1 ung dung tphan 1

lª hång ®øc vµ nhãm cù m«n

Gi¶i tÝch 12
øng dông tÝch ph©n
tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng

Bµi gi¶ng ®îc tr×nh bµy cho c¸c em häc sinh b»ng
viÖc sö dông gi¸o ¸n ®iÖn tö

Ngêi thùc hiÖn: Lª hång ®øc
§iÖn tho¹i: 0936546689
§Þa chØ: Sè nhµ 20 − Ngâ 86 − §êng T« Ngäc V©n − T©y Hå
− Hµ Néi

§5 øng dông tÝch ph©n
®Ó tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng
A. bµi gi¶ng
1. DiÖn tÝch cña cña h×nh elÝp vµ h×nh trßn
x2 y2
Bµi to¸n 1: Chøng minh r»ng h×nh elÝp (E): +
a2 b2
= 1 cã diÖn tÝch S =
πab.
Chøng minh
Ta cã diÖn tÝch S cña elÝp b»ng bèn lÇn
phhµn diÖn tÝch cña nã n»m trong gãc phÇn t thø
nhÊt. §ã lµ mét h×nh giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y
b b
y=
a
a2 − x2 , trôc hoµnh, trôc tung vµ ®êng th¼ng
x = a. Do ®ã: −a O a x
a a
S = 4∫
b 4b −
a ∫
a −x =
2 2
a2 −x2 .
0
a 0
−b

 π a
§Æt x = a.sint víi t ∈  0; ÷
 2
, suy ra dx = a.cost.dt.
§æi cËn:
 Víi x = 0 th× t = 0,
π
 Víi x = a th× t= .
2

Tõ ®ã:
π/ 2 π/ 2
4b
S=
a ∫
0
a 2 − a 2 .sin 2 t .a.cos t.dt = 4ab ∫
0
cos t .cos t.dt

π/ 2 π/ 2
 1 
= 2ab ∫ ( 1 + cos 2t ) dt
0
= 2ab  t + sin 2t ÷
 2 0
= abπ.

HÖ qu¶: H×nh trßn b¸n kÝnh R cã diÖn tÝch S = πR2.
ThÝ dô 1: TÝnh diÖn tÝch:
x 2 y2
a. ElÝp (E) :
9
+
4
= 1.

b. §êng trßn (C): x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0.
 Gi¶i
a. ElÝp (E) cã a = 3 vµ b = 2 nªn ta cã ngay:
S = 3.2.π = 6π (®vdt).
b. BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®êng trßn (C) vÒ d¹ng:
(C): (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4.

2

Tõ ®ã (C) cã b¸n k×nh R = 2 nªn:
S = π.22 = 4π (®vdt).
Ho¹t TÝnh diÖn tÝch:
®éng
( x −1)
2
x 2 y2 y2
a. ElÝp (E) :
4
+
9
= 1. b. ElÝp (E) : + = 1.
9 4

c. §êng trßn (C): x2 + y2 − 2y − 1 = 0.
2. tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng cong

D¹ng 1: NÕu hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] th× diÖn tÝch S cña h×nh
ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y = f(x), trôc Ox vµ hai ®êng
th¼ng x = a vµ x = b ®îc cho bëi c«ng thøc:
b
S = ∫ f (x) dx.
a

ThÝ dô 2: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi:
a. §å thÞ hµm sè y = sinx + 1, trôc hoµnh vµ hai ®êng th¼ng x = 0 vµ x
7π
= 6
.
b. §å thÞ hµm sè y = x3 − 1, trôc hoµnh, trôc tung vµ ®êng th¼ng x = 2.
 Gi¶i
a. Ta cã:
7π/ 6 7π/ 6
3 7π
S= ∫ sin x + 1 dx = ∫ (sin x + 1)dx = ( −cos x + x ) = .
7 π/ 6
0 + +1
0 0 2 6

b. Ta cã:
2

S= ∫x − 1 dx .
3

0

XÐt hµm sè f(x) = x3 − 1 trªn ®o¹n [0; 2], ta cã:
x3 − 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x2 + x + 1) = 0 ⇔ x = 1.
B¶ng xÐt dÊu:
x 0 1 2
y' − 0 + 0
Khi ®ã:
1 2 1 2

S= ∫x − 1 dx + ∫x − 1 dx = ∫ ( 1 − x ) dx + ∫( x )
− 1 dx
3 3 3 3

0 1 0 1

 x4  1  x4 2 7
= x − ÷ 0 + − x÷1 = .
 4   4  2


NhËn xÐt: Nh vËy, ®Ó tÝnh c¸c diÖn tÝch h×nh ph¼ng trªn:

3

 ë c©u a) chóng ta chØ viÖc sö dông c«ng thøc cïng víi nhËn xÐt r»ng
sinx + 1 ≥ 0 ®Ó ph¸ dÊu trÞ tuyÖt ®èi. Tõ ®ã, nhËn ®îc gi¸ trÞ cña tÝch
ph©n.
 ë c©u b) chóng ta cÇn xÐt dÊu ®a thøc x3 − 1 trªn ®o¹n [0; 2], ®Ó tõ
®ã t¸ch tÝch ph©n S thµnh çc tÝch ph©n nhá mµ trªn ®ã biÓu thøc
x3 − 1 kh«ng ©m hoÆc kh«ng d¬ng.
Ho¹t TÝnh diÖn tÝch:
®éng a. §å thÞ hµm sè y = −x2 + 3x − 2 vµ trôc hoµnh.
b. §å thÞ hµm sè y = x3 − 2x2 − x + 2 vµ trôc hoµnh.


Chó ý: NÕu bµi to¸n ph¸t biÓu díi d¹ng " TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi
h¹n bëi ®å thÞ hµm sè x = f(y) (liªn tôc trªn ®o¹n [a; b]), hai ®êng th¼ng y =
a, y = b vµ trôc Oy ", khi ®ã c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch lµ:
b

S= ∫ f (y) dy .
a

D¹ng 2: DiÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng th¼ng x = a, x = b, vµ
®å thÞ cña hai hµm sè y = f1(x) vµ y = f2(x) (f1(x) vµ f2(x) liªn tôc trªn
®o¹n [a; b]) ®îc cho bëi c«ng thøc:
b
S = ∫ f1 (x) − f 2 (x) dx.
a

a. §å thÞ çc hµm sè y = 4 – x2, y = –x + 2.
b. §å thÞ çc hµm sè y = lnx, y = –lnx vµ x = e.
 Gi¶i
a. Hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®å thÞ lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:
4 – x2 = –x + 2 ⇔ x2 − x − 2 = 0 ⇔ x = −1 hoÆc x = 2.
Khi ®ã:
2 2 2
1 1 
S= ∫ x 2 − x − 2 dx = ( )
− ∫ x 2 − x − 2 dx = −  x 3 − x 2 − 2x ÷ =
27
6
.
−1 −1 3 2  −1

b. Hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®å thÞ lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:
lnx = –lnx ⇔ 2lnx = 0 ⇔ lnx = 0 ⇔ x = 1.
Khi ®ã:
e e

S = ∫ lnx + lnx dx = 2∫ lnx.dx .
1 1

4

§Æt:
 dx
 u = lnx  du =
 ⇔  x .
 dv = dx v = x


Suy ra:
 e

S = 2  x.lnx 1 − ∫ dx ÷
e
= (
2 e− x 1
e
) = 2.
 1 
Ho¹t TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi:
®éng
1 1 π π
a. y = sin2 x
;y= cos2 x
;x= 6
;x= 3
.
b. y = ex, y = e−x, x = 1.


Chó ý: NÕu bµi to¸n ph¸t biÓu díi d¹ng " TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi
h¹n bëi ®å thÞ hai hµm sè x = f1(y) vµ x = f2(y) (liªn tôc trªn ®o¹n [a; b]), hai ®-
êng th¼ng y = a, y = b vµ trôc Oy " khi ®ã c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch lµ:
b

S= ∫ f (y) − f
a
1 2 (y) dy .

y2 − 2y + x = 0 vµ x + y = 0.

 Gi¶i
Tung ®é giao ®iÓm lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh
y = 3
y2 − 2y = y ⇔ y2 − 3y = 0 ⇔  .
 y= 0

Gäi S lµ diÖn tÝch cÇn x¸c ®Þnh, ta cã:
3 3 3
1 3 3
S= ∫ −y + 2y + y dy = ∫ − y2 + 3y dy = ∫ (− y2 + 3y)dy = (− y3 + y2) =
2

0 0 0
3 2 0

9
2
.

B. ph¬ng ph¸p gi¶i C¸c d¹ng to¸n thêng gÆp
ph¬ng thêng
Bµi to¸n 1: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng d¹ng 1.
Ph¬ng ph¸p ¸p dông
Víi yªu cÇu:
" TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y = f(x)
(liªn tôc trªn ®o¹n [a; b]), trôc hoµnh vµ hai ®êng th¼ng x = a, x = b vµ
trôc Ox "

5

ta thùc hiÖn c¸c bíc sau:
Bíc 1: Gäi S lµ diÖn tÝch cÇn x¸c ®Þnh, ta cã:
b

S= ∫ f (x) dx .
a
(1)

Bíc 2: XÐt dÊu biÓu thøc f(x) trªn [a; b].
Tõ ®ã ph©n ®îc ®o¹n [a; b] thµnh c¸c ®o¹n nhá, gi¶ sö:
[a; b] = [a, c1]∪[c1, c2] ∪...∪[ck, b].
mµ trªn mçi ®o¹n f(x) chØ cã mét dÊu.
Bíc 3: Khi ®ã:
c1 c2 b

S= ∫ f (x)dx + ∫ f(x)dx + ... + ∫ f (x)dx .
ck
(2)
a c1

VÝ dô 1: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi:
a. x = −1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2 − 2x.
lnx
b. x = 1; x = e; y = 0; y = 2x
.

 Híng dÉn: Sö dông kiÕn thøc trong phÇn ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n.
 Gi¶i
2

a. Gäi S lµ diÖn tÝch cÇn x¸c ®Þnh, ta cã S = ∫x − 2x dx .
2

−1

Ta ®i xÐt dÊu hµm sè f(x) = x2 − 2x trªn [ − 1, 2]:
x −1 0 2
f(x) + 0 − 0
Khi ®ã:
0 2
1 3 2
0  2 1 3 2
S = ∫ ( x 2 − 2x ) dx + ∫ ( 2x − x 2 ) dx =
8
 x −x ÷
3  −1
+ x − x ÷
 3  0
= 3
−1 0

(®vdt).
e
ln x
b. Gäi S lµ diÖn tÝch cÇn x¸c ®Þnh, ta cã S = ∫2
1 x
dx .

(1)
e
ln x lnx ln xdx
Bëi x∈[1; e] ⇒ lnx ≥ 0 ⇒ 2 x
= 2x
, do ®ã S = ∫ 2 x
. (2)
1

§Æt:
 u = ln x  1
  du = dx
 1 dx ⇔  x
 dv = 2 x v = x
 

6

Khi ®ã:
e
e x e
S= x ln x
1
− ∫ x
dx =( x lnx − 2 x)
1
=2− e (®vdt).
1

Víi yªu cÇu:
" TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hai hµm sè y = f(x),
y = g(x) (liªn tôc trªn ®o¹n [a; b]), hai ®êng th¼ng x = a, x = b"
ta thùc hiÖn c¸c bíc sau:
Bíc 1: Gäi S lµ diÖn tÝch cÇn x¸c ®Þnh, ta cã:
b

S= ∫ f (x) − g(x) dx .
a
(1)

Bíc 2: XÐt dÊu biÓu thøc f(x) − g(x) trªn [a; b].
Tõ ®ã ph©n ®îc ®o¹n [a; b] thµnh c¸c ®o¹n nhá, gi¶ sö:
[a; b] = [a; c1]∪[c1; c2] ∪...∪[ck; b].
mµ trªn mçi ®o¹n f(x) − g(x) chØ cã mét dÊu.
Bíc 3: Khi ®ã:
c1 b

S= I = ∫ f (x) − g(x) dx + ... + ∫ f (x) − g(x) dx .
ck
(2)
a

1 1 π π
y= sin2 x
;y= cos2 x
;x= 6
;x= 3
.

 Gi¶i
π/ 3
1 1
Gäi S lµ diÖn tÝch cÇn x¸c ®Þnh, ta cã S = ∫
π/ 6
−
sin 2 x cos 2 x
dx

Ta biÕt r»ng:
π π 1 1
 6
≤x< 4
⇒ 0 < sinx < cosx ⇔ sin2 x
− cos2 x
> 0.

π π 1 1
 4
≤x< 3
⇒ 0 < cosx < sinx ⇔ sin2 x
− cos2 x
< 0.
Do ®ã:
π/ 4 π/ 3
 1 1   1 1 
S = ∫  sin

π/ 6
2
x
− ÷
cos 2 x 
dx + ∫  cos

π/ 4
2
x
− ÷
sin 2 x 
dx

7

π4 π3 8
= (−cotx − tanx) π6
+ (cotx + tanx) π4
= 3
− 4 (®vdt)

x2
VÝ dô 2: Cho hµm sè (C): y = x +1
2 .
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè.
b. T×m b sao cho diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ c¸c ®êng
π
th¼ng y = 1, x = 0, x = b b»ng 4
.

 Gi¶i
a. B¹n ®äc tù lµm.
b. Gäi S lµ diÖn tÝch cÇn x¸c ®Þnh, ta cã:
b b
x2 π x 2 − x2 −1 π
b
dx π
S = ∫ x 2 + 1 − 1 dx = 4
⇔ ∫ x 2 +1
dx = 4
⇔ ∫x 2
+1
= 4
. (1)
0 0 0

π π dt
§Æt x = tant, − 2
<t< 2
⇒ dx = cos 2 t
= (1 + tan2t)dt.
§æi cËn:
- Víi x = 0 th× t = 0,
π π
- Víi x = b th× t = α, víi tanα = b vµ − 2
<α< 2
.
Khi ®ã:
α
π π π
(1) ⇔ ∫ dt = 4
⇔ |t| α
0 = 4
⇔ |α| = 4
⇔ b = ± 1.
0


Chó ý: NhiÒu bµi to¸n thuéc d¹ng trªn ®îc ph¸t biÓu: " TÝnh diÖn tÝch
h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi:
y = f(x) , y = g(x) vµ x = a ."
Khi ®ã, cËn cßn l¹i ®îc t×m thÊy tõ viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh f(x) − g(x) =
0.
y = ex; y = e − x ; x = 1.
 Gi¶i
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®å thÞ y = ex vµ y = e − x lµ nghiÖm cña hÖ
ph¬ng tr×nh:
ex = e − x ⇔ e2x = 1 ⇔ x = 0

8

1
1
S= ∫| e − e − x | dx = =e+ (®vdt).
x
(e x + e −x ) 1
0

0
e


Chó ý: NhiÒu bµi to¸n thuéc d¹ng trªn ®îc ph¸t biÓu: " TÝnh diÖn tÝch
h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi y = f(x) , y = g(x)". Khi ®ã, c¸c cËn ®îc t×m thÊy
tõ viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh f(x) − g(x) = 0.
VÝ dô 4: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi y = x2; x = −y2.
 Gi¶i
Ta cã:
x ≤ 0

x = −y2 ⇔ y2 = −x ⇔ y = −x .

y = − −x


Hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®êng ®· cho lµ:
x ≤ 0
 x = 0
 −x = x ⇔
2
x = −1 .
 
− − x = x
2


DiÖn tÝch h×nh ph¼ng cÇn tÝnh:
0 0
1
S= ∫|
−1
−x − x 2 | dx =
−1
∫( −x − x 2 )dx = 3
(®vdt).

VÝ dô 5: Cho Parabol (P): y = x2 vµ 2 ®iÓm A; B di ®éng trªn (P) sao cho
AB = 2.
a. T×m quü tÝch trung ®iÓm ®o¹n AB.
b. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña A; B sao cho diÖn tÝch phÇn mÆt ph¼ng giíi
h¹n bëi c¸t tuyÕn AB vµ (P) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
y
 Gi¶i (P)
A
B
a. Ta lÇn lît cã:
(AB) 1
Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (AB): y = kx + m
Hoµnh ®é cña A; B lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh O1 x
−1
x2 = kx + m ⇔ x2 − kx − m = 0 (1)
Ta cã:
∆ = k2 + 4m > 0 , ∀k ⇔ m > 0.
Khi ®ã ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt
x1, x2 (gi¶ sö x1 < x2) tho¶

9

 x1 + x 2 = k

 x1x 2 = m

 x 2 − x1 = ∆
Víi gi¶ thiÕt AB = 2
⇔ (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 = 4 ⇔ (x1 − x2)2 + ( x − x )2 = 4 2
1
2
2

⇔ (x1 − x2)2[1 + (x1 + x2)2] = 4 ⇔ (k2 + 4m)(k2 + 1) = 4.
(2)
Gäi I(x, y) lµ trung ®iÓm AB, th×
 xA + xB  k
x = 2
 x = 2
 k = 2x
I:  ⇔ I:  ⇒  . (3)
 y = yA + yB  y = k + 2m m = y − 2x
2 2


 2 
 2

 Quü tÝch trung ®iÓm I ®îc x¸c ®Þnh b»ng viÖc thay (3) vµo (2), ta ®îc
1
y = x2 + 1 + 4x 2
.
§ã lµ ph¬ng tr×nh quü tÝch cña I.
b. DiÖn tÝch lín nhÊt.
 DiÖn tÝch h×nh ph¼ng ®îc tÝnh bëi:
x2
k x3 x 2
S= ∫ (kx + m − x =[ x2 + mx −
2
)dx ]
x1
2 3 x1

1 1
= 6
(x2 − x1)[3k2 + 6m − 2(k2 + m)] = 6
k 2 + 4m (k2 + 4m)
 DiÖn tÝch S ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt ⇔ k2 + 4m lín nhÊt
Theo (2), ta ®îc:
k2 + 4m lín nhÊt ⇔ k2 + 1 nhá nhÊt ⇔ k = 0 ⇔ m = 1.
4
VËy, SMax = 3
t¹i A(−1; 1) vµ B(1; 1).

Víi yªu cÇu " TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ cña ba
hµm sè y = f(x) , y = g(x vµ y = h(x))", ta thùc hiÖn c¸c bíc sau:
Bíc 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
f(x) − g(x) = 0 vµ f(x) − h(x) = 0 hoÆc g(x) − h(x) = 0.
Bíc 2: ThiÕt lËp c«ng thøc diÖn tÝch.
x2 27
y = x2 ; y = 27
; y= x
.

10

 Gi¶i
Hoµnh ®é c¸c giao ®iÓm lµ nghiÖm cña: y
x2
 x2 = ⇔x=0
27 (P1): y = (H): xy=27
27 x2 (P2): y =
 x2 = x ⇔ x = 3.
x2/27
x2 27
 = x ⇔ x = 9.
27
O 3 9 x
Gäi S lµ diÖn tÝch cÇn x¸c ®Þnh, ta cã: S S
3
 x2 
9
 27 x 2  1 2
S = S1 + S2 = ∫x − + ∫ − ÷
2
÷dx dx
0 27  3 x 27 

1 3 1 3 3  1 3 9
=  x − x ÷
3 81  0
+  27 ln x − x ÷
 81  3
= 27ln3 (®vdt).

y = |x2 − 4x + 3| vµ y = 3 − x. y
y=|x2−4x+3|
 Gi¶i S1
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®å thÞ lµ nghiÖm cña: S2 S
3 3
|x2 − 4x + 3| = 3 − x
3 − x ≥ 0 x= 0
 2 x= 2
⇔   x − 4x + 3 = 3 − x ⇔ .
 2
 O 1 2 3 x
 x = 3
  x − 4x + 3 = x − 3
 y=3−
DiÖn tÝch h×nh ph¼ng cÇn tÝnh: x
S = S1 + S2 + S3.
Trong ®ã:
1 1 1

S1 = ∫ (3 − x − | x − 4x + 3 |)dx = ∫[3 − x − (x − 4x + 3)]dx = ∫ (−x + 3x)dx =
2 2 2

0 0 0

7
6

2 2 2

S2 = ∫ (3 − x − | x 2 − 4x + 3 |)dx = ∫[3 − x + (x 2 − 4x + 3)]dx = ∫ (x 2 − 5x + 6)dx =
1 1 1

5
6

3 3

S3 = ∫ (| x 2 − 4x + 3 | −3 + x)dx = ∫[−(x 2 − 4x + 3) − 3 + x]dx
2 2

11

3
1
= ∫ (−x 2 + 5x − 6)dx = 6
.
2

7 5 1 13
VËy, ta ®îc S = 6
+ 6
+ 6
= 6
(®vdt).

Bµi to¸n 4: DiÖn tÝch H×nh trßn − ElÝp vµ øng dông.
1. Víi h×nh trßn (C) biÕt:
(C): x2 + y2 = R2. y S
Suy ra ph¬ng tr×nh cña (C) trong gãc phÇn t thø I lµ:
1
y = R −x . 2 2

Gäi S lµ diÖn tÝch cÇn x¸c ®Þnh, ta cã: O
R
x
S = 4S1 = 4 ∫ R − x dx
2 2
. (1)
0

π π
§Ó tÝnh (1) ta ®Æt x = Rsint, víi − 2
≤t≤ 2
th× dx = Rcost.dt.
§æi cËn:
 Víi x = 0 th× t = 0.
π
 Víi x = R th× t = 2 .
Khi ®ã:
π/ 2
π/ 2
∫ | cos t | .cos tdt
∫ R − R sin t.cos tdt
2 2 2

S = 4R =4R2
0
0

π/2 π/ 2
1
∫ cos ∫ (1 + cos 2t)dt
2
tdt π /2
0
2
= 4R 2
= 2R 2 2
= 2R (t + sin2t) = πR2.
0 0

x 2 y2
2. Víi h×nh ElÝp (E): +
a 2 b2
=1
Suy ra ph¬ng tr×nh cña (E) trong gãc phÇn t thø I lµ: y S
b
y= a
a −x
2 2
. 1

Gäi S lµ diÖn tÝch cÇn x¸c ®Þnh, ta cã: O x
a
4b
S = 4S1 = ∫ a − x dx . (1)
2 2

a 0

π π
§Ó tÝnh (1) ta ®Æt x = asint, víi − 2
≤t≤ 2
⇒ dx = acost.dt.
§æi cËn:
 Víi x = 0 th× t = 0.

12

π
 Víi x = a th× t = 2 .
Khi ®ã:
π/ 2 π/ 2

S = 4ab ∫
0
a 2 − a 2 sin 2 t.cos tdt =4ab ∫ | cos t | .cos tdt
0

π/2 π/ 2
1
= 4ab ∫ cos2 tdt = 2ab ∫ (1 + cos 2t)dt = 2ab(t + 2
sin2t) π /2
0 = πab.
0 0

Tõ hai lêi gi¶i trªn, chóng ta cã ®îc ý tëng chung ®Ó tÝnh diÖn tÝch mét
h×nh giíi h¹n bëi mét ®êng cong kÝn nhËn O lµm t©m ®èi xøng vµ çc trôc
to¹ ®é lµm trôc ®èi xøng, çc em häc sinh h·y thö ¸p dông nã cho bµi to¸n
tÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bíi ®êng cong (C): y2 = x2(a2 − x2).
VÝ dô 1: Cho hai ElÝp (E1) vµ (E2) cã ph¬ng tr×nh:
x 2 y2 x2 y2
(E1): +
a 2 b2
= 1, (E2): a 2
+
(a − b) 2 = 1, víi a > b.
Chøng minh r»ng tæng diÖn tÝch cña hai ElÝp (E1), (E2) b»ng diÖn
tÝch cña ®êng trßn (C) b¸n kÝnh b»ng a.
 Híng dÉn:
 Gi¶i
Gäi S, S1, S2 theo thø tù lµ diÖn tÝch cña (C), (E1) , (E2), ta cã:
S = πa2, S1 = πab, S2 = πa(a − b).
Suy ra S = S1 + S2 (®pcm).
VÝ dô 2: Cho Parabol (P) vµ ®êng trßn (C) cã ph¬ng tr×nh:
(P): y2 = 2px, víi p > 0, (C): x2 + y2 = 8p2.
TÝnh tØ sè diÖn tÝch mµ Parabol (P) chia ®êng trßn (C).
 Híng dÉn:
 Gi¶i
Hoµnh ®é çc giao ®iÓm cña (P) vµ (C) lµ nghiÖm cña:
x ≥ 0
 2 ⇔ x = 2p ⇒ y = ±2p.
 x + 2px = 8p
2

 Gäi S1 lµ diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (P) vµ (C), ta ®îc:
2p 2p 2p
y2 y 2dy
S1 =2 ∫ ( 8p 2 − y 2 −
2p
)dy =2( ∫ 8p 2 − y 2 dy − ∫ 2p
). (1)
0 0 0

y
2p
S1
XÐt tÝch ph©n I1 = ∫ 8p − y dy , ta sö dông phÐp ®æi biÕn:
2 2

0 2p

O x
13 −2p

y = 2p 2 sint ⇒ dy = 2p 2 cost.dt.
§æi cËn:
 Víi y = 0 th× t = 0.
π
 Víi y = 2p th× t = 4 .
Khi ®ã:
π/ 4
π/ 4
∫ | cos t | .cos tdt
∫ 8p − 8p sin t .cos tdt
2 2 2
2
2
I1 = 2p = 8p
0
0

π/4 π/ 4
1
∫ cos ∫ (1 + cos 2t)dt
2
tdt π /4
0
2
= 8p2 = 4p2 = 4p2(t + sin2t)
0 0

= p2(π + 2). (2)
MÆt kh¸c:
2p
y 2 dy y3 2p 4p2
I2 = ∫
0
2p
= 6p
0 = 3
. (3)

Thay (2), (3) vµo (1), ta ®îc:
4p2 2
S1 = 2[p2(π + 2) − 3
] = 2p2(π + 3
).
 PhÇn cßn l¹i cña h×nh trßn cã diÖn tÝch
2
S2 = 8 p2π − S1 = 2p2(3π − 3
).
S1 3π + 2
 Do ®ã ta ®îc tØ sè diÖn tÝch cña hai phÇn lµ S2 = 9π − 2 .
C. bµi tËp rÌn luyÖn
Bµi tËp 1: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y = cos2x,
trôc hoµnh, trôc tung vµ ®êng th¼ng x = π.
Bµi tËp 2: TÝnh diÖn tÝch çc h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi:
a. §å thÞ çc hµm sè y = x2 – 4, y = –x2 – 2x vµ hai ®êng th¼ng x = –3,
x = –2.
b. §å thÞ hµm sè y = x3 − 4x, trôc hoµnh, ®êng th¼ng x = −2 vµ ®êng
th¼ng x = 4.
Bµi tËp 3: TÝnh diÖn tÝch çc h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi:
a. §å thÞ çc hµm sè y = x vµ y = x . 3

b. §å thÞ çc hµm sè y = 2x2 vµ y = x4 – 2x2 trong miÒn x ≥ 0.
Bµi tËp 4: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi y = 2x ; y = 3 − x ; x =
0.
Bµi tËp 5: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi y = x2 − 2x ; y = −x2 +
4x.

14

Bµi tËp 6: TÝnh diÖn tÝch cña çc h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi:
a. Parabol y = x2 – 2x + 2, tiÕp tuyÕn víi nã t¹i ®iÓm M(3; 5) vµ trôc tung.
b. Parabol y = –x2 + 4x – 3 vµ çc tiÕp tuyÕn víi nã t¹i çc ®iÓm A(0; –3)
vµ B(3; 0).
Bµi tËp 7: TÝnh diÖn tÝch phÇn chung cña hai ElÝp
x2 y2 x2 y2
(E1): +
a2 b2
= 1 vµ (E2): +
b2 a2
= 1.

x 2 + 3x + 1
Bµi tËp 8: Cho hµm sè (C): y = x+m
.
a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1.
b. Víi m = 1, tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi: x = 0; x = 1, y = 0 vµ
(C).
4x
Bµi tËp 9: Cho hµm sè (C): y = f(x) = x4 + 1
.
a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè.
b. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C), Ox vµ hai ®êng th¼ng x
= ±1.
D. híng dÉn − ®¸p sè
π 1
Bµi tËp 1: 2
. Bµi tËp 2: a. 3
. b. 44.
1 64
Bµi tËp 3: a. 12
. b. 15
.
Bµi tËp 4: Hoµnh ®é giao ®iÓm lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh:
2x = 3 − x.
- VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm nghÞch biÕn.
- VÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh lµ mét hµm nghÞch biÕn.
- Do vËy, nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× y
3 y=2
x
nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt.
- NhËn xÐt r»ng x = 1 lµ nghiÖm cña ph¬ng
1
tr×nh v× 21 = 3 − 1.
VËy x = 1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh. O 2 3x
y=3 − x
1
 1 2x  1
∫ ( 3 − x − 2 ) dx
5 2
 3x − x − −
x
S= = 2
÷
ln2  0
= 2 ln 2
(®vdt).
0  )
Bµi tËp 5: Hoµnh ®é giao ®iÓm lµ nghiÖm cña (P2
hÖ ph¬ng tr×nh: O 32 x 4
x = 0
x2 − 2x = − x2 + 4x ⇔ x2 − 3x = 0 ⇔ x = 3 .
)

(P1
DiÖn tÝch h×nh ph¼ng cÇn tÝnh lµ: y

15

3 3
 2 3 2 3
∫ ( −x )
+ 4x − x 2 + 2x dx ∫ ( −2x )
+ 6x dx  − 3 x + 3x ÷
2 2
S= = =   0
= 9.
0 0

9
Bµi tËp 6: a. 9. b. 4
.

16

1 ung dung tphan 1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to 1 ung dung tphan 1

Similar to 1 ung dung tphan 1 (20)

More from Thế Giới Tinh Hoa

More from Thế Giới Tinh Hoa (20)

1 ung dung tphan 1