1. TI P N I CÂU CHUYÊN V “B T ð NG TH C NESBITT”
Cao Minh Quang, GV THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long, E-mail: kt13quang@yahoo.com
*****
1. L i gi i thi u
Tháng 3 năm 1903, trên t p chí “Educational Times”, A. M. Nesbitt ñã ñ xu t bài toán sau
Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng:
a b c 3
+ + ≥ (1) .
b+c c+a a+b 2
ð ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c .
Ngoài ra, ta cũng nh n th y r ng, (1) d ng ñ ng b c nên ñ ch ng minh (1), v i ñi u ki n a, b, c là các s th c dương,
ta còn có th gi s a + b + c = 1 , t c là ch ng minh b t ñ ng th c
x y z 3
+ + ≥ ( 2) ,
y+z z+x x+ y 2
trong ñó x, y, z là các s th c dương có t ng b ng 1.
Bài toán qu th t r t ñơn gi n và ñ p ñ , nó ñã ñư c r t nhi u ngư i quan tâm và tìm các cách gi i. Trên T p chí Toán
H c Tu i Tr s 358 (tháng 4 – 2007), tác gi Vũ ðình Hòa ñã gi i thi u cho b n ñ c m t d ng t ng quát c a b t ñ ng
th c (1), ñó chính là b t ñ ng th c Shapiro ñư c phát bi u dư i d ng:
V i m i xi ≥ 0, xi + xi+1 > 0 (i = 1, 2,..., n) , xn+i = xi thì ta có
n
xi n
∑x ≥ .
2
i=1 i+1 + xi+2
ð ng th c x y ra khi và ch khi x1 = x2 = ... = xn .
Trong bài vi t nh này, tôi xin t ng h p các l i gi i cho b t ñ ng th c (1) và m t s k t qu khác ñư c phát tri n t (1)
trong th i gian g n ñây.
2. M t s l i gi i cho b t ñ ng th c Nesbitt
Th t s b t ñ ng th c (1) có r t nhi u cách gi i, ngoài m t s cách r t ñơn gi n còn có nh ng cách ph c t p, ñôi khi ph i
s d ng ñ n các b t ñ ng th c c ñi n (Jensen, Karamata), ñ nh lí d n bi n, …
2.1. Nhóm các l i gi i s d ng phép bi n ñ i tương ñương ph i h p v i các b t ñ ng th c thông d ng.
L i gi i 1. C ng 3 vào hai v c a b t ñ ng th c (1), ta có
 9
 1 1 1 
 a   b   c
  
(1) ⇔ 
 + 1 + 
   
 



  c + a + 1 +  a + b + 1 ≥ 2 ⇔ (a + b) + (b + c) + (c + a )  a + b + b + c + c + a  ≥ 9 .
 
b + c      
1 1 1

D th y b t ñ ng th c trên ñúng vì ta luôn có ( x + y + z ) + +  ≥ 9 ∀x, y , z > 0 .


 x y z

L i gi i 2. B t ñ ng th c (1) tương ñương v i b t ñ ng th c
 a 1  b 1  c 1

 −  +
 
  − +
 
  − ≥ 0



b + c 2  a + c 2  a + b 2
a −b + a −c b −c + b− a c − a + c −b
⇔ + + ≥0
b+c a+c a+b
 1 1   1 1   1 1 
    
⇔ (a − b)  + b − c) a + c − c + b  + (a − c) b + c − a + b  ≥ 0
b + c c + a (
 −  
  
  
 
2 2 2
(a − b) (b − c) ( a − c)
⇔ + + ≥0.
(b + c)(a + c) (a + c)(a + b) (b + c)( a + b)
L i gi i 3. S d ng ñ ng th c (a + b)(b + c )(c + a) = ab (a + b) + bc (b + c ) + ca (c + a ) + 2abc
(1) ⇔ 2[a (a + b)(a + c) + b (b + a )(b + c) + c (c + a )(c + b)] ≥ 3(a + b)(b + c)(c + a )
⇔ 2 (a3 + b3 + c3 ) ≥ ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) .
B t ñ ng th c cu i ñư c suy ra t b t ñ ng th c x3 + y 3 ≥ xy ( x + y ) , trong ñó x, y là các s th c dương.
1

2. L i gi i 4. Ta nh n th y r ng
a(a +b +c) b(a +b +c) c(a +b + c) 3
(1) ⇔ + + ≥ (a +b +c)
b +c a +c a +b 2
a2 b2 c2 a+b+c
⇔ + + + ≥ a+b+c .
b+c c+a a+b 2
Do ñó, ta ch c n ch ng minh b t ñ ng th c cu i.
Áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
a2 b+c a2 b + c
+ ≥2 . =a
b+c 4 b+c 4
b2 c+a c2 a+b
Tương t , ta có + ≥ b, + ≥c .
c+a 4 a +b 4
C ng các b t ñ ng th c trên theo t ng v , ta ñư c ñi u ph i ch ng minh.
2.2. Nhóm các l i gi i s d ng b t ñ ng th c c ñi n.
2
a a a (a1 + a2 + ... + an )
L i gi i 5. S d ng b t ñ ng th c Cauchy – Schwarz, d ng 1 + 2 + ... + n ≥ , trong ñó
b1 b2 bn a1b2 + a2b2 + ... + an bn
a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn là các s th c dương. Ta có
2
a b c ( a + b + c) 3(ab + bc + ca ) 3
+ + ≥ ≥ = .
b + c c + a a + b 2 ( ab + bc + ca ) 2 (ab + bc + ca ) 2
1 1 1
L i gi i 6. Không m t tính t ng quát, ta gi s a ≥ b ≥ c . Khi ñó, d dàng ki m tra ñư c ≥ ≥ . Do ñó, s
b + c c + a a +b
d ng b t ñ ng th c Chebyshev ph i h p v i b t ñ ng th c AM – GM, ta có
a b c 1  1 1 1  1
 9 3
≥ (a +b +c)  ≥ a +b +c). (b +c) +(c + a) +(a +b) = 2 .
b +c c + a a +b 3(
+ +  + +
b +c c + a a +b 3  
* S d ng b t ñ ng th c c a dãy s p th t , d ng:
V i 6 s th c x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 th a mãn ñi u ki n x1 ≥ x2 ≥ x3 , y1 ≥ y2 ≥ y3 . Khi ñó
x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ≥ x1 yi1 + x2 yi2 + x3 yi3 (*) ,
trong ñó (i1 , i2 , i3 ) là m t hoán v c a b (1, 2,3) .
Ch ng minh. ð t z1 = yi1 , z2 = yi2 , z3 = yi3 . Khi ñó (*) tr thành
x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ≥ x1 z1 + x2 z2 + x3 z3 (**)
hay x1 ( y1 − z1 ) + x2 ( y2 − z2 ) + x3 ( y3 − z3 ) ≥ 0 .
Ta nh n th y r ng y1 ≥ z1 , y1 + y2 ≥ z1 + z2 và y1 + y2 + y3 = z1 + z2 + z3 .
Do ñó, x1 ( y1 − z1 ) + x2 ( y 2 − z 2 ) + x3 ( y3 − z3 ) ≥ x2 ( y1 − z1 ) + x2 ( y 2 − z 2 ) + x3 ( y3 − z3 ) =
= x2 ( y1 + y2 ) − ( z1 + z2 ) + x3 ( y3 − z3 ) ≥ x3 ( y1 + y2 ) − ( z1 + z2 ) + x3 ( y3 − z3 ) =
= x3 ( y1 + y 2 + y3 ) − ( z1 + z 2 + z 3 ) = 0 .
V y (**) ñã ñư c ch ng minh. Ta có l i gi i sau:
1 1 1
L i gi i 7. [ Cao Minh Quang ] Không m t tính t ng quát, ta gi s a ≥ b ≥ c . Ta ki m tra ñư c ≥ ≥ .
b + c c + a a +b
Áp d ng b ñ trên, ta có
a b c b c a a b c c a b
+ + ≥ + + , + + ≥ + +
b+c c+a a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b
C ng 2 b t ñ ng th c trên theo t ng v , ta ñư c
 a
 b c  b+c c+a a +b
 a b c 3
2 + + ≥
 + + hay + + ≥ .

b + c c + a a + b  b + c c + a a + b b+c c+a a+b 2
2

3. V i vi c chu n hóa x + y + z = 1 , giúp ta có nh ng l i gi i khác cho (2).
x
L i gi i 8. Xét hàm s y = f ( x) = . Ta ch ng minh ñư c hàm s này l i trên (0,1) . Áp d ng b t ñ ng th c
1− x
Jensen, ta có
1  hay x + y + z = x + y + z ≥ 3 .
 x + y + z
f ( x ) + f ( y ) + f ( z ) ≥ f
 
3 
 3 
 1− x 1− y 1− z y + z z + x x + y 2
x
Ngoài l i gi i trên, v i vi c ch ng minh ñư c hàm s y = f ( x) = l i trên (0,1) còn giúp ta có m t l i gi i khác
1− x
cho (1’) như sau.
1 1
L i gi i 9. [ Cao Minh Quang ] Không m t tính t ng quát, ta gi s x ≥ y ≥ z . Khi ñó, d th y x ≥
, z ≤ , suy ra
3 3
1 2 1 1 1 x
x + y = 1− z ≥ 1− = , do ñó ( x , y , z ) ≻  , ,  . Áp d ng b t ñ ng th c Karamata cho hàm y = f ( x ) =
 
 ,
3 3 3 3 3
 1− x
1 1 1
l i trên (0,1) , ñ i v i b tr i ( x , y , z ) ≻  , ,  , ta có
 

3 3 3

1  1 1 x y z 3
f ( x) + f ( y) + f ( z ) ≥ f   + f   + f   hay
      + + ≥ .
 3
  3
  
 3 y+z z+x x+ y 2
2.3. Nhóm các l i gi i s d ng phương pháp ñ i bi n, ph i h p v i các b t ñ ng th c c ñi n.
L i gi i 10. ð t x = b + c, y = c + a, z = a + b . Khi ñó
y+z−x z+ x− y x+ y−z
a= , b= ,c = .
2 2 2
Do ñó b t ñ ng th c (1) tr thành
y + z− x z + x− y x+ y−z 3 y+z z+x x+ y
+ + ≥ , hay + + ≥6.
2x 2y 2z 2 x y z
D th y b t ñ ng th c cu i luôn ñúng, vì theo b t ñ ng th c AM – GM, ta có
y+z z+x x+ y x x y y z z x x y
+ + + + + ≥ 66 . . . . . = 6 .
x y z y z z x x y y z z
a b c b c a c a b
L i gi i 11. ð t A = + + , B= + + ,C = + + . Ta có
b+c c+a a+b b+c c + a a +b b+c c +a a+b
b+c c + a a +b a+b b+c c+a a +c b+a c+b
B+C = + + = 3, A + B = + + , A+C = + + .
b+c c + a a +b b+c c +a a+b b+c c+a a+b
Áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
a+b b+c c+a a +c b+ a c +b
A + B ≥ 33 . . = 3 , A + C ≥ 33 . . =3.
b+c c +a a+b b+c c+a a +b
3
Suy ra 2 A + B + C ≥ 6 hay A ≥ .
2
a b c x+ y+z 1
L i gi i 12. [ Hojoo Lee ] ð t x = ,y= ,z= , và A = . Ta c n ch ng minh A ≥ . Ta có
b +c c +a a +b 3 2
x y z a +b + c
+ + = =1 .
1+ x 1+ y 1 + z a + b + c
Suy ra 1 = 2xyz + xy + yz + zx . Áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
1 = 2 xyz + xy + yz + zx ≤ 2 A3 + 3 A2
2 1
Do ñó (2 A − 1)( A + 1) ≥ 0 , hay A ≥ .
2
a b c
L i gi i 13. [ Hojoo Lee ] ð t x = ,y= ,z= . Ta có
b+c c+a a +b
3

4. x y z a b c
+ + = + + =1 .
1+ x 1 + y 1+ z a + b + c a + b + c a + b + c
x
Xét hàm f ( x ) = . Ta ch ng minh ñư c hàm f là hàm lõm trên (0, +∞) . Áp d ng b t ñ ng th c Jensen, ta có
1+ x
1 1 1 x + y + z
f   = =  f ( x) + f ( y) + f ( z ) ≤
  f
 

 2 3 3
  
 3 

Nhưng ta cũng ch ng minh ñư c f là hàm tăng, do ñó
1 x+ y+z a b c 3
≤ , t c là + + ≥ .
2 3 b + c c + a a +b 2
a b
L i gi i 14. [ Hojoo Lee ] Vì vai trò c a a, b, c là như nhau nên ta có th gi s r ng a ≥ b ≥ c . Ta ñ t x = ,y=
c c
thì x ≥ y ≥ 1 và do ñó (1) tr thành
a b
c c 1 3 x y 1 3
+ + ≥ ⇔ + + ≥ .
b
+1
a
+1
a
+
b 2 y +1 x +1 x+ y 2
c c c c
Áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
x +1 y +1 x y 1 1
+ ≥2⇒ + ≥ 2− − (* **)
y +1 x +1 y +1 x +1 x +1 y +1
Do ñó, ñ ch ng minh (***), ta s ch ng minh
1 1 3 1
2− − ≥ −
x +1 y +1 2 x + y
1 1 1 1
⇔ − ≥ −
2 y +1 x +1 x + y
y −1 y −1
⇔ ≥
2 ( y + 1) ( x + 1)( x + y )
( y − 1) ( x + 1)( x + y ) − 2 ( y + 1)
⇔ ≥0.
2 ( x + y )( x + 1)( y + 1)
B t ñ ng th c cu i ñúng vì x ≥ y ≥ 1 .
ð ch ng minh (***), ngoài l i gi i trên, ta còn m t l i gi i khác như sau.
L i gi i 15. [ Hojoo Lee ] ð t m = x + y, n = xy . Khi ñó (***) tr thành
m2 − 2n + m 1 3
+ ≥ ⇔ 2m3 − m2 − m + 2 ≥ n (7m − 2) (****) .
m + n +1 m 2
Ta ñ ý r ng 7m− 2 > 0 và m 2 ≥ 4 n . Do ñó ñ ch ng minh (****), ta s ch ng minh
2
4 (2m3 − m2 − m + 2) ≥ m2 (7m − 2) ⇔ m3 − 2m2 − 4m + 8 ≥ 0 ⇔ (m − 2) (m + 2) ≥ 0 (hi n nhiên).
a b c
L i gi i 16. [ Cao Minh Quang ] ð t x = , y = , z = thì x, y, z > 0, xyz = 1 . (1) ñư c vi t l i dư i d ng
b c a
x y z 3
+ + ≥ ⇔ 2 ( x 2 y + y 2 z + z 2 x ) ≥ ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) .
xz + 1 yz + 1 zx + 1 2
S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
1 2
x2 y + y2 z + z2 x =
3
( x y + y2 z + y2 z) + 1 ( y2 z + z2 x + z2 x) +
3
1
+ ( z2 x + x2 y + x2 y) ≥ 3 x2 y5 z2 + 3 y2 z5 x2 + 3 z2 x5 y2 = x + y + z.
3
Ch ng minh tương t ta cũng nh n ñư c
4

5. 1 2
x2 y + y2 z + z2 x =
3
( x y + z2 x + z2 x) + 1 ( y2 z + x2 y + x2 y) +
3
1 2
+ ( z x + y2 z + y2 z) ≥ 3 x4 z4 y + 3 x4 y4 z + 3 xy4 z4 = xy + yz + zx.
3
C ng các b t ñ ng th c trên, ta nh n ñư c 2 ( x 2 y + y 2 z + z 2 x) ≥ ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) .
2.4. Nhóm các l i gi i s d ng phương pháp ñánh giá ñ i di n, k thu t ch n “ñi m rơi” c a b t ñ ng th c AM –
GM và các b t ñ ng th c c ñi n.
L i gi i 17. [ Hojoo Lee ] Áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
a3 + b3 + b3 ≥ 3 3 a 3b6 = 3 ab , a3 + c3 + c3 ≥ 3 3 a 3c 6 = 3 ac .
C ng hai b t ñ ng th c trên, ta nh n ñư c
2 ( )
a3 + b3 + c3 ≥ 3 a (b + c ) .
a 3 a3
Do ñó ≥ .
b + c 2 a3 + b3 + c3
Tương t , ta cũng ch ng minh ñư c
b 3 b3 c 3 c3
≥ , ≥ .
c + a 2 a3 + b3 + c3 a + b 2 a3 + b3 + c3
C ng các b t ñ ng th c trên theo t ng v , ta ñư c
a b c 3 a 3 + b3 + c 3 3
+ + ≥ . = .
b+c c+a a+b 2 a + b + c
3 3 3 2
2
L i gi i 18. [ Hojoo Lee ] Ta có ( x + y ) ≥ 4 xy ∀x, y > 0 . Do ñó
2
2a +(b + c) ≥ 8a (b + c)
 
2
⇔ 4a2 + 4a(b + c) +(b + c) ≥8a(b + c)
⇔ 4a (a + b + c) ≥ (b + c) 8a −(b + c)
a 1 8a − b − c
⇔ ≥ . .
b +c 4 a +b +c
Tương t , ta cũng ch ng minh ñư c
b 1 8b − c − a c 1 8c − a − b
≥ . , ≥ . .
c +a 4 a +b+c a +b 4 a +b+c
C ng các b t ñ ng th c trên theo t ng v , ta ñư c
a b c 1 8(a +b + c) −2(a +b + c) 3
+ + ≥ . = .
b + c c + a a +b 4 a +b + c 2
L i gi i 19. [ Cao Minh Quang ] Áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
2 (a + b + c) 2a + (b + c) + (b + c) 3 2
= ≥ 2a (b + c) .
3 3
a 3 3 a a
Suy ra ≥ . .
b+c 2 ( a + b + c)
3
Tương t , ta ch ng minh ñư c
b 3 3 b b c 3 3 c c
≥ . , ≥ . .
c+a 2 (a + b + c)
3 a +b 2 ( a + b + c)
3
C ng các b t ñ ng th c trên, ta có
5

6.  
a b c 3 3 a a + b b + c c 
+ + ≥ .
 .

b+c c+a a+b 2 

3
(a + b + c ) 


 
Do ñó ñ ch ng minh (1), ta s ch ng minh
 
a a +b b + c c 
  2
3  ≥1 ⇔ 3 a a + b b + c c ≥ (a + b + c)3 .
 ( )

 3 

 (a + b + c) 
 
ð t x = a , y = b , z = c , b t ñ ng th c trên tr thành
2 3
3( x3 + y 3 + z 3 ) ≥ ( x 2 + y 2 + z 2 ) .
Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy – Schwarz, ta có
2
2
(x + y2 + z2 ) ≤ (x 3
+ y3 + z3 )(x + y + z) .
Áp d ng b t ñ ng th c Chebyshev, ta có
( x 2 + y 2 + z 2 )( x + y + z ) ≤ 3 ( x 3 + y 3 + z 3 ) .
Nhân hai b t ñ ng th c trên theo t ng v , ta ñư c
2 3
3( x3 + y 3 + z 3 ) ≥ ( x 2 + y 2 + z 2 ) .
L i gi i 20. [ Cao Minh Quang ] Ta ch ng minh b t ñ ng th c (2)
Áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
2
x 9x ( y + z) 9 x ( y + z)
+ ≥2 . = 3x .
y+z 4 4 ( y + z)
Tương t , ta ch ng minh ñư c
y 9 y ( z + x) z 9 z ( x + y)
+ ≥ 3 y, + ≥ 3z .
z+x 4 x+ y 4
C ng ba b t ñ ng th c trên theo t ng v , ta ñư c
x y z 9
+ + + ( xy + yz + zx) ≥ 3( x + y + z) (i )
y+z z +x x+ y 2
Nhưng
3 3 2 9
( x + y + z) = ( x + y + z) ≥ ( xy + yz + zx) (ii)
2 2 2
C ng 2 b t ñ ng th c (i) và (ii) theo t ng v , ta ñư c
x y z 3 3
+ + ≥ (x + y + z) = .
y+z z+x x+ y 2 2
Ngoài l i gi i trên, (2) còn có các l i gi i sau.
2 x 9 x −1
L i gi i 21. [ Hojoo Lee ] Ta có 4 x −(1− x)(9 x −1) = (3x −1) ≥ 0 . Suy ra 4 x ≥ (1 − x )(9 x − 1) hay ≥ .
1− x 4
Tương t , ta có
y 9 y −1 z 9 z −1
≥ , ≥ .
1− y 4 1− z 4
Do ñó
x y z 9(x + y + z) − 3 3
+ + ≥ = .
y+z z+x x+ y 4 2
L i gi i 22. [ Cao Minh Quang ] V i x ∈ (0,1) , s d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
 ( 2 − 2 x) + (1 + x) + (1 + x)  3 64
(2 − 2x)(1 + x)(1 + x) ≤   =
 .
 3  27
6

7. x 27 2
Do ñó, ≥ x (1 + x ) . Tương t , ta có
1 − x 32
y 27 2 z 27 2
≥ y (1 + y ) , ≥ z (1 + z ) .
1 − y 32 1 − z 32
r
xr + y r + z r  x + y + z 
 , ∀x, y, z ≥ 0, r ≥ 1 , ta ñư c
C ng ba b t ñ ng th c trên và s d ng b t ñ ng th c ≥
 

3 
 3 
x y z 27
+ + ≥ [( x3 + y3 + z 3 ) + 2 ( x2 + y2 + z 2 ) +
1− x 1− y 1− z 32
27   1 
 3  2
1

 3
+ ( x + y + z )] ≥ 3 3  + 6  3  + 1 = 2 .
32  
    
 
 
L i gi i 23. [ Cao Minh Quang ] V i x ∈ (0,1) , ta có
2 x 9 x2
(3x −1) ≥ 0 ⇔ 3 x + 1 ≥ 9 x (1 − x) ⇔ ≥ .
1 − x 3x + 1
Ch ng minh tương t , có
y 9 y2 z 9z 2
≥ , ≥ .
1 − y 3 y + 1 1 − z 3z + 1
Do ñó,
2
x y z 9 x2 9 y2 9z 2 (3x + 3 y + 3z) 3
+ + ≥ + + ≥ = .
1− x 1− y 1− z 3x +1 3 y +1 3z +1 3( x + y + z ) + 3 2
2.5. Nhóm các l i gi i s d ng phương pháp s d ng ñ nh lý d n bi n, s d ng b t ñ ng th c ph
L i gi i 24. Ta s d ng ñ nh lí d n bi n ñ ch ng minh (1). ð t
a b c a +b a +b +c
E (a, b, c) = + + ,t = ,v = .
b + c c + a a +b 2 3
D th y r ng
a 2 + b 2 + c (a + b ) c 2t 2 + 2tc c
E (a , b, c ) = 2
+ ≥ 2 2
+ = E (t , t , c ) . .
ab + c + c ( a + b ) a + b t + c + 2ct 2t
3
Do ñó, theo ñ nh lí d n bi n, ta ñư c E ( a, b, c) ≥ E (v, v, v) = .
2
L i gi i 25. [ Cao Minh Quang ] Trư c h t, ta ch ng minh n u x, y, z là các s th c dương có t ng b ng 1 thì
x + yz y + zx z + xy
+ + ≥2.
y+z z+x x+ y
S d ng b t ñ ng th c a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca, ∀a, b, c > 0 , và ñ ý r ng x + y + z = 1 , ta có
x + yz y + zx z + xy ( x + y)( x + z) ( y + z)( y + x)
+ + = + +
y+z z+x x+ y y+z z+x
( z + x)( z + y )
+ ≥ ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x) = 2 .
x+ y
ab 1
Bây gi ta tr l i vi c ch ng minh (2). Dùng b t ñ ng th c ≤ ( a + b ) , ∀a , b > 0 .
a+b 4
Ta có
 yz xy  1
x y z
≥ 2 −
zx   3
 y + z + z + x + x + y  ≥ 2 − 4 ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y) = 2 .
+ +  

y+z z+x x+ y  
7

8. 3. M t s k t qu ñư c phát tri n t b t ñ ng th c Nesbitt
Trong th i gian g n ñây, có r t nhi u ngư i quan tâm và gi i các bài toán b t ñ ng th c, ta nh n ñư c m t s k t qu ñ p
là m r ng, t ng quát ho c k t qu m nh hơn (1). Xin ñư c ñ c p ñ n m t s bài toán ñó như sau
Bài 1. [ Tr n Nam Dũng ] [ T p chí Toán H c và Tu i Tr ] Cho a, b, c là các s th c dương . Ch ng minh r ng
1 a2 + b2 + c2 a b c 1 ab + bc + ca
+ ≥ + + ≥ 2− . 2 .
2 ab + bc + ca b + c c + a a + b 2 a + b2 + c2
Bài 2. [ Vasile Cirtoaje ] [Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities, Old and New Methods, GIL, 2006 ] Cho a, b, c là các
s th c dương. Ch ng minh r ng
a b c 13 2 ab + bc + ca
+ + ≥ − . 2 .
b+c c+a a+b 6 3 a + b2 + c 2
Bài 3. [ Titu Vareescu, Mircea Lascu ] [Titu Vareescu, Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Old and New
Inequalities, GIL, 2004 ] Cho a, b, c, α là các s th c dương sao cho abc = 1, α ≥ 1 . Ch ng minh r ng
aα bα cα 3
+ + ≥ .
b+c c + a a +b 2
2
Bài 4. [ Tr n Tu n Anh ] [ T p chí Toán H c và Tu i Tr ] Cho a, b, c, k là các s th c dương sao cho k ≥ . Ch ng
3
minh r ng
k k k
 a   b   c 
   
  3
  +
   +
  ≥ k .
b + c  c + a  a + b

  2
Bài 5. [ Vasile Cirtoaje ] [Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities, Old and New Methods, GIL, 2006 ] Cho a, b, c, r là
ln 3
các s th c dương sao cho r ≥ −1 . Ch ng minh r ng
ln 2
r r r
 2a   2b   2c 
 +  +  ≥3.

     
     
b + c  c + a  a + b
Bài 6. [ Vasile Cirtoaje ] [ Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities, Old and New Methods, GIL, 2006 ] Cho a, b, c là các
s th c dương. Ch ng minh r ng
a2 b2 c2 a b c
2 2
+ 2 2
+ 2 ≥ + + .
b +c c +a a + b2 b + c c + a a + b
Bài 7. [ Titu Zvonaru, Buchrest, Romania ] [ Problem 2970, CRUX 2006 ] Cho a, b, c là các s th c dương và m, n là
các s nguyên dương sao cho m ≥ n . Ch ng minh r ng
am bm cm an bn cn
+ m + m ≥ n + n + n .
bm + cm c + am a + bm b + cn c + an a + bn
Bài 8. [ Ph m Văn Thu n ] [ Problem 3200, CRUX 2006 ] Cho r , s là các s th c dương, r < s và a, b, c ∈ ( r , s) .
Ch ng minh r ng
2
a b c 3 ( r − s)
+ + ≤ + .
b + c c + a a + b 2 2r (r + s)
Bài 9. [ Vi t Nam TST, 2006 ] Cho a, b, c ∈ [1, 2] . Ch ng minh r ng
1 1 1  a b c 
(a + b + c) + +  ≥ 6
 

a b c  + + .


b + c c + a a + b
 
Bài 10. [ Ph m Kim Hùng, Sáng T o B t ð ng Th c, Secrects in Inequalities, Nhà xu t b n Tri Th c, 2006 ] Cho
a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
a b c ab + bc + ca 3 3 −1
+ + + k. 2 2 2
≥k + , k = .
b +c c + a a +b a +b +c 2 2
Bài 11. [ Ph m Kim Hùng, Sáng T o B t ð ng Th c, Secrects in Inequalities, Nhà xu t b n Tri Th c, 2006 ] Cho
a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
8

9. a b c abc 5
+ + + ≥ .
b + c c + a a + b 2(a3 + b3 + c3 ) 3
Bài 12. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các s th c dương, a + b + c = 1 , m, n là các s th c không âm th a ñi u
ki n 6m ≥ 5n . Ch ng minh r ng
ma + nbc mb + nbc mc + nab 3m + n
+ + ≥ .
b+c c+a a+b 2
Bài 13. [ Ph m Văn Thu n, Lê Vĩ, B t ð ng Th c, Suy Lu n & Khám Phá ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng
minh r ng
2
a b c  abc 3
+ + + 2   ≥2 .
b + c c + a a +b  (a + b)(b + c)(c + a) 
Bài 14. [ Cezar Lupu ] [ Mathematical Reflections 1 (2007) ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
a b c a2 + bc b2 + ca c2 + ab
+ + ≥ + +
b + c c + a a + b (a + b)( a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b)
Bài 15. [ Ph m H u ð c] [ Mathematical Reflections 4 (2007) ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
a b c bc ca ab
+ + ≥ + + .
b + c c + a a + b a2 + bc b2 + ca c2 + ab
Câu chuy n v “b t ñ ng th c Nesbitt” ch c h n chưa d ng l i. Hy v ng m t ngày nào ñó b n s tìm ñư c cho mình m t
l i gi i ñ p c a bài toán Nesbitt và phát tri n nó theo nhi u hư ng khác.
Tài li u tham kh o
1. Hojoo Lee, Topics in Inequalities – Theorems and Techniques, 2007
2. D. S. Mitrinovic, J. E. Pecaric, A. M. Fink, Classical and New Inequalities in Analysis, Kluwer Academic, 1993
3. Ph m Kim Hùng, Sáng T o B t ð ng Th c, Secrects in Inequalities, Nhà Xu t B n Tri Th c, 2006
4. Titu Vareescu, Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Old and New Inequalities, GIL, 2004
5. Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities, Old and New Methods, GIL, 2006
9