьому не
більше десяти карбованців за цвяхи заплатити.більше десяти карбованців за цвяхи заплатити.
На скільки купець проторгувався?”На скільки купець проторгувався?”
((шаг – стародавня російська монеташаг – стародавня російська монета,, яка дорівнює 0яка дорівнює 0,,5 копійки5 копійки))

21. Розв’язання
2132
2,...,2;2;2;1;
2
1
;
4
1
Складемо послідовність чисел
Дана послідовність є геометричною з q=2, ;
4
1
1 =b n=24
(4 підкови по 6 цвяхів)
Отже, покупець проторгувався на 42000-156=41844 (крб)
1
11
−
−
=
q
bqb
S
n
n
)(42000
4
3
4194303
4
1
2
4
1
2
2
1
12
4
1
2
4
1
2224
2
24
24 крбS ≈=−=−⋅=
−
−⋅
=